Download - Matematikkens Videnskabsteori i Gymnasiet
Matematikkens Videnskabsteori i Gymnasiet
7. September 2010Gl. Hellerup Gymnasium
Terese M. O. NielsenRoskilde Katedralskole
Matematikkens Videnskabsteori
• Matematikkens videnskabsteori som forskningsfelt og i gymnasiet
• To niveauer af beskrivelse: udefra og indefra
• Traditionel opbygning af matematisk teori– Axiom, definition, sætning, formodning,
eksempel
• Matematikkens metoder• Oplæg til diskussion
Matematikkens Videnskabsteori
Matematikkens filosofi som forskningsfelt
Hvad er matematik – matematikkens identitet:
• Hvad er matematikkens objekter?
(Fysiske, mentale, kulturskabte …?)
• Hvordan opnår vi viden i matematik
(Sanse-erfaring, selv-indsigt, logik, intuition om abstrakte objekter …?)
Matematikkens videnskabsteoriFra læreplanen i Matematik (A)”Faglige målEleverne skal kunne– demonstrere viden om fagets identitet og metoder”
Fra læreplanen i AT”Faglige målEleverne skal kunne– vurdere de forskellige fags og faglige metoders muligheder og begrænsninger
i forhold til den konkrete sag– demonstrere indsigt i videnskabelig tankegang og gøre sig elementære
videnskabsteoretiske overvejelser i forhold til den konkrete sag.…Synopsen skal indeholde– diskussion af, hvilke materialer, metoder og teorier der er relevante i arbejdet
med underspørgsmålene”
Identitet og metoderTo niveauer af forklaringer:
1) Overordnet niveau- HELE matematikken- ALLE metoderMatematikken set udefra.Forklaret til den oplyste lægmand.
2) Internt niveau- Dele af matematikken- Metoder i bestemt sammenhængMatematikken set indefra.Forklaret til person med sammenligneligt kendskab til matematik.
Matematikkens identitet – set udefra
• Læren om tal og former (platonisme?)• En delmængde af logikken (logicisme)• En mere abstrakt version af naturvidenskab.
”Fysik uden enheder”. (fysikalisme)• Et sprog • Et værktøj til naturbeskrivelse (nominalisme)• Et spil (formalisme)• Læren om mønstre og strukturer (strukturalisme)• Læren om rammer for menneskelig tænkning
(intuitionisme)…fortsæt selv listen
Matematikkens identitet
Historie- Opstået ud fra overvejelser om tal og formerGenstandsområde- Hverken naturen eller kulturen?Metoder- Ikke eksperimentiel og ikke fortolkende?
Min påstand: Matematikkens identitet (nu, i gymnasiet) består i
kravet til stringent argumentation
Matematisk teori er to-delt
AxiomDefinition
LemmaSætningKorollar
Euklids Elementer som ideal.
Grundlag”det, vi baserer udledningen
på”
Overbygning”det vi udleder”
Relationer er af typen ”medfører” og går kun fra Axiomer og Definitioner til Sætninger, aldrig omvendt.
Typisk lærebog i gymnasiet3e MA bruger Vejen til Matematik A2
Kapiteloverskrift: Integralregning- Matematisk deldisciplinDefinition: Stamfunktion- Centralt begrebEksempler: x2 er stamfunktion til 2x- Centralt begreb i konkrete sammenhængeSætning1: Konstantregel for integrationØvelseSætningSætningAnvendelserOpgaver
Centrale begreber:”teori” ifølge Fremmedordbogen
teo’ri –en, -er (gr. theo’ria betragtning …) systematisering af bekræftede erfaringer på et vist område
af den objektive virkelighed som den afspejler sig, og hvis forløb den kan forklare og forudsige;
Naturvidenskabet fags, en videnskabs system af læresætninger; Matematikforståelsesramme; Humaniora, samfundsvidenskabtankemæssigt kendskab til en sag (mods. praksis). Dagligdag
Centrale begreber i matematik-beskrivelse
Teori: matematisk disciplin
- geometri, algebra, analyse, statistik, …
- netværk af udsagn, knyttet sammen af logiske relationer, på grundlag af priviligerede udsagn (aksiomer, definitioner og tidligere beviste sætninger)
Centrale begreber i matematik-beskrivelse
Definition: navngivning, dåbshandling- sand pr. konvention- tillægger en mening til et symbol, der ikke i forvejen har
en mening- kan og skal ikke bevises- spørgsmålet ”hvorfor?” er meningsløst- kan ikke være et eksistensudsagn
Eksempel: En trekant, hvor en af vinklerne er større end en ret vinkel,
kaldes stumpvinklet.0!=1 - kan motiveres, men ikke udledes
Centrale begreber i matematik-beskrivelse
Aksiom- sand pr. konvention (formalisme) eller - sand fordi den korrekt beskriver et abstrakt domæne
(platonisme). (Find selv på flere)- kan og skal ikke bevises- sammenknytter termer, der i forvejen har mening- kan godt være en eksistenspåstand- Spørgsmål om ”hvorfor?” er meningsfulde, men besvares med
”sådan er det bare”
Eksempel Axiom of Infinity, Zermelo-Fraenkel mængdelære
)X'Y(:XYXØ:X
Diskussion i arbejdsgruppen
Hviler matematik i gymnasiet på et grundlag af axiomer?
Ser eleverne axiomer?
Er matematik i gymnasiet axiomatisk-deduktiv?
Eksempel
Hvis en delmængde A af de reelle tal er opad begrænset, findes den mindste øvre grænse, supremum(A).
Centrale begreber i matematik-beskrivelse
Sætning- en sætning er et sandt udsagn- en sætning følger v.h.a. deduktion fra allerede kendte
udsagn- en sætning kan og skal bevisesI gymnasiet. Dette er problematisk jf. Gödel- en sætning sammenknytter begreber, der i forvejen har
mening- Spørgsmålet ”hvorfor?” er meningsfuldt og besvares
med et bevis- er ofte på formen ”hvis forudsætninger så konklusion”.
Konklusionen er ofte en formel (i gymnasiet).- er generel – dækker mange tilfælde
Centrale begreber i matematik-beskrivelse
Bevis- argument i matematisk fagsprog- kæde af sammenhængende påstande, der
dokumenterer, at en sætning er sand- tjener til at overbevise tilhøreren om, at man ville
kunne lave en formel, logisk udledning af sætningen
Efter Tereses mening: dét træk ved matematik, der giver fagets dets identitet i gymnasiet.
Centrale begreber i matematik-beskrivelse
Deduktion- udledning i overensstemmelse med logiske
slutningsregler- vi underforstår de logiske slutningsregler
Eksempel på logisk slutningsregel (modus ponens)PHvis P, så QAltså Q
Forskellige systemer~(~P) er ækvivalent med P i klassisk logik, men ikke i
intuitionistisk logik
Diskussion blandt Roskilde Katedralskoles matematiklærere
Er sætningerne sande, fordi axiomerne er sande (Euklid)?
Er axiomerne velvalgte, fordi de giver anledning til ’de rigtige’ sætninger (Russell)?
Centrale begreber i matematik-beskrivelse
Formodning eller hypotese- er et udsagn, hvis sandhedsværdi er ukendt- kandiderer til at blive bevist- sammenknytter begreber der i forvejen har mening
EksemplerGoldbachs formodning: ethvert lige tal kan skrives som en
sum af to primtalFermats sidste sætning (før 1994)Alle fuldkomne tal er lige
Centrale begreber i matematik-beskrivelse
Eksempel (/øvelse/opgave)
- anvendelse eller illustration af generel formel eller sætning
- specifikt regnestykke eller specifik graf eller figur – i kontrast til generel lovmæssighed eller sætning
Centrale begreber i matematik-beskrivelse
Model- typisk en eller flere ligninger (eller uligheder)
og/eller figurer, der angiver sammenhænge mellem størrelser, sammen med
- en ’parlør’ for oversættelse til størrelser fra en anden kontekst (’virkeligheden’) og
- måske en angivelse af definitionsmængde for størrelserne, der afspejler ’virkeligheden’
Definiton-Axiom-SætningDefinition Axiom Sætning
Udsagn er ikke et udsagn er et sandt udsagn er et sandt udsagn
Mulige sandheds-værdier
kan umuligt være falsk
kunne være falsk kunne være falsk
Tidslig sandhedsværdi
er sand fra den bliver vedtaget
er altid sand er altid sand
Bevisbarhed kan ikke bevises kan ikke bevises kan bevises (?)
Tomme tegn eller meningsfulde tegn
handler om tegn, der ikke har en mening på forhånd
handler om begreber med en fast mening
handler om begreber med en fast mening
Centrale begreber:”metode” ifølge Fremmedordbogenme’tode –n, -r (lat. me’thodus, gr. ’methodos
undersøgelsesmåde, af me’ta efter + hodos vej)planmæssig fremgangsmåde, systematisk
procedure
- hvad som helst der ikke er tilfældigt!
”Metode” betyder ofte anvendelse af et eller flere teoretiske resultater.
”Jeg bruger sætning 2.3 på side 85 i bogen”
To niveauer af metoderRen matematik Anvendt
matematik
Overordnet niveau –”Den matematiske Metode”
Bevisførelse Beregning
Modellering
Internt niveau
- Forudsætter kendskab til begreber
Modstridsbevis vs. direkte bevis
Geometrisk vs. algebraisk bevis
Induktionsbevis
Tretrinsreglen
osv
Lige store koefficienters metode
Optimering
Ligningsløsning
Diskriminant-metoden
osv
Oplæg til diskussion
Hvad forventer vi, at eleverne kan sige om matematikkens identitet?
Overordnet niveau:”Matematik er en deduktiv videnskab” vs.
Internt niveau:”Jeg har brugt statistik, fordi jeg skulle behandle et stort
talmateriale”
Hvordan underviser vi dem i matematikkens identitet?
Oplæg til diskussion
Hvad forventer vi, at eleverne kan sige om matematikkens metoder?
”Matematikken er en deduktiv videnskab””Matematik hviler på ræsonnementer””Jeg beviser sætningen ved at anvende tretrinsreglen”
Hvilke typer spørgsmål stiller vi som test af, om de har kendskab til elementær videnskabsteori?
”Hvad er matematik?””Hvad er forskellen på matematik og fysik?””Hvorfor kan matematik bruges her?”