İİKTKTİİSADSADİİ
DDİİNAMNAMİİKLKLİİK VE K VE
İİNTEGRAL NTEGRAL
İŞİŞLEMLERLEMLERİİ
22
İktisat biliminde dinamiklik kavramı, değişkenlerin değişim
süreçlerini, dengeye geliş ya da uzaklaşmalarını içeren bir
analiz tipidir. Daha önce karşılaştırmalı durağanlık analizinde,
dengeden uzaklaşıldığında dengeye yeniden nasıl
dönüldüğünü ele almıştık. Dinamik analizde ise, dengeye geliş
süreci bir sorun olarak ele alınmaktadır. Diğer önemli nokta,
zamanın sürekli ya da kesikli biçimde analize katılmış
olmasıdır.
33Dinamik bir modelde amaç, belirli bir değişim kalıbına bağlı
olarak, ilgili değişkenin zaman içinde aldığı yolun (ilkel
fonksiyonun) belirlenmesidir. Örneğin nüfusun zaman içinde
şöyle değiştiğini bildiğimizi varsayalım:
1 2dH tdt
−=
Dinamik analiz, bu şekildeki bir değişim kalıbından hareketle,
H=H(t) ilkel fonksiyonunu bulmak sürecidir. Bu, integral alma
yöntemi ile yapılabilir. Bunu yukarıdaki örnek için yapalım:
1 2( ) 2H t t c= +
44İntegral işlemi, türev işleminin tersidir. İntegral sabitini
belirleyebilecek yeterli bilgi varsa, f(x) fonksiyonunun
integralini alarak, F(x) ilkel fonksiyonuna ulaşırız. f(x) ‘in x’e
göre integralini şöyle gösterebiliriz:
( )f x dx∫Burada f(x), integrali alınan fonksiyondur. dx integral işleminin x
değişkenine göre yapıldığını söylemektedir.
( ) ( ) ( ) ( )dF x f x f x dx F x cdx
= ⇒ = +∫c rasgele bir integral sabitidir.
55Kural I:Kural I:
11 , ( 1)1
n nx dx x c nn
+= + ≠ −+∫
ÖÖrnek 1:rnek 1:
3 414
x dx x c= +∫
ÖÖrnek 2:rnek 2:
212
xdx x c= +∫
66
ÖÖrnek 3:rnek 3:
1dx x c= +∫
ÖÖrnek 4:rnek 4:
3 3 2 5 2 51 25 2 5
x dx x dx x c x c= = + = +∫ ∫
ÖÖrnek 5:rnek 5:
4 34 3
1 1 13 3
dx x dx x c cx x
− −= = − + = − +∫ ∫
77Kural II:Kural II:
x xe dx e c= +∫
Kural Kural IIaIIa::
( ) ( )( ) f x f xf x e dx e c′ = +∫
1 lndx x cx
= +∫Kural III:Kural III:
1 ln , ( 0)dx x c xx
= + ≠∫ya da
Kural Kural IIIaIIIa::
( ) ln ( ) , ( ) 0( )
f x dx f x c f xf x′
= + >∫
88Kural IV:Kural IV:
[ ]( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )f x g x dx f x dx g x dx F x G x c+ = + = + +∫ ∫ ∫
ÖÖrnek 6:rnek 6:
( )4 2
3 31 14 2x xx x dx x dx xdx dx x c+ + = + + = + + +∫ ∫ ∫ ∫
ÖÖrnek 7:rnek 7:
2 22 2
2 2
14 142 27 5 7 5
ln(7 5)
x x
x
x xe dx e dx dxx x
e x c
⎛ ⎞+ = +⎜ ⎟+ +⎝ ⎠
= + + +
∫ ∫ ∫
99Kural V:Kural V:
( ) ( ) ( )kf x dx k f x dx kF x c= = +∫ ∫
ÖÖrnek 8:rnek 8:
2 2 322 23
x dx x dx x c⎛ ⎞− = − = − +⎜ ⎟⎝ ⎠∫ ∫
ÖÖrnek 9:rnek 9:
22
1 3 15 5 3
15 3ln
x x
x
e dx e dx x dx dxx x x
e x cx
−⎛ ⎞− + = − +⎜ ⎟⎝ ⎠
= + + +
∫ ∫ ∫ ∫
1010Kural VI (Kural VI (İİkame Kuralkame Kuralıı): ):
( ) ( ) ( )duf u dx f u du F u cdx
= = +∫ ∫
Bu kural, türevdeki zincir kuralından gelmektedir.
ÖÖrnek 10:rnek 10:
22 ( 1)x x dx+∫Bu problemi iki şekilde çözebiliriz. Birincisinde parantezi
çarpmayla dağıtırız, sonra oluşan ifadenin integralini alırız:
2 3 4 212 ( 1) (2 2 )2
x x dx x x dx x x c+ = + = + +∫ ∫
1111İkincisinde ikame kuralını kullanırız:
2 1u x= + olarak kabul edelim.
( )2du x dx=
( ) ( )
22
1
224 2
1 1
4 2
2 ( 1)2
1 1 2 12 2
12
ux x dx udu c
xc x x c
x x c
+ = = +
+= + = + + +
= + +
∫ ∫
1212ÖÖrnek 11:rnek 11:
2 3 996 ( 2)x x dx+∫3 2u x= + olarak kabul edelim.
23du x dx=
2 3 99 2 3 99
99 100
3 100
6 ( 2) 2 3 ( 2)
1250
1 ( 2)50
x x dx x x dx
u du u c
x c
+ = +
= = +
= + +
∫ ∫
∫
1313ÖÖrnek 12:rnek 12:
2 38 xe dx+∫
2 3 2u x du dx= + → =
2 3 2 34 2 4 4 4x u u xe dx e du e c e c+ += = + = +∫ ∫
1414Kural VII (KKural VII (Kıısmi smi İİntegral): ntegral):
v du uv udv= −∫ ∫
Bu kural, türevdeki temel çarpımın türevseli kuralından
türetilmektedir.
( )
( )
d uv v du udv
d uv v du udv
uv v du udv
v du uv udv
= +
= +
= +
= −
∫ ∫ ∫
∫ ∫
∫ ∫
1515ÖÖrnek 13:rnek 13:
ln
1ln
1ln ln
ln (ln 1)
xdx
v x dv dxx
du dx u x
v du uv udv
x dx x x x dxx
x x x c x x c
= → =
= → =
= −
= −
= − + = − +
∫
∫ ∫
∫ ∫
1616ÖÖrnek 14:rnek 14:
1 2
1 2 3 2
1 2 3 2 3 2
3 2 5 2
( 1)
2( 1) ( 1)3
2 2( 1) ( 1) ( 1)3 32 4( 1) ( 1)3 15
x x dx
v x dv dx
du x dx u x
v du uv udv
x x dx x x x dx
x x x c
+
= → =
= + → = +
= −
+ = + − +
= + − + +
∫
∫ ∫
∫ ∫
1717ÖÖrnek 15:rnek 15:
( 1)
x
x x
x x x
x x x
xe dx
v x dv dxdu e dx u e
v du uv udv
xe dx xe e dx
xe e c e x c
= → =
= → =
= −
= −
= − + = − +
∫
∫ ∫∫
1818ÖÖrnek 16:rnek 16:
1 2
1 2 3 2
1 2 3 2 3 2
3 2 5 2
( 3)( 1)
32( 1) ( 1)3
2 2( 3)( 1) ( 1) ( 3) ( 1)3 32 4( 1) ( 3) ( 1)3 15
x x dx
v x dv dx
du x dx u x
v du uv udv
x x dx x x x dx
x x x c
+ +
= + → =
= + → = +
= −
+ + = + + − +
= + + − + +
∫
∫ ∫
∫ ∫
1919ÖÖrnek 17:rnek 17:
2
2 2
2 2 2
ln
1ln
2
1ln ln2 2
1ln ln2 4 2 2
x xdx
v x dv dxxxdu xdx u
v du uv udv
x xx x dx x dxx
x x xx x
= → =
= → =
= −
= −
⎛ ⎞= − = −⎜ ⎟⎝ ⎠
∫
∫ ∫
∫ ∫
Şu ana kadar belirsiz integraller üzerinde çalıştık. Belirsiz
integral herhangi bir sayısal değer almaz, yalnızca bir
fonksiyonla ifade edilir. Buna karşın, şimdi ele alacağımız
belirli integral konusu, integral alma işlemi sonucunda bir
sayısal değer elde etme ile ilgilidir. Belirli integrali şöyle
gösterebiliriz:
2020
]( ) ( ) ( ) ( )b b
aaf x dx F x F b F a= = −∫
2121
ÖÖrnek 18:rnek 18:
5 52 3 3 311
3 (5) (1) 124x dx x ⎤= = − =⎦∫
ÖÖrnek 19:rnek 19:
4 4200
1 2 ln 11
(ln 5 16) (ln1 0) ln 5 16
x dx x xx
⎛ ⎞ ⎡ ⎤+ = + +⎜ ⎟ ⎣ ⎦+⎝ ⎠= + − + = +
∫
Her belirli integral, belirli bir değere sahiptir. Geometrik
anlamda bu değer, verilen bir eğrinin altında kalan belirli bir
alandır. Örneğin Şekil 4.1a’da y=f(x) fonksiyonu eğrisiyle x
ekseni arasına sıkışmış olan belirli bir A alanını ölçmek
istersek, şunu yapabiliriz. Önce [a,b] aralığını (dikdörtgensel)
parçalara ayırırız. Bu dikdörtgenlerin her birinin taban kenarı
Dx, yüksekliği de f(x) kadardır. Her bir dikdörtgenin alanını
taban kenar çarpı yükseklik ( f(x)Dx ) yoluyla belirler ve
toplarsak, y=f(x) fonksiyonu eğrisiyle x ekseni arasına sıkışmış
olan A alanını yaklaşık olarak hesaplamış oluruz:
2222
2323
*
1( )
n
i ii
A f x x=
= ∆∑
Eğer dikdörtgen sayısını giderek artırırsak taban alanı daralır,
yaklaşım giderek iyileşir ve sapma azalır. Dikdörtgen sayısı (n)
sonsuza giderken, alan ölçme hatası sıfıra yaklaşır:
*
1lim ( ) ( ) lim
n b
i i an nif x x f x dx A A alanı
→∞ →∞=
∆ = = =∑ ∫
2424ŞŞekil 4.1a Entegral ve Alan Hesabekil 4.1a Entegral ve Alan Hesabıı
y
y=f(x)
0 x1 x2 x3 x4
∆x
x
A
B C
D E
• •
• •
2525ŞŞekil 4.1b Entegral ve Alan Hesabekil 4.1b Entegral ve Alan Hesabıı
y
x0 x1 xn(=a) (=b)
( )y f x=
ÖÖzellik I :zellik I :
İntegralin sınırlarının değiştirilmesi, belirli integralin işaretini
değiştirir.
2626
[ ]
( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
a b
b a
a b
b a
f x dx f x dx
f x dx F a F b F b F a f x dx
= −
= − = − − = −
∫ ∫
∫ ∫
ÖÖzellik II :zellik II :
İntegral sınırları aynıysa, belirli integral sıfır değerine sahiptir.
( ) ( ) ( ) 0a
af x dx F a F a= − =∫
2727ÖÖzellik III :zellik III :
Belirli bir integral, sonlu sayıdaki belirli alt integrallerin
toplamıyla ifade edilebilir.
( ) ( ) ( ) ( ) , ( )d b c d
a a b cf x dx f x dx f x dx f x dx a b c d= + + < < <∫ ∫ ∫ ∫
ÖÖzellik IV : zellik IV :
( ) ( )b b
a af x dx f x dx− = −∫ ∫
2828ÖÖzellik V :zellik V :
( ) ( )b b
a akf x dx k f x dx=∫ ∫
ÖÖzellik VI : zellik VI :
[ ]( ) ( ) ( ) ( )b b b
a a af x g x dx f x dx g x dx+ = +∫ ∫ ∫
ÖÖzellik VII : (Kzellik VII : (Kıısmi smi İİntegral) ntegral)
[ ]x b x bx b
x ax a x avdu uv udv
= ==
== == −∫ ∫
2929
Belirli integralin üst sınırının b gibi sabit bir parametre değil de,
x gibi bir değişken olduğunu düşünelim. Bu durumda integralı
şöyle yazarız:
( ) ( )x
af x dx x F a= −∫
Buna göre, f(x) fonksiyonunun altında kalan alan x ’in bir
fonksiyonudur. Sağ yandaki son terim sabit olduğundan, bu tür
bir belirli integral, aslında ilkel fonksiyonlardandır ve belirsiz
bir integrala dönüşmüştür.
3030ÖÖrnek 20:rnek 20:
33 3 33 2
11
1 3 1 26 4.332 6 6 6 6
xx dx⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤
= = − = =⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦
∫
ÖÖrnek 21:rnek 21:
4 46 34 4 42 3 5 2
2 2 22 2
6 6 3 3
1 113 3 18 3
4 2 4 2 242.6718 18 3 3
x xx x dx x dx x dx⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎛ ⎞+ = + = +⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎜ ⎟
⎝ ⎠ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦
⎡ ⎤ ⎡ ⎤= − + − =⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦
∫ ∫ ∫
3131
ÖÖrnek 22:rnek 22:
2 2 22 2 211 1
2(2) 2(1)2 4
1 122 2
1 1 12 2 2
x x xe dx e dx e
e ee e
− − −
− −
⎡ ⎤= − − = − ⎣ ⎦
⎡ ⎤⎡ ⎤ ⎡ ⎤= − − = −⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎣ ⎦
∫ ∫
ÖÖrnek 23:rnek 23:
[ ] [ ]
[ ] [ ]
6 6 6 6 61 1 1 1 ln ln(1 )1 1
ln 6 ln ln 7 ln(1 )
e ee e edx dx dx x x
x x x x
e e
⎛ ⎞+ = + = + +⎜ ⎟+ +⎝ ⎠
= − + − +
∫ ∫ ∫
3232Sonsuz SSonsuz Sıınnıırlrlıı İİntegralntegral
( ) ( ) ( )b
f x dx F b F−∞
= − −∞∫( ) ( ) ( )a
f x dx F F a∞
= ∞ −∫ ve
İntegral sınırlarından bir tanesi olan belirli integrallere, uygun
olmayan integral denir. Bu tür integrallerin değeri belirlenemez.
Bu durumlarda limit kavramına başvururuz.
( ) lim ( )b
a abf x dx f x dx
∞
→∞≡∫ ∫ ( ) lim ( )
b b
aaf x dx f x dx
−∞ →−∞≡∫ ∫
Bu limitler varsa, uygun olmayan integralin yakınsak, yoksa
ıraksak olduğunu söyleriz.
3333ÖÖrnek 24:rnek 24:
2 21 11
1 1 1 1lim lim lim 1 1b
b
b b bdx dx
x x x b∞
→∞ →∞ →∞
−⎡ ⎤ ⎛ ⎞= = − = + =⎜ ⎟⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎝ ⎠∫ ∫
ÖÖrnek 25:rnek 25:
[ ] ( )11 1
1 1lim lim ln lim lnb b
b b bdx dx x b
x x∞
→∞ →∞ →∞= = = = ∞∫ ∫
ÖÖrnek 26:rnek 26:
( ) lim ( )b
aba
f x dx f x dx∞
−∞ →+∞→−∞
=∫ ∫
3434
ŞŞekil 4.2 Entegralde Yakekil 4.2 Entegralde Yakıınsaklnsaklıık ve Iraksaklk ve Iraksaklııkk
yy
1( )f xx
=2
1( )f xx
=
xx
3535Bazı durumlarda alt ve üst sınırlar belirli olsa da, integralı
alınan fonksiyon, [a,b] aralığında sonsuz değerini alabilir. Bu
türden integrallerde de limit kavramına başvururuz.
ÖÖrnek 27:rnek 27:1
0
1 dxx∫
x→0+ iken, 1/x→∞ olmaktadır. Bu nedenle tanımsızlaşan alt
limit için a diyelim ve limit kavramını kullanalım.
[ ]1 1
1 1
0 0 0
1 ln ln
1 1lim lim( ln )
aa
aa a
dx x ax
dx dx ax x+ +→ →
= = −
= = − = −∞
∫
∫ ∫
3636ÖÖrnek 28:rnek 28:
9 1 2
0x dx−∫
x→0+ iken, 1/x→∞ olmaktadır.
( )
9 91 2 1 2
9 91 2 1 2
0 0 0
2 6 2
lim lim 6 2 6
aa
aa a
x dx x a
x dx x dx a+ +
−
− −
→ →
⎡ ⎤= = −⎣ ⎦
= = − =
∫
∫ ∫
3737Bazı durumlarda integralı alınan fonksiyon [a,b] alt ve üst
sınırlarında değil, (a,b) açık aralığında sonsuz değere sahip
olabilir. Bu durumlarda, belirli integralin toplama özelliğinden
yararlanarak, alt integrallerin toplamı biçiminde hesaplama
yaparız. Örneğin x→p iken, f(x)→∞ olduğunu varsayalım.
( ) ( ) ( )b p b
a a pf x dx f x dx f x dx= +∫ ∫ ∫
Eğer her bir toplamdaki belirli integral birer limite sahipse,
toplam integralin yakınsak olduğunu söyleyebiliriz.
ÖÖrnek 29:rnek 29:
1
31
1 dxx−∫
Burada x→0 iken, 1/x3→∞ olmaktadır. Bu nedenle integralı iki
toplam biçiminde yazalım.
3838
1 0 13 3 3
1 1 0
3 2210 0 0
1
1 1 1lim lim lim2 2 2
bb
b b b
x dx x dx x dx
x dx xb
− − −
− −
− −
−→ → →−
= +
− −⎡ ⎤ ⎛ ⎞= = + = −∞⎜ ⎟⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎝ ⎠
∫ ∫ ∫
∫Toplam integralin birinci parçası ıraksak olduğundan, ikincisini
incelemeden, bunun ıraksak bir integral olduğunu
söyleyebiliriz.
3939
Marjinal Fonksiyondan Toplam Fonksiyonun Elde EdiliMarjinal Fonksiyondan Toplam Fonksiyonun Elde Edilişşii
Toplam fayda, gelir ya da maliyet fonksiyonlarının birinci
türevleri, bunların marjinal fonksiyonlarına eşittir. Dolayısıyla
integral alma süreci, marjinal bir fonksiyondan, toplam
fonksiyona ulaşmamızı sağlar.
Örneğin bir firmanın marjinal maliyet fonksiyonu MC=2e0.2Q ve
toplam sabit maliyeti de 90 birimdir. Buna göre firmanın toplam
maliyet fonksiyonunu belirleyelim.
4040
0.2 0.2
0.2 0.2
( )
( ) ( )
12 2(0.2)0.2
12 100.2
Q Q
Q Q
dTC MC dTC MC dQdQ
dTC MC dQ TC MC dQ
TC e dQ e dQ
TC e c e c
= → =
= → =
= =
= + = +
∫ ∫ ∫
∫ ∫
integral sabiti c ’nin değerini belirlemek için, toplam sabit
maliyetin 90 olduğu bilgisinden yararlanırız. Üretim miktarı
sıfırken oluşan toplam maliyet yalnızca sabit maliyettir.
Yukarıda bulduğumuz integralda Q yerine sıfır yazarak ve 90’a
eşitleyerek, c sabitini belirleriz.
4141
0.2(0)
0.2
10 90 80
( ) 10 80Q
TFC e c c
TC Q e
= + = → =
= +
4242
Marjinal Tasarruf Fonksiyonundan Toplam Tasarruf Marjinal Tasarruf Fonksiyonundan Toplam Tasarruf
Fonksiyonunun BelirlenmesiFonksiyonunun Belirlenmesi
Marjinal tasarruf fonksiyonunun aşağıda verildiği bir ekonomi
varsayalım. Gelir düzeyi (Y) 81 birimken, toplam tasarruf
düzeyi (S) sıfırdır. Buna göre bu ekonominin toplam tasarruf
fonksiyonu nedir?
1 20.3 0.1MPS Y −= −
1/ 2 1/ 2
1/ 2
1/ 2
( )
( ) ( )
0.3 0.1 0.3 0.2
81 0
0 0.3(81) 0.2(81) 22.5
0.3 0.2 22.5
dS MPS dS MPS dYdY
dS MPS dY S MPS dY
S Y dY S Y Y c
Y S
c c
S Y Y
−
= → =
= → =
= − → = − +
= → =
= − + → = −
= − −
∫ ∫ ∫
∫
4343
4444YatYatıırrıım ve Sermaye Birikimim ve Sermaye Birikimi
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
dK t I t dK t I t dtdt
dK t I t dt K t I t dt
≡ → =
= → =∫ ∫ ∫
1/ 2( ) 3I t t= 00 (0)t K K= → =ve
1/ 2 3/ 2
3 / 20 0
( ) 3 2
(0) ( ) 2
K t t dt t c
K K c K t t K
= = +
= = → = +
∫
4545
Sermaye Stokunun BelirlenmesiSermaye Stokunun Belirlenmesi
Net yatırım ise, dördüncü yılın sonundaki sermaye
oluşumu nedir?
1/ 2( ) 3I t t=
1
441/ 2 3/ 21
1
( ) ( )
( ) 3 2 14
t
K t I t dt
K t t dt t
=
⎡ ⎤= = =⎣ ⎦
∫
∫
4646SSüürekli Birikimdeki Bir Gelirin Bugrekli Birikimdeki Bir Gelirin Bugüünknküü DeDeğğerieri
Yıl başına D liralık sabit bir hızla y yıl süren ve yılda r nominal
oranında indirgenen sürekli bir hasılat akımının şimdiki değeri
nedir?
( )
00 0
1
3000 , 0.06 , 2 5655
y yyrt rt rt
ry
D DDe dt re dt er r
D er
D r y
− − −
−
⎡ ⎤Π = = − − = − ⎣ ⎦
Π = −
= = = → Π ≅
∫ ∫
ParetoPareto Gelir DaGelir Dağığıllıımmıı
Pareto’nun gelir dağılımı tanımına göre, nüfusun N kadarının, x
gelirini ya da x’den daha yüksek geliri elde etmesi şöyle
tanımlanmıştır:
4747
BdN Axdx
−= −
Buna göre, a ile b gelir aralığındaki birey sayısını belirleyelim.
1 1 1
1 1 1
bB B
a
bB B B
a
dN Ax dx N Ax dx
x b aN A A AB B B
− −
− − −
= − → = −
⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤= − = − − −⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥− − −⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦
∫
TTüüketici Artketici Artığıığı
Tüketici artığını kesin bir şekilde hesaplayabilmek için,
entegral hesapları kullanırız. Örneğin x malının talep
fonksiyonunun ve piyasa fiyatının aşağıdaki gibi olduğunu
varsayalım.
4848
0
2 2
02 2
Q** *
Q* ** * * * *
P a bQ , P P
TA ( a bQ )dQ P Q
bQ b( Q )aQ P Q aQ P Q
∗= − =
= − −
⎡ ⎤= − − = − −⎢ ⎥⎣ ⎦
∫
4949
ŞŞekil 4.3. Tekil 4.3. Tüüketici Artketici Artığıığı
Pa
Q∗
P∗ E
Qab
TA
0
•
5050
100 2P Q= − 40*P =
40E
100
P
Q300
0
302
0
2
100 2 40 30
210
900
0 12002
100 30 30 1200
Q*
TA ( Q)dQ ( ).( )
( ).( ) ( )
= − −
⎡ ⎤= − −⎢ ⎥⎣ ⎦
= − − =
∫
50
D
5151
2100P Q= − 36*P =
36E
P
Q80
82
0
83
0
3
100 36 8
100 2883
8100 8 288 33
41 3
TA ( Q )dQ ( ).( )
( )( ).( .)
= − −
⎡ ⎤= − −⎢ ⎥⎣ ⎦
= − − =
∫100
D
5252Domar BDomar Büüyyüüme Modelime Modeli
Domar modeline göre, yatırımlar ekonominin hem talep
(çarpan) hem de arz (hızlandıran) yanını etkiler. Çarpanı şöyle
yazabiliriz:
1 1dY dIY Is dt s dt
= → =
Diğer yandan yatırımlardaki artış, kapasite etkisine yol
açacaktır. κ yıllık potansiyel çıktı akımını, ρ kapasite-sermaye
oranını göstersin. Buna göre, ekonominin K(t) sermaye stoku
ile, bir yılda üretebileceği miktar:
Kκ ≡ ρ
5353Üretimin (arzın) zaman içindeki büyümesi:
d dK Idt dtκ= ρ = ρ
Domar modeline göre ekonominin dengeli bir gelişme süreci
sağlayabilmesi için, arz ve talep eşit olmalıdır.
d dYdt dtκ=
Dolayısıyla modelin temel sorusu şudur: Ekonomide dengeli
gelişme sürecinin sağlanabilmesi için, yatırımlar zaman içinde
nasıl bir seyir izlemelidir?
5454Bu soruya yanıt vermek I(t) fonksiyonunun belirlenmesi
demektir. Bunun için, ilk olarak süreç içindeki arz-talep
dengesinden yola çıkalım.
( )
1 2
ln
1 1
1 ln ln
0
0 (0) ( ) (0)
st cI c st st
st
dY d dI dII sdt dt s dt I dt
dI sdt I c st c I st cI
e e I e e I için I Ae
t iken I A I t I e
ρ + ρ ρ
ρ
κ= → = ρ → = ρ
= ρ → + = ρ + → = ρ +
= → = → > =
= = → =
∫ ∫
5555
ŞŞekil 4.3. ekil 4.3. DomarDomar BBüüyyüüme Modelinde Optimal me Modelinde Optimal YatYatıırrıım Sm Süürecireci
( ) (0) stI t I eρ=
( )I t
t0
(0)I
5656
Yatırımın fiili büyüme oranı (r) , gerekli büyüme oranından (ρs)
büyük ya da küçük olduğu durumlarda ne olacağına bakalım.
Bunun için kapasite kullanım oranını (u) tanımlayalım:
1 1( )lim lim( )t t
dI dIY t dY dt rs dt I dtu u
t d dt I s s→∞ →∞= → = = = =
κ κ ρ ρ ρ
r>ρs ya da r<ρs olmasına bağlı olarak, bir kapasite eksikliği
(u>1) ya da fazlalığı (u<1) oluşur.
5757
Fiili yatırım büyüme oranı oranı (r) , gerekli yatırım büyüme
oranından (ρs) büyük olursa, dY/dt>dκ/dt durumu ortaya çıkar,
yani yatırımın talep etkisi, kapasite etkisinden büyük olur,
ortaya bir talep fazlası çıkar. Tersi durumda ise, arz talebi aşar.
Bu durum, ekonomide bir bbııççak sak sıırtrtıında dengenda denge sürecine neden
olmaktadır.