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MATEMÁTICA 1º ANO
ANÁLISE COMBINATÓRIA
PROBABILIDADE - INTRODUÇÃO
PROFESSOR: ALEXSANDRO DE SOUSA
E.E. Dona Antônia Valadares
http://donaantoniavaladares.comunidades.net
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Prof: Alexsandro de Sousa
TEORIA DAS PROBABILIDADES
A teoria das probabilidades busca estimar as chances de ocorrer um determinado acontecimento. É um ramo da matemática que cria, elabora e pesquisa modelos para estudar experimentos ou fenômenos aleatórios.
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Embora o seu nascimento esteja ligado ao jogo, as Probabilidades
têm, nos nossos dias, aplicações em muitas outras ciências,
nomeadamente, na Economia, na Psicologia, na Medicina e até na
Física e na Química. Uma área onde a Teoria das Probabilidades é
muito utilizada é a dos seguros. Hoje, quando fazemos um contrato
com uma companhia de seguros (seja esse contrato um seguro de
vida, um seguro de incêndios, um seguro automóvel ou qualquer
outro), o “prémio” a pagar à companhia foi determinado em função
da maior ou menor probabilidade de se verificar um acidente. Por
exemplo, num seguro automóvel, o valor que se paga:
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É mais caro para carros com mais de 5 anos, já que a
probabilidade de se ter um desastre com um carro já com
algum desgaste é maior do que com um carro novo;
Há até companhias de seguros que fazem descontos para as
mulheres condutoras!...
É mais caro se o condutor tiver habilitação de condução há
menos de dois anos (a sua inexperiência torna maior a
probabilidade do acidente).
Para o cálculo do valor do seguro é levado em conta também
o modelo do automóvel, a região que esse veículo circula, a
idade do condutor...
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Há muitos experimentos que mesmo repetidos em condições
idênticas apresentam resultados diferentes.
Pode-se dizer que o resultado de cada um desses eventos é
imprevisível.
EXEMPLOS
Ao lançarmos um dado não viciado, não
é possível prever qual dos números 1, 2,
3, 4, 5 ou 6 poderá ser obtido.
O lançamento de uma moeda tem
como resultados imprevisíveis
cara ou coroa.
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As dezenas da Mega-Sena, da
Lotofácil, da Dupla Sena, da
Quina, e de outras loterias
também não podem ser
previstas antes do sorteio.
Quando a roleta é girada não
é possível prever em qual
número “a bolinha” vai parar.
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Prof: Alexsandro de Sousa
Fenômenos desse tipo, cujos resultados dependem do acaso, são
chamados de fenômenos aleatórios.
Pelo fato de não sabermos antecipadamente os resultados de
fenômenos aleatórios, é importante aprendermos calcular as
chances de um resultado ocorrer.
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ESPAÇO AMOSTRAL (ou de probabilidades)
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O conjunto de todos os possíveis resultados de um experimento
aleatório é o espaço amostral (S)
Jogar uma moeda
S = {cara, coroa}
Sortear um número inteiro de um a cem
S = {1,2,...,100}
Lançar um dado
S = {1,2,3,4,5,6}
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EVENTO
Evento é qualquer subconjunto do espaço
amostral
E = {cara} (sortear cara)
E = {25, 27, 26} (sortear no. entre 24 e 28)
E = {3, 5, 1} (lançar no. impar no dado)
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Obs.: Dizemos que um espaço amostral é equiprovável quando seus
elementos têm a mesma chance de ocorrer
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EVENTO CERTO E EVENTO IMPOSSÍVEL
Evento certo: Ocorre quando um evento coincide com o
espaço amostral.
Evento impossível: Ocorre quando um evento é vazio.
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Exemplos:
1 - Lançar um dado e registrar os resultados:
Espaço amostral: S = 1, 2, 3, 4, 5, 6
Evento A: Ocorrência de um número menor que 7 e
maior que zero.
A = 1, 2, 3, 4, 5, 6
Portanto A = S , logo o evento é certo.
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Evento B: Ocorrência de um número maior que 6.
B =
Não existe número maior que 6 no dado, portanto
o evento é impossível.
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Evento C: Ocorrência de um número par.
Evento D: Ocorrência de múltiplo de 3.
Evento E: Ocorrência de número par ou número múltiplo de 3.
E = C D E = 2, 4, 6 3, 6
E = 2, 3, 4, 6 - União de eventos
Evento F: Ocorrência de número par e múltiplo de 3.
F = C D F = 2, 4, 6 3, 6 F = 6
Intersecção de eventos
C = 2, 4, 6
D = 3, 6
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PROBABILIDADE DE OCORRER UM EVENTO
)(
)()()(
Sn
AnAP
SAP
de elementos de número
Ade elementos de número
P = _____(o que você quer)_______
(total de possibilidades)
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Exemplos 1 – Consideremos o experimento Aleatório do lançamento de
um moeda perfeita. Calcule a probabilidade de sair cara.
Espaço amostral: S = cara, coroa n(S) = 2
Evento A: A = cara n(A) = 1
50% 0,50 ou temos Como
2
1)(,
)(
)()( AP
n
AnAP
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2 – No lançamento de um dado perfeito, qual é a
probabilidade de sair número maior do que 4?
Espaço amostral: = 1, 2, 3, 4, 5, 6 n(S) = 6
Evento A: A = 5, 6 n(A) = 2
3
1)(
6
2)(
)(
)()( APAP
Sn
AnAP
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3 – No lançamento simultâneo de 3 moedas perfeitas
distinguíveis, qual é a probabilidade de serem obtidas:
a) Evento A : Pelo menos 2 caras?
b) Evento B: Exatamente 2 caras?
C = cara K = coroa
S = CCC, CCK, CKC, CKK, KCC, KCK, KKC, KKK n(S) = 8
a) A = CCC, CCK, CKC, KCC n(A) = 4
b) B = CCK, CKC, KCC n(B) = 3
2
1)(
8
4)(
)(
)()( APAP
Sn
AnAP
8
3)(
)(
)()( BP
Sn
BnBP
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4 – Num grupo de 75 jovens, 16 gostam de música, esporte e
leitura; 24 gostam de música e esporte; 30 gostam de música
e leitura; 22 gostam de esporte e leitura; 6 gostam somente de
música; 9 gostam somente de esporte e 5 gostam somente de
leitura. CALCULE a probabilidade de escolher, ao acaso, um
desses jovens:
a) Ele gostar de música;
b) Ele não gostar de nenhuma dessas atividades.
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n(S) = 75
gostam de música: 6 + 8 + 16 + 14 = 44
não gostam de nenhuma dessas atividades:
75 – (6 + 9 + 5 + 8 + 6 + 14 + 16) = 75 – 64 = 11
9
M
L
E 6 8
16
6 14
5
11
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a) a probabilidade de gostar de música:
b) probabilidade de não gostar de nenhuma
dessas atividades:
%5875
44
)(
)()(
Sn
AnAP
%1475
11
)(
)()(
Sn
BnBP
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5 – Caixa com Sorteio:
Uma caixa contém 16 bolas. Destas, 10 são azuis, 4 são pretas e 2 são amarelas.
Qual a probabilidade de:
a) Tirar uma bola sem olhar e ela ser azul?
b) Tirar uma e ela ser amarela?
c) Tirar duas azuis seguidas?
d) Tirar uma preta e depois uma azul?
e) Tirar uma só, e ela ser azul ou amarela?
f) Tirar uma e ela não ser preta?
g) Tirar uma bola vermelha?
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Total:16 bolas 10 azuis , 4 pretas e 2 são amarelas .
Tirar uma bola sem olhar e ela ser azul? P = 10/16 = 5/8 Tirar uma e ela ser amarela? P = 2/16 = 1/8 Tirar duas azuis seguidas? (AZUL e AZUL) P = (10/16) . (9/15) = 90/240 = 9/24 Tirar uma preta e depois uma azul? (PRETA e AZUL) P = (4/16).(10/15) = 40/240 = 4/24
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Tirar uma só, e ela ser azul ou amarela? P = 12/16 = ¾ (75%) Tirar uma e ela não ser preta? P = 12/16 = ¾ (veja que é a mesma que a pergunta de cima!!) Tirar uma bola vermelha? P = 0/16 = 0 (impossível)!
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6 – Ao lançar um dado duas vezes, qual é a probabilidade de se obter soma 5?
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Eventos probabilísticos estão na base da propagação de
características físicas genéticas e doenças, ao combinar genes
dos pais.
O estudo da Probabilidade permite o trabalho nesse campo da
ciência.
Questões
a) Qual a chance de ter um só filho e ser homem?
b) Ter três homens?
c) Ter três filhos todos do mesmo sexo?
d) Qual a chance deles terem três meninas?
e) E de ter uma menina e dois meninos?
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P = 1/8
a) Qual a chance de ter um só filho e ser homem? P = ½ (50%)
b) Ter três homens?
Mapa: HHH MMM HHM HMH MHH MMH HMM MHM
P = 2/8 = ¼ (25%) c) Ter três filhos todos do mesmo sexo?
d) Qual a chance deles terem três meninas? P = 1/8 = 0,125 = 12,5%
e) E de ter uma menina e dois meninos? P = 3/8 = 0,375 = 37,5%
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A cor dos olhos é uma característica transmitida geneticamente.
Ela é comandada pela combinação de dois genes, que vêm um da
mãe e outro do pai.
O gene dominante é A e o recessivo é a
Nesse caso, quando aparece na combinação o gene dominante A a
pessoa terá a característica marcada por esse gene.
Para cor dos olhos, o gene A determina olhos castanhos, então para
ter olhos azuis a pessoa deve ter genótipo aa
Um casal tem o homem com genótipo aa e a
mulher é Aa.
Qual a probabilidade do filho ter olhos azuis?
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Veja as combinações possíveis para cor dos olhos:
Aa = olhos castanhos
aA = olhos castanhos
AA = olhos castanhos
Aa = olhos azuis
A a
a aA aa
a aA aa
%505,02
1
4
2P
Aa Mulher
aa Homem
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EXERCÍCIOS
1 – Um casal de olhos castanhos tem quatro filhos, três
deles de olhos azuis.
a) Qual o genótipo do casal?
b) Qual a probabilidade deles terem um quinto filho de
olhos azuis?
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2 – Um baralho comum tem 52 cartas, sendo 13 (A, 2, 3, 4, 5,
6, 7, 8, 9, 10, J, Q, K) de cada um dos naipes, que são paus,
ouros, copas e espadas. Ao escolhermos aleatoriamente uma
das 52 cartas, qual a probabilidade de que ela seja:
a) O valete de ouros?
b) Um valete vermelho, isto é, copas ou ouros?
c) Um valete?
d) Uma carta de naipe vermelho, isto é, copas ou ouros?
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