MATEMÁTICA 3
GEOMETRIA PLANA
MÓDULO 11Semelhança de Triângulos e Relações Métricas no
Triângulo Retângulo
Professor Renato Madeira
1. DIVISÃO DE SEGMENTOS
Um ponto divide um segmento AB internamente na razão k> 0, quando M pertence ao segmento AB e
AMk
MB
EXEMPLO:Um ponto M divide o segmento AB, de 18 cm, internamente narazão 2/7. Calcule MA e MB.
MA 2kMA 2 MA MBk
MB 7kMB 7 2 7
AB MA MB 18 2k 7k 18 k 2
MA 2k 2 2 4 e MB 7k 7 2 14
1.2. DIVISÃO EXTERNA
Um ponto N divide um segmento AB externamente na razão 0 < k ≠1, quando N pertence à reta suporte do segmento AB, mas não aopróprio segmento, e
NAk
NB
EXEMPLO:Um ponto N divide o segmento AB, de 18 cm, externamente narazão 4/7. Calcule NA e NB.
NA 4 NA NB NB NA AB 186
NB 7 4 7 7 4 3 3
NA 4 6 24 e NB 7 6 42
1.3. DIVISÃO HARMÔNICA
Os pontos M e N dividem um segmento AB harmonicamentena razão 0 < k ≠ 1, quando os pontos M e N dividem osegmento AB, respectivamente, internamente eexternamente na mesma razão k, ou seja,
AM NAk
MB NB
1.3. DIVISÃO HARMÔNICA (CONT.)
2
2dkAB d 0 k 1 MN
k 1
EXEMPLO:
Os pontos M e N dividem o segmento AB, de 10 cm,harmonicamente na razão2/3. Calcule MN.
AM 2 AM MB AM MB AB 102
MB 3 2 3 2 3 5 5
AM 2 2 4 MB 3 2 6
NA 2 NA NB NB NA AB10
NB 3 2 3 3 2 1
NA 2 10 20 NB 3 10 30
MN NA AM 20 4 24
EXEMPLO (CONT.):
2 2
2 402 102dk 40 93 3MN 24
5 3 5k 1 21 93
Solução alternativa:
EXEMPLO (CONT.):
1.4. DIVISÃO DE UM SEGMENTO EM MÉDIA EEXTREMA RAZÃO (DIVISÃO ÁUREA)
Um ponto P divide internamente um segmento de reta ABsegundo uma razão áurea () quando a primeira parte estápara a segunda parte assim como o segmento todo está paraa primeira parte, ou seja,
PA AB
PB PA
1.4. DIVISÃO DE UM SEGMENTO EM MÉDIA EEXTREMA RAZÃO (DIVISÃO ÁUREA) (CONT.)
PA AB a a b a b1
PB PA b a b a
0 1 5
2
21
1 1 0
2. TEOREMA DE TALESUm feixe de retas paralelas determina sobre duas secantesquaisquer segmentos correspondentes proporcionais.
1 2 3 n 1 nr r r r r
2 31 2 n 1 n
1 2 2 3 n 1 n
A AA A A A
B B B B B B
EXEMPLO:Determine o valor de x, sendo r, s e t retas paralelas.
x 6 4 6x 3
4 8 8
Determine os valores de x e y, sendo r, s e t retas paralelas.
3 2 y 2 5 10 3 6 18x y
5 x 6 3 3 5 5
EXEMPLO:
3.1. TEOREMA DA BISSETRIZ INTERNAA bissetriz interna de um dos ângulos de um triângulo divide o ladooposto internamente em segmentos proporcionais aos ladosadjacentes.
BD DC
AB AC
Em um triângulo ABC de lados AB = 12, AC = 8 e BC = 10, determine omaior segmento que a bissetriz interna do ângulo A determinasobre o lado BC.
12 8120 12x 8x
x 10 x20x 120 x 6
EXEMPLO:
3.2. TEOREMA DA BISSETRIZ EXTERNAA bissetriz externa de um dos ângulos de um triângulo divide o ladooposto externamente em segmentos proporcionais aos ladosadjacentes.
BE CE
AB AC
Em um triângulo ABC de lados AB = 12, AC = 8 e BC = 10,determine a distância entre o pé da bissetriz externa do ângulo A eo vértice mais próximo do lado BC.
12 812x 80 8x
10 x x4x 80 x 20
EXEMPLO:
3.3. DIVISÃO HARMÔNICA PELOS PÉS DAS BISSETRIZES
As bissetrizes interna e externa que partem de um mesmo vértice deum triângulo dividem o lado oposto harmonicamente na razão doslados adjacentes ao vértice.
BD BE AB
DC CE AC
4. CIRCUNFERÊNCIA DE APOLÔNIUS
A circunferência de Apolônius dos pontos A e B na razão 0 < k ≠ 1 éo lugar geométrico dos pontos do plano cuja razão das distânciasaos pontos A e B é igual a k.
APA
P C kPB
A 2
dkr
k 1
5. SEMELHANÇA DE TRIÂNGULOS
Se dois triângulos possuem lados respectivamente proporcionais,então são semelhantes.
Dois triângulos são semelhantes se, e somente se, seus ângulossão respectivamente congruentes.
Dois triângulos de lados respectivamente paralelos sãosemelhantes.
Se dois triângulos são semelhantes, então a razão entre duaslinhas homólogas é igual à razão de semelhança.
5.1. CASOS DE SEMELHANÇA DE TRIÂNGULOS
1° caso: (A.A.) Se dois triângulos possuem dois ângulos respectivamente congruentes, então são semelhantes.
ˆ ˆB B'ABC A'B'C'
ˆ ˆC C'
5.1. CASOS DE SEMELHANÇA DE TRIÂNGULOS (CONT.)
2° caso: (LpALp) Se dois triângulos possuem dois lados proporcionaisadjacentes a ângulos congruentes, então são semelhantes.
b c
b' c' ABC A'B'C'ˆ ˆA A'
5.1. CASOS DE SEMELHANÇA DE TRIÂNGULOS (CONT.)
3° caso: (LpLpLp) Se dois triângulos possuem os três lados respectivamente proporcionais, então são semelhantes.
a b cABC A'B'C'
a' b' c'
Considere os quadrados da figura de lados a e b (a > b). Calcule x.
2a b b bx
b x a b
O triângulo 1 e o triângulo 2 sãosemelhantes.
EXEMPLO:
6. RELAÇÕES MÉTRICAS NO TRIÂNGULO RETÂNGULO
a h b c 2b a m
2c a n
2h m n
2 2 2
1 1 1
h b c 2 2 2a b c
Teorema de Pitágoras