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Materiais Elétricos
Mecanismos de Condução em Condutores
Prof. Marcos Zurita
Teresina – PI
2010
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Sumário
IntroduçãoCondutividade ElétricaLei de OhmVelocidade de Deriva, Mobilidade e CondutividadeTempo Médio Entre Colisões e Livre Caminho MédioResistividade dos Metais e Ligas MetálicasCondutividade Térmica dos MetaisEfeito SeebeckEfeito PeltierEfeito da CA em Condutores ElétricosEfeito Pelicular
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Introdução
Materiais Condutores:Materiais que conduzem corrente elétrica com facilidade
Características desejáveis para os materiais condutores:
Condutividade elétrica elevada;Baixo custo;Boa resistividade mecânica;Boa resistência à oxidação;Tolerância a altas temperaturas.
Materiais condutores sólidos mais utilizados na Engenharia Elétrica:
Metais e ligas metálicas
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Condutividade Elétrica
Condutividade Elétrica ( ):grandeza que expressa a facilidade com que um material é capaz de conduzir a corrente elétrica.
Nos metais, a condutividade está associada a elétrons livres ou de conduçãodeslocando-se no reticulado cristalino.
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Condutividade Elétrica
Condução Eletrônica vs IônicaA corrente elétrica se origina do movimento de partículas eletricamente carregadas em resposta a um campo elétrico externo aplicado.As partículas de carga positiva são aceleradas na direção do campo elétrico e as de carga negativa na direção oposta.Na maior parte dos sólidos a corrente surge do fluxo de elétrons, o que se denomina de Condução Eletrônica.Em materiais iônicos a corrente pode resultar de um movimento líquido de iôns carregados, ao que se denomina Condução Iônica.
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Condutividade Elétrica
Isolantes: < 10-7 ( .m)-1
Semicondutores: 10-7 103 ( .m)-1
Condutores: > 103 ( .m)-1
Melhores condutores elétricos:Ag: = 1,6x10-8 .mCu: = 1,8x10-8 .mAu: = 2,4x10-8 .mAl: = 2,8x10-8 .m
Isolantes CondutoresSemicondutores
Silício dopado
GeQuartzo
Madeira seca
NaClBorracha
SiO2Porcelana
MicaVidro
GaAs Si Mn
FeAgCuAlAu
10-20 10-18 10-16 10-14 10-12 10-10 10-8 10-6 10-4 10-2 1 102 104 106( .cm)-1
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Lei de Ohm
= 1/ , sendo a resistividade ( .m)A densidade de corrente permanece constante desde que o campo elétrico seja constante.
EJ (Eq. 1)
lVE (Eq. 2)
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Velocidade de Deriva, Mobilidade e Condutividade
Fontes de variação da resistividade entre diferentes materiais:
Estrutura eletrônica (isolante, metal ou semicondutor)Fontes de interferência (caracterizadas por )
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Velocidade de Deriva, Mobilidade e Condutividade
Nos materiais condutores a resistência à passagem da corrente elétrica se deve as colisões entre os elétrons e a estrutura cristalina do material.Ao aplicarmos um campo elétrico em um condutor observamos que os elétrons tendem a se deslocar na direção da força imposta por esse campo com velocidade média proporcional a sua intensidade. Essa velocidade é chamada velocidade de deriva (vd):
A constante de proporcionalidade ( e) indica a frequênciacom que as colisões ocorrem no material e é chamada mobilidade do elétron. É expressa em m2/V.s.
edv (Eq. 3)
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Velocidade de Deriva, Mobilidade e Condutividade
A mobilidade do elétron é diretamente proporcional ao tempo com que ele consegue percorrer o material sem colidir com a rede cristalina. Este tempo é chamado tempo médio entre colisões ou tempo de relaxação dos elétrons ( ). Sua relação com a mobilidade é dada por:
Onde:e = carga do elétronme = massa do elétron
ee m
e(Eq. 4)
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Velocidade de Deriva, Mobilidade e Condutividade
Na maior parte dos condutores a condutividade pode ser expressa diretamente a partir da mobilidade ( ) como sendo:
Logo, a condutividade é proporcional tanto ao número de elétrons-livres por volume (n) quanto à sua mobilidade no material.Dessa forma, podemos exprimir a condutividade em função do tempo médio entre colisões:
en en11
(Eq. 5)
(Eq. 6)em
ne2
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Tempo Médio Entre Colisõese Livre Caminho Médio
Para um e- que, impelido por um campo elétrico, percorre a estrutura cristalina de um condutor, chocando-se com ela, podemos definir duas características do seu movimento:
O Tempo Médio Entre Colisões ( ou c);A distância média percorrida entre duas colisões, ou LivreCaminho Médio ( ).
Assumindo que o movimento entre duas colisões seja retilíneo, temos:
Onde vF é a velocidade de um e- com Energia de Fermi ( F):Fv (Eq. 7)
eFF mv /2 (Eq. 8)
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Resistividade dos Metais e Ligas Metálicas
A resistividade dos metais varia conforme a temperatura:
Condutores reais, mesmo a 0 K, apresentam resistividade diferente de zero. Isto se deve a impurezas, vazios e imperfeições no reticulado cristalino.T cai vibração do reticulado diminui aumenta diminui
aT0
T
0
= 0+aT
Condutor com cristal perfeito ( =0 para T=0K)
Condutor real ( 0 0)
(Eq. 8)
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Resistividade dos Metais e Ligas Metálicas
Regra de Mathiessen
Para um material condutor, a resistividade elétrica é a soma das contribuições de três componentes:
t: relacionada às vibrações térmicas da estrutura cristalina;
i: relacionada às impurezas presentes no material;
d: relacionada às deformações (imperfeições estruturais).
dittotal (Eq. 9)
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Resistividade dos Metais e Ligas Metálicas
Resistividade do Cobre e três ligas dele com Níquel:as contribuições da temperatura ( t),impurezas ( i) e deformações ( d) são destacadas a -100°C.
Impurezas indicadas em termos de fração atômica (at%)
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Resistividade dos Metais e Ligas Metálicas
Com base na Regra de Mathiessen podemos expressar o tempo médio de relaxação dos elétrons como sendo:
Onde:T = tempo de relaxação devido às vibrações térmicas
i = tempo de relaxação devido às impurezas
Logo, podemos exprimir a resistividade de um condutor como:
Ti
111(Eq. 10)
Ti
e
nem 11
2 (Eq. 11)
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Resistividade dos Metais e Ligas Metálicas
Resistividade de Ligas MetálicasNas ligas metálicas espera-se a aplicabilidade da eq. =
t + i + d com um crescimento de i à medida em que se aumenta a concentração dos átomos do soluto (impureza).A medida que i aumenta:
aumenta o valor de observa-se uma menor variação de com a temperatura
Tem-se na pequena variação da resistividade das ligas com a temperatura, a grande vantagem na sua utilização para confecção de componentes resistivos (seus valores tornam-se mais estáveis com a temperatura).
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Resistividade dos Metais e Ligas MetálicasResistividade de Ligas Metálicas
Ao adicionar níquel ao cobre a resistividade deste cresce de acordo com percentual de Ni até o limite de 50% de soluto.Outras ligas sólidas de dois metais apresentam comportamento análogo ao da liga Cu-Ni. Ex.: Cu-Au, Ag-Au, Pt-Pd, Cu-Pd, ...
T = 25°C
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Resistividade dos Metais e Ligas Metálicas
Equação de NordheimA variação de i em função da adição de impurezas é dada pela Equação de Nordheim:
Onde:A = constante de Nordheim para um dado metal base e impureza.ci = concentração da impureza ou fração do soluto no metal base, expressa em termos de fração atômica (at%).
Para baixas concentrações de impureza (ci << 1) podemos assumir que:
)1(. iii ccA (Eq. 12)
ii cA. (Eq. 13)
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Resistividade dos Metais e Ligas Metálicas
Coeficiente de Nordheim para algumas ligas metálicas à 20°C para ci < 1 at.%:
Para muitas ligas o coeficiente de Nordheim pode mudar em concentrações mais elevadas.
53360Sn em Au0,62900Sn em Cu30300Zn em Cu
100790Ni em Au1001250Ni em Cu100450Cu em Au1005500Au em Cu
Solubilidade Máxima à 25°C (at.%)
Coeficiente deNordheim (n m)
Liga (soluto em solvente)
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Condutividade Térmica dos Metais
Os metais, semelhantemente à condutividade elétrica, também apresentam elevada condutividade térmica.O transporte de calor nos metais é feito pelos elétrons de valência com energias próximas ao nível de Fermi.
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Condutividade Térmica dos MetaisLei de Condução de Calor:
A taxa de fluxo de calor Q através da seção de um condutor de espessura x é proporcional ao gradiente de temperatura e à área da seção (A):
Onde:(dQ/dt) é a energia calorífica por segundo;K é a condutividade térmica (W/m°C ou W/mK).
xTA
tQ
dxdTKA
dtdQ
(Eq. 14)
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Condutividade Térmica dos Metais
Condutividade térmica na temperatura ambiente (27°C) para alguns metais:
Ag: K = 427 W/m°CCu: K = 385 W/m°CAu: K = 314 W/m°CAl: K = 209 W/m°C
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Condutividade Térmica dos Metais
Lei de Wiedemann-Franz-LorenzEstabelece uma relação matemática entre a condutividade térmica e a condutividade elétrica nos metais:
Onde CWFL é o Número de Lorenz:
TCKWFL (Eq. 15)
281045.2 KWxCWFL (Eq. 16)
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Efeito Seebeck
Efeito Seebeck
Ao receber energia térmica no terminal quente os elétrons ganham energia cinética e se difundem para a região mais fria, gerando uma ddp entre as extremidades.A tensão gerada é função da diferença de temperatura entre os terminais da amostra (da ordem de mV).As pontas de prova devem ser de material diferente do material da amostra.
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Efeito Seebeck
A diferença de potencial criada entre os terminais Quente e Frio é denominada Efeito Seebeck:
Onde S é o Coeficiente de Seebeck, dado por:
sendo F0 a energia de Fermi a 0 K e k a constante de Boltzmann.
e-e-
e-e-
e-e-
T2 T1
V
0
22
2 FeTkS (Eqs. 18 e 19)
dTdVS
T
TSdTV
0(Eq. 17)
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Efeito Seebeck
TermoparesSão sensores de temperatura baseados no efeito Seebeck.Compostos por dois condutores diferentes, possuindo portanto diferentes coeficientes de Seebeck (SA SB).Uma junção é mantida em uma temperatura de referência (junção de referência ou junta fria), e a outra junção submetida em uma temperatura mais elevada (junção de medição ou junta quente).
Condutor B
T2 T1
V
Condutor A
Condutor B
JuntaQuente
JuntaFria
+++
-- -
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Efeito Seebeck
A ddp gerada pelo termopar pode ser calculada a partir da Eq. 17 como sendo:
resolvendo essa equação à luz da Eq. 19 obtemos uma expressão sob a forma:
conhecida como Equação do Termopar, onde a e b sãoos coeficientes do termopar e T a diferença entre a temperatura da junção quente e da junção fria (T2-T1).
2
1
2
1
)(T
T BA
T
T BAAB dTSdTSSV (Eq. 20)
2TbTaVAB (Eq. 21)
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Efeito Seebeck
Tipos de Termopares:E – Cromel/constantanJ – Ferro/constantanT – Cobre/constantanK – Cromel/AlumelS – Platina/Platina-10% ródio
Cromel: 90%Ni 10%CrAlumel: 95%Ni 5%(Al+Si+Mn)Constantan: 55%Ni 45%Cu
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Efeito Peltier
Considere a estrutura abaixo, constituída de dois condutores A e B onde A > B, conectados eletricamente por uma superfície “b” ( b » A).
+ -I
A B
a c
b
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Efeito PeltierPara percorrer o condutor A a corrente I necessita de nAelétrons a vDA m/s (I=C/s).Ao atingir a superfície “b” a corrente deve passar por um condutor cuja mobilidade é mais baixa (vDB < vDA).Como a corrente através da estrutura é constante, será necessário um número maior de elétrons percorrendo o condutor B para manter a corrente (nB > nA).Estes elétrons “faltantes” serão fornecidos pelo calor da superfície “b”.Ao chegar na superfície “c” os elétrons excedentes são dissipados sob a forma de calor.A estrutura é uma máquina térmica em estado sólido, retirando calor da superfície “b” para a superfície “c”!
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Efeito Peltier
O fenômeno descrito é chamado de Efeito Peltier, isto é, a produção de um gradiente de temperatura a partir da passagem de corrente elétrica através de dois condutores distintos.O calor absorvido por unidade de tempo em uma máquina de Peltier é calculado pela equação:
Onde A e B são os coeficientes de Peltier de cada material. Eles representam a quantidade de calor que écarregada por unidade de corrente elétrica através de um dado material.
IIQ ABAB (Eq. 22)
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Efeito Peltier
Algumas pastilhas Peltier
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Efeito da CA em Condutores Elétricos
Em aplicações de médias e altas tensões, além das características citadas, outros parâmetros devem ser levados em consideração:
Peso do cabo (cálculo mecânico das estruturas);Indutância;Capacitância;Efeito pelicular (skin effect).
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Efeito Pelicular
Quando um fio homogêneo é percorrido por uma corrente contínua, as cargas tendem a se distribuir igualmente ao atravessar uma seção transversal do mesmo.Em corrente alternada a densidade de corrente varia do centro do condutor para a sua superfície externa, sendo mínima no centro e máxima na periferia.A conseqüência prática é o aumento da resistência elétrica do condutor com relação à corrente contínua.
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Efeito Pelicular
O Efeito Pelicular decorre da indução de campos magnéticos associados à passagem da corrente e aos campos elétricos induzidos, cujos sentidos tendem a opor-se ao movimento de elétrons no centro do condutor e reforçá-lo na periferia.
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Efeito Pelicular
Resolvendo-se a equação diferencial de propagação de um campo eletromagnético em meio condutor, vemos que o campo resultante e a densidade de corrente (ambos estão relacionados pela condutividade do material) aumenta de intensidade do centro para a superfície do condutor.
/dseJJ (Eq. 23)
38
Efeito Pelicular
A distribuição resultante da corrente pode ser representada matematicamente pela equação:
Onde:Js é o valor máximo da densidade de corrente (superfície do condutor)d é a distância da superfície
é uma constante chamada profundidade pelicular (skin depth)
/dseJJ (Eq. 24)
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Efeito Pelicular
Profundidade Pelicular (skin depth)
Onde:é a resistividade do materialé a frequência da corrente (2 f)é a permeabilidade absoluta do material
.2
(Eq. 25)
40
Efeito Pelicular
Se , J=Js.e0 (não há efeito pelicular, a densidade de corrente independe da profundidade;Quanto menor o valor de , maior o coeficiente d/ e maior a variação de J com a distância à superfície do condutor;Bons condutores (baixo ) possuem efeito pelicular mais pronunciado;Quanto maior a freqüência, maior o efeito pelicular;
Quanto maior a permeabilidadade do material ( ), maior o efeito pelicular;
2.d
s
d
s eJeJJ (Eq. 26)
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Efeito Pelicular
Profundidade pelicular de alguns condutores
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Efeito PelicularCobre Alumínio
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43
Efeito Pelicular
Alguns condutores para média e alta tensão
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ANEXO
Dedução das Equações da Velocidade de Deriva e da Mobilidade
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Dedução da Velocidade de Deriva e Mobilidade
Considere que um campo elétrico uniforme (E) seja aplicado na direção x de um dado condutor.A aceleração sofrida por cada elétron desse condutor na direção do campo pode ser expressa por:
Onde me é a massa efetiva do elétron e Vx é a velocidade do e-.Para um grupo de N elétrons, a velocidade média será dada por:
A essa velocidade denominamos velocidade de deriva (vd).
ecampo
x
ecampo
xx m
eEt
VmF
tV
mFa (Eq. 1.1)
N
ixxd tV
Ntvv
i1
)(1)( (Eq. 1.2)
46
Dedução da Velocidade de Deriva e Mobilidade
Como o campo elétrico aplicado é uniforme, não devem haver variações na velocidade média de deslocamento dos elétrons enquanto o campo existir (velocidade de deriva = cte).Se vd é constante então a aceleração ganha pelos elétrons (Eq. 1.1) devido ao campo elétrico precisa ser equilibrada por uma outra de valor oposto, de maneira que a aceleração total seja nula. Esta aceleração de sentido oposto se deve às colisões:
00colisões
xcampo
xd vt
vt
vdtd
(Eq. 1.3)
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Dedução da Velocidade de Deriva e Mobilidade
Admita agora que no instante t = 0 esses elétrons tenham velocidade média vx0, e que para t > 0 o campo seja retirado.Em t > 0 a aceleração devido ao campo cessa, restando apenas as colisões dos elétrons com a rede cristalina.As colisões em t > 0 irão “frear” os elétrons de forma que sua velocidade decairá conforme a Eq. 1.4.
/0)( t
xx evtv (Eq. 1.4)
)(
0
tvvt
x
tx (Eq. 1.5)
48
Dedução da Velocidade de Deriva e MobilidadeAnalisando a equação temos que:
, assim como t, deve ser expresso em unidades de tempo. A esse parâmetro denominamos tempo de relaxação.A desaceleração dos elétrons será tanto maior quanto menor for o valor de . O motivo é que exprime o tempo médio que um elétron se move entre duas colisões. Por essa razão, também é chamado tempo médio entre colisões.Se o tempo em que o campo permaneceu aplicado no condutor antes de ser retirado foi significativamente superior a , a velocidade média dos elétrons em t = 0 (vx0)deve ser igual a velocidade de deriva (vd).
/0)( t
xx evtv
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Dedução da Velocidade de Deriva e Mobilidade
Após retiramos o campo elétrico (t > 0), a aceleração dos elétrons devido ao campo cessa, restando apenas a aceleração devido às colisões. Em outras palavras, a desaceleração calculada na Eq. 1.5 corresponde a aceleração devido às colisões da Eq. 1.3, isto é:
Aplicando a Eq. 1.1 e 1.6 na Eq. 1.3 temos:
)(0 tvvt
vt
vt
x
colisõesx
campox
campox (Eq. 1.6)
(Eq. 1.7)Emevtv
meE
e
xx
e
0)(
50
Dedução da Velocidade de Deriva e MobilidadeAnalisando a Eq. 1.7 notamos que:
De acordo com a Eq. 1.2 a velocidade média encontrada na Eq. 1.7 corresponde, em módulo, à velocidade de deriva vd.O termo (e /me) é composto apenas por constantes, de modo que podemos substituí-lo por uma só constante,
e. Essa constante estabelece uma relação de proporcionalidade entre o campo elétrico e a velocidade de deriva e é chamada mobilidade do elétron, ou seja:
(Eq. 1.8)e
e me