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UFS – Curso de Economia Prof. Msc. Patrícia Pugliesi Carneiro Material Didático de Apoio
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Material Didático de Apoio
INTRODUÇÃO AO ESTUDO DE DERIVADAS
1.1 INTRODUÇÃO
Podemos compreender o conceito de derivadas como sendo as alterações da variável
dependente de uma função originada por cada unidade de variação na variável independente,
calculadas a partir de intervalos infinitesimais desta última.
Sua aplicação na economia se da tanto nas análises acerca das relações entre as variáveis
econômicas quanto nos exercícios de estática comparativa.
Taxa média de variação – Seja uma função definida num conjunto D e 𝑥0e 𝑥0 + ∆𝑥 dois
pontos de D. Quando a variável 𝑥 passa do valor 𝑥0 para o valor 𝑥0 + ∆𝑥 sofrendo uma
variação ∆𝑥 , o correspondente valor da função passa de 𝑓(𝑥0) para o valor 𝑓(𝑥0 + ∆𝑥)
sofrendo, portando, uma variação.
∆𝑦 = 𝑓(𝑥0 + ∆𝑥) - 𝑓(𝑥0)
1.2 SÍMBOLOGIAS OU NOTAÇÕES
Como em um estágio inicial de aprendizado, trataremos apenas de funções de uma
variável e visando facilitar o entendimento do aluno, as funções dessa parte da obra serão
apresentadas na forma y em função de x, ou seja,𝑦 = 𝑓(𝑥) . Assim a notação utilizada será 𝑦′ ou 𝑓(𝑥)′ que significam a 1ª derivada da função.
No entanto é relevante o discente assimilar que simbologia da função derivada pode ser apresentar
de diferentes formas:
𝑑𝑦
𝑑𝑥 ( notação de Leibniz)
𝑦′ 𝑓(𝑥)′
Todas essas simbolizando a primeira derivada.
Ou ainda na forma “marginal” (Mg), comum na economia aplicada, a exemplo:
CMg = custo marginal ( 1ª derivada do custo total)
RMg = receita marginal ( 1ª derivada da receita total)
Razão Incremental
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O quociente ∆𝑦
∆𝑥=
𝑓 𝑥0+∆𝑥 −𝑓(𝑥0)
∆𝑥 recebe o nome de taxa média de variação da função
quando 𝑥passa do valor 𝑥0 para o valor 𝑥0 + ∆𝑥 e expressa a variação média pelos valores da
função entre estes dois pontos, permitindo avaliar a variação de 𝑦 dada a variação de 𝑥 .
∆- variação; 𝒙𝟎- valor inicial; 𝒙𝟏- valor final; f(x) - função
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1.3 REGRAS BÁSICAS DE DERIVADAS
1.3.1 – REGRA DA FUNÇÃO CONSTANTE
A derivada de uma função constante, a qual não possui nenhuma variável, é zero.
Exemplos:
𝒚 = 𝟏𝟎
𝒚′ = 𝟎
𝒚 = −𝟕
𝒚′ = 𝟎
𝑪𝑭 = 𝟎,𝟓
𝑪𝑭′ = 𝟎
1.3.2 – REGRA DA FUNÇÃO POTÊNCIA
A derivada de uma função cuja variável está elevada a um expoente diferente de zero
(função exponencial) é obtida descendo o valor do expoente para a frente da função que fica
multiplicado pela variável elevada ao mesmo expoente subtraído de uma unidade.
Exemplos:
𝑦 = 𝑥3 𝑦′ = 3𝑥2
𝑦 = 𝑥−6
𝑦′ = −6𝑥−7
𝑦 = 𝑥1
2
𝑦′ =1
2𝑥−1
2
𝑦 = 𝐾 𝑦′ = 0
𝒚 = 𝒙𝒏 𝒚′ = 𝒏 ∗ 𝒙𝒏−𝟏
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1.3.3 – REGRA DA POTÊNCIA COM UMA CONSTANTE MULTIPLICATIVA
É uma variante da regra anterior apenas contendo um escalar a ser multiplicado pela
potência ao descer para frente da variável. Segue a regra anterior.
Exemplo:
𝑦 = 5𝑥4
𝑦′ = 20𝑥3
𝑦 = −3𝑥−4
𝑦′ = 12𝑥−5
1.3.4 – REGRA DO PRODUTO
Dado o produto entre duas funções (polinomiais). Identifica-se uma função f(x) como
primeira (1ª) e a outra função g(x) como segunda função (2ª). Então a função derivada é
obtida pela operação: derivada da 1ª função vezes a 2ª função na íntegra mais a 1ª função na
íntegra, vezes a derivada da 2ª função.
Exemplos:
𝑦 = 9𝑥2 − 2 ∗ (3𝑥 + 1)
𝑓 𝑥 = 9𝑥2 − 2 𝑔 𝑥 = 3𝑥 + 1
𝑓 ′ 𝑥 = 18𝑥 𝑔′ 𝑥 = 3
𝑦′ = 18𝑥 ∗ 3𝑥 + 1 + 9𝑥2 − 2 ∗ (3)
𝑦′ = 54𝑥2 + 18𝑥 + 27𝑥2 − 6
𝑦′ = 81𝑥2 + 18𝑥 − 6
𝒚 = 𝑲𝒙𝒏 𝒚′ = 𝒌 ∗ 𝒏𝒙(𝒏−𝟏)
𝒚 = 𝒇 𝒙 ∗ 𝒈 (𝒙)
𝒚′ = 𝒇′ 𝒙 ∗ 𝒈 𝒙 + 𝒇 𝒙 ∗ 𝒈′(𝒙)
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1.3.5 – REGRA DO QUOCIENTE
Dada uma função racional. Identifica-se a função do numerador, f(x), como primeira
(1ª) e a outra função do denominador, g(x), como segunda função (2ª). Então a função
derivada é obtida pela operação: derivada da 1ª função vezes a 2ª função na íntegra menos a 1ª
função na íntegra, vezes a derivada da 2ª função, tudo isso dividido pela 2ª função elevada ao
quadrado.
Exemplo:
𝑦 =(2𝑥 − 3)
(𝑥 + 1)
𝑓 𝑥 = 2𝑥 − 3 𝑔 𝑥 = 𝑥 + 1 𝑓 ′ 𝑥 = 2 𝑔′ 𝑥 = 1
𝑦′ =2 ∗ 𝑥 + 1 − 2𝑥 − 3 ∗ 1
𝑥 + 1 2=
2𝑥 + 2 − 2𝑥 + 3
𝑥 + 1 2
𝑦′ =5
𝑥 + 1 2
1.3.6 – REGRA DA FUNÇÃO EXPONENCIAL
A função derivada de uma função exponencial de base será obtida pelo produto entre a
derivada a função que se encontra no expoente pela própria base elevada a função na íntegra.
𝒚 =𝒇(𝒙)
𝒈(𝒙)
𝒚′ =𝒇′ 𝒙 ∗ 𝒈 𝒙 − 𝒇 𝒙 ∗ 𝒈′(𝒙)
𝒈 (𝒙) 𝟐
𝒚 = 𝒆𝒇(𝒙)
𝒚′ = 𝒇′ 𝒙 ∗ 𝒆𝒇(𝒙)
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Exemplo:
𝑦 = 𝑒3𝑥
𝑦′ = 3𝑒3𝑥
1.3.7– REGRA DA FUNÇÃO ln
A derivada de uma função ln é uma função racional no qual o numerador é a derivada
da função e o denominador é a função na íntegra.
Exemplo:
𝑦 = ln( 3𝑥2 + 2𝑥)
𝑦′ =6𝑥 + 2
(3𝑥2 + 2𝑥)
1.3.8 – REGRA DA CADEIA OU REGRA DA FUNÇÃO COMPOSTA
A regra da cadeia é um método de resolução, um artifício a ser utilizado nos seguintes
casos:
Funções compostas;
Polinômios elevados a expoentes altos;
Raiz de polinômios;
Funções racionais.
A idéia básica consiste em chamar parte da função por uma outra variável qualquer (ex:u)
a fim de utilizar as regras básicas da derivação.
Para o caso das funções compostas, tem-se:
𝒅𝒛
𝒅𝒙=𝒅𝒛
𝒅𝒚∗𝒅𝒚
𝒅𝒙
A derivada de Z em relação a variável x corresponde a derivada de Z com relação a y
vezes a derivada de y com relação a x.
𝒚 = 𝐥𝐧 𝒇(𝒙)
𝒚′ =𝒇′(𝒙)
𝒇(𝒙)
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Dadas às funções 𝑧 = 𝑓 𝑦 𝑒𝑦 = 𝑔(𝑥)
𝒅𝒛
𝒅𝒙=𝒅𝒛
𝒅𝒚∗𝒅𝒚
𝒅𝒙
Ex: Dado 𝑧 = 3𝑦2 𝑒 𝑦 = 2𝑥 + 5, achar 𝑑𝑧
𝑑𝑥:
𝑑𝑧
𝑑𝑦= 6𝑦;
𝑑𝑦
𝑑𝑥= 2
𝑑𝑧
𝑑𝑥=
𝑑𝑧
𝑑𝑦∗𝑑𝑦
𝑑𝑥
𝑑𝑧
𝑑𝑥= 6𝑦 ∗ (2)
Substitui o valor de 𝑦 no resultado da equação: 6𝑦 ∗ 2 = 12𝑦 , sendo 𝑦 = 2𝑥 + 5 ,
logo 𝑑𝑧
𝑑𝑥= 12 ∗ (2𝑥 + 5) .
Para os demais casos, chama-se parte da função de u .
Passos:
I. Chama parte da função de u
II. Reescreve a função em termos de u
III. Deriva a função em termos de u usando as regras básicas iniciais
IV. Multiplica pela derivada da parte da função que se chama de u .
𝒅𝒛
𝒅𝒙=𝒅𝒛
𝒅𝒖∗𝒅𝒖
𝒅𝒙
Ex: Dado 𝑧 = 4𝑥3 − 5)4 , achar 𝑑𝑧
𝑑𝑥 :
𝑢 = 4𝑥3 − 5; 𝑑𝑢
𝑑𝑥= 12𝑥2 𝑧 = 𝑢4;
𝑑𝑧
𝑑𝑢= 4𝑢3
𝑑𝑧
𝑑𝑥=
𝑑𝑧
𝑑𝑢∗𝑑𝑢
𝑑𝑥
𝑑𝑧
𝑑𝑥= 12𝑥2 ∗ 4𝑢3
Substituindo o valor de u no resultado da equação temos: 12𝑥2 ∗ 4(4𝑥3 − 5)3
48𝑥2(4𝑥3 − 5)3
1.3.9 – FUNÇÃO INVERSA
A derivada da função inversa é a inversa da derivada da função
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Ex: achar 𝑑𝑥
𝑑𝑦 de 𝑦 = 𝑒2𝑥2
𝑦 ′ = 4𝑥𝑒2𝑥2, logo
𝑑𝑥
𝑑𝑦= 1
4𝑥𝑒2𝑥2
1.4 REGRAS TRIGONOMÉTRICAS
1.4.1 – FUNÇÃO SENO
A derivado da função sin𝑓(𝑥) é o produto entre a derivada de 𝑓(𝑥)e cos 𝑓(𝑥).
Ex: 𝑦 = 𝑠𝑒𝑛(3𝑥 + 5)
𝑦′ = 3cos(3𝑥 + 5)
1.4.2 – FUNÇÃO COSSENO
A derivada da função cos 𝑓(𝑥) é o produto entre a derivada de – 𝑓(𝑥) e 𝑠𝑒𝑛𝑓(𝑥)
Ex: 𝑦 = cos(4𝑥 + 1)
𝑦′ = −4 cos(4𝑥 + 1)
1.4.3 – FUNÇÃO TANGENTE
A derivada da função tg 𝑓(𝑥) é o produto entre a derivada de 𝑓(𝑥) e 𝑠𝑒𝑐2𝑓(𝑥) .
𝒅𝒙
𝒅𝒚=
𝟏𝒅𝒚
𝒅𝒙
𝒚 = 𝒔𝒆𝒏𝒇(𝒙)
𝒚′ = 𝒇′ 𝒙 ∗ 𝒄𝒐𝒔𝒇(𝒙)
𝒚 = 𝒄𝒐𝒔𝒇(𝒙)
𝒚′ = −𝒇′ 𝒙 ∗ 𝒔𝒆𝒏𝒇(𝒙)
𝒚 = 𝒕𝒈 𝒇(𝒙)
𝒚′ = 𝒇′ 𝒙 ∗ 𝒔𝒆𝒄𝟐𝒇(𝒙)
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Ex: 𝑦 = 𝑡𝑔(𝑥2 + 1)
𝑦 ′ = 2𝑥𝑠𝑒𝑐2(𝑥2 + 1)
1.4.4 – FUNÇÃO COTANGENTE
A derivada da função 𝑐𝑜𝑡𝑔𝑓(𝑥) é o produto entre a derivada de – 𝑓(𝑥) e 𝑐𝑜𝑠𝑠𝑒𝑐2𝑓(𝑥).
Ex: 𝑦 = 𝑐𝑜𝑡𝑔(𝑥2 + 𝑥 + 4)
𝑦′ = 2𝑥 + 1 ∗ 𝑐𝑜𝑠𝑠𝑒𝑐2(𝑥2 + 𝑥 + 4)
𝒚 = 𝒄𝒐𝒕𝒈𝒇(𝒙)
𝒚′ = −𝒇′ 𝒙 ∗ 𝒄𝒐𝒔𝒔𝒆𝒄𝟐𝒇(𝒙)
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1.4.5 – FUNÇÃO SECANTE
A derivada da função sec 𝑓(𝑥) é o produto entre a derivada de 𝑓(𝑥) ,a sec𝑓(𝑥) e a 𝑡𝑔 𝑓(𝑥) .
Ex: 𝑦 = sec( 𝑥3 + 𝑥2)
𝑦′ = 3𝑥2 + 2𝑥 ∗ sec( 𝑥3 + 𝑥2) ∗ 𝑡𝑔 (𝑥3 + 𝑥2)
1.4.6 – FUNÇÃO COSSECANTE
A derivada da função 𝑐𝑜𝑠𝑠𝑒𝑐 𝑓(𝑥) é o produto entre a derivada de – 𝑓(𝑥), a 𝑐𝑜𝑠𝑠𝑒𝑐 𝑓(𝑥) e a
𝑐𝑜𝑡𝑔 𝑓(𝑥).
Ex: 𝑦 = 𝑐𝑜𝑠𝑠𝑒𝑐 (5𝑥2 + 2𝑥 + 10)
𝑦′ = 10𝑥 + 2 ∗ 𝑐𝑜𝑠𝑠𝑒𝑐 5𝑥2 + 2𝑥 + 10 ∗ 𝑐𝑜𝑡𝑔(5𝑥2 + 2𝑥 + 10)
1.5 DERIVADAS SUCESSIVAS
A segunda derivada é a função derivada obtida a partir da função primeira derivada.
Notações:
𝑓 ′′ 𝑥 ou 𝑦′′ ou 𝑑2𝑓
𝑑𝑥 2 ou
𝑑2𝑦
𝑑𝑥 2 2ª derivada
𝑓 ′′′ (𝑥) ou 𝑦′′′ ou 𝑑3𝑓
𝑑𝑥 3 ou 𝑑3𝑦
𝑑𝑥 3 3ª derivada
𝒚 = 𝐬𝐞𝐜 𝒇(𝒙)
𝒚′ = 𝒇′ 𝒙 ∗ 𝐬𝐞𝐜 𝒇(𝒙) ∗ 𝒕𝒈 𝒇(𝒙)
𝒚 = 𝒄𝒐𝒔𝒔𝒆𝒄 𝒇(𝒙)
𝒚′ = −𝒇′ 𝒙 ∗ 𝒄𝒐𝒔𝒔𝒆𝒄 𝒇 𝒙 ∗ 𝒄𝒐𝒕𝒈 𝒇(𝒙)
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1.6. APLICAÇÃO PRÁTICA EM ECONOMIA [A. P. E]
As decisões econômicas têm sido cada vez mais orientadas pela matemática, em face
de uma imensa quantidade de dados estatísticos, dependendo de centenas ou mesmo milhares
de variáveis. Nós economistas temos buscado ajuda em métodos matemáticos para descrever
o que está acontecendo, para prever os afeitos de várias políticas alternativas e decidir sobre
estratégias razoáveis entre um enorme número de possibilidades.
A seguir veremos alguns exemplos da aplicabilidade das derivadas dentro da realidade
econômica.
Após aprendermos o conteúdo de Derivadas em termos de matemática pura (MP) é
chegada a hora de visualizarmos onde e como o instrumental de derivadas é utilizado nas
abordagens econômicas de outras disciplinas.
Elasticidade
A elasticidade mede quanto uma variável pode ser afetada por outra, mais
especificamente, é um número que nos informa a variação percentual que ocorrerá em uma
variável como reação a um aumento de um ponto percentual em outra variável. Por exemplo,
a elasticidade-preço da demanda mede quanto a quantidade demandada pode ser afetada por
modificações no preço.
Dada uma função 𝑦 = 𝑓(𝑥), a elasticidade de 𝑦 em relação a 𝑥, em dado intervalo
𝑎, 𝑏 , é dada pela relação:
𝐸 =
∆𝑦
𝑦
∆𝑥
𝑥
, 𝑥 ∈ 𝑎,𝑏
que mede a variação percentual de 𝑦 em relação à variação percentual de 𝑥 . A
elasticidade de 𝑦 em relação a 𝑥 é uma maneira de medir a resposta de 𝑦 a variação de 𝑥 , no
intervalo considerado.
Uma dificuldade apresentada pela fórmula é que a elasticidade pode variar para
diferentes pontos do intervalo. Por outro lado, um mesmo ponto 𝑥,𝑦 apresenta elasticidades
distintas, dependendo do intervalo escolhido.
Uma maneira de resolver o problema é tomar o limite de 𝐸 quando ∆𝑥 → 0.
lim∆𝑥 →0
𝐸 = lim∆𝑥→0
𝐸
∆𝑦
𝑦
∆𝑥
𝑥
= lim∆𝑥→0
∆𝑦
∆𝑥∗𝑥
𝑦
Se 𝑦 é derivável no ponto 𝑥, a expressão:
𝐸𝑥 =𝑑𝑦
𝑑𝑥∗𝑥
𝑦
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Mede a elasticidade de 𝑦 em relação a 𝑥 no ponto 𝑥, 𝑦 . Pelo fato de ser um valor
marginal,𝐸𝑥 mede a tendência da resposta de 𝑦 a variação de 𝑥.
Se 𝐸𝑥 = 1, diz-se que a elasticidade de 𝑦 em relação a 𝑥 é unitária.
Se 𝐸𝑥 > 1 , diz-se que a curva examinada é elástica em relação ao fator 𝑥.
Se 𝐸𝑥 < 1, a curva é inelástica em relação a este fator.
Ex: Calcular e interpretar o valor da elasticidade da procura:
𝑞 = 12 − 0,4𝑝, ao nível de preço 𝑝 = 5,00
Solução: 𝐸𝑝 =𝑑𝑞
𝑑𝑝∗𝑝
𝑞 , onde
𝑑𝑞
𝑑𝑝= −0,4
Como 𝑝 = 5 → 𝑞 = 12 − 0,4 ∗ 5 = 10
Portanto: 𝐸𝑝 = −0,4 ∗5
10 ou 𝐸𝑝 = −0,2
Interpretação: A tendência da procura é diminuir em 20% a alteração ocorrida no
preço, a partir do nível 𝑝 = 5,00.
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Funções marginais
a. Produto marginal: É o volume de produção adicional gerado ao acrescentar uma
unidade de determinado insumo.
Ex(produção)
: seja 𝑝 = 1,05𝐾2 + 10𝐾 − 0,02𝐾3 a produção (𝑝) de uma empresa em
função do insumo capital (𝐾). Calcular o produto marginal 𝑑𝑝
𝑑𝐾 e interpretar em valor ao nível
𝐾 = 10.
Solução: 𝑑𝑝
𝑑𝐾= 2,1𝐾 + 10 − 0,06𝐾2
Para encontrar o produto marginal é necessário substituir o nível de k na função
produção: 𝑑𝑝
𝑑𝐾= 2,1 10 + 10 − 0,06(10)2
𝑑𝑝
𝑑𝐾= 25
Interpretação: Ao nível 𝐾 = 10, a tendência da produção é aumentar 25 vezes o
acréscimo em 𝐾.
b. Custo marginal: às vezes definido como custo incremental, é o aumento de custo
ocasionado pela produção de uma unidade adicional de produto. Uma vez que o custo
fixo não apresenta variação quando ocorrem alterações no nível de produção da
empresa, o custo marginal é apenas o aumento no custo variável ou o aumento do
custo total ocasionado por uma unidade extra de produto.
Ex(custo)
: seja 𝐶𝑡 = 5000 + 90𝑞 + 30𝑞2 + 4𝑞3 o custo total do mês de uma empresa
com o nível mensal de produção 𝑞. Calcular o custo marginal 𝑑𝑐𝑡
𝑑𝑞 e interpretar esse
resultado ao nível 𝑞 = 100
Solução:
𝑑𝑐𝑡𝑑𝑞
= 90 − 60𝑞 + 12𝑞2
Substituindo valores: 𝑑𝑐𝑡
𝑑𝑞= 90 − 60 ∗ 100 + 12 ∗ (100)2
𝑑𝑐𝑡𝑑𝑞
= 114090
Interpretação: A tendência do custo ao nível q=100 é aumentar 114090
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c. Receita marginal: é o acréscimo na receita total devido à venda de uma unidade
adicional do produto.
𝐸𝑥(𝑟𝑒𝑐𝑒𝑖𝑡𝑎 ): Seja 𝑅 = 𝑥2 + 200𝑥 + 20 a receita total da venda de x unidades de um produto.
Calcule a receita marginal para 𝑥 = 20.
𝑅′ 𝑥 = 2𝑥 + 200
𝑅′ 20 = 2 ∗ 20 + 200 = 240
Interpretação: Se houver a venda de 21 produtos a receita total aumenta em aproximadamente
R$ 240,00.
d. Lucro marginal: é a variação do lucro devido ao acréscimo de uma unidade na
produção.
𝐸𝑥(𝑙𝑢𝑐𝑟𝑜 ): Seja receita na venda de x unidades do produto: 𝑅 = −0,4𝑞2 + 400𝑞 e Custo de
produção de x unidades do produto: 𝐶 = 80𝑞 + 28000. Calcule o lucro marginal para
𝑥 = 300.
𝑙𝑢𝑐𝑟𝑜 = 𝑅𝑒𝑐𝑒𝑖𝑡𝑎 − 𝑐𝑢𝑠𝑡𝑜
𝐿 = −0,4𝑞2 + 400𝑞 − 80𝑞 − 28000
𝐿 = −0,4𝑞2320𝑞 − 28000
𝐿′ = −0,8𝑞 + 320
𝐿′ 300 = −0,8 ∗ 300 + 320 = −240 + 320 = 80
Interpretação: Se houver a venda e a produção de 301 unidades do produto o lucro aumenta
em aproximadamente R$ 80,00.
Taxa marginal de substituição
Entende-se por taxa marginal de substituição (TMS) a variação necessária da quantidade
de um bem que compensa a variação da quantidade de outro bem, para que se mantenha
constante o nível de satisfação ou de utilidade do consumidor. Em suma, a necessidade de
compensação entre perdas e ganhos de utilidade, ao se modificarem as combinações dos bens
que nos leva a uma noção de taxa marginal de substituição.
Como essa taxa procura mostrar um sentindo de compensação e como, por hipótese, a
combinação dos bens indica a possibilidade de substituição, para que se mantenha a utilidade
constante, à medida que 𝑦 perde participação, deve-se, reciprocamente, aumentar a
participação de 𝑥. Assim sendo, a taxa marginal de substituição vai sempre relacionar duas
variações, uma delas, porém representando um decréscimo e a outra um acréscimo.
Símbolo: 𝑇𝑀𝑆𝑥𝑦 →𝜕𝑦
𝜕𝑥= 𝑈𝑀𝑔𝑥 / 𝑈𝑀𝑔𝑦𝑜𝑢 𝑇𝑀𝑆 = −
Δ𝑦
Δ𝑥
Onde: −∆𝑦- decréscimo de participação do bem 𝑦 na combinação.
+∆𝑥 - acréscimo da participação do bem 𝑥 na combinação.
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I.C: Havendo um sinal negativo no numerador e um positivo no denominador, toda relação passa
a ter sinal negativo, o que representa a inclinação negativa da curva de indiferença.
Ex: Dada a função utilidade 𝑈 = 𝑥 + 𝑦, determine a taxa marginal de substituição de 𝑦 por 𝑥.
Solução: 𝑇𝑀𝑆𝑥𝑦 →𝜕𝑦
𝜕𝑥= 𝑈𝑀𝑔𝑥 / 𝑈𝑀𝑔𝑦 , logo
𝑇𝑀𝑆 = 1 0,5𝑦−0,5
𝑇𝑀𝑆 = 𝑦2
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1.7 A RELAÇÃO ENTRE DERIVADAS E OTIMIZAÇÃO DE FUNÇÕES DE UMA
VARIÁVEL: MÁXIMOS E MÍNIMOS
1.7.1 – INTRODUÇÃO
Abordagem sobre otimização: escolher a melhor alternativa disponível com base em
critério especificado.
Otimização: Maximização e Minimização
Ex:. aplicação na microeconomia
1.7.2 – INTERVALOS DE CRESCIMENTO E CONCAVIDADE
Obs: Para funções de 2º Grau (Quadráticas).
Para 𝑦 = 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐
Com a > 0, Admite ponto mínimo e concavidade para cima.
Para 𝑦 = −𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐
Com a < 0, Admite ponto máximo e concavidade para baixo.
1.7.3 – PONTO EXTREMO
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Extremo Absoluto X Extremo Relativo
Ou é um ponto relativo ou um extremo relativo da função – conhecendo todos os pontos
relativos bastará selecionar o mais acentuado entre eles.
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Referência local: o ponto representa um extremo apenas na vizinhança imediata do ponto.
1.7.4 – TESTE DA 1ª DERIVADA
É a CN = Condição Necessária
A 1ª derivada indica a inclinação.
Pontos extremos relativos somente podem ocorrer onde a 1ª derivada for zero. Se o ponto é
extremo significa que uma reta tangente o intercepta neste ponto, então não há declividade.
Não há inclinação nestes pontos.
Ex.: Nos pontos C e D.
𝑓 ′ 𝑥 = 0
Classificação:
- Será um máximo: se o sinal da derivada f’(x) mudar de positivo para negativo da esquerda
para direita imediata.
- Será um mínimo: se o sinal da derivada f’(x) mudar de negativo para positivo da esquerda
para a direita imediata.
- Ponto de inflexões: Nem máximo, nem mínimo. Se o sinal se mantiver o mesmo tanto na
esquerda imediata quanto na direita imediata.
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Obs: um ponto estacionário pode ser um extremo relativo ou um ponto de inflexão. A
importância para as questões de otimização em economia está nos pontos extremos.
Exemplos
I. Achar os extremos relativos de 𝑦 = −2𝑥2 + 8𝑥 + 7 e construir o gráfico:
𝑦 = −2𝑥2 + 8𝑥 + 7
𝑦 ′ = −4𝑥 + 8
𝐶𝑁: − 4𝑥 + 8 = 0
4𝑥 = 8
𝑥 = 2
Substituindo para achar y
𝑦 = −2 ∗ (2)2 + 8 ∗ 2 + 7
𝑦 = −8 + 167 = 15
II. Achar o extremo relativo de 𝑦 = 5𝑥2 + 𝑥 e construir o gráfico:
𝑦 = 5𝑥2 + 𝑥
𝑦 ′ = 10𝑥 + 1
𝐶𝑁: 10𝑥 + 1 = 0
10𝑥 = −1
𝑥 = −1
10= −0,1
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Substituindo para achar y
𝑦 = 5 ∗ − 1
10
2
+ −1
10
𝑦 = −5
100−
1
10= −
5
100−
10
100= −
15
100= −0,15
III. Achar os extremos relativos da função e construir o gráfico:
𝑦 = 𝑥3 − 12𝑥2 + 36𝑥 + 8
𝑦′ = 3𝑥2 − 24𝑥 + 36
𝐶𝑁: 3𝑥2 − 24𝑥 + 36 = 0
𝑥 =24 ± (24)2 − 4 ∗ 3 ∗ (36)
6=
24 ± 576 − 432
6=
24 ± 144
6
𝑥 =24 ± 12
6
𝑥1 = 6 𝑒 𝑥 2 = 2 Substituindo para achar y
Para 𝑥 = 6: (6)3 − 12 ∗ (6)2 + 36 ∗ 6 + 8
= 216 − 432 + 216 + 8 = 8
Para 𝑥 = 2: (2)3 − 12 ∗ (2)2 + 36 ∗ 2 + 8
= 8 − 48 + 72 + 8 = 40
1.7.5 – TESTE DA 2ª DERIVADA
𝑓 ′′ 𝑥 𝑜𝑢 𝑑2𝑦
𝑑𝑥2
Mede a taxa de variação da função e informa sobre a curvatura do gráfico. Na verdade a
𝑓 ′′ (𝑥) mede a taxa de mudança da função original.
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É a CS = Condição Suficiente
Se 𝑓 ′′ (𝑥) < 0; concavidade voltada para baixo
Côncava e admite ponto máximo
Se 𝑓 ′′ (𝑥) > 0; concavidade voltada para cima
Convexa e admite ponto mínimo
Exemplos
I. Achar as coordenadas do ponto extremo e classificar:
𝑦 = 𝑥2 − 10
𝑦′ = 2𝑥
𝐶𝑁: 2𝑥 = 0
𝑥 = 0 Substituindo e achando y
𝑦 = (0)2 − 10
𝑦 = −10
𝑦′′ = 2
𝐶𝑆: 2 > 0, logo é um ponto mínimo relativo.
II. Achar as coordenadas do ponto extremo e classificar:
𝑦 = −2𝑥2 + 8𝑥 + 25
𝑦′ = −4𝑥 + 8
𝐶𝑁: − 4𝑥 + 8 = 0 4𝑥 = 8
𝑥 = 2
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Substituindo e achando y
𝑦 = −2 ∗ (2)2 + 8 ∗ 2 + 25
𝑦 = −8 + 16 + 25 = 33
𝑦′′ = −4𝐶𝑆:−4 < 0, logo é um ponto máximo relativo.
Guia Prático
1º: Achar a 1ª derivada
2º: Aplicar a CN: 𝑦 = 0
3º: Achar o(s) valor(es) de x
4º: Substituir para achar y
5º: Aplicar a CS: 𝑦′′2
2 Obs.: Se necessário substituir o valor de x na 2ª derivada.
Se 𝑦′′ > 0 → 𝑎𝑑𝑚𝑖𝑡𝑒 𝑝𝑜𝑛𝑡𝑜 𝑚í𝑛𝑖𝑚𝑜
Se 𝑦′′ < 0 → 𝑎𝑑𝑚𝑖𝑡𝑒 𝑝𝑜𝑛𝑡𝑜 𝑚á𝑥𝑖𝑚𝑜
Informações no gráfico:
Valor de x: no Dm (eixo x)
Valor de y: na Im (eixo y)
“c” é o valor no qual o gráfico cota o eixo y. Ponto correspondente às coordenadas do Extremo e auxilia
para traçar a trajetória do gráfico.
1.7.6 – APE – PROBLEMA DE OTIMIZAÇÃO
Condições para maximizar o lucro
𝜋 = 𝑅 𝑄 − 𝐶 𝑄 𝑜𝑢 𝑙𝑢𝑐𝑟𝑜 = 𝑅𝑒𝑐𝑒𝑖𝑡𝑎 𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙 − 𝑐𝑢𝑠𝑡𝑜 𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙
1ª derivada: é a condição necessária para ser um ponto extremo. 𝑑𝜋
𝑑𝑄= 𝜋′ = 𝑅′ 𝑄 − 𝐶 ′ 𝑄 = 0
𝑅′ 𝑄 → 𝑅𝑀𝑔
𝐶′(𝑄) → 𝐶𝑀𝑔
2ª derivada: é a condição suficiente e para ser máximo a 2ª derivada < 0.
𝑑2𝜋
𝑑𝑄2= 𝜋′′ = 𝑅′′ 𝑄 − 𝐶′′ 𝑄 < 0
𝑅′′ (𝑄) < 𝐶′′ (𝑄)
Ex.: Dados 𝑅 𝑞 = 1000𝑞 − 2𝑞2 e 𝐶 𝑞 = 𝑞3 − 59𝑞2 + 315𝑞 + 2000 . Achar o valor de 𝑞
e do lucro máximo:
𝜋 = 𝑅 𝑞 − 𝐶 𝑞 𝜋 = 1000 − 2𝑞2 − 𝑞3 + 59𝑞2 − 315𝑞 − 2000
𝜋 = −𝑞3 + 57𝑞2 − 315𝑞 − 2000
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1ª Condição: 𝑑𝜋
𝑑𝑞= 0 → −3𝑞2 + 114𝑞 − 315 = 0
=−114 ± (114)2 − 4 ∗ −3 ∗ (−315)
−6=−114 ± 12996 − 3780
. 6
=−114 ± 96
−6
𝑞1 = 35 𝑒 𝑞2 = 3 Substituindo para achar o lucro:
Para 𝑞 = 3: 𝜋 = (−3)3 + 57 ∗ (3)2 − 315 ∗ 3 − 2000
𝜋 = −27 + 513 − 945 − 2000 = −2459 prejuízo
Para 𝑞 = 35: 𝜋 = (−35)3 + 57 ∗ (35)2 − 315 ∗ 35 − 2000
𝜋 = −42875 + 69825 − 11025 − 2000 = 13925 lucro
2ª condição
𝑑2𝑞
𝑑𝑞2= −6𝑞 + 114 < 0
Para 𝑞 = 3: − 6 ∗ 3 + 114 = −18 + 114 = 96
Para 𝑞 = 35:−6 ∗ 35 + 114 = −96
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APÊNDICE A TEOREMA DE L’HOSPITAL:
A regra de L'Hospital, também por vezes denominada regra de Cauchy, tem por
objetivo calcular o limite de frações nos casos em que há indeterminações, ou seja, calcular
limites de formas indeterminadas.
Forma Indeterminada do tipo 𝟎
𝟎 e
∞
∞
Seja 𝑓 𝑥 𝑒 𝑔(𝑥) e funções diferenciáveis, se 𝑓 𝑥 = 0 𝑒 𝑔 𝑥 = 0 ou lim𝑥→𝑎 𝑓 𝑥 = ∞ e
lim𝑥→𝑎 𝑔 𝑥 = ∞ .
Diremos que o limite tem a forma indeterminada , se o quociente de funções reais está
definido em um conjunto da forma I – {a} (sendo I um intervalo, e a uma extremidade ou
ponto interior de I), e são contínuas e deriváveis para x ≠ a, e .
Diremos que o limite tem a forma indeterminada , se o quociente de funções reais está
definido em um conjunto da forma I – {a} (sendo I um intervalo, e a uma extremidade ou
ponto interior de I), e são contínuas e deriváveis para x ≠ a, e .
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Referências Bibliográficas BIANCHINI, Edwaldo; PACCOLA, Herval. Matemática. São Paulo: Moderna, 1989.
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VERAS, Lília L. Matemática Aplicada à Economia. São Paulo: Atlas, 2011.
WAGNER, Eduardo. Matemática. - Rio de Janeiro: Editora FGV, 2011.