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Carrés magiquesCarrés magiquesd'ordre 4d'ordre 4
Aimé Lachal & Pierre Schott
INSA de Lyon – 4 avril 2016
MATH & MAGIE (II)
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Carrés d'ordre 4Carrés d'ordre 4et cultureet culture
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Carrés d'ordre 4 dans l'histoire
En Inde
→→ Dans le temple jaïn de Parshvanath (Khajurâho, 954)
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En Perse
→→ Encyclopédie de la Fraternité de la Pureté (Rasā’il I wān al- afā’ – ḫ Ṣ .(Bagdad, 983 ,رسائل إخوان الصفا
Carrés d'ordre 4 dans l'histoire
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En Europe
Henri Corneille Agrippa (1486–1535)
Écrivain occultiste, théologien, astrologue et alchimiste allemand.
→→ Œuvre célèbre : « De Occulta Philosophia »
→→ Il associe aux sept planètes connues sept carrés magiques
Carrés d'ordre 4 dans la religion
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Carré de Jupiter
Carrés d'ordre 4 dans la religion
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Ce sont tous des carrés « normaux » !
(contenant des entiers successifs)
Pour un carré d'ordre n contenant 1,2,...,n2
la « somme magique » vaut
Ici, pour n = 4, la somme magique vaut 34
n(n² + 1)12
34
Carrés d'ordre 4 dans la religion
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Albrecht Dürer (1471–1528)
Peintre, graveur allemand.
→→ Œuvre célèbre : « Melencolia » (1514)
Carrés d'ordre 4 dans l'art
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Somme magique 34Date 1514
Carrés d'ordre 4 dans l'art
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Carrés magiques dans l'artCarrés d'ordre 4 dans l'art
Dans le carré de Dürer…
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Somme par ligne →→ 34
Carrés magiques dans l'artCarrés d'ordre 4 dans l'art
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Carrés d'ordre 4 dans l'art
Somme par ligne →→ 34
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Carrés d'ordre 4 dans l'art
Somme par ligne →→ 34
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Carrés d'ordre 4 dans l'art
Somme par ligne →→ 34
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Carrés d'ordre 4 dans l'art
Somme par colonne →→ 34
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Carrés d'ordre 4 dans l'art
Somme par colonne →→ 34
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Carrés d'ordre 4 dans l'art
Somme par colonne →→ 34
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Carrés d'ordre 4 dans l'art
Somme par colonne →→ 34
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Carrés d'ordre 4 dans l'art
Somme par diagonale →→ 34
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Carrés d'ordre 4 dans l'art
Somme par diagonale →→ 34
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Carrés d'ordre 4 dans l'art
Somme par carré →→ 34
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Carrés d'ordre 4 dans l'art
Somme par carré →→ 34
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Carrés d'ordre 4 dans l'art
Somme par carré →→ 34
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Carrés d'ordre 4 dans l'art
Somme par carré →→ 34
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Carrés d'ordre 4 dans l'art
Somme par carré →→ 34
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Carrés d'ordre 4 dans l'art
Somme par carré →→ 34
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Carrés d'ordre 4 dans l'art
Somme par carré →→ 34
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Carrés d'ordre 4 dans l'art
Somme par carré →→ 34
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Carrés d'ordre 4 dans l'art
Somme par carré →→ 34
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Carrés d'ordre 4 dans l'art
Somme par carré →→ 34
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Carrés d'ordre 4 dans l'art
Somme par rectangle →→ 34
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Carrés d'ordre 4 dans l'art
Somme par rectangle →→ 34
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Somme par rectangle →→ 34
Carrés d'ordre 4 dans l'art
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Carrés magiques dans l'artCarrés d'ordre 4 dans l'art
Somme par rectangle →→ 34
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Carrés d'ordre 4 dans l'art
Somme par rectangle →→ 34
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Carrés d'ordre 4 dans l'art
Somme par rectangle →→ 34
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Carrés d'ordre 4 dans l'art
Somme par rectangle →→ 34
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Carrés d'ordre 4 dans l'art
Somme par rectangle →→ 34
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Carrés d'ordre 4 dans l'art
Somme par rectangle →→ 34
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Carrés d'ordre 4 dans l'art
Somme par rectangle →→ 34
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Carrés d'ordre 4 dans l'art
Somme par parallélogramme →→ 34
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Carrés d'ordre 4 dans l'art
Somme par parallélogramme →→ 34
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Carrés d'ordre 4 dans l'art
Somme par parallélogramme →→ 34
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Carrés d'ordre 4 dans l'art
Somme par parallélogramme →→ 34
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Carrés d'ordre 4 dans l'art
Somme par parallélogramme →→ 34
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Carrés d'ordre 4 dans l'art
Somme par parallélogramme →→ 34
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Carrés d'ordre 4 dans l'art
Somme par parallélogramme →→ 34
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Carrés d'ordre 4 dans l'art
Somme par parallélogramme →→ 34
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Carrés d'ordre 4 dans l'art
Somme par pandiagonale →→ 34
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Carrés d'ordre 4 dans l'art
Somme par pandiagonale →→ 34
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En résumé
Carrés d'ordre 4 dans l'art
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Et tous les autres…
Carrés d'ordre 4 dans l'art
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C'est un carré « polymagique » !
Parmi les combinaisons
de 4 nombres parmi 16,il y a 86 quadruplets de somme 34
(164 )=1820
Carrés d'ordre 4 dans l'art
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René Descombes (1924– )
Ingénieur des Travaux Publics français.
→→ Nombreux ouvrages : « Les carrés magiques » (2000) « La magie du carré » (2004) « Le carré naturel » (2011)
Carrés d'ordre 4 dans l'art
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Une application au codage
Transmission d'informationà l'aide d'un carré magique :
grand nombre de relationsde contrôle implicites
→→ Détection d'erreurs de transmission plus sensible
→→ Évite d'envoyer des contrôles de redondance surnuméraires
→→ Excellent rendement !
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Josep Maria Subirachs (1927–2014)
Sculpteur et peintre catalan.
→→ Œuvre célèbre : façade de la passion sur la basilique de la Sagrada Familia (Barcelone, démarrée en 1987)
Carrés d'ordre 4 dans l'art
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Somme magique 33
Carrépolymagique
Carrés d'ordre 4 dans l'art
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ConstructionConstructionde carrés magiquesde carrés magiques
d'ordre 4d'ordre 4
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Construction des carrés d'ordre 4
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→→ Remarque préliminaire
La somme magiqueest nécessairement
S = A + B + C + D
Construction des carrés d'ordre 4
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Construction des carrés d'ordre 4
Une explication en couleurs
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⇒
Construction des carrés d'ordre 4
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Remplissage progressif
Construction des carrés d'ordre 4
À partir du carré central→→ A,B,C,D
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Construction des carrés d'ordre 4
Remplissage progressif
1 paramètres→→ a
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Construction des carrés d'ordre 4
Remplissage progressif
2 paramètres→→ a,b
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Construction des carrés d'ordre 4
Remplissage progressif
3 paramètres→→ a,b,c
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Construction des carrés d'ordre 4
Remplissage progressif
3 paramètres→→ a,b,c
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Construction des carrés d'ordre 4
Remplissage progressif
4 paramètres→→ a,b,c,d
![Page 69: MATH MAGIE (II) - scd.docinsa.insa-lyon.frscd.docinsa.insa-lyon.fr/.../files/mathemagie_2016_carres_magiques... · « La magie du carré » (2004) « Le carré naturel » (2011)](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022020303/5b96cb2e09d3f27e758bf3f6/html5/thumbnails/69.jpg)
Construction des carrés d'ordre 4
Remplissage progressif
4 paramètres→→ a,b,c,d
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Forme de Berholt
Carré de somme magique
A+B+C+D
→→ Espace vectoriel de dimension 8
Construction des carrés d'ordre 4
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Un carréUn carrémagique normalmagique normal
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Construction d'un carré normal
Remplissage symétrique inversé
i ↔ 17 – i i ↔ 17 – i
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Diagonales conservées
Diagonales retirées
Construction d'un carré normal
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Construction d'un carré normal
Diagonales conservées
Diagonales retirées
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Après superposition…
Construction d'un carré normal
![Page 76: MATH MAGIE (II) - scd.docinsa.insa-lyon.frscd.docinsa.insa-lyon.fr/.../files/mathemagie_2016_carres_magiques... · « La magie du carré » (2004) « Le carré naturel » (2011)](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022020303/5b96cb2e09d3f27e758bf3f6/html5/thumbnails/76.jpg)
Un carré normal de somme 34
(Dürer & Jupiteraprès permutationde ligne/colonne)
Construction d'un carré normal
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Explication par ligne
→→ Complémentarité
Construction d'un carré normal
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Explication par colonne
Construction d'un carré normal
![Page 79: MATH MAGIE (II) - scd.docinsa.insa-lyon.frscd.docinsa.insa-lyon.fr/.../files/mathemagie_2016_carres_magiques... · « La magie du carré » (2004) « Le carré naturel » (2011)](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022020303/5b96cb2e09d3f27e758bf3f6/html5/thumbnails/79.jpg)
Explication par colonne
→→ Complémentarité
Construction d'un carré normal
![Page 80: MATH MAGIE (II) - scd.docinsa.insa-lyon.frscd.docinsa.insa-lyon.fr/.../files/mathemagie_2016_carres_magiques... · « La magie du carré » (2004) « Le carré naturel » (2011)](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022020303/5b96cb2e09d3f27e758bf3f6/html5/thumbnails/80.jpg)
Complément :Formule explicite des éléments du carré
Construction d'un carré normal
Élément situésur la ie ligne et je colonne :
● hors de la diagonale : 21 – 4i – j● sur la 1re diagonale (j = i) : 5i – 4● sur la 2e diagonale (j = 5 – i) : 3i + 1
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Bernard Frénicle de Bessy(1605–1675)
Mathématicien français.
→→ « Des quarrez ou tables magiques » (1693)
→→ Dénombrement de tousles carrés d'ordre 4
Construction d'un carré normal
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Bernard Frénicle de Bessy(1605–1675)
Mathématicien français.
→→ « Table généraleDes quarrez de quatre »
La première page…
Construction d'un carré normal
![Page 83: MATH MAGIE (II) - scd.docinsa.insa-lyon.frscd.docinsa.insa-lyon.fr/.../files/mathemagie_2016_carres_magiques... · « La magie du carré » (2004) « Le carré naturel » (2011)](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022020303/5b96cb2e09d3f27e758bf3f6/html5/thumbnails/83.jpg)
…et toutes les autres !
Construction d'un carré normal
![Page 84: MATH MAGIE (II) - scd.docinsa.insa-lyon.frscd.docinsa.insa-lyon.fr/.../files/mathemagie_2016_carres_magiques... · « La magie du carré » (2004) « Le carré naturel » (2011)](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022020303/5b96cb2e09d3f27e758bf3f6/html5/thumbnails/84.jpg)
La page finale…
Il y a 880 carrés magiques d'ordre 4
(à 8 rotations/symétries près)
Construction d'un carré normal
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Une application en ROOrganisation d'un planning
d'examens oraux
Répartition quotidienne candidat/examinateur
Données
34 candidats doivent passerune épreuve orale
devant chacun de 4 examinateursdurant 4 jours
à raison d'une épreuve par jour
Problème
→ → Attribuer à chaque candidatun calendrier jour/examinateur
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Une application en RO
Un algorithme d'affectation
→→ Principe : à chaque candidat, on attribue un planning « jour/examinateur »
● On sélectionne sur chaque ligne le plus grand (si possible) nombre de manière à ce qu'aucun des 4 ne soit sur la même colonne
● On choisit le plus petit de ces 4 nombres : m● On soustrait au carré initial m fois le carré des positions
des 4 nombres précédents (carré ne contenant que des 0excepté quatre 1 répartis un par ligne et 1 par colonne)
● On réitère le procédé avec le carré ainsi obtenu
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Une application en RO
![Page 88: MATH MAGIE (II) - scd.docinsa.insa-lyon.frscd.docinsa.insa-lyon.fr/.../files/mathemagie_2016_carres_magiques... · « La magie du carré » (2004) « Le carré naturel » (2011)](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022020303/5b96cb2e09d3f27e758bf3f6/html5/thumbnails/88.jpg)
Une application en RO
![Page 89: MATH MAGIE (II) - scd.docinsa.insa-lyon.frscd.docinsa.insa-lyon.fr/.../files/mathemagie_2016_carres_magiques... · « La magie du carré » (2004) « Le carré naturel » (2011)](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022020303/5b96cb2e09d3f27e758bf3f6/html5/thumbnails/89.jpg)
Une application en RO
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Une application en RO
⇒
![Page 91: MATH MAGIE (II) - scd.docinsa.insa-lyon.frscd.docinsa.insa-lyon.fr/.../files/mathemagie_2016_carres_magiques... · « La magie du carré » (2004) « Le carré naturel » (2011)](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022020303/5b96cb2e09d3f27e758bf3f6/html5/thumbnails/91.jpg)
Une application en RO
→→ On attribuera :
le calendrier C1 à 11 élèves
le calendrier C2 à 9 élèves
le calendrier C3 à 5 élèves
le calendrier C4 à 4 élèves
le calendrier C5 à 3 élèves
le calendrier C6 à 1 élève
le calendrier C7 à 1 élève
l
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Une application en RO
Théorème de Birkhoff-von Neumann(1946 – 1953)
Tout matrice semi-magique d'ordre n est décomposable en combinaison linéaire
à coefficients positifs d'au plus (n – 1)2 +1 matrices de permutation.
Garrett Birkhoff(1911-1996)
John von Neumann(1903-1957)
Explication : un joli théorème…
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Carrés magiquesCarrés magiquesd'ordre supérieurd'ordre supérieur
et autres et autres figures magiques…figures magiques…
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➢ Ordre impair➢ Ordre pair (cas n = 4p et n = 4p+2)
➢ Carré polymagique (sous-carrés…)
➢ Carré diabolique :panmagique (pandiagonale…)
➢ Carré satanique (puissances) :bimagique, trimagique…
➢ Étoile, cercle, cube magique…
Autres carrés et figures magiques
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➢ Algèbre linéaire➢ Calcul matriciel➢ Arithmétique➢ Combinatoire➢ Géométrie…
Mathématiques des carrés magiques
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➢ Wikipédiahttps://fr.wikipedia.org/wiki/Carré\_magique\_(mathématiques)
➢ Gérard Villeminhttp://villemin.gerard.free.fr/Wwwgvmm/CarreMag/CMIntro.htm
➢ Christian Boyer http://www.multimagie.com
➢ René Descombeshttp://www.kandaki.com/CM-Index.htm
Et bien d'autres !
Quelques références