Download - Math: systems (French)
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Ch1.
Aperçugénéral
LinéairLinéarité
La droite
Quadratique
SystèmesDéfinition
Signification
Substitution
Combination
Gauss
Gauss-Jordan
Types de systèmes
Paramètre
Exercices
CURRICULUM VITAE STEVE DE RIDDER
Fmn Civ suivie:. . . - 1998 : gréco-latine
(Sint-Maarteninstituut à Alost)2008 - 2010 : Master Informatique Appliquée
(Vrije Universiteit Brussel)Fmn Mil suivie:
18 Sep 1998 - 01 Déc 2002 : Formation ERM(138ième Prom ”Toutes Armes” - SSMW)
01 Déc 2002 - Jan 2004 : Ecole d’arme Inf, CIS, . . .25 Oct 2004 - 18 Nov 2004 : AI EPS30 Jan 2006 - 17 Fév 2006 : FBEM phase joint12 Mar 2007 - 30 Mar 2007 : FBEM phase composante de terre
Fonctions:Jan 2004 - 20 Feb 2006 : 2 Gp CIS (HAASDONK)
Comd Pl SLD (Short and Long Distance)26 Sep 2004 : nomination lieutenant20 Fév 2006 - 16 Avr 2007 : 2 Gp CIS (HAASDONK) AS3 Ops15 Sep 2006 - 12 Féb 2007 : BELUFIL I (TIBNIN - LEB) S616 Avr 2007 - . . . : ERM (BRUXELLES)
répétiteur militaire Dépt Mathématiques26 Sep 2009 : nomination capitaine
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Types de systèmes
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CHAPITRE 1: EQUATIONS LINÉAIRES ET
QUADRATIQUES - SYSTÈME LINÉAIRE
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Ch1.
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La droite
Quadratique
SystèmesDéfinition
Signification
Substitution
Combination
Gauss
Gauss-Jordan
Types de systèmes
Paramètre
Exercices
APERÇU
FONCTIONS LINÉAIRES:linéaritééquation de la droite dans le plan
FONCTIONS QUADRATIQUES:définitionrésoudre une équation quadratique
SYSTÈME D’ÉQUATIONS LINÉAIRES:
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Signification
Substitution
Combination
Gauss
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FONCTIONS LINÉAIRES:linéaritééquation de la droite dans le plan
FONCTIONS QUADRATIQUES:définitionrésoudre une équation quadratique
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APERÇU
FONCTIONS LINÉAIRES:linéaritééquation de la droite dans le plan
FONCTIONS QUADRATIQUES:définitionrésoudre une équation quadratique
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Substitution
Combination
Gauss
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APERÇU
FONCTIONS LINÉAIRES:
FONCTIONS QUADRATIQUES:
SYSTÈME D’ÉQUATIONS LINÉAIRES:définitionsignificationrésolution
par substitutionpar combinaison linéairepar Gausspar Gauss-Jordan
système avec paramètre
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Signification
Substitution
Combination
Gauss
Gauss-Jordan
Types de systèmes
Paramètre
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LINÉARITÉ
DÉFINITION
y dépend linéairement de x0, x1, . . . , xn s’il y a desconstantes a0, a1, . . . , an tel que
y = a0x0 + a1x1 + . . . anxn
ex. 1.y = 3 +
14
x − 2z
ex. 2. non linéaire
y = 3 +14
x − 2xz
y = 3 +14
x2 − 2z
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Signification
Substitution
Combination
Gauss
Gauss-Jordan
Types de systèmes
Paramètre
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LINÉARITÉ
DÉFINITION
y dépend linéairement de x0, x1, . . . , xn s’il y a desconstantes a0, a1, . . . , an tel que
y = a0x0 + a1x1 + . . . anxn
ex. 1.y = 3 +
14
x − 2z
ex. 2. non linéaire
y = 3 +14
x − 2xz
y = 3 +14
x2 − 2z
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Signification
Substitution
Combination
Gauss
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LINÉARITÉ
DÉFINITION
y dépend linéairement de x0, x1, . . . , xn s’il y a desconstantes a0, a1, . . . , an tel que
y = a0x0 + a1x1 + . . . anxn
ex. 1.y = 3 +
14
x − 2z
ex. 2. non linéaire
y = 3 +14
x − 2xz
y = 3 +14
x2 − 2z
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EQUATION D’UNE DROITE DANS LE PLAN
DÉFINITION
y = ax + by − y1
x − x1=
y1 − y2
x1 − x2
y = y1 + a(x − x1)
REMARQUE 1.
a =∆y∆x
=y2 − y1
x2 − x1est le coefficient angulaire (la pente).
a > 0→ droite croissante.a < 0→ droite décroissante.a = 0→ droite ‖ à l’axe des X .
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Gauss
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EQUATION D’UNE DROITE DANS LE PLAN
DÉFINITION
y = ax + by − y1
x − x1=
y1 − y2
x1 − x2
y = y1 + a(x − x1)
REMARQUE 1.
a =∆y∆x
=y2 − y1
x2 − x1est le coefficient angulaire (la pente).
a > 0→ droite croissante.a < 0→ droite décroissante.a = 0→ droite ‖ à l’axe des X .
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Substitution
Combination
Gauss
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EQUATION D’UNE DROITE DANS LE PLAN
DÉFINITION
y = ax + by − y1
x − x1=
y1 − y2
x1 − x2
y = y1 + a(x − x1)
REMARQUE 1.
a =∆y∆x
=y2 − y1
x2 − x1est le coefficient angulaire (la pente).
y1 = a1x + b1 ‖ y2 = a2x + b2 ⇐⇒ a1 = a2.
y1 = a1x + b1 ⊥ y2 = a2x + b2 ⇐⇒ a1 = − 1a2
.
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Signification
Substitution
Combination
Gauss
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Types de systèmes
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EQUATION D’UNE DROITE DANS LE PLAN
DÉFINITION
y = ax + by − y1
x − x1=
y1 − y2
x1 − x2
y = y1 + a(x − x1)
REMARQUE 2.b est la constante.
b > 0→ intersection avec l’axe des Y : (0, +).b < 0→ intersection avec l’axe des Y : (0,−).b = 0→ droite par l’origine.
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Signification
Substitution
Combination
Gauss
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Paramètre
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EQUATION D’UNE DROITE DANS LE PLAN
DÉFINITION
y = ax + by − y1
x − x1=
y1 − y2
x1 − x2
y = y1 + a(x − x1)
REMARQUE 3.
(−ba , 0) est l’intersection avec l’axe des X .
ex. 1: y = 2x − 3ex. 2: 2y = −x + 1
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Signification
Substitution
Combination
Gauss
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Types de systèmes
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EQUATION D’UNE DROITE DANS LE PLAN
DÉFINITION
y = ax + by − y1
x − x1=
y1 − y2
x1 − x2
y = y1 + a(x − x1)
REMARQUE 3.
(−ba , 0) est l’intersection avec l’axe des X .
ex. 1: y = 2x − 3ex. 2: 2y = −x + 1
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Substitution
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TEMPS POUR UNE PAUSE
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EQUATION D’UNE PARABOLE DANS LE PLAN
DÉFINITION
y = ax2 + bx + c
REMARQUE 1.a détermine l’ouverture de la parabole:
a > 0→ parabole vallée.a < 0→ parabole colline.a = 0→ droite.
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Substitution
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Gauss
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EQUATION D’UNE PARABOLE DANS LE PLAN
DÉFINITION
y = ax2 + bx + c
REMARQUE 1.a détermine l’ouverture de la parabole:
a > 0→ parabole vallée.a < 0→ parabole colline.a = 0→ droite.
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Signification
Substitution
Combination
Gauss
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EQUATION D’UNE PARABOLE DANS LE PLAN
DÉFINITION
y = ax2 + bx + c
REMARQUE 2.
D = b2 − 4ac détermine les zéros (racines) de la parabole
D = 0→ (x , y) = (−b2a
, 0).
D > 0→ (x , y) = (−b ±
√D
2a, 0).
D < 0→ pas de zéros dans R (pourtant, dans C . . .).
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Substitution
Combination
Gauss
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Paramètre
Exercices
DÉFINITION D’UN SYSTÈME LINÉAIRE
DÉFINITION
Un système (ensemble) d’équations linéaires:a11x1 + a12x2 + . . . + a1nxn = b1a21x1 + a22x2 + . . . + a2nxn = b2...am1x1 + am2x2 + . . . + amnxn = bm
1 m équations et n inconnues2 aij , bi ∈ R
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Signification
Substitution
Combination
Gauss
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Paramètre
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INTERPRÉTATION
Pour un système à deux équations et deux inconnues:{a1x + b1y = c1 (1)a2x + b2y = c2 (2)
Valable en même temps!
(1) = (2)→∞ solutions
(1) ‖ (2)→ @ solutions
(1) 6‖ (2)→ 1 solution
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Signification
Substitution
Combination
Gauss
Gauss-Jordan
Types de systèmes
Paramètre
Exercices
RÉSOLUTION PAR SUBSTITUTION
DÉFINITION
1 Mettre en évidence une variable en une équation2 Substituer celle-ci dans les autres équations3 Répéter si nécessaire
{3x − y = 1 (1)x + 2y = 5 (2){
y = 3x − 1 (1)x + 2y = 5 (2)
(1) en (2)→ x + 2(3x − 1) = 5→ x = 1x = 1 en (1) ou (2)→ y = 2⇒ (x , y) = (1, 2)
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Substitution
Combination
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RÉSOLUTION PAR SUBSTITUTION
DÉFINITION
1 Mettre en évidence une variable en une équation2 Substituer celle-ci dans les autres équations3 Répéter si nécessaire
{3x − y = 1 (1)x + 2y = 5 (2){
y = 3x − 1 (1)x + 2y = 5 (2)
(1) en (2)→ x + 2(3x − 1) = 5→ x = 1x = 1 en (1) ou (2)→ y = 2⇒ (x , y) = (1, 2)
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RÉSOLUTION PAR COMBINAISON LINÉAIRE
DÉFINITION
1 Multiplier une équation par une constante2 Aditionner deux équations
n’a aucune influence sur l’ensemble des solutions.Donc: faire des combinaisons linéaires sur les équations dusystème.
{3x − y = 1 (V1)x + 2y = 5 (V2)
(V1)− 3(V2) ⇐⇒ 0x − 7y = −14 ⇐⇒ y = 22(V1) + (V2) ⇐⇒ 7x + 0y = 7 ⇐⇒ x = 1⇒ (x , y) = (1, 2)
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Types de systèmes
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RÉSOLUTION PAR COMBINAISON LINÉAIRE
DÉFINITION
1 Multiplier une équation par une constante2 Aditionner deux équations
n’a aucune influence sur l’ensemble des solutions.Donc: faire des combinaisons linéaires sur les équations dusystème.
{3x − y = 1 (V1)x + 2y = 5 (V2)
(V1)− 3(V2) ⇐⇒ 0x − 7y = −14 ⇐⇒ y = 22(V1) + (V2) ⇐⇒ 7x + 0y = 7 ⇐⇒ x = 1⇒ (x , y) = (1, 2)
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Gauss
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RÉSOLUTION PAR LA MÉTHODE DE GAUSS
DÉFINITION
Appliquer par itération une de ces opérations:1 Changer deux équations de place2 Multiplier une équation avec un nombre ∈ R0
3 Additionner un multiple d’une autre équation (ousoustraire . . . )
Garder toujours une équation (la ligne pivot) et faire ensorte que les autres éléments dans la colonne pivotau-dessous du pivot deviennent 0.On obtient alors un triangle supérieur.
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Substitution
Combination
Gauss
Gauss-Jordan
Types de systèmes
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RÉSOLUTION PAR LA MÉTHODE DE GAUSS
2x + y − z = 1 (V1)3x + y − z = 3 (V2)
5x − y − 3z = 0 (V3)
2 x + y − z = 1 (V ′1 = V1)
−y + z = 3 (V ′2 = 2V2 − 3V1)
−7y − z = −5 (V ′3 = 2V3 − 5V1)
2x + y − z = 1 (V ′′
1 = V ′1)
-1 y + z = 3 (V ′′2 = V ′
2)8z = 26 (V ′′
3 = −V ′3 + 7V ′
2)
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RÉSOLUTION PAR LA MÉTHODE DE GAUSS
2x + y − z = 1 (V1)3x + y − z = 3 (V2)
5x − y − 3z = 0 (V3)
2 x + y − z = 1 (V ′1 = V1)
−y + z = 3 (V ′2 = 2V2 − 3V1)
−7y − z = −5 (V ′3 = 2V3 − 5V1)
2x + y − z = 1 (V ′′
1 = V ′1)
-1 y + z = 3 (V ′′2 = V ′
2)8z = 26 (V ′′
3 = −V ′3 + 7V ′
2)
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2x + y − z = 1 (V1)3x + y − z = 3 (V2)
5x − y − 3z = 0 (V3)
2 x + y − z = 1 (V ′1 = V1)
−y + z = 3 (V ′2 = 2V2 − 3V1)
−7y − z = −5 (V ′3 = 2V3 − 5V1)
2x + y − z = 1 (V ′′
1 = V ′1)
-1 y + z = 3 (V ′′2 = V ′
2)8z = 26 (V ′′
3 = −V ′3 + 7V ′
2)
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Combination
Gauss
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RÉSOLUTION PAR LA MÉTHODE DE GAUSS
(x , y , z) = (2,14,134
)
Interprétation: intersection unique de trois plans dansl’espace.
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Combination
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(x , y , z) = (2,14,134
)
Interprétation: intersection unique de trois plans dansl’espace.
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Signification
Substitution
Combination
Gauss
Gauss-Jordan
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Paramètre
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RÉSOLUTION PAR LA MÉTHODE DE
GAUSS-JORDAN
DÉFINITION
Appliquer par itération une de ces opérations:1 Changer deux équations de place2 Multiplier une équation avec un nombre ∈ R0
3 Additionner un multiple d’une autre équation (ousoustraire . . . )
Garder toujours une équation (la ligne pivot) et faire ensorte que les autres éléments dans la colonne pivotau-dessous et au-dessus du pivot deviennent 0.On obtient ainsi une diagonale principale d’éléments.
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Signification
Substitution
Combination
Gauss
Gauss-Jordan
Types de systèmes
Paramètre
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RÉSOLUTION PAR LA MÉTHODE DE
GAUSS-JORDAN
2 x +y −z = 1 (V1)3x +y −z = 3 (V2)5x −y −3z = 0 (V3)
2x +y −z = 1 (V ′
1 = V1)
0x -1 y +z = 3 (V ′2 = 2V2 − 3V1)
0x −7y −z = −5 (V ′3 = 2V3 − 5V1)
−2x +0y +0z = −4 (V ′′
1 = −V ′1 − V ′
2)0x −1y +z = 3 (V ′′
2 = V ′2)
0x +0y + 8 z = 26 (V ′′3 = −V ′
3 + 7V ′2)
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GAUSS-JORDAN
2 x +y −z = 1 (V1)3x +y −z = 3 (V2)5x −y −3z = 0 (V3)
2x +y −z = 1 (V ′
1 = V1)
0x -1 y +z = 3 (V ′2 = 2V2 − 3V1)
0x −7y −z = −5 (V ′3 = 2V3 − 5V1)
−2x +0y +0z = −4 (V ′′
1 = −V ′1 − V ′
2)0x −1y +z = 3 (V ′′
2 = V ′2)
0x +0y + 8 z = 26 (V ′′3 = −V ′
3 + 7V ′2)
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GAUSS-JORDAN
2 x +y −z = 1 (V1)3x +y −z = 3 (V2)5x −y −3z = 0 (V3)
2x +y −z = 1 (V ′
1 = V1)
0x -1 y +z = 3 (V ′2 = 2V2 − 3V1)
0x −7y −z = −5 (V ′3 = 2V3 − 5V1)
−2x +0y +0z = −4 (V ′′
1 = −V ′1 − V ′
2)0x −1y +z = 3 (V ′′
2 = V ′2)
0x +0y + 8 z = 26 (V ′′3 = −V ′
3 + 7V ′2)
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Combination
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Gauss-Jordan
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Exercices
RÉSOLUTION PAR LA MÉTHODE DE
GAUSS-JORDAN
−16x +0y +0z = −32 (V ′′′
1 = 36V ′′1 + 4V ′′
3 )0x −8y +0z = −2 (V ′′′
2 = 36V ′′2 − 10V ′′
3 )0x +0y +8z = 26 (V ′′′
3 = V ′′3 )
(x , y , z) = (2,14,134
)
Interprétation: intersection unique de trois plans dansl’espace.
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SystèmesDéfinition
Signification
Substitution
Combination
Gauss
Gauss-Jordan
Types de systèmes
Paramètre
Exercices
RÉSOLUTION PAR LA MÉTHODE DE
GAUSS-JORDAN
−16x +0y +0z = −32 (V ′′′
1 = 36V ′′1 + 4V ′′
3 )0x −8y +0z = −2 (V ′′′
2 = 36V ′′2 − 10V ′′
3 )0x +0y +8z = 26 (V ′′′
3 = V ′′3 )
(x , y , z) = (2,14,134
)
Interprétation: intersection unique de trois plans dansl’espace.
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Quadratique
SystèmesDéfinition
Signification
Substitution
Combination
Gauss
Gauss-Jordan
Types de systèmes
Paramètre
Exercices
RÉSOLUTION PAR LA MÉTHODE DE
GAUSS-JORDAN
−16x +0y +0z = −32 (V ′′′
1 = 36V ′′1 + 4V ′′
3 )0x −8y +0z = −2 (V ′′′
2 = 36V ′′2 − 10V ′′
3 )0x +0y +8z = 26 (V ′′′
3 = V ′′3 )
(x , y , z) = (2,14,134
)
Interprétation: intersection unique de trois plans dansl’espace.
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Signification
Substitution
Combination
Gauss
Gauss-Jordan
Types de systèmes
Paramètre
Exercices
TYPES DE SYSTÈMES
DÉFINITION
Ramener deux équations identiques à une seule équation.
DÉFINITION
On appelle m le nombre d’équations et n le nombred’inconnues. Alors on a (dans la plupart des cas)
1 m = n⇒ solution unique.2 m > n⇒ @ solution.3 n > m⇒∞ solutions.
{2x +y −z = 13x y +z = 3
MM001
Ch1.
Aperçugénéral
LinéairLinéarité
La droite
Quadratique
SystèmesDéfinition
Signification
Substitution
Combination
Gauss
Gauss-Jordan
Types de systèmes
Paramètre
Exercices
TYPES DE SYSTÈMES
DÉFINITION
Ramener deux équations identiques à une seule équation.
DÉFINITION
On appelle m le nombre d’équations et n le nombred’inconnues. Alors on a (dans la plupart des cas)
1 m = n⇒ solution unique.2 m > n⇒ @ solution.3 n > m⇒∞ solutions.
{2x +y −z = 13x y +z = 3
MM001
Ch1.
Aperçugénéral
LinéairLinéarité
La droite
Quadratique
SystèmesDéfinition
Signification
Substitution
Combination
Gauss
Gauss-Jordan
Types de systèmes
Paramètre
Exercices
SYSTÈME AVEC PARAMÈTRES
DÉFINITION
Déterminir la ou les paramètre(s) pour que notre systèmeaît
1 une solution unique2 @ solution3 ∞ solutions
.
{x +2y = 1
2x +ky = 2
MM001
Ch1.
Aperçugénéral
LinéairLinéarité
La droite
Quadratique
SystèmesDéfinition
Signification
Substitution
Combination
Gauss
Gauss-Jordan
Types de systèmes
Paramètre
Exercices
SYSTÈME AVEC PARAMÈTRES
DÉFINITION
Déterminir la ou les paramètre(s) pour que notre systèmeaît
1 une solution unique2 @ solution3 ∞ solutions
.
{x +2y = 1
2x +ky = 2
MM001
Ch1.
Aperçugénéral
LinéairLinéarité
La droite
Quadratique
SystèmesDéfinition
Signification
Substitution
Combination
Gauss
Gauss-Jordan
Types de systèmes
Paramètre
Exercices
EXERCICES DE SYNTHÈSE
ON DONNE:trois points: A(1, 3), B(5, 1), C(2, 7)
ON DEMANDE:1 établir l’équation des droites AB, AC et BC2 dessiner le triangle ABC3 établir l’équation des trois lignes de hauteur de ABC4 déterminer le point d’intersection de ces trois lignes de
hauteur
Pour votre info: ligne de hauteur = ligne à travers unsommet et ⊥ au côté opposé (cfr Ch. 3)
SOLUTION:
MM001
Ch1.
Aperçugénéral
LinéairLinéarité
La droite
Quadratique
SystèmesDéfinition
Signification
Substitution
Combination
Gauss
Gauss-Jordan
Types de systèmes
Paramètre
Exercices
EXERCICES DE SYNTHÈSE
ON DONNE:trois points: A(1, 3), B(5, 1), C(2, 7)
ON DEMANDE:1 établir l’équation des droites AB, AC et BC2 dessiner le triangle ABC3 établir l’équation des trois lignes de hauteur de ABC4 déterminer le point d’intersection de ces trois lignes de
hauteur
Pour votre info: ligne de hauteur = ligne à travers unsommet et ⊥ au côté opposé (cfr Ch. 3)
SOLUTION:
MM001
Ch1.
Aperçugénéral
LinéairLinéarité
La droite
Quadratique
SystèmesDéfinition
Signification
Substitution
Combination
Gauss
Gauss-Jordan
Types de systèmes
Paramètre
Exercices
EXERCICES DE SYNTHÈSE
ON DONNE:trois points: A(1, 3), B(5, 1), C(2, 7)
ON DEMANDE:1 établir l’équation des droites AB, AC et BC2 dessiner le triangle ABC3 établir l’équation des trois lignes de hauteur de ABC4 déterminer le point d’intersection de ces trois lignes de
hauteur
Pour votre info: ligne de hauteur = ligne à travers unsommet et ⊥ au côté opposé (cfr Ch. 3)
SOLUTION: