Download - Matlab Calcul Geom 3d
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Calculs gomtriques 3D sous matlab
D. Legland
23 juillet 2008
Rsum
Index des fonctions de calcul gomtriques dveloppes partir de
la thse. Je dveloppe ici les fonctions pour des primitives gomtriques
en 3D, un autre document fait rfrence aux calculs pour les gures
du plan.
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Table des matires
1 Introduction et conventions 4
1.1 Units . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.2 Coordonnes sphriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.3 Bote . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.4 Conventions de programmation . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
2 Points 6
2.1 Oprations sur les points . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
2.2 Conversions de coordonnes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
2.3 Calculs sur les angles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
3 Droites et vecteurs 9
3.1 Reprsentations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
3.2 Oprations sur les vecteurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
3.3 Fonctions relatives aux droites . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
4 Plans 11
4.1 Cration . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
4.2 Mesure sur plans . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
4.3 Interactions avec des points . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
4.4 Interactions avec des droites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
5 Polygones et polydres 14
5.1 Polygones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
5.2 Reprsentation des polydres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
5.3 Polydres rguliers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
5.4 Cration de polydres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
5.5 Mesures sur des polydres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
6 Surfaces et courbes 18
6.1 Cercles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
6.2 Sphre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
6.3 Autres surfaces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
7 Transformations anes 3D 21
7.1 Reprsentation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
7.2 Cration . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
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7.3 Transformation de formes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
8 Fonctions de dessin 23
8.1 Primitives de base . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
8.2 Objets courbes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
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1 Introduction et conventions
Ce document prsente une collection de fonctions crites pour des calculs
gomtriques en 3 dimensions, telles que les coordonnes du point d'inter-
section d'un plan avec une droite, ou des tests de paralllisme de vecteurs.
Cette bibliothque fait suite et est complmentaire de son quivalent pour le
2D.
Le principe est de cacher le plus possible la reprsentation interne des
donnes, et le dtail des calculs l'utilisateur. Le but est de faciliter la mise
au point des programmes, et la comprhension des sources.
La suite de l'introduction dtaille les conventions utilises, puis les dif-
frentes fonctions sont prsentes, classes en fonctions des primitives sur
lesquelles elles oprent.
1.1 Units
Les units de distances ne sont pas spcies.
L'unit d'angle est le radian. On considre des angles compris entre 0 et2pi.
1.2 Coordonnes sphriques
De manire gnrale, la bibliothque utilise des angles en radians, orien-
ts positivement dans le sens trigonomtrique (inverse des aiguilles d'une
montre), et calibrs entre 0 et 2pi.Pour les angles 3D, on considre d'une part la colatitude, note , d'autrepart la longitude/l'azimut, note . La colatitude varie entre 0 (vers le nord)et pi (vers le sud), et vaut pi/2 pour les directions horizontales. La longitudevarie entre 0 et 2pi.Les coordonnes sphriques en 3D sont constitues d'un angle 3D, et de
la distance l'origine, note . Elles sont notes dans un vecteur ligne :
[, , ]
On peut aussi considrer un angle de rotation autour de la normale, not
. Cele permet de reprsenter toutes les rotations possibles d'un objet autourde l'origine :
[, , ]
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1.3 Bote
La bote est un rectangle dont les bords sont parallles aux axes consid-
rs. Cette structure de donne est surtout utilise pour dnir les coordon-
nes minimales et maximales d'une primitive, ou bien pour slectionner les
primitives dans une zone donne.
Une bote est dnie par les 6 valeurs [xmin, xmax, ymin, ymax, zmin, zmax].
1.4 Conventions de programmation
Les noms de fonction sont nomms selon une convention 'Java' : les mots
sont colls, crits en minuscules, la premire lettre de chaque mot est en
majuscule sauf le premier mot. Exemple : nomDeLaFonction .
Dans les cas o la fonction accepte un couple d'arguments (par exemple,
pour tester si des vecteurs sont parallles), j'essaie dans la mesure du possible
de vectoriser la focntion. Ainsi, si le premier argument est un vecteur, le
deuxime un tableau de vecteur, alors la fonction sera appele pour chaque
couple de vecteurs.
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2 Points
Un point est reprsent par le triplet de ses coordonnes cartsiennes. Un
groupe de n point est donn par un tableau [n 3].
2.1 Oprations sur les points
2.1.1 isCoplanar
Teste si un groupe de points est coplanaire. Pour tenir compte des erreurs
numriques, la tolrance peut tre spcie.
entre les coordonnes de chaque point, ventuellement la tolrance.
sortie la valeur 1 si les points sont coplanaires, 0 sinon.
2.1.2 distancePoints3d
Calcule la distance entre des points. La mtrique euclidienne est utilise
par dfaut, mais d'autres mtriques peuvent tre spcies.
entre les coordonnes du premier point, les coordonnes du deuxime point,
ventuellement la mtrique (euclidienne par dfaut).
sortie la distance entre les points.
2.2 Conversions de coordonnes
2.2.1 cart2sph2
Convertit les coordonnes cartsiennes 3D en coordonnes sphriques. La
reprsentation des coordonnes sphriques est dirente de celle de Matlab.
entre les coordonnes cartsiennes.
sortie les coordonnes sphriques.
2.2.2 sph2cart2
Convertit les coordonnes sphriques en coordonnes cartsiennes [x, y, z].
entre les coordonnes sphriques.
sortie les coordonnes cartsiennes.
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2.2.3 cart2cyl
Convertit les coordonnes cartsiennes [x, y, z] en coordonnes cylindriques :[, r, z].
entre les coordonnes cartsiennes.
sortie les coordonnes cylindriques.
2.2.4 cyl2cart
Convertit les coordonns cylindriques [, r, z] en coordonnes cartsiennes[x, y, z].
entre les coordonnes cylindriques.
sortie les coordones cartsiennes.
2.3 Calculs sur les angles
2.3.1 anglePoints3d
Calcule l'angle entre deux points, ou plutt entre 2 vecteurs. Le rsultatest compris entre 0 et pi.
entre les coordonnes de deux vecteurs ou de deux points.
sortie l'angle entre les deux vecteurs.
2.3.2 sphericalAngle
Calcule l'angle de 3 points la surface d'une sphre.
entre les coordonnes cartsiennes de 3 points A, B et C.
sortie l'angle sphrique (BA;
BC).
2.3.3 angleSort3d
Trie des points coplanaires en fonction de leur angle par rapport l'ori-
gine.
entre une liste de points, et ventuellement le point de rfrence pour le
calcul des angles.
sortie les points tris en fonction de l'angle par rapport au point de rf-
rence.
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2.3.4 randomAngle3d
Renvoie un angle 3D uniformment distribu sur la sphre. La longitude
est choisie de manire uniforme entre 0 et 2pi, la colatitude est choisie entre0 et pi, selon une distribution en sinus.
sortie un angle 3d alatoire.
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3 Droites et vecteurs
3.1 Reprsentations
Un vecteur 3d est reprsent par le triplet des ses coordonnes :
[dx, dy, dz]
Une droite est reprsente par une origine, et un vecteur directeur :
[x0, y0, z0, dx, dy, dz]
On considre parfois aussi des segments de droites en 3D. Ils sont re-
prsents par les coordonnes du premier point suivies des coordonnes du
deuxime point :
[x1, y1, z1, x2, y2, z2]
3.2 Oprations sur les vecteurs
3.2.1 vecnorm3d
Calcule la norme d'un vecteur.
entre les coordonnes du vecteur, ou un groupe de coordonnes.
sortie la norme du vecteur, ou un ensemble de normes.
3.2.2 normalize3d
Calcule le vecteur normalis, c'est dire tel que sa norme vaille 1.
entre un vecteur ou un ensemble de vecteurs.
sortie les vecteurs normaliss, avec une norme gale 1.
3.2.3 isParallel3d
Teste si deux vecteurs 3d sont parallles.
entre les coordonnes de deux vecteurs ou groupes de vecteurs.
sortie la valeur 1 pour chaque couple de vecteurs parallles.
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3.2.4 isPerpendicular3d
Teste si deux vecteurs 3d sont perpendiculaires.
entre les coordonnes de deux vecteurs ou groupes de vecteurs.
sortie la valeur 1 pour chaque couple de vecteurs perpendiculaires.
3.3 Fonctions relatives aux droites
3.3.1 createLine3d
Cre une droite 3D partir de deux points. Si plusieurs couples de points
sont fournis, plusieurs droites sont cres.
entre les coordonnes de chaque point.
sortie la reprsentation d'une droite.
3.3.2 distancePointLine3d
Calcule la distance entre un point et une droite en 3D.
entre les coordonnes du point, les coordonnes de la droite.
sortie la distance entre le point et la droite.
3.3.3 linePosition3d
Calcule la position d'un point sur une droite en 3D, c'est dire le para-
mtre t tel que les coordonnes du point vrient
xp = x0 + tdx
yp = y0 + tdy
zp = z0 + tdz
entre les coordonnes du point, les coordonnes de la droite.
sortie le paramtre t reprsentant la position sur la droite.
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4 Plans
Un plan P est reprsent par une origine et deux vecteur directeurs :
[x0, y0, z0, dx1, dy1, dz1, dx2, dy2, dz2]
On considre que la reprsentation d'un plan est normalise si les deux
vecteurs directeurs sont orthogonaux, et que leurs normes sont gales
l'unit.
4.1 Cration
4.1.1 createPlane
Cre un plan partir de 3 points.
entre les coordonnes de 3 points.
sortie la reprsentation normalise du plan contenant ces trois points.
La fonction permet aussi de crer un plan partir d'une origione et de l'angle
normal du plan.
4.1.2 medianPlane
Calcule l'angle mdian entre 2 points.
entre les coordonnes de deux points.
sortie une reprsentation du plan contenant tous les points quidistants des
deux points donns en argument.
4.1.3 normalizePlane
Normalise la reprsentation d'un plan.
entre la reprsentation d'un plan.
sortie une reprsentation normalise du plan (vecteurs directeurs orthogo-
naux et normaliss).
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4.2 Mesure sur plans
4.2.1 planeNormal
Calcule le vecteur normal d'un plan.
entre la reprsentation d'un plan.
sortie le vecteur normal du plan. Si le plan est normalis, la norme du
vecteur normal vaut 1.
4.2.2 dihedralAngle
Calcule l'angle dihdral form par deux plans.
entre les reprsentations de deux plans.
sortie l'angle dihdral entre les deux plans, donn entre 0 et pi.
4.3 Interactions avec des points
4.3.1 planePosition
Calcule la position d'un point sur un plan. Les vecteurs directeurs du plan
doivent tre orthogonaux.
entre les coordonnes d'un point, la reprsentation du plan.
sortie les coordonnes du point dans le systme de coordonnes du plan.
4.3.2 isBelowPlane
Teste la position d'un point par rapport un plan. On dit qu'un point
est sous un plan si le produit cartsien du vecteur liant l'origine du plan au
point considrer par le vecteur normal du plan est ngatif.
entre les coordonnes du point, la reprsentation du plan.
sortie la valeur 1 si le point est sous le plan.
4.3.3 projPointOnPlane
Calcule les coordonnes 3D de la projection d'un point sur un plan.
entre les coordonnes du point, la reprsentation du plan.
sortie les coordonnes 3D du point projet.
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4.3.4 distancePointPlane
Calcule la distance d'un point un plan.
entre les coordonnes du point, la reprsentation du plan.
sortie la distance euclidienne entre le point et le plan.
4.4 Interactions avec des droites
4.4.1 intersectPlanes
Calcule une reprsentation de la droite situe l'intersection de deux
plans.
entre la reprsentation de deux plans.
sortie la reprsentation de la droite commune aux deux plans. Si les plans
sont parallles, renvoie la valeur [NaN,NaN,NaN,NaN,NaN,NaN].
4.4.2 intersectLinePlane
Calcule le point d'intersection entre une droite et un plan.
entre la paramtrisation de la droite ainsi que celle du plan.
sortie les coordonnes (3D) du point d'intersection. Si la droite est parallle
au plan, renvoie [NaN,NaN,NaN].
4.4.3 intersectEdgePlane
Calcule le point d'intersection entre un segment de droite et un plan.
entre la paramtrisation du segment ainsi que celle du plan.
sortie les coordonnes (3D) du point d'intersection. Si le segment est paral-
lle au plan, renvoie [NaN,NaN,NaN].
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5 Polygones et polydres
5.1 Polygones
Un polygone de n cts en 3D est reprsent par les coordonnes deses sommets, dans un tableau [n 3]. On suppose que les sommets sontcoplanaires.
5.1.1 clipConvexPolygon3dPlane
Dcoupe un polygone 3D convexe par un plan. La fonction ne garde que
les sommets situs sous le plan, et ajoute les points d'intersection des artes
avec le plan.
entre les coordonnes des sommets du polygone, la reprsentation du plan.
sortie les sommets du polygone dcoup par le plan.
5.1.2 polygon3dNormalAngle
Calcule l'angle normal en 3D d'un polygone.
entre les coordonnes des sommets du polygone, l'indice du ou des sommets
pour lesquels on veut calculer l'angle normal.
sortie l'angle normal des sommets du polygone. La somme des angles nor-
maux de tous les sommets d'un polygone connexe vaut 4pi.
5.2 Reprsentation des polydres
Les polydres sont reprsents l'aide de deux structures de donnes.
Un premier tableau contient les coordonnes des sommets du polydre. Un
deuxime tableau contient les indices des sommets de chaque face. Dans le
cas d'un polydre o toutes les faces ont le mme nombre de sommets, cela
peut tre un tableau avec autant de lignes de que de faces, et autant de
colonnes que le nombre de sommets par face. Sinon, on utilise un tableau de
cellules, et chaque cellule contient un tableau d'indice, donn par un vecteur
ligne.
Certaines fonctions utilisent aussi les artes du polydre. Les artes sont
reprsentes par un tableau deux colonnes, contenant les indices des som-
mets origine et destination de chaque arte.
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5.3 Polydres rguliers
La plupart des fonctions suivantes renvoient un polydre type, sans pou-
voir spcier d'option sur la position ou la taille du polydre. Pour manipuler
d'autres positions ou d'autres tailles, il sut de transformer les coordonnes
des sommets par la transformation ane approprie (voir la section 7).
5.3.1 createCube
Cre un cube unit, avec un coin situ en [0, 0, 0] et le coin oppos situen [1, 1, 1].
5.3.2 createCubeOctahedron
Cre un cube-octadre, qui peut tre vu comme un carr auquel on enlve
les coins, ou comme un octadre auquel on enlve les coins. Le poldre a 6faces carres et 8 faces triangulaire.
5.3.3 createIcosahedron
Cre un icosadre, gure constitue de 20 faces triangulaires. Le polydredual est le dodcadre.
5.3.4 createOctahedron
Cre un octadre, compos de 8 faces triangulaires.
5.3.5 createRhombododecahedron
Cre un rhombododcadre, constitu de 12 faces en forme de losange. Cepolydre peut tre utilis pour paver l'espace. Il correspond un systme de
voisinage selon 12 voisins, dirigs vers les milieux des artes d'un cube unit.
5.3.6 createTetraedron
Cre un ttradre, une pyramide rgulire base triangulaire.
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5.3.7 createTetrakaidecahedron
Cre un ttrakaidcadre (il a peut-tre d'autres noms moins barbares...).
Il est constitu de 8 faces hexagonales et 6 faces carres. Il permet de paverl'espace, et correspond un voisinage selon le 14 plus proches voisins.
5.3.8 createSoccerBall
Cre un ballon de football. Ce polydre, qui comprend 12 faces penta-gonales et 20 faces hexagonales, correspond un icosadre tronqu ou undodcadre tronqu.
5.4 Cration de polydres
5.4.1 minConvexHull
Calcule l'enveloppe convexe 3D d'une srie de points, et formate le rsultat
de manire fusionner les faces coplanaires. Pour des enveloppes convexes de
points situs sur une grille, cela permet de visualiser le rsultat de manire
beaucoup plus parlante.
5.4.2 steinerPolytope
Calcule le polydre de Steiner d'un ensemble de points. Il est obtenu appli-
quant des dilatations successives par des segments d'orientations direntes.
Les segments utiliss sont les segments reliant l'origine aux points passs en
paramtre.
entre un ensemble de points, ou de vecteurs.
sortie le polydre de Steiner rsultant.
5.5 Mesures sur des polydres
5.5.1 faceNormal
Calcule le vecteur normal d'une face d'un polydre.
entre les coordonnes des sommets, les indices des sommets de chaque face
(soit dans un tableau, soit dans une liste de cellules).
sortie le vecteur normal de chaque face.
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5.5.2 polyhedronNormalAngle
Calcule l'angle normal au(x) sommet(s) d'un polydre convexe.
entre les coordonnes des sommets, les indices des sommets de chaque
arte (optionnel, peut tre dduit des indices des sommets des faces),
les indices des sommets de chaque face, les indices des sommets pour
lesquels on veut calculer l'angle normal.
sortie l'angle normal pour caque sommet demand.
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6 Surfaces et courbes
6.1 Cercles
Un cercle en 3D est reprsent par son centre, son rayon, et un angle 3D
correspondant la normale du plan dans lequel il est contenu. De plus, on
peut spcier le paramtre qui correspond l'angle de rotation du cercleautour de la normale (permet de reprer les points sur le cercle, et de dessiner
des arcs de cercle). Un cercle est donc reprsent par :
[x0, y0, z0, r, , , ]
Note : ceci correspond ce qui devrait tre le cas pour tre cohrent avec
le reste des fonctions. Cependant, l'ordre des paramtres et est inversdans les deux fonctions suivantes...
6.1.1 circle3dPosition
Calcule la position d'un point sur un cercle 3D. Le rsultat correspond
l'angle du point par rapport l'origine du cercle, calcul dans le plan
contenant le cercle.
entre les coordonnes du point, la rprsentation du cercle.
sortie la position angulaire du point sur le cercle, en radians entre 0 et 2pi.
6.1.2 circle3dOrigin
Calcule les coordonnes du point correspondant au premier point du
cercle, de position angulaire 0.
entre la reprsentation du cercle.
sortie les coordonnes du premier point du cercle.
6.2 Sphre
Une sphre est dnie par les coordonnes de son centre et son rayon :
[xc, yc, zc, r]
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6.2.1 createSphere
Calcule la sphre qui contient 4 points.
entre les coordonnes de 4 points.
sortie la reprsentation de la sphre contenant ces points.
6.2.2 intersectLineSphere
Calcule les points d'intersection d'une droite avec une sphre.
entre la reprsentation de la droite, et celle de la sphre.
sortie un tableau 2 3 contenant les coordonnes des points d'intersection.
6.2.3 intersectPlaneSphere
Calcule une reprsentation du cercle d'intersection entre une sphre et un
plan.
entre la reprsentation du plan, celle de la sphre.
sortie la reprsentation du cercle intersection.
6.3 Autres surfaces
6.3.1 revolutionSurface
Cre une surface de rvolution partir d'une courbe gnratrice. On sup-
pose que la courbe est paramtre dans le repre (Oxz), et que la rvolutionse fait autour de l'axe Oz.
entre les coordonnes des points de la courbe, le nombre de points de
rvolution, et ventuellement l'axe de rvolution dans le plan (Oxz).
sortie les coordonnes des sommets du maillage corresondant la surface
de rvolution cre, en trois tableaux spars.
6.3.2 surfaceCurvature
Calcule la courbure locale sur une suface lisse dans une direction don-
ne, en fonction des deux courbures principales de la surface. Il s'agit de
l'application numrique de la relation :
() = 1 cos2 + 2 sin
2
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entre les courbures principales au point considr, l'angle de la direction
considre par rapport la direction de la premire courbure principale.
sortie la courbure dans la direction considre.
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7 Transformations anes 3D
7.1 Reprsentation
Une transformation ane en 3 dimensions peut tre reprsente par unematrice 4 4 de la forme :
m00 m01 m02 m03m10 m11 m12 m13m20 m21 m22 m230 0 0 1
La dernire colonne de la matrice correspond au vecteur de translation.
Les 9 coecients du coin suprieur gauche dnissent les facteurs de taille,de cisaillement, de rotation.
7.2 Cration
7.2.1 translation3d
Cre la matrice correspondant une translation par un vecteur donn.
entre le vecteur de translation.
sortie une matrice de translation.
7.2.2 rotationOx
Cre une matrice de rotation autour de l'axe Ox.
7.2.3 rotationOy
Cre une matrice de rotation autour de l'axe Oy.
7.2.4 rotationOz
Cre une matrice de rotation autour de l'axe Oz.
7.2.5 scale3d
Cre une matrice d'agrandissement par rapport l'origine.
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7.3 Transformation de formes
7.3.1 transformPoint3d
Calcule les coordonnes de points transforms par une transformation
ane.
entre les coordonnes des points, la matrice de transformation.
sortie les coordonnes des points transforms.
7.3.2 composeTransforms3d
Calcule la matrice de transformation quivalente l'application successive
de plusieurs transformations. Il s'agit d'un simple produit matriciel, mais
l'ordre du produit n'tant pas l'ordre d'application des transformation, la
fonction vite les ambiguts.
entre une srie de matrice de transformations, dans l'ordre de leur appli-
cation.
sortie la matrice de transformation quivalente.
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8 Fonctions de dessin
La bibliothque fournit quelques fonction de dessin pour certaines formes
gomtriques. Pour les formes non bornes (lignes droites), la forme est tron-
que la zone visible de la fentre courante.
8.1 Primitives de base
drawPoint3d Dessine un point ou un groupe de points.
drawLine3d Dessine une ligne dcoupe l'intrieur de l'axe courant.
drawEdge3d Dessine un segment de droite l'intrieur de l'axe courant.
drawPlane3d Dessine le polygone 3D correspondant l'intersection d'un
plan avec l'axe courant.
llPolygon3d remplit un polygone en 3D.
drawPolyhedra dessine une polydre, dni par un ensemble de sommets
et une liste d'indices pour chaque face.
8.2 Objets courbes
drawCurve3d Dessine une courbe dnie par une srie de points (poly-
ligne).
drawCircle3d Dessine un cercle en 3 dimensions.
drawCircleArc3d Dessine un arc de cercle en 3 dimensions.
drawSphere Dessine une sphre, ou plus exactement un polydre qui ap-
proche une sphre.
drawCylinder Dessine un mailage qui approche un cylindre.
drawSphericalTriangle Dessine un triangle sphrique, compos d'arcs de
grand cercle.
drawSphericalPatch Dessine un morceau de surface de sphre, dlimit
par des arcs de cercles 3D.
drawGrid3d Dessine un ensemble de points disposs en grille.
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Index
anglePoints3d, 7
angleSort3d, 7
cart2cyl, 7
cart2sph2, 6
circle3dOrigin, 18
circle3dPosition, 18
clipConvexPolygon3dPlane, 14
composeTransforms3d, 22
createCube, 15
createCubeOctahedron, 15
createIcosahedron, 15
createLine3d, 10
createOctahedron, 15
createPlane, 11
createRhombododecahedron, 15
createSoccerBall, 16
createSphere, 19
createTetraedron, 15
createTetrakaidecahedron, 16
cyl2cart, 7
dihedralAngle, 12
distancePointLine3d, 10
distancePointPlane, 13
distancePoints3d, 6
drawCircle3d, 23
drawCircleArc3d, 23
drawCurve3d, 23
drawCylinder, 23
drawEdge3d, 23
drawGrid3d, 23
drawLine3d, 23
drawPlane3d, 23
drawPoint3d, 23
drawPolyhedra, 23
drawSphere, 23
drawSphericalPatch, 23
drawSphericalTriangle, 23
faceNormal, 16
llPolygon3d, 23
intersectEdgePlane, 13
intersectLinePlane, 13
intersectLineSphere, 19
intersectPlanes, 13
intersectPlaneSphere, 19
isBelowPlane, 12
isCoplanar, 6
isParallel3d, 9
isPerpendicular3d, 10
linePosition3d, 10
medianPlane, 11
minConvexHull, 16
normalize3d, 9
normalizePlane, 11
planeNormal, 12
planePosition, 12
polygon3dNormalAngle, 14
polyhedronNormalAngle, 17
projPointOnPlane, 12
randomAngle3d, 8
revolutionSurface, 19
rotationOx, 21
rotationOy, 21
rotationOz, 21
24
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scale3d, 21
sph2cart2, 6
sphericalAngle, 7
steinerPolytope, 16
surfaceCurvature, 19
transformPoint3d, 22
translation3d, 21
vecnorm3d, 9
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Introduction et conventionsUnitsCoordonnes sphriquesBoteConventions de programmation
Points Oprations sur les pointsConversions de coordonnesCalculs sur les angles
Droites et vecteursReprsentationsOprations sur les vecteursFonctions relatives aux droites
PlansCrationMesure sur plansInteractions avec des pointsInteractions avec des droites
Polygones et polydresPolygonesReprsentation des polydresPolydres rguliersCration de polydresMesures sur des polydres
Surfaces et courbesCerclesSphreAutres surfaces
Transformations affines 3DReprsentationCrationTransformation de formes
Fonctions de dessinPrimitives de baseObjets courbes