Numerica e aritmetica dei calcolatori Matrici
Docente: Ivan Zivko 1
Matrici
NUAC Capitolo 2
Ivan Zivko
Introduzione
•Una matrice si può descrivere come una tabella ordinata di elementi, ognuno dei quali ha una posizione ben precisa.
NUAC 2
987
654
321
M
Numerica e aritmetica dei calcolatori Matrici
Docente: Ivan Zivko 2
Introduzione• Se il numero di righe è n e il numero di colonne è m, allora diremo che è una matrice di dimensione nxm.
•Ogni elemento della matrice potrà essere identificato dalle coordinate riga (i) e colonna (j).
NUAC 3
Introduzione
NUAC 4
Numerica e aritmetica dei calcolatori Matrici
Docente: Ivan Zivko 3
Introduzione
• Si utilizzano per esempio per:
– rappresentare dati che dipendono da due variabili,
– risolvere sistemi di equazioni,
– attuare trasformazioni geometriche di figure,
– ecc.
NUAC 5
Introduzione
• A dipendenza delle sue dimensioni possiamo distinguere alcuni tipi di matrici:
– Matrici rettangolari, ad es. (4x3)
– Matrici quadrate, ad es. (3x3)
– Matrici colonna (o vettori), ad es. (3x1)
– Matrici riga, ad es. (1x3)
NUAC 6
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Docente: Ivan Zivko 4
Scilab: costruire una matrice
• In scilab, qualsiasi elemento è considerato una matrice. Anche un qualsiasi numero è trattato come una matrice 1x1.
• Esempio: per costruire la matrice della prima slide basta inserire:
--> M=[1 2 3; 4 5 6; 7 8 9]
NUAC 7
Operazioni con matrici
• Prodotto con uno scalare: è la moltiplicazione di una matrice con un numero (ovvero uno scalare). In questo caso ogni elemento della matrice viene moltiplicato per questo numero.
• Esempio: moltiplicazione di uno scalare λ con una matrice qualsiasi 4x4:
NUAC 8
4,43,42,41,4
4,33,32,31,3
4,23,22,21,2
4,13,12,11,1
4,43,42,41,4
4,33,32,31,3
4,23,22,21,2
4,13,12,11,1
aaaa
aaaa
aaaa
aaaa
aaaa
aaaa
aaaa
aaaa
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Docente: Ivan Zivko 5
Operazioni con matrici• Somma/sottrazione di matrici: è possibile solo
se le matrici hanno le stesse dimensioni! In questo caso gli elementi delle due matrici che sono nella medesima posizione vengono sommati o sottratti.
• Esempio:
NUAC 9
1
1
9
13
3
3
1
3
2
10
4
5
0
4
7
3
1
2
Operazioni con matrici• Prodotto di matrici: è possibile moltiplicare tra
loro due matrici A e B solo se il numero di colonne di A è uguale al numero di righe di B.
NUAC 10
m
n m
p p
n
pnpmmn CBA
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Docente: Ivan Zivko 6
Operazioni con matrici
• Esempio:
NUAC 11
4
1
0
3
1
1
2
121
110
112
201
4121021
Operazioni con matrici
• Proprietà del prodotto tra matrici:
– Non vale la proprietà commutativa!
– Vale la proprietà associativa:
NUAC 12
ABBA
CBACBA
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Scilab: operazioni• Siano A e B due matrici, λ uno scalare.
• Somma e sottrazione:
--> A+B
--> A-B
• Prodotto con uno scalare:
--> λ*A
• Prodotto di matrici:
--> A*B
NUAC 13
Operazioni con matrici
• Proprietà del prodotto tra matrici:
– L’elemento neutro (detto matrice identità) esiste solo nella moltiplicazione con matrici quadrate!
NUAC 14
nnnnnn AIA
100
01
0
010
001
nnI
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Docente: Ivan Zivko 8
NUAC 15
Scilab: matrice identità
• Esiste un comando in Scilab che crea la matrice identità di qualsiasi dimensione:
--> eye(num. righe, num. colonne)
• Esempio: la matrice identità 3x3 si troverà nel seguente modo:
--> eye(3,3)
NUAC 16
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Docente: Ivan Zivko 9
La matrice trasposta
• Data una matrice A se ne può ricavare un’altra scambiando le righe con le colonne. La nuova matrice ottenuta si dice matrice trasposta e si indica con AT.
• Esempio:
NUAC 17
120
753
17
25
03TAA
La matrice trasposta
• Proprietà della trasposizione:
NUAC 18
TTT
TTT
ABBA
BABA
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Scilab: matrice trasposta
• Se A è una matrice, e vogliamo ricavare la sua trasposta con Scilab, dobbiamo aggiungere l’apostrofo dopo la lettera:
--> A’
NUAC 19
La matrice inversa
• Se esiste l’elemento neutro possiamo allora supporre che esiste anche l’elemento inverso, o nel nostro caso la matrice inversa, che indichiamo con A-1.
• Siccome l’elemento neutro esiste solo per le matrici quadrate, ciò vale anche per l’inversa.
• Non tutte le matrici quadrate hanno l’inversa!
NUAC 20
IAAAA 11
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Docente: Ivan Zivko 11
NUAC 21
La matrice inversa
• Esempio:
NUAC 22
17325
11216
19328
892
413
5611AA
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Docente: Ivan Zivko 12
Scilab: matrice inversa
• Se A è una matrice, e se l’inversa esiste, il comando per trovarla è:
--> inv(A)
NUAC 23
Rappresentazione con matrici• Esempio: un commerciante vende tre prodotti
A, B e C ai rispettivi prezzi di 10, 5 e 8 CHF. Possiamo rappresentare ciò con la seguente matrice:
NUAC 24
8
5
10
P
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Docente: Ivan Zivko 13
Rappresentazione con matrici• Esempio: nel primo quadrimestre ha venduto
rispettivamente 30 prodotti A, 71 prodotti B e 52 prodotti C. Nel 2° trimestre invece 24 A, 83 B e 61 C. Nel 3° infine 46 A, 55 B e 65 C. Possiamo rappresentare le vendite con la seguente matrice:
NUAC 25
655546
618324
527130
V
Rappresentazione con matrici• Esempio: Moltiplicando le due matrici si
ottengono così le cifre d’affari ottenute nei tre quadrimestri.
NUAC 26
1255
1143
1071
8
5
10
655546
618324
527130
PVC
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Docente: Ivan Zivko 14
Il determinante
• Dagli elementi di una matrice quadrata è possibile estrapolare un particolare numero, detto determinante, che mi da alcuneinformazione che vedremo in seguito.
NUAC 27
Il determinante• Per una matrice 2x2:
• Esempio: calcoliamo il determinante delle matrici A e B.
NUAC 28
A= ��� ������ ���
⇒ det � = � = ��� � ��� ��� � ���
A=12 66 12
B=12 624 12
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Docente: Ivan Zivko 15
Il determinante• Per una matrice 3x3:
• Esempio:
NUAC 29
2322
1312
31
3332
1312
21
3332
2322
11
333231
232221
131211
aa
aaa
aa
aaa
aa
aaa
aaa
aaa
aaa
A
963
852
741
A
NUAC 30
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Docente: Ivan Zivko 16
Il determinante
• Se il determinante è diverso da zero allora la matrice possiede l’inversa, in caso contrario no!
NUAC 31
NUAC 32
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Docente: Ivan Zivko 17
NUAC 33
NUAC 34