Download - Matricne jednacine
![Page 1: Matricne jednacine](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022081722/55cf9a34550346d033a0d8f6/html5/thumbnails/1.jpg)
SISTEMI LINEARNIH JEDNACINA- formule i zadaci -
(Sistemi linearnih jednacina) 1 / 9
![Page 2: Matricne jednacine](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022081722/55cf9a34550346d033a0d8f6/html5/thumbnails/2.jpg)
Sistemi linearnih jednacina
Opsti oblik sistema m linearnih jednacina sa n nepoznatih:
(∗)
a11x1 + a12x2 + . . . + a1nxn = b1
a21x1 + a22x2 + . . . + a2nxn = b2...
......
...am1x1 + am2x2 + . . . + amnxn = bm
Resenje sistema (∗) je svaka uredena n-torka realnih brojeva(x1, x2, . . . , xn) koja zadovoljava svaku jednacinu sistema.
(Sistemi linearnih jednacina) 2 / 9
![Page 3: Matricne jednacine](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022081722/55cf9a34550346d033a0d8f6/html5/thumbnails/3.jpg)
Sistemi linearnih jednacina
Opsti oblik sistema m linearnih jednacina sa n nepoznatih:
(∗)
a11x1 + a12x2 + . . . + a1nxn = b1
a21x1 + a22x2 + . . . + a2nxn = b2...
......
...am1x1 + am2x2 + . . . + amnxn = bm
Resenje sistema (∗) je svaka uredena n-torka realnih brojeva(x1, x2, . . . , xn) koja zadovoljava svaku jednacinu sistema.
(Sistemi linearnih jednacina) 2 / 9
![Page 4: Matricne jednacine](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022081722/55cf9a34550346d033a0d8f6/html5/thumbnails/4.jpg)
Sistemi linearnih jednacina
Opsti oblik sistema m linearnih jednacina sa n nepoznatih:
(∗)
a11x1 + a12x2 + . . . + a1nxn = b1
a21x1 + a22x2 + . . . + a2nxn = b2...
......
...am1x1 + am2x2 + . . . + amnxn = bm
Resenje sistema (∗) je svaka uredena n-torka realnih brojeva(x1, x2, . . . , xn) koja zadovoljava svaku jednacinu sistema.
(Sistemi linearnih jednacina) 2 / 9
![Page 5: Matricne jednacine](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022081722/55cf9a34550346d033a0d8f6/html5/thumbnails/5.jpg)
Resenja sistema LJ
Sistem (∗) je:
moguc (saglasan, resiv) ako ima bar jedno resenje, i to:
odreden, ako ima jedinstveno resenjeneodreden, ako ima beskonacno mnogo resenja
nemoguc (nesaglasan, neresiv, kontradiktoran, protivrecan), ako nemaresenja
Dva sistema linearnih jednacina su ekvivalentna ako imaju isti skup resenja.
Transformacije koje ocuvavaju ekvivalentnost sistema su:
zamena mesta jednacina
mnozenje jednacine brojem razlicitim od 0
dodavanje jedne jednacine drugoj, prethodno pomnozene brojemrazlicitim od 0
(Sistemi linearnih jednacina) 3 / 9
![Page 6: Matricne jednacine](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022081722/55cf9a34550346d033a0d8f6/html5/thumbnails/6.jpg)
Resenja sistema LJ
Sistem (∗) je:
moguc (saglasan, resiv) ako ima bar jedno resenje, i to:
odreden, ako ima jedinstveno resenjeneodreden, ako ima beskonacno mnogo resenja
nemoguc (nesaglasan, neresiv, kontradiktoran, protivrecan), ako nemaresenja
Dva sistema linearnih jednacina su ekvivalentna ako imaju isti skup resenja.
Transformacije koje ocuvavaju ekvivalentnost sistema su:
zamena mesta jednacina
mnozenje jednacine brojem razlicitim od 0
dodavanje jedne jednacine drugoj, prethodno pomnozene brojemrazlicitim od 0
(Sistemi linearnih jednacina) 3 / 9
![Page 7: Matricne jednacine](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022081722/55cf9a34550346d033a0d8f6/html5/thumbnails/7.jpg)
Resenja sistema LJ
Sistem (∗) je:
moguc (saglasan, resiv) ako ima bar jedno resenje, i to:
odreden, ako ima jedinstveno resenjeneodreden, ako ima beskonacno mnogo resenja
nemoguc (nesaglasan, neresiv, kontradiktoran, protivrecan), ako nemaresenja
Dva sistema linearnih jednacina su ekvivalentna ako imaju isti skup resenja.
Transformacije koje ocuvavaju ekvivalentnost sistema su:
zamena mesta jednacina
mnozenje jednacine brojem razlicitim od 0
dodavanje jedne jednacine drugoj, prethodno pomnozene brojemrazlicitim od 0
(Sistemi linearnih jednacina) 3 / 9
![Page 8: Matricne jednacine](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022081722/55cf9a34550346d033a0d8f6/html5/thumbnails/8.jpg)
Resenja sistema LJ
Sistem (∗) je:
moguc (saglasan, resiv) ako ima bar jedno resenje, i to:
odreden, ako ima jedinstveno resenjeneodreden, ako ima beskonacno mnogo resenja
nemoguc (nesaglasan, neresiv, kontradiktoran, protivrecan), ako nemaresenja
Dva sistema linearnih jednacina su ekvivalentna ako imaju isti skup resenja.
Transformacije koje ocuvavaju ekvivalentnost sistema su:
zamena mesta jednacina
mnozenje jednacine brojem razlicitim od 0
dodavanje jedne jednacine drugoj, prethodno pomnozene brojemrazlicitim od 0
(Sistemi linearnih jednacina) 3 / 9
![Page 9: Matricne jednacine](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022081722/55cf9a34550346d033a0d8f6/html5/thumbnails/9.jpg)
Resenja sistema LJ
Sistem (∗) je:
moguc (saglasan, resiv) ako ima bar jedno resenje, i to:
odreden, ako ima jedinstveno resenjeneodreden, ako ima beskonacno mnogo resenja
nemoguc (nesaglasan, neresiv, kontradiktoran, protivrecan), ako nemaresenja
Dva sistema linearnih jednacina su ekvivalentna ako imaju isti skup resenja.
Transformacije koje ocuvavaju ekvivalentnost sistema su:
zamena mesta jednacina
mnozenje jednacine brojem razlicitim od 0
dodavanje jedne jednacine drugoj, prethodno pomnozene brojemrazlicitim od 0
(Sistemi linearnih jednacina) 3 / 9
![Page 10: Matricne jednacine](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022081722/55cf9a34550346d033a0d8f6/html5/thumbnails/10.jpg)
Resenja sistema LJ
Sistem (∗) je:
moguc (saglasan, resiv) ako ima bar jedno resenje, i to:
odreden, ako ima jedinstveno resenjeneodreden, ako ima beskonacno mnogo resenja
nemoguc (nesaglasan, neresiv, kontradiktoran, protivrecan), ako nemaresenja
Dva sistema linearnih jednacina su ekvivalentna ako imaju isti skup resenja.
Transformacije koje ocuvavaju ekvivalentnost sistema su:
zamena mesta jednacina
mnozenje jednacine brojem razlicitim od 0
dodavanje jedne jednacine drugoj, prethodno pomnozene brojemrazlicitim od 0
(Sistemi linearnih jednacina) 3 / 9
![Page 11: Matricne jednacine](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022081722/55cf9a34550346d033a0d8f6/html5/thumbnails/11.jpg)
Zadaci (1)
Zadatak 1. Resiti sledece sisteme:
(i)x + 2y − z = 2
3x − y + 2z = 7−x − y + 2z = 3
.
(ii)x + 2y − z = 2
3x − y + 2z = 74x + y + z = 5
.
(iii)x + 2y − z = 2
3x − y + 2z = 74x + y + z = 9
.
(Sistemi linearnih jednacina) 4 / 9
![Page 12: Matricne jednacine](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022081722/55cf9a34550346d033a0d8f6/html5/thumbnails/12.jpg)
Zadaci (1)
Zadatak 1. Resiti sledece sisteme:
(i)x + 2y − z = 2
3x − y + 2z = 7−x − y + 2z = 3
.
(ii)x + 2y − z = 2
3x − y + 2z = 74x + y + z = 5
.
(iii)x + 2y − z = 2
3x − y + 2z = 74x + y + z = 9
.
(Sistemi linearnih jednacina) 4 / 9
![Page 13: Matricne jednacine](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022081722/55cf9a34550346d033a0d8f6/html5/thumbnails/13.jpg)
Zadaci (2)
Zadatak 4. Resiti sistem:
x + 2y + z + t = 02x + y + z + 2t = 0x + 2y + 2z + t = 0x + y + z + t = 0
.
Zadatak 6. Resiti sistem:5x + 2y − 3z = 03x − 4y + 5z = 107x − 3y + 6z = 19
.
Zadatak 7. Resiti sistem:x + y = 1x + z = 3y + z = 0
.
(Sistemi linearnih jednacina) 5 / 9
![Page 14: Matricne jednacine](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022081722/55cf9a34550346d033a0d8f6/html5/thumbnails/14.jpg)
Zadaci (2)
Zadatak 4. Resiti sistem:
x + 2y + z + t = 02x + y + z + 2t = 0x + 2y + 2z + t = 0x + y + z + t = 0
.
Zadatak 6. Resiti sistem:5x + 2y − 3z = 03x − 4y + 5z = 107x − 3y + 6z = 19
.
Zadatak 7. Resiti sistem:x + y = 1x + z = 3y + z = 0
.
(Sistemi linearnih jednacina) 5 / 9
![Page 15: Matricne jednacine](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022081722/55cf9a34550346d033a0d8f6/html5/thumbnails/15.jpg)
Zadaci (2)
Zadatak 4. Resiti sistem:
x + 2y + z + t = 02x + y + z + 2t = 0x + 2y + 2z + t = 0x + y + z + t = 0
.
Zadatak 6. Resiti sistem:5x + 2y − 3z = 03x − 4y + 5z = 107x − 3y + 6z = 19
.
Zadatak 7. Resiti sistem:x + y = 1x + z = 3y + z = 0
.
(Sistemi linearnih jednacina) 5 / 9
![Page 16: Matricne jednacine](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022081722/55cf9a34550346d033a0d8f6/html5/thumbnails/16.jpg)
Zadaci (2)
Zadatak 4. Resiti sistem:
x + 2y + z + t = 02x + y + z + 2t = 0x + 2y + 2z + t = 0x + y + z + t = 0
.
Zadatak 6. Resiti sistem:5x + 2y − 3z = 03x − 4y + 5z = 107x − 3y + 6z = 19
.
Zadatak 7. Resiti sistem:x + y = 1x + z = 3y + z = 0
.
(Sistemi linearnih jednacina) 5 / 9
![Page 17: Matricne jednacine](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022081722/55cf9a34550346d033a0d8f6/html5/thumbnails/17.jpg)
Zadaci (3)
Zadatak 8. Resiti sistem:2x − y − 2z = −23x − 4y + 2z = 2
.
Zadatak 10. Resiti sistem:x + y = 2−2x − 3y = 2−2x − 2y = −3
.
Zadatak 23. Resiti sistem:2x − 3y + 7z = −15x + 2y − 2z = −1
.
(Sistemi linearnih jednacina) 6 / 9
![Page 18: Matricne jednacine](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022081722/55cf9a34550346d033a0d8f6/html5/thumbnails/18.jpg)
Zadaci (3)
Zadatak 8. Resiti sistem:2x − y − 2z = −23x − 4y + 2z = 2
.
Zadatak 10. Resiti sistem:x + y = 2−2x − 3y = 2−2x − 2y = −3
.
Zadatak 23. Resiti sistem:2x − 3y + 7z = −15x + 2y − 2z = −1
.
(Sistemi linearnih jednacina) 6 / 9
![Page 19: Matricne jednacine](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022081722/55cf9a34550346d033a0d8f6/html5/thumbnails/19.jpg)
Zadaci (3)
Zadatak 8. Resiti sistem:2x − y − 2z = −23x − 4y + 2z = 2
.
Zadatak 10. Resiti sistem:x + y = 2−2x − 3y = 2−2x − 2y = −3
.
Zadatak 23. Resiti sistem:2x − 3y + 7z = −15x + 2y − 2z = −1
.
(Sistemi linearnih jednacina) 6 / 9
![Page 20: Matricne jednacine](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022081722/55cf9a34550346d033a0d8f6/html5/thumbnails/20.jpg)
Zadaci (3)
Zadatak 8. Resiti sistem:2x − y − 2z = −23x − 4y + 2z = 2
.
Zadatak 10. Resiti sistem:x + y = 2−2x − 3y = 2−2x − 2y = −3
.
Zadatak 23. Resiti sistem:2x − 3y + 7z = −15x + 2y − 2z = −1
.
(Sistemi linearnih jednacina) 6 / 9
![Page 21: Matricne jednacine](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022081722/55cf9a34550346d033a0d8f6/html5/thumbnails/21.jpg)
Kramerovo pravilo (1)
Kramerovo pravilo moze da se primeni samo na kvadratne sisteme (tj.kada je m = n) i sastoji se u tome da se izracunaju determinanta sistema
DS =
∣∣∣∣∣∣∣∣∣a11 a12 . . . a1n
a21 a22 . . . a2n...
.... . .
...an1 an2 . . . ann
∣∣∣∣∣∣∣∣∣i determinante promenljivih
Dx1 =
∣∣∣∣∣∣∣∣∣b1 a12 . . . a1n
b2 a22 . . . a2n...
.... . .
...bn an2 . . . ann
∣∣∣∣∣∣∣∣∣ , . . . Dxn =
∣∣∣∣∣∣∣∣∣a11 a12 . . . b1
a21 a22 . . . b2...
.... . .
...an1 an2 . . . bn
∣∣∣∣∣∣∣∣∣
(Sistemi linearnih jednacina) 7 / 9
![Page 22: Matricne jednacine](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022081722/55cf9a34550346d033a0d8f6/html5/thumbnails/22.jpg)
Kramerovo pravilo (1)
Kramerovo pravilo moze da se primeni samo na kvadratne sisteme (tj.kada je m = n) i sastoji se u tome da se izracunaju determinanta sistema
DS =
∣∣∣∣∣∣∣∣∣a11 a12 . . . a1n
a21 a22 . . . a2n...
.... . .
...an1 an2 . . . ann
∣∣∣∣∣∣∣∣∣i determinante promenljivih
Dx1 =
∣∣∣∣∣∣∣∣∣b1 a12 . . . a1n
b2 a22 . . . a2n...
.... . .
...bn an2 . . . ann
∣∣∣∣∣∣∣∣∣ , . . . Dxn =
∣∣∣∣∣∣∣∣∣a11 a12 . . . b1
a21 a22 . . . b2...
.... . .
...an1 an2 . . . bn
∣∣∣∣∣∣∣∣∣(Sistemi linearnih jednacina) 7 / 9
![Page 23: Matricne jednacine](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022081722/55cf9a34550346d033a0d8f6/html5/thumbnails/23.jpg)
Kramerovo pravilo (2)
Ako je DS 6= 0 tada je sistem odreden i resenje je
(x1, x2, . . . , xn) =
(Dx1
DS,Dx2
DS, . . . ,
Dxn
DS
)Ako je DS = 0 i bar jedna od determinanti Dxi , i = 1, 2, . . . , n jerazlicita od 0 sistem je nemoguc
Ako je DS = Dx1 = Dx2 = . . . = Dxn = 0 sistem je ili neodreden ilinemoguc sto proveravamo Gausovom metodom eliminacije
(Sistemi linearnih jednacina) 8 / 9
![Page 24: Matricne jednacine](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022081722/55cf9a34550346d033a0d8f6/html5/thumbnails/24.jpg)
Kramerovo pravilo (2)
Ako je DS 6= 0 tada je sistem odreden i resenje je
(x1, x2, . . . , xn) =
(Dx1
DS,Dx2
DS, . . . ,
Dxn
DS
)
Ako je DS = 0 i bar jedna od determinanti Dxi , i = 1, 2, . . . , n jerazlicita od 0 sistem je nemoguc
Ako je DS = Dx1 = Dx2 = . . . = Dxn = 0 sistem je ili neodreden ilinemoguc sto proveravamo Gausovom metodom eliminacije
(Sistemi linearnih jednacina) 8 / 9
![Page 25: Matricne jednacine](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022081722/55cf9a34550346d033a0d8f6/html5/thumbnails/25.jpg)
Kramerovo pravilo (2)
Ako je DS 6= 0 tada je sistem odreden i resenje je
(x1, x2, . . . , xn) =
(Dx1
DS,Dx2
DS, . . . ,
Dxn
DS
)Ako je DS = 0 i bar jedna od determinanti Dxi , i = 1, 2, . . . , n jerazlicita od 0 sistem je nemoguc
Ako je DS = Dx1 = Dx2 = . . . = Dxn = 0 sistem je ili neodreden ilinemoguc sto proveravamo Gausovom metodom eliminacije
(Sistemi linearnih jednacina) 8 / 9
![Page 26: Matricne jednacine](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022081722/55cf9a34550346d033a0d8f6/html5/thumbnails/26.jpg)
Kramerovo pravilo (2)
Ako je DS 6= 0 tada je sistem odreden i resenje je
(x1, x2, . . . , xn) =
(Dx1
DS,Dx2
DS, . . . ,
Dxn
DS
)Ako je DS = 0 i bar jedna od determinanti Dxi , i = 1, 2, . . . , n jerazlicita od 0 sistem je nemoguc
Ako je DS = Dx1 = Dx2 = . . . = Dxn = 0 sistem je ili neodreden ilinemoguc sto proveravamo Gausovom metodom eliminacije
(Sistemi linearnih jednacina) 8 / 9
![Page 27: Matricne jednacine](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022081722/55cf9a34550346d033a0d8f6/html5/thumbnails/27.jpg)
Zadaci (4)
Zadatak 56. Za koje vrednosti parametra a je sistem
x + y + z = 6ax + 4y + z = 56x + (a + 2)y + 2z = 13
odreden?
Zadatak 10. Za koje vrednosti parametra a je sistem
−ax + ay + 2z = a + 2x + 2y − z = 2x + (a + 2)y + (a + 1)z = 4
protivrecan?
(Sistemi linearnih jednacina) 9 / 9
![Page 28: Matricne jednacine](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022081722/55cf9a34550346d033a0d8f6/html5/thumbnails/28.jpg)
Zadaci (4)
Zadatak 56. Za koje vrednosti parametra a je sistem
x + y + z = 6ax + 4y + z = 56x + (a + 2)y + 2z = 13
odreden?
Zadatak 10. Za koje vrednosti parametra a je sistem
−ax + ay + 2z = a + 2x + 2y − z = 2x + (a + 2)y + (a + 1)z = 4
protivrecan?
(Sistemi linearnih jednacina) 9 / 9
![Page 29: Matricne jednacine](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022081722/55cf9a34550346d033a0d8f6/html5/thumbnails/29.jpg)
Zadaci (4)
Zadatak 56. Za koje vrednosti parametra a je sistem
x + y + z = 6ax + 4y + z = 56x + (a + 2)y + 2z = 13
odreden?
Zadatak 10. Za koje vrednosti parametra a je sistem
−ax + ay + 2z = a + 2x + 2y − z = 2x + (a + 2)y + (a + 1)z = 4
protivrecan?
(Sistemi linearnih jednacina) 9 / 9