Download - Matricni Racun 2011
MATRIČNI RAČUN
1Prof. dr Olivera Nikolić
Kvantitativne metode
MATRIČNI RAČUN
• Osnovni pojmovi: matrice i determinante• Operacije sa matricama• Primena matričnog računa
2
Osnovni pojmovi
•Svaku tabelu možemo prikazati u obliku pravougaone šeme podataka poznate pod nazivom matrica, u oznaci:
Turističke agencije
Turističke ponude
S1 S2 S3 S4 S5
D1 20 30 40 50 60
D2 22 28 40 45 61
D3 19 32 40 50 60
D4 18 26 42 52 61
20 30 40 50 60
22 28 40 45 61
19 32 40 50 60
18 26 42 52 61
3
• Matricu zapisujemo u opštem obliku
• ili kraće
gde je opšti član (i=1,2,...,m j=1,2,...,n)
m broj vrsta
n broj kolona
ija
11 12 1
21 22 2
1 2
...
...
... ... ... ...
...
n
n
m m mn
a a a
a a aA
a a a
4
ij m x nA a
Kraći prikaz matrice
Osnovni pojmovi: matrica determinanta
• Red (tip) matrice označava broj vrsta i kolona matrice.
• Na primer, matrica A je tipa 3x2:
• Matrica B je tipa 2x3:2 3
2 -1 6
1 1 -1x
B
3x2
1 2
A= 5 -9
3 -2
5
Neke vrste matrica
– Kvadratne– Jedinične– Matrica vrsta– Matrica kolona– Nulta matrica– Transponovana matrica
6
Kvadratne matrice
• Matrica koja ima isti broj elemenata u vrsti i koloni naziva se kvadratna matrica i to je matrica tipa nxn.
7
Jedinične matrice
• Kvadratna matrica kod koje su svi elementi izvan glavne dijagonale jednaki 0
a elementi na glavnoj dijagonali jednaki 1 , naziva se jedinična matrica i obeležava se simbolom ,gde je n broj vrsta i kolona.
• Jedinična matrica tipa :
8
( , 0)ijza i j a ( , 1)ijza i j a
n x nI
n n
1...00
............
0...10
0...01
Matrica vrsta
• Matrica koja ima samo jednu vrstu naziva se matrica vrsta (1xn)
9
1 4 0 2 1 4xA
Na primer:
Matrica kolona
• Matrica koja ima samo jednu kolonu naziva se matrica kolona (mx1)
• Na primer:
10
3 1
1
2
2xA
Nulta matrica
Kvadratna matrica koja ima sve elemente jednake 0 naziva se nula matrica i obeležava se simbolom 0.
11
Transponovana matrica
• Transponovana matrica AT ili A’ matrice A se dobija tako što kolone matrice A prelaze u vrste matrice AT.
• Ako je matrica A tipa mxn, onda je transponovana matrica AT tipa nxm
12
Primer
13
1 2 1 3
3 4 2 4
T
Operacije sa matricama
• Jednakost matrica • Sabiranje (oduzimanje) matrica • Množenje matrica realnim brojem• Množenje matrica• Inverzna matrica
A BA B
14
r A
Jednakost matrica
• Dve matrice su jednake ako su istog tipa i ako su im odgovarajući elementi međusobno jednaki.
15
1, 1,ij ij ij ijmxn mxnA a B b a b i m j n
Primer
• Da li su jednake matrice?
16
1 0
2 1
3 2
A
i 1 2 3
0 1 2B
Nisu jer nisu istog tipa
Sabiranje matrica
• Zbir dve matrice istog tipa je matrica, takođe istog tipa čiji je svaki element jednak zbiru elemenata obe matrice sa iste pozicije.
17
.
Primer
18
2 1 2 0
0 1 5 0
3 2 0 1
2 2 1 0 0 1
0 5 1 0 5 1
3 0 2 1 3 1
Množenje matrica realnim brojem
Matrica se množi realnim brojem tako što se svaki element matrice pomnoži datim realnim brojem.
19
.
Primer
20
2 3 2 6 9 6
3 0 1 0 0 3 0
1 5 1 3 15 3
Množenje matrica
Proizvod dve matrice, gde je broj kolona jedne matrice jednak broju vrsta druge matrice, je matrica čiji je broj vrsta jednak broju vrsta prve matrice, broj kolona je jednak broju kolona druge matrice, a elemeni nove matrice se izračunavaju
21
ijc
n
kkjikij bac
1
Množenje matrica
22
11 12 111 12 1
21 22 221 22 2
1 21 2
......
......
... ... ... ...... ... ... ...
......
qn
qn
n n nqm m mn mxn nxq
b b ba a a
b b ba a a
b b ba a a
11 12 1
21 22 2
1 2
11 11 11 12 21 1 1
1 1 2 2
...
...
... ... ... ...
...
...
...
q
q
m m mq
n n
ij i j i j in nj
c c c
c c c
c c c
c a b a b a b
c a b a b a b
.
Primer
23
1 02 0 3
2 51 1 0
0 3
A i B
1 0 1 2 0 1 1 0 0 1 1 3 0 02 0 3
2 5 2 2 5 1 2 0 5 1 2 3 5 01 1 0
0 3 0 2 3 1 0 0 3 1 0 3 3 0
A B
2 0 3
9 5 6
3 3 0
A B
Izračunati proizvod matrica
Proizvod matrica je definisan jer je matrica A tipa 3x2 a matrica B tipa 2x3
Napomena
• Množenje matrica nije komutativno
A B B A
24
Determinante
• Svaka kvadratna matrica A ima svoju determinantu koju obeležavamo sa: detD A
11 12 1
21 22 2
1 2
...
...det
... ... ... ...
...
n
n
n n nn
a a a
a a aD A
a a a
25
Izračunavanje determinanti
• Determinanta ima svoju vrednost koju možemo izračunati
26
1 1 11 11
11 122 2
21 22
11 22 21 12
x
x
D a a
a aD
a a
D a a a a
Determinante trećeg reda
• Sarusovo pravilo
27
11 1211 12 13
3 3 21 22 23 21 22 11 22 33 12 23 31 13 21 32
31 32 33 31 32
13 22 31 11 23 32 12 21 33
x
a aa a a
D a a a a a a a a a a a a a a
a a a a a
a a a a a a a a a
= = + + -
- - -
Primer
28
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )
1 2 4
2 3 1
2 5 1
1 2 4 1 2
2 3 1 2 3
2 5 1 2 5
1 3 1 2 1 2 4 2 5 2 3 4) 1 1 5
1 2 2 3 4 40 24 5 4
67 13 54
A
D
-
= -
-
- -
= - -
-
= ×- ×- + - ×× + ×× - - × - ××
- - ××- = - + + - -
= - =
Teorema o razvijanju determinante
• Laplasov razvoj determinante
29
detD A= =
11 12 1
21 22 2
1 2
...
...
... ... ... ...
...
n
n
n n nn
a a a
a a a
a a a
1 2
1 1 2 2det 1 1 ... 1i i i n
i i i i in inA a A a A a A
Inverzna matrica
• Kvadratna matrica ima svoju inverznu matricu ako je detA≠0.
• A A-1 = A-1 A=I.• Sa A-1 je označena inverzna matrica.
Matrica koja ima svoju inverznu matricu naziva se regularnom matricom.
30
Izračunavanje inverzne matrice
1 1*
detA A
A
31
11 21 311
12 22 32
13 23 33
1, ( 1)
deti j
ij ij
M M M
A M M M M AAM M M
A* je adjungovana matrica matrice A
Primer
1 -5 -21
2 11A
32
1 5 2
-2 -1A
1 2
2 5A
det 1A
11 125 2A A
21 222 1A A
Odrediti inverznu matricu matrice
Determinanta matrice je
pa ova matrica ima inverznu. Sada ćemo odrediti elemente adjungovane matrice
33
1 2 1
2 5 2
1 1 3
A
det 4A
1 1 1 2 1 311 12 13
5 2 2 2 2 5( 1) 13 ( 1) 8 ( 1) 7
1 3 1 3 1 1M M M
2 1 2 2 2 321 22 23
2 1 1 1 1 2( 1) 5 ( 1) 4 ( 1) 3
1 3 1 3 1 1M M M
3 1 3 2 3 331 32 33
2 1 1 1 1 2( 1) 1 ( 1) 0 ( 1) 1
5 2 2 2 2 5M M M
Odrediti inverznu matricu matrice
pa ova matrica ima inverznu. Sada ćemo odrediti elemente adjungovane matrice
1
13 5 11
8 4 04
7 3 1
A
34
Konačno
NEKE PRIMENE MATRIČNOG RAČUNA
35
Rešavanje sistema linearnih jednačina
Upoznaćemo neke metode:• MATRIČNI METOD• KRAMEROV METOD• KRONEKER-KAPELIJEVA TEOREMA• REŠAVANJE HOMOGENIH SISTEMA
36
• Neka je dat sistem:
11 1 12 2 13 3 1
3 3 21 1 22 2 23 3 2
31 1 32 2 33 3 3
:
x
a x a x a x b
S a x a x a x b
a x a x a x b
37
Sistem tri jednačinesa tri nepoznate
MATRIČNI METOD
• Sistem se može predstaviti matričnom jednačinom:
11 12 13 1 1
21 22 23 2 2
3 331 32 33
A X B gde je
a a a x b
A a a a X x B b
x ba a a
38
MATRIČNI METOD
• Ova metoda se može koristiti u slučaju da matrica sistema A ima svoju inverznu matricu
(det 0)A
39
1 111 21 31
2 12 22 32 2
13 23 333 3
1
det
x bM M M
x M M M bAM M Mx b
X =A-1 B
Primer
40
6
2 3
2 2 3
x y z
x y z
x y z
Rešenje:
1 1 1 6
2 1 1 , 3
1 2 2 3
x
A X y i B
z
1X A B-= ×
0 4 2 6 6 11 1
3 1 1 3 12 26 6
3 3 3 3 18 3
X
Rešenje našeg sistema je trojka brojeva (1,2,3)
Rešiti sistem matričnim metodom:
KRAMEROV METOD
Ovaj metod se može koristiti u slučaju da je
Polazni sistem jednačina ima jedinstveno rešenje dato Kramerovim formulama:
det 0A
41
1 1 11 2 21 3 31
1( )
detx b M b M b M
A= + +
2 1 12 2 22 3 32
1( )
detx b M b M b M
A= + +
3 1 13 2 23 3 33
1( )
detx b M b M b M
A= + +
Primer6
2 3
2 2 3
x y z
x y z
x y z
42
det 6D A= =-Rešenje:
1 2
6 1 1 1 6 1
det 3 1 1 6 det 2 3 1 12
3 2 2 1 3 2x yD A D A= = - =- = = =-
-3
1 1 6
det 2 1 3 18
1 2 3zD A= = - =-
-
1 2 3yx zDD D
x y i zD D D
= = = = = =
Konačno:
Homogeni sistem jednačina
• Sistem jednačina kod koga su slobodni članovi 0, zove se homogen sistem jednačina.
11 1 12 2 13 3
21 1 22 2 23 3
31 1 32 2 33 3
0
0
0
a x a x a x
a x a x a x
a x a x a x
+ + =
+ + =
+ + =
43
REŠAVANJE HOMOGENIH SISTEMA
• rang(A) = 3• detA≠0 =>R(S)=(0,0,0)
Sistem ima samo trivijalna rešenja• detA=0 (Rang(A)<3) =>
Sistem ima beskonačno mnogo rešenja
44
Primer
45
1 2 3
1 2 3
1 2 3
2 0
2 0
2 0
x x x
x x x
x x x
1 1 2
det 1 2 1 0
2 1 1
A
1 2 3( , , )x x x
( ) ( )
3 3
3 31 2 3 3 1 2 3 3 3 3
1 3 2 3 3 3
2 1 1 2
2 1, , , , , ,
1 1 1 1
1 2 1 2
, ,
x x
x xx x x x x x x x x x
x x x x x x
- - -
= = = = -- -
=- = =
ima beskonačno mnogo rešenja jer je
Opšte rešenje je:
.
Sistem:
TEST
- 2AX A X I
46
2 3 2
6 6 4
2 1 1
A
2 2 2A A I 1 1
1 1A
1. Izračunati A-1 za matricu
2. Izračunati ako je
0 1 2
2 3 4
1 0 1
A
2
2 3 4
2 3
x y z
x y z
x y z
2
2 3 1
3 2 2 5
x y z
x y z
x y z
3. Rešiti matričnu jednačinu:
a) gde je
4. Rešiti sistem koristeći Kramerove formule:
5. Rešiti sistem Matričnim metodom:
4 2 0
7 8 0
2 3 0
x y z
y z
x y z
6. Rešiti sistem: