IF Farroupilha - Campus Alegrete
RS – 377 km 27 – Passo Novo
Alegrete - RS
Fone/Fax: (55) 3421-9600
www.al.iffarroupilha.edu.br
Professor Mauricio Lutz
1
MATRIZES 1. INTRODUÇÃO
Quando um problema envolve um grande número de dados (constantes
ou variáveis), a disposição destes numa tabela retangular de dupla entrada propicia
uma visão mais global do mesmo. As tabelas assim formadas são chamadas
matrizes.
O crescente uso dos computadores tem feito com que a teoria das
matrizes encontre cada vez mais aplicações em setores tais como: economia,
engenharia, matemática, física, estatística, etc ...
Exemplo: A tabela abaixo descreve as safras de milho, trigo, soja, arroz e feijão, em
toneladas, durante os anos de 1991, 1992, 1993 e 1994.
Milho Trigo Soja Arroz Feijão
1991 80 130 180 100 40
1992 90 120 200 80 30
1993 90 130 200 120 40
1994 80 110 240 120 50
Com os dados dispostos na forma de tabela (matriz), imediatamente
conseguimos fazer comparações, estabelecer relações e até mesmo tirar conclusões
relativas as safras. Isto mostra o quanto pode ser útil a notação matricial.
Geralmente, as matrizes são tabelas de elementos dispostos em linhas e
colunas , sendo representados entre parênteses, colchetes ou barras duplas. Desta
forma, uma representação por matriz da tabela das safras é:
5012024011080
4012020013090
308020012090
4010018013080
5012024011080
4012020013090
308020012090
4010018013080
5012024011080
4012020013090
308020012090
4010018013080
S
As linhas são numeradas de cima para baixo e as colunas da esquerda
para a direita.
IF Farroupilha - Campus Alegrete
RS – 377 km 27 – Passo Novo
Alegrete - RS
Fone/Fax: (55) 3421-9600
www.al.iffarroupilha.edu.br
Professor Mauricio Lutz
2
2 DEFINIÇÃO
Chama-se matriz de ordem mxn (m e n *) a toda tabela constituída por
m e n elementos, dispostos em m linhas e n colunas.
Observação:
Para indicar a ordem de uma matriz, dizemos primeiro o número de linhas
e em seguida o número de colunas.
Exemplos:
1.
013
142A ordem 2x3
2. 32A ordem 1x2
3 REPRESENTAÇÃO ALGÉBRICA
As matrizes costumam ser representadas por letras maiúsculas e seus
elementos por letras minúsculas, acompanhadas de 2 índices que indicam,
respectivamente a linha e a coluna ocupada pelo elemento. Assim, uma matriz A do
tipo mxn é representada por:
IF Farroupilha - Campus Alegrete
RS – 377 km 27 – Passo Novo
Alegrete - RS
Fone/Fax: (55) 3421-9600
www.al.iffarroupilha.edu.br
Professor Mauricio Lutz
3
mnmmm
n
n
n
aaaa
aaaa
aaaa
aaaa
A
...
.......
.......
.......
...
...
...
321
3333231
2232221
1131211
ou abreviadamente, A=(aij)mxn, onde i representa a linha e j representa a coluna que
o elemento ocupa na matriz, por exemplo a23 é o elemento da 2º linha e da 3º coluna.
Exemplo:
1.
1228
132A onde a12=-3; a13=-1 e a22=2
2. Determine a matriz A=(aij)3x3, tal que aij=i2-2j.
Resolução:
357
202
531
333231
232221
131211
aaa
aaa
aaa
A
a11=12-2.1=-1; a12=12-2.2=-3; a13=12-2.3=-5;
a21=22-2.1=2; a22=22-2.2=0; a23=22-2.3=-2;
a31=32-2.1=7; a32=32-2.2=5; a33=32-2.3=3.
(1) Exercícios
1. Identifique a ordem das matrizes:
a)
041
312A b) 351 B c)
3
1
2
C d)
821
012
413
D
IF Farroupilha - Campus Alegrete
RS – 377 km 27 – Passo Novo
Alegrete - RS
Fone/Fax: (55) 3421-9600
www.al.iffarroupilha.edu.br
Professor Mauricio Lutz
4
2. Dada a matriz
932
744
021
523
A identifique os elementos da:
a) 1º linha b) 3º linha c) a23 d) a31
3. Uma matriz possui quatro elementos. Quais os tipos possíveis para essa matriz?
4. Determine a matriz A=(aij)2x3, tal que aij=i2+j.
5. Construa as matrizes:
a) M=(aij)2x3, tal que aij=i+j.
b) N=(aij)2x2, tal que aij=i2-3j.
c) Q=(aij)3x3, tal que
jise
jisejiaij
,0
,.
4 MATRIZES COM DENOMINAÇÕES ESPECIAIS
4.1 Matriz linha
É toda matriz do tipo 1xn, isto é, com uma única linha. Por exemplo:
31
094x
A ou 51
14791x
B .
4.2 Matriz coluna
É toda matriz do tipo mx1, isto é, com uma única coluna. Por exemplo:
132
1
4
x
A
ou 12
7
5
x
B
.
IF Farroupilha - Campus Alegrete
RS – 377 km 27 – Passo Novo
Alegrete - RS
Fone/Fax: (55) 3421-9600
www.al.iffarroupilha.edu.br
Professor Mauricio Lutz
5
4.3 Matriz retangular
É toda matriz mxn, sendo mn, ou seja, o número de linhas e diferente do
número de colunas. Por exemplo: 32
021
543
x
A
ou
2321
12
34
x
B
.
4.4 Matriz quadrada
É toda matriz do tipo nxn, isto é, com o mesmo número de linhas e
colunas. Neste caso dizemos que a matriz é de ordem n. Por exemplo:
33562
903
724
x
A
ou 22
47
21
x
B
.
a) Diagonal principal: diagonal principal de uma matriz quadrada é o
conjunto de elementos dessa matriz, tais que i=j.
b) Diagonal secundária: diagonal secundária de uma matriz quadrada é
o conjunto de elementos dessa matriz, tais que i+j=n+1. É a diagonal que se opõe a
diagonal principal.
Exemplos:
1. Seja A a seguinte matriz de ordem 2:
2. Seja B a seguinte matriz de ordem 3:
IF Farroupilha - Campus Alegrete
RS – 377 km 27 – Passo Novo
Alegrete - RS
Fone/Fax: (55) 3421-9600
www.al.iffarroupilha.edu.br
Professor Mauricio Lutz
6
4.5 Matriz nula
É a matriz em que todos os elementos são nulos. Representa-se por Omxn
ou apenas O. Por exemplo: seja
000
00032xO .
4.6 Matriz diagonal
É toda matriz quadrada onde todos os elementos que não estão na
diagonal principal são nulos. Por exemplo:
33500
010
004
x
A
ou 22
40
01
x
B
.
4.7 Matriz escalar
É toda matriz diagonal onde os elementos da diagonal principal são todos
iguais. Por exemplo
33400
040
004
x
A
ou 22
20
02
x
B
.
4.8 Matriz identidade
É toda matriz quadrada onde os elementos da diagonal principal são
iguais a 1 e os demais são nulos. Representa-se por In, onde n indica a ordem da
matriz identidade. Por exemplo
100
010
001
3I ou
10
012I . Assim, uma matriz
identidade
jise
jiseaaI
ij
ijn ,0
,1. Toda matriz identidade é também matriz diagonal.
IF Farroupilha - Campus Alegrete
RS – 377 km 27 – Passo Novo
Alegrete - RS
Fone/Fax: (55) 3421-9600
www.al.iffarroupilha.edu.br
Professor Mauricio Lutz
7
4.9 Matriz transposta
Chamamos de matriz transposta de uma matriz A a matriz que é obtida a
partir de A, trocando-se ordenadamente suas linhas por colunas ou suas colunas por
linhas. Por exemplo 32
121
032
x
A
e
2310
23
12
x
tA
. Desse modo, se a matriz
A é do tipo mxn, At é do tipo nxm.
4.9.1 Propriedades da matriz transposta
Se r é um escalar e A e B são matrizes, então:
a) (At)t=A;
b) (A+B)t=At+Bt;
c) (rA)t=rAt.
4.10 Matriz oposta
Chamamos de matriz oposta de A a matriz obtida a partir de A, trocando-
se o sinal de todos os seus elementos. Representamos a matriz oposta de A por -A.
Por exemplo: seja
54
03A a oposta é
54
03A .
4.11 Matriz simétrica
Uma matriz quadrada de ordem n é simétrica quando A=At. por exemplo
tAA sejaou ,32
21,
32
21
tAA .
IF Farroupilha - Campus Alegrete
RS – 377 km 27 – Passo Novo
Alegrete - RS
Fone/Fax: (55) 3421-9600
www.al.iffarroupilha.edu.br
Professor Mauricio Lutz
8
4.12 Matriz anti-simétrica
Uma matriz é anti-simétrica quando sua matriz transposta for igual à sua
matriz oposta ou seja At=-A. Por exemplo:
042
401
210
A ,
042
401
210tA e
042
401
210
A .
4.13 Matriz triangular inferior
Os elementos acima da diagonal principal são todos nulos (m=n e aij=0
para i<j). Por exemplo:
3214
0010
0072
0005
A .
4.14 Matriz triangular superior
Todos os elementos abaixo da diagonal principal são nulos (m=n e a ij=0
para i>j). Por exemplo:
800
210
342
A .
5 IGUALDADE DE MATRIZES
Duas matrizes, A e B serão iguais se forem do mesmo tipo e os elementos
correspondentes forem iguais. Assim, se A=(aij) e B(bij) são matrizes do tipo mxn,
então
nj
mibaBA ijij
1
1 .
IF Farroupilha - Campus Alegrete
RS – 377 km 27 – Passo Novo
Alegrete - RS
Fone/Fax: (55) 3421-9600
www.al.iffarroupilha.edu.br
Professor Mauricio Lutz
9
Exemplos:
1. Dadas as matrizes
110
52A e
15
3 yxyxB , calcular x e y para que A=Bt.
Resolução:
103
2
13
5
110
52
yx
yx
yx
yxBA t
Resolvendo o sistema, temos:
X=3 e y=-1.
2. Determinar x e y na igualdade:
5
9
4
5
log2
3
y
x
.
Resolução:
8134log 4
3 xxx
3992 yyy
(2) Exercícios
1. Quantos elementos tem uma matriz quadrada de ordem 5?
2. Determine x e y para que a matriz
21
20
y
yxA seja diagonal.
3. Escreva a matriz (At)t, quadrada de ordem 3, tal que A=(aij) e aij=3j-4i.
4. Determine x e y para que a matriz
413
142
13
y
x
M seja simétrica.
5. Determine a matriz real quadrada B de ordem 2, definida por:
jii
jib
ji
ij se 1
se 2
2.
6. Dada a matriz A=(aij)3x2, com aij=i2-j3, obter a matriz oposta de A.
IF Farroupilha - Campus Alegrete
RS – 377 km 27 – Passo Novo
Alegrete - RS
Fone/Fax: (55) 3421-9600
www.al.iffarroupilha.edu.br
Professor Mauricio Lutz
10
7. Sejam
81
1log27
16
1
3
2aA e
caB
b
3
92, determine a, b e c para que A=B.
8. Determine os elementos da diagonal principal, sabendo que
yxx
yyxA
3
52 é
uma matriz diagonal.
9. Dada a matriz identidade
800
013
501
3
d
b
ca
I , calcule a+b+c+d.
10. Determine a, b e c, de modo que a matriz
231
112
323
b
ca
A , seja triangular
inferior.
6. OPERAÇÕES COM MATRIZES
6.1 Adição e subtração de matrizes
6.1.1 Adição de matrizes
Dadas 2 matrizes de mesmo tipo A=(aij)mxn e B=(bij)mxn denomina-se matriz
soma (A+B) a matriz obtida adicionando-se os elementos correspondentes de A e B
(lembrar que A e B são matrizes de mesma ordem).
A+B=(aij+bij)mxn, onde 1 i m e 1 j n.
IF Farroupilha - Campus Alegrete
RS – 377 km 27 – Passo Novo
Alegrete - RS
Fone/Fax: (55) 3421-9600
www.al.iffarroupilha.edu.br
Professor Mauricio Lutz
11
Exemplo: Dadas as matrizes
710812
5967
612810
A e
9111014
61078
6101012
B , calcule
A+B.
Resolução:
16211826
11191315
12221822
9111014
61078
6101012
710812
5967
612810
BA
6.1.2 Subtração de matrizes
Sejam A e B duas matrizes do tipo mxn. Denomina-se diferença entre A e
B, e vamos representá-la por A-B, a soma da matriz A com a matriz oposta de B, ou
seja, A-B=A+(-B).
Exemplo: Dada as matrizes
0610
533A e
243
714B , determine A-B.
Resolução:
21013
221
243
714
0610
533BA
6.1.3 Propriedades da adição e subtração de matrizes
Dadas uma matriz A e B de ordem mxn valem as seguintes propriedades:
a) Comutativa: A+B=B+A
b) Associativa: (A+B)+C=A+(B+C)
c) Elemento neutro: A+0=0+A=A
d) Elemento oposto: A+(-A)=(-A)+A=0
e) Cancelamento: A=B A+C=B+C
IF Farroupilha - Campus Alegrete
RS – 377 km 27 – Passo Novo
Alegrete - RS
Fone/Fax: (55) 3421-9600
www.al.iffarroupilha.edu.br
Professor Mauricio Lutz
12
(3) Exercícios
1. Ache m, n, p e q, de modo que:
51
87
3
2
nn
pp
mm.
2. Sejam as matrizes A=(aij)2x2, com aij=2i-j2 e B=(bij)2x2, com bij=aij+1. Calcule:
a) A-B b) B-A c) (A+B)t d) At-Bt
3. Sendo A=(aij)1x3 tal que aij=2i-j e B=(bij)1x3 tal que bij=-i+j+1, calcule A+B.
4. Dadas as matrizes
31
42
51
A ,
24
01
32
B e
10
23
16
C . Calcule:
a) A-B b) B-C c) A-B-C d) C-A+B e) At-Ct f) C-(B-A)
5. Ache x, y, z e w, de modo que:
58
01
14
32
wz
yx.
6.2 Multiplicação de matrizes
6.2.1 Multiplicação de matriz por escalar
Para multiplicar uma matriz por um escalar (número real ou complexo),
multiplicamos todos os elementos da matriz por este escalar.
Se A=(aij)mxn e k é um escalar, então kA=(kaij)mxn.
Exemplo: Dada a matriz
41
03
12
A , calcule 3.A.
Resolução:
123
09
36
4.31.3
0.33.3
1.32.3
3A
IF Farroupilha - Campus Alegrete
RS – 377 km 27 – Passo Novo
Alegrete - RS
Fone/Fax: (55) 3421-9600
www.al.iffarroupilha.edu.br
Professor Mauricio Lutz
13
6.2.2 Multiplicação de matriz por matriz
Dada uma matriz A=(aij)mxn e uma matriz B=(bij)nxp, o produto AB é a matriz
C=(cik)mxp, tal que o elemento cik é calculado multiplicando-se ordenadamente os
elementos da linha i da matriz A pelos elementos da coluna k da matriz B e somando-
se os produtos obtidos, ou seja:
Cik=ai1.bik+ai2.b2k+ai3.b3k+...+aim.bmk
Da definição decorre que:
O produto das matrizes A e B existe quando o número de coluna da
matriz A é igual ao número de linhas da matriz B.
O produto de duas matrizes A e B, se existir, tem o mesmo número de
linhas de A e o mesmo número de colunas da matriz B, isto é, se A é do tipo mxn e
B do tipo nxp, então AB é do tipo mxp, assim:
a) Se A é a matriz do tipo 3x4 e B é matriz do tipo 4x2, então existe a
matriz AB, pois o número de colunas de A é igual ao número de linhas de B. A matriz
AB é do tipo 3x2.
Veja o esquema abaixo.
b) Se A é do tipo 3x4 e B é do tipo 3x2, não existe a matriz AB, pois o
número de colunas de A é diferente do número de linhas de B.
Exemplo:
Dadas as matrizes 32
042
321
x
A
e
430131
1053
1142
x
B
determine AxB.
IF Farroupilha - Campus Alegrete
RS – 377 km 27 – Passo Novo
Alegrete - RS
Fone/Fax: (55) 3421-9600
www.al.iffarroupilha.edu.br
Professor Mauricio Lutz
14
Resolução:
622816
342311
0.01.41.21.00.41.23.05.44.21.03.42.2
0.31.21.11.30.21.13.35.24.11.33.22.1
0131
1053
1142
042
321
43
32
x
x
xAxB
6.2.3 Propriedades da multiplicação
Após verificadas as condições de existência para a multiplicação de
matrizes, são válidas as seguintes propriedades:
a) Associativa: (A.B).C=A.(B.C)
b) Distributiva em relação a adição: A.(B+C)=A.B+A.C ou (A+B).C=A.C+B.C
c) Elemento neutro: A.In=In.A, onde In é a matriz identidade de ordem n.
Observações:
Não valem as seguintes propriedades:
a) Comutativa, pois, em geral A.BB.A
b) Sendo Omxn não implica, necessariamente que A=Omxn ou B=Omxn.
(4) Exercícios
1. Calcule os produtos das seguintes matrizes, se existirem:
a) 32
23
031
142
10
14
32
x
x
x
b) 22
23
11
10
11
32
10
x
x
x
c) 12
23
1
2
01
62
31
x
x
x
d) 31
13
132
1
4
2
x
x
x
IF Farroupilha - Campus Alegrete
RS – 377 km 27 – Passo Novo
Alegrete - RS
Fone/Fax: (55) 3421-9600
www.al.iffarroupilha.edu.br
Professor Mauricio Lutz
15
e)
23
22 04
22
13
11
42
x
x
x
f)
13
32 7
0
1
205
42/11
x
x
x
2. Dadas as matrizes A=(aij)6x4, tal que aij=i-j, B(bij)4x5, tal que bij=j-i, e C=A.B,
determine o elemento C42.
3. Dadas as matrizes A=(aij) e B(bij), quadradas de ordem 2, com aij=3i+4j e bij=-
4i-3j se C=A+B, então C2 é igual a?
4. O valor de x para que o produto da matrizes
13
2 xA e
10
11B seja uma
matriz simétrica, é?
5. Dadas as matrizes
31
21A ,
01
11B , calcule:
a) (A+B)2 b) A2+2.(A.B)+B2
6. Sabendo que
10
21A e
11
02B , calcule AB-BA.
7. Assinale V (verdadeira) ou F (falsa) para cada uma das afirmações relacionadas
com matrizes transpostas.
( ) Se a matriz A=(aij)2x2 é tal que aij=aji, então At=A.
( ) Qualquer que seja a matriz A, (At)t=A.
( ) Sejam A=(aij)mxn e B=(bij)nxp, então (A.B)t=At.Bt.
A sequência correta é:
a) V – V – V.
b) V – F – V.
c) F – V – F.
d) F – F – V.
e) V – V – F.
IF Farroupilha - Campus Alegrete
RS – 377 km 27 – Passo Novo
Alegrete - RS
Fone/Fax: (55) 3421-9600
www.al.iffarroupilha.edu.br
Professor Mauricio Lutz
16
8. Seja A=(aij) uma matriz nxn com n>2. A relação que gera, na matriz A, linhas cujos
elementos estão em P.A. é
a) aij=ij
b) aij=2i+j
c) aij=i/j
d) aij=i.j
e) aij=(-1)j+j
9. A matriz
fornece os preços (em reais) por kg de erva-mate, feijão, arroz e açúcar nos
mercados M1, M2, M3 e M4. Se um consumidor necessita comprar 2kg de erva-mate,
3 kg de feijão, e 5kg de arroz e 4 kg de açúcar, então a matriz que fornece os custos
(em reais) nos mercados M1, M2, M3 e M4, respectivamente, é
a) [12,80 12,20 12,70 13,60]
b) [26,40 12,40 10,50 13,80]
c) [25,40 13,80 10,50 9,00]
d) [12,80 12,40 12,70 13,60]
e) [12,80 13,80 12,70 9,00]
10. Considere as matrizes ji
aAji
xij
1
1)( 23 e kjbB xjk 32)( . O elemento
C23 da matriz produto C=A.B é
a) –11/12 b) 1/12 c) 5/12 d) 11/12 e) 1
IF Farroupilha - Campus Alegrete
RS – 377 km 27 – Passo Novo
Alegrete - RS
Fone/Fax: (55) 3421-9600
www.al.iffarroupilha.edu.br
Professor Mauricio Lutz
17
7 MATRIZ INVERSA
Uma matriz quadrada A, de ordem n, é inversível se, e somente se, existir
uma matriz indicada por A-1, tal que A.A-1=A-1.A=In.
Existe a matriz inversa somente quando o determinante da matriz for
diferente de zero.
Observações:
I é uma matriz identidade de mesma ordem que as matrizes A e B;
Se existir a inversa, dizemos que a matriz A é inversível e, em caso
contrário, não inversível ou singular;
Se a matriz quadrada A é inversível, ela é única.
Exemplo: Determinar a inversa da matriz
51
42A
Resolução:
Fazendo
dc
baA 1 . Sabemos que A.A-1=I2.
10
01
55
4242
10
01
51
42
dbca
dbca
dc
bax
pela igualdade de matrizes, temos os sistemas:
6
1 e
6
5
05
142
ca
ca
ca
3
1 e
3
2
15
042
db
db
db
Portanto
3
1
6
13
2
6
5
1A .
IF Farroupilha - Campus Alegrete
RS – 377 km 27 – Passo Novo
Alegrete - RS
Fone/Fax: (55) 3421-9600
www.al.iffarroupilha.edu.br
Professor Mauricio Lutz
18
(5) Exercícios
1. Determine a inversa das matrizes:
a)
11
43A b)
021
131
001
B
2. Dadas as matrizes
57
23A e
11
11B , obtenha a matriz A.B+A-1.
3. Se
12
21A e
20
13B , então obtenha a matriz X=(A.B-1)t
4. Mostre que a inversa da matriz
11
34é
41
31.
5. Dadas matrizes
20
03A ,
53
12P e
b
aB
75
10
13
1, determine os valores
de a e b, tais que B=P.A.P-1.
(6) Exercícios complementares
1. O produto M.N da matriz
1
1
1
M pela matriz 111N :
a) não se define.
b) é uma matriz identidade de ordem 3.
c) é uma matriz de uma linha e uma coluna.
d) é uma matriz quadrada de ordem 3.
e) não é uma matriz quadrada.
IF Farroupilha - Campus Alegrete
RS – 377 km 27 – Passo Novo
Alegrete - RS
Fone/Fax: (55) 3421-9600
www.al.iffarroupilha.edu.br
Professor Mauricio Lutz
19
2. Considere a matriz quadrada de ordem 2, ji
aA ij
12
)( . Se B é a matriz inversa
de A, então B+Bt é igual a:
a)
32
22/3 b)
32
22/3 c)
64
43 d)
6/14/1
4/16/1 e)
64
43
3. A matriz quadrada A=(aij) de ordem 2, onde
. se .cos
se 1.sen
jij
i
jij
i
aij
tem como
inversa a matriz A-1 igual a
a)
10
01 b)
10
01 c)
10
11 d)
11
01 e)
11
01
4. Considere as matrizes quadradas de ordem 2, A=(aij) onde )(2
1jiaij e B=(bij)
onde jibij . A matriz X=4A2-6B é igual a
a)
10
01 b)
11
01 c)
11
11 d)
01
10 e)
10
11
5. Sabendo que os produtos das matrizes A e B é tal que AB=I2, podemos afirmar
que:
a) A2x3 e B3x2
b) A2x2 e B2x2
c) A2x1 e B1x2
d) todas as opções anteriores são corretas
e) nenhuma resposta
6. Se aij é uma matriz de ordem 3x4 definida por
ji
jiaij
se ,1
se ,5, então o valor de
a32.a34.a22 é:
a) –125 b) –25 c) –5 d) 5 e) 25
IF Farroupilha - Campus Alegrete
RS – 377 km 27 – Passo Novo
Alegrete - RS
Fone/Fax: (55) 3421-9600
www.al.iffarroupilha.edu.br
Professor Mauricio Lutz
20
7. Dadas as matrizes
52
3xA e
1
35
yB , os valores de x e y,
respectivamente, para que
10
01.BA :
a) 2 e –1 b) 1 e 2 c) –1 e –2 d) –1 e 2 e) –1 e 1
8. Se
102
12 xxA ,
10
4
2
B ,
6
20C e A.B=C, então log4x é:
a) 4 b) 2 c) 1 d) ½ e) 0
9. A matriz A=(aij)3x3 é definida de tal modo que
ji
jia
ji
ij se ,0
se ,)1(, então A é:
a)
011
101
110
b)
100
010
001
c)
011
101
110
d)
100
010
001
e)
011
101
110
10. Sejam
a
aX
2
1 e
28
42Y onde a se X2=Y, então a é:
a) –2 b) –1 c) – ½ d) 1 e) ½
IF Farroupilha - Campus Alegrete
RS – 377 km 27 – Passo Novo
Alegrete - RS
Fone/Fax: (55) 3421-9600
www.al.iffarroupilha.edu.br
Professor Mauricio Lutz
21
GABARITOS
(1) 1. a) 2x3 b) 1x3 c) 3x1 d) 3x3 2. a) 3 -2 5 b) –4 4 -7 c) a23=0 d) a32= -4
3. 2x2; 1x4; 4x1 4.
765
432 5. a)
543
432 b)
21
52 c)
054
503
430
(2) 1. 25 elementos 2. x=2 e y=1 3.
369
625
921
4. x=3 e y=½ 5.
55
82B
6.
18
43
70
7. a= -3; b= -4; c= -4 8.
80
01 9. –3 10. a=0; b= -1; c=
2
3
(3) 1. m=5; n=2; q= -1; p=2 2. a)
11
11 b)
11
11 c)
13
73 d)
11
11
3. 222 4. a)
15
41
83
b)
14
22
28
c)
05
62
93
d)
05
62
93
e)
266
115 f)
25
24
79
5. x= -3; y=3; z=12; w= -6.
(4) 1. a)
031
4139
2171
b)
21
13
11
c)
2
10
1
d)
132
4128
264
e) não existe o produto f)
19
27 2. C42=2 3.
10
01 4. x=1
5. a)
90
54 b)
81
55 6.
20
22 7. e 8. d 9.d 10. c.
(5) 1. a)
31
41 b)
231
21
210
21
001
2.
155
36 3.
61
65
32
31
X
5. a=24 e b= -11.
(6) 1. d 2. c 3. e 4. a 5. b 6. b 7. d 8. c 9. a 10. a
IF Farroupilha - Campus Alegrete
RS – 377 km 27 – Passo Novo
Alegrete - RS
Fone/Fax: (55) 3421-9600
www.al.iffarroupilha.edu.br
Professor Mauricio Lutz
22
DETERMINANTES
1. DEFINIÇÃO
A toda matriz quadrada de ordem n, podemos associar, através de certas
operações, um número real chamado determinante da matriz.
Representa-se o determinante da matriz
54
21A como
54
21det A ou
54
21 .
2 DETERMINANTE DA MATRIZ DE ORDEM 1
O determinante da matriz A=(a11) é o próprio número real a11.
Exemplo: Seja a matriz A=(2) logo det A=|2|=2
3 MENOR COMPLEMENTAR
Chama-se menor complementar de um elemento aij de um determinante
, um novo determinante, representado como Dij, que se obtém suprimindo a linha i
e a coluna j que passam por aij de .
Exemplos: 1. O menor complementar do elemento 5 (2º linha e 3º coluna) é: Resolução:
713
21
813
570
421
23
D
2. O menor complementar do elemento –2 é:
Resolução:
6665
4211
D
IF Farroupilha - Campus Alegrete
RS – 377 km 27 – Passo Novo
Alegrete - RS
Fone/Fax: (55) 3421-9600
www.al.iffarroupilha.edu.br
Professor Mauricio Lutz
23
4 ADJUNTO OU COFATOR OU COMPLEMENTO ALGÉBRICO
Cofator (cof) de um elemento aij de uma matriz, é o produto do menor
complementar deste elemento pelo fator (-1)i+j.Dij, ou seja, Aij=(-1)i+j.Dij.
Exemplos:
1. Calcule o cofator do elemento a21 do determinante 40
32 .
Resolução:
3)3).(1(3.)1(.)1(40
323
21
12
21
DA
2. O complemento algébrico ou cofator do elemento 1 é:
Resolução:
26)620.(141
65.)1(.)1(
418
652
3412
11
11
11
DA
5. DETERMINANTE DA MATRIZ DE ORDEM 2
Dada a matriz
2221
1211
aa
aaA , o det A é a soma dos produto dos
elementos de uma fila qualquer pelos respectivos cofatores.
Calculando:
A11=(-1)1+1.|a22|=a22
A12=(-1)1+2.|a21|=-a21
A21=(-1)2+1.|a12|=-a12
A22=(-1)2+2.|a11|=a11.
Desenvolvendo pela 1º linha:
det A=a11.A11+a12.A12=a11.a22+a12.(-a21)=a11.a22-a12.a21 (I)
IF Farroupilha - Campus Alegrete
RS – 377 km 27 – Passo Novo
Alegrete - RS
Fone/Fax: (55) 3421-9600
www.al.iffarroupilha.edu.br
Professor Mauricio Lutz
24
Desenvolvendo pela 2º linha:
det A=a21.A21+a22.A22=a21.(-a12)+a22.a11=-a21.a12+a22.a11 (II)
Desenvolvendo pela 1º coluna:
det A=a11.A11+a21.A21=a11.a22+a21.(-a12)=a11.a22-a21.a12 (III)
Desenvolvendo pela 2º coluna:
det A=a12.A12+a22.A22=a12.(-a21)+a22.(-a11)=-a12.a21+a11.a22 (IV)
Concluí-se que (I)=(II)=(III)=(IV).
Exemplo: Calcule o determinante de 75
21A .
Resolução:
Desenvolvendo-se pela 1º linha temos:
det A=a11.A11+a12.A12=(-1)1+1.1.|7|+(-1)1+2.2.|5|=7-10=-3
Regra prática:
Consideremos a matriz
2221
1211
aa
aaA , o determinante de uma matriz de
ordem 2 é a diferença entre o produto dos elementos da diagonal principal e o
produto dos elementos da diagonal secundária, ou seja,
21122211
2221
1211..det aaaa
aa
aaA
Exemplo:
1. Ache o valor do determinante 34
10 .
Resolução:
4404).1(3.034
10
IF Farroupilha - Campus Alegrete
RS – 377 km 27 – Passo Novo
Alegrete - RS
Fone/Fax: (55) 3421-9600
www.al.iffarroupilha.edu.br
Professor Mauricio Lutz
25
2. Ache o valor do determinante 25
73.
Resolução:
413565.72.325
73
(1) Exercícios
1. Calcular o cofator do elemento a21 da matriz A=(aij)2x2, onde aij=2j+1, se ij; i+j, se
i=j.
2. Resolva as equações:
a) 32
13
x
xx b) 0
75
2
xx c) 0
5
x
xx
3. Sabendo que 0 x 2, resolva a equação 22
75
sen1
3sen
x
x.
4. Calcular o cofator dos elementos a12 e a22 da matriz
52
31A .
5. Calcular o valor do determinante das matrizes seguinte, usando a definição.
a)
83
10A b)
52
31B
6. Calcular o valor do determinante, usando a regra prática.
a) 23
59
b)
yx
yx
c)
aa
aa
cossen
sencos
7. Sendo A=(aij) uma matriz de ordem 2 e aij=j-i2, calcular o determinante da matriz
A.
IF Farroupilha - Campus Alegrete
RS – 377 km 27 – Passo Novo
Alegrete - RS
Fone/Fax: (55) 3421-9600
www.al.iffarroupilha.edu.br
Professor Mauricio Lutz
26
8. Seja A=(aij) uma matriz quadrada de 2º ordem, tal que aij=i2+i.j . Calcule det A.
9. Sendo
20
31A e
02
31B , calcule det (AB).
10. Ache o valor dos determinantes:
a) 13
25
b)
512
151
c)
231
123
d) ba
ba 11 e)
32
46
6 DETERMINANTE DA MATRIZ DE ORDEM 3
Dada a matriz
333231
232221
131211
aaa
aaa
aaa
A , chama-se det A a soma dos produtos
dos elementos de uma fila qualquer pelos respectivos cofatores.
Desenvolvendo-se pela 1º linha:
(I) ............
)..()..()..(
.)1.(.)1.(.)1.(
...det
312213332112322311332113312312332211
312232211331233321123223332211
3231
222131
13
3331
232121
12
3332
232211
11
131312121111
aaaaaaaaaaaaaaaaaa
aaaaaaaaaaaaaaa
aa
aaa
aa
aaa
aa
aaa
AaAaAaA
Desenvolvendo-se pela 3º coluna:
)( ............
)..()..()..(
.)1.(.)1.(.)1.(
...det
211233321123312213221133311223322113
211222113331123211233122322113
2221
121133
33
3231
121132
23
3231
222131
13
333323231313
IIaaaaaaaaaaaaaaaaaa
aaaaaaaaaaaaaaa
aa
aaa
aa
aaa
aa
aaa
AaAaAaA
Concluí-se que (I)=(II).
IF Farroupilha - Campus Alegrete
RS – 377 km 27 – Passo Novo
Alegrete - RS
Fone/Fax: (55) 3421-9600
www.al.iffarroupilha.edu.br
Professor Mauricio Lutz
27
Exemplo: Calcule o determinante da matriz
311
212
713
A , pela 1º linha e 2º
coluna.
Resolução:
1º linha:
167815)12(7)26(1)23(3
11
12.)1.(7
31
22.)1.(1
31
21.)1.(3det 312111
A
2º coluna:
168168)146(1)79(1)26(1
22
73.)1.(1
31
73.)1.(1
31
22.)1.(1det 232221
A
Regra prática: Regra de Sarrus
Sendo A uma matriz quadrada de 3º ordem, seu determinante será
calculado através da “Regra de Sarrus”: repete-se as duas primeiras colunas a
direita da matriz (ou as duas primeiras linhas após a 3º linha) e adiciona-se o produto
dos elementos da diagonal principal ao produto de suas paralelas, subtraí-se deste
resultado o produto da diagonal secundária e o das suas paralelas a ela.
Exemplo: Calcule o determinante da matriz
311
212
713
A .
Resolução:
166671429
)3).(2).(1()1).(2).(3()1).(1).(7()1).(2).(7()1).(2).(1()3).(1).(3(
11311
12212
13713
311
212
713
IF Farroupilha - Campus Alegrete
RS – 377 km 27 – Passo Novo
Alegrete - RS
Fone/Fax: (55) 3421-9600
www.al.iffarroupilha.edu.br
Professor Mauricio Lutz
28
(2) Exercícios
1. Seja a matriz quadrada de 3º ordem e que aij=2i-j, calcular o cofator do elemento
a12?
2. Calcular o valor do determinante das matrizes seguintes usando a definição:
a)
412
011
302
A b)
510
31
02
y
y
B
3. Calcule usando a regra de Sarrus:
a)
432
314
523
b)
524
132
030
c)
034
111
022
d)
610
240
350
4. Resolver as equações, sendo x.
a)
314
012
3
3
22
2xx
x
x
b) 5
21
12
113
x
x
5. Seja S=(sij) a matriz quadrada de ordem 3, onde
jiji
jiji
ji
sij
,
,
,0
, calcular o valor
do determinante de S.
6. O determinante da matriz B=(bij) de ordem 3, onde
jiji
sebij
se ,4
ji ,0, é igual a:
a) –180 b) –162 c) 0 d) 162 e) 180
IF Farroupilha - Campus Alegrete
RS – 377 km 27 – Passo Novo
Alegrete - RS
Fone/Fax: (55) 3421-9600
www.al.iffarroupilha.edu.br
Professor Mauricio Lutz
29
7. Calcule o valor de 3.det (A) –2.det (B)+5.det (C)=0, sendo
35
2 xA ,
31
2 xxB ,
2/3
24
x
xC .
a) 2 b) 1 c) 0 d) –2 e) –4
8. Sabendo que 22
31a e
311
122
131
b , calcule a2-2b.
9. Ache o valor do determinante da matriz P2, sabendo que
220
112
112
P .
10. Considere as matrizes
xzz
xyy
zyx
A ,
xzyz
zxyxB e
42
64C . Sabendo
que a matriz B é igual à matriz C, calcule o determinante da matriz A.
7 DETERMINANTE DA MATRIZ DE ORDEM 4
O determinante de uma matriz é igual a soma dos produtos dos elementos
de uma fila qualquer pelos respectivos cofatores (Teorema de Laplace).
Exemplo: Calcule o determinante
1001
1153
0201
2102
A .
Resolução:
45)9.(5.5.0.5.0.0det 3242322212 AAAAAA
9144.1144.1
101
021
212
.)1( 23
32
A
IF Farroupilha - Campus Alegrete
RS – 377 km 27 – Passo Novo
Alegrete - RS
Fone/Fax: (55) 3421-9600
www.al.iffarroupilha.edu.br
Professor Mauricio Lutz
30
8 MATRIZ COFATORA
Dada a matriz quadrada A(aij)mxn chama-se matriz cofatora de A a matriz
B=(bij)mxn cujos elementos são cofatores dos elementos correspondentes de A.
j e i , ijij AbAcofB .
Exemplo: Seja a matriz
115
123
321
A , determine a B cofatora de A.
Resolução:
1)12.(111
12.)1( 11
11 A 2)53.(115
13.)1( 21
12 A
7)103.(115
23.)1( 31
13 A 1)32.(111
32.)1( 12
21 A
14)151.(115
31.)1( 22
22 A 9)101.(115
21.)1( 32
23 A
4)62.(112
32.)1( 13
31 A 8)91.(113
31.)1( 23
32 A
4)62.(123
21.)1( 33
33 A
Portanto a matriz
484
9141
721
333231
232221
131211
AAA
AAA
AAA
B
9 MATRIZ ADJUNTA
A transposta da matriz cofatora de A é chamada matriz adjunta de A.
tAcofAAdj
Exemplo: Seja a matriz
115
123
321
A , determine a matriz Adj A.
IF Farroupilha - Campus Alegrete
RS – 377 km 27 – Passo Novo
Alegrete - RS
Fone/Fax: (55) 3421-9600
www.al.iffarroupilha.edu.br
Professor Mauricio Lutz
31
Resolução:
Cálculo da matriz cofatora
Pelo exemplo anterior sabemos que a matriz cofatora de A é
484
9141
721
B .
Cálculo da matriz transposta
484
9141
721
B e
497
8142
411tB
Portanto a ttBAcofAAdj
Logo
497
8142
411
A Adj .
10 INVERSÃO DE MATRIZES COM AUXÍLIO DA TEORIA DOS DETERMINANTES
Dada a matriz quadrada A=(aij)mxn se 0det A , então existe a inversa de
A e esta é dada por:
tcof
AA A .
det
11 ou A .det
11 AdjA
A
Exemplo: Determine a inversa da matriz
31
12A se existir, com o auxilio dos
determinantes.
Resolução:
Cálculo do determinante
71631
12det
A
IF Farroupilha - Campus Alegrete
RS – 377 km 27 – Passo Novo
Alegrete - RS
Fone/Fax: (55) 3421-9600
www.al.iffarroupilha.edu.br
Professor Mauricio Lutz
32
Cálculo da matriz cofatora
31
12A ,
21
13
2221
1211
AA
AABAcof
33.)1( 11
11 A 1)1).(1(1.)1( 21
12 A
11).1(1.)1( 12
21 A 22.)1( 22
22 A
Cálculo da matriz adjunta
ttBAcofAAdj
21
13
21
13
t
AAdj
Cálculo da inversa da matriz
A .det
1A .
det
11 AdjA
cofA
At
7
2
7
17
1
7
3
21
13.
7
11A
Observações:
1. Uma matriz quadrada que possui seu determinante diferente de zero é
chamada matriz regular ou não-singular. Logo, é inversível.
2. Uma matriz quadrada que possui seu determinante igual a zero é
chamada matriz não regular ou singular. Logo, não é inversível.
(3) Exercícios
1. Se
011
213
112
A e 1)( 2 xxxf , calcule
Af
det
1.
2. Determine a inversa da matriz
xx
xxA
sencos
cossen, caso exista.
IF Farroupilha - Campus Alegrete
RS – 377 km 27 – Passo Novo
Alegrete - RS
Fone/Fax: (55) 3421-9600
www.al.iffarroupilha.edu.br
Professor Mauricio Lutz
33
3. Verifique se matriz
31
06A admite inversa, caso positivo, calcule-a.
4. Calcule x para que exista a inversa da matriz
x
xA
12
01
233
.
5. Calcular a inversa das matrizes, caso exista:
a)
41
32A b)
751
432
321
B
11 PROPRIEDADES DOS DETERMINANTES
1º) Quando todos os elementos de uma fila (linha ou coluna) são nulos, o
determinante dessa matriz é nulo.
Exemplos:
1. 0)000()000(
51051
42042
13013
051
042
013
2. 0)000()000(
00000
35135
21821
000
135
821
2º) Se duas filas paralelas de uma matriz são iguais, então seu determinante é nulo.
Exemplos:
1.
055)41524()41524(
13213
42542
13213
213
542
213
IF Farroupilha - Campus Alegrete
RS – 377 km 27 – Passo Novo
Alegrete - RS
Fone/Fax: (55) 3421-9600
www.al.iffarroupilha.edu.br
Professor Mauricio Lutz
34
2.
044)6212()2612(
13313
42242
11111
313
242
111
3º) Se duas paralelas de uma matriz são proporcionais, então o seu determinante é
nulo.
Exemplos:
1.
0130130)808030()808030(
10510105
34834
21221
10105
834
221
.5 13
LL
2.
05050)80030()08030(
051005
34834
21221
1005
834
221
.2 13
CC
4º) Se o elemento de uma fila de uma matriz são combinações lineares dos
elementos correspondentes de filas paralelas, então seu determinante é nulo.
Combinações lineares de duas ou mais filas paralelas de um determinante
é uma fila paralela às filas consideradas, representados pela soma dos produtos das
filas por números reais.
Exemplos:
1.
01313)02815()805(
431-4-3
52752
01101
143
752
101
213
CCC
2.
077)46360()54565(
941-94
527-52
21321
194
752
321
.2 213
LLL
IF Farroupilha - Campus Alegrete
RS – 377 km 27 – Passo Novo
Alegrete - RS
Fone/Fax: (55) 3421-9600
www.al.iffarroupilha.edu.br
Professor Mauricio Lutz
35
5º) O determinante de uma matriz não se altera quando somamos aos elementos de
uma fila uma combinação linear dos elementos correspondentes de filas paralelas.
Exemplo:
22123)089()2401(
43143
12212
01301
143
212
301
222547)0833()4801(
4111-411
142-14
01301
1411
214
301
.2 211
CCC
226341)0063()4807(
431-43
74-07-4-
01301
143
074
301
.2 322
LLL
6º) O determinante de uma matriz e o de sua transposta são iguais.
Exemplo:
Seja a matriz
54
23A , calcule det A e det At.
23)8(1554
23det
A
23)8(1552
43det
tA
Portanto det A=det At.
IF Farroupilha - Campus Alegrete
RS – 377 km 27 – Passo Novo
Alegrete - RS
Fone/Fax: (55) 3421-9600
www.al.iffarroupilha.edu.br
Professor Mauricio Lutz
36
7º) Multiplicando por um número real todos os elementos de uma fila em uma matriz,
o determinante fica multiplicado por esse número.
Exemplo:
23)89()2400(
43043
12212
01301
043
212
301
A
46)01618()4800(
46046
14214
02302
046
214
302
.2 11
CC
ou seja, det A=23, como multiplicamos a coluna 1 por 2 o det A fica multiplicado
também por 2, o novo det A=46.
8º) Quando trocamos as posições de duas filas paralelas, o determinante de uma
matriz muda de sinal.
Exemplo:
23124)089()2400(
43043
12212
01301
043
212
301
23241)2400()089(
01301
12212
43043
301
212
043
23241)0240()809(
40340
12212
03103
340
212
103
9º) Quando em uma matriz os elementos acima ou abaixo da diagonal principal são
todos nulos, o determinante é igual ao produto dos elementos dessa diagonal.
Exemplos:
1. 8)000()008(
73273
42042
01001
273
042
001
IF Farroupilha - Campus Alegrete
RS – 377 km 27 – Passo Novo
Alegrete - RS
Fone/Fax: (55) 3421-9600
www.al.iffarroupilha.edu.br
Professor Mauricio Lutz
37
2. 8)000()008(
00200
40240
71171
200
240
171
10º) O determinante do produto das matrizes A e B é igual ao produto do
determinante A pelo determinante B, ou seja ).det(det.det BABA .
Exemplo:
Sejas as matrizes
43
21A e
83
15B .
3527
1711
3231215
16165
83
15.
43
21.BA
744593853527
1711).det( BA
26443
21det A 37340
83
15det B
).det(7437).2(det.det BABA
11º) Multiplicando-se a matriz A de ordem n pelo número real k obtém-se a matriz
k.A, de modo que AkAk n det.).det( .
Exemplo:
Seja a matriz
42
31A de ordem 2 e k=2.
84
62
42
31.2.Ak
8241684
62).det( Ak
26442
31det A
8)2.(4)2.(2det. 2 Ak n ,
portanto AkAk n det.).det(
IF Farroupilha - Campus Alegrete
RS – 377 km 27 – Passo Novo
Alegrete - RS
Fone/Fax: (55) 3421-9600
www.al.iffarroupilha.edu.br
Professor Mauricio Lutz
38
(4) Exercícios
1. O determinante de uma matriz é 36. Se multiplicarmos a segunda linha dessa
matriz por 2 e dividirmos sua primeira coluna por 9, o determinante da nova matriz
será:
a) 72 b) 4 c) 8 d) 162 e) –162
2. Dada a matriz
124
212
213
A , calcule o determinante de 3A.
3. Se A é uma matriz quadrada de ordem 4, tal que determinante de A0, A2+2A=0,
calcule det A.
4. Se A é uma matriz quadrada de ordem 3, det A=5, calcular o determinante de 2A.
5. Sendo A e B matrizes quadradas de ordem 2, se det A=2 e det B=3, calcule det
(2A3.B3).
6. Sabendo que a matriz A é tal que det A=5, calcule det A-1.
7. Calcule os determinantes através das propriedades, justificando os valores
obtidos:
a)
152
311
243
b)
8432
10941
9653
8432
c)
1302
2804
4903
5102
d)
5000
3400
9230
5421
8. Se det A=20, calcule det (A)t.
9. Sejam A e B duas matrizes quadradas de mesma ordem. Sabendo que det A=6
e det B=4, calcule det (A.B).
IF Farroupilha - Campus Alegrete
RS – 377 km 27 – Passo Novo
Alegrete - RS
Fone/Fax: (55) 3421-9600
www.al.iffarroupilha.edu.br
Professor Mauricio Lutz
39
10. O valor de um determinante de 5º ordem é 42. Se dividirmos a 1º linha por 7 e
multiplicarmos a 1º coluna por 3, o valor do novo determinante será?
11. O determinante de uma matriz quadrada A vale 12. Quando valerá o novo
determinante, se multiplicarmos a 2º linha da matriz por 8 e dividirmos a 3º coluna
por 4?
12. Se A é uma matriz quadrada, At a sua transposta e det A=4, então det At é igual
a:
a) 4 b) 2 c) 1 d) ½ e) ¼
13. Multiplicando-se a 1º linha da matriz A por 2 e a segunda por 3, obtém-se a matriz
B. Se det A=5, então det B é:
a) 5 b) 6 c) 10 d) 15 e) 30
14. O determinante de uma matriz quadrada é 35. Trocando-se entre si a 1º linha
com a 2º linha e dividindo a 4º coluna por 7, o novo valor do determinante será:
a) 5 b) –5 c) 245 d) –245 e) 8
15. Se 121296
321
zyx
, então
321
1296
zyx
vale:
a) –4 b) –4/3 c) 4/3 d) 4 e) 12
16. Se 10312
203
cba
, então
cba
406
624
é igual a:
a) 40 b) 20 c) –10 d) –20 e) –40
17. Uma matriz A de terceira ordem tem determinante 3. O determinante de 2A é:
a) 6 b) 8 c) 16 d) 24 e) 30
IF Farroupilha - Campus Alegrete
RS – 377 km 27 – Passo Novo
Alegrete - RS
Fone/Fax: (55) 3421-9600
www.al.iffarroupilha.edu.br
Professor Mauricio Lutz
40
18. Se A é uma matriz quadrada de 4º ordem e det A=6, então det 3A é igual a:
a) 6 b) 12 c) 486 d) 243 e) 81
19. Se A é uma matriz quadrada de terceira ordem e det A=4, desta forma det 2A é
igual a:
a) 4 b) 8 c) 16 d) 32 e) 64
20. Sejam A e B matrizes quadradas de ordem 2. Se det A=5 e
34
12.BA , então
det B é:
a) –5 b) –2 c) 2 d) 5 e) 10
(5) Exercícios complementares
1. Sejam A e B matrizes quadradas de ordem n e O a matriz nula de ordem n. Então,
a afirmativa correta é a seguinte:
a) Se At é a matriz transposta de A, então det At det A.
b) Se det A0, existe a matriz inversa A-1 e tAcofA
A ) .(det
11 , onde cof A é a matriz
dos cofatores de A.
c) Se A.B=O, então A=O ou B=O.
d) (A-B)2=A2-2AB+B2.
e) Se k, então det (kA)=k(det A), para todo k.
2. Sejam A, B e C matrizes reais 3x3, tais que A.B=C-1, B=2A e det C=8. Então o
valor de |det A| é
a) 1/16 b) 1/8 c) 1 d) 8 e) 16
IF Farroupilha - Campus Alegrete
RS – 377 km 27 – Passo Novo
Alegrete - RS
Fone/Fax: (55) 3421-9600
www.al.iffarroupilha.edu.br
Professor Mauricio Lutz
41
3. Analise as afirmativas a seguir.
I. A matriz
)2(24
0
)1(22
cc
xb
aa
é inversível se x=2b.
II. Se det (AB)=m, pode-se garantir que existe det A e det B.
III. Se det A=m0 e det B=1/m, então det (AB)=1.
Está(ão) correta(s)
a) apenas I. b) apenas II. c) apenas III. d) apenas I e III. e) I, II, III.
4. Seja A matriz 2x2 com determinante não-nulo. Se det A2=det (A+A), então det A é
a) –4 b) 1 c) 4 d) 8 e) 16
5. Sejam A e B matrizes reais quadradas de ordem n. Se det A=det B0, então
1.2
1det BAt é igual a
a) n2
1 b) ½ c) tAdet
2
1 d) A
ndet
2
1 e) n2
6. Dada a matriz
xx
x
A
1
134
11
, com x, o intervalo real para o qual det At<0
x é
a) (-, 0[ b) ]0, ) c) [-1, 0[ d) ]0, 2] e) ]-1, 4/3[
7. Considere uma matriz Anxn, onde A=(aij). Pode(m)-se afirmar:
I. AA n det.2.2det 2/ .
II. Se a1j=a2j, 1 j n, então det A=1.
III. Se det A0, então det A.det A-1=1.
Está(ão) correta(s)
a) apenas I. b) apenas I e II. c) apenas II e III. d) apenas III. e) apenas I e III.
IF Farroupilha - Campus Alegrete
RS – 377 km 27 – Passo Novo
Alegrete - RS
Fone/Fax: (55) 3421-9600
www.al.iffarroupilha.edu.br
Professor Mauricio Lutz
42
8. Dadas a matrizes quadradas
32
12A ,
10
01I e sendo x um número real,
considere a matriz A-xI.
Assinale V nas afirmativas verdadeiras e F nas falsas.
( )
x
xxIA
32
12.
( ) det (A-xI)0 para todo x real.
( ) A-xI é inversível se x1 e x4.
A sequência correta é
a) V – F – F. b) F – V – F. c) V – V – V. d) F – F – V. e) V – F – V.
9. As afirmações a seguir referem-se a matrizes e determinantes. Assinale V nas
verdadeiras e F nas falsas.
( ) A solução da equação 8
1000
302
211
000
x
x
x
é 4.
( ) Se A e B são matrizes quadradas de ordem n e A=kB, com k número real, então
det A=kn(det B).
( ) Se A é uma matriz de ordem mxp e B é uma matriz de ordem qxn, o produto
A.B é definido se p=q e, nesse caso, a ordem da matriz produto A.B será mxn.
A sequência correta é
a) V – F – V. b) V – F – F. c) F – V – F. d) F – V – V. e) F – F – V.
10. Considere a equação 1
010
sen10cos1
cos0sen
xx
xx
A soma de suas soluções, no intervalo 0 x 2, é igual a
a) -/2 b) 0 c) 1 d) /2 e) 3/2
IF Farroupilha - Campus Alegrete
RS – 377 km 27 – Passo Novo
Alegrete - RS
Fone/Fax: (55) 3421-9600
www.al.iffarroupilha.edu.br
Professor Mauricio Lutz
43
GABARITOS
(1) 1. –5 2. a)
1,
3
5S b) 5S c) 5,0S 3.
2
3,
2
S
4. A21= -2 e A22=1 5. a) –3 b) 11 6. a) –3 b) 0 c) 1 7. 3 8. –2 9. –12
10. a) 11 b) –2 c) 2 d) b–a e) 26
(2) 1. –4 2. a) 5 b) 5y2-16 3. a) 15 b) 42 c) 2 d) 0
4. a)
8
3,0S b) 2,1S 5. 48 6. d 7. D 8. 36 9. 64 10. 4
(3) 1. 4
3 2.
xx
xx
sencos
cossen 3.
3
118
1
06
1 4.
1" e 3
4'/ xxxS
5. a)
52
51
53
54
b) Não existe inversa
(4) 1. a 2. 135 3. 16 4. 40 5. 864 6. 5
1
7. a) 0, 4º propr. b) 0, 2º propr. C) 0, 1º propr. d) -60, 9º propr.
8. 20 9. 24 10. 18 11. 24 12. a 13. e 14. b 15. e
16. e 17. d 18. c 19. d 20. c.
(5) 1. b 2. b 3. c 4. c 5. a 6. e 7. e 8. e 9. d 10. e
IF Farroupilha - Campus Alegrete
RS – 377 km 27 – Passo Novo
Alegrete - RS
Fone/Fax: (55) 3421-9600
www.al.iffarroupilha.edu.br
Professor Mauricio Lutz
44
SISTEMAS LINEARES
1. DEFINIÇÃO
Consideremos uma equação da forma: a1x1+a2x2+a3x3+...+anxn=b1, onde
a1, a2,a3, ..., an e b são números conhecidos e x1, x2, x3, ..., xn são variáveis .
Uma equação desse tipo é chamada equação linear de n incógnitas sobre
.
Exemplos:
1. 5x1=40
2. 2x1+x2=12
3. x1+x2+x3=15
4. 3x1-4x2+x3-5x4=10
Nomenclatura:
Coeficientes: são os números reais a1, a2,a3, ..., an.
Termo independente: é o número real b1.
Incógnitas: são os números reais x1, x2, x3, ..., xn.
Observação:
Não são lineares, por exemplo, as equações:
1. 342 2 yx , pois a incógnita x tem expoente 2. Nas equações lineares, o
expoente de cada incógnita é sempre 1.
2. 032 zyx , pois a incógnita y tem expoente ½ .
3. 32
yx , pois a incógnita y tem expoente –1.
4. 142 zxyx , pois existe um termo com o produto xy. Nas equações lineares,
as incógnitas aparecem isoladamente em cada terno.
IF Farroupilha - Campus Alegrete
RS – 377 km 27 – Passo Novo
Alegrete - RS
Fone/Fax: (55) 3421-9600
www.al.iffarroupilha.edu.br
Professor Mauricio Lutz
45
2. SOLUÇÃO DE UMA EQUAÇÃO LINEAR
Consideremos a equação linear de n incógnitas sobre :
a1x1+a2x2+a3x3+...+anxn=b1
Chama-se solução dessa equação a uma seqüência de n números reais
(1, 2, 3, ..., n) tal que, substituindo-se respectivamente as incógnitas:
x1 por 1, x2 por 2, x3 por 3, ..., xn por n
obtém-se a igualdade verdadeira:
a11+a22+a33+...+ann=b1
Exemplos:
1. O par (5,3) é solução da equação:
2x+4y=22, pois 2.5+4.3=22.
2. A ordenada (1,2,0,3) não é a solução da equação:
3x+2y-5z-t=32, pois 3.1+2.2-5.0-3=432.
3. EQUAÇÕES LINEARES
É toda a equação da forma a1x1+a2x2+a3x3+...+anxn=b, onde:
a1, a2, a3, ..., an são os coeficientes;
x1, x2, x3, ..., xn são as incógnitas
Exemplos:
1. 3x1+5x2=4 , equação linear de 2 incógnitas;
2. 3x+2y-z=1, equação linear de 3 incógnitas;
3. x+y+z-t=-1, equação linear de 4 incógnitas.
Observações:
1. Observe que os expoente das incógnitas são iguais a um;
IF Farroupilha - Campus Alegrete
RS – 377 km 27 – Passo Novo
Alegrete - RS
Fone/Fax: (55) 3421-9600
www.al.iffarroupilha.edu.br
Professor Mauricio Lutz
46
2. Quando o termo independente “b” for igual a zero, a equação linear denomina-se
equação linear homogênia, por exemplo 5x-3y=0;
3. Uma equação linear não apresenta termos da forma x2, xy, x½, ..., isto é, cada
termo da equação linear tem uma incógnita, cujo expoente é sempre 1.
4. A solução de uma equação linear an incógnitas é a sequência de números reais,
(1, 2, 3, ..., n) que colocamos respectivamente no lugar de x1,x2,x3, ...xn, que
tornam verdadeira a igualdade dada.
(1) Exercícios
1. Ache duas soluções de equação –x1+x2=0.
a) x1=-3 b) x1=1
2. Determine “m” para que (-1, 1, -2) seja solução da equação mx+y-2z=6.
3. Dada a equação 132
yx ache para que (, +1) torne a sentença verdadeira.
4. SISTEMAS LINEARES
4.1 Definição
Chama-se sistema linear a um conjunto formado por duas ou mais
equações lineares.
Exemplos:
1.
23
421
yx
yxSL SL1 é um sistema linear de duas equações e duas incógnitas.
2.
12
0322
zyx
zyxSL SL2 é um sistema linear de duas equações e três incógnitas.
IF Farroupilha - Campus Alegrete
RS – 377 km 27 – Passo Novo
Alegrete - RS
Fone/Fax: (55) 3421-9600
www.al.iffarroupilha.edu.br
Professor Mauricio Lutz
47
3.
628
123
2
3
yx
yx
yx
SL SL3 é um sistema linear de três equações e duas incógnitas.
Um sistema linear de m equações (m 2) de n incógnitas (x1, x2, x3, ...,
xn) pode ser assim escrito:
mnmnmmm
nn
nn
nn
bxaxaxaxa
bxaxaxaxa
bxaxaxaxa
bxaxaxaxa
SL
. . .
. . . . .
. . . . .
. . . . .
. . .
. . .
. . .
332211
33333232131
22323222121
11313212111
Veja que, nesta notação, os coeficientes das incógnitas possuem dois
índices: o primeiro representa a equação e o segundo representa a incógnita à qual
o coeficiente pertence. Por exemplo:
a23 representa, na 2º equação, o coeficiente de x3.
a32 representa, na 3º equação, o coeficiente de x2.
a41 representa, na 4º equação, o coeficiente de x1.
4.2 Solução e conjunto solução de um sistema linear
Já sabemos em que condições uma sequência de números reais (1, 2,
3, ..., n) é a solução de uma equação linear de n incógnitas.
Para que uma sequência de números reais seja solução de um sistema
linear de m equações a n incógnitas, ela deve ser, simultaneamente, solução de
todas as m equações desse sistema.
Exemplos:
1. Considere este sistema linear:
42
73
yx
yx
IF Farroupilha - Campus Alegrete
RS – 377 km 27 – Passo Novo
Alegrete - RS
Fone/Fax: (55) 3421-9600
www.al.iffarroupilha.edu.br
Professor Mauricio Lutz
48
Neste sistema de duas equações a duas incógnitas, toda solução é um
par ordenado (pois são duas as incógnitas). Veja que o par ordenado (1, 2) é a
solução do sistema, pois:
421.2
72.31.
2. Considere o sistema linear:
0
6
zyx
zyx
Como agora temos três incógnitas, cada solução será uma terna
ordenada de números. Veja que as ternas (3, 1, 2) e (3, 3, 0) são soluções do
sistema, pois:
0033
6033 e
0213
6213.
O conjunto solução de um sistema linear é o conjunto formado
por todas as soluções desse sistema.
Se o conjunto ordenado de números reais (1, 2, 3, ..., n) satisfazer
todas as equações do sistema, será denominado solução do sistema linear.
Observação: Se o termo independente de todas as equações do sistema for nulo,
isto é, b1=b2=...=bn=0 o sistema linear será dito homogêneo.
Exemplo:
0325
04
02
zyx
zyx
zyx
Uma solução evidente do sistema linear homogêneo é x=y=z=0. Esta
solução chama-se solução trivial do sistema linear homogêneo. Outra solução, onde
as incógnitas não são todas nulas, será chamada solução não trivial.
IF Farroupilha - Campus Alegrete
RS – 377 km 27 – Passo Novo
Alegrete - RS
Fone/Fax: (55) 3421-9600
www.al.iffarroupilha.edu.br
Professor Mauricio Lutz
49
0. . .
. . . . .
. . . . .
. . . . .
0. . .
0. . .
0. . .
332211
3333232131
2323222121
1313212111
nmnmmm
nn
nn
nn
xaxaxaxa
xaxaxaxa
xaxaxaxa
xaxaxaxa
Solução trivial: x1=x2=x3=...=xn=0
Solução não trivial: qualquer outra solução as incógnitas não são todas
nulas.
(2) Exercícios
1. Seja o sistema
2
52
032
zyx
zyx
zyx
S
a) Verifique se (2, -1, 1) é solução do sistema.
b) Verifique se (0, 0, 0) é a solução do sistema.
2. Seja o sistema
32
93 2
kyx
kyx, calcule k para que o sistema seja homogêneo.
5. SISTEMAS LINEARES EQUIVALENTES
Se dois sistemas lineares S1 e S2 admitem a mesma solução, eles são
ditos sistemas equivalentes.
Exemplo: Calcular m e n, de modo que sejam equivalentes os sistemas:
52
1
yx
yx e
2
1
mynx
nymx
IF Farroupilha - Campus Alegrete
RS – 377 km 27 – Passo Novo
Alegrete - RS
Fone/Fax: (55) 3421-9600
www.al.iffarroupilha.edu.br
Professor Mauricio Lutz
50
Resolução:
Cálculo do x e y:
1121
2 x
63x
52
1
yyyxyx
yx
Substituindo-se x e y no segundo sistema, vem:
155
442
12
)2.(22
12
n
n
nm
nm
mn
nm
00211212 mmmnm
Portanto n=1 e m=0.
(3) Exercícios
1. Verifique se os sistemas
7
521
yx
yxS e
93
1152
yx
yxS são equivalentes.
2. Determine a e b de modo que sejam equivalentes os sistemas:
2
0
yx
yx e
1
1
aybx
byax
6. EXPRESSÃO MATRICIAL DE UM SISTEMA DE EQUAÇÕES LINEARES
Dentre suas variadas aplicações, as matrizes são utilizadas na resolução
de um sistema de equações lineares. Seja o sistema linear:
mnmnmmm
nn
nn
nn
bxaxaxaxa
bxaxaxaxa
bxaxaxaxa
bxaxaxaxa
. . .
. . . . .
. . . . .
. . . . .
. . .
. . .
. . .
332211
33333232131
22323222121
11313212111
IF Farroupilha - Campus Alegrete
RS – 377 km 27 – Passo Novo
Alegrete - RS
Fone/Fax: (55) 3421-9600
www.al.iffarroupilha.edu.br
Professor Mauricio Lutz
51
Utilizando matrizes, podemos representar este sistema da seguinte forma:
nnmnmm
n
n
b
b
b
x
x
x
x
aaa
aaa
aaa
.
.
.
.
.
.
...
......
......
......
...
...
2
1
2
1
21
22221
11211
(1) (2) (3)
(1) matriz constituída pelos coeficientes das incógnitas;
(2) matriz coluna constituída pelas incógnitas;
(3) matriz coluna dos termos independentes.
Exemplo: Represente o seguinte sistema na forma matricial:
827
1634
052
zyx
zyx
zyx
Resolução:
Ele pode ser representado por meio de matrizes da seguinte forma:
8
1
0
217
634
152
z
y
x
x
Observe que se efetuarmos a multiplicação iremos obter o sistema dado.
Observação:
Seja o sistema
2
52
yx
yx
1. Matriz completa: é a matriz formada pelos coeficientes das incógnitas e pelos
termos independentes.
211
512
2. Matriz incompleta: é a matriz formada pelos coeficientes das incógnitas.
11
12
IF Farroupilha - Campus Alegrete
RS – 377 km 27 – Passo Novo
Alegrete - RS
Fone/Fax: (55) 3421-9600
www.al.iffarroupilha.edu.br
Professor Mauricio Lutz
52
3. Matriz das incógnitas: é a matriz coluna formada pelas incógnitas do sistema.
y
x
4. Matriz dos termos independentes: é a matriz coluna formada pelos termos
independentes do sistema.
2
5
(4) Exercícios
1. Expresse matricialmente os sistemas:
a)
03
52
yx
yx b)
253
0
12
cba
ca
cba
2. A expressão matricial de um sistema S é
7
4
13
52
b
ax , determine as
equações de S.
3. Dados os sistemas, obtenha as matrizes completas associadas:
a)
1832
3
xy
xy b)
yzx
zyx
yx
zyx
232
2362
4
61485
4. Dadas as matrizes completas, escrever os sistemas a elas associados:
a)
6339
2113 b)
312
013
201
532
IF Farroupilha - Campus Alegrete
RS – 377 km 27 – Passo Novo
Alegrete - RS
Fone/Fax: (55) 3421-9600
www.al.iffarroupilha.edu.br
Professor Mauricio Lutz
53
7 SISTEMA LINEAR NORMAL
É um sistema linear de n equações e n incógnitas em que o determinante
da matriz dos coeficientes das incógnitas é diferente de zero.
Considere os seguintes sistemas:
a)
1
521
yx
yxS , S1 é um sistema normal, pois 0
11
12
b)
532
42
zyx
zyxS , S2 não é um sistema normal, porque o número de
equações é diferente do número de incógnitas.
c)
32
12
172
542
3
zyx
zyx
zyx
S , S3 não é um sistema normal pois 0
2
121
721
421
.
Resumo:
0 .
º º .
incógnitasdascoefmatriz
incógnitasnequaçõesnNormalLinearSist
(5) Exercícios
1. Verifique se os sistemas abaixo são normais:
a)
42
5232
1
zyx
zyx
zyx
b)
943
0
832
yx
zyx
zyx
2. Determine os valores de k (k), para que os sistemas sejam normais:
a)
194
732
1
2 zyxk
zykx
zyx
b)
kyxk
kyxk
312)1(
24)1(
IF Farroupilha - Campus Alegrete
RS – 377 km 27 – Passo Novo
Alegrete - RS
Fone/Fax: (55) 3421-9600
www.al.iffarroupilha.edu.br
Professor Mauricio Lutz
54
8 REGRA DE CRAMER
A Regra de Cramer consiste num método para se resolver um sistema
linear normal. Consideremos o sistema de “n” equações lineares a “n” incógnitas.
nnmnmm
nn
nn
bxaxaxa
bxaxaxa
bxaxaxa
...
. . ... . .
...
...
2211
22222121
11212111
Consideremos os seguintes determinantes, cujas matrizes são formadas
com os coeficientes do sistema dado:
a) Determinantes dos coeficientes:
mnmm
n
n
aaa
aaa
aaa
...
............
...
...
21
22221
11211
b) Determinantes das incógnitas:
mnmn
n
n
aab
aab
aab
x
...
............
...
...
2
2222
1121
1
x1 é o determinante obtido de , substituindo-se a coluna dos
coeficientes x1 pela coluna dos temos independentes.
mnnm
n
n
aba
aba
aba
x
...
............
...
...
1
2221
1111
2
x2 é o determinante obtido de , substituindo-se a coluna dos
coeficientes x2 pela coluna dos temos independentes.
IF Farroupilha - Campus Alegrete
RS – 377 km 27 – Passo Novo
Alegrete - RS
Fone/Fax: (55) 3421-9600
www.al.iffarroupilha.edu.br
Professor Mauricio Lutz
55
E assim sucessivamente, até xn
nmm
n
baa
baa
baa
x
...
............
...
...
21
22221
11211
Para obtermos sua solução, calculamos:
1º) () determinante da matriz formada pelos coeficientes das variáveis
do sistema.
2º) (x1, x2, ..., xn) determinantes das matrizes obtidas a partir de ,
substituindo a coluna dos coeficientes pela coluna dos termos independentes do
sistema.
3º) A solução do sistema linear é dada por:
..., , , 2
2
1
1
n
n
xx
xx
xx .
Exemplo: Encontrar a solução do sistema
03
72
yx
yx.
Resolução:
76113
21
710
27
x 1
7
7
xx
2103
71y 3
7
21
yy
S={(1,3)}
IF Farroupilha - Campus Alegrete
RS – 377 km 27 – Passo Novo
Alegrete - RS
Fone/Fax: (55) 3421-9600
www.al.iffarroupilha.edu.br
Professor Mauricio Lutz
56
(6) Exercícios
1. Resolva os sistemas a seguir, utilizando a regra de cramer.
a)
432
52
yx
yx b)
93
143
yx
yx
c)
3233
932
22
zyx
zyx
zyx
d)
6
32
32
cba
cba
cba
e)
2223
103
342
zyx
zyx
zyx
f)
03
05
010
zy
zx
yx
9 DISCUSSÃO DE UM SISTEMA LINEAR
Seja o sistema linear de “n” equações a “n” incógnitas.
nnmnmm
nn
nn
bxaxaxa
bxaxaxa
bxaxaxa
...
. . ... . .
...
...
2211
22222121
11212111
Discutir o sistema é saber se ele é possível, impossível ou indeterminado.
Utilizando a Regra de Cramer, temos:
..., , , 2
2
1
1
n
n
xx
xx
xx .
Sistema possível ou compatível (quando admite solução):
Sistema possível determinado (admite uma única solução), 0.
Sistema possível e indeterminado (admite infinitas soluções),
0...21 nxxx .
Sistema impossível ou incompatível (quando não admite soluções),
=0 e pelo menos um dos xn0.
IF Farroupilha - Campus Alegrete
RS – 377 km 27 – Passo Novo
Alegrete - RS
Fone/Fax: (55) 3421-9600
www.al.iffarroupilha.edu.br
Professor Mauricio Lutz
57
Exemplos:
1. Encontrar a solução do sistema
1
23
yx
myx.
Resolução:
mm
311
3, m
mx
2
11
2, 123
11
23y
Discussão:
0:
S.P.D.: 0, -3-m0, m-3.
S. P. I.: Não existe m, pois y0
=0
S.I: =0, m=-3 e y0.
2. Determine m, de modo que o sistema
4
0
2
zyx
zmyx
yx
seja impossível ou
incompatível.
Resolução:
1
111
11
011
mm 62
114
10
012
mmx
4
141
101
021
y 66
411
01
211
mmz
Fazendo =0 -m-1=0 m=-1.
x=0 2m-6=0 m=-3.
z=0 6m+6=0 m=-1.
Sendo y=-40 quando =0 ou seja m=-1; o sistema é impossível, pois
para m=-1 teremos: 0
4x (impossível),
0
4y (impossível) e
0
0z
(indeterminado)
IF Farroupilha - Campus Alegrete
RS – 377 km 27 – Passo Novo
Alegrete - RS
Fone/Fax: (55) 3421-9600
www.al.iffarroupilha.edu.br
Professor Mauricio Lutz
58
3. Discuta e resolva o sistema
1423
122
263
zyx
zyx
zyx
.
Resolução:
0
423
212
631
Se =0, o sistema pode ser: S.P.I.? ou S.I.?
0
421
211
632
x , 0
413
212
621
y , 0
123
112
231
z
Sendo =x=y=z=0, logo o sistema é S.P.I.. Vamos agora descobrir a
sua solução geral. Fazendo z=k e usando as duas primeiras equações, vamos obter
um sistema 2x2 de incógnitas x e y, onde 0.
kyx
kyx
kyx
kyx
212
623
122
263
Temos: =5, x=-5, y=10k+5
15
5
xx e 12
5
510
k
kyy
Portando a solução geral é {(-1, 2k+1,k)}.
(7) Exercícios
1. Classifique e resolva os sistemas:
a)
123
42
yx
yx b)
4
822
yx
yx c)
122
3
yx
yx
2. Discuta os sistemas:
a)
myx
ymx 2 b)
2
1
yx
ykx
IF Farroupilha - Campus Alegrete
RS – 377 km 27 – Passo Novo
Alegrete - RS
Fone/Fax: (55) 3421-9600
www.al.iffarroupilha.edu.br
Professor Mauricio Lutz
59
3. Determine k para que o sistema indicado seja determinado:
5
23
5
kyx
kyx
yx
4. Calcule os valores de a para que o sistema
04
123
yax
yx seja compatível e
determinado.
5. Determine a e b para que o sistema
byx
ayx
44
126 seja indeterminado.
6. Discutir e resolver o sistema
3734
2523
12
zyx
zyx
zyx
.
10 DISCUSSÃO DE UM SISTEMA LINEAR HOMOGÊNEO
Como já vimos, um sistema linear homogêneo é formado por equações
cujos termos independentes são todos nulos.
Todo o sistema linear homogêneo é sempre possível pois admite a
solução (0, 0, 0), chamada solução trivial.
Observe que para um sistema homogêneo teremos sempre x1=0, x2=0,
..., xn=0 (pois sempre uma coluna será toda zero, logo, pela propriedade, o
determinante é nulo). Portanto, para a discussão de um sistema linear homogêneo
é suficiente o estudo dos determinantes das incógnitas.
Sistema possível determinado, 0 (o sistema admite a solução trivial
e sem soluções próprias).
Sistema possível e indeterminado, =0 (o sistema admite a solução
trivial e soluções próprias).
IF Farroupilha - Campus Alegrete
RS – 377 km 27 – Passo Novo
Alegrete - RS
Fone/Fax: (55) 3421-9600
www.al.iffarroupilha.edu.br
Professor Mauricio Lutz
60
Exemplos:
1. Verifique se o sistema
0
023
yx
yx é determinado (0) ou indeterminado (=0).
Resolução:
0511
23
S.P.D, como 0, o sistema é determinado.
2. Calcule o valor de m para que o sistema
0
0
0
zyx
mzyx
zyx
tenha somente a solução
trivial.
Resolução:
Para que o sistema tenha somente a solução trivial, isto é, seja
determinado, é necessário que 0.
221111
111
11
111
mmmm
1 022 mm
1/ mmS .
3. Calcule o valor de a para que o sistema
0
0
ayax
yax tenha soluções diferentes da
trivial.
Resolução:
Para ter soluções diferentes da trivial o sistema tem que ser possível e
indeterminado, isto é, =0.
11
2 aaaaaa
a
IF Farroupilha - Campus Alegrete
RS – 377 km 27 – Passo Novo
Alegrete - RS
Fone/Fax: (55) 3421-9600
www.al.iffarroupilha.edu.br
Professor Mauricio Lutz
61
101
00
aa
a
Portanto {0,1}.
(8) Exercícios
1. Classifique, quanto ao número de soluções, os seguintes sistemas homogêneos.
a)
086
043
yx
yx b)
03
0422
0
zyx
zyx
zyx
c)
04
03
02
yx
zyx
zyx
2. Determine m para que o sistema
023
054
032
zmyx
zyx
zyx
tenha soluções próprias.
3. Calcule o valor de , para que o sistema
01
0
0
zyx
zyx
zyx
admita soluções
distintas de (0, 0, 0).
4. Qual deve ser o valor de k para que o sistema
0
3
253
kzx
zyx
yzx
admita somente a
solução nula?
5. Classifique e resolva os sistemas:
a)
014
042
032
zx
zyx
zyx
b)
096
064
yx
yx c)
042
0
053
zyx
zyx
zyx
IF Farroupilha - Campus Alegrete
RS – 377 km 27 – Passo Novo
Alegrete - RS
Fone/Fax: (55) 3421-9600
www.al.iffarroupilha.edu.br
Professor Mauricio Lutz
62
11 SISTEMAS ESCALONADOS
11.1 Definição
Um sistema linear se diz escalonado (em forma de escada) se o número
e coeficientes nulos, antes do primeiro coeficiente não nulo, aumentar de equação a
equação, de cima para baixo, até que restem, eventualmente, no final, equações
com todos os coeficientes das incógnitas nulos.
Exemplos:
1.
100
520
4
1
zyx
zyx
zyx
S 2.
55000
83200
520
2
2
tzyx
tzyx
tzyx
tzyx
S
11.2 Método da eliminação gaussiana
Consiste em substituir o sistema dados por outro que lhe seja equivalente
e mais simples, chamado sistema escalonado. Este método é também chamado de
método de escalonamento parcial.
Exemplos:
1.
22z
3z2y
423
1
zyx
S 2.
3
22
12
62
2
t
tz
tzy
tzyx
S
Procedimentos para escalonar um sistema:
1. Fixamos como primeira equação uma das que possua o coeficiente da
primeira variável diferente de zero;
2. Utilizando as operações elementares, anulamos todos os coeficientes
da primeira variável das demais equações;
3. Anulamos todos os coeficientes da segunda variável a partir da terceira
equação;
4. Repetimos o processo com as demais variáveis, até que o sistema se
torne escalonado,
IF Farroupilha - Campus Alegrete
RS – 377 km 27 – Passo Novo
Alegrete - RS
Fone/Fax: (55) 3421-9600
www.al.iffarroupilha.edu.br
Professor Mauricio Lutz
63
Exemplos: 1. Resolver o sistema
50572
47456
54663
zyx
zyx
zyx
.
Resolução:
50572
47456
54663
zyx
zyx
zyx
3 6 6 54
6 5 4 47
2 7 5 50
1º) Multiplicar a primeira equação por (-2) e adicionar com a segunda
equação, substituindo nesta:
50572
61870
54663
zyx
zyx
zyx
3 6 6 54
0 -7 -8 -61
2 7 5 50
2º) Multiplicar a primeira equação por (-2/3) e adicionar com a terceira
equação, substituindo nesta:
1430
61870
54663
zyx
zyx
zyx
3 6 6 54
0 -7 -8 -61
0 3 1 14
3º Multiplicar a segunda equação por (3/7) e adicionar com a terceira
equação, substituindo nesta:
786
71700
61870
54663
zyx
zyx
zyx
3 6 6 54
0 -7 -8 -61
0 0 -17/7 -85/7
IF Farroupilha - Campus Alegrete
RS – 377 km 27 – Passo Novo
Alegrete - RS
Fone/Fax: (55) 3421-9600
www.al.iffarroupilha.edu.br
Professor Mauricio Lutz
64
O sistema escalonado é:
)(
)(
)(
786
717
6187
54663
III
II
I
z
zy
zyx
De (III), obtemos 5z . Substituindo 5z em (II), obtemos 3y e
substituindo esses valores em (I), teremos 2x .
Portando a solução do sistema é S={(2, 3, 5)}.
2. Resolver o sistema
733
822
542
zyx
zyx
zyx
.
Resolução:
1 2 4 5
2 -1 2 8 212 2 LLL
3 -3 -1 7 313 3 LLL
1 2 4 5
0 -5 -6 -2 22 )5/1( LL
0 -9 -13 -8
1 2 4 5
0 1 -6/5 -2/5
0 -9 -13 -8 323 9 LLL
1 2 4 5
-22/511/5z-
-2/56/5z-1y
42 zyx
0 1 -6/5 -2/5
0 0 -11/5 -22/5
Logo 2z . Substituindo z na 2º equação, obtemos 2y , e substituindo
os valores anteriores na 1º equação obteremos 1x .
Portanto S={(1, -2, 2)}.
IF Farroupilha - Campus Alegrete
RS – 377 km 27 – Passo Novo
Alegrete - RS
Fone/Fax: (55) 3421-9600
www.al.iffarroupilha.edu.br
Professor Mauricio Lutz
65
(9) Exercícios
1. Escalone e resolva os seguintes sistemas:
a)
122
62
92
zyx
zyx
zyx
b)
222
02
23
zyx
zyx
zyx
c)
3433
234
12
zyx
zyx
zyx
d)
432
0
yx
yx e)
1035
1642
2
zyx
zyx
zyx
f)
2
3
1
zy
zx
yx
2. Resolva, através do escalonamento, os seguintes sistemas:
a)
352
5
3
yx
yx
yx
b)
32
432
0
yx
yx
yx
c)
82
225
2
6
yx
yx
yx
yx
d)
12
13
zyx
zyx e)
525
123
2
132
yx
zx
zyx
zyx
f)
732
1
3
yx
yx
yx
(10) Exercícios complementares
1. Dado o sistema de equações lineares
1
1
zyx
zyx
zyx
com , , então,
a) se -1, o sistema é possível e determinado.
b) se =-1 e 1, o sistema é possível e determinado.
c) se -1, o sistema é impossível.
d) se -1 e =1, o sistema é possível e indeterminado.
e) se =-1 e =1, o sistema é possível e determinado.
IF Farroupilha - Campus Alegrete
RS – 377 km 27 – Passo Novo
Alegrete - RS
Fone/Fax: (55) 3421-9600
www.al.iffarroupilha.edu.br
Professor Mauricio Lutz
66
2. Sejam a e b números reais tais que o sistema
btz
tzyx
atzyx
zyx
342
263
12
admita
solução. Então o valor de a e o valor de b devem ser, respectivamente,
a) –2 e 8 b) 8 e 5 c) 5 e 8 d) 5 e –2 e) –2 e 5
3. Considere o seguinte sistema de equações lineares:
045
033
022
0
tzyx
zyx
tzx
tzyx
então, pode-se afirmar que o sistema é
a) impossível.
b) possível e determinado.
c) possível e qualquer solução (x, y, z, t) é tal que os números x, y, z, formam, nesta
ordem, uma progressão aritmética.
d) possível e qualquer solução (x, y, z, t) é tal que os números x, y, z, formam, nesta
ordem, uma progressão geométrica.
e) possível, porém não admite a solução nula.
4. Dado o sistema
2
1
0
2
tzx
tyx
zyx
tzyx
os valores de x, y, z e t, nesta ordem, que
satisfazem o sistema,
a) formam uma P.G. crescente. b) formam uma P.G. decrescente.
c) formam uma P.A. decrescente. d) formam uma P.A. crescente.
e) são todos iguais.
IF Farroupilha - Campus Alegrete
RS – 377 km 27 – Passo Novo
Alegrete - RS
Fone/Fax: (55) 3421-9600
www.al.iffarroupilha.edu.br
Professor Mauricio Lutz
67
5. Considere o seguinte sistema de equações lineares:
752
2)1(
442
zyx
zyx
zyx
Então pode-se afirmar que
a) existem exatamente dois valores reais de para os quais o sistema não tem
solução.
b) existe um único valor real de para o qual o sistema admite infinitas soluções.
c) o sistema não tem solução para todo .
d) o sistema não tem solução para =½.
e) o sistema admite solução para todo ½.
6. Considere as afirmativas referentes ao sistema
2)1(0
0203
12
zkyx
zyx
zyx
onde x, y, z,
k, indicando se são verdadeiras (V) ou falsas (F).
( ) Se k1/3, o sistema é possível e determinado.
( ) Se k=1/3, o sistema é impossível.
( ) Se k=1/3, o sistema é possível e indeterminado.
A sequência correta é
a) V – F – V. b) F – V – F. c) V – V – F. d) V – F – F. e) F – F – V.
7. O valor da expressão zyxA ).2( , onde x, y e z são soluções do sistema
1666
2624
132
zyx
zyx
zyx
é
a) 3
32 b)
3
32 c) 0 d)
3
2 e)
3
2
IF Farroupilha - Campus Alegrete
RS – 377 km 27 – Passo Novo
Alegrete - RS
Fone/Fax: (55) 3421-9600
www.al.iffarroupilha.edu.br
Professor Mauricio Lutz
68
8. Assinale V nas afirmativas verdadeiras e F nas falsas, com referência ao sistema
linear
1
2
3
111
111
11
z
y
x
a
a
, com a0.
( ) a
a
a
a1
21
11
111
11
det
.
( ) Se 21
aa , então o sistema é possível e indeterminado.
( ) Se 21
aa , então o sistema é impossível.
A sequência correta é
a) V – F – V. b) F – V – F. c) F – V – V. d) V – F – F. e) V – V – F.
9. sistema linear
523
223
22
1
zyx
zyx
zyx
zyx
a) é possível e determinado. b) é possível e indeterminado.
c) é impossível. d) tem a soma de suas soluções igual a 2.
e) tem o produto de suas soluções igual a 3.
10. Considere o sistema linear
bazy
zy
zyx
4
432
12
onde a e b são números reais.
Assinale V nas afirmações verdadeiras e F nas falsas.
( ) Se a=-6, o sistema é impossível qualquer que seja b.
( ) Se b8, o sistema tem infinitas soluções qualquer que seja a.
( ) Se a-6, o sistema é possível e determinado qualquer que seja b.
A sequência correta é
a) V – V – F. b) V – V – V. c) V – F – V. d) F – F – V. e) F – V – F.
IF Farroupilha - Campus Alegrete
RS – 377 km 27 – Passo Novo
Alegrete - RS
Fone/Fax: (55) 3421-9600
www.al.iffarroupilha.edu.br
Professor Mauricio Lutz
69
GABARITOS
(1) 1. a) x2= -3 b) x2= 1 2. m= -1 3. 5
4 .
(2) 1. a) é solução b) não é solução 2. K= -3
(3) 1. São equivalente 2. b=1; a=0
(4) 1. a)
0
5
31
12
y
x b)
2
0
1
153
101
112
c
b
a
2.
73
452
ba
ba
3. a)
1823
013 b)
3221
6232
4011
14685
4. a)
6339
23
zyx
zyx b)
32
03
2
532
yx
yx
x
yx
(5) 1. a) É SLN b) Não é SLN 2. a) 3 e 2/ kkkS b)
3
1/ kkS
(6) 1. a) 2,1S b) 2,3S c) 3,2,1S d)
5
9,
5
12,
5
9S
e) 1,32 S f) 1,4,6S
(7) 1. a) S.P.D.; 2,1S b) S.P.I.; kkS ,4 c) S.I.
2. a) S.P.D. se m -1 e S.I. se m= -1 b) S.P.D. se m -1 e S.I. se m= -1
3. k=1 ou k=15 4. a -6 5. a=6 e b=8 6. S.P.I.; kkkS ,1,
(8) 1. a) S.P.I. b) S.P.I. c) S.P.D. 2. m=13
3 3. =1
4. k -1 5. a) kkkS ,9,14 b)
k
kS ,
2
3 c) kkkS ,2,
(9) 1. a) 3,1,2 S b)
k
kkS ,
5
42,
5
34 c) S d)
5
4,
5
4S
e) 2,3,1S f) 2,0,1S 2. a) 1,4S b) S c) 2,4S
d)
k
kkS ,
5
3,
5
24 e)
k
kkS ,
3
55,
3
21 f) S
(10) 1. a 2. e 3. c 4. d 5. b 6. c 7. a 8. d 9. c 10. d
IF Farroupilha - Campus Alegrete
RS – 377 km 27 – Passo Novo
Alegrete - RS
Fone/Fax: (55) 3421-9600
www.al.iffarroupilha.edu.br
Professor Mauricio Lutz
70
REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS
BALD, Atelmo Aloisio, COGO, Sandra E. Vielmo. Matrizes e Sistemas de Equações Lineares. Caderno Didático – Santa Maria: UFSM, CCNE, Departamento de Matemática, 1997. Currículo Básico do PEIES. Universidade Federal de Santa Maria. Programa de Ingresso ao Ensino Superior. V. 5, Santa Maria, 1999 DECISAÔ PRÉ-VESTIBULAR. Matemática. Polígrafo – Santa Maria [s.n.], 1997, não paginado. ESCOLA ESTADUAL DE 2º GRAU CILON ROSA. Matrizes, Determinantes, Sistemas de equações Lineares e Análise Combinatória. Polígrafo – Santa Maria [s.n.], 1999, 108 p. FÓTON VESTIBULARES. Matemática. Polígrafo – Santa Maria [s.n.], 2000, não paginado. GIOVANNI, J. R., BONJORNO, J. R. Matemática. V. 2, Editora FTD S.A., São Paulo, 1992. IEZZI, G., DOLCE, O., DEGENSZAJN, D., PÉRIGO, R. Matemática. Volume Único, Editora Atual, São Paulo, 2002. SILVA, J. D., FERNANDES, V. dos S., MABELINI, O. D. Matemática: Novo Ensino Médio – Volúme Único Curso Completo. Sistema de Ensino IPEP, São Paulo, 2002.