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Page 1: MB-Unidade 3 - números racionais

Matemática Básica Unidade 3

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Unidade 3

Números racionais

Metas

Esta unidade é sobre a noção de números racionais, conjunto numérico que amplia o

conjunto dos números naturais e dos números inteiros.

Objetivos

Ao final desta unidade você deve:

conhecer os números racionais, assim como a sua representação em notação decimal

e fracionária;

conhecer a noção de ordem dos números racionais;

conhecer uma representação geométrica dos números racionais;

conhecer as duas operações básicas entre números racionais;

saber lidar com as representações decimais dos números racionais;

entender como se pode aplicar as operações na resolução de problemas práticos.

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Matemática Básica Unidade 3

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Uma nova representação numérica de grandezas

A quantificação da grandeza comprimento pela associação aos números naturais

a partir de uma unidade estabelecida apresenta limitações. Por exemplo, nos triângulos

retângulos a seguir, podemos facilmente medir os dois catetos (no primeiro, temos

catetos de medidas 2 e 4, no segundo, temos catetos de medidas 1 e 4).

Mas, sobre cada hipotenusa, só podemos dizer que o comprimento está entre 4 e 5. Com

certeza, podemos dizer que uma é maior do que a outra, mas não podemos ser muito

mais específico do que isto (as linhas pontilhadas no desenho representam o traço de um

compasso, veja como a primeira hipotenusa é claramente maior).

Em situações como esta, além de perdermos a precisão na referência numérica

do objeto em foco, corremos o risco de perder toda informação sobre tal objeto.

Enquanto tivermos determinado objeto na nossa frente, podemos sempre obter as

informações que forem necessárias. O problema é quando ficamos sem o objeto e

apenas com informações parciais que não ajudem a falar sobre o objeto sumido.

Por exemplo, a partir do triângulo representado na figura a seguir, podemos

medir os seus lados, assim como fazer outras avaliações que forem necessárias. Se for o

caso, podemos também medir a área do retângulo ou sua altura, entre outras coisas.

Mas, se formos efetivamente medir os lados do triângulo a partir da unidade

estabelecida no próprio desenho, vamos encontrar dois lados com medida 4 (o triângulo

é isósceles) e um lado com medida entre 3 e 4, este lado não tem uma medida precisa

nesta unidade estabelecida.

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Veja agora, leitor, como os problemas podem aparecer a partir de avaliações

imprecisas. Suponha que você registre estas informações de medição e suponha também

que perca a figura acima. Será que, com estes registros feitos, você consegue recuperar

o triângulo? Veja a figura a seguir.

Temos aqui 3 triângulos com 2 lados medindo 4 e um lado, a base, medindo

entre 3 e 4. São triângulos que atendem às especificações dos registros, mas são

triângulos completamente diferentes. Por exemplo, todos têm alturas diferentes entre si.

(Leitor, para não parecer que estamos falando de um problema sem interesses práticos,

saiba que esta situação matemática poderia estar ilustrando uma situação concreta. Por

exemplo, o desenho original do triângulo poderia representar o telhado de uma casa.

Sem o desenho e só com a informação de que as duas águas do telhado medem 2 metros

e a base mede entre 3 e 4 metros, é impossível saber qual deve ser a altura da coluna de

sustentação do telhado. Isto é, a simples informação de que a base mede entre 3 e 4

metros é insuficiente para o pleno conhecimento da forma do telhado)

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Atividade 1:

De posse de um compasso, regule sua abertura de acordo com a unidade do

desenho e confira os valores de medida dos lados dos triângulos acima.

Atividade 2:

O objetivo é ilustrar como informações numéricas podem ajudar a recuperar um

determinado objeto. Sabe-se que um triângulo tem lados de medida 5, 10 e 12.

a) Numa folha quadriculada, com o auxílio de uma régua e um compasso, desenhe um

triângulo com essas medidas. (Sugestão de roteiro: Adote o lado dos quadrados da folha

quadriculada como unidade de medida. Em cima de uma linha, desenhe dois pontos

distando 12 unidades. Usando um dos pontos como centro, com o compasso, desenhe

um círculo de raio 10. Usando o outro ponto como centro desenhe um círculo de raio 5.

Marque um dos pontos de interseção dos círculos. Verifique que o triângulo formado

pelos 3 pontos têm lados de medidas 5, 10 e 12, respectivamente.)

b) Para ilustrar como que as informações dadas sobre as medidas dos lados são

significativas, obtenha a medida da altura do triângulo que você desenhou com relação

À base de medida 12. (Você deve encontrar 4, aproximadamente.) Este item ilustra

como que algumas boas informações numéricas podem ser valiosas para o

conhecimento de todo um objeto.

Bom, sabemos que o processo de quantificação por meio dos números naturais,

ou mesmo dos números inteiros, pode deixar a desejar, dependendo do tipo de grandeza

que está sendo avaliada. Como resolver esta questão?

Uma forma de contornar este problema é admitir novas unidades de medida.

Mais precisamente, deve-se admitir submúltiplos da unidade estabelecida inicialmente,

ou seja, uma nova unidade segundo a qual a unidade inicial é um múltiplo. Assim, se for

preciso obter uma avaliação melhor de um comprimento, pode-se adotar uma nova

unidade de medida que seja, por exemplo, um décimo da outra, ou seja, a unidade

inicial é 10 vezes a nova unidade. Nesta nova unidade, ou melhor, neste novo processo

de quantificação, um comprimento pode ser avaliado com precisão 10 vezes maior.

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Por exemplo, a figura a seguir representa dois segmentos acima de uma reta

graduada. Na unidade fixada, os dois segmentos não possuem uma representação

numérica exata. Nessa graduação da reta só podemos dizer que os dois segmentos têm

medida entre 1 e 2. Se quisermos dar mais algum detalhe, podemos dizer que o

segmento marrom é maior do que o segmento azul e está mais próximo da marca 2 do

que da marca 1, enquanto o segmento azul está mais ou menos entre as duas marcas.

Estas são informações um tanto imprecisas. Por exemplo, se guardarmos estas

informações e, no futuro, quisermos recuperar os segmentos a partir delas, será um

bastante complicado reproduzir os segmentos.

Agora, se escolhermos uma nova unidade de medida, uma mais conveniente,

talvez possamos obter uma melhor representação numérica dos segmentos. A próxima

figura representa os mesmos segmentos da figura anterior, mas com a reta graduada de

modo diferente. A unidade de medida é um décimo da unidade anterior, ou seja, a

unidade antiga é 10 vezes maior do que a nova.

Como se pode ver na figura, temos agora, na unidade nova, uma representação

numérica mais precisa, e significativa, do comprimento de cada segmento. O segmento

marrom tem comprimento 18 e o segmento azul mede 16 unidades novas.

Observação: Na verdade, a troca de unidades é algo bastante comum, e natural, no

cotidiano de qualquer pessoa. Por exemplo, leitor, você se lembra de alguma situação

onde costuma mudar de unidades? Certamente você já fez referência a distância entre

pontos da sua cidade, ou até entre cidades, e certamente escolheu o quilômetro como

unidade de medida. Por outro lado, certamente você já precisou medir algum espaço da

sua casa, ou algo parecido, e, neste caso, de distâncias bem menores, certamente você

adotou o centímetro como unidade de medida (o centímetro é um submúltiplo da

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unidade quilômetro). A escolha de unidades sempre foi variada e até relativamente

arbitrária. Por exemplo, dependendo do país, a temperatura é medida pela unidade

conhecida como grau Celsius ou pela unidade conhecida como grau Fahrenheit. Na

avaliação de distâncias, além de usarmos a unidade metro e a unidade quilômetro, por

exemplo, também pode-se usar outros tipos de unidades não tão comuns para nós

brasileiros, como milhas, pés e polegadas, por exemplo.

A possibilidade de escolha de uma unidade conveniente permite obter avaliações

mais precisas. Por outro lado, cria-se um problema, a saber, como comparar avaliações

obtidas de unidades diferentes? Vejamos a situação do exemplo anterior.

Você acabou de ver uma situação onde uma unidade, u, foi fixada. Depois, por

questões de conveniência, uma nova unidade, u’, foi criada. Isto foi feito de modo que a

unidade inicial é 10 vezes a nova undidade. Ou seja, u = 10u’. Outra forma de falar

sobre esta relação é dizer que a nova unidade é um décimo da unidade inicial. Uma

maneira de denotar isto é escrevendo u’ = 10

1u.

Na nova unidade, encontramos as medidas 18u’ e 16u’ para os segmentos

marrom e azul, respectivamente. Para se fazer referência a unidade inicial, pode-se

escrever, então, 1810

1u e 16

10

1u, ou, mais implesmente,

10

18u e

10

16u.

Leitor, você acompanhou esta passagem final? Na medida do segmento marrom,

por exemplo, dizer que o valor é 18u’, somente, não ajuda muito, pois, de início, só

conhecemos a unidade u. O que é a unidade u’? Agora, quando se escreve 10

18u a

informação fica completa. Só com esta notação, fica informado que uma nova unidade

foi considerada, que esta é um décimo da unidade inicial e que o segmento mede 18

vezes esta unidade nova.

Exemplo: Vejamos uma nova situação de utilização da notação recém introduzida. Um

segmento, representado por a, não é múltiplo de uma unidade fixada, u. Mas, foi dada a

informação de que a mede 4

7u. O que significa esta informação? Será que conseguimos

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reproduzir o segmento com esta informação? Para responder a estas questões, considere

a próxima representação de uma reta com uma unidade u estabelecida.

Para encontrar a, precisamos primeiro encontrar uma unidade de media que seja

um quarto da unidade de medida u. Considere, então, o novo desenho a seguir. Veja

como u’ é um quarto de u, ou seja, u é igual a 4 vezes u’. Com a nova unidade que é um

quarto da unidade inicial, marcamos 7 vezes a unidade nova. O segmento com esta

extensão é o segmento de comprimento dado pela informação 4

7u, representado no

desenho em amarelo.

Com esta nova notação fracionária, isto é, com números fornecidos em forma de

fração, parece que podemos registrar qualquer objeto por meio de uma representação

numérica, o que resolve o problema colocado logo no início desta seção.

Note que esta representação fracionária estende a representação numérica dos

números inteiros. Por exemplo, o número 5 pode ser representado em forma de fração,

basta escrever 1

5. De fato,

1

5 significa considerar uma nova unidade de modo que

unidade inicial é uma vez a unidade nova. Ou seja, esta notação indica que devemos

considerar a mesma unidade. Pegar 5 vezes a unidade inicial significa pegar exatamente

o número 5. Ou seja, 1

5 e 5 representam o mesmo segmento, isto é, 5 pode ser

representado por 1

5.

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Atividade 3:

A unidade dia é muitas vezes usada para avaliar o tempo. Outras vezes, usamos

um submúltiplo desta unidade, a unidade hora.

a) Quantas vezes a unidade dia é maior do que a unidade hora?

b) O valor fracionário na unidade dia, 24

2, faz referência a que outra unidade de medida

de tempo? E equivale a quanto tempo nesta unidade?

c) As pessoas dormem ao longo de uma fração do dia. Em média, dormem um terço do

dia. Como esta avaliação é representada em horas? Escreva, depois, o resultado na

unidade dia.

d) Uma viagem durou 2 dias e 5 horas. Escreva este valor em forma de fração, na

unidade dia.

e) Uma viagem durou 24

48 dias. Quantas horas a viagem durou? Quantos dias a viagem

durou?

Problemas como os narrados aqui, nesta unidade, deram origem a um novo

conceito de conjunto numérico em Matemática. Tal conjunto é chamado de o conjunto

dos números racionais, e é denotado por . Os números racionais foram definidos de

tal maneira que seus elementos são representados pela forma fracionária que acabamos

de ver. Assim, a representação fracionária dos elementos de é dada por q

p, onde p, q

, com q 0. Em resumo, em termos de representação fracionária, temos

= {q

p : p, q , q 0}.

Ressaltamos que um número a pode ser representado em forma de fração

fazendo a = 1

a. Assim, os conjuntos numéricos que conhecemos até agora seguem as

relações de inclusão, .

Na representação fracionária, o número embaixo da barra é chamado

denominador da fração e o número em cima da barra é chamado numerador da fração.

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Problema! Leitor, é preciso tomar cuidado com a representação fracionária. Você sabia

que um número racional sempre possui mais de uma representação fracionária?

Por exemplo, as frações 6

4 e

3

2 são equivalentes, isto é, representam o mesmo

número racional. É fácil perceber este fato através de um desenho representativo.

Observe as figuras abaixo que representam essas frações.

Existem outras equivalências de representações que não são tão simples de

serem percebidas. Por exemplo, será que 5

4 e

5

4

são equivalentes?

Para que não fique nenhuma dúvida, para saber se duas representações

fracionárias coincidem, basta verificar a seguinte relação, onde a, c , b e d :

d

c

b

a ad = cb .

Por este critério, vemos facilmente que 5

4 e

5

4

representam o mesmo número

racional. Além disso, você verá mais adiante que eles ainda possuem um terceiro tipo de

representação, a saber, 5

4, que denota o simétrico de

5

4.

Atividade 4:

a) A seguir, você tem exemplos de unidades e submúltiplos da unidade. Especifique

quantas vezes a unidade u é maior do que a nova unidade u’.

1. u = metro (m) e u’ = centímetro (cm)

2. u = quilômetro (km) e u’ = metro (m)

3. u = hora (h) e u’ = minuto (min)

4. u = hora (h) e u’ = segundos (s)

5. u = dia e u’ = hora (h)

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6. u = ano e u’ = dia

7. u = quilograma (kg) e u’ = grama (gr)

8. u = real e u’ = centavos

b) De acordo com a expressão fracionária e a unidade adotada, dê a expressão numérica

na nova unidade (mesmo que esta não tenha sido explicitada, você tem que adivinhar –

veja o item anterior)

1. 100

35 m

2. 1000

150 km

3. 60

120 h

4. 365

30 ano

5. 1000

500 kg

6. 100

25 reais

c) Dado o número racional, x, escreva a representação fracionária equivalente a partir do

denominador, q, indicado.

1. x = 100

25 e q = 4

2. x = 1000

500 e q = 2

3. x = 60

120 e q = 1

4. x = 5 e q = 3

5. x = 3

2 e q = 21

d) Resolva a equação 3

1

1

5

x.

e) Escreva o que você entende da seguinte expressão: “6

4 de uma pizza”.

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Leitor, existe uma forma simples de obter frações equivalentes:

nq

np

q

p

.

. , sempre que n 0.

De fato, esta igualdade entre frações segue da igualdade p(qn) = (pn)q e da

caracterização de frações equivalentes. Se você ainda se atrapalha com argumentos

usando letras, veja os exemplos numéricos.

2.2

2.1

2

1 , pois 1.2.2 = 4 = 1.2.2;

5.3

5.2

3

2 , pois 2.3.5 = 30 = 2.5.3.

Esta regra também pode ser usada para simplificar frações. De fato, veja o próximo

exemplo numérico.

2

1

2.2

2.1

4

2 .

A primeira igualdade decorre de uma simples fatoração de números inteiros. A segunda

igualdade decorre justamente da propriedade recém enunciada.

Atividade 5:

a) Você acabou de saber um pouco sobre simplificação de frações. Use este

conhecimento para refazer o item (c) da atividade 4.

b) Verifique se as frações dadas são equivalentes.

1. 5

1 e

30

6; 2.

7

5 e

299

235; 3.

8

12 e

2

3;

4. 750

2700 e

5

18; 5.

588

1512 e

7

6.

c) Uma fração q

pé dita irredutível se os mdc entre p e q é 1, ou seja, se não é possível

“simplificá-la”. Verifique se as frações dadas são irredutíveis, ou não.

1. 3

2; 2.

3

2; 3.

70

45;

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4. 3

231; 5.

23

80; 6.

12

16

.

d) “Toda número racional pode ser representado por uma fração irredutível”. Verifique

se esta afirmação é verdadeira para os seguintes números racionais.

1. 30

16; 2.

97

111; 3.

32

46;

4. 750

2700; 5.

384

256; 6.

421

1263.

Representação geométrica dos números racionais

Assim como os números naturais e inteiros, os números racionais também

possuem uma representação geométrica. Considere a reta graduada vista na unidade 2.

Um número fracionário positivo, p/q, com q 0, é representado pelo segmento

OA, para algum A pertencente à semi-reta OU , se OA é a justaposição de p segmentos

congruentes a um segmento de comprimento igual a 1/q da unidade.

A justaposição do segmento OB com mais dois segmentos

congruentes coincide com a unidade, donde OB representa o número 1/3.

O segmento OA coincide com 4 justaposições de segmentos congruentes a OB,

donde OA representa o número 4/3.

Para números racionais negativos, o processo é o mesmo, sendo que o ponto A é

marcado na outra semi-reta. O número 0 é representado pelo segmento OO, que

coincide com o próprio ponto O.

O resultado geométrico de uma reta numerada é parcialmente representado pela

seguinte figura.

2 1 0 1 2 3 4 5

O U

O U

B A

r

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Atividade 6:

a) Em medidas, a unidade centímetro (cm) representa um centésimo da unidade metro

(m). Admitindo o metro como a unidade da sua reta graduada, qual é o número racional

que representa 32 cm? Escreva 25

7 m em centímetros.

b) A unidade decímetro (dm) é dez vezes a unidade centímetro. Ainda assumindo que o

metro representa a unidade da sua reta graduada, determine o número racional que

representa o segmento de medida igual a 4 dm e 7 cm.

c) Através da representação geométrica, verifique quem está mais próximo de 0:

1. 3

1 ou

4

1; 2.

3

1 ou

4

1; 3.

5

2

ou 5

2;

4. 5

2 ou

3

1.

Dica: realize esta atividade com uma fita métrica do lado.

Comparando números racionais – relação de ordem

Leitor, acompanhe o próximo exemplo.

Situação-problema: Márcio foi a um rodízio de pizzas. No dia seguinte encontrou um

amigo e contou todo orgulhoso que realizou a façanha de comer 18 fatias de pizza. Seu

amigo, um sujeito que gostava de contar vantagens, disse que aquilo não era nada, pois

já tinha comido 23 fatias. E agora, será que é possível o amigo de Márcio ter comido

tanto assim? Vamos admitir que ele esteja falando a verdade.

Como Márcio ficou muito impressionado com a quantidade de fatias comidas

pelo seu amigo, ele foi fazer uma verificação. No lugar onde comeu, Márcio notou que

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cada pizza era dividida em 6 fatias. Ele nem tinha se dado conta, mas, se ele comeu 18

fatias, isto significa que comeu 3 pizzas sozinho.

Depois de analisar melhor o seu desempenho gastronômico, Márcio foi à

pizzaria onde o amigo frequentava. Lá ele verificou que as pizzas eram fatiadas em 8

pedaços. Ou seja, Márcio descobriu que ele e o amigo estavam falando de fatias que

representavam unidades de medida diferentes (a unidade fatia). Devemos notar que,

quando a pizza é cortada em 8 partes, precisamos de 24 pedaços para chegar a 3 pizzas

(24 = 3×8). Assim, 23 fatias de pizzas na pizzaria do amigo de Márcio não alcançam 3

pizzas. Ou seja, Marcio comeu mais pizzas do que seu amigo.

Existe uma questão nesta comparação de valores. Fatias de pizza são uma fração

de uma pizza inteira. O que foi feito aqui foi comparar duas quantidades, mas sem saber

antes se as unidades eram as mesmas.

Atividade 7: Diga o que representa uma quantidade maior, 15

30 ou

9

12.

A comparação do exemplo anterior ainda foi simples, pois é fácil comparar

quantidades inteiras com quantidades fracionárias (você fez a atividade 7?). Mas, será

que é tão fácil comparar duas quantidades fracionárias? Você sabe, só olhando para a

expressão, definir qual valor é maior, 12

7 ou

8

5 de uma certa quantidade? Se você fez a

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15

atividade 6, deve saber que uma maneira fácil de resolver o problema é representar as

duas frações na reta graduada. O número cuja representação ficar mais longe do 0 é o

maior. Contudo, a representação geométrica nem sempre é uma boa alternativa, pois

desenhar frações muito pequenas pode gerar outro problema (o da imprecisão do

desenho).

Se voltar ao exemplo das pizzas, leitor, você irá se lembrar que o maior

problema na comparação das quantidades foi o fato das unidades de comparação serem

diferentes. Bom, se é este o problema, por que não tentar igualar as unidades? Para ser

mais preciso, o que fez a diferença foi a subunidade de pizza, a saber, o tamanho das

fatias. Voltando às duas frações do parágrafo anterior, 12

7 ou

8

5, temos que a primeira

representa 7 vezes 12

1 de uma unidade inicial e a segunda representa 5 vezes

8

1 da

mesma unidade inicial. Contudo, sabemos alterar a representação fracionária de um

número racional sem alterá-lo. Por exemplo, sabemos que

24

14

2.12

2.7

12

7

e

24

15

3.8

3.5

8

5 .

Assim, comparar 12

7 e

8

5 é a mesma coisa que comparar

24

14 e

24

15. Agora,

estamos falando de múltiplos de uma mesma unidade. Você sabe dizer, entre estas duas

novas representações, qual é maior? É claro que 15 vezes algo é maior do que 14 vezes

o mesmo algo. Assim, 8

5 representa uma quantidade maior do que

12

7.

Acabamos de ver que, para comparar duas frações, basta buscar representações

de modo que as duas tenham o mesmo denominador. Lembre-se que a mudança de

representações é feita multiplicando o numerador e denominador por um mesmo valor.

Assim, para se obter um mesmo denominador para duas frações, é preciso determinar o

valor do denominador que seja múltiplo dos dois denominadores originais. Você já

aprendeu na unidade 2 que existem vários múltiplos em comum e, portanto, não deve

ser nenhum problema determinar um denominador em comum.

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Vamos rever esta última discussão de forma simbólica. Sejam q

p e

s

r

representações de dois números racionais. Se q e s são diferentes, para se comparar as

duas frações, precisamos de representações fracionárias com denominadores iguais, ou

seja, com um único denominador que seja múltiplo de q e s ao mesmo tempo. Que

número pode ser múltiplo de q e s ao mesmo tempo? Esta pergunta é fácil de responder,

o produto qs é múltiplo de q e é múltiplo de s. Assim, podemos buscar as representações

equivalentes,

qs

ps

sq

sp

q

p

.

.

e

qs

rq

qs

qr

s

r

.

..

Agora, temos duas frações com mesmo denominador.

Vejamos novamente a mesma discussão, mas com números. Vejamos qual das

duas frações é a maior, 7

3 ou

9

4. Temos

63

27

9.7

9.3

7

3

e

63

28

7.9

7.4

9

4 .

Com as duas frações sendo representadas por frações equivalentes e de mesmo

denominador fica fácil dizer que 9

4 é maior do que

7

3.

Dica: Para ser um bom calculista, uma boa dica é evitar as contas grandes. Por exemplo,

no problema de comparar frações, somos levados a fazer multiplicações. Como vimos,

dadas frações q

p e

s

r, temos as representações equivalentes

qs

ps e

qs

rq. Assim, tivemos

que realizar multiplicações, por q e s. Contudo, leitor, veja que na comparação de 12

7

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Matemática Básica Unidade 3

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com 8

5, multiplicamos 7 e 12 por 2 e multiplicamos 5 e 8 por 3. Você sabe dizer por

que isso? Ou melhor, por que não multiplicamos 7 e 12 por 8 e 5 e 8 por 8? Leitor,

lembre-se que o objetivo era igualar os denominadores (e isto foi feito na comparação

de 12

7 com

8

5) e, para isto, basta encontrar um múltiplo comum dos denominadores

dados. Mas, usando o princípio de economizar em contar, é interessante escolher o

menor múltiplo comum para igualar denominadores.

Atividade 8: Determine qual fração é maior:

a) 6

13 e

8

14; b)

6

5 e

15

13; c)

7

13 e

11

20;

d) 221

113 e

2

3; e)

6

45 e 7; f)

12

16 e

6

7.

Desde os números naturais, incluindo os números inteiros, você deve estar

acostumado com uma orientação na reta graduada. Esta orientação está de acordo com a

arrumação crescente das representações 0, 1, 2, 3, ... . Pela convenção estabelecida,

mesmo os números negativos obedecem a uma orientação; temos em ordem crescente:

..., 3, 2, 1. Esta orientação é dada por um sentido “na forma de se deslocar” na reta

graduada.

Baseado nesta representação geométrica, dados x, y , dizemos que x é menor

do que y (e denotamos por x < y) quando a representação geométrica dos números tem o

seguinte aspecto.

0 1

Sentido crescente dos números

0 1 x y

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Desta forma, a noção de ordem fica definida também para números racionais negativos.

Também é comum escrever y > x para dizer que y é maior do que x. Seguindo estas

notações, podemos escrever x y para dizer que x é menor do que ou igual y e podemos

escrever y x para dizer que y é maior do que ou igual a x.

Também é comum comparar mais de dois números racionais ao mesmo tempo.

Assim, podemos escrever x < y < z para dizer que x é menor do que y e que y é menor

do que z; podemos dizer também que y está entre x e z. Esta nomenclatura é usada por

que, neste caso, a representação geométrica dos 3 números mostra o número y entre x e

z.

A orientação da reta graduada divide o conjunto em três partes importantes.

Temos o conjunto dos racionais positivos, + = {x : x > 0}, temos o conjunto dos

racionais negativos, = {x : x < 0}. Assim, temos =

{0} +.

Atividade 9:

a) O que é maior, 5

1 m, 34 cm ou 4 dm?

b) O que é maior, 4

5 ou 34?

c) Encontre um número menor do que 100000

1.

d) Encontre um número racional entre 5

3 e

5

4.

e) Você consegue um número inteiro entre 7

8 e

7

13

fQual fração é maior entre: (i) 5

1 e

5

2

; (ii)

8

21 e 3; (iii)

7

15 e

4

7.

g) Diga se 7

8

+

ou 7

8

?

h) Qual é a maior fração dentre as duas,

ou

?

i) Coloque as frações em ordem crescente :

.

j) Determine o maior múltiplo de 3

1 que seja menor do que

10

25.

Page 19: MB-Unidade 3 - números racionais

Matemática Básica Unidade 3

19

k) Se m, n e m < n, o que é maior, m

1 ou

n

1?

l) Pelo que foi comentado no texto, comparar duas frações, q

p e

s

r, é o mesmo que

comparar qs

ps e

qs

rq. Considere

q

p e

s

r como duas frações cujos denominadores são

positivos (q, s > 0) e complete as lacunas: ps < rq ___<___ . Use o resultado que

você deduziu para conferir desigualdades de exercícios que já resolveu.

A adição de números racionais

O conjunto dos números racionais também admite uma operação adição. O

resultado desta operação é chamado de soma. Dados q

p,

s

r

, a soma entre q

p e

s

r

é definida por

qs

qrps

s

r

q

p .

Note que se m, n então a soma racional destes números fica

m + n = nmnmnmnm

11.1

.11.

11.

Ou seja, a operação adição para números racionais generaliza a operação adição para

números inteiros.

Observe também que o resultado da soma de números racionais independe da

representação tomada para as frações envolvidas. Por exemplo, temos qk

pk

q

p como

duas representações distintas do mesmo número racional e temos a soma:

qs

qrps

kqs

qrpsk

qks

qkrpks

s

r

qk

pk

)(.

Exemplo: Pela definição, temos

8

3

96

36

8.12

1.128.3

8

1

12

3

.

Page 20: MB-Unidade 3 - números racionais

Matemática Básica Unidade 3

20

Caro aluno, você entendeu a expressão que define a soma de frações? Você

entendeu porque aparece o produto dos denominadores? Vamos pensar num caso

simples para tentar entender melhor estas questões.

Exemplo: Qual é a ideia intuitiva da soma de duas frações de mesmo denominador. Por

exemplo, o que deve significar a soma de 5

1 com

5

2? Ou seja, se uma parte de cinco é

somada a duas partes de cinco, quantas partes temos? Temos três partes de cinco, não é?

Parece ser bem natural dizer que a soma de frações com mesmo denominador é

dada pela soma dos numeradores com o denominador repetido, isto é,

m

rp

m

r

m

p .

Voltando a pergunta anterior, qual é a razão da expressão da soma de números

racionais? É bem simples, na verdade. É consequência da transformação das frações

para um mesmo denominador. Veja os cálculos a seguir.

qs

qrps

qs

qr

qs

ps

s

r

q

p .

Exemplo: Nem sempre precisamos seguir explicitamente a definição. Já estudamos aqui

uma situação quando as frações têm o mesmo denominador. Muitas vezes é mais

interessante obter o mesmo denominador através do cálculo do mmc. Vamos recalcular

8

1

12

3 (reveja exemplo anterior).

8

3

24

9

24

36

24

3

24

6

3.8

3.1

2.12

2.3

8

1

12

3

.

Como o objetivo é igualar o denominador, o cálculo via mmc pode ser um processo

mais interessante (veja como trabalhamos com números menores, em comparação com

as contas feitas no exemplo anterior).

A operação adição goza de algumas propriedades importantes. As principais são:

a) a, b, c , temos (a + b) + c = a + (b + c) ; (associatividade);

Page 21: MB-Unidade 3 - números racionais

Matemática Básica Unidade 3

21

b) a , 0 + a = a + 0 = a;

c) a , a é o único que satisfaz a + (a) = (a) + a = 0; (a é dito o simétrico de a)

d) a , b , temos a + b = b + a; (comutatividade)

e) a, b , c , a equação a + b = a + c é equivalente a b = c; (simplificação de equações)

f) a ,b , existe um único número racional x que é solução da equação a + x = b e

o valor de x é dado por x = (a) + b;

Observação: Na propriedade (c), se a é representado em termos de fração, a = q

p, o

símbolo a representa a fração q

p =

q

p

. Ou seja, o símbolo

q

p significa

q

p =

q

p

. Agora, se a é representado em termos geométricos, a representa o segmento de

mesmo comprimento que a, mas de sentido contrário na reta orientada.

Vamos admitir estas propriedades como bem conhecidas. Mas, o aluno

interessado está convidado a tentar entendê-las e até justificá-las. A definição

apresentada para a soma de racionais é útil para a verificação destas propriedades. Outra

forma de tentar entender e justificar as propriedades operacionais é usar a representação

geométrica dos números racionais. Veja os desenhos a seguir. Quais propriedades eles

representam?

a b c

a b c

c b a

a

a

b

b

c

0 + a = a

0 a a a + (a) = 0 a

a

Page 22: MB-Unidade 3 - números racionais

Matemática Básica Unidade 3

22

Atividade 10: Se a e a ≠ 0, o que podemos dizer de a, temos que a + ou a

?

Atividade 11: Lembrando que podemos fazer conversões como 1 = 99

55

44 e etc.,

efetue as seguintes adições de cabeça (mas, depois desenvolva as contas por escrito para

confirmar a resposta).

a) 8

31 ; b)

6

51 ; c)

7

11 .

Atividade 12: Utilizando as propriedades associativa e comutativa acima, efetue as

seguintes adições de cabeça (mas, depois desenvolva as contas por escrito para

confirmar a resposta).

a) 4

3

4

1

5

1

, b)

4

1

6

2

6

4, c)

5

1

3

2

5

4

, d)

3

2

7

5

3

1.

Observação: Você sabia que a propriedade associativa é muito importante, e muito

usada? Ela diz que não precisamos nos preocupar com a sequência de somas numa

expressão com várias parcelas. Por exemplo, experimente efetuar a seguinte soma, de

acordo com a ordem dos parênteses.

(33 + ((33) + 149)) + ((((149) + (19)) + (19 + 875)) + (875)).

Como não precisamos nos preocupar com os parênteses, graças à propriedade

associativa, podemos rever a expressão como

(33 + (33)) + (149 + (149)) + ((19) + 19) + (875 + (875)),

cujo resultado, zero, pode ser imediatamente deduzido, sem nenhum esforço de cálculo.

A notação de subtração entre dois números racionais tem o mesmo significado

que entre números inteiros, x y = x + (y). Em termos de representação fracionária,

temos

Page 23: MB-Unidade 3 - números racionais

Matemática Básica Unidade 3

23

qs

rqps

qs

qrps

s

r

q

p

s

r

q

p

s

r

q

p

)()( .

Atividade 13: Para que a importância da propriedade associativa da adição seja bem

valorizada, decida se vale a associatividade da subtração,

n

m

s

r

q

p

n

m

s

r

q

p

.

Caro aluno, como já foi mencionado antes, é interessante dominar as

propriedades matemáticas. Quanto maior o conhecimento dessas propriedades, mais

fácil fica adquirir novos conhecimentos e mais fácil fica lidar com problemas da

Matemática. Procure sempre exercitar este princípio ao longo de seus estudos.

Produto entre números racionais

Outra operação importante para os números racionais é a operação

multiplicação. Esta é definida da seguinte maneira. Dados q

p,

s

r

, o produto de q

p

e s

r é definido por

qs

pr

s

r

q

p. .

Notação: Na multiplicação envolvendo letras, pode-se suprimir o ponto que representa o

produto, isto é, pode-se escrever ab em vez de a.b.

Exemplo: Dados m, n , o produto racional destes números fica:

m.n = 11.1

.

1.

1

mnnmnm = mn.

Ou seja, o produto de números racionais estende o produto de números inteiros.

Exemplo: Dados n e q

1 , o produto racional destes números fica:

Page 24: MB-Unidade 3 - números racionais

Matemática Básica Unidade 3

24

n.

q

1 =

q

n

q

n

q

n

.1

1.1.

1.

Ou seja, o produto racional estende a noção de produto como uma soma sucessiva

(lembre-se que a notação q

n significa tomar n vezes a parte

q

1).

Exemplo: Suponha que se queira encontrar a metade de um terço de algo. Quanto dá

isto, ao todo? Acompanhe o problema pela figura a seguir.

A primeira figura representa uma quantidade dividida em 3 partes. A segunda

figura representa uma nova divisão, de modo que a terça parte ficou dividida em duas

partes. O que restou no final? Um sexto, 6

1

3.2

1.1

3

1.

2

1 .

O leitor pode verificar que este fenômeno ocorre com outras quantidades. Assim,

uma boa interpretação para o produto de frações é que este é a forma matemática de

expressar frases como “tenho x de y”. Esta frase é equivalente a “tenho x.y”.

Atividade 14:

a) Efetue as multiplicações a seguir.

1) 5

2.

4

3; 2)

5

3.

4

1; 3)

4

1.2 ; 4)

3

1.3 ;

5) 15

7.

7

15; 6)

111

321.0 ; 7) 7.

4

3; 8)

9

16.

4

3.

b) Tenho 4

3 de um terreno de 100 metros quadrados. Quantos metros quadrados de

terreno eu tenho?

c) Quanto é a metade de 5

2 de 500?

Observação: Você se lembra da dica do bom calculista, a de evitar contas grandes? Uma

forma de evitar contas desnecessárias envolvendo produto de frações é efetuar

Page 25: MB-Unidade 3 - números racionais

Matemática Básica Unidade 3

25

simplificações antes dos produtos. Veja, por exemplo, duas formas de calcular o

produto 3

8.

16

9:

1ª forma: 4

15

12.4

12.15

48

180

3.16

20.9

3

20.

16

9 .

2ª forma: 4

15

4

5.3

3.4.4

4.5.3.3

3.16

20.9

3

20.

16

9 .

Veja como a primeira envolve contas com números maiores e depois ainda

envolve o esforço de achar o mdc entre o numerador e o denominador para a

simplificação final. Procure praticar estas simplificações. Você verá que pode

economizar bastante esforço de conta, além correr menos riscos de cometer erros.

Algumas propriedades da operação produto:

a) a, b , c , temos (ab)c = a(bc); (associatividade)

b) o número 1 é tal que, para todo número racional a, 1a = a1 = a;

c) a = q

p , a 0, o número racional, a

1 =

p

q, é tal que

aa1

= a1

a = 1; (a1 é dito o inverso de a)

d) a, b , temos ab = ba; (comutatividade)

e) a, b , onde a 0, x = a1

b é a única solução da equação ax = b;

f) a, b , c , onde a 0, a equação ab = ac é equivalente a b = c; (simplificação de

equações)

Chamamos a atenção aqui, mais uma vez, sobre a importância de se conhecer as

propriedades operacionais. Este conhecimento e a competência em utilizá-lo permitirão

você chegar muito mais longe em seus estudos em Matemática. Em particular, é

importante que você entenda um pouco mais sobre estas propriedades.

Por exemplo, por que vale que a.1 = a? Podemos responder a esta pergunta

usando a representação fracionária dos números racionais. Se a = q

p, temos que

a.1 = q

p.1 =

q

p

q

p

q

p

1.

1.

1

1. = a.

Da mesma forma verifica-se que 1.a = a.

Page 26: MB-Unidade 3 - números racionais

Matemática Básica Unidade 3

26

Veja outro exemplo de verificação de propriedade. Seja a = q

p, a 0, donde a

1

= p

q. Assim,

a.a1

= pq

pq

qp

pq

p

q

q

p. = 1,

o que garante uma das igualdades da propriedade (d).

O estudo da verificação de propriedades operacionais não é o objetivo desta

disciplina. Mas, tendo um tempo extra, leitor, é interessante pensar um pouco sobre este

assunto. Agora, uma propriedade que tem que ficar bem entendida é a (f). Lembre-se,

leitor, que esta diz que dados a, b , onde a 0, temos que x = a1

b é a única solução

da equação ax = b.

Vejamos primeiro que x = a1

b é de fato uma solução da equação ax = b. Temos:

ax = a(a1

b) = (aa1

)b = 1.b = b.

(Veja aqui um exemplo de competência na manipulação das propriedades operacionais.)

Vejamos, agora, que x = a1

b é a única solução. Se x é uma solução então:

ax = b, donde a1

(ax) = a1

b, donde (a1

a)x = a1

b, donde x = 1x = a1

b.

Esta foi uma pequena discussão de caráter teórico, porém o mais importante

neste momento é que o leitor saiba aplicar estas propriedades operacionais em

problemas práticos.

Exemplo: Quando o conhecimento matemático era restrito só aos números naturais, ou

até inteiros, não era possível resolver uma simples equação como 2x = 3. Agora, no

universo dos números racionais, ficou possível lidar com este tipo de equação:

2x = 3 x = 21

.3 = 2

1.3 =

2

3

1

3.

2

1 , isto é, 2x = 3 x =

2

3.

Exemplo: Uma pessoa conseguiu medir dois quintos do perímetro do seu terreno e

encontrou 15 metros e meio. Qual é o perímetro do terreno?

Se x é o perímetro, dois quintos do perímetro é igual a 5

2x. Assim, o problema

nos diz que x é solução da equação 5

2x =

2

31. Logo,

Page 27: MB-Unidade 3 - números racionais

Matemática Básica Unidade 3

27

5

2x =

2

31 x =

4

155

2

31.

2

5

2

31.

5

21

x = 4

155m = 38m e 75cm

Quando a é um número inteiro, temos que a1

=

1

1

a=

a

1 (veja propriedade

(d) de produto). Neste caso, quando a e b são números inteiros, a expressão a1

b pode

ser reescrita como a1

b = a

1b =

a

b. Por exemplo, neste caso, a propriedade (f) pode ser

reescrita como: ax = b x = a

b. Provavelmente, leitor, você deve estar mais

acostumado com esta forma de escrever. Agora, é preciso tomar cuidado com esta

notação. A notação de fração, a

b, só faz sentido quando a, b . Porém, a propriedade

(f) é válida para a e b representando números racionais. Neste caso geral, não faz

sentido, a rigor, reescrever a propriedade com notação de fração.

Em função do valor computacional da notação de fração, mesmo com

numerador e denominador deixando de ser números inteiros, é comum utilizar o

símbolo a

b, com a, b . Leitor, é importante entender que esta nova notação tem um

significado diferente. Não dá para entender, por exemplo, a expressão

12

73

2

como

“tantas vezes uma parte da unidade”, como fizemos na apresentação dos números

racionais.

Em resumo, temos a seguinte notação.

r

s

q

p

s

r

q

p

. .

Observação: Também é comum escrever r

s

q

p

s

r

q

p.: .

Page 28: MB-Unidade 3 - números racionais

Matemática Básica Unidade 3

28

Você entendeu porque esta notação funciona assim? Vamos recapitular. Seja b =

q

p e seja a =

s

r dois números racionais. Então,

r

s

q

p

s

r

q

pba

a

b

s

r

q

p

.

1

1

Observação: Esta notação de fração só faz sentido para s

r diferente de zero.

Propriedade: Outra propriedade importantíssima em contas é a propriedade distributiva

da operação produto com relação à operação soma.

a, b, c , a(b + c) = ab + ac.

Atividade 15:

a) Calcule o valor das seguintes expressões.

1. )12(2

1

2

1 2.

3

2:3 3.

5

3.5 4. 3:

3

2

5.

4

23

4

23

11

3

11

3 6.

5

1

3

12

5

3 7.

3

11

1

8.

b) Efetue a expressão: a)

5

11

11

11

10

11

11

11

; b)

4

11

4

11

:

2

11

2

11

.

Page 29: MB-Unidade 3 - números racionais

Matemática Básica Unidade 3

29

Atividade 16: A noção de porcentagem é simplesmente um tipo especial de fração,

mais precisamente, representa uma fração cujo denominador é 100. Assim, n por cento,

ou n%, representa a fração 100

n. Resolva os itens a seguir.

i) Represente a porcentagem dada em forma de fração simplificada.

a) 25% b) 30% c) 50% d) 75% e) 44% f) 10%

ii) Transforme o número dado para a notação de porcentagem.

a) 2

1 b)

4

3 c)

5

3 d)

20

14 e) 1 f) 2

iii) Calcule:

a) 50% de 20 b) 150% de 20 c) 25% de 16 d) 30% de 9

80

iv) Efetue:

a) 5

4 10% 28 b) 32%10%

12

5 c)

%50

%20 d)

2

11

1 e)

17

2312

3

45

11

Representação decimal dos números racionais

Como podemos nos referir a um número racional? Até agora vimos que um

número racional pode ser representado em forma de fração, pode ser representado

geometricamente e também pode ser representado por porcentagem. Você não está

sentindo falta de outra forma de representar os números racionais, aluno? E a

representação decimal, não existe uma versão desta conhecida forma de representação

decimal para os números racionais? É claro que existe. O aluno deve conhecer a

representação decimal para a fração

, por exemplo. É a representação 0,5. Agora, qual

é a lógica da representação decimal? Como ela se relaciona com as outras formas de

representação? É interessante saber mais sobre estas questões.

Consideremos um número racional maior do que zero. Vamos chamá-lo de a.

Então, podemos escrever a = a0 + a’, onde a0 representa um número natural e a’

representante uma fração da unidade, isto é, 0 a’ < 1. Veja alguns exemplos

Page 30: MB-Unidade 3 - números racionais

Matemática Básica Unidade 3

30

numéricos:

= 1 +

;

= 4 +

;

= 0 +

; 3 = 3 + 0. Veja uma representação

geométrica da situação.

Agora, podemos olhar para a parte fracionaria, a’, a partir de um submúltiplo da

unidade que é um décimo da unidade original. Isto significa que a’ é visto como um

múltiplo de

da unidade original, mais uma possível fração. Assim, a’ = a1.

+ a’’,

onde 0 a1 < 10 e 0 a’’ <

. Veja uma ampliação do desenho anterior, mas com a

unidade subdividida em 10 partes. No caso do desenho, só como ilustração de como o

a1 pode ser determinado, vemos que a1 = 6.

E o valor de a’’? Para esta parte fracionária, podemos subdividir cada um décimo da

unidade em 10 partes, ou seja, podemos subdividir a unidade original em 100 partes. Aí,

vamos encontrar, a’’ = a2.

+ a’’’, onde 0 a2 < 10 e 0 a’’’ <

.

Vamos resumir o que fizemos até agora. Dado um número racional positivo, a,

podemos escrever:

a = a0 + a’, onde a0 e 0 a’ < 1;

a = a0 + a1.

+ a’’, onde 0 a1 < 10 e 0 a’’ <

;

a = a0 + a1.

+ a2.

+ a’’’, onde 0 a2 < 10 e 0 a’’’ <

.

Continuando assim, podemos obter uma sequência do tipo:

a = a0 + a1.

+ a2.

+ ... + an.

+ (resto),

onde 0 a1, a2, ... , an < 10 e 0 (resto) <

.

Page 31: MB-Unidade 3 - números racionais

Matemática Básica Unidade 3

31

Esta sequência de somas pode ser finita ou infinita. Por exemplo,

é uma sequência finita,

é uma sequência infinita.

No caso da sequência ser infinita, indicamos as somas sucessivas por

a = a0 + a1.

+ a2.

+ ... + an.

+ ...,

onde 0 a1, a2, ... , an < 10.

Antes de concluir sobre a representação decimal dos números racionais, vamos

relembrar o que significa representar um número natural na forma decimal. Mantendo a

notação aqui fixada, temos que a0 representa um número natural. Digamos que a

representação simbólica decimal de a0 seja AN ... A2A1A0. Isto significa que:

a0 = AN ... A2A1A0 = AN.10N + ... + A2.10

2 + A1.10 + A0,

com 0 AN, ... , A2, A1, A0 < 10. Só para ilustrar, poderíamos ter a0 = 243. Neste caso, a0

= 2.102 + 4.10 + 3.

Juntando tudo que falamos até agora, temos que um número racional positivo

pode ser escrito como

a = a0 + a1.

+ a2.

+ ... + an.

+ ...

= AN.10N + ... + A2.10

2 + A1.10 + A0 + a1.

+ a2.

+ ... + an.

+ ...,

onde 0 AN, ... , A2, A1, A0 < 10 e 0 a1, a2, ... , an < 10.

Agora chegamos na representação decimal dos racionais. Assim como números

como 2.102 + 4.10 + 3 passaram a ser escrito na forma simplificada, 243, temos que

números como 2.102 + 4.10 + 3 + 7.

+ 5.

, por exemplo, passaram a ser escritos na

forma simplificada, 243,75. Assim a representação decimal de um número racional

positivo é a conversão da sua expressão na forma,

AN.10N + ... + A2.10

2 + A1.10 + A0 + a1.

+ a2.

+ ... + an.

+ ...,

para a forma mais simples,

AN...A2A1A0,a1a2...an... .

Page 32: MB-Unidade 3 - números racionais

Matemática Básica Unidade 3

32

Se a sequência é finita, dizemos que o número possui uma representação decimal finita.

Se a sequência é infinita, dizemos que o número possui uma representação decimal

infinita. O número racional dado por

possui a representação decimal finita dada por

0,75. O número racional dado por

possui a representação decimal infinita dada por

1,142857142857142857.... (o aluno pode obter este valor com uma calculadora).

No caso de a ser um número racional negativo, basta considerar a representação

decimal de a, que é um número racional negativo, antecedida do sinal de menos. Por

exemplo,

= 0,75.

Na prática, a representação decimal correspondente a uma fração, q

p, com p, q

e q 0, pode ser obtida pela generalização da divisão euclidiana de p por q.

Estamos falando do algoritmo da divisão euclidiana que continua mesmo quando se

obtém o resto menor do que o divisor.

Atividade 17:

a) Efetue a expressão: a) 2,34 + 3,14; b) 5,5 4,2; c) 9,6 0,3.

b) Para os mesmos itens do exercício anterior, primeiro transforme os números em

frações decimais e depois efetue as operações. Compare o desenvolvimento e analise

quando é melhor trabalhar com notação decimal e com notação de fração.

c)

i) Represente a porcentagem dada em forma de fração simplificada.

a) 1,1% b) 2,2% c) 0,1%

ii) Transforme o número dado para a notação de porcentagem.

a) 1,1 b) 0,001

iii) Calcule:

a) 10% de 1,1 b) 0,1% de 1200 c) 2,5% de 1,1

d) Efetue.

Page 33: MB-Unidade 3 - números racionais

Matemática Básica Unidade 3

33

a) 5

6 4,2 b) 1,2 +

3

1 c)

22,3

3,02,0

d) 32%.

2,1

02,0

e) 0,5 + 6,02,0

02,01,0

f) 20,13 + 1 g)

3,01

1

h) 3430,121

e) O que é maior 3,21 ou 3,20988893?

Equação do 1º grau em

Uma das grandes vantagens de se trabalhar com os números racionais é a

garantia de resolver equações do tipo ax = b, com a ≠ 0 (a solução é única e é dada por x

= a

b). De modo mais geral, uma vez incluído também os números negativos, toda

equação do tipo ax + b = c, onde a, b e c são dados, a 0 e x é desconhecido, pode

facilmente ser resolvida. Entenda por “resolver uma equação na incógnita x” por

determinar uma expressão de x em função dos dados fornecidos. Mais precisamente,

entenda que é preciso isolar x a partir da expressão dada.

O procedimento é bem simples:

ax + b = c ax = c b x = a

bc .

Note que a última implicação só valeu porque estamos considerando a 0. O

procedimento que acabamos de descrever serve para qualquer grupo de valores a, b e c,

com a 0.

Uma equação do tipo ax + b = c, onde a, b e c são dados, a 0 e x é

desconhecido, é chamada equação do 1º grau (com relação à variável x). Observe que

às vezes temos uma equação que não é do tipo de uma equação do 1º grau, mas que

pode ser transformada para uma de tal tipo.

Atividade 18: Resolva as equações a seguir.

a) 2x + 1 = 9 b) x 3 = 1 c) 3x + 1 = 3

d) 15x = 5 e) 9x + 27 = 45 f) 3x + 1 = 0

Page 34: MB-Unidade 3 - números racionais

Matemática Básica Unidade 3

34

g) 3

1x + 1=

2

5 h) x +

2

1 =

3

1 i) 3x

11

4 =

7

3

j) 3x + 2 = x 2 k) 2 x + 3x = x + 1 l) x + 5

3

2

1x + x

2 = 1 + x

2

m) 0,4x = 2,2 n) 5,5x = 0,01

Atividade 19:

i) Determine x sabendo que:

a) 10% de x é 15 b) 200% de x é 30 c) 60% de x é 5

9

d) 12% de x é 2,4 e) 1,5% de x é 0,1

ii) Resolva a equação 20

500x =

3

1.

iii) Determine os valores racionais de para os quais a fração

não está bem

definida. Calcule essa fração para igual a

.

Atividade 20:

a) A equação de estado de um gás ideal é dada por

pV = nRT,

onde p é a pressão, V é o volume e T é a temperatura de uma dada massa gasosa,

contendo n moles do gás. A variável R representa a constante 0,082 mol.K

atm.litro. Um

recipiente de volume igual a 8,0 litros contém um gás à temperatura de 300 K sob uma

pressão de 5,0 atm. Determine o número de moles do gás colocados no recipiente.

b) Na atividade 8, item (b), da unidade 1, foi pedido para prever quando a piscina ficaria

cheia, levando-se em consideração que entrava 6 litros de água a cada 2 minutos e

vazava 1 litro de água a cada 10 minutos. Este tipo de questão, do ponto de vista dos

números naturais, é um tanto complicado, pois é difícil comparar as informações.

Page 35: MB-Unidade 3 - números racionais

Matemática Básica Unidade 3

35

Os números racionais também são úteis neste tipo de problema, pois eles

permitem “normalizar” as informações. Por exemplo, considerando quocientes, temos

que a piscina recebe 2

6 = 3 litros por minutos, enquanto perde

10

1 litros por minuto.

Assim, a piscina recebe ao todo 2

6

10

1 =

10

29

10

130

litros por minuto.

Com esta última informação não é difícil deduzir que a expressão matemática

que dá o volume da piscina, V, em função do tempo, t, é dada por

V = 10

29t.

(Ainda vamos discutir neste curso como deduzir este tipo de fórmula.)

De posse desta expressão matemática, não precisamos perder tempo com

contagens. Basta resolver a equação acima com V = 1000 litros. Faça isto (coloque a

resposta na forma de representação mista e confira a resposta (exata) com a resposta

obtida na atividade 8).

c) Em uma competição, o premio de mil reais é dividido entre os três primeiros

colocados. Mas, a divisão não é proporcional. A organização tinha definido que o

terceiro ficaria com o menor premio, o segundo receberia 100 reais a mais e o primeiro

colocado ficaria com metade do premio. Quanto deve receber o segundo e o terceiro

colocados?

d) A cada minuto que passa, a temperatura da água dentro de uma panela no fogo

aumenta 12ºC. A panela com água, quando foi para o fogo, tinha a temperatura de 15ºC.

Determine quanto tempo levará para a água ferver (ela deve ferver quando atingir

100ºC).

Sistemas de equações do 1º grau

As propriedades operacionais permitem, numa equação com variáveis, isolar

uma determinada variável. Por exemplo, na equação a + bx = 2a 2, podemos isolar a

variável a ao obter a 2a = bx 2, donde a = bx 2, donde a = bx + 2. A primeira

transformação foi obtida ao somar-se 2a nos dois membros da equação; a segunda

transformação foi obtida ao se colocar a em evidência, a 2a = (1 2)a; a última

transformação foi obtida pela multiplicação dos 2 membros por 1.

Page 36: MB-Unidade 3 - números racionais

Matemática Básica Unidade 3

36

Quando a equação é do primeiro grau e só tem uma variável, podemos

determinar o valor desta variável. Por exemplo, uma equação do tipo 4x 3 = 7 + 2x

pode facilmente ser resolvida.

Por outro lado, quando temos uma equação envolvendo mais de uma variável,

pode ser impossível resolvê-la. Ou melhor, pode ser impossível explicitar todos os

valores das variáveis. Por exemplo, na equação 2x + 3y = 1, podemos encontrar uma

expressão para x em função de y, x = 2

31 y, ou podemos deixar y em função de x, y =

3

21 x. Mas, nenhuma das transformações permite encontrar valores específicos para x e

y. Isto nem poderia acontecer, pois existem infinitas possibilidades de valores x e y que

satisfazem a equação. Por exemplo, o par x = 2, y = 1 e o par x = 4, y = 3 satisfazem a

mesma equação, 2x + 3y = 1. (Verifique! Tente encontrar outras soluções!) Em

situações como esta, a solução da equação é indeterminada.

Uma situação onde pode ser possível determinar uma solução envolvendo mais

variáveis incógnitas ocorre quando temos mais equações.

Exemplo: Vamos determinar a solução do sistema de equações do 1º grau,

423

152

yx

yx.

A estratégia é bem simples. Sabemos isolar variáveis. Assim, podemos, na primeira

equação, deixar a variável y em evidência, y = 5

21 x. Não resolvemos nada, mas

podemos usar a segunda equação para melhorar a situação. Para isto, basta substituir y

pela expressão encontrada. Assim, temos a segunda equação transformada em:

3x + 2.5

21 x = 4.

Agora temos uma equação do primeiro grau apenas com uma variável, a

incógnita x. Só precisamos, então, isolar x. Da última equação, temos 15x + 2 4x =

20, donde 11x = 22, donde x = 2. Encontramos o valor de x!

Com este valor podemos voltar na equação que dava uma expressão para y: y =

5

21 x. Substituindo x por 2, temos y = 1.

Page 37: MB-Unidade 3 - números racionais

Matemática Básica Unidade 3

37

Assim, x = 2 e y = 1 formam a única solução do sistema. Observe que podemos

verificar se não erramos em conta. Basta substituir os valores encontrados nas duas

equações para verificar se o resultado está correto.

Exemplo: Nem sempre um sistema de equações possui uma solução. Considere o

sistema

362

13

yx

yx. Podemos isolar x a partir da 1ª equação, x = 1 3y. Substituindo

na 2ª, temos 2(1 3y) + 6y = 2, donde 2 6y + 6y = 3, donde 2 = 3 (Isto é um

absurdo!). Esta contradição veio do fato de admitir que x e y podem assumir valores

numéricos que satisfazem o sistema de equações. Enfim, não existe uma solução

numérica para o sistema de equações.

Leitor, agora, você só precisa treinar a manipulação das técnicas algébricas a fim

de resolver sistemas. Para isto, resolva as próximas atividades.

Atividade 20:

a) Considere a equação .55

yx

Determine:

1) o valor de x para y = 0,3x – 1,1.

2) o valor de y para o valor de x calculado no item (a).

b) Sendo o par (9,y) solução da equação 10x + 4y = 78, determine o valor de y.

c) Resolva os seguintes sistemas de equações:

1)

586

62

yx

yx 2)

xy

yx

32

153 3)

1462

104

yx

yx

d) A soma de dois números é 147. A diferença entre eles é 17. Calcule esses números.

e) Numa prova de Matemática, com 20 questões, os alunos ganham 5 pontos por

questão certa e perdem 3 pontos por questão errada. Quantas questões acertou um aluno

que obteve 36 pontos?

f) Mauro possui 58 moedas em seu cofrinho. Algumas de R$ 0,10 e outras de R$ 0,50.

Ao todo, Mauro tem R$ 16,20. Quantas moedas de cada valor Mauro possui?

g) Um time do campeonato brasileiro tem 15 pontos. Ele já jogou 9 partidas e não

perdeu nenhum jogo. Será possível determinar o número de vitórias do time? Lembre

Page 38: MB-Unidade 3 - números racionais

Matemática Básica Unidade 3

38

que cada vitória representa 3 pontos e cada empate representa 1 ponto. No caso

afirmativo, determine a porcentagem de aproveitamento total do time.

h) Resolva o sistema de equações

0

2

1022

zy

yx

zyx

.

Resposta das Atividades

Atividade 2: Observe que a altura do triângulo traçado é a aproximadamente 4, usando

o lado dos quadrados da malha como unidade

Atividade 3:

a) 24 vezes. 4 dia = 4×24 h = 96 h. b) Unidade hora; 2h.

c) 8h ;

dia. d)

dia.

e) 48 horas; 2 dias.

Atividade 4:

a)

1. u = 100u’ 2. u = 1000u’ 3. u = 60u’

4. u = 3600u’ 5. u = 24u’ 6. u = 365u’

7. u = 1000u’ 8. u = 100u’

b)

1.

m = 35 cm 2.

km = 150 m 3.

h = 120 min

4.

anos = 30 dias 5.

kg = 500g 6.

Reais = 25 centavos

c)

Page 39: MB-Unidade 3 - números racionais

Matemática Básica Unidade 3

39

1. 4100

25 a 4.25 = 100a a = 1. Logo,

2.

3.

4.

5. x =

21

14

.

d) e) Significa que a pizza foi dividida em 6 partes iguais e 4 dessas partes foram

escolhidas.

Atividade 5:

a)

1.

2.

3.

4.

5.

b)

1. 5

1 =

30

6, pois (-1).30=-30=(-6).5, logo são equivalentes.

2.

, pois (5).299 7.235, logo não são equivalentes.

3. 8

12 =

2

3, pois 2.12=24=8.3, logo são equivalentes.

4. 750

2700 =

5

18, pois 5.2700=13500=750.18, logo são equivalentes.

5.

pois 10584=1512.7 588.6=3528, logo não são equivalentes.

c)

1. Irredutível 2. Irredutível 3.

4. 3

231=

5. Irredutível 6.

12

16

=

d)

1. 30

16=

e mdc(8,15)=1.

2. Já é irredutível, pois 97 é primo e 111 não é múltiplo de 97.

3.

e mdc(23,16) = 1.

4.

(Dica: nesse caso, calcule mdc(2700,750) = 150 e faça a

simplificação usando esse valor.)

5.

, onde usamos o mdc(256,384) = 128.

6.

, note que 421 é primo e 1263 = 3.421 .

Page 40: MB-Unidade 3 - números racionais

Matemática Básica Unidade 3

40

Atividade 6:

a)

e

, ou, de outro modo,

= 28 cm.

b) Temos que 4dm = 40cm, donde 4dm e 7cm = 47cm =

m.

c) 1.

está mais próximo, veja a representação abaixo:

2.

está mais próximo, veja a representação abaixo

3. Estão à mesma distância:

1. 1/3 está mais próximo conforme a figura abaixo.

Atividade 7:

Observe que

= 2, isto é, esta fração representa duas unidades inteiras. Por outro lado,

é claro que

é menor do que

= 2. Ou seja, temos que

é maior. Agora, se quiser

resolver o problema igualando denominadores, temos

.

Atividade 8:

a)

=

, pois mmc(6,8)=24.

b)

=

, pois mmc(6,15)=30.

c)

=

, pois mmc(11,7)=77.

d)

, pois

e

.

e)

f)

Atividade 9:

a) Como

e , o maior é

b)

, pois um número positivo é sempre maior do que um negativo.

Page 41: MB-Unidade 3 - números racionais

Matemática Básica Unidade 3

41

c) Por exemplo

, ou

, ou

, ....

d) Vamos usar frações equivalentes, para facilitar. Então,

e

, assim

, donde

nos serve. (Você consegue encontrar outro número

racional entre 5

3 e

5

4?)

e) Não, pois

e não existe inteiro entre 1 e 2.

f) 1.

; 2. 3 ; 3.

,

é a maior.

g)

, pois

, já que (-8).7=-56=(-7).8.

h)

, logo a maior é

.

i) ( ) , então

<

<

.

j) Queremos determinar o maior valor de n, tal que

. Este é mais um

dos problemas que podem ser resolvidos por contagem, nos moldes da aula 1.

Primeiro, note que

. Assim, temos os múltiplos de

listados a seguir:

e 8 vezes

já ultrapassou a fração

. Logo, a resposta

é n = 7.

Agora, se você quiser evitar contagens, podemos trabalhar

algebricamente. Temos

se, e só se, 10n < 75. E o maior valor

de n tal que a desigualdade é válida é 7.

k) Temos

.

l) Temos

.

Por exemplo, no item (h), para se comparar as frações ,

ou

podemos diretamente

que 11.14 = 154 > 150 = 15.10, donde

>

.

Atividade 10: Nada podemos dizer sobre a. Por exemplo, se a = 32 , a

, Se a =

5, a +.

Page 42: MB-Unidade 3 - números racionais

Matemática Básica Unidade 3

42

Atividade 11:

a) 8

11

8

3

8

8

8

31 ; b)

6

11

6

5

6

6

6

51 ;

c) 7

8

7

1

7

7

7

11 .

Atividade 12:

a) 4

3

4

1

5

1

=

5

6

5

5

5

11

5

1

4

3

4

1

5

1

.

b)

4

1

6

2

6

4 =

4

5

4

11

4

1

6

2

6

4

.

c) 5

1

3

2

5

4

=

3

5

5

1

5

4

3

2

5

1

5

4

3

2

.

d)

3

2

7

5

3

1 =

7

12

7

5

3

2

3

1

7

5

3

2

3

1

.

Atividade 13: Na dúvida sobre a veracidade de uma propriedade, o melhor é testá-la

com alguns exemplos numéricos. Temos que:

1 – (1 – 2) = 1 – (1) = 1 + 1 = 2

e

(1 – 1) – 2 = 0 – 2 = 2.

Assim, a relação de associatividade para a operação subtração não vale.

Atividade 14:

a)

1) 10

3

5.2

1.3

5

2.

4

3 ; 2)

20

3

5

3.

4

1 ; 3)

2

1

4

1.2 ; 4) 1

3

1.3 ;

5) 115

7.

7

15 ; 6)

111

321.0 = 0; 7)

4

217.

4

3 ; 8)

3

4

3.1

4.1

9

16.

4

3 .

b) Resposta: 4

3.100 = 3.25 = 75 m

2.

c) Resposta: 1005

500500.

5

2.

2

1 .

Page 43: MB-Unidade 3 - números racionais

Matemática Básica Unidade 3

43

Atividade 15:

a) (Novo exercício: uma das respostas do gabarito deste item está errada. Encontre-a.)

1. 1)12(2

1

2

1 2.

2

9

3

2:3 3. 3

5

3.5 4. 23:

3

2

5. 11

3

4

23

4

23

11

3

11

3

6.

3

1

5

1

3

12

5

3

7.

4

3

3

11

1

8.

.

b) a) 105

32

5

1.

21

32

521

32

4121

111

4

1

11

11

21

11

4

51

11

11

101

11

5

4

11

11

10

11

11

11

5

11

11

11

10

11

11

11

.

b) 5

9

5

4.

4

3.

1

2.

2

3

4

34

5

2

12

3

4

11

4

11

2

11

2

11

.

Atividade 16:

i) a) 25% = 4

1

100

25 . b) 30% =

10

3

100

30

c) 50% = 2

1

100

50 d) 75% =

4

3

100

75

e) 44% = 25

11

50

22

100

44 f) 10% =

10

1

100

10

ii) a) 100

50

50.2

50.1

2

1 = 50% b)

100

75

25.4

25.3

4

3 = 75%

Page 44: MB-Unidade 3 - números racionais

Matemática Básica Unidade 3

44

c) 100

60

20.5

20.3

5

3 = 60% d)

100

70

5.20

5.14

20

14 = 70%

e) 1 = 100

100

1

1 = 100% f) 2 =

100

200

100.1

100.2

1

2 = 200%

iii) a) 50% de 20 = 50%.20 = 1020.2

120.

100

50

b) 150% de 20 = 150%.20 = 302.1510

20.1520.

10

1520.

100

150

c) 25% de 16 = 25%.16 = 44

1616.

4

116.

100

25

d) 30% de 9

80= 30%.

9

80=

3

8

9

80.

10

3

9

80.

100

30

iv) a) 5

4 10% 28 = 24,2

100

224

4.25

4.56

25

56

5.5

28.2

10.5

28.428.

100

10.

5

4 = 224%

Observação: As últimas simplificações no item (a) foram apenas por gosto. Não existe

nenhuma obrigação em converter a resposta para alguma notação específica (a menos

que seja pedido). Assim, a resposta poderia ter terminado com 25

56, com

100

224, com 2,24

ou com 224%, tanto faz.

b) 32%10%12

5 =

75

1

100.3

4

12.100.2

32

12

5.

100

10.

100

32 .

Observação: A resposta 75

1 pode ser colocada em notação de decimal ou de

porcentagem, mas não será uma resposta simplificada, com números mais “bonitos”. O

que não pode ser feito em hipótese alguma é escrever a resposta arredondada, ou

aproximada, como 75

1 ≈ 0,133, por exemplo.

c) %404,010

4

5

2

50

100.

100

20

100

50

100

20%50%20

%50

%20

d) 3

2

2

3

1

2

11

1

e) 4140

17

23

17.

180

1

17

23180

45

180

44

17

2312

3

45

11

Atividade 17:

Page 45: MB-Unidade 3 - números racionais

Matemática Básica Unidade 3

45

a) a) 2,34 + 3,14 = 5,48; b) 5,5 4,2 = 23,1; c) 9,6 0,3 = 32.

b) a) 2,34 + 3,14 = 100

548

100

314

100

234 = 5,48

b) 5,5 4,2 = 10

231

10

2111

10

42

10

55

= 23,1

c) 9,6 0,3 = 323

10.

10

96

10

3

10

96

Observação: Nos cálculos com multiplicação e divisão, parece ser mais útil trabalhar

com números na forma de fração, pois podem ocorrer simplificações.

c)

i) a) 1,1% = 1000

11

100

1,1 b) 2,2% =

500

11

1000

22 c) 0,1% =

1000

1

ii) a) 1,1 = %110100

110

10

11 b) 0,001 =

100

1,0 = 0,1%

iii) a) 10% de 1,1 = 10%×1,1 = 11,0100

11

10

11.

100

10

b) 0,1% de 1200 = 0,1%×1200 = 10

121200.

1000

11200.

100

1,0 = 1,2

c) 2,5% de 1,1 = 2,5%×1,1 = 0275,010000

275

10

11.

1000

25

d)

a) 5

6 4,2 b) 1,2 +

3

1 c)

22,3

3,02,0

d) 32%.

2,1

02,0

e) 0,5 + 6,02,0

02,01,0

f) 20,13 + 1 g)

3,01

1

h)

2

11

1

i) 3430,121

a) 5

6 4,2 = 3

10

30

10

4212

10

42

5

6

Podemos realizar a conta usando notação decimal:

5

6 4,2 = 1,2 4,2 = 3

Page 46: MB-Unidade 3 - números racionais

Matemática Básica Unidade 3

46

b) 1,2 + 3

1 =

15

23

30

46

30

1036

3

1

10

12

c) 20

1

12

10.

100

6

10

12100

6

2,1

10

3

10

2

22,3

3,02,0

= 0,05

d) 32%.375

2

25.15

2

100.15

8

120

2.

100

32

2,1

02,0

e) 0,5 + 6

7

6

43

3

2

2

1

3

25,0

6

10.

20

85,0

6

10.

2,0

08,05,06,0

2,0

02,01,0

Observação: Estude a estratégia usada para efetuas as contas do item (e). Primeiro

foram realizadas as contas envolvendo produto e divisão. Para isto, as expressões foram

convertidas para fração, com o objetivo de buscar simplificações. Depois, ao chegar na

expressão 3

25,0 , foi preciso decidir entre a notação decimal e de fração. Como

3

2 em

notação decimal envolve dízima periódica, foi melhor converter 0,5 para notação de

fração.

Lembre-se que as contas ficariam erradas se terminassem parecidas com 3

25,0

≈ 0,5 + 0,6 = 1,1.

f) 20,13 + 1 = 2×10×3 + 1 = 61

g) 7

10

10

7

1

7,0

1

3,01

1

h) 3430,121 = 34×3×121

1000 =

121

102000

Observação: Note que, pelo processo de fatoração, fica claro que 102000 e 121 = 11×11

não têm fatores em comum, donde é perda de tempo querer simplificar a fração final.

(Esta é uma das vantagens em trabalhar com frações e simplificações em vez de

simplesmente efetuar as divisões e produtos.)

e) 3,21 é maior.

Atividade 18: Pegue a sua resposta e substitua na expressão. Veja se o valor coincide.

Veja a resolução do item (m) e (n) como exemplo.

m) 0,4x = 2,2 10

22

10

4x 4x = 22 x =

4

22 =

2

11 = 5,5

Page 47: MB-Unidade 3 - números racionais

Matemática Básica Unidade 3

47

n) 5,5x = 0,01 550

1

100

1

10

55 xx

Atividade 19:

i)

a) 10% de x é 15 10

1.x = 15 x = 15.10 x = 150

b) 200% de x é 30 2x = 30 x = 15

c) 60% de x é 5

9

5

3x =

5

9 x = 3

d) 12% de x é 2,4 10

24

100

12x x = 20

e) 1,5% de x é 0,1 1,5%x = 0,1 10

1

1000

15x x =

3

20

15

100

ii) 20

500x =

3

1 x =

75

1

50.3

2 (note que não tem como simplificar mais esta fração)

iii)

não está bem definida quando x = 1 ou quando x = 0. Quando x = 1/3, temos

.

Atividade 20:

a) n = 63,16,24

40

300082,0

85

RT

pV.

Observação: Como este é um problema prático, faz sentido arredondar o valor da

resposta (pois, sendo um problema prático, todas as medidas envolvidas estão sujeitas a

erros e, portanto, não se pode garantir o valor exato da resposta, só aproximações).

b) Quando V = 1000, temos

Page 48: MB-Unidade 3 - números racionais

Matemática Básica Unidade 3

48

1000 = 10

29t t =

29

10000 344 minutos (uma informação bem mais precisa do

que a obtida no gabarito da unidade 1)

c) Como o 1º colocado recebe 500 reais, sobram 500 reais para serem divididos entre o

2º e o 3º colocados. Seja x a quantia recebida pelo 3º colocado, então o 2º receberá x +

100 e sabemos que x + x + 100 = 500. Logo, 2x + 100 = 500, donde x = 200. Ou seja, o

3º colocado receberá 200 reais e o 2º, 300 reais.

d) A temperatura da água na panela no fogo pode ser representada por T = 15 + 12t,

onde t é o tempo dado em minutos. Portanto, atingirá 100º quando 100 = 15 + 12t, isto

é, quando t =

min = 7min 5s.

Atividade 21:

a)

a) Substituindo y = 0,3x – 1,1 na equação 55

yx

, temos:

5)1,13,0(5

xx

0,2x 0,3x + 1,1 = 5 0,5x = 5 1,1 0,5x = 3,9

x =

= 7,8.

b) y = 0,3x 1,1 = 0,3.(7,8) 1,1 = 3,44.

b) Se (9, y) é solução, ao substituirmos os valores x = 9 e y = y, a equação deve tornar-se

uma sentença verdadeira. Logo, o valor de y deve ser:

10x + 4y = 78 10.9 + 4y = 78 4y = 78 90 = 12 y = 3.

c)

1) Para resolvermos, podemos multiplicar a segunda equação por (1) e somar as duas,

assim, 2 6 2 6

8 64 8.6 58 6 58

x y x yy y

x y x y

Com este valor de y,

podemos substituir em qualquer das equações e calcular o valor de x. Substituindo na

primeira, teremos:

2 6 2.8 6 6 16 10x y x x x .

Page 49: MB-Unidade 3 - números racionais

Matemática Básica Unidade 3

49

2) Para resolvermos, podemos substituir o valor de 3x da segunda equação, na primeira.

Assim,

3 152 15 3 15 5.

2 3

x yy y y y

y x

Como 3x = 2y , teremos

3x = 2.(5) = 10 x = 10

3 .

3) Para resolvermos, podemos multiplicar a primeira equação por (2) e somar as duas

equações. Assim,

4 10 2 8 202 6 3.

2 6 14 2 6 14

x y x yy y

x y x y

Com esse valor de y podemos

substituir em qualquer das equações e calcular o valor de x correspondente. Substituindo

na primeira, teremos: x – 4y = 10 x – 4.(-3) = 10 x + 12 = 10 x = 10 – 12 x

= 2.

d) Sejam x e y esses números. Se sua soma é 147, temos a equação: x + y = 147. Como

sua diferença é 17, temos a equação: x – y = 17. Formamos, portanto, um sistema, com

duas equações e duas incógnitas: 147

17

x y

x y

. Somando as duas equações, teremos: 2x

= 164. Portanto, x = 82. Da primeira equação, substituindo esse valor de x, teremos 82 +

y = 147. Ou seja, y = 147 – 82 = 65. Portanto, os números são 82 e 65 (confira!)

e) Seja e o número de questões erradas e c o número de questões certas. Considerando

que o aluno só pode errar ou acertar uma questão, o total de 20 questões será a soma das

erradas com as certas. Assim, temos a equação: e + c = 20. Por outro lado, para cada

questão correta, o aluno ganha 5 pontos e para cada errada, ele perde 3 pontos. Então, a

pontuação do aluno (36 pontos) será obtida fazendo: 5.c 3.e, ou seja, 5.c 3.e = 36.

Assim, ficamos com o sistema: 20

5 3 36

e c

c e

. Podemos resolvê-lo, multiplicando a

primeira equação por 3 e somando com a segunda, obtendo a equação: 8c = 96. Logo, c

= 12, que é o número de questões que o aluno acertou.

f) Seja D o número de moedas de R$0,10 e C o número de moedas de R$0,50 que

Mauro possui. Considerando que ele só possui essas moedas, o total será C + D = 58.

O total em dinheiro será 0,1.D + 0,5. C = 16,20. Com estas duas equações, obtemos o

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Matemática Básica Unidade 3

50

sistema: 58

0,1 0,5 16,20

C D

D C

ou, multiplicando a segunda equação por 10:

58

5 162

C D

C D

. Multiplicando a primeira equação por (1) e somando com a segunda,

ficamos com a equação: 4C = 104. Portanto, C = 26. Substituindo na primeira,

concluímos que D = 32. Logo, Mauro possui 26 moedas de R$ 0,50 e 32 moedas de R$

0,10. (confira!)

g) Se x representa o número de vitórias, e y representa o número de empates, temos

{

Fazendo a 2ª linha menos a 1ª, temos 2x = 6, donde x = 3. Ou seja, o número de vitórias

é 3.

Deste modo, o time ganhou 3 jogos em 9 partidas disputadas, ou seja, ele teve

3/9 de vitórias com relação aos jogos disputados. Como este número não possui

representação decimal finita, podemos aproximar o resultado para 3/9 ≈ 0,33 = 33%.

Logo, o aproveitamento é de aproximadamente 33%.

h) Podemos tirar o valor de x da segunda equação e o de y da terceira, e substituir na

primeira. Assim, teremos que x = 2 y e y = z, ou seja, x = 2 z e y = z. Substituindo,

ficamos com 2.(2z) + 2.z – z = 10. Ou seja, 5z = 10, logo, z = 2. Assim, y = 2 e x = 4.


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