ME623APlanejamento e Pesquisa
2
4. Experimentos em Blocos
1. Blocos Completos e Aleatorizadosa) Definiçãob) Análise Estatísticac) Decomposição da Soma de Quadradosd) Tabela Anovae) Estimação dos Parâmetros
2. Quadrados Latinos3. Quadrados Greco-Latinos4. Blocos Balanceados Incompletos5. Delineamento Cruzados
3
Blocos Completos AleatorizadosFator A Bloco 1 Bloco 2 Bloco b
1 y11 y12 y1b
2 y21 y22 . . . y2b
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
a ya1 ya2 yab
Completo indica que cada bloco contém todos os tratamentos
4
Exemplo da PonteiraAs observações para cada ponteira e
placa de metal estão na Tabela abaixo
Vamos calcular as SS e testar se existe diferença entre as ponteiras na medição da dureza em placas de metal
Ponteira
Placa de Metal(Bloco)
1 2 3 4
1 9.3 9.4 9.6 10.0
2 9.4 9.3 9.8 9.9
3 9.2 9.4 9.5 9.7
4 9.7 9.6 10.0 10.2
5
Análise EstatísticaExemplo das Ponteiras
Figura: Boxplot da dureza das placas de metais para cada
ponteira
Queremos testar se:
1. Calcular SST, SSA, SSBlocos e SSE
2. Encontrar a tabela ANOVA
6
Tabela ANOVABlocos Completos AleatorizadosExemplo Ponteiras
No R> dados <- read.table(“DadosPonteiras.txt”, header=TRUE)> fit <- lm(Dureza ~ factor(Ponteira) + factor(Placa), data=dados)> anova(fit)Response: Dureza Df Sum Sq Mean Sq F value Pr(>F) factor(Ponteira) 3 0.385 0.128333 14.438 0.0008713 ***factor(Placa) 3 0.825 0.275000 30.938 4.523e-05 ***Residuals 9 0.080 0.008889 ---Signif. codes: 0 ‘***’ 0.001 ‘**’ 0.01 ‘*’ 0.05 ‘.’ 0.1 ‘ ’ 1
7
Análise EstatísticaExemplo Ponteiras
Gráfico da Distribuição F(3,9), α=0.05
Conclusão: Como F0 = 14.44 > 3.86 (ou p-valor < 0.01), rejeitamos H0 e concluímos que as médias dos tratamentos diferem. Ou seja, o tipo de ponteira influencia na medida da dureza das placas de metal
8
Tabela ANOVAExperimento com Um FatorExemplo Ponteiras
No R, desconsiderando o efeito dos blocos> dados <- read.table(“DadosPonteiras.txt”, header=TRUE)> fit <- lm(Dureza ~ factor(Ponteira), data=dados)> anova(fit)
Response: Dureza Df Sum Sq Mean Sq F value Pr(>F)factor(Ponteira) 3 0.385 0.128333 1.7017 0.2196Residuals 12 0.905 0.075417
Não Rejeita
H0
9
Análise Estatística – Ignorando Efeito dos BlocosExemplo Ponteiras
Gráfico da Distribuição F(3,12), p-valor=0.22
Conclusão: Como F0 = 1.70 < 3.49 (ou p-valor > 0.05), não temos evidência para rejeitar H0 e afirmar que as médias dos tratamentos diferem. Nesse caso, se ignorarmos o efeito dos blocos, tiramos conclusões erradas do experimento
10
Análise de DiagnósticoJá vimos anteriormente a importância de
checar se as suposições do modelo são satisfeitas
Isso é feito através da análise dos resíduos
No caso de experimentos com blocos, devemos verificar se existe algum problema com:
1. Normalidade
2. Variância dos erros não constante (em relação aos tratamentos ou blocos)
3. Interação entre tratamento e bloco
11
Análise de DiagnósticoInteração:
◦Ver gráfico de resíduos vs valores estimados
◦Se houver curva:◦Valores baixos(negativos) dos
resíduos com valores baixos e altos ajustados; baixos para valores medianos ajustados.
◦Isso pode indicar intereção
12
Análise de ResíduosExemplo das Ponteiras
• Alguma indicação de não-normalidade? E outliers?• Gráfico resíduos x ajustados: se houver uma tendência curvilínea, pode ser indício de interação entre tratamentos e blocos
13
Análise de ResíduosExemplo das Ponteiras
É razoável assumir igualdade de variância tanto por tratamento quanto por bloco?
14
Estimação dos ParâmetrosNo modelo com blocos completos
aleatorizados
os parâmetros são estimador por:
O valor ajustado é então calculado como:
15
Estimação dos Parâmetros pelo Método dos Mínimos Quadrados
Voltemos aos experimentos com um único fator, em que temos o modelo
Exercício: Os estimadores de mínimo quadrados (EMQ) de μ e τi são valores que minimizam a soma de quadrados dos erros
em que é o vetor de parâmetros
16
Os estimadores são então soluções das equações normais:
que simplificando resultam em
Estimadores de Mínimos Quadrados
17
Note que a 1ª equação é a soma das demais, isto é, as equações normais não são linearmente independentes
Com isso, não temos uma solução única para os parâmetros do modelo
Mas lembram-se da restrição linear do modelo? Então é razoável aplicar o contraste
E assim obtemos a seguinte solução
Estimadores de Mínimos Quadrados
18
Exercício: De forma semelhante, mostre que no caso do experimentos com blocos completos, cujo modelo é
os estimadores de mínimos quadrados são dados por
Estimadores de Mínimos Quadrados
19
Alguns Aspectos sobre os BlocosO modelo linear que usamos para
o desenho de blocos aleatorizado é completamente additivo
Ou seja, os blocos e os tratamentos tem um efeito additivo na v.a. resposta
20
Alguns Aspectos sobre os BlocosEm algums situações o modelo
aditivo não é adequado.
Pode haver interações entre os blocos e os tratamentos: lotes e fórmulas químicas
21
Alguns Aspectos sobre os BlocosPode ocorrer quando a resposta
foi medida na escala errada
Podemos usar modelos fatoriais
22
Alguns Aspectos sobre os BlocosComo escolher o tamanho
amostral?
Como escolher quantos blocos?
23
Alguns Aspectos sobre os BlocosComo escolher o tamanho
amostral?
Como escolher quantos blocos?
Note que quanto mais blocos aumenta o número de réplicas e o número de graus de liberdade do erro, fazendo o desenho mais sensitivo.
24
Alguns Aspectos sobre os BlocosPodemos escolher através das
curvas características (operacionais) usando
25
Alguns Aspectos sobre os BlocosEficiênciaVamos estimar a eficiência do
desenho com blocos contra sem blocos
Uma maneira é usar
onde e são as variâncias dos erros do modelo básico e com blocos, respect.
26
Alguns Aspectos sobre os BlocosValores faltantes!
As vezes uma observação em um dos blocos está faltando
Quais poderiam ser os motivos?
27
Alguns Aspectos sobre os BlocosValores faltantes!
Introduz um problema: não temos mais tratamentos ortogonais aos blocos
Isto é, nem todo tratamento ocorre em todo bloco.
Aproximação ou análise exata(no futuro)
28
Alguns Aspectos sobre os Blocos
Valores faltantes!
Suponha que a resposta do tratamento i bloco j está faltando. Denote ela por x
Seja o total com a obs. faltante, o total do trat. com a obs faltante
o total do bloco com a obs faltante
29
Alguns Aspectos sobre os Blocos
Valores faltantes!
Queremos estimar x tal que tenha uma contribuição mínima a soma dos quadrados dos erros. Já que
30
Alguns Aspectos sobre os Blocos
Valores faltantes!
Equivalente à
Ou
Derivar em x!
31
Alguns Aspectos sobre os Blocos
Valores faltantes!
Derivando em x temos
32
Exercícios
Exercícios do Montgomery, 6ª edição
Capítulo 3:3-1(c), 3-5, 3-6(b, c), 3-12(d, e, f), 3-
16(a-f), 3-20(a, c), 3-25, 3-31, 3-32
Capítulo 4:4-1, 4-5(b), 4-17, 4-18