Mecânica dos Sólidos 1Professor Maurício P. Ferreira
Engenheiro Civil, M.Sc., D.Sc.
Universidade Federal do Pará
Instituto de Tecnologia
Faculdade de Engenharia Civil
1. Centro de Gravidade
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• Um corpo é formado por partículas;
• Se o corpo estiver em um campo gravitacional;
• Cada partícula terá um peso ∆W;
• Os pesos formarão um sistema de forças cuja
resultante é o peso total do corpoW;
• W passa por um único ponto: C.G.;
+R zF W F W= = = ∆∑ ∫
,R y yM M x W x W= ∴ ⋅ = ⋅ ∆∑ ∫
,R x xM M y W y W= ∴ ⋅ = ⋅ ∆∑ ∫
2. Centróide de Área e Linhas
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• No caso de uma placa homogênea de espessura constante:
W t Aγ∆ = ⋅ ⋅ ∆
onde: é o peso específico;
é a espessura; é a área do elemento.
tA
γ
∆
• No caso de uma linha homogênea de seção transversal constante:
W a Lγ∆ = ⋅ ⋅ ∆
onde: é o peso específico; é a seção transversal da linha;
é o comprimento do elemento.aL
γ
∆
2. Centróide de Área e Linhas
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3. Centro de Gravidade, Centro de Massa e Centróide
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4. Momento Estático
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5. Simetria
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5. Simetria
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6. Centróides de Figuras Planas
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7. Centróide de Figuras Compostas
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y i i
i i
i ix
i i
Q x Ax
A A
y AQy
A A
⋅= =
⋅= =
∑∑ ∑
∑∑ ∑
• Exemplo 01: Determine o centróide da superfície abaixo.
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• Exemplo 01: Determine o centróide da superfície abaixo. (método 1)
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( ) ( )( )
( ) ( )( ) ( )
1 1 2 2
1 2
0,1 0, 2 0,15 0, 2 0, 4 0, 3
0, 2 0,15 0, 4 0, 3
0,14 m 140 mm
x A x Ax
A A
x
x
⋅ + ⋅=
+
− ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅=
⋅ + ⋅
= =
1
2
( ) ( )( )
( ) ( )( ) ( )
1 1 2 2
1 2
0, 225 0, 2 0,15 0,15 0, 4 0, 3
0, 2 0,15 0, 4 0, 3
0,165 m 165 mm
y A y Ay
A A
y
y
⋅ + ⋅=
+
⋅ ⋅ + ⋅ ⋅=
⋅ + ⋅
= =
• Exemplo 01: Determine o centróide da superfície abaixo. (método 2)
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( ) ( )( )
( ) ( )( ) ( )
1 1 2 2
1 2
0,1 0, 6 0, 3 0,1 0, 2 0,15
0, 6 0, 3 0, 2 0,15
0,14 m 140 mm
x A x Ax
A A
x
x
⋅ + ⋅=
+
⋅ ⋅ − − ⋅ ⋅=
⋅ − ⋅
= =
( ) ( )( )
( ) ( )( ) ( )
1 1 2 2
1 2
0,15 0, 6 0, 3 0, 075 0, 2 0,15
0, 6 0, 3 0, 2 0,15
0,165 m 165 mm
y A y Ay
A A
y
y
⋅ + ⋅=
+
⋅ ⋅ − ⋅ ⋅=
⋅ − ⋅
= =
2
1