Download - MEC3510 A2013 Bloc02 Courbes
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Cours MEC3510 lments de CFAO C.E. Aubin, . Wagnac, F.Salako, D. Pri-Curnier 1
Bloc 2 - Modlisation de courbes & conditions de continuit
MEC3510 lments de CFAO
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Plan
A. Introduction
B. Notions thoriques sur les courbes
C. Notions appliques
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Plan
A. Introduction
A.1 Pourquoi tudier les courbes & surfaces?
A.2 Exemple dans lindustrie
A.3 Objectifs du cours
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Pourquoi tudier courbes & surfaces?
Connaissance des fondements mathmatiques des courbes & surfaces permet lingnieur de reconnatre les capacits et les limites des outils de conception mis sa disposition ;
Spcifications de design ncessitent souvent un contrle prcis des conditions de continuit entre les lments gomtriques dfinissant le produit (ex. surfaces de classe A en automobile) ;
Tir de: www.design-engine.com
A.1
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Exemple dans lindustrie
CONCEPTION DUNE AUTOMOBILE
du design vers lingnierie
A.2
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Objectifs du cours
Connatre les notions mathmatiques supportant les outils de modlisation de courbes et surfaces disponibles sur les logiciels de CFAO, en vue dune exploitation efficace ;
Comprendre les informations donnes par les logiciels de CFAO.
Utilisateur
Outils de modlisation
de courbes/surfaces
Besoin choix dun outil de modlisation
Courbes/surfaces avec
caractristiques intrinsques
Informations
Connaissance &
comprhension
permettent de faire
un choix + clair
A.3
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Plan
A. Introduction
B. Notions thoriques sur les courbes
C. Notions appliques
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Plan
B. Notions thoriques sur les courbes
B.1 Reprsentations mathmatiques
B.2 Types de courbes paramtriques
B.3 Drives premire, seconde et proprits gomtriques dune courbe
B.4 Notions de continuit
B.5 Contrle local et contrle global
B.6 Courbes synthtiques : descriptions mathmatiques et caractristiques
B.7 Synthse des courbes synthtiques : Hermite, Quintique, Bzier, B-spline, NURBS
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Rappels
Vecteurs: produit scalaire, produit vectoriel
Transformation rigide
Matrices: addition, multiplication par un vecteur, multiplication par une matrice
Matrices: transpose, inversion
Interpolation, Ajustement
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Reprsentations mathmatiques
Forme explicite: y = f(x) Ex: y = mx + b (q. droite)
Forme implicite: f (x, y, z) = 0 Ex: ax + by + c = 0 (q. droite)
Pas adquat pour CAO:
- droite verticale: pente infinie
- multi-valeur: mme valeur pour un x, y, z donn
- ncessit dvaluer une courbe intervalles rguliers
B.1
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Forme paramtrique et vectorielle x, y, z exprims en terme de variables indpendantes (paramtres)
Expression gnrale:
Entit de dimension gomtrique k dans un espace n
dimensions: )(uPP
),...,,( 21 npppP
),...,,( 21 kuuuu
: vecteur de coord. n dimensions
: jeu de k paramtres (kn)
Ex: surface (dim. gom. 2) dans un espace 3D (n=3):
),(
),(
),(
),(
vuzz
vuyy
vuxx
vuP
Reprsentations mathmatiques B.1
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Forme paramtrique et vectorielle
Courbes: P(u) = [x(u) y(u) z(u)]T
Surfaces: P(u,v) = [x(u,v) y(u,v) z(u,v)]T
Solides: P(u,v,w) = [x(u,v,w) y(u,v,w) z(u,v,w)]T
Gnralement employe en CAO
- facile valuer diffrents intervalles (rguliers ou non)
- facile reprsenter en petits segments
- une valeur du paramtre correspond un point sur la courbe
Cependant, dans certaines
applications, les formes
implicites sont plus efficaces
Reprsentations mathmatiques B.1
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umin umax
P(u) P(u)
x(u)
umin umax u
y(u) u
z(u)
u
Composantes dans lespace paramtrique
S(u,v,w)
COURBE SOLIDE
S(u,v)
SURFACE
Forme paramtrique et vectorielle
Reprsentations mathmatiques B.1
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Types de courbes paramtriques
Analytique Coniques (6.2):
lignes ;
cercles et arcs de cercles ;
ellipses et arcs dellipses ;
paraboles ;
hyperboles ;
Autres : spirales, etc.
Peuvent reprsenter plusieurs pices mcaniques ;
Mais ne suffisent pas rencontrer toutes
les spcifications gomtriques de design.
B.2
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Synthtique Utilisation de fonctions polynomiales :
P(u) = [x(u) y(u) z(u)]T
= a0 + a1u + a2u2 + a3u
3 + + anun (0 u 1)
Afin de trouver les ai , le modle est construit partir de donnes: Points de contrles ; Drives premires ; Drives secondes ; Etc.
Exemples : courbes dHermite, quintique, Bzier, B-spline et NURBS
Permettent la modlisation de produits gomtrie complexe: voitures, coque des navires, ailes et fuselage davions, hlices, bouteilles, etc.
Types de courbes paramtriques
B.2
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Drives premire, seconde et proprits gomtriques dune courbe
Les drives premire et seconde sont des notions primordiales dans le calcul des courbes : elles permettent de calculer les proprits gomtriques dune courbe, et dvaluer la continuit la jonction entre deux courbes
B.3
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Plan
B. Notions thoriques sur les courbes
B.3 Drives premire, seconde et proprits gomtriques dune courbe
B.3.1 Drive premire et tangente dune courbe paramtrique
B.3.2 Drive seconde et courbure dune courbe paramtrique
B.3.3 Drives dune courbe - Exemple
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Drive premire et tangente dune courbe paramtrique
Drive premire dune courbe en un point
est la norme de la drive (longueur)
est le vecteur tangent unitaire (orientation)
Analogue la vitesse dune particule en un point de sa trajectoire
P(u)/u |u=0
P(u)/u |u=0,3
P(u)/u |u=1
)( )('))(())(())((
/)()(' utuPu
uz
u
uy
u
uxuuPuP
T
)(' uP
t
B.3.1
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Drive seconde et courbure dune courbe paramtrique
Drive seconde dune courbe en un point
Dcomposition en une composante normale et tangentielle:
est le vecteur de courbure gom.
n(u) est le vecteur normal unitaire
k(u) est la courbure (scalaire)
=1/k(u) est le rayon de courbure
T
u
uz
u
uy
u
uxuuPuP
2
2
2
2
2
222 ))(())(())((/)()(''
P(u) (u)n k(u) (u)'P
K(u) k(u) n(u)
Courbure nulle drives premires et secondes sont aligns (produit vectoriel nul)
P(u) est analogue lacclration dune particule en un point de sa trajectoire
2
(||P(u)||)t u
P(u) = (||P(u)|| t) = (||P(u)||)t + ||P(u)||2 k(u)n(u) u u
B.3.2
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Soit la courbe P(u) suivante dfinie par x(u) et y(u).
Calculez les drives premire et seconde
Calculez la tangente en u=1
Calculez la pente de cette courbe dans le plan (x,y) u=2
3 2
3 2
( ) 2 12 3( ) , 0,3
( ) 4 2 5
x u u u up u u
y u u u u
Drives dune courbe Exemple
B.3.3
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Notions de continuit
Conditions de continuit gomtrique (G0, G1, G2) et paramtrique (C0,C1,C2) entre deux segments de courbe
B.4
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Plan
B. Notions thoriques sur les courbes
B.4 Notions de continuit B.4.1 Continuit dordre 0
B.4.2 Continuit dordre 1
B.4.3 Continuit dordre 2
B.4.4 Exemples dapplication : continuit de courbes
B.4.5 Notions de continuit - Exemple
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Continuit dordre 0
Continuit paramtrique (C) OU gomtrique (G) dordre 0 si les courbes partagent un point commun leur jonction
Pas de discontinuit entre les courbes
G0 = C0 P1(u)|u=1 = P2(u) |u=0
P1(u)
P2(u)
point de jonction
u u
B.4.1
-
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Continuit dordre 1
Continuit paramtrique C1 Continuit des drives premires P1(1) = P2 (0) Norme des drives premires ET vecteurs tangents
unitaires sont gaux
Continuit gomtrique G1 P1(1) = k P2 (0) ; k > 0 Seuls les vecteurs tangents unitaires sont gaux Les drives premires sont gales un facteur k prs
Une continuit G1 parat aussi lisse quune continuit C1
P1(u)
P2(u)
B.4.2
-
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Continuit dordre 2
Continuit paramtrique C2 Continuit des drives secondes
P1(1) = P2 (0)
Norme et Direction des drives secondes sont gales
Continuit gomtrique G2 Continuit du vecteur de courbure
k1(1)n(1) = k2 (0)n(0) P1(1) = (a1/a2)2 P2(0)
avec a1 = norme de P1 et a2 = norme de P2
P1(1) = (a1/a2)2 P2(0) + P2(0)
avec arbitraire
Seuls les vecteurs de courbures sont gaux
Forme
gnralise
B.4.3
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Exemples dapplication : continuit de courbes
Tir de www.think3.com
LABORATOIRE SUR Modlisation de courbes et surfaces
B.4.4
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Quel ordre de continuit paramtrique a-t-on entre les 2 courbes paramtriques suivantes ?
28
0%0%0%
C0 C1 C2
3 2
3 2
3 2
3 2
2 3( ) , 0,3
4 5
8 28 30 6( ) , 3,4
8 52 102 68
u up u u
u u
v v vq v v
v v v
1. C0
2. G0
3. C1
4. G1
5. C2
6. G2
-
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Quel ordre de continuit paramtrique a-t-on entre les 2 courbes paramtriques suivantes ?
29
0%0%0%
C0 C1 C2
3 2
3 2
3 2
3 2
2 3( ) , 0,3
4 5
8 28 30 6( ) , 3,4
8 52 102 68
u up u u
u u
v v vq v v
v v v
1. C0
2. G0
3. C1
4. G1
5. C2
6. G2
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Contrle local et contrle global
Contrle local : la modification dune donne dentre entrane la modification dune portion de la courbe seulement
Contrle global : la modification dune donne dentre entrane la modification de toute la courbe
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Plan
B. Notions thoriques sur les courbes
B.6 Courbes synthtiques : descriptions mathmatiques et caractristiques
B.6.1 volution des courbes synthtiques
B.6.2 Courbes polynomiales
B.6.3 Courbes dHermite
B.6.4 Courbes quintiques
B.6.5 Courbes de Bzier
B.6.6 Courbes B-splines
B.6.7 Courbe NURBS
31
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volution des courbes synthtiques (annes 60-70)
Courbes non-rationnelles
(dfinies par un seul polynme)
Note : ces courbes sont des cas
particuliers de courbes NURBS
COURBES POLYNOMIALES
COURBES CUBIQUES-QUINTIQUES
COURBES DE BZIER
B-SPLINES
NURBS Non-uniform Rational B-Splines
Courbes rationnelles (dfinies par le ratio de deux
polynmes)
B.6.1
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Courbes polynomiales
La majorit des quations en CFAO sont de degr 3
Continuit de courbure assure
Prsence doscillations des degrs suprieurs
P(u) = a0 + a1u + a2u2 + a3u
3 + + anun (0 u 1)
Rsoudre les n +1 coefficients (ai i=0 n) requiert donc n+1 conditions initiales
Dterminer les ai 4 conditions initiales
Les ai sont des vecteurs de
coefficients algbriques
Convention : notation en gras = vecteur!
B.6.2
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Courbes dHermite Expression gnrale
Si les 4 conditions initiales sont les points et drives premires aux extrmits de la courbe, on a une courbe dHermite
P(0) = P0
P(1) = P1
P(0) = P0
P(1) = P1
Rfrence : KUNWOO LEE, Principles of CAD/CAM/CAE
Systems, 1999
(q. 6.13)
Fonctions dinfluence
P(u) = a0 + a1u + a2u2 + a3u
3 (0 u 1) (q. 6.10)
En remplaant les conditions initiales dans 6.10, on obtient
P0=P(0) = a0
P1=P(1) = a0+ a1+ a2+ a3 (q 6.11)
P0=P(0) = a1
P1=P(1) = a1+ 2a2+ 3a3
En solutionnant 6.11 pour les ai, on obtient lexpression gnrale
P0
P1 P0
P1
P(u) = [ 1-3u2+2u3 3u2-2u3 u-2u2+u3 -u2+u3 ]
P0 P1 P0 P1
Coefficients
gomtriques (+ intuitif)
B.6.3
HERMITE, Charles
(1822-1901)
Mathmaticien
Franais
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forme matricielle
P(u) = [ H1(u) H2(u) H3(u) H4(u) ] = [ 1 u u2 u3 ]
1 0 0 0
0 0 1 0
-3 3 -2 -1
2 -2 1 1
P0 P1 P0 P1
H1(u) = 1 3u2 + 2u3
H2(u) = 3u2 - 2u3
H3(u) = u 2u2 + u3
H4(u) = -u2 + u3
q. 6.14
P0 P1 P0 P1
Courbes dHermite Expression gnrale
B.6.3
Hi(u) = 1 pour 0 u 1 et i = 1 4
-
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valuer la courbe dHermite pour u = 0, 0.5 et 1 si les conditions initiales sont :
Courbes dHermite Exemple de calcul
(1,2)
(4,4)
60 Note : les vecteurs de tangence sont unitaires
x
y
u
B.6.3
-
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Courbes dHermite Effet des drives premires
B.6.3
-
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Courbes de degr 3
Courbes dfinies par les points et drives premires aux extrmits
Modification dune condition initiale entrane la modification de toute la courbe contrle GLOBAL
Courbes dHermite Proprits/Inconvnients
Modification dun point Modification dune drive premire
PRINCIPAL INCONVNIENT : difficile de prdire la
forme de la courbe partir des drives premires
B.6.3
-
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Courbes quintiques Expression gnrale
P(u) = [ F1(u) F2(u) F3(u) F4(u) F5(u) F6(u) ]
= [ 1 u u2 u3 u4 u5]
Courbes de degr 5 dont les 6 conditions initiales sont les points, les drives premires et les drives secondes aux extrmits
1 0 0 0 0 0
0 0 1 0 0 0
0 0 0 0 0.5 0
-10 10 -6 -4 -1.5 0.5
-15 -15 8 7 1.5 -1
-6 6 -3 -3 -0.5 0.5
P0
P1
P0 P1 P0 P1
P0
P1
P0 P1 P0 P1
B.6.4
-
Cours MEC3510 lments de CFAO C.E. Aubin, . Wagnac, F.Salako, D. Pri-Curnier 40
Courbes de degr 5
Courbes dfinies par les points, les drives premires aux extrmits et les drives secondes aux extrmits
Modification dune condition initiale entrane la modification de toute la courbe contrle GLOBAL
Courbes quintiques Caractristiques/Inconvnients
PRINCIPAL INCONVNIENT : comme lHermite, difficile de prdire la forme de la courbe partir des drives premires ET des drives secondes
COURBES DE BZIER
B.6.4
-
Cours MEC3510 lments de CFAO C.E. Aubin, . Wagnac, F.Salako, D. Pri-Curnier 41
Choix de nouvelles conditions initiales (P0, P1, P2, , Pn) et de nouvelles fonctions dinfluence tel que
)10()()(0
,
uPuBuP i
n
i
ni
ini
ni uuini
nuB
)1(
!)(!
!)(,
Courbes de Bzier Expression gnrale
BZIER, Pierre (1910-1999)
Ingnieur Franais, cie Renault
Polynme
de Bernstein
Points de
contrle
Polygone de
contrle
Nombre de points de contrle = n + 1
Degr de la courbe = n
Ordre de la courbe = n + 1
Degr de la courbe = nombre de points de contrle -1
B.6.5
-
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Courbes de Bzier Exemples
Quel est le degr de chacune des courbes?
Tir de ZEID, CAD/CAM theory
and practice, 1991
B.6.5
-
Cours MEC3510 lments de CFAO C.E. Aubin, . Wagnac, F.Salako, D. Pri-Curnier 43
Calculer le polynme dune courbe de Bzier compose de 4 points de contrle (P0, P1, P2 et P3) ?
Courbes de Bzier Exemple de calcul
Tir de ZEID, CAD/CAM theory
and practice, 1991
B.6.5
-
Cours MEC3510 lments de CFAO C.E. Aubin, . Wagnac, F.Salako, D. Pri-Curnier 44
Courbes de Bzier Fonctions dinfluence
B0,2
B1,2
B2,2 B0,3
B1,3 B2,3
B3,3
B0,4
B1,4 B2,4
B3,4
B4,4 B0,5
B1,5 B2,5
B4,5
B5,5
B3,5
Bi,n(u) = 1 pour 0 u 1
B.6.5
-
Cours MEC3510 lments de CFAO C.E. Aubin, . Wagnac, F.Salako, D. Pri-Curnier 45
Les conditions initiales sont les points de contrle
La courbe passe par P0 et Pn : premier et dernier point de contrle
La courbe sinscrit dans un polygone de contrle
La premire tangente a la mme direction que le premier segment du polygone P1-P0. Idem pour le dernier segment Pn-Pn-1
P(0) = n(P1-P0) et P(1) = n(Pn-Pn-1)
Courbes de Bzier Proprits
Courbe passe
par P0 et Pn
Courbe inscrite dans le
polygone de contrle
Points de contrle
P(1) = n(Pn Pn-1)
= 3(P3 P2)
P(0) = n(P1 P0)
= 3(P1 P0)
B.6.5
-
Cours MEC3510 lments de CFAO C.E. Aubin, . Wagnac, F.Salako, D. Pri-Curnier 46
Le degr n le plus lev est dtermin par les n+1 points de contrle
La courbe est symtrique par rapport u et (1-u) Bi,n(u)=Bn-i,n(1-u)
La squence des points de contrles peut tre invers sans changer la forme de la courbe
Modification dune condition initiale entrane la modification de toute la courbe contrle GLOBAL
Courbes de Bzier Proprits (suite)
B.6.5
-
Cours MEC3510 lments de CFAO C.E. Aubin, . Wagnac, F.Salako, D. Pri-Curnier 47
Une courbe de Bzier est quivalente une courbe dHermite si : DegrBzier = 3 (4 points de contrle)
P0 Bzier = P0 Hermite P3 Bzier = P1 Hermite P1 Bzier = (P0 Hermite/3) + P0 Hermite car P0=3(P1- P0)
P2 Bzier = P1 Hermite - (P1 Hermite/3) car P3=3(P3- P2)
Courbes de Bzier quivalence avec la courbe dHermite
B.6.5
-
Cours MEC3510 lments de CFAO C.E. Aubin, . Wagnac, F.Salako, D. Pri-Curnier 48
Calculer les coordonnes du point P2 pour assurer une continuit paramtrique dordre 1 (C1) entre la courbe dHermite A et la courbe de Bzier B.
B.6.5
x
y
( )CP u
( )AP u
, (0)AP
, (1)AP
(0)AP
(1)AP
(0)CP
(1)CP
(2)CP
(3)CP
(4)CP
1 2 3 4
2 2 0
10 7 0( ) ( ), ( ), ( ), ( )
6 6 0
6 3 0
AP u H u H u H u H u
0,4 1,4 2,4 3,4 4,4
18 1 0
21 4 0
( ) ( ), ( ), ( ), ( ), ( ) 22 0 0
25 2 0
28 1 0
CP u B u B u B u B u B u
Courbes de Bzier Exemple: Donnez lquation complte de la courbe PB(u) permettant de raccorder les courbes PA(u) et PC(u) avec une continuit paramtrique dordre 1 (C1) si on utilise une courbe de Bzier de degr 3
-
Cours MEC3510 lments de CFAO C.E. Aubin, . Wagnac, F.Salako, D. Pri-Curnier 49
Courbes de Bzier Exemple: Soient 2 courbes de Bzier PB1(u1) et PB2(u2) construire partir des sries de points de contrle suivants: PB1(u1): P1, P2, P3, P4, P5 et PB2(u2): P6, P7, P8, P9 ;
crivez les deux quations PB1(u1) et PB2(u2)
crivez lquation de la courbe dHermite PH(u3) qui permettra de joindre PB1 et PB2 (entre P5 et P6) avec une continuit paramtrique dordre C1.
B.6.5
-
Cours MEC3510 lments de CFAO C.E. Aubin, . Wagnac, F.Salako, D. Pri-Curnier 50
La courbe ne passe pas par les points de contrle
Le contrle de la courbe est globale
Le degr de la courbe est fonction du nombre de points de contrles : n+1
Besoin de nouvelles fonctions dinfluence qui ne doivent pas intgrer n dans leur dfinition
doivent tre non-nulles sur une portion de la courbe seulement pour obtenir un contrle local
Courbes de Bzier Inconvnients
B-Splines
B.6.5
-
Cours MEC3510 lments de CFAO C.E. Aubin, . Wagnac, F.Salako, D. Pri-Curnier
<
51
)0()()( max0
, tuPuNuP i
n
i
ki
Tir de KUNWOO LEE, Principles of
CAD/CAM/CAE Systems, 1999
Choix de nouvelles fonctions dinfluence (Cox et de Boor, 1972)
Courbes B-splines Expression gnrale
Priodique :
Non-priodique :
Vecteur de noeuds
B.6.6
-
Cours MEC3510 lments de CFAO C.E. Aubin, . Wagnac, F.Salako, D. Pri-Curnier
<
52
max,
0
( ) ( ) (0 )n
i k i
i
P u N u P u t
Courbes B-splines Expression gnrale : explications
ordre k
Priodique :
Non-priodique :
Vecteur de noeuds
n+1 points de contrle
Le premier et le dernier
nud se rpte k fois
Pour k =1, le degr de Ni,1 est 0. Si k = 2, Ni,1 est multipli par u et le degr de Ni,2 est 1. Et
ainsi de suite degr = k -1
Calcul rcursif des
fonctions dinfluence
B.6.6
-
Cours MEC3510 lments de CFAO C.E. Aubin, . Wagnac, F.Salako, D. Pri-Curnier 53 Tir de KUNWOO LEE, Principles of
CAD/CAM/CAE Systems, 1999
Courbes B-splines Exemple : vecteur de noeuds
Calculer le vecteur de nuds non-priodiques dune B-Spline dordre 4 compose de 7 points de contrle
B.6.6
-
Cours MEC3510 lments de CFAO C.E. Aubin, . Wagnac, F.Salako, D. Pri-Curnier 54 Tir de KUNWOO LEE, Principles of
CAD/CAM/CAE Systems, 1999
Courbes B-splines Exemple : fonctions dinfluence
Quelles sont les fonctions dinfluence ncessaires au calcul dune B-Spline dordre 3 passant par 2 points de contrle?
B.6.6
-
Cours MEC3510 lments de CFAO C.E. Aubin, . Wagnac, F.Salako, D. Pri-Curnier
Quel est lordre de cette B-Spline ?
55
0%0%0%0%
2 3 4 5
1. 2
2. 3
3. 4
4. 5
-
Cours MEC3510 lments de CFAO C.E. Aubin, . Wagnac, F.Salako, D. Pri-Curnier
Quel est le nombre de points de contrle composant cette B-Spline?
56
0%0%0%0%
6 7 8 9
1. 6
2. 7
3. 8
4. 9
-
Cours MEC3510 lments de CFAO C.E. Aubin, . Wagnac, F.Salako, D. Pri-Curnier 57
Courbes B-splines Exemple : fonctions dinfluence et nuds non-priodiques
B.6.6
N0,3
N1,3 N2,3
N3,3
Calculez le vecteur
de nuds non priodique de cette
B-Spline
-
Cours MEC3510 lments de CFAO C.E. Aubin, . Wagnac, F.Salako, D. Pri-Curnier 58
Courbes B-splines Exemple de calcul
Calculer le polynme dune B-spline uniforme non-priodique dordre 3 passant par 4 points de contrle
B.6.6
-
Cours MEC3510 lments de CFAO C.E. Aubin, . Wagnac, F.Salako, D. Pri-Curnier 59
Solution : 1. Forme de lquation P(u) = N0,3P0 + N1,3P1 + N2,3P2 + N3,3P3 0 u umax
2. Calcul du vecteur de nuds Vecteur de nuds non-priodique courbe passe par premier et
dernier point de contrle) Nombre de nuds = n + k +1 = 3 + 3 + 1 = 7 tmax = umax = n k + 2 = 2 t = [0 0 0 1 2 2 2] donc, lintervalle de la courbe est 0 u 2
B.6.6
Courbes B-splines Exemple de calcul
-
Cours MEC3510 lments de CFAO C.E. Aubin, . Wagnac, F.Salako, D. Pri-Curnier 60
Solution (suite): 3. Quelles sont les fonctions dinfluence ncessaires
B.6.6
1,0N
1,1N
2,0N
1,3N
2,2N
3,0N
3,1N
1,2N
2,1N
N2,3
N3,3 N3,2
N4,2 N4,1
N5,1
Courbes B-splines Exemple de calcul
-
Cours MEC3510 lments de CFAO C.E. Aubin, . Wagnac, F.Salako, D. Pri-Curnier 61
Solution (suite): 4. Calcul des fonctions dinfluence dordre 1
B.6.6
1 seule fonction dinfluence dordre 1 peut tre non-nulle aux valeurs limites de lintervalle. Cest pourquoi les fonctions N0,1, N1,1, N4,1 et N5,1 sont poses nulles. Le choix de la fonction
dinfluence non-nulle ne modifie pas le rsultat final.
N0,1 = 1 0 u 0 0 ailleurs
N1,1 = 1 0 u 0 0 ailleurs
N2,1 = 1 0 u 1 0 ailleurs
N3,1 = 1 1 u 2 0 ailleurs
N4,1 = 1 2 u 2 0 ailleurs
N5,1 = 1 2 u 2 0 ailleurs
= 0
= 0
= 0
= 0
Courbes B-splines Exemple de calcul
-
Cours MEC3510 lments de CFAO C.E. Aubin, . Wagnac, F.Salako, D. Pri-Curnier 62
Solution (suite): 5. Calcul des fonctions dinfluence dordre 2
B.6.6
Note : 0/0 = 0 dans
le calcul dune courbe B-Spline
N0,2 = (u 0) N0,1 + (0 u) N1,1 = 0 (0 0) (0 0)
1-u 0 u 1 0 ailleurs
N1,2 = (u 0) N1,1 + (1 u) N2,1 = (0 0) (1 0)
0 0
u 0 u 1 2-u 1 u 2
N2,2 = (u 0) N2,1 + (2 u) N3,1 = (1 0) (2 1)
0
u - 1 0 u 1 0 ailleurs
N3,2 = (u 1) N3,1 + (2 u) N4,1 = (2 1) (2 2)
N4,2 = (u 2) N4,1 + (2 u) N5,1 = 0 (2 2) (2 2)
0
0 0
Courbes B-splines Exemple de calcul
-
Cours MEC3510 lments de CFAO C.E. Aubin, . Wagnac, F.Salako, D. Pri-Curnier 63
Solution (suite): 6. Calcul des fonctions dinfluence dordre 3
B.6.6
Note : 0/0 = 0 dans le calcul
dune courbe B-Spline
N0,3 = (u 0) N0,2 + (1 u) N1,2 = (0 0) (1 0)
u(1-u) + u(2-u)/2 0 u 1 (2-u)2/2 1 u 2
N1,3 = (u 0) N1,2 + (2 u) N2,2 = (1 0) (2 0)
0
u2/2 0 u 1 u(2-u)/2 + (2-u)(u-1) 1 u 2
N2,3 = (u 0) N2,2 + (2 u) N3,2 = (2 0) (2 1)
(u-1)2 /2 1 u 2
0 ailleurs N3,3 = (u 1) N3,2 + (2 u) N4,2 =
(2 1) (2 2)
0
(1-u)(1-u)N2,1 = (1-u)2 0 u 1
0 = 0 ailleurs
Courbes B-splines Exemple de calcul
-
Cours MEC3510 lments de CFAO C.E. Aubin, . Wagnac, F.Salako, D. Pri-Curnier 64
Solution (suite et fin): 7. quation finale
B.6.6
P(u) = (1-u)2N2,1P0 + [[(u(1-u)+u(2-u)/2]N2,1+ ((2-u)2/2)N3,1]P1 + [(u2/2)N2,1 + [u(2-u)/2 + (2-u)(u-1)]N3,1]P2 + (u-1)2N3,1P3
N0,3 N1,3 N2,3 N3,3
P1(u) = (1-u)2 P0 +[(u(1-u)+u(2-u)/2]P1 + (u
2/2) P2 0 u 1
En rcrivant lquation pour chaque intervalle de u, on obtient 2 segments de courbes dont les quations sont :
P2(u) = (2-u)2/2 P1 + [u(2-u)/2 + (2-u)(u-1)]P2 + (u-1)
2 P3 1 u 2
De cet exemple, on observe les proprits suivantes des courbes B-Splines :
- une B-Spline est une courbe compose de n-k+2 segments de courbes
- une B-Spline est drivable k-2 fois (dans lexemple, la drive 1ire est continue sur toute la courbe) - chaque segment de courbe est affect par k points
- chaque point affecte au maximum k segments. (Dans lexemple, le point 3 affecte seulement le segment 2 contrle local)
P0
P1 P2
P3
u=1
u=2 P1(u)
P2(u)
Courbes B-splines Exemple de calcul
-
Cours MEC3510 lments de CFAO C.E. Aubin, . Wagnac, F.Salako, D. Pri-Curnier 65
Degr maximal sur le polynme : k-1
n+1 points de contrles
Ordre k
n-k+2 : nombre de segments
Chaque segment de courbe est affect par k points de contrles
La premire tangente a la mme direction que le premier segment du polygone P1-P0. Idem pour le dernier segment Pn-Pn-1
Courbes B-splines Proprits
B.6.6
-
Cours MEC3510 lments de CFAO C.E. Aubin, . Wagnac, F.Salako, D. Pri-Curnier 66
Dans le vecteur de nuds, la premire valeur et la dernire valeur sont dupliqus k fois
Avec un vecteur de nuds non-priodiques, la courbe passe par le premier et le dernier point de contrle
Pour une valeur de paramtre donne, la somme des fonctions dinfluences est toujours gale 1
Pour une B-spline, lorsque le nombre de points (n+1) est gal lordre, alors cest quivalent une Bzier
Le contrle est LOCAL sur la courbe : chaque point affecte au maximum k segments de courbes
Courbes B-splines Proprits (suite)
B.6.6
-
Cours MEC3510 lments de CFAO C.E. Aubin, . Wagnac, F.Salako, D. Pri-Curnier 67
Courbes B-splines Proprit : contrle local
Le dplacement du point P6 naffecte que 2 segments de la courbe
Le dplacement dun point affecte au maximum k segments (ex. P3 et P4).
B.6.6
-
Cours MEC3510 lments de CFAO C.E. Aubin, . Wagnac, F.Salako, D. Pri-Curnier 68
Courbes B-splines Proprit : effet de la rptition dun point
B.6.6
-
Cours MEC3510 lments de CFAO C.E. Aubin, . Wagnac, F.Salako, D. Pri-Curnier 69
Plus k est petit, plus la courbe colle aux points de contrle
Plus k est grand, plus la courbe sapproche dune Bzier
Courbes B-splines Proprit : effet de lordre sur la courbe
B.6.6
-
Cours MEC3510 lments de CFAO C.E. Aubin, . Wagnac, F.Salako, D. Pri-Curnier 70
Plus k est petit, plus le contrle local est fort
Plus k est grand, plus le contrle local est faible
Courbes B-splines Proprit : effet de lordre sur le contrle
B.6.6
-
Cours MEC3510 lments de CFAO C.E. Aubin, . Wagnac, F.Salako, D. Pri-Curnier 71
Courbes B-splines Proprit : continuit sur une courbe
B.6.6
-
Cours MEC3510 lments de CFAO C.E. Aubin, . Wagnac, F.Salako, D. Pri-Curnier 72
Courbes B-splines Inconvnient
Ne peuvent quapproximer les coniques telles que le cercle, lellipse, la parabole et lhyperbole.
B.6.6
-
Cours MEC3510 lments de CFAO C.E. Aubin, . Wagnac, F.Salako, D. Pri-Curnier 73
Courbes B-spline Exemple:
B.6.6
Soit la courbe B-Spline P(u) dordre 4 passant par 8 points de contrle (non dfinis),
Quel est le degr de la courbe P(u) ? Calculez le vecteur de noeuds non priodiques
associ cette courbe P(u).
Quelles fonctions dinfluence devrez-vous calculer afin dobtenir lexpression de la fonction dinfluence N3,4(u)?
-
Cours MEC3510 lments de CFAO C.E. Aubin, . Wagnac, F.Salako, D. Pri-Curnier 74
B.6.6
Soit la courbe B-Spline P(u) dont les fonctions dinfluence sont illustres ci-dessus.
Combien de points de contrle dfinissent cette B-Spline ? Dterminez lordre K de cette B-Spline Si cette B-Spline est assemble avec une courbe dHermite,
est-il possible davoir une continuit C2 au point de jonction ?
Courbes B-spline Exemple:
-
Cours MEC3510 lments de CFAO C.E. Aubin, . Wagnac, F.Salako, D. Pri-Curnier
Avec les mmes points de contrle, quel ordre de la B-Spline la rapprocherait le plus des points de contrle sans donner le polygone de contrle ?
75
0%0%0%0%
2 3 4 5
1. 2
2. 3
3. 4
4. 5
-
Cours MEC3510 lments de CFAO C.E. Aubin, . Wagnac, F.Salako, D. Pri-Curnier
Avec les mmes points de contrle, quel ordre de la B-Spline donnerait la courbe la plus lisse ?
76
1. 3
2. 4
3. 5
4. 6 0%0%0%0%
3 4 5 6
-
Cours MEC3510 lments de CFAO C.E. Aubin, . Wagnac, F.Salako, D. Pri-Curnier
Avec les mmes points de contrle, quel ordre de la B-Spline donnerait lquivalent dune courbe de Bzier ?
77
0%0%0%0%
3 4 5 6
1. 3
2. 4
3. 5
4. 6
-
Cours MEC3510 lments de CFAO C.E. Aubin, . Wagnac, F.Salako, D. Pri-Curnier 78
Courbe NURBS (Non-Uniform Rational B-Spline) Expression gnrale
Gnralisation de toutes les courbes
)0(
)(
)(
)( max
0
,
0
,
tu
uNh
PuNh
uPn
i
kii
i
n
i
kii
Tir de KUNWOO LEE, Principles of
CAD/CAM/CAE Systems, 1999
B.6.7
mme fonction
quune B-Spline
-
Cours MEC3510 lments de CFAO C.E. Aubin, . Wagnac, F.Salako, D. Pri-Curnier 79
n+1 points de contrles
Ordre k
Degr : k-1
Le contrle est local sur la courbe : chaque point affecte au maximum k segments de courbes
Chaque segment de courbe est affect par k points de contrles
Courbes NURBS Proprits
B.6.7
-
Cours MEC3510 lments de CFAO C.E. Aubin, . Wagnac, F.Salako, D. Pri-Curnier 80
La premire tangente a la mme direction que le premier segment du polygone P1-P0. Idem pour le dernier segment Pn-Pn-1
Dans le vecteur de nuds, la premire valeur et la dernire valeur sont dupliqus k fois
Avec un vecteur de nuds non-priodiques, la courbe passe par le premier et le dernier point de contrle
Pour une valeur de paramtre donne, la somme des fonctions dinfluences est toujours gale 1
Courbes NURBS Proprits (suite)
B.6.7
-
Cours MEC3510 lments de CFAO C.E. Aubin, . Wagnac, F.Salako, D. Pri-Curnier 81
http://en.wikipedia.org/wiki/NURBS
Courbes NURBS Proprit : effet de lordre sur une NURBS
B.6.7
-
Cours MEC3510 lments de CFAO C.E. Aubin, . Wagnac, F.Salako, D. Pri-Curnier
Quelle condition permet davoir un contrle local de la courbe ?
82
25%
25%25%
25%
1. 2. 3. 4.
1. Dcoupler le degr du nombre de points
2. Avoir le maximum de points pour calculer la courbe
3. Augmenter le nombre de fonctions dinfluences
4. Connaitre les vecteurs vitesse aux dbut et fin de la courbe
-
Cours MEC3510 lments de CFAO C.E. Aubin, . Wagnac, F.Salako, D. Pri-Curnier
Quelle condition permet davoir un contrle local de la courbe ?
83
25%
25%25%
25%
1. 2. 3. 4.
1. Dcoupler le degr du nombre de points
2. Avoir le maximum de points pour calculer la courbe
3. Augmenter le nombre de fonctions dinfluences
4. Connaitre les vecteurs vitesse aux dbut et fin de la courbe
-
Cours MEC3510 lments de CFAO C.E. Aubin, . Wagnac, F.Salako, D. Pri-Curnier 84
Synthse des courbes synthtiques : Hermite, Quintique, Bzier, B-spline, NURBS
Type de courbe
Cond. initiales
quation Principales caractristiques de la courbe
Ordre Degr Tangence aux extrmits
Contrle
Hermite cubique
P0, P1, P0, P1
P(u) = F1(u)P0 + F2(u)P1 + F3(u)P0 +F4(u)P1 ( 0 u 1)
4 3 P(0) = P0 P(1) = P1
Global
Quintique P0, P1, P0, P1,
P0, P1,
P(u) = F1(u)P0 + F2(u)P1 + F3(u)P0 + F4(u)P1 + F5(u)P0 + F6(u)P1
( 0 u 1)
6 5 P(0) = P0 P(1) = P1
Global
Bzier P0, P1,
P2,, Pn
( 0 u 1)
n +1
(nbre de points)
n P(0) = n(P1 P0)
P(1) = n(Pn Pn-1)
Global
B-Spline P0, P1,
P2,, Pn Ordre k
k k-1 Orient selon
(P1 P0) et (Pn Pn-1)
Local
Nurbs P0, P1,
P2,, Pn Ordre k
k k-1 Orient selon
(P1 P0) et (Pn Pn-1)
Local
)0()()( max0
, tuPuNuP i
n
i
ki
)10()()(0
,
uPuBuP i
n
i
ni
)0()()( max0
, tuPuNuP i
n
i
ki
)0(
)(
)(
)( max
0
,
0
,
tu
uNh
PuNh
uPn
i
kii
i
n
i
kii
B.7
-
Cours MEC3510 lments de CFAO C.E. Aubin, . Wagnac, F.Salako, D. Pri-Curnier 85 85
Plan
A. Introduction
B. Notions thoriques sur les courbes
C. Notions appliques
-
Cours MEC3510 lments de CFAO C.E. Aubin, . Wagnac, F.Salako, D. Pri-Curnier 86 86
Plan
C. Notions appliques
C.1 Features de modlisation de courbes sur CATIA v5
C.2 Types de courbe disponibles
C.3 Caractristiques des principaux features de courbes
C.4 Synthse
C.5 Outils danalyse de courbe
C.6 volution des outils de modlisation
-
Cours MEC3510 lments de CFAO C.E. Aubin, . Wagnac, F.Salako, D. Pri-Curnier 87
Cration de courbes partir de courbes et surfaces existantes
Features de modlisation de courbes disponibles sur CATIA V5
Courbe 3D (ateliers DSE, FS)
Cration de courbes partir de points
Courbe (ateliers GSD, WSD)
Courbe 2D (dans une esquisse)
Courbe de raccordement (ateliers GSD, WSD)
Courbe isoparamtrique (ateliers GSD, FS)
Courbe sur surface (atelier FS) Cong de raccordement (atelier FS)
Projection de courbe (ateliers WSD, GSD, FS)
Raccord de courbe Freestyle (atelier FS)
Connecteur de courbes (atelier FS)
C.1
Intersection (ateliers WSD, GSD)
Note :
Cette liste nest pas exhaustive. De plus, certains de ces features sont aussi disponibles dans dautres ateliers.
Lgende :
DSE : Digitized Shape Editor
GSD : Generative Shape Design
WSD : Wireframe and Surface Design
FS : Freestyle
Coniques
Cercle, ellipse, parabole, hyperbole, etc.
-
Cours MEC3510 lments de CFAO C.E. Aubin, . Wagnac, F.Salako, D. Pri-Curnier 88
Displayed type What is it ? s
NurbsCurve Non Uniform Rational B-Spline Curve
NupbsCurve Non Uniform polynomial B-Spline Curve
PNupbs Parametric non rational curve on a surface
SplineCurve Parametric non rational curve
PSpline Parametric curve on a surface
Autres types : PLine, Line, Helix, Plane, IntCurve,
MergedCurve, etc.
Voir laide de CATIA pour la liste complte
Types de courbes disponibles sur CATIA V5
C.2
chaque feature de modlisation de courbe
est associ un type de courbe qui dicte les
proprits de la courbe rsultante
-
Cours MEC3510 lments de CFAO C.E. Aubin, . Wagnac, F.Salako, D. Pri-Curnier 89
Types de courbes disponibles sur CATIA V5
C.2
Quelques dfinitions
NURBS : une NURBS (Non-Uniform Rational B-Spline) est une B-Spline non uniforme dont les poids, qui multiplient les points de contrle, sont des nombres rationels. Dans CATIA, elle sert principalement reprsenter exactement les coniques telles un cercle, une ellipse, une parabole, etc.
NUPBS : une NUPBS (Non-Uniform Polynomial B-Spline) est une NURBS dont les poids, qui multiplient les points de contrle, sont unitaires (h = 1). Cest donc une B-Spline (ou une Bzier/quintique/Hermite dans certains cas). Le terme NUPBS est propre CATIA.
PNUPBS : une PNUPBS est une courbe paramtrique non-rationelle NUPBS sur une surface.
SplineCurve : une SplineCurve est une courbe paramtrique non rationelle passant par les points. Le degr de cette courbe nest pas renseign dans CATIA.
PSpline : une PSpline est une courbe paramtrique sur une surface.
-
Cours MEC3510 lments de CFAO C.E. Aubin, . Wagnac, F.Salako, D. Pri-Curnier 90
C.3.1 Courbe (ateliers GSD, WSD) C.3.2 Courbe 3D (ateliers DSE, FS)
C.3.2.1 - par tous les points
C.3.2.2 - par points de contrle
C.3.3 Courbe 2D (dans lesquisse)
Caractristiques des principaux features de courbe
C.3
-
Cours MEC3510 lments de CFAO C.E. Aubin, . Wagnac, F.Salako, D. Pri-Curnier 91
Courbe (ateliers GSD, WSD) Type : SplineCurve Donnes utilisateurs : n+1 points Proprits
Courbe de degr non renseign (cubique ou quintique?) Passe par les n+1 points Compose de n segments de courbe Possible de spcifier la direction, lorientation et la tension de la
tangente Aussi possible de spcifier lorientation du vecteur de coubure
(perpendiculaire la tangente) et la valeur du rayon de courbure Formulation similaire une courbe cubique dHermite si on spcifie les
tangences aux extrmits Contrle GLOBAL
C.3.1
Caractristiques des principaux features de courbe
-
Cours MEC3510 lments de CFAO C.E. Aubin, . Wagnac, F.Salako, D. Pri-Curnier 92
Courbe (ateliers GSD, WSD)
Exemple : courbe avec tangente aux extrmits
C.3.1
Caractristiques des principaux features de courbe
Point.1
Point.2
Droite.1
(dir. Tangente)
Droite.2
X = points de la courbe dHermite suivante :
P(u) = [ 1 u u2 u3 ]
1 0 0 0
0 0 1 0
-3 -3 -3 -1
2 -2 1 1
0 0 0
3 2 0
3 0 0
-3 3 0
Courbe trace dans CATIA
Direction
tangente
Direction
tangente
Sens de
paramtrage
-
Cours MEC3510 lments de CFAO C.E. Aubin, . Wagnac, F.Salako, D. Pri-Curnier 93
Courbe (ateliers GSD, WSD)
Exemple : effet de la tension en tangence
C.3.1
Caractristiques des principaux features de courbe
4
La tension augmente/diminue leffet de la tangence sur la forme de la courbe
(correspond multiplier la norme de la
drive premire par un scalaire)
Multiplication de la tension par 4
-
Cours MEC3510 lments de CFAO C.E. Aubin, . Wagnac, F.Salako, D. Pri-Curnier 94
Courbe (ateliers GSD, WSD)
Exemple : ajout dun rayon de courbure
C.3.1
Caractristiques des principaux features de courbe
Direction du vecteur de courbure
perpendiculaire au vecteur de tangence
R = 4mm
-
Cours MEC3510 lments de CFAO C.E. Aubin, . Wagnac, F.Salako, D. Pri-Curnier 95
Courbe (ateliers GSD, WSD)
Exemple : courbe multi-segments
C.3.1
Caractristiques des principaux features de courbe
Continuit gomtrique dordre 2 entre chaque segment (courbure continue)
Analyse de
courbure Courbe passant par 4 points 3 segments
Pt1
Pt2
Pt3
Pt4 Segment 1
Segment 3
Segment 2
-
Cours MEC3510 lments de CFAO C.E. Aubin, . Wagnac, F.Salako, D. Pri-Curnier 96
C.3.1 Courbe (ateliers GSD, WSD)
C.3.2 Courbe 3D (ateliers DSE, FS)
C.3.2.1 - par tous les points
C.3.2.2 - par points de contrle
C.3.3 Courbe 2D (dans lesquisse)
Caractristiques des principaux features de courbe
C.3.2
-
Cours MEC3510 lments de CFAO C.E. Aubin, . Wagnac, F.Salako, D. Pri-Curnier 97
Courbe 3D : par tous les points (ateliers DSE, FS)
Type : NuPbs Curve
Donnes utilisateurs : points de passage
Proprits
B-Spline dinterpolation (calcul des points de contrle partir des points de passage)
Degr 5, ordre 6 ( modifiable)
Passe par les n+1 points
Compose de n segments
Contrle global
Ordre Degr # de segments Contrle
6 5 n Global
C.3.2.1
Caractristiques des principaux features de courbe
-
Cours MEC3510 lments de CFAO C.E. Aubin, . Wagnac, F.Salako, D. Pri-Curnier 98
Courbe 3D : par tous les points (ateliers DSE, FS)
Exemples
Donnes utilisateurs Proprits de la courbe
# pts contrle
(n+1)
Ordre k Degr # de segments
(n)
Contrle
2 6 5 1 Global
5 6 5 4 Global
6 6 5 5 Global
10 6 5 9 Global
C.3.2.1
Caractristiques des principaux features de courbe
-
Cours MEC3510 lments de CFAO C.E. Aubin, . Wagnac, F.Salako, D. Pri-Curnier 99
Courbe 3D : par tous les points (ateliers DSE, FS)
Exemples (suite)
C.3.2.1
Caractristiques des principaux features de courbe
2 pts :
5 pts :
10 pts :
Calcul des points de contrle
partir des points de passage
Affichage dhabillage
Polygone de contrle
-
Cours MEC3510 lments de CFAO C.E. Aubin, . Wagnac, F.Salako, D. Pri-Curnier 100
Courbe 3D : par tous les points (ateliers DSE, FS)
Exemple : contrle de la tangence/courbure aux points
1. En imposant une tangence/courbure au point dsir
2. En slectionnant un point sur une courbe existante et en imposant une continuit en tangence/courbure
Caractristiques des principaux features de courbe
C.3.2.2
Illustration du cas #1
-
Cours MEC3510 lments de CFAO C.E. Aubin, . Wagnac, F.Salako, D. Pri-Curnier 101
Courbe 3D : par points de contrle (ateliers DSE, FS)
Type : NuPbs Curve
Donnes utilisateurs :
Points de contrle (n+1)
Ordre maximal (kmax)
Proprits* :
Ordre Degr # de segments Contrle
k = n+1 si n+1 < kmax k-1 n k + 2 Global
k = kmax si n +1 kmax k-1 n k + 2 Local
* Valables pour kmax = 6. En gnral, pour la plupart des
applications, il nest pas ncessaire dutiliser kmax > 6
Caractristiques des principaux features de courbe
C.3.2.2
-
Cours MEC3510 lments de CFAO C.E. Aubin, . Wagnac, F.Salako, D. Pri-Curnier 102
Courbe 3D : par points de contrle (ateliers DSE, FS)
Exemples :
Caractristiques des principaux features de courbe
C.3.2.2
Donnes utilisateurs Proprits de la courbe
# pts contrle (n+1)
Kmax Ordre k Degr # de segments
(n-k+2)
Contrle
2 6 2 1 1 Global
5 6 5 4 1 Global
6 6 6 5 1 Global
10 6 6 5 5 Local
15 6 6 5 10 Local
Lorsque n+1 kmax (avec kmax = 6), la
NUPBS par points
de contrle est
quivalente une
courbe de Bzier
(degr = n) et le
contrle est global
-
Cours MEC3510 lments de CFAO C.E. Aubin, . Wagnac, F.Salako, D. Pri-Curnier 103
Courbe 3D : par points de contrle (ateliers DSE, FS)
Exemple : contrle de la tangence aux extrmits 1. Par la position des points de contrle
2. En slectionnant un point sur une courbe existante et en imposant une continuit en tangence/courbure
Caractristiques des principaux features de courbe
C.3.2.2
Modification de la position du point 1 Courbe initiale
1
t
1
t Illustration du cas #1
-
Cours MEC3510 lments de CFAO C.E. Aubin, . Wagnac, F.Salako, D. Pri-Curnier 104
C.3.1 Courbe (ateliers GSD, WSD)
C.3.2 Courbe 3D (ateliers DSE, FS)
C.3.2.1 - par tous les points
C.3.2.2 - par points de contrle
C.3.3 Courbe 2D (dans lesquisse)
Caractristiques des principaux features de courbe
C.3.3
-
Cours MEC3510 lments de CFAO C.E. Aubin, . Wagnac, F.Salako, D. Pri-Curnier 105
Caractristiques des principaux features de courbe
Courbe 2D (dans lesquisse) Type : PSpline (parametric curve on a surface)
Donnes utilisateurs : points de passage
Proprits Courbe de degr non renseign (cubique ou
quintique?)
Courbe planaire qui passe par les n+1 points
Compose de n segments de courbe
Possibilit de spcifier lorientation et la direction de tangence, et le rayon de courbure chaque point
Contrle GLOBAL
C.3.3
Ordre Degr # de segments Contrle
N/D N/D n Global
-
Cours MEC3510 lments de CFAO C.E. Aubin, . Wagnac, F.Salako, D. Pri-Curnier 106
Courbe 2D (dans lesquisse) Exemple : contrle de la tangence/courbure
Caractristiques des principaux features de courbe
C.3.3
Coincidence entre la
tangente et la droite
-
Cours MEC3510 lments de CFAO C.E. Aubin, . Wagnac, F.Salako, D. Pri-Curnier 107
Tableau Synthse Courbes partir de points
C.4
Feature de cration de
courbe
Type Donnes de dpart quivalence
Principales caractristiques de la courbe
Ordre Degr Tangence (TG) Courbure (CO)
Contrle
Courbe Spline-Curve
n+1 points
Similaire Hermite si tg aux extrmits spcifies
Non renseign Non renseign
TG : chaque points, direction, orientation, tension
CO : direction, rayon
Global
Courbe 3D Par tous les points
NuPbS n+1 points B-Spline dinterpolation
6 5 TG : chaque points, direction, orientation, tension
CO : direction, rayon
Global
Courbe 3D Par les points de contrle
NuPbS n+1 points Si n+1 < kmax , Bzier
n+1 si n+1 < kmax k-1 TG : aux extrmits, continuit avec une autre courbe
CO : : aux extrmits, continuit avec une autre courbe
Global
kmax si n +1 kmax Local
Courbe 2D Esquisse
PSpline n+1 points Similaire Hermite si tg aux extrmits spcifies
Non renseign
Non renseign
TG : chaque points, direction, orientation
CO : rayon
Local
-
Cours MEC3510 lments de CFAO C.E. Aubin, . Wagnac, F.Salako, D. Pri-Curnier 108
Outils danalyse disponibles
Information gomtrique ateliers GSD et FreeStyle
Indique les informations gomtriques de la courbe (type,
nombre de segments, ordre, etc.)
Note : cet outil sera explor au laboratoire
C.5
-
Cours MEC3510 lments de CFAO C.E. Aubin, . Wagnac, F.Salako, D. Pri-Curnier 109
Outils danalyse disponibles
Affichage dhabillage ateliers GSD et FreeStyle
Affiche les points et le polygone de contrle, ainsi que
les segments des courbes de type NUPBS
Note : cet outil ne sera pas explor au laboratoire
C.5
-
Cours MEC3510 lments de CFAO C.E. Aubin, . Wagnac, F.Salako, D. Pri-Curnier 110
Outils danalyse disponibles
Analyse de courbure ateliers GSD et FreeStyle
Indique la courbure le long de la courbe (0 uumax)
Note : cet outil sera explor au laboratoire
C.5
-
Cours MEC3510 lments de CFAO C.E. Aubin, . Wagnac, F.Salako, D. Pri-Curnier 111
Outils danalyse disponibles
Connexion de courbes ateliers GSD et FreeStyle
G0 (distance) : Indique la distance entre les extrmits les plus proches des courbes slectionnes (0 mm G0, C0).
Note : cet outil sera explor au laboratoire
C.5
-
Cours MEC3510 lments de CFAO C.E. Aubin, . Wagnac, F.Salako, D. Pri-Curnier 112
Outils danalyse disponibles
Connexion de courbes ateliers GSD et FreeStyle
G1 (tangence) : Indique la diffrence dangle entre les vecteurs tangents
Note : cet outil sera explor au laboratoire
C.5
-
Cours MEC3510 lments de CFAO C.E. Aubin, . Wagnac, F.Salako, D. Pri-Curnier 113
P(u)= ||P(u)|| t
Outils danalyse disponibles
C.5
Connexion de courbes ateliers GSD et FreeStyle
On a G1 si la diffrence dangle est de 0 la jonction.
On ne peut pas conclure sur C1 car la norme de la tangente nest pas spcifie par lutilisateur, ni renseigne par le logiciel.
Exemple :
G1 G1
connu
-
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Outils danalyse disponibles
Connexion de courbes
Courbure : calcule un pourcentage reprsentant la diffrence de courbure la jonction des courbes, selon lquation:
21
12
kk
kk
Note : cet outil sera explor au laboratoire
C.5
-
Cours MEC3510 lments de CFAO C.E. Aubin, . Wagnac, F.Salako, D. Pri-Curnier 115
Outils danalyse disponibles
Connexion de courbes
On a G2 si les 3 conditions suivantes sont respectes :
1. Continuit G1
2. Le pourcentage est de 0%
3. Les vecteurs de courbure sont dans la mme direction (courbe planaire, mme direction indique par lutilisateur, etc.)
C.5
0%
0mm
0
tangente P1 et P2
Direction du vecteur de
courbure de P1
direction du vecteur de
courbure de P2
P2
P1
Exemple 2 :
G1, pourcentage de 0% MAIS vecteurs de
courbure de directions diffrentes G2
Exemple 1 :
Pourcentage de 0% MAIS G1 non
respect G2
0%
0mm
13
-
Cours MEC3510 lments de CFAO C.E. Aubin, . Wagnac, F.Salako, D. Pri-Curnier 116
Outils danalyse : Exemple
C.5
-
Cours MEC3510 lments de CFAO C.E. Aubin, . Wagnac, F.Salako, D. Pri-Curnier 117
volution des outils de modlisation de courbe & surfaces
Ingnierie du contenu motionnel
Cration de forme esthtique et intuitive
Une seule solution, du concept au produit
Nouvelle approche p/r au design traditionnel
Tir de: www.catia.com (voir la dmo)
C.6