Download - Mecânica Dos Fluidos FORMATADO
-
Dt
DVf
t
VvVgp ijkV
2.
Autor: Milton Csar Toledo de S
MECNICA DOS FLUIDOS
NA
ENGENHARIA CIVIL
5a Edio Revista
Belo Horizonte
2011
-
2
Milton Csar Toledo de S
MECNICA DOS FLUIDOS NA ENGENHARIA CIVIL
TPICOS DE MECNICA DOS FLUDOS, CALOR E MASSA.
Direitos Reservado em 2005 por Milton Csar Toledo de S. Minas Gerais, Brasil.
Dados de Catalogao na Publicao
Belo Horizonte, Minas Gerais.
E-mail: [email protected]
Brasil.
S, Milton Csar Toledo de.
Mecnica dos Fluidos, Calor e Massa. Milton Csar
Toledo de S (Org.) Belo Horizonte: Produo Independente. 2010. 1. Engenharia Fenmenos de Transporte 2. Fluidos
-
3
-
4
SUMRIO
APRESENTAO
INDICE
SMBOLOS, ABREVIATURAS E FATORES DE CONVERSO.
CAPTULO 1
Introduo Mecnica dos fluidos e suas principais propriedades. .......................15
CAPTULO 2
Esttica dos fluidos: Presso e Manometria............................................................33
CAPTULO 3
Dinmica dos fluidos: Equao da continuidade - vazo.........................................65
CAPTULO 4
Medidores de vazo.................................................................................................89
CAPTULO 5
Dinmica dos fluidos: Teorema de Bernoulli..........................................................103
CAPTULO 6
Foras Desenvolvidas por Fludos em Movimento.................................................141
CAPTULO 7
Anlise Dimensional e Semelhana Dinmica.......................................................179
CAPTULO 8
Transferncia de Calor e Massa............................................................................203
-
5
-
6
APRESENTAO
Nesta edio substitumos alguns exerccios, efetuamos algumas correes
gramaticais e fizemos algumas atualizaes no texto.
Alteramos o texto original para que possa ser utilizado como texto de apoio didtico
ao ensino de Mecnica dos fluidos para a Engenharia Civil, contudo poder ser
utilizado nas demais modalidades.
Sendo fruto da experincia do autor em sala de aula, ao longo de duas dcadas, do
dilogo permanente com os alunos e professores.
O seu principal objetivo gerar um texto para ser ministrado numa s disciplina,
enfatizando a Mecnica dos Fluidos visando fornecer pr-requisitos as disciplinas de
Hidrulica, Saneamento, Estradas, Hidrologia e os Recursos Hdricos.
Parmetros condicionantes para aplicabilidade do texto:
Fluxos permanente (ou estacionrio), unidimensional, irrotacional, fluido
incompressvel, materiais isotrpicos e sujeitos temperatura menores de 100oC.
A organizao bsica do texto apresenta-se dividida em trs partes:
Primeira parte: aborda a mecnica dos fluidos, em especial a Hidrodinmica, a
partir dos princpios de Fenmenos de Transporte, ou seja: o da conservao da
massa - Equao da Continuidade e o da Conservao da Energia Equao do
Equilbrio (e Navier-Stokes), com destaque para a equao da Vazo e o teorema
de Bernoulli. E, o princpio da quantidade de movimento - Foras desenvolvidas
enfocando o Empuxo em curvas e redues hidrulicas.
Segunda parte: trata da transmisso de calor e massa sob o ponto de vista da
Equao da continuidade para fluxo permanente.
O texto est subdividido em captulos a fim de permitir melhor compreenso e
assimilao do contedo. Em quase todos eles, encontram-se as seguintes sees:
Teoria So teorias sobre o contedo dos tpicos
Aplicaes na Engenharia sugere algumas praticas que aplicam
imediatamente a teoria exposta.
Problemas propostos so elaborados para atividades em grupos para
serem resolvidos pelos estudantes. Objetivando um melhor entendimento das
equaes matemticas e possibilitar a apropriao da teoria.
-
7
Bibliografia especfica algumas sugestes de leituras sobre o assunto do
captulo.
Este trabalho foi estruturado para adequar-se ao planejamento de uma disciplina de
60 a 80 horas aula. O captulo 1 sobre a introduo e trata das aplicaes na
Engenharia e os Fundamentos da Mecnica dos fluidos. Devem ser estudados na
ordem que se apresentam. Mas, possvel reunir captulos de partes diferentes do
livro /sob um mesmo eixo.
Tem-se conscincia que o livro didtico instrumento bsico na mediao entre o
professor e o aluno. Eles interagem atravs do livro. A responsabilidade grande e
procurou-se cumprir a tarefa de dar qualidade a essa relao.
Motivao, inovao, qualidade so alguns princpios que guiaram a elaborao
desse texto, esperando e desejando a todos professor, alunos e profissionais da
rea um bom trabalho.
-
8
Sugesto de programa para Fenmenos de Transporte
Captulos recomendados Numero
de aulas
Cap. 1 Introduo. Principais propriedades fsicas dos
fluidos 12 h/a
Cap. 2 Esttica dos fluidos - Presso e Manometria 08 h/a
Cap. 3 Equao da Continuidade Vazo 10 h/a
Cap. 4 Medidores de Vazo 8 h/a
Cap. 5 Teorema de Bernoulli 10 h/a
Cap. 6 Foras Desenvolvidas por fluidos em
movimento 12 h/a
Cap. 7 Anlise dimensional e semelhana dinmica 6 h/a
Cap. 8 Transferncia de calor e massa 14 h/a
TOTAL DE AULAS 80 h/a
Autor: Milton Csar Toledo de S
BIOGRAFIA
MILTON CSAR TOLDO DE S,Esp. Graduado em Engenharia Civil em 1979.
Atuou em execuo de obras de saneamento e edificaes. Scio da empresa
Bioterra Engenharia do ramo de Avaliao de imveis, projeto para outorga de uso
de gua e projeto de drenagem pluvial. Professor de Hidrologia e Mecnica dos
Fluidos. Ps-Graduado em Metodologia do Ensino Superior e em Engenharia dos
Materiais.
Diretor Administrativo do CREA-MG na Gesto 2004 e Conselheiro por diversos
mandatos.
Belo Horizonte, MG Brasil E-mail: [email protected]
-
9
-
10
INDICE
Captulos Pgina
Cap. 1 Introduo. Principais propriedades dos fluidos 15
Cap. 2 Esttica dos fluidos - Presso e Manometria 33
Cap. 3 Dinmica dos fluidos - Equao da
Continuidade Vazo 65
Cap. 4 Medidores de Vazo 89
Cap. 5 Dinmica dos fluidos - Teorema de Bernoulli 103
Cap. 6 Foras Desenvolvidas por fluidos em
movimento 141
Cap. 7 Anlise dimensional e semelhana dinmica 179
Cap. 8 Transferncia de calor e massa 203
-
11
LISTA DE SIMBOLOS E ABREVIATURAS
A lista abaixo apresenta os smbolos usados neste livro. No se pode evitar de usar
algumas vezes a mesma letra representando mais de um conceito, em virtude da
limitao do alfabeto. Cada smbolo definido quando de sua utilizao, no
ocasionando, portanto, possveis confuses. As unidades sero fornecidas no
sistema ingls e no sistema mtrico, uma vez que encontraremos exemplos e
problemas propostos, ora num sistema, ora noutro, a fim de familiarizar o aluno com
ambos. Nota Importante:
Em muitos problemas as converses para o sistema mtrico no correspondem aos
fatores de converso exatos. Foram usados, muitas vezes, valores arredondados ou
seu prximo, dos valores reais, a fim de se facilitarem as explicaes e resolues.
a acelerao m/s (ft/s), rea em m2 (ft).
A rea em m, (ft).
cc coeficiente de contrao.
cv coeficiente de velocidade.
C coeficiente (Chzy), constante de integrao.
CD coeficiente de resistncia ao avano (de forma).
CL coeficiente de sustentao.
d, D dimetro em metros ou ft.
E mdulo de elasticidade volumtrica em kg/m2 ou kg/cm2 (lb/ft ou lb/in),
energia especfica em mkg/kg (ft lb/lb).
f coeficiente de atrito (Darcy) para escoamento tubular.
ft/s f t cbico por segundo
F fora em kg (lb).
g acelerao da gravidade: 9,81 m/s (32,2 ft/).
Pm gales por minuto.
h altura ou profundidade, presso ou altura de carga em metros ou ft.
H altura total (energia) em metros ou mkg/kg (ft ou ft 1b/1b).
HL,he perda de carga em m (ft). Algumas vezes aparecer como LH ou h/
hp Horas Power = wQH/550 = 0,746 kw.
M massa em kg (slugs ou lb s/ft), peso molecular,
n coeficiente de rugosidade, expoente, coeficiente de atrito nas frmulas de
Kutter e Manning.
-
12
NF nmero de Froude.
NM nmero de Mach.
N.W. nmero de Weber.
p' presso em lb/in ou kg/cm
psf. lb/ft2
psia lb/in2, absoluta.
psig lb/in2, manomtrica.
q fluxo unitrio em m3/s/unidade de largura (ft/s/unidade de largura)
Q vazo em volume em m/s (ft/s). vazo unitria em m/s (ft/s).
r qualquer ralo em m (ft).
R constante de gases, raio hidrulico em m (ft).
RE nmero de Reynolds
(mu) viscosidade absoluta em poises ou kg s/m (lb s/ft) (poises).
(nu) viscosidade cinemtica em stokes ou m/s (ft/s) = g/p.
(r) massa especfica em kg/m (slugs/ft ou lb. S/ft4) = W/g.
(sigma)tenso superficial em kg,/m (lh/ft), tenso normal em kg!m (psi).
(tau) tenso cisalhante em kg/m lbift, lb/in (psi) ou kg/cm
LISTA DE FATORES DE CONVERSO
1 polegada (in) = 25,4 mm. .
1 p (ft) = 0,305 m = 12 in.
1 polegada (in) = 16,4 X 10-6 m.
1 p (ft) = 28,3 X 10- m = 7,48 U.S. Gallon.
1 U.S. Gallon = 37,8 X 10-4 m = 8,338 lb de gua a 60F
1 ft/s = 0,646 mgd = 448,8 gpm = 28,3 1/s.
1 lb s/f t (1c) = 478,7 poises.
1 ft/s () = 929 cm/s.
1 hp = 550 lb ft/s = 0,746 kw.
1 lb = 0,454 kgf
1 lb/ft = 16 kg/m.
-
13
1 polegada = 6,45 X 10-4 m.
1 ft = 9, 3 X 10- m.
1 libra por p quadrado (lb/ft) (psf) = 4,88 kgf/m
1 libra por polegada quadrada (lb/in2)
1 milha = 1.604 m
1 mph = 1,46 ft/s
-
14
CAPTULO I
INTRODUO e
PRINCIPAIS PROPRIEDADES FSICAS DOS
FLUIDOS.
Neste captulo so abordadas algumas definies bsicas
da mecnica dos fluidos, objetivando uma melhor compreenso
da teoria e sua relao com os contedos necessrios prtica da Engenharia.
Sumrio
Introduo.
Multidisciplinaridade.
Sistemas de Unidades.
Principais propriedades dos fluidos.
Classificao do escoamento.
Problemas propostos.
-
15
-
16
INTRODUO
Sob o ponto de vista macroscpico, costumamos classificar a matria em slidos e
fluidos. Fluidos, so substncias que podem escoar. Assim, o termo fluido abrange
os lquidos e os gases. Neste texto definiremos fluido da maneira como ele
comumente conhecido. Assim, as mesmas leis bsicas controlam os
comportamentos esttico e dinmico tanto de lquidos como de gases, apesar das
diferenas que, a presses ordinrias, observamos entre eles.
Para slidos, que tem volume e forma definidos, formulamos a mecnica dos corpos
rgidos. Como os fluidos mudam de forma facilmente e, no caso dos gases, tem seu
volume igual ao do recipiente que os contem, devemos desenvolver tcnicas para
resolver os problemas da mecnica dos fluidos. Desenvolveu-se uma formulao
especial para essas leis bsicas.
Desenvolvimento histrico da mecnica dos fludos
O entendimento dos fenmenos da natureza que envolve os fludos de grande
importncia ao avano tecnolgico, propiciando ao homem melhores condies de
sobrevivncia. Algumas reas de aplicao desses conhecimentos: Medicina,
Habitao, Mquinas, Meteorologia, Transporte, Agricultura e muitos outros setores
onde a mecnica dos fludos importante.
Apesar da mecnica dos fludos ter sido iniciada antes de Cristo (285 213 AC com
Arquimedes), somente a partir do sculo XVI que acontecer o seu desenvolvimento
devido a Hidrulica Experimental. Pouco a pouco, estudos matemticos comearam
a confirmar algumas teorias propostas, e no final do sculo XIX, firmada como uma
cincia.
Muitos pesquisadores se dedicaram a esta cincia e so lembrados atravs de
princpios, leis, coeficientes e unidades de medida.
Na primeira metade do sculo XVII, Newton enunciou as suas famosas leis do
movimento. Pouco depois (1755), Euler estabeleceu equaes diferenciais bsicas
do movimento dos fludos.
Importantes equaes bsicas sobre energia foram estabelecidas por Bernoulli.
-
17
Aps o conhecimento das proposies de Euler, distinguem-se dois grupos de
estudiosos. Os tericos com suas anlises abstratas, e os prticos estabelecendo
formulaes com base em experimentao. A falta de comunicao entre os dois
grupos explica a lentido no desenvolvimento da mecnica dos fludos como cincia
at fins do sculo XIX.
Navier (1827) e Stokes (1845), em trabalhos independentes, generalizaram as
equaes de movimento, com a incluso do conceito da viscosidade para fluidos
newtonianos. Tais equaes so de tratamento matemtico difcil. Experincias de
Reynolds, no fim do sculo, comearam a elucidar possibilidades de aplicao das
equaes de Navier-Stokes, pelo estabelecimento de dois diferentes tipos de
escoamento: laminar e turbulento.
Foi somente no incio do sculo XX que Prandt estabeleceu conceitos da existncia
de duas regies nos campos de escoamento. Introduziu assim a teoria da camada
mais prxima das fronteiras slidas: a camada limite. Firmou a importncia da
viscosidade na camada limite a possibilidade de tratar o fluido da outra regio como
um fluido ideal.
Hoje novas reas esto sendo investigadas, envolvendo transferncia de energia
sob forma de calor e influncias de campos magnticos nos escoamentos.
SUA MULTIDISCIPLINARIDADE
Algumas aplicaes, dos contedos de Mecnica dos fluidos nas reas da
engenharia podem ser visto na tabela 1, abaixo;
Tabela 1 A multidisciplinaridade de Mecnica dos fluidos.
reas profissionais Tpicos: fludos, calor e massa
Construo Civil
Fissuras por movimentaes higroscpicas
Fissuras por movimentaes trmicas
Fissuras por retrao hidrulica secagem
rpida
Mangueira de nvel na construo civil
-
18
Umidade em alvenaria por capilaridade
Estruturas Fora do vento em edificaes
Percolao no concreto vida til
Geotecnia e
Hidrologia
Balano hdrico
Descarga de um rio
Evaporao gua-ar
Percolao da gua no solo
Umidade relativa do ar
Hidrulica e
Saneamento
Bloco de Ancoragem em adutoras
Bombas de recalque (Potncia e Perda de
Carga)
Determinao da vazo em condutos
forados
Medidores (Vertedouro, Pitot, Venturi, Canal,
etc).
Transporte
Drenagem superficial: Sarjeta - Frmula de
Manning
Envelhecimento de pavimento asfltico.
Fonte: Livros texto de reas profissionais.
Ver referncias bibliogrficas.
As suas implicaes com a prtica profissional serviro como alerta necessidade
em avanar no estudo das teorias especficas de cada prtica.
OS PROCESSOS DE ANLISE EM MECNICA DOS FLUDOS
A mecnica dos fludos estuda fludos em equilbrio e fludos em movimento e
divide-se em:
Esttica dos Fludos e
-
19
Dinmica dos Fludos.
Aspecto dinmico tem-se:
Fludo incompressvel Hidrodinmica e
Fludo compressvel Aerodinmica.
Sob a hiptese do contnuo, o comportamento dos fludos analisado e estabelecido
pelos princpios:
Lei de Stevin Equao da fluidosttica
Conservao da massa - Equao da Continuidade - Vazo
Conservao da energia Equao de Bernoulli
Quantidade de Movimento - Equao de Foras Desenvolvidas por fluidos.
MTODOS DE ANLISE DE UM FENMENO
Para se resolver um problema definir o sistema que est sendo analisado. Na
Fsica clssica, bastante difundido o diagrama do corpo livre. Neste texto
empregamos os termos superfcie de controle e volume de controle. importante
definir o sistema de volume de controle antes de aplicar as equaes de variaes e
as equaes bsicas.
Sistema e Volume de Controle
Um sistema fsico definido como uma quantidade de massa fixa e identificvel, as
fronteiras do sistema separam-no do ambiente volta. As fronteiras do sistema
podem ser fixas ou mveis, contudo, no h transferncia de massa atravs das
mesmas.
Num cilindro termodinmico, o gs no cilindro o sistema. E o cilindro e o volume
de controle. Calor poder cruzar as fronteiras do sistema, mas a quantidade de
matria dentro delas permanecera constante. No h transferncia de massa
atravs das fronteiras do sistema.
-
20
Enfoque Diferencial e Enfoque Integral
As leis bsicas que aplicamos ao nosso estudo dos fenmenos de transporte podem
ser formuladas em termos de sistemas e volumes de controle infinitesimais ou
finitos. Ambos os enfoques so importantes no estudo de fenmenos de transporte.
No primeiro caso, as equaes resultantes so equaes diferenciais. A soluo das
equaes diferenciais do movimento oferece um meio de determinar o
comportamento de ponto a ponto do fluido.
Freqentemente, nos problemas em estudo, a informao buscada no requer
conhecimento detalhado do escoamento. Nestes casos, mais apropriado empregar
a formulao integral das leis bsicas. Usam-se volumes de controle finitos, que
geralmente de tratamento analtico mais fcil.
UNIDADES E DIMENSES
A dimenso de uma grandeza um conjunto de variveis bsicas que influenciam
esta grandeza e expressam o fenmeno observado. Por exemplo:
1,0 ft (p) = 12 in (polegada)
Ps, polegadas, centmetros, metros so unidades, porm todas elas representam
uma medida de comprimento - dimenso fsica. No estudo da anlise dimensional
as dimenses bsicas so a fora F, o comprimento L, o tempo T, a temperatura t e
a massa M.
So trs os principais sistemas de unidade: (Monte uma tabela para as principais
variveis em Mecflu).
Sistema Internacional ou MKS,
Sistema Ingls,
Sistema Tcnico.
PRINCIPAIS PROPRIEDADES DOS FLUIDOS
Termos que definem o estado fsico do fludo:
Para descrevermos o movimento de fluidos, sero necessrios alguns termos que
permitam definir o seu estado fsico. Esses termos descrevem suas propriedades. E,
-
21
uma propriedade uma caracterstica de uma substncia que tem um valor
constante para um dado estado; como por exemplo:
massa especfica
peso especfico
viscosidade, etc.
Massa especfica ou densidade absoluta
Caracteriza a quantidade de matria que preenche o espao. Sendo medida pela
massa por unidade de volume. Dada pela relao abaixo:
= Massa / Volume
Onde,
Massa = kg
Volume = m3
= massa especifica = kg/m3 (no sistema MKS).
Ou, tambm pela relao entre o peso especifico () e a gravidade (g), ou seja:
= /g
A massa especifica ou densidade absoluta uma funo escalar e contnua das
coordenadas dos pontos do meio e, ainda, da temperatura e do tempo que no
deixa de ser uma das definies de fludo compressvel.
Peso especfico: = .G
O peso especfico de uma substncia o peso da unidade de volume da substncia.
O peso especfico da gua para oscilaes normais de temperatura (CNTP) de
1000 kgf/m3 (sistema tcnico de unidades).
= Peso / volume
Onde,
peso = Newton (N)
volume = m3
= peso especifico = N/m3 (no sistema MKS)
-
22
Equao geral dos gases
As propriedades de um fludo fazem parte dos domnios da Termodinmica. No
processo de converso de energia no interior do fludo ou entre o fludo e suas
vizinhanas, o estado e o movimento do fludo so afetados. Uma equao de
estado relaciona as propriedades em qualquer etapa em que o sistema sofre
variaes. Felizmente, para o maior nmero das substncias de interesse da
Engenharia, a equao de estado possui uma forma matemtica simples, por
exemplo,
= f1(p,T)
p = f2(,T)
T = f3(p,)
Estas relaes funcionais so sempre verdadeiras para substncias puras, simples e
compressveis, embora as equaes que descrevam estas relaes possam ser
bastante simples, quando as presses e temperaturas no forem muito elevadas.
Para o gs perfeito; (designar o gs com o calor especfico constante gs ideal).
Calor especfico (= Joule/Kg.oC no sistema MKS) e uma caracterstica de cada
substncia. E definido como sendo a razo entre a capacidade trmica e a massa da
substncia. (capacidade trmica e a razo entre o calor absorvido ou liberado e a
variao da temperatura = Joule / oC no MKS e cal/oC no tcnico).
Para um gs cujas molculas colidam de modo perfeitamente elstico, a equao de
estado :
= p/R.T
Onde,
= peso especfico
p = presso absoluta
T = Temperatura absoluta (em K ou R)
R = Constante Universal dos gases
Onde R uma constante que depende somente do peso molecular do gs, T a
temperatura absoluta e p a presso absoluta.
-
23
Valor de R para alguns gases:
Ar, 53,36 ft/oR
Amnia, 90,77 ft/oR
Dixido de Carbono, CO2, 35,12 ft/oR
Monxido de carbono, CO, 55,19 ft/oR
Hlio, H, 386,33 ft/oR
Metano, CH4, 96,04 ft/oR
Oxignio, O2, 48,29 fr/oR
Vapor de gua, H2O, 85,80 ft/oR
valor de R para alguns gases
A densidade relativa dos fluidos
A densidade relativa de um corpo um nmero absoluto que representa a relao
do peso de um corpo para o peso de igual volume de uma substncia tomada como
padro. De um modo geral gua nas CNTP, ou seja,
1000 kg/m3 (massa especfica no sistema MKS)
10 000 N/m3 (peso especfico no sistema MKS)
62,4 lb/ft3 (peso especfico no sistema Ingls)
Se a densidade relativa de uma substancia lquida e igual a 0,750 isto significa que a
sua massa especifica vale: 0,750 x 1000 kg/m3 = 750 kg/m3.
-
24
Exemplo
Ex. (01) Calcular o peso especfico, o volume especfico e a massa especfica do
metano a 27 oC e 9 kgf/cm2 absoluta. Considere R = 53 m/oK constante Universal
para o metano. (Volume especfico = e o inverso do peso especifico, ou seja; Vs =
1/).
Soluo:
Peso especfico = 34
/66,5)27273(53
10.0,9mkgf
RT
p
Volume especfico = kgfmVs /177,066,5
11 3
Massa especfica = 3/81,9
66,5mutm
g
ou = 5,66 kg/m3 (MKS)
Sendo,
utm = unidade tcnica de massa. 1.0 utm = gravidade x kg
CLASSIFICAO DO ESCOAMENTO
a classificao do movimento dos fluidos, de acordo com caractersticas prprias,
possibilitando facilitar o entendimento do estudo dos Fenmenos de Transporte.
Quanto variao no tempo:
Escoamento permanente (ou estacionrio) e no permanente.
Se a acelerao local, v/t = 0, diz-se que o escoamento permanente. A
velocidade no varia com o tempo, embora ela possa variar de ponto a ponto no
espao.
Por outro lado, caso haja dependncia com o tempo, diz-se que o escoamento no
permanente.
-
25
Esta afirmativa implica, para escoamento permanente, em que outras variveis
tambm devero ser constantes em relao ao tempo:
dp/dt=0; dr/dt=0; dQ/dt=0.
Esta condio de escoamento encontrada em problemas de engenharia hidrulica,
onde a altura de carga permanece constante.
Quanto variao na direo
O escoamento pode ser Uniforme e No Uniforme.
Uniforme: Quando a velocidade no varia em direo e intensidade de ponto a
ponto; isto , com o espao.(dv/dr=0) (r = vetor espacial.), ou acelerao convectiva
nula.
Esta condio implica em que outras variveis do escoamento sejam constantes em
relao distncia, ou dr/dt = 0, etc.
Exemplo: Escoamento sob presso no interior de tubulaes com dimetro
constante.
No Uniforme: Permite variao com as coordenadas espaciais. Por exemplo,
escoamento no interior de tubulaes com dimetro variado, (pontos de mudana de
dimetro).
Quanto variao da direo
O escoamento pode ser laminar ou turbulento.
Laminar: Escoamento baixa velocidade, onde as linhas de corrente so paralelas
entre si.
Turbulento: Escoamento onde no ocorre paralelismo das linhas de corrente, ou
escoamento alta velocidade. Os escoamentos, em sua maioria, so turbulentos.
Em sua experincia, REYNOLDS descobriu que a existncia de dois tipos de
escoamento depende da velocidade, de um comprimento caracterstico (no caso de
tubulaes, o dimetro) e da viscosidade do fluido; ou seja, o parmetro
adimensional REYNOLDS:
-
26
Escoamento uni, bi ou tridimensional
O escoamento Unidimensional de um fluido incompressvel ocorre quando a direo
e a intensidade da velocidade a mesma para todos os pontos.
Entretanto, aceita-se a anlise de escoamento Unidimensional quando as
velocidades e aceleraes normais ao escoamento so desprezveis.
Em tais casos os valores mdios da velocidade, da presso so considerados como
representantes do escoamento como um todo e, pequenas variaes podem ser
desprezadas.
Exemplo: o escoamento em tubulaes analisado pr meio de princpios de
escoamento Unidimensional, apesar do fato de que a estrutura ser tridimensional e a
velocidade variar atravs das sees normais ao escoamento.
Rotacional e Irrotacional
Para um fludo ideal, no qual no existe tenso cisalhante, e, portanto no h
torques, o movimento de partculas fludas em torno de seus prprios centros de
massa no pode existir.
Tal escoamento ideal chamado de Irrotacional.
Caso existam consideraes a respeito da velocidade angular, o escoamento dito
ROTACIONAL.
1.1.1 Quanto a variao da densidade com o espao
a) Compressvel: Quando a densidade varivel,
b) Incompressvel: Quando a densidade constante.
1.1.2 Escoamento aberto e fechado
a) Escoamento aberto: O fluido escoa aberto para atmosfera. Por exemplo:
Escoamento em canais, Escoamento envolvendo um objeto, etc.
b) Escoamento fechado: O fluido escoa confinado no interior do volume de
controle. Por exemplo: escoamento forado no interior de tubulao da
hidrulica.
-
27
PROBLEMAS PROPOSTOS
Sistemas de Unidades
Ex. 01) Escreva as unidades das grandezas abaixo nos seguintes sistemas de
unidades: MKS, INGLES E TCNICO.
a) velocidade linear
b) comprimento
c) temperatura
d) acelerao
e) massa
f) fora
g) massa especfica
h) peso especfico
i) vazo
j) presso
k) densidade relativa
Ex. 02) Determine o volume mximo da gua no oceano atlntico, em km3.
Considere a sua rea como sendo 179.000.000 km2. E, profundidade mxima de
11.000 m.
Ex. 03) Determine a rea do espelho dgua do lago da pampulha (BH) em m2,
sendo a sua rea de 2,7 km2.
Ex. 04) Se a profundidade mdia da lagoa da pampulha vale 15 m. Qual o seu
volume mdio de gua em litros.
Ex. 05) Para uma aeronave a 11 km de altitude a temperatura externa vale 273 ok.
Obter em oC e em oF.
Ex. 06) Converter 70 oF e 92 oF para oC.
-
28
Propriedades dos fluidos
Ex. 07) Na densidade relativa, o lquido tomado geralmente como referncia :
a) leo lubrificante c) o mercrio
b) o lcool d) a gua 4C
Ex. 08) Um recipiente em forma de paraleleppedo, com as arestas a = 80 cm, b =
50 cm e c = 60 cm, est cheio com 216g de leo. Calcular a massa especfica (),
peso especfico (), densidade relativa (d) e volume especfico (VS).
Ex. 09) Calcule a densidade de uma substncia liquida para um volume de 2,0 litros
e massa de 500 g.
Ex. 10) Calcule o peso especifico do liquido do exerccio anterior.
Ex. 11) E, a densidade relativa do liquido anterior.
Ex. 12) Calcule a massa de um liquido de volume de 3 litros, para uma densidade ou
massa especifica igual a 750 kg/m3.
Ex. 13) Determine o peso especifico do liquido do exerccio anterior.
Ex. 14) E, a densidade relativa do liquido anterior.
Ex. 15) A densidade relativa de uma substncia vale 13,6. Calcule sua densidade
absoluta ou massa especifica.
Ex. 16) Calcule o peso especifico da substancia do exerccio anterior.
Ex. 17) Calcule o peso especifico de um gs a 27 oC e 0,8 mPa absoluta. Considere
a constante universal dos gases, R = 53 m/ok.
-
29
Ex. 18) A massa especifica do gs do exerccio anterior.
Ex. 19) A densidade relativa do gs do exerccio anterior.
Classificao do escoamento
Ex. 20) Um escoamento unidimensional
(a) um escoamento uniforme permanente
(b) um escoamento uniforme
(c) um escoamento com variaes desprezveis na direo transversal
(d) obrigado a escoar segundo uma linha reta
(e) nenhuma das respostas anterior
Ex. 21) No escoamento turbulento
(a) as partculas do fluido movem-se de maneira ordenada
(b) as linhas de correntes se cruzam
(c) As linhas de corrente so paralelas entre si
(d) uma lmina de fluido desliza suavemente sobre outra.
Ex. 22) Um escoamento turbulento geralmente ocorre em casos que envolvem
(a) fluido muito viscosos
(b) passagens muito estreitas ou tubos capilares
(c) movimentos muito lentos
(d) nenhuma das respostas anteriores
Ex. 23) Um escoamento permanente ocorre quando
a) as condies no variam com o tempo
b) as condies so as mesmas em pontos adjacentes em qualquer instante
c) as condies variam permanentemente com o tempo
d) v/t constante
-
30
Ex. 24) Um escoamento uniforme ocorre
a) sempre que o escoamento for permanente
b) quando v/t nulo em qualquer ponto
c) somente quando o vetor da velocidade permanece constante em qualquer ponto
d) quando v/s = 0
Ex. 25) Uma linha de corrente
a) uma linha que liga os pontos mdios das sees transversais do escoamento
b) definida somente para um escoamento uniforme
c) coincide sempre com a trajetria da partcula
d) fixa no espao, num escoamento permanente
-
31
-
32
CAPTULO II
ESTTICA DOS FLUDOS:
PRESSO E MANOMETRIA
Neste captulo sero abordados temas relacionados hidrosttica.
Clculo da presso esttica, o estudo da manometria como medidores de presso e
outros temas importantes para melhor compreenso da engenharia.
SUMRIO
Aspectos Tericos
Conservao do Momentum ou Equao do Equilbrio.
Lei de Stevin.
Biografia dos principais pesquisadores da rea.
Manometria.
Experincias em Laboratrio
Presso atmosfrica ou Barmetro de Torricelli
Mangueira de nvel na Engenharia
Aplicaes na Engenharia
Capilaridade da gua: Mecnica dos Solos
Intruso salina no litoral: Hidrologia
Mangueira de nvel na construo civil
Problemas propostos
Referncia bibliogrfica
-
33
CONSERVAO DO MOMENTUM OU EQUAO DO EQUILBRIO
A equao geral da Fluidosttica deduzida a partir da condio de equilbrio para o
fluido em repouso, ou seja;
Da Lei de Newton, tm-se;
Dt
DVvolmaF ..
Fazendo,
Vol
Ff
Finalmente, teremos a equao do equilbrio para uma funo composta, do tipo;
V = f(x,y,z,t) na qual a soluo dada pela derivada substantiva utilizando a regra da
cadeia de derivao.
Dt
DVf
Equao geral de Newton
Esttica dos fludos Primeira lei de Newton
So para fenmenos nos quais o fluido permanece em repouso, ou seja, acelerao
nula.
f = 0
LEI DE STEVIN
So para fenmenos os quais o fluido permanece em repouso, ou seja, com
acelerao nula. Vale afirmar que as foras externas esto em equilbrio.
Podemos escrever que para uma massa fluida, as foras por unidade de volume
sero: fora de presso (F = p.A)
fora peso (P = .vol)
Logo, podemos escrever a lei de Newton do equilbrio na forma abaixo:
-
34
0.
gp
Lembrando que necessrio conhecermos a natureza de e de g. Integrando a lei
acima para o eixo dos y, tem-se:
p = - .g
dp/dy = - .gy
dp = - .g.dy
A lei acima ter a seguinte expresso, conhecida como Lei de Stevin para a presso
esttica.
dygdp ..
-
35
BIOGRAFIA:
Simon Stevin
(1548 - 1620)
Matemtico, mecnico e engenheiro militar, flamengo nascido em Bruges, a quem
se deve a popularizao do uso do sistema decimal de fraes, o que viabilizou o
uso divisionrio das moedas, pesos e medidas em geral. . Filho ilegtimo de ricos
cidados, pouco se sabe do incio de sua vida. Sabe-se que depois dos vinte anos
de idade viajou pela Noruega, Polnia e Prssia e, na volta, estabeleceu-se na atual
Holanda. Passou a estudar em Leiden (1581) e dois anos depois entrou para a
universidade local na qual, aps formar-se, passou a ensinar matemtica. Publicou
De thiende (1585), de grande influncia na engenharia, na prtica comercial e na
notao matemtica e de grande popularidade na poca. Foi nomeado para um
poderoso posto no exrcito holands (1593), por ordem do prncipe De Nassau, o
que contribuiu para se tornar um grande engenheiro militar e assumir outros postos
importantes no governo at sua morte, em Haia. Sua matemtica foi sem dvida
valiosa para o desenvolvimento do algebrismo. Sua contribuio cientfica ao
desenvolvimento da mecnica tambm foi notvel. Na sua obra destacam-se trs
importantes publicaes, todas editadas em Leiden e em holands (1586): Princpios
de esttica, uma espcie de continuao dos trabalhos de Arquimedes (teoria da
alavanca, centro de gravidade dos corpos, etc., e o teorema dos planos inclinados),
Aplicaes de esttica e Princpios de hidrosttica, uma notvel contribuio ao
estudo da hidrosttica, entre outros assuntos, tratando sobre o deslocamento de
corpos mergulhados em gua e a explicao do paradoxo da hidrosttica - presso
independente da forma do recipiente. Influenciado pelas teorias de Da Vinte,
pesquisou o comportamento hidrosttico das presses, divulgando o princpio do
paralelogramo das foras. Enunciou o princpio dos trabalhos virtuais (1608). Sua
genialidade abrangia os mais variados campos do conhecimento, pois tambm
escreveu pequenos tratados estabelecendo aplicaes prticas de alguns princpios
mecnicos, sobre acampamentos e fortificaes militares, eclusas e barragens, a
fora dos ventos e moinhos de vento, astronomia copernicana, direitos civis e
escalas musicais.
Quadro 10 Biografia Simon Stevin
Fonte www.sobiografia.hpg.com.br
-
36
Exemplo
Exerccio: Determinar o gradiente de presso em relao ao eixo vertical y, para
uma altura de 10 m; considerar o fluido compressvel para uma densidade variando
de acordo com a funo: (y)=3y2 +4y [kg/m3].
Supor gy= 9,81 m/s2. Resp.:1,1772.104 N/m2
Soluo:
Aplicando a equao: dp = - gdy
dyydp y
10
0
2
4381,9
Resposta
p = 1,1772 N/m2
Condio de fludo incompreensvel
Incompressvel o fludo cuja densidade permanece constante, aplicando esta
condio na equao anterior, teremos a equao para fludo incompressvel; ou
seja,
dygdp ..
Onde,
= constante em relao a y
g = constante (acelerao da gravidade)
Integrando de y1 a y2 (diferenca de alturas), tem-se;
y
y
dyg
p
p
dp2
1
2
1
..
p = g.y
p2 - p1 = g(y2 - y1)
-
37
Quando,
p1 = 0
p2 = p
y2 - y1 = h
teremos,
p = .g.h
ou, equao para a presso efetiva (manomtrica, medida, gage)
ygp ..
Onde,
p = presso
= massa especfica do lquido
g = gravidade
Presso absoluta:
a soma da presso efetiva com a presso atmosfrica local.
Equao para a presso absoluta: pabs. = pef. + patm.
Considerando fludo compressvel
Compressvel o fludo cuja densidade pode variar com temperatura e/ou presso.
Hiptese A: condio isotrmica -Temperatura constante
A presso ser calculada pela seguinte expresso:
p = po . e(- h / RT)
Onde,
R = constante Universal dos gases
T = Temperatura absoluta
p = presso final
-
38
po= presso inicial
h = altura entre os pontos de presso final e presso inicial.
Hiptese B: condio adiabtica - Temperatura varivel
A presso ser calculada pela seguinte expresso:
p[( 1-k) / k] = po [( 1 - k ) / k ] - [( 1 - k) / k ] [(o. h) / po
1 / k]
Onde,
k = coeficiente adiabtico, relacionado ao calor especfico. (Tabelado)
= peso especfico dos gases.
Exemplo 02
Traar o diagrama de presso devido gua (h=2,0 m) e a lama (h=0,5 m) no fundo
e nas laterais, de acordo com a figura abaixo.
Figura problema resolvido sobre Lei de Stevin perfil transversal de um rio
Soluo:
p1 = 0
p2 = H20 . h
= 1 000 . 2
= 2 000 Kgf/m2
-
39
p3 = p1 + p2 + L . hL
= 0 + 2 000kgf/m2
+ (1,5 . 1 000kgf/m3). 0,5 m
p3= 2 750 Kgf/m2 presso no fundo, efetiva.
Figura - diagrama de presso Lei de Stevin
MANOMETRIA
Um dos mtodos convenientes para medir presso consiste em determinar o
deslocamento produzido pelo fluido no interior de uma coluna de um tubo
transparente em forma de U - manmetro.
Para medir presses elevadas, normalmente, usa-se Mercrio como fludo
manomtrico.
A mangueira de Nvel de Pedreiro um Manmetro diferencial contendo gua.
Veremos no final deste captulo.
A figura abaixo mostra um esquema de um medidor manmetro.
So dois tipos de manmetros:
Manmetro Analgico ou Metlico
-
40
Manmetros diferenciais ou de Mercrio
Figura- Manometria - manmetro diferencial
Roteiro de clculo da presso em manmetros diferenciais:
No ponto A no interior da tubulao.
Aplicando a equao (anterior) do Fludo Incompressvel, teremos:
No nvel BC as presses so iguais,
pB - pC = ( yB - yC) yB = yC
Logo,
pB = pC No mesmo Nvel.
pB = pA + e . h1 e pC = patm. + m.h2
Igualando as equaes,
pA + e . h1 = patm. + m . h2
Logo,
pA = patm. + m . h2 - e . h1
Equao da presso absoluta
ou,
pA = m .h2 - e . h1
Equao da presso efetiva.
-
41
Onde
m = peso especfico do fludo manomtrico
e = peso especfico do fludo em escoamento
-
42
Exemplo 03
Calcule a presso em A, no interior da tubulao, se a presso em B vale 2,0 psi.
Considere os dados da figura abaixo. (densidade relativa = 1,2)
Figura 12 - Manometria -Tubulao com manmetro diferencial instalado
Aplicando a equao para fludo Incompressvel:
pC = pD
pC = pA + o . (10/12)
pD=pB + Hg .(10/12)
Igualando as equaes; teremos,
pA + o(10/12) = pB + Hg(10/12)
pA = pB + (Hg - o) . 10/12
pA = pB + (dRHg - dRo) . 10/12 . gua
pA = 2,0 . 144 + (13,6 - 1,2) . 10/12 . 62,4
= 932,77 lb./ft2(ou psf)
pA = 932,77 : 144 = 6,477 lb./in2
(ou psi);
pA = 6,477 . 0,07 Kgf/cm2
= 0,4534 kgf/cm2
-
43
EXPERIENCIAS EM LABORATRIO
1. Presso atmosfrica pelo Barmetro de Torricelli
2. Nivelamento na construo civil pela mangueira de nvel
1 Experincia:
Presso Atmosfrica Atravs do Barmetro de Torricelli
Princpio
A clssica experincia de Torricelli reproduzida. A presso atmosfrica expressa
em altura (h= 760 mm a nvel do mar) de coluna de mercrio (13600 kg.m-3) em
equilbrio em uma cuba e um tubo transparente.
Quando este experimento realizado em Belo Horizonte, a altura da coluna de
mercrio ser menor. A determinao desta altura o objeto deste experimento.
Aparato experimental:
Cuba de vidro;
Tubo cilndrico de vidro transparente de 1,0 metros de comprimento fechado em
uma das extremidades;
Mercrio;
Escala graduada em milmetros e mesa de apoio para o experimento.
Procedimento experimental
1. Preencher completamente com mercrio o tubo de vidro.
2. Colocar mercrio na cuba at uma altura para que seja possvel mergulhar a
ponta do tubo de vidro junto com um dedo.
3. Com um dado fechando completamente a extremidade aberta do tubo de vidro,
emborc-lo na cuba.
4. Uma vez mergulhado e completamente na vertical, liberar a extremidade imersa
no mercrio.
-
44
5. Utilizando a escala graduada em milmetro e com o tubo de vidro encostado em
seu apoio, medir a distncia entre a superfcie livre do mercrio na cuba e a parte
superior do menisco de mercrio no tubo de vidro.
Experimentao
Ler a altura do mercrio no barmetro.
Figura - Imagem do experimento do Barmetro de Torricelli
Fonte: secundria
-
45
2 EXPERINCIA:
Mangueira de Nvel na Engenharia
Princpio
O principio fsico empregado o da Lei de Stevinl.
Aparato experimental
Mangueira de nvel, transparente.
gua pura.
Trena.
Giz.
Procedimento experimental
1. Encher completamente a mangueira com gua.
2. Antes de us-la manter as extremidades tapadas.
3. Dois alunos um em cada extremidade, sendo que um marcar um ponto fixo e
outro receber este ponto atravs do nvel da gua na mangueira, o qual ser
marcado com giz.
4. Elaborar um croqui com medidas de comprimentos e alturas.
5. Demonstrar pela Lei de Stevin o princpio fsico utilizado no nivelamento
topogrfico.
-
46
APLICAES NA ENGENHARIA
Capilaridade da gua: Mecnica dos Solos
Intruso salina no litoral: Hidrologia
Mangueira de nvel na construo civil
-
47
-
48
O FENMENO DA CAPILARIDADE
Fonte: BAUER (1985) Materiais de Construo
A importncia dos Fenmenos Capilares;
Estradas: Na construo de pavimentos rodovirios. Assim, por exemplo, se o
terreno de fundao de um pavimento constitudo por um solo siltoso e o nvel
fretico est pouco profundo, a fim de evitar que a gua capilar venha a
prejudicar a estabilidade do pavimento a ser construdo, tornam-se necessrias
certas precaues, quer substituindo o material siltoso por outro de menor grau
de capilaridade, quer construindo sub-bases adequadas.
A Contrao: dos solos tambm explicada pelos fenmenos capilares.
medida que a gua vai sendo evaporada, iro surgindo foras capilares, que
aproximam as partculas. Essa presso capilar, que cresce medida que se
evapora a gua, explica desse modo, a contrao dos solos durante o seu
processo de perda de umidade.
O efeito CAPILAR produz movimento da gua em solos estreitamente compactados.
uma conseqncia da tenso superficial. Mergulhando tubos de pequenos
dimetros em um lquido com contato com o ar, a superfcie do lquido junto
parede deixa de ser plana, para torna-se cncava e elevada se o lquido molha as
paredes (gua e vidro), e convexa e deprimida se o lquido no os molha (mercrio e
vidro).
Ascenso ou depresso num tubo capilar dada por:
A fora de tenso superficial na vertical deve suportar o peso da coluna de fludo.
Aplica-se a condio de equilbrio Newtoneano. F = 0
Tenso superficial (ascendente) peso do volume (descendente) + fora devida
presso (ascendente) fora devida presso (descendente) = 0
dh
.
sen.4
Onde,
-
49
= tenso superficial da gua, por unidade de linha de contato entre a gua e
o tubo.
= ngulo de contato. Considera-se 90o para um tubo limpo.
d = dimetro,
= peso especfico do lquido
Ou, para fins prticos:
= 0,0764 g/cm
= 0o
Da, a expresso para o clculo da altura capilar mxima.
Lei de Jurin:
dh
306,0max
Com d em cm.
A elevao (h) inversamente proporcional ao dimetro do capilar. Assim, nos solos
finos (siltosos e argilosos), os quais tm vazios de dimetro reduzido, a altura capilar
ser maior do que nos solos grossos (pedregulhos e arenosos); para os primeiros, h
pode atingir valores da ordem de 30 m ou mais. Para estudos mais completo, o
estudante dever pesquisar em livros especializados sobre Mecnica dos solos.
-
50
INTRUSO SALINA NO LITORAL
Fonte: CROSTA, lvaro P. (2000) Recursos Hdricos,
No litoral, a gua subterrnea e descarregada no mar sob condies normais, uma
vez que o lenol fretico mergulha em direo ao nvel do mar (figura abaixo). As
rochas submersas no mar geralmente possuem em seu interior gua subterrnea
salgada, derivada da gua do mar. O limite entre a gua subterrnea doce e gua
subterrnea salgada geralmente mergulha em direo ao continente a partir da
costa, existindo uma cunha de gua subterrnea salgada, de maior densidade,
situada debaixo da gua subterrnea doce, menos densa, situada debaixo do
continente. Este fenmeno chamado de intruso salina. A profundidade abaixo do
nvel do mar dessa interface entre a gua subterrnea doce e salgada em qualquer
local, h2, na figura, depende da altura do lenol fretico acima do nvel do mar, h1.
Ao longo dessa interface, as presses devidas carga da gua do mar mais densa
e a gua doce menos densa esto em equilbrio. Em qualquer ponto da interface ou
lente (por exemplo, no ponto de h2, na figura) a presso devida a gua salgada
devera ser igual presso devida a gua doce (Lei de Stevin).
Figura 2 - perfil de uma intruso salina ao longo do litoral. A escala vertical
encontra-se exagerada. Fonte: Desenho Prof. Milton.
h2 = 40h1
Presso da gua doce = presso da gua salgada
d.g.(h1+h2) = s.g.h2
Onde,
d = densidade da gua doce
-
51
s = densidade da gua salgada
g = acelerao da gravidade
h1 = profundidade do lenol fretico ao nvel do mar
h2 = profundidade da lente
rearranjando a equao, para h2,
h2 = [d/(s - d)].h1
Como d = 1000 kg/m3 e s e tipicamente igual a 1025 kg/m
3,
h2 = 40h1
Isso significa que se o lenol fretico prximo ao litoral e , digamos, de 5 metros
acima do nvel do mar (h1 = 5 metros),
ento
h1 + h2 = 5 + (40x5) = 205 metros
e, portanto, a gua subterrnea salgada deve ser encontrada a uma profundidade de
205 metros abaixo do lenol fretico.
Se as densidades da gua doce e salgada variar, da mesma forma ir variar a razo
de 40 para 1 de h2 para h1. Isso pode ocorrer nos locais onde a gua salobra forma
a interface com a gua doce. A interface entre gua subterrnea doce e salgada no
e, geralmente uma zona, com pelo menos alguns metros de espessura, em que as
guas doce e salgada se misturam. A gua nessa zona menos salgada do que na
gua do mar, isto e, trata-se de uma gua salobra. O nvel do mar sobe e desce com
as mars, e ocorre uma variao na taxa de descarga da gua subterrnea doce no
mar. Esses fatores acarretam mudanas na posio dessa interface e podem causar
a mistura de gua doce e salgada.
Intruses salinas podem se tornar um problema nos locais em que grandes
quantidades de gua doce so extradas dos terrenos prximos ao litoral. Sob
condies normais, a gua subterrnea doce e descarregada no mar, mas se a gua
subterrnea for abstrada em excesso em regies prximas a costa, a gua
subterrnea doce e impedida de descarregar no mar e gua subterrnea salgada
penetra por baixo do continente. Se o nvel do lenol fretico for rebaixado devido as
altas taxas de abstrao (se h1 for reduzido), de modo que os poos podem
eventualmente vir a ser preenchidos por gua salgada, tornando-se imprestveis
-
52
para o abastecimento de gua doce. Esse tipo de problema pode se tornar grave em
ilhas de pequenas dimenses, conde existem normalmente corpos de gua
subterrnea, formato de lentes, devido s intruses salinas ao redor da ilha (ver
figura a seguir).
Figura 3 - Intruses salinas ao redor do litoral de uma ilha, produzindo um
corpo de gua doce em formato de lente embaixo da ilha.
Fonte: Desenho Prof. Milton
-
53
MANGUEIRA DE NVEL NA ENGENHARIA
Fonte: secundaria
Se voc quiser saber se o piso da sua cozinha est em nvel, faa o seguinte:
arranje uma mangueira de plstico transparente e encha-a de gua. Coloque as
suas extremidades em dois cantos da cozinha e marque, com um lpis, o nvel da
gua. Mea, com um metro ou uma fita mtrica, a altura de cada nvel da gua. Se
as duas alturas forem iguais, porque o piso est no nvel certo.
Figura - Uso da mangueira de nvel na construo civil - Fonte: secundaria
Princpio fsico utilizado na mangueira de nvel;
Pode-se classificar o fludo quanto a sua variao de densidade em compressvel: o
fludo que pode variar sua densidade com a temperatura e/ou presso exemplo, os
gases. E, incompressvel os fludos lquidos, como por exemplo, a gua.
Como sabemos na mangueira de nvel usa-se gua no seu interior, para esse fim.
Quando as duas pessoas esto segurando em cada extremidade, importante
mant-las abertas ao ar atmosfrico; pois, com isso, est assegurado que a presso
numa extremidade igual na outra. Logo, a gua das extremidades est nivelada;
pois, num mesmo nvel as presses so iguais, de acordo com a Lei de Stevin.
ygp ..
Lei de Stevin,
Onde,
p = variao de presso
-
54
= massa especfica do lquido
g = gravidade
y = altura da coluna do lquido
O fenmeno da mangueira de nvel e explicado pelo equilbrio de presses num
determinado ponto, ou seja, a presso em (A) ser igual a presso em (B)
pA = pB
(a mangueira devera estar aberta ao ar atmosfrico)
Aplicando na Lei de Stevin
yg ..0
y0
Logo yA = yB
Concluso
Os pontos A e B esto no mesmo nvel.
-
55
PROBLEMAS PROPOSTOS
Presso baromtrica
Ex. 01) Calcule a presso baromtrica em psi a uma altitude de 4 000 ft se a
presso ao nvel do mar de 14,7 psi. Considere isotrmica a 70 oF. Resp.: 12,7 psi.
Ex.02) Um barmetro acusa 30 in de Hg.
a) Qual a presso atmosfrica?
b) Qual a presso efetiva no fundo de uma piscina de 10 ft de profundidade?
c) Qual a presso absoluta neste local?
d) Traar o diagrama de presso efetiva no fundo e nas laterais.
Gradiente de presso
Ex. 03) Calcular o Gradiente de presso em relao ao eixo vertical y, para uma
altura de 10 m; considerar o fluido compressvel para uma densidade variando de
acordo com a funo: (y)=3y2 + 2y + 8 [kg/m3].
Supor gy=10 m/s2.Resp: 1,18.104 N/m2
Ex. 04) Determine a presso absoluta a uma profundidade de 6,0 m abaixo da
superfcie livre de um volume de gua. Se um barmetro indica 760 mm de Hg.
Resp.: 1,6 . 104 kgf/m2.
Manometria
Ex. 05) Determine a presso manomtrica em A devida deflexo do mercrio, no
manmetro U mostrado na figura abaixo. Resp: 25 200 N/m2.
-
56
Figura Manometria problema proposto, manmetro diferencial em U.
Ex. 06) Um leo de densidade 0,750 escoa atravs de um bocal indicado na fig.
abaixo e causa a deflexo do mercrio no manmetro U. Determine o valor de h se
a presso em A de 1,5 kgf/cm2. Resp.: 1,21m
Figura Manometria problema proposto, manmetro diferencial em U, instalado.
Fonte: secundaria
Ex. 07) Um manmetro diferencial colocado entre as sees A e B em um tubo
horizontal, no qual escoa gua. A deflexo do mercrio no manmetro 576 mm, o
nvel mais prximo de A sendo o mais baixo deles. Calcular a diferena de presso
entre as sees A e B em kgf/m2.
Resp.: 7250 kgf/m2.
-
57
Lei de Stevin (presso esttica)
Ex. 08) Um reservatrio est cheio de gua, cujo nvel encontra-se na Elevao 750
m. Em seu fundo h uma vlvula para seu esvaziamento, cujo eixo encontra-se na
Elevao 745 m. Nestas condies, e sabendo-se que o datum o nvel do mar
(Elevao 0,00m), pode-se afirmar que a carga de presso efetiva (piezomtrica) de
um ponto localizado na superfcie lquida do reservatrio igual a:
a) 0,00 m c) 745 m
b) 5,00m d) 750m
Ex. 09) Determinar o esforo resultante que atua sobre uma vlvula borboleta de
dimetro igual a 800 mm, situada na cota 360,00m em relao profundidade, num
reservatrio de gua cuja superfcie livre est na cota de Elevao 400,00m. Resp.:
197 141,8 N
Ex. 10) (Determine a presso em uma profundidade de a) 6,0 m de gua; b) h = 1,0
m; c)h = 1,0 m de leo de d = 0,8.
Ex. 11) Que profundidade de leo, densidade 0,750, produzir uma presso de 28
N/cm2. Resp. 38,06 m. b) Qual a profundidade em gua? Resp.: 28,5 m.
Ex. 12) Determinar a presso atmosfrica a nvel do mar onde hHg = 760 mm. Resp.:
101321,604 N/m2.
Outros:
Ex. 13) Considerando o tanque da Figura com leo (d=0,8) e gua. Determine as
presses efetiva e absoluta nos pontos 1, 2 e 3. Considere a presso atmosfrica
1,0kgf/cm2.
-
58
Ex. 14) Se um manmetro de uma caldeira indica 4,12atm e se a presso
atmosfrica local dada por um barmetro que marca 700 mm de mercrio, calcular
(em atm) a presso absoluta na referida caldeira.
Ex. 15) Realizando-se a experincia de Torricelli em Belo Horizonte, obteve-se a
medida de 690 mm para coluna de mercrio. Calcular a presso atmosfrica local
em kgf/cm2.
Ex. 16) No alto de um prdio h um reservatrio que fornece gua a diversas peas,
inclusive a uma torneira. Esta se encontra a 18m abaixo da superfcie livre do
reservatrio. Calcular a presso da gua ao nvel da torneira (suposta fechada). Dar
a soluo em atm, em kgf/m2 e em kgf/cm2.
Ex. 17) No esquema da Figura ao lado, determinar: (a) a carga total efetiva do
sistema, quando o nvel do mar tomado como datum (plano de referncia); (b) a
carga total absoluta do sistema, admitindo que a presso atmosfrica absoluta seja
igual a 1 kg/cm2 em relao ao mesmo datum; (c) as cargas de posio e
piezomtricas dos pontos A e B; (d) as leituras, kgf/cm2, que seriam fornecidas por
manmetros que fossem instalados em A e B.
-
59
Ex. 18) A gua que abastece uma indstria inicialmente encaminhada at um
reservatrio principal cujo nvel mximo encontra-se na elevao 450m. Da ela
encaminhada at um reservatrio intermedirio, cujo nvel dgua encontra-se 5,00m
abaixo do nvel mximo do primeiro. Esse ltimo reservatrio abastece um hidrante,
instalado na elevao 430,0m. Qual presso dgua nesse hidrante?
Ex. 19) Para se conhecer a altitude do ponto mais baixo de uma adutora que
abastece, por gravidade, uma cidade, fechou-se o registro existente em sua
extremidade de jusante e instalou-se em manmetro naquele local. O manmetro
indicou a presso de 5,0 Kgf/cm2. Sabendo-se que o nvel dgua na extremidade de
montante da adutora encontrava-se, naquele momento, na altitude 385m. Calcule a
altitude do ponto mais baixo da adutora.
Ex. 20) Um tubulo a ar comprimido est sendo escavado no interior do leito de um
rio. Sabendo-se que o fundo do tubulo encontra-se a 20 metros de profundidade e
que, desse total, os 5 ltimos metros so constitudo de uma camada de lodo, cuja
densidade relativa igual a 1,3. Qual presso que deve ser introduzida no interior do
tubulo para mant-lo seco?
Ex. 21) No esquema da Figura ao lado, o peso do mbolo (A) 3000kgf e o do
mbolo (B) 200kgf. O Lquido contido entre os mbolos leo de peso especfico
850 kgf/m3. Pergunta-se: H equilbrio nesta instalao? Se no houver, em que
mbolo deve ser aplicado uma fora vertical para baixo de modo a restabelecer o
equilbrio e qual deve ser o valor desta fora?
-
60
Ex. 22) Em certo instante, o manmetro metlico, instalado na entrada de uma
bomba, registra o vcuo (ou suco) de 262 mm de mercrio. Obter:
I) a presso efetiva (em mca e em kgf/cm2);
II) a presso absoluta (em kgf/cm2). Considerar a presso atmosfrica 1,0kgf/cm2.
Ex. 23) Um manmetro de mercrio instalado na entrada de uma bomba, figura ao
lado. Mede-se a deflexo do mercrio, encontrando-se (hm=0,4m). Determinar as
presses efetiva e absoluta no eixo da tubulao de suco sendo (Hg=13600
kgf/m3) e o lquido succionado a gua (gua=1000kgf/m3). Considere (Patm
abs=1,0
kgf/cm2).
-
61
Ex. 24) Um manmetro de tubo em U est conectado, atravs de orifcios, placa
indicada na figura abaixo. Considerar o peso especfico do ar desprezvel.
a) Para p1 = 45 psi e p2 = 32psi, determine densidade relativa do fluido do
manmetro.
b) Se o fluido do manmetro for o mercrio e se p1 = 60 psi. Determine a presso
manomtrica p2.
Ex. 25) Um encanamento de eixo horizontal contm gua sob presso e est ligado
a um tubo em U, cujo lquido manomtrico o mercrio da Figura, ficando sua
superfcie livre em nvel com eixo do encanamento. Sendo h = 74 mm a deflexo do
Hg, calcular a presso efetiva em B (em kgf/m2, kgf/cm2 e mca)
Ex. 26) Em um tubo vertical h leo (d = 0,92) em situao esttica, isto , sem
escoar, Figura abaixo. Determinar a presso (em Kgf/cm2) que se l no manmetro
metlico instalado em C.
-
62
-
63
REFERNCIA BIBLIOGRFICA
BARBOSA, J.NOVAIS. Mecnica dos Fluidos e Hidrulica Geral Vol. I e II. 1985.
Porto Editora Ltda. Lisboa, Portugal.
BRUNETTI, FRANCO. Curso Mecnica dos Fluidos. 2a ed. 1985. Apostila. So
Paulo. SP.
FOX, ROBERT W. E MCDONALD, ALAN T. Introduo a Mecnica dos Fluidos
Purdue University 1 998, 4a edio revista , LTC Rio de Janeiro Brasil.
GILES, R.V. Problemas de Mecnica dos Fluidos - S.P. Schaum Editora Santurio
SCHIOZER, DAYR. Mecnica dos Fluidos. 2a ed.1996. Editora LTC Livros
Tcnicos e Cientficos Editora S.A. Rio de Janeiro, RJ.
SMITH, J. WARD. Internal Fluid Flow. 1980.
IANA, MARCOS ROCHA. Mecnica dos Fluidos para Engenheiros. 3a ed. 1998
UFMG
-
64
CAPTULO III
EQUAO DA CONTINUIDADE VAZO
PRINCPIO DA CONSERVAO DA MASSA
Equao da Continuidade na sua forma diferencial e integral.
-
65
-
66
INTRODUO
Na anlise e nos projetos de bombas, turbinas e muitos outros dispositivos
hidrulicos, o conhecimento das foras exercidas, bem como os princpios da
conservao da fsica so de grande importncia no estudo do movimento dos
fluidos.
So eles:
Principio da Conservao da Massa: Equao da Continuidade gerando a
Equao da Vazo.
Principio da Conservao da Energia: Equao de Euler gerando o Teorema
de Bernoulli.
Principio da Conservao da Quantidade de Movimento: 2a Lei de Newton:
Na aerodinmica: Fora de Arrasto, Fora de Sustentao.
Na hidrodinmica: Fora do Jato, Empuxo em curva e redues.
DESCRIO DE UM CAMPO DE ESCOAMENTO
No estudo de fluxos seja ele de calor, eltrico ou de massa comum idealizar um
volume de controle do espao, objetivando determinar quantidades que
atravessaram o mesmo.
Em transferncia de calor 1,0 m2 de alvenaria com espessura x pode ser um
volume de controle, para aplicar a Lei de Fourier.
Na fsica moderna uma superfcie fechada (Gaussiana) utilizada para calcular o
fluxo eltrico pela Lei de Gauss.
Na descrio de um campo de escoamento so utilizadas linhas imaginrias - Linhas
de corrente - no estudo dos Fenmenos de Transporte. Um feixe de linhas
caracteriza o tubo de corrente que define o volume de controle.
Aplicando-se o princpio da conservao da densidade J de fluxo de temperatura,
concentrao mssica, velocidade, para uma simulao matemtica, tem-se a
equao diferencial, que governa o fenmeno da Transferncia de Calor, Massa e
da Quantidade de Movimento.
Equao geral da continuidade, apresentada nos captulos anteriores;
-
67
0'
t
PEJ q
A Variao da densidade J de um fluxo atravs do volume de controle + Grandeza
q representando um ganho ou uma perda, no interior do volume de controle +
Variao da Energia no tempo = ter que ser igual a zero.
SIMPLIFICAO DA EQUAO DA CONTINUIDADE;
Considerando fluxo permanente.
Ou seja, para uma condio permanente e conservativa (sem variao de energia)
do sistema tm-se:
000 J
A equao geral, na sua forma reduzida (ou simplificada), ficar; .
J = 0
Aplicando a equao da continuidade para um campo de velocidade, tem-se;
A Lei geral da conservao do campo de velocidade ficar;
(.V) = 0
Ou,
(.V)A = 0
E, fazendo,
= operador matemtico
J = q/A (fluxo por unidade de rea)
q = .V (campo de velocidade)
= densidade absoluta
V = velocidade de escoamento
-
68
Equao da Continuidade na forma diferencial para fluido incompressvel ( =
constante);
Da equao anterior e considerando a densidade absoluta como uma constante,
tem-se;
0
k
z
wj
y
vi
x
u
Ou, em funo da rea transversal, tem-se;
0...
Ak
z
wAj
y
vAi
x
u
5.3.2 Equao da Continuidade na forma integral;
Aplicando a mesma equao anterior em apresentao na forma integral, tem-se;
CS
dAnV 0...
Onde,
= densidade absoluta ou massa especfica
V = velocidade
n = vetor normal ou versor
A = rea A da superfcie de controle
CS = Superfcie de controle.
V
Figura de uma SC
-
69
Exemplo
Ex. (1). Calcular o fluxo hidrulico no interior de uma tubulao, se a V= 16 r2 [i],
[m/s]. O raio do tubo vale 20 cm.
Soluo esperada:
Equao da continuidade,
CS
dAnV 0...
Sendo,
dA = r.dr.ds em coordenadas cilndricas
rea (A) v = 16r
r r
eixo X
Figura 15 Seo longitudinal de uma tubulao - variao da velocidade
Resolvendo a equao da continuidade, tem-se;
dQ = |V|.|1|.cos 0.dA
Q = 16r2|i.|1|i.1.r.dr.ds
Q = 16r2.r.dr.ds = 16r3.dr.ds
Q = C.ds
Onde, C = 16r3.dr
C = 16[r4/4]0,2
C = 4[0,2]4 = 0,0064
-
70
Integrando ds, tem-se;
Q = 0,0064ds,
ds variando de 0 a 2 rad
Resposta:
Q = 0,04 m3/s
RESOLVENDO PELA HP-48
Fazendo, dA = rdr.ds
dQ = 16r3.dr.ds Nos intervalos: 0 s 6,28 e 0 r 0,2
[Roxa] [ENTER]
[] [Q]
[Roxa] [0] (sinal de =)
[Verde] [cos]
[0] [] [6,28] []
[Verde] [cos]
[0] [] [0,2] []
[16] [x] (vezes) [] [Roxa] [r]
[yx] [3] [] []
[] [Roxa] [R]
[] []
[] [s] []
Para obter a resposta:
[EVAL] [EVAL] [EVAL]
Q = 0,04 m3/s
-
71
Exemplo
Ex. (2). Resolver o exerccio anterior, considerando a V= 4r [i][m/s] - Resp.: Q = 0,05
m3/s
Espao para a soluo:
-
72
VAZO EM CONDUTOS FORADOS
Fazendo a equao igual vazo mssica, tem-se;
.V.n.dA = M (= vazo mssica)
E, sua apresentao na forma integral, ser;
CS
M 0
Aplicando-a desde A at B, no interior da tubulao, onde o fluido escoa, tem-se;
M2 - M1 = 0
Ou,
M1 = M2 = Constante
Concluso.: Para um sistema conservativo, a vazo no varia; contudo, a velocidade
poder variar, em funo da rea da seo transversal do tubo.
Figura 16 Seo longitudinal de um tubo - equao da vazo
-
73
RESUMO DAS FRMULAS PARA DETERMINAO DA VAZO;
Equao da Vazo Mssica em Kg/s
M = 1.A1.v1 =2. A2.v2
Equao da Vazo em Volume em m3/s
Q = A1.V1 = A2.V2
Equao da Vazo em Peso em N/s
G= .Q
Onde,
G =vazo em peso, em Kgf/s ou N/s
= peso especfico do fluido, em kgf/m3 ou N/m3
Q = vazo em volume, em m3/s
A = rea transversal do tubo
= densidade absoluta ou massa especfica
-
74
Exemplo
Ex. (03) Determinar a vazo em volume, quando a gua escoa no interior de um
tubo de dimetro igual 100 mm com uma velocidade de 10 m/s.
Soluo;
Q = A.v
Q = [3,14.(0,1)2 /4].10 = 0,0785 m3/s = 78,5 litros/s
Ex. (04) Qual a vazo em peso do ar, quando ele escoa no interior de um tubo de
dimetro igual a 100 mm, com uma velocidade de 10 m/s. Considere o peso
especfico do ar igual 1,2 kgf/m3.
Soluo;
G = .Q
G = 1,2 . 0,07 = 0,09 kgf/m3
-
75
APLICACOES NA ENGENHARIA
1. Coeficiente de permeabilidade do solo: Hidrologia, Mecnica dos Solos e Estradas
2. Taxa de infiltrao no solo: Hidrologia e Mecnica dos Solos
3. Vazo do rio: Hidrologia
4. Vazo em condutos forados: Hidrulica
COEFICIENTE DE PERMEABILIDADE (k) DO SOLO LEI DE DARCY - ENSAIO
DE LABORATRIO
Fonte: Garcez e Acosta (1988) - Hidrologia
Permeabilidade a propriedade dos solos que indica a maior ou menor facilidade
que os mesmos oferecem passagem da gua atravs de seus vazios. E,
numericamente expressa pelo coeficiente de permeabilidade, k cujo conhecimento
importante para o movimento da gua no solo.
Solo impermevel quando k 10-8 cm/s Argila
Concreto de alto resistncia ou mrmore, k 10-12 cm/s
A determinao experimental do coeficiente de permeabilidade, k foi obtida em
1856pelo Eng. Francs Henry Darcy, por meio da seguinte experincia:
Ele observou que numa determinada amostra de solo submetida a um fluxo laminar
a vazo (Q) era proporcional ao produto da rea A da seo da amostra, medida
perpendicularmente ao fluxo, pela relao H/L, denominada gradiente hidrulico (i).
Ou seja;
Q A.(H/L)
Chamando,
= coeficiente de proporcionalidade
E, fazendo
= k = coeficiente de permeabilidade do solo
Tem-se;
-
76
Q = k. A.(H/L) Lei de Darcy para percolao laminar
Ou,
Q = k.A.i
E,
V = k.i
Figura - Imagem do permemetro de coluna varivel - Fonte: secundria
-
77
Exemplo:
Numa sondagem de solo a percusso concomitantemente foi efetuada um ensaio de
percolao para determinar o coeficiente de percolao, k do solo (utilizado tanto em
Hidrologia quanto em Mecnica dos Solos). Deve-se manter o furo do solo
permanente cheio com gua durante um intervalo de tempo. Pois, a vazo que entra
(gua adicionada pelo laboratorista) dever ser igual vazo que ir percolar no
solo. Foi iniciado aps a saturao do solo. Considere o dimetro do furo no solo
igual 6,35 cm.
De acordo com o quadro abaixo, pede-se para determinar o coeficiente de
permeabilidade k do solo.
No de
Ord. Hora Tempo (min)
Volume
(litro)
1 11h05min 0 -
2 11h06min 1 0,370
3 11h07min 1 0,370
4 11h08min 1 O,320
5 11h09min 1 0,320
6 11h10min 1 0,280
7 11h11min 1 0,290
8 11h12min 1 0,280
9 11h13min 1 0,260
10 11h14min 1 0,250
11 11h15min 1 0,290
- 10 3,030
Quadro Ensaio a percusso para percolao da gua no solo
Fonte: secundaria
Nota: Considere: y1 = 50 cm; y2 = 2,0 m e L = 3,0 m.
-
78
Figura da Sondagem percusso;
Y1
Tubo
Y2
h
Solo
L
Figura sondagem para percolao da gua
Fonte: secundaria
Soluo; Da Lei de Darcy
Q = k. A.(H/L) = (3,03.10-3 m3/10.60 seg) = k. [3,14 (6,35.10-2)2 / 4].2,5/3,0
Resposta;
k = 1,91.10-3 m/s = 1,91.10-5 cm/s
Q (vazo adicionada)
Q (vazo que sai por percolao)
-
79
TAXA DE INFILTRAO DO SOLO INFILTRMETRO, ENSAIO DE CAMPO.
Fonte: Garcez e Acosta (1988) - Hidrologia
O infiltrmetro consiste basicamente de dois cilindros concntricos e um dispositivo
de medir volumes da gua aduzida ao cilindro interno. Tubos curtos de 200 mm a
1,0 metros de dimetro cravados verticalmente no solo, de modo que fique uma
pequena parte livre (altura).
A gua infiltrada no solo dever ser reabastecida pelo laboratorista; ou seja, a
VAZO que sai dever ser igual VAZO que entra.
O estudo da infiltrao do solo de grande utilidade em Hidrologia, Mecnica dos
Solos e Meio Ambiente.
Solo
D
Figura - infiltrmetro no solo
Fonte: secundaria
Determinao da taxa de infiltrao (f);
Da equao da vazo, tem-se;
Q = A.V V = Q/A
Fazendo
V = f (taxa de infiltrao, em m/s), tem-se, portanto, a equao da taxa:
f = Q/A
Exemplo;
Q(entra)
Q(sai por infiltrao)
-
80
Quadro do volume de gua consumida
Hora Tempo (min) Volume (litros)
10h00min 0 -
10h01min 1 0.22
10h02min 1 0.22
10h03min 1 0,19
10h04min 1 0,19
10h05min 1 0,18
TOTAL 5 1,00
Quadro volume de gua consumida no solo infiltrmetro
Fonte: secundaria
Pede-se: Calcular a taxa de infiltrao (f) do solo em cm/s;
Soluo:
De,
Q = Volume/Tempo
Tem-se;
Q = 1,0 litro / 5 min = 0,200 litros/seg. = 0,2.10-3 m3/s
A = 3,14(0,2)2 / 4 = 0,0314 m2
f = Q/A = 0,2.10-3 / 0,0314 m2 = 6,36.10-3 m/s = 6,36.10-5 cm/s
-
81
VAZO DO RIO HIDROLOGIA
Fonte: Garcez e Acosta (1988) Hidrologia
L1 L2 L3 L4 L5
V20% Sendo:
Pa Pp L= largura
V80% P= profundidade
Figura Seo transversal do rio descarga.
Frmula da descarga (vazo)
iiVAQ
Teoria bsica para descarga em rio;
Frmula da descarga (vazo)
iiVAQ
2
0080
0020 VV
V
2
ppp
pa
m
LpA imi i.
Seo Trans-
versal do Rio
-
82
PROBLEMAS PROPOSTOS
EQUAO DA CONTINUIDADE SIMPLIFICADA - VAZO
Ex. (01) Quando 30 litros/seg. escoam atravs de um tubo de 200 mm de dimetro,
que depois reduzido para 100 mm, quais sero as velocidades em cada tubo?
Resp.: 0,955 m/s e 3,82 m/s respectivamente.
Ex. (02) Em um tubo de 0,150 m escoa ar sob uma presso manomtrica de 0,2
MPa e uma temperatura de 27 oC. Se a presso baromtrica for de 0,1 MPa e a
velocidade for de 3,0 m/s, quantos quilos de ar pr segundo estaro escoando?
Resp.: 0,181 kg/s.
Ex. (03) Qual o menor dimetro de um tubo necessrio para transportar 0,101 kg/s
de ar com uma velocidade mxima de 6,0 m/s? O ar est a 27 oC e sob uma presso
de 0,2 MPa absoluta.
Resp.: 0,153 m ou 153 mm.
Ex. (04) Qual a vazo em litros/s, quando um tubo enche de gua um tanque cbico
de 1,5 m de altura, em 10 minutos?
Ex. (05) Verificar se a equao da continuidade para fluido incompressvel em
escoamento permanente satisfeita quando as componentes da velocidade so
expressas pr:
u = 2x2 - xy + z2
v = x2 - 4xy + y2
w = -2xy - yz + y2
Resp.: Satisfaz.
Ex. (06) Para encher uma garrafa plstica de um litro com a gua de um bebedouro,
consumiram-se 20 segundos. Calcular a vazo desse aparelho em L/s, m3/s e ft3/s.
-
83
Resp.: 0,05L/s; 5 . 10-5 m3/s; 1,76 . 10-3 ft3/s
Ex. (07) Debaixo de um chuveiro coloca-se um balde com 6 litros de capacidade.
Aberto o registro do chuveiro, na posio normal para um banho, mede-se o tempo
de 30 segundos para se encher o balde. Obter a vazo desse chuveiro em L/s, m3/s
e ft3/s
Resp.: 0,2 L/s; 2 . 10-4m-3/s; 7,06 . 10-3ft3/s
Ex. (08) Uma tubulao conduz 2400 litros de gua por segundo. Determinar seu
dimetro para que a velocidade do lquido no ultrapasse 2m/s.
Resp.: D >= 1,236m
Ex. (09) Em um determinado projeto industrial estabelece-se que U deve ser maior
ou igual (>=) a 1,2 m/s, a fim de evitar a deposio de algumas partculas slidas em
suspenso (o que ocorreria sob velocidade muita baixas). Fixada a vazo em 0,06
m3/s, calcular o dimetro mximo da tubulao.
Resp.: D
-
84
Ex. (13) Com o raio do tubo e vazo em volume do problema anterior e com =
1000 kg/m3, e g = 9,81m/s2 calcular:
a) a vazo em peso
Resp.:QP = 2491,74 N/s
b) a vazo em massa
Resp.: QM = 254Kg/s
c) velocidade mdia do escoamento.
Resp.: V = 0,9m/s
Ex. (14) gua que escoa atravs da bifurcao mostrada na figura ao lado. Qual a
velocidade na seo 3 para escoamento unidimensional (isto , escoamento onde as
propriedades do fludo podem ser espessas em termos de uma coordenada de
espao e tempo).
Resp.: V3 = 0,93 m/s
Figura do problema
Figura do problema 12
-
85
Ex. (15) Em um edifcio de 12 pavimentos, a vazo mxima provvel devida ao uso
de diversos aparelhos, em uma coluna de distribuio de 60 mm de dimetro, de
7,5L/s. Determinar a velocidade de escoamento.
Resp.: V = 2,65m/s
Ex. (16) Um tubo de 6" transporta 2,87 ft3/s de gua. O tubo ramifica-se em 2 tubos,
um de 2" de dimetro e o outro de 4" de dimetro. Se a velocidade no tubo d 2"
40 ft/s, qual a velocidade no tubo de 4"?
Resp.: 22,9ft/s
Ex. (17) Quando 1800 l/min escoam atravs de um tubo de 200 mm de dimetro,
que mais tarde reduzido para 100 mm, quais sero as velocidades mdias nos
dois tubos?
Resp.: 12,5m/s
-
86
REFERNCIA BIBLIOGRFICA
BARBOSA, J.NOVAIS. Mecnica dos Fluidos e Hidrulica Geral. Vol. I e II. 1985.
Porto Editora Ltda. Lisboa, Portugal.
FOX, ROBERT W. E MCDONALD, ALAN T. Introduo a Mecnica dos Fluidos
Purdue University 1 998, 4a edio revista, LTC Rio de Janeiro Brasil.
GILES, R.V. Problemas de Mecnica dos Fluidos S.P. Schaum Editora Santurio.
SCHIOZER, DAYR. Mecnica dos Fluidos. 2a d.1996. Editora LTC Livros
Tcnicos e Cientficos Editora S.A. Rio de Janeiro, RJ.
SHAMES, IRVING HERMAN, Mecnica dos Fluidos. Editora Edgard Blucher, 1973.
So Paulo. Ed. Universidade de So Paulo.
VIANA, MARCOS ROCHA. Mecnica dos Fluidos para Engenheiros. 3a d. 1998
UFMG
-
87
-
88
CAPITULO IV
Medidores de Velocidade e Vazo
Sumrio
Vazo atravs dos seguintes medidores:
Orifcio
Tubo de Pitot
Vertedouro
Canal
Tubo de Venturi
Medio a Vau.
-
89
-
90
ORIFCIOS
Medidor de velocidade atravs de furo na lateral de um tanque aplica-se o teorema
de Bernoulli.
Figura Tanque com orifcio lateral
Clculo da descarga (Q) ou Vazo pelo orifcio;
Vazo terica
Q = A2.V2
Vazo real
Q = c(A2.V2)
Onde,
c = coeficiente de descarga
c = perda devido passagem pelo orifcio
Clculo da velocidade na sada do orifcio (vena contrctil)
Teorema de Torricelli:
ghV 22
-
91
Ex. 1) Um orifcio padro de 4 de dimetro descarrega gua sob uma altura de
carga de 6,0 m. Qual o fluxo em m3/s?
Soluo:
Aplicando a equao para o clculo da velocidade na sada do orifcio;
ghV 22
Teremos para a velocidade;
6.8,9.2V =
E, para a descarga;
Q = c.(A2.V2)
Onde,
0,594 para um dimetro de 4 e h = 6 m (20 ft), retirados em tabelas.
smQ /;10.05,56.81,9.2)1,0(4
1594,0 322
TUBO DE PITOT
O tubo de PITOT indica a velocidade em um ponto, em virtude do fato de que ele
mede a presso de estagnao. Em um Canal Aberto uma vez que a presso
manomtrica nula, a altura a que o lquido sobe no tubo mede a taquicarga (v2/2g)
ou presso cintica.
Figura - Tubo de Pitot
-
92
Frmula para clculo da velocidade de escoamento;
A frmula da Henri Pitot (Parisiense);
ghV 2
Onde,
h = altura na qual a gua subir atravs do tubo de PITOT ou diferena nas
alturas de presso
g = acelerao da gravidade
V = velocidade de escoamento do fludo.
Ex. 2) Um tubo de Pitot tendo um coeficiente de 0,98 usado para medir a
velocidade da gua no centro de um tubo. A presso de estagnao (na entrada do
Pitot) de 18,6 ft e a altura de carga esttica no tubo de 15,5 ft. Qual a
velocidade?
Soluo
Aplicando a frmula para o clculo da velocidade de escoamento pelo tubo de Pitot;
)5,156,18(81,9.298,02 ghCV
Resposta
V = 13,8 ft/s
-
93
VERTEDOURO
Os vertedouros medem o fluxo de lquidos em canais abertos, usualmente gua.
Tipos conhecidos de vertedouros:
Triangular issceles (90o) (Thomson)
Retangular: Livre e Contrado (Francis)
Trapezoidal (Cipolleti)
Triangular issceles
A descarga (Q) dada pela frmula de Thomson, desenvolvida pelo Teorema de
Bernoulli, em escala mtrica, ser;
HCQ2/5
..5,2
com c variando de:
C = 0,6 para H 30 cm e C = 0,65 para H 30 cm
E,
Fazendo, 0,56 x 2,5 = 1,4
equao da vazo;
HQ2/5
4,1
Figura Vertedouro triangular
-
94
Retangular Livre
Clculo da descarga (Q) pela Frmula de Francis em escala mtrica.
Q = m.b.H3/2
Onde,
m= 2/3.c.(2g)
Q = 1,92.b.H3/2 para c = 0,65
Figura Vertedouro retangular livre
-
95
CANAL
Introduo
Canal aberto um conduto no qual o lquido escoa com uma superfcie livre sujeita
presso atmosfrica. O escoamento causado pela inclinao do canal e da
superfcie livre do lquido.
O escoamento Permanente e Uniforme refere-se condio na qual a profundidade,
declividade, velocidade e seo transversal permanecem constantes para um dado
comprimento de canal (Escoamento normal).
Figura - canal retangular
Equao para o nmero de Reynolds
O nmero de Reynolds (
VLRE ) recebe pequenas modificaes,
RVRE
4
Onde:
R= Raio Hidrulico,
V= Velocidade,
= viscosidade cinemtica.
Frmula de Chzy para velocidade considerando o escoamento permanente e
uniforme;
RSCV
-
96
Onde,
V = velocidade
R = raio hidrulico
S = declividade do canal
C = coeficiente do canal
f = coeficiente de atrito
f
gC
8
Para escoamento laminar,
REf
64
Frmula de Manning para descarga
Frmula de Manning nas unidades mtricas, para clculo da Descarga (Q) ,
SRAn
Q2/13/21
em unidades mtricas
ou, para a velocidade mdia; Q/A =
Vm = (1/n). R2/3.S1/2
E, a descarga em unidades inglesas;
SRn
AQ2/13/2486,1
Onde,
n = fator de rugosidade
S = inclinao
R =A/P = raio hidrulico
P = Permetro molhado
A = rea da Seo transversal
-
97
q = vazo unitria
b = largura do canal
Valores (n) da frmula de Manning
No Natureza das paredes n
1 Vidro liso 0,010
1 Reboco de cimento liso e guas no
completamente limpas. 0,013
2 De terra sem vegetao. 0,016
3 Cimento rugoso, musgo nas paredes e traado
tortuoso. 0,018
4 De terra, com vegetao rasteira no fundo e nos
taludes. 0,025
5 Rios naturais, cobertos de cascalhos e vegetao. 0,035
Tabela Valores de (n) na formula de Manning
Fonte: Manual de Hidrulica - Azevedo Neto Vol. II. 6a ed.
Exemplo
Ex. 04) Em um laboratrio hidrulico, um fluxo de 0,41 m3/s foi verificado em um
canal retangular de 1,2 m de largura com 0,6 m de profundidade de escoamento. Se
o declive do canal era de 0,000 4 m/m, qual o fator de rugosidade para o
revestimento do canal ?
Dados do problema:
Q = 0,41 m3/s (descarga ou vazo)
L = 1,20 m (Largura do canal)
H = 0,60 m (profundidade)
S = 0,000 4 (declividade do canal)
-
98
Pede-se:
n = rugosidade da parede interna do canal devida ao seu material de
acabamento
Soluo:
Aplicando a frmula de Manning para o clculo da descarga (Q), teremos;
em unidades mtricas:
21
32
2/13/20004,0
60,0.220,1
60,0.20,160,0.20,1
141,0
1
n
An
Q SR
Resposta; n = 0,0157
-
99
TUBO DE VENTURI
Aparelho medidor de velocidade de escoamentos de fluidos, utilizando um tubo
manomtrico em forma de U.
Figura Tubo de Venturi.
Clculo da descarga (Q) Vazo no estrangulamento;
Vazo terica
Q = A2.V2
Vazo real
Q = c.(A2.V2)
c = coeficiente c do venturi
0,96 c 0,98
Clculo da descarga (Q) Vazo no estrangulamento;
4
1
2
2
1
21
DD
dRV
ghHg
-
100
Ex. 05) Quando o fluxo de gua atravs de um medidor Venturi horizontal de 12x 6
(c =0,95) de 3,93 ft3/s, qual ser a deflexo do mercrio no manmetro diferencial
fixado ao medidor?
Dados do problema:
Dimetros: 12 e 6
c = 0,95 , Q = 3,93 ft3/s
Pede-se:
hm = altura manomtrica
Soluo;
Clculo da velocidade de escoamento pela equao da vazo ou equao da
continuidade:
Q = c.A.V = 0,95.[(1/4).3,14(6/12)2.VB
VB = 21,08 ft/s
Substituindo a velocidade na frmula do Venturi,
44
1
2
2
1212
126
1
81,9.2.16,1308,21
1
21 hgh
DD
dRV
Hg = 0,513 ft
Da,
Resposta; h = 0,513 ft ou 6,16 in
-
101
IMAGENS DE ALGUNS MEDIDORES
Figura Imagem do Tubo de Venturi e do manmetro diferencial de mercrio
Fonte: secundaria
Figura - Imagem do crrego do Sarandi em frente toca da raposa B. H. / MG
Fonte: secundaria
-
102
CAPTULO V
TEOREMA DE BERNOULLI E SUAS APLICAES
PARTE I
Teorema de Bernoulli
Potncia de Bomba de Recalque
PARTE II
Perda de Carga e Nmero de Reynolds
-
103
-
104
PARTE I
Teorema de Bernoulli
Potncia de Bomba de Recalque
-
105
-
106
INTRODUO
Para um estudo completo do escoamento dos fluidos, muitas vezes necessrio
recorrer condio de equilbrio ou segunda Lei de Newton, que origina o Princpio
da Energia e o Princpio da Quantidade de movimento linear.
Principio do Equilbrio, originando:
O da Conservao da Energia Originando a Equao de Euler e o
Teorema de Bernoulli, que sero estudados neste captulo.
O da Conservao da Quantidade de Movimento Linear, que ser assunto do
prximo captulo, em Aerodinmica e Hidrodinmica.
PRINCPIO DO EQUILBRIO
Para a Equao de Euler e o Teorema de Bernoulli
Equao do equilbrio ou segunda lei de Newton.
F = m.a
fazendo,
f = F /vol. = fora por unidade de volume, tem-se;
f.vol = m.a
Lembrando que,
= m/vol
f.vol = (.vol).a
A equao ficar,
f = .a
Substituindo a acelerao a pela acelerao substantiva ou total. Funo
composta, pois; v = f(x,y,z,t).
a = Dv/Dt
Tem-se a Lei de Newton;
Dt
Dvf
-
107
Na qual, o termo f correspondem aos esforos externos devido presso,
gravidade e atrito viscoso atuantes no volume de controle, no caso, um cubo
elementar e inserido na equao anterior, esta se apresentar na forma da equao
do item seguinte.
EQUAO DE NAVIER-STOKES
Dt
DVVgp
2.
EQUAO DE EULER PARA FLUDO IDEAL OU SEM ATRITO VISCOSO
Onde,
02
V
A equao ficar;
Dt
DVgp .
EQUAO DE EULER PARA FLUDO IDEAL E PERMANENTE
UNIDIMENSIONAL EM Z
Onde,
V/t = 0 permanente; V/y = 0 e V/x = 0 No espao unidimensional
A equao ficar;
0 dzg
VdV
g
dp
-
108
EQUAO DE EULER PARA GASES
Para Fludo Compressvel e Isotrmico
Para atender alguns Fenmenos nos quais o Fludo varia sua densidade
Isotermicamente, a Equao de Euler dever ser particularizada, ou seja,
T = Temperatura constante
= (1/p1). p Equao Geral dos Gases p/condio Isotrmica.
Chamando,
1/p1 = C (constante)
Substituindo na Equao de Euler,
teremos:
(dp/p).(1/C) + (vdv)/g + dz = 0
Resolvendo a equao acima desde uma seo 1 at uma seo transversal tpica
2, de um volume de controle;
Teremos:
zVp
pz
Vpp
gg 2
2
2
21
1
1
2
1
11
1
2ln