Download - Mecânica dos Fluidos II
Prof. Leandro Gonçalves Dias
Depto. Ciências Térmicas e dos Fluidos –DCTEF
Mecânica dos Fluidos II
1
Programa
1 – Semelhança, análise dimensional e modelos físicos
2 – Escoamento sem atrito, perdas de carga, medidores, transição e turbulência
3 – Redes de tubulações
4 – Escoamentos externos
5 – Escoamentos compressíveis 2
Ementa
Semelhança, análise dimensional e modelos físicos
Equação de Bernoulli
Medidas de pressão e vazão
Cálculo de perdas de carga
Análise de redes de tubulações
3
Ementa
Arrasto e sustentação em corpos imersos
Transição e turbulência
Introdução ao escoamento compressível
Experimentos e demonstrações em laboratório
4
Objetivo
1 – Gerais Aprofundar os conhecimentos adquiridos pelo estudante na unidade curricular Mecânica dos Fluidos I, com vistas à aplicação em processos industriais.
5
Objetivo
2 – Específicos Conhecer e saber aplicar as ferramentas da análise dimensional Utilizar a eq. de Bernoulli para cálculos em escoamentos sem atrito Calcular perdas de carga em sistemas simples de tubulações Calcular arrasto e sustentação em escoamentos externos Conhecer e saber calcular os principais parâmetros 6
Avaliação
Listas de exercícios para as provas
Serão aplicados 3 verificações
Verificação substitutiva (matéria toda)
Controle de freqüência
Lista de exercício + verificações
7
Bibliografia
White, F. M., Mecânica dos Fluidos, McGraw Hill, 4ª edição, 2002, 570 pp., ISBN: 858680424X.
Fox, R.W.e McDonald, A.T., Introdução à Mecânica dos Fluidos, LTC, 6ª ed., 504 pp.
PotterM. C. e WiggertD.C., Mecânica dos Fluidos, Ed. Thomson, São Paulo, Trad. 3ª ed. original, 2004, 688 pp.
B. R. Munson, D. F. Young, T. H. Okiishi, Fundamentos da Mecânica dos Fluidos, Edgard Blucher, 4ª ed., 2004, 584 pp.
8
9
Revisão
Mecânica dos Fluidos
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Fluido – tende a escoar
Sólido – deformar ou dobra
Um fluido é uma substância que se deforma continuamente sob a aplicação de uma tensão de cisalhamento (tangencial).
Fases líquidas e gasosa (ou de vapor)
Analisar qualquer sistema no qual um fluido é o meio operante.
Mecânica dos Fluidos
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Mecânica dos Fluidos
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A Mecânica dos Fluidos é o ramo da mecânica
que estuda o comportamento físico dos fluidos
e suas propriedades, ou seja, é a ciência que
estuda forças e movimento em fluidos.
Objetivo:
V (x,y,z,t)
F (x,y,z,t)
Mecânica dos Fluidos
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Mecânica dos Fluidos: Conhecimento
Estudos de modelos e projetos de todos os tipos:
1 - Aerodinâmica (edifícios, arranha-céus,estádios,
chaminés e shoppings);
2 – Bombas, sopradores;
3–Sistema de aquecimento e ventilação de
residências e edifícios comerciais
4 - Geração de energia elétrica
Mecânica dos Fluidos
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Mecânica dos Fluidos: Conhecimento
Estudos de modelos e projetos de todos os tipos:
5 – Redes de tubulações
6 – Fundição
7 - Ciências atmosféricas e oceânicas
8 - Máquinas térmicas e hidráulicas
Mecânica dos Fluidos
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Mecânica dos Fluidos: Conhecimento
Estudos de modelos e projetos de todos os tipos:
9 - Aquecimento e refrigeração
10 - Indústria do petróleo
11 – Lubrificação
12 – Instrumentação
13 - Bio-MFL
Mecânica dos Fluidos
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Equações básicas:
1. Conservação da massa.
2. Segunda lei do movimento de Newton.
3. Princípio da quantidade de movimento angular.
4. Primeira lei da termodinâmica.
5. Segunda lei da termodinâmica.
Mecânica dos Fluidos
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Método de Análise:
1. Definir o sistema que você está analisando
a) Sistema ou volume de controle
Sistema Aberto ou fechado (quantidade de massa )
Obter expressões matemática para cada uma das
leis
Mecânica dos Fluidos
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Sistema Aberto ou fechado (quantidade de
massa )
•Aberto existem trocas, quer de energia (calor),
quer de matéria com a vizinhança (fluxo de massa).
•Fechado é um sistema encerrado por uma
fronteira que permite trocas de energia , mas não de
matéria , entre o sistema e sua vizinhança (massa
fixa)
Mecânica dos Fluidos
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Fluido como Contínuo: a água e o ar
Meio contínuo (não podemos estar seguros da natureza molecular dos fluido, a menos que tenha equipamento especializado para identificá-las) A estrutura molecular é tal que a massa não está distribuída de forma contínua no espaço, mas está concentrada em moléculas (regiões relativamente grande). Contínuo – as propriedades variam muito pouco de ponto a ponto (base da mecânica dos fluídos clássica)
Mecânica dos Fluidos
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Fluido como Contínuo: a água e o ar
Hipótese do contínuo, cada propriedade do fluido é
considerada como tendo um valor definido em cada
ponto no espaço.
Massa específica (ρ), temperatura e velocidade, são
consideradas funções contínuas da posição e do
tempo.
Determinar a massa específica no ponto C, cujas
coordenadas são x0, y0 e z0
Mecânica dos Fluidos
21
Mecânica dos Fluidos
22
Campo de velocidade (descrição):
Velocidade no ponto C
V (x,y,z,t)
Pode ser escrito na forma escalar (função de x,y, z
e t).
23
Mecânica dos Fluidos
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Forças e Tensões:
Forças de corpo: agem sobre a totalidade do
meio, sem necessidade de contato
Forças de superfície : agem sobre a superfície
do meio, devido ao contato deste com outro
Mecânica dos Fluidos
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• Uma força qualquer pode ser dividida em seus
componentes normal e tangencial .
• Define-se:
(tensão de cisalhamento)
Mecânica dos Fluidos
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Campos
•Campo é uma distribuição contínua no espaço-tempo
de uma determinada propriedade
•Campos escalares: temperatura, pressão, massa
específica (e derivados), concentração, etc.
•Campos vetoriais: velocidade, aceleração, força,
quantidade de movimento (linear e angular), etc.
•Campos tensoriais: tensão, deformação, etc.
•Perfis são fatias 1D dos campos
Mecânica dos Fluidos
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Viscosidade
É a propriedade dos fluidos correspondente ao
transporte microscópico de quantidade de
movimento por difusão molecular . Ou seja,
quanto maior a viscosidade, menor será a
velocidade em que o fluido se movimenta.
É a propriedade física que caracteriza a
resistência de um fluido ao escoamento, a uma
dada temperatura.
Mecânica dos Fluidos
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Viscosidade
Mecânica dos Fluidos
29
Viscosidade
Mecânica dos Fluidos
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Viscosidade
Mecânica dos Fluidos
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Fluidos Newtonianos
Fluidos Não Newtonianos
Tensão Superficial
Interface é a região que separa dois líquidos
imiscíveis ou um líquido de um gás;
Capilaridade
Vaporização e Evaporação
Escoamento externo e interno
Escoamento Permanente e Transiente
Mecânica dos Fluidos
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Mecânica dos Fluidos
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Camada Limite Dinâmica e Térmica
- Sendo a primeira a região do escoamento em que os
efeitos do atrito (ou viscosos) não podem ser
desprezados
Regime Turbulento e Laminar
-No regime laminar, a estrutura do escoamento é
caracterizada pelo suave movimento do fluido
-No regime turbulento, caracteriza-se pelo escoamento
no qual os fluidos em movimentos caóticos superpõem-
se ao movimento médio
Mecânica dos Fluidos
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Compressibilidade e Incompressibilidade
Atmosfera Padrão
Cone de Mach
Mecânica dos Fluidos
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Centróide de área
Mecânica dos Fluidos
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Momento de Inércia
Mecânica dos Fluidos
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Mecânica dos Fluidos
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Estabilidade
Mecânica dos Fluidos
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Teorema de Transporte de Reynolds
Lei da Conservação da Massa para um Volume de
Controle fixo
- Conservação de Massa
- Primeira e Segunda lei da Termodinâmica
Lei da Variação da Quantidade de Movimento
Para um VC
Análise dimensional, modelos
físicos e semelhança
40
Visão geral Entender os métodos experimentais em MFL
Aplicar o teorema dos Pi
Conhecer os principais grupos adimensionais em
FTR
Estudas os modelos físicos e as condições de
semelhança
41
Métodos experimentais em
MFL
42
Motivação Métodos analíticos (integral e diferencial)
resolvem problemas simples em MFL
Problemas mais complexos obrigam o pesquisador a recorrer aos dados de experimento ou de campo
Mas, experimentos são caros e difíceis de se controlar
Os dados são de difícil manuseio e análise devido ao grande número de variáveis envolvidas:
43
O que é um túnel de vento?
Para que serve o túnel de vento?
Em que lugar é usado o túnel do vento?
44
Túneis de Vento É uma instalação que tem por objetivo simular
para estudos o efeito do movimento de ar sobre
ou ao redor de objetos sólidos.
Túneis de vento são muito utilizados em
laboratórios de modelos físicos para a
determinação de parâmetros nos projetos de
aviões, automóveis, cápsulas espaciais, edifícios,
pontes, antenas e outras estruturas de
construções civis.
45
Túneis de Vento A construção de modelos físicos, em escalas reduzidas,
embora tentada anteriormente por Arquimedes,
Leonardo Da Vinci e outros estudiosos só foi possível
após a descoberta da Teoria da Semelhança Mecânica
por Isaac Newton e do Teorema de Bridgman.
Nos modelos aerodinâmicos a semelhança mecânica
aplicada é a de Mach, nos modelos hidrodinâmicos de
escoamentos em condutos forçados utiliza-se a
chamada Semelhança de Reynolds e nos condutos
livres ( canais, usinas hidrelétricas, vertedores) utiliza-se
a chamada Semelhança Mecânica de Froude.
46
Túneis de Vento
47
Túneis de Vento
48
Construção de experimentos
49
Construção de experimentos
Nasa
Purdue
University
50
Construção de experimentos
Testes de
Modelo de rio
51
52
Análise Dimensional e
Semelhança
Análise Dimensional e
Semelhança
53
A maioria dos fenômenos em mecânica dos
fluidos apresentam dependência complexa de
parâmetros geométricos e do escoamento
Análise Dimensional e
Semelhança
54
Técnica para se ganhar compreensão sobre o escoamento de fluidos (fenômenos científicos e de engenharia). Antes de se fazer uma análise teórica ou experimental mais extensa, esta técnica nos capacita também a extrair tendências de dados
Desorganizados e incoerente
Análise dimensional
Mecânica do Fluidos
depende muito dos resultados experimentais, porque
são poucos os escoamentos reais que podem ser
resolvidos apenas pelos métodos analíticos.
A resolução de problemas práticos envolve a
combinação da análise com as informações
experimentais.
A análise dimensional constitui ferramenta importante.
auxilia a atingir essa meta
Depende dos parâmetros geométricos e dos de
escoamento
55
Análise dimensional
Que experimentos devem ser conduzidos para
determinar a força de arrasto sobre a esfera?
56
Manipulação de dados
Variáveis como ρ e μ não
variam contínua ou
independentemente e são
difíceis de ser variadas no
experimento
d – diâmetro
V – velocidade
ρ – densidade do
fluido
μ – viscosidade
do fluido
57
Manipulação de dados
58
A força de arrasto depende do tamanho da
esfera (D), da velocidade do fluido, V, da
viscosidade, μ.
Massa específica do fluido,ρ.
Análise dimensional
AD é um método matemático que permite reduzir o
número de variáveis envolvidas em um fenômeno
físico
Se o fenômeno depende de n variáveis
dimensionais, a AD reduzirá este número a k
variáveis adimensionais (com n > k, obviamente)
59
Vantagens
Execução dos experimentos mais rápida e mais
barata. Em certos casos, experimentos factíveis!
Serve de guia na busca de soluções analíticas e na
apresentação de resultados de simulação
Permite obter resultados testando modelos em
escala (reduzida ou ampliada)
Pode ser aplicada a todos os ramos da física
60
(Vaschy-Riabouchinsky-
Buckingham)
Teorema dos Pi
61
Lei da homogeneidade dimensional
Toda equação capaz de representar uma lei física
deve possuir termos aditivos com as mesmas
dimensões .
Se isso não ocorrer, a fórmula dependerá das
unidades escolhidas
62
63
Teorema do Pi
O 1º passo é listar todos os parâmetros que afetam o
dado fenômeno de escoamento.
Se achar que um fenômeno depende de um dado
parâmetro, inclua-o na listagem.
Seis passos que delineiam um procedimento um
procedimento recomendado para determinar os
parâmetros Pi
64
Teorema do Pi
Se um processo físico satisfaz a LHD e envolve
variáveis dimensionais, então ele pode ser reduzido a
uma relação entre variáveis adimensionais, ou grupo π.
Listar todas as grandezas envolvidas
Escolher o conjunto de grandezas fundamentais
(básicas), por exemplo MLT
Expressar todas as grandezas em termos das
grandezas básicas
65
Teorema do Pi
Selecionar, da listagem, as grandezas repetitivas em
número igual ao das grandezas básicas.
Estabelecer as equações dimensionais combinando
as grandezas selecionadas no passo anterior em cada
uma das grandezas em jogo para formar grupos
adimensionais. (n – m).
Verifique se cada grupo obtido é adimensional
66
Exercício
A força de arrasto, F, sobre uma esfera lisa depende
da velocidade relativa, V, do diâmetro da esfera, D, da
massa específica do fluido, ρ, e da viscosidade do
fluido, μ. Obtenha um conjunto de grupos
adimensionais que possam ser usados para
correlacionar dados experimentais.
67
Exercício da esfera lisa
Colocação do problema
Fd = f (d,V,ρ, μ); n = 5
Dimensões das grandezas envolvidas:
Fd – MLT-2; d – L; V – LT-1; ρ – ML-3; μ – ML-1T-1
Redução do número de variáveis (k = n - m)
m = 3 (L, M, T)
Escolha das variáveis repetitivas:
d, V, ρ 68
Exercício da esfera lisa
n – m = 2, resultarão em dois grupos
adimensionais.
Estabelecendo as equações
Π1 = ρa Vb Dc Fd =
Π1=(ML-3 )a(LT-1)b(L)c(MLT-2) = M0L0T0
Equacionando M, L e T vem:
M: a + 1 =0 a = -1
L: -3 a + b + c +1 c = -2 Assim
T: -b – 2 = 0 b= -2
69
Exercício da esfera lisa
70
71
Revisão
Revisão
Análise dimensional
método para reduzir o número e a
complexidade das variáveis experimentais que afetam
um dado fenômeno físico, pela aplicação de um tipo de
técnica de compactação.
Fenômeno depende de n variáveis dimmensionais, a
análise dimensional reduzirá o problema a apenas k
variáveis adimensionais.
n - k = 1, 2, 3 ou 4
Dependendo da complexidade do problema.
72
Revisão
n – k
é igual ao número de dimensões diferentes que
regem o problema.
Na mecânica dos fluidos, as quatro dimensões básicas
são consideradas como:
M massa MLTθ
L Comprimento
T tempo
Θ temperatura FLTθ
73
Revisão
Se soubéssemos que a força F sobre um corpo particular imerso em uma corrente de fluido dependesse apenas do comprimento L do corpo, da velocidade V da corrente, da massa específica ρ do fluido, e da viscosidade μ do fluido.
F = f (L,V,ρ,μ)
Temos que encontrar uma função f (L,V,ρ,μ) experimental ou numérica.
Admite-se que são necessários aproximadamente 10 pontos para definir uma curva. Para encontrarmos o efeito do comprimento do corpo, temos de executar o experimento para 10 comprimentos L.
74
Revisão
Para cada L temos 10 valore de V, 10 valores de ρ e da
valores de μ, resultando num total de 10.000
experimento. Se cada experimento for 100 dólares.
Coeficiente de força adimensional é uma função do
número de Reynolds. 75
Re
22
gC
ou
VLg
LV
F
f
Revisão
A análise dimensional ajuda no raciocínio e
planejamento para um experimento ou uma teoria.
Sugere maneiras adimensionais de escrever as
equações antes de gastar dinheiro em análise numéricas
para encontrar soluções, sugerindo variáveis que podem
ser descartadas.
76
Revisão
Exemplo: O copépode é um crustáceo aquático com
aproximadamente 1 mm de diâmetro. Queremos saber
qual é a força de arrasto sobre o copépode quando ele
se move lentamente em água doce. Um modelo em
escala 100 vezes maior é construído e testado em
glicerina com V = 30 cm/s. O arrasto medido sobre o
modelo é de 1,3 N. Para condições de semelhança,
quais são a velocidade e o arrasto sobre o copépode real
na água? Temperatura de 20 oC.
Dados:
Água (protótipo): μp = 0,001 kg/m.s ρp = 998 kg/m3
Glicerina(protótipo): μp = 0,001 kg/m.s ρp = 998 kg/m3
77
Revisão
Hipótese:A equação vista anteriormente é apropriada e
estabelece semelhança, isto é, o modelo e o protótipo
têm o mesmo número de Reynolds e, portanto, o mesmo
coeficiente de força.
Abordagem: as escalas de comprimento são Lm = 100
mm e Lp = 1mm. Calcule o número de Reynolds e o
coeficiente de força do modelo e iguale-os aos valores do
protótipo.
78 p
ppp
m
mmm
pm
LVLV
ReRe
Revisão
79
001,0
998,026,25
001,0
)001,0()998(
5,1
)1,0)(3,0)(263.1(
p
p
V
V
scmsmVp /53,2/0253,0
Revisão
De maneira semelhante, usando a velocidade do
protótipo que acabamos de determinar, iguala-se os
coeficientes de força
80
2222
ppp
p
mmm
m
Fpfm
LV
F
LV
F
CC
Revisão
81
2222 )001,0()0253,0)(998()1,0()3,0)(263.1(
3,1 pF
NFp
7103,7
Revisão
82
Método para reduzir um conjunto de variáveis
dimensionais a um conjunto menor de grupos
adimensionais.
Teorema Pi Buckingham foi o primeiro método;
Pi para representar um produto de variáveis.
São produtos de potências representados por π1, π2 ,
π3, etc.
Revisão
83
Método permite que os grupos de pi sejam
determinados em ordem seqüencial sem recorrer a
expoentes livres.
Primeira Parte:
Envolve n variáveis dimensionais, ele pode ser
reduzido a uma relação entre apenas k variáveis
adimensionais ou π. A redução j = n – k é igual ao
número máximo de variáveis que não formem um pi
entre elas e é sempre menor ou igual ao número de
dimensões que descrevem as variáveis.
Revisão
84
Fd = f (L,V,ρ,μ) descritas por três dimensões {MLT}.
Assim, n = 5 e j = 3 . Portanto podemos reduzir o problema a k grupos de pi. Obtivemos duas variáveis adimensionais π1= Cf e π2 = Re
Segunda Parte:
Encontre a redução j, depois selecione j variáveis de escala que não formem um pi entre elas mesmas. Cada grupo pi desejado será um produto de potência dessas j variáveis mais uma variável adicional, à qual é atribuído qualquer expoente conveniente diferente de zero. Cada grupo pi assim encontrado é independente.
Revisão
85
v1 = f (v2, v3, v4, v5)
Três dimensões {MLT} j = 3
K = 5 – 3 = 2 Dois grupos
Escolhas três variáveis convenientes que não formem
um pi e que sejam v2, v3, v4. Então os dois grupos pi são
formados por produtos de potências dessas três
variáveis mais uma variável adicional, v1 ou v5 .
Revisão
86
π1= v2a v3
b v4c v1 = M0L0T0
π2= v2a v3
b v4c v5 = M0L0T0
Foi escolhido arbitrariamente os expoentes das variáveis
adicionais v1 e v5 como unitários. Igualando os expoentes
das várias dimensões, o teorema garante valores únicos
de a, b e c para cada pi. E eles são independentes, pois
apenas π1 contém v1 e apenas π2 contém v2
Revisão
1.Liste todas as variáveis envolvidas Se houver falta, a análise dimensional falhará Se houver sobra, o experimento ficará mais caro 2.Obtenha as dimensões de cada variável da lista anterior 3.Suponha k = n –m inicialmente 4.Selecione m variáveis repetitivas Elas aparecerão em todos os grupos Não inclua as variáveis dependentes 87
Revisão
5.Adicione uma das variáveis restantes à lista de
repetitivas e forme um grupo Pi. Calcule os expoentes
por linha-redução da matriz dos coeficientes. Repita até
exaurir as variáveis
6.Escreva a função final adimensional verifique os termos
para ter certeza de que todos os grupos são realmente
adimensionais
88
89
Exercício
A força de arrasto, F, sobre uma esfera lisa depende
da velocidade relativa, V, do diâmetro da esfera, D, da
massa específica do fluido, ρ, e da viscosidade do
fluido, μ. Obtenha um conjunto de grupos
adimensionais que possam ser usados para
correlacionar dados experimentais.
90
Exercício da esfera lisa
Colocação do problema
Fd = f (d,V,ρ, μ); n = 5
Dimensões das grandezas envolvidas:
Fd – MLT-2; d – L; V – LT-1; ρ – ML-3; μ – ML-1T-1
Encontre j. Nenhuma variável contém a dimensão
θ , e portanto j é menor ou igual a 3 (MLT).
Verificamos a lista e vemos que D, V e ρ não
podem formar um grupo pi, pois apenas ρ contém
massa e apenas V contém o tempo. 91
Exercício da esfera lisa
Portanto j é igual a 3, e n – j = 5 – 3 = 2 = k. O
teorema de pi garante, para este problema, que
haverá exatamente dois grupos adimensionais
independentes.
Selecione j variáveis repetitivas. O grupo L, V, ρ
irá funcionar bem
Combine L,V,ρ com uma variável adicional, em
seqüência, para encontrar os dois produtos de pi.
92
Exercício da esfera lisa
Primeiro adicione a força para encontrar π1. Você
pode selecionar qualquer expoente que lhe satisfaça
para esse tempo adicional, a fim de colocá-lo no
numerador ou denominador, com qualquer potência;
Como F é a variável de saída, ou dependente, nós a
selecionamos para aparecer elevada à primeira
potência no numerador.
93
Exercício da esfera lisa
n – m = 2, resultarão em dois grupos
adimensionais.
Estabelecendo as equações
Π1 = ρa Vb Dc Fd =
Π1=(ML-3 )a(LT-1)b(L)c(MLT-2) = M0L0T0
Equacionando M, L e T vem:
M: a + 1 =0 a = -1
L: -3 a + b + c +1 c = -2 Assim
T: -b – 2 = 0 b= -2
94
Exercício da esfera lisa
n – m = 2, resultarão em dois grupos
adimensionais.
Estabelecendo as equações
Π2 = ρd Ve Df μ =
Π2=(ML-3 )a(LT-1)b(L)c(ML-1T-1) = M0L0T0
Equacionando M, L e T vem:
M: d + 1 =0 d = -1
L: - e - 1 e = -1 Assim π2 = μ/ρvL
T: -3d + e + f - 1 = 0 f= -1
95
Exercício da esfera lisa
96
O teorema garante que a relação funcional deve ter a
seguinte forma equivalente
Exercício de bomba centrífuga
A potência P fornecida a uma bomba centrífuga é uma
função da vazão volumétrica Q, do diâmetro do rotor,
da velocidade de rotação Ω, da massa específica ρ e
da viscosidade μ do fluido:
Sugestão: Use Ω, ρ e D como variáveis repetitivas.
97
98
Exercício de bomba centrífuga
Colocação do problema
Fd = f (Q,D,Ω,ρ, μ); n = 6
Dimensões das grandezas envolvidas:
P – FLT-1; Q – L3T-1 ;d – L; Ω – T-1 ; ρ – ML-3; μ – ML-1T-1
Encontre j. O número de dimensões nesse exercício
é de j = 3 (FLT).
Verifique se essas três variáveis não formam um
grupo pi:
99
Exercício e bomba centrífuga
Somente se a =0, b = 0 e c=0
Combine (Ω, ρ e D) com a Potência para encontrar
o primeiro grupo de pi.
100
000421 )()()( TLFLLFTTD cbacba
0001421
1 )()()()( TLFFLTLLFTTPD cbacba
Exercício de bomba centrífuga
F: b + 1 =0 b = -1
L: -4b + c +1 = 0 c = -5 Assim
T: - a + 2b – 1 = 0 a = - 3
101
0001421
1 )()()()( TLFFLTLLFTTPD cbacba
CpD
PPD
53
513
1
Exercício de bomba centrífuga
Combine agora com Q
Fazendo o mesmo cálculo anterior encontramos o
seguinte: a = -1, b = 0 e c = -3
102
00013421
2 )()()()( TLFTLLLFTTQD cbacba
QCD
QQD
3
301
2
Exercício de bomba centrífuga
Combine com a viscosidade μ para encontrar o
terceiro grupo pi
Fazendo o mesmo cálculo anterior encontramos o
seguinte: a = -1, b = -1 e c = -2
103
0002421
2 )()()()( TLFFTLLLFTTD cbacba
23D
Exercício de bomba centrífuga
A relação original entre as seis variáveis agora é
reduzida a três grupos adimensionais
104
2353,
DD
Qf
D
P
Exercício em baixas velocidades
Em baixas velocidades (escoamento laminar), a
vazão volumétrica Q através de um tubo de
pequeno diâmetro é uma função apenas do raio R
do tubo, da viscosidade μ do fluido e da queda de
pressão por unidade de comprimento de tubo
dp/dx. Usando o teorema de pi, encontre uma
relação adimensional apropriada.
105
106
Exercício em baixas velocidades
Solução:
Q = f (R, μ, dx/dt)
n = 4 variáveis
Lista das dimensões dessas variáveis, usando o
sistema {MLT}
Q –L3T-1; R – L; μ – ML-1T-1 ; dp/dx – ML-2T-2
107
Exercício em baixas velocidades
Há três dimensões primárias (M,L,T), logo j = 3
n – j = 4 – 3 = 1.
Há apenas um grupo pi, que encontramos
combinando Q em um produto de potência com das
outras três:
108
Qdx
dpR
c
ba
1
Exercício em baixas velocidades
Equacionando os expoentes
Massa : b + c = 0 a = -4
Comprimento : a – b – 2c + 3 = 0 b = 1
Tempo: - b – 2c – 1 = 0 c = -1
109
000131211 )()()()( TLMTLTMLTMLL cba
Exercício em baixas velocidades
110
Qdx
dpR
1
14
1
constdxdpR
Q
)/(41
Exercício da perda de carga
A queda de pressão Δp para escoamento
permanente, incompressível e viscoso, através de
um tubo retilíneo horizontal depende do comprimento
do tubo, l, da velocidade média, V, da viscosidade do
fluido, μ, do diâmetro do tubo, D, da massa
específica do fluido, ρ, e da altura média da
“rugosidade” e. Determine um conjunto de grupos
adimensionais que possa ser usado para
correlacionar dados.
111
112
Exercício da perda de carga
Dados : Δp = f (ρ, V, D, l, μ, e)
Escoamento em conduto de seção circular.
Determinar : o apropriado conjunto de grupos
adimensionais
113
Exercício da perda de carga
Resolução:
Δp, ρ, V (velocidade média), D, l, μ, e n= 7
grandezas
Δp = ML-1T-2; ρ = ML-3; V= LT-1; D = L; l = L; e =L; μ =
ML-1T-1 r = 3 grandezas básicas
ρ, V (velocidade média), D m = r = 3 grandezas
repetitivas
114
Exercício da perda de carga
Resolução:
Com n – m = 4 teremos quatro grupos adimensionais
Π1 = ρaVbDcΔp = (ML-3)a(LT-1)b(L)c(ML-1T-2) = M0L0T0
M: 0 = a + 1 a = - 1
L: 0 = -3 a + b + c -1 b = - 2
T: 0 = -b – 2 c = 0
115
Exercício da perda de carga
Resolução:
Π2 = ρdVeDfμ = (ML-3)d(LT-1)e(L)f(ML-1T-1) = M0L0T0
M: 0 = d + 1 d = - 1
L: 0 = -3d + e + f -1 e = - 1
T: 0 = -b – 1 f = -1
116
Exercício da perda de carga
Resolução:
117
Exercício da perda de carga
118
Se só houver um grupo adimensional
Demonstração:
Seja π2 um grupo que não pertence ao problema.
Então π1 = f(π2)
Mas como π2 não pertence ao problema, f(π2 ) cte.
π1 é cte
119
Informações externas
É possível particularizar a relação funcional obtida pela AD, desde que se possua informações externas
Exemplo: viga em balanço com carga na ponta
Sabe-se que δ α P e que δ α I-1
Observando-se que δ , P e I aparecem isoladamente nos grupos, segue-se que
120
Grupos adimensionais mais
conhecidos
121
Grupos adimensionais mais
conhecidos
122
Grupos adimensionais mais
conhecidos
123
Grupos adimensionais mais
conhecidos
124
Grupos adimensionais
125
Abbe number: Dispersion in optical materials
Archimedes number: Motion of fluids due to density differences
Biot number: Surface vs volume conductivityof solids
Bodenstein number : residence-time distribution
Capillary number: fluid flow influenced by surface tension
Damköhler numbers: reaction time scales vs transport phenomena
Deborah number: Rheology of viscoelastic fluids
Drag coefficient: Flow resistance
Eckert number : Convective heat transfer
Grupos adimensionais
126
Ekman number: Frictional (viscous) forces in geophysics
Euler number : Hydrodynamics (pressure forces vs. inertia forces)
Darcy Friction factor: Fluid flow
Froude number: Wave and surface behaviour
Grashof number: Free convection
Hagen number: Forced convection
Knudsen number: Continuum approximation in fluids
Laplace number: Free convection with immiscible fluids
Lift coefficient: amount of lift available from given airfoil at given angle of attack.
Mach number: Gas dynamics
Molecular mass
Grupos adimensionais
127
Nusselt number: Heat transfer with forced convection
Ohnesorge number : Atomization of liquids
Peclet number: Forced convection
Pressure coefficient: Coefficient of pressure experienced at a point on an airfoil
Poisson's ratio: Load in transverse and longitudinal direction
Power number: Power consumption by agitators
Prandtl number: Forced and free convection
Rayleigh number: Buoyancy and viscous forces in free convection
Reynolds number: Characterizing flow behaviour (laminar or turbulent)
Grupos adimensionais
128
Reynolds number: Characterizing flow behaviour (laminar or turbulent)
Richardson number: whether buoyancy is important
Rockwell scale: Mechanical hardness
Rossby number: Inertial forces in geophysics
Sherwood number: Mass transfer with forced convection
Coefficient of static friction : Friction of solid bodies at rest
Coefficient of kinetic friction : Friction of solid bodies in traslational motion
Stokes number : Dynamics of particles
Strouhal number: Oscillatory flows
Weber number : Characterization of multiphase flow with strongly curved surfaces
Weissenberg number: Viscoelastic flows
Exercício Efeito Capilar
129
Quando um pequeno tubo é imerso em uma poça de
líquido, a tensão superficial causa a formação de um
menisco na superfície livre, para cima ou para baixo,
dependendo do ângulo de Contato na interface líquido-
sólido-gás. Experiências indicam que a magnitude do
efeito capilar, Δh, é uma função do diâmetro do tubo, D,
do peso específico do líquido γ, e da tensão
superficial,σ. Determine o número de parâmetro Pi
independentes que possam ser formados e obtenha um
conjunto.
Exemplo Proposto
1 - Tubo capilar
h = f (D,γ ,σs)
D = diâmetro
γ= tensão superficial
σ = tensão superficial
Determinar o número de parâmetro Π independentes que podem ser formados e estabelecer um conjunto.
130
Exercícios Proposto
White, F. M. Mecânica dos Fluidos.
Homogeneidade dimensional: 5.10, 17
5.18, 20, 23, 24, 27, 30, 35, 38
131
Modelo físico e semelhança
132
Construção de Modelos físicos Modelos podem ser construídos no
tamanho conveniente
Modelos podem ser ensaiados em condições controladas
Mas como garantir que os resultados do modelo são proporcionais ao do protótipo?
133
Construção de Modelos físicos
A semelhança geométrica requer que o modelo e o
protótipo tenham a mesma forma e que todas as
dimensões lineares do modelo sejam relacionadas
às correspondentes dimensões do protótipo por
um fator de escala constante.
Segundo requisito é que os escoamentos do
protótipo e de modelo sejam cinematicamente semelhantes.
134
Construção de Modelos físicos
Num determinado problema,
As condições de escoa para o teste de um
modelo são completamente semelhantes se
todos os parâmetros adimensionais relevantes
tiverem os mesmos valores correspondentes
para o modelo e para o protótipo.
135
Construção de Modelos físicos
Mas, a função independe do tamanho do
modelo, pois toda a geometria está embutida
nos π's
Logo, existe semelhança entre modelo e
protótipo
136
Construção de Modelos físicos
A semelhança geométrica refere-se à dimensão
de comprimento L e deve ser garantida para que
possa ser feito qualquer teste sensato de
modelo. Uma definição formal é:
Um modelo e um protótipo são geometricamente
semelhantes se e somente se todas as dimensões
do corpo nas três coordenadas tiverem a mesma
razão de escala linear
137
Construção de Modelos físicos
Em semelhança cinemática pode ser enunciada
da seguinte forma:
Os movimentos de dois sistemas são
cinematicamente semelhantes se partículas
homólogas estiverem em pontos homólogos em
instantes homólogos.
138
Construção de Modelos físicos
Existe semelhança dinâmica quando o modelo e o
protótipo têm as mesmas razões de escala de
comprimento, escala de tempo e escala de força.
A semelhança dinâmica existe, simultaneamente
com a semelhança cinemática, se os coeficientes
de pressão e de força do modelo e do protótipo
forem idênticos.
139
Condições de Semelhanças
Existe semelhança se
140
Resumo Semelhança geométrica: todas as dimensões do
escoamento sobre o modelo e o protótipo
guardam a mesma razão de comprimento
Implica dimensões do modelo e do protótipo
proporcionais
Implica ângulos iguais no escoamento do modelo
e do protótipo
Problemas
141
Resumo Semelhança cinemática: todas as velocidades do
escoamento sobre o modelo e sobre o protótipo
guardam a mesma razão
Implica escalas de tamanho e tempo
proporcionais
Logo, partículas fluidas correspondentes
encontram-se em lugares correspondentes, em
instantes correspondentes, de modo que a
evolução temporal de modelo e do protótipo é
idêntica
142
Resumo Semelhança dinâmica: todas as forças do
escoamento sobre o modelo e sobre o protótipo
guardam a mesma razão
Implica escalas de tamanho, tempo e massa
proporcionais
A equação de N-S implica que a semelhança
ocorrerá se as forças de inércia, pressão,
gravidade e atrito forem proporcionais
Isso demanda a igualdade dos números Re, Fr e
We
143
Resumo
Semelhança completa implica semelhança
geométrica, cinemática e dinâmica
Mas nem sempre isso é possível...
144
Exemplo Teste em Túnel do Vento de protótipo de sonar marítimo. Vp = 2.57 m/s, dp = 30.48, cm dm = 15.24 cm, Fm = 24.82 N. Velocidade do ar = 1,5 x10-5 e Velocidade de água = 1,5 x 10—6
Determine Vm e Fp .
145
Exemplo 7.4
146
Exercício proposto 2
147
Semelhança: 5.59, 64, 67, 73, 75, 81
Resumo do capítulo sobre Análise
Dimensional e Semelhança
Equações de governo
adimensionais
148
Motivação Existe outro método matematicamente rigoroso
de resolver o problema da semelhança.
Ele exige que se conheça as eqs. de governo do
problema.
Se dois problemas são regidos por EDP’s
idênticas com CF’s idênticas, então seus
resultados são idênticos.
149
Equações de governo
150
Variáveis adimensionais
151
Variáveis adimensionais
Se dois problemas são regidos por EDP’s
idênticas com CF’s idênticas, então seus
resultados são idênticos
Repetir o procedimento para as CF’s
152
Escoamento sem atrito
153
Visão Geral Equação de Bernoulli
Pressões de estática, dinâmica e de estagnação
Cuidados no uso da Eq. deBernoulli
154
Aplicações Região do escoamento livre, fora da CL
Linha de centro de tubulações
Diversas aproximações teóricas
155
Aplicações
156
Equação de Bernoulli
157
Equação de Bernoulli
158
O princípio de Bernoulli afirma que para um fluxo
sem viscosidade , um aumento na velocidade do
fluido ocorre simultaneamente com uma diminuição
na pressão ou uma diminuição na energia
potencial do fluido. O princípio de Bernoulli é
nomeado em homenagem ao matemático
neerlandês -suiço Daniel Bernoulli que publicou o
seu princípio, em seu livro Hydrodynamica em 1738.
Equação de Bernoulli
159
Equação de Bernoulli
160
Equação de Bernoulli
161
Equação de Bernoulli
162
163
Pressão Estática e Dinâmica
Pressão Estática e Dinâmica
164
A pressão dinâmica é a diferença entre a pressão
de estagnação e a pressão estática.
A pressão estática, isto é, a que não depende do
movimento, pode ser recolhida por detectores
adequados ou ser obtida a partir de um tubo que
envolve o primeiro no sentido coaxial e possui
orifícios laterais perpendiculares ao
movimento(este tubo também é chamado tubo de
Prandtl).
Pressão Estática e Dinâmica
165
166
Tubos de Pitot Areonáutico
Tubos de Pitot Areonáutico
167
Tubo de Pitot é um instrumento de medida de
pressão utilizado para medir a velocidade de fluidos ,
e mais concretamente a velocidade dos aviões. Deve o
seu nome ao físico francês do século XVIII Henri Pitot.
Consiste basicamente num tubo orientado para o
fluxo de fluido a medir. Visto que o tubo contém ar
pode assim ser medida a pressão necessária para
colocar o ar em repouso: a pressão de estagnação, ou
pressão total.
Tubos de Pitot Areonáutico
168
ar em repouso: a pressão de estagnação, ou pressão total.
A pressão de estagnação só por si não é suficiente para determinar a velocidade do fluido. Todavia, visto que a equação de Bernoulli determina que
Pressão de estagnação = pressão estática + pressão dinâmica Os tubos de Pitot colocados nos aviões têm normalmente elementos de aquecimento para evitar que os orifícios fiquem obstruídos com o gelo.
Tubos de Pitot Areonáutico
169
Exemplo 1 – Um tubo de Pitot é inserido em um escoamento de ar ( na condição padrão) para medir a velocidade do escoamento. O tubo é inserido apontando para montante dentro do escoamento, de modo que a pressão captada pela sonda é a pressão de estagnação. A pressão estática é medida no mesmo local do escoamento com uma tomada de pressão na parede. Se a diferença de pressão é de 30 mm de mercúrio, determine a velocidade do escoamento
170
Exemplo Dados : um tubo de pitot inserido num escoamento, conforme mostrado. O fluido é ar e o líquido do manômetro é mercúrio.
Determinar: a velocidade do escoamento.
Solução:
Equação Básica : (P/ρ) + (V2/2) + (gz) = constante
Considerações : (1) Escoamento Permanente (2) escoamento incompressível (3) escoamento ao longo de uma linha de corrente (4) Desaceleração sem atrito ao longo da linha de corrente de estagnação 171
Exemplo
Escrevendo a equação de Bernoulli para a linha de
corrente para estagnação (Δz = 0), obtêm
(P0/ρ) = (P/ρ) + (V2/2)
V = ((2 (p0 – p))/(ρar))1/2
Do diagrama
p0 – p = ρHggh = ρH2Ogh (SGHg)
V = ((2 ρH2Ogh (SGHg))/(ρar))1/2
V = ((2 x 1000kg/m3 x 9,81 m/s2 x 30 mm x 13,6 x
(m3/1,23 kg) x (m/1000 mm))1/2 = 80,8 m/s
172
Exemplo
Para T = 20 oC, a velocidade do som no ar é 300 m/s.
Portanto, M = 0,236 e a hipótese de escoamento
incompressível é válida.
173
Exemplo
2 – Ar escoa em regime permanente e com baixa
velocidade através de um bocal horizontal ( por
definição, um equipamento para acelerar um
escoamento) que o descarrega para a atmosfera. Na
entrada do bocal, a área é 0,1 m2 e na saída, 0,02 m2.
Determine a pressão manométrica necessária na
entrada do bocal para produzir uma velocidade de saída
de 50 m/s.
174
Exemplo Dados: Escoamento através de um bocal, conforme mostrado
Determinar : p1 – patm
Solução: Equações básicas
Considerações: (1) Escoamento permanente (2) Escoamento incompressível (3) Escoamento sem atrito (4) Escoamento ao longo de uma linha de corrente (5) z1 = z 2
(6) Escoamento uniforme nas seções 1 e 2 175
Exemplo
Dados:
p1 – patm = p1 – p2 = (ρ/2) (V22 - V1
2)
Aplique a equação da continuidade para determinar
V1
(-ρV1A1) + (-ρV2A2) = 0 ou V1A1 = V2A2
V1 = V2(A2/A1) = 50 m/s x (0,02 m2 / 0,1 m2 ) = 10 m/s
176
Exemplo
Para o ar na condição padrão, ρ = 1,23 kg/m3. então
p1 – patm = (ρ/2) (V22 - V1
2)
= (1/2) x(1,23 kg/m3) x ((50 m/s)2 -(10 m/s)2) x
((N.s2)/(kg.m))
p1 – patm = 1,48 kPa
177
Exemplo
3 – Um tubo em U atua como um sifão d’água. A
curvatura no tubo está 1 m acima da superfície da
água; a saída do tubo está 7 m abaixo da superfície
da água. A água sai pela extremidade inferior do
sifão como um jato livre para a atmosfera. Determine
(após listar as considerações necessárias) a
velocidade do jato livre e a pressão absoluta mínima
da água na curvatura.
178
Exemplo
Equação Básica : (P/ρ) + (V2/2) + (gz) = constante
Considerações :
(1) Atrito desprezível
(2) Escoamento permanente
(3) Escoamento incompressível
(4) Escoamento ao longo de uma linha de corrente
(5) O reservatório é grande comparado com o tubo
179
Exemplo
V = ( 2 x (9,81 m/s2) x ( 7 m))1/2 = 11,7 m/s
Para determinar a pressão no ponto A, escrevemos
a equação de Bernoulli entre 1 e A
(P1/ρ) + (V12/2) + (gz1) = (PA/ρ) + (VA
2/2) + (gzA)
VA= V2
(PA/ρ) = (P1/ρ) + (gz1) - (V22/2) - (gzA) =
(PA/ρ) = (P1/ρ) + g(z1 – zA) - (V22/2) =
180
Exemplo
PA = 1,01 x 105 N/m3 + 999 kg/m3 x 9,81 m/s2 x (-1m)
((N.s2)/(kg.m)) – (1/2) x 999 kg/m3 x (11,7 m/s)2 x
(N.s2/(kg.m)) =
PA = 22,8 kPa (abs)
181
Cavitação
182
A cavitação é um fenômeno originado em quedas
repentinas de pressão, geralmente observado em
sistemas hidráulicos. A combinação entre a pressão,
temperatura e velocidade resulta na liberação de
ondas de choque e micro-jatos altamente energéticos,
causando a aparição de altas tensões mecânicas e
elevação da temperatura, provocando danos na
superfície atingida.
Cavitação
183
Precauções
Escoamento sem atrito
1. Tubos muito longos e/ou estreitos
2. Camada limite, com ou sem separação
Escoamento incompressível
1. Martelo hidráulico
184
Precauções
Escoamento permanente
1. Regime turbulento
LC’s conhecidas
1. Regime turbulento
Presença de máquinas
185
Teoria da obstrução
186
Aplicações Projeto e construção de medidores para
Controle de processos industriais
Compra e venda de fluidos
187
Teoria da Obstrução
188
Teoria da Obstrução
189
Medidores mais usados
190
Medidores comerciais
191
Lista de exercício Equação de Bernoulli:
3.153, 155, 156, 157, 158, 161, 165, 169, 175
192
Escoamento com atrito em dutos
193
Aplicações Dimensionamento de tubulações para
demanda industrial e residencial
Cálculo da vazão estabelecida em sistemas
de tubulação existentes ou projetados
Dimensionamento de bombas, ventiladores,
compressores
194
Perdas de Carga
195
Perdas de Carga
196
Na engenharia trabalhamos com energia dos fluidos por unidade de peso, a qual denominamos “carga”;
O escoamento em tubulações sofre uma forte influência das paredes, dissipando energia devido ao atrito.
As partículas em contato com a parede, ou seja, velocidade nula, e passam a influir nas partículas vizinhas através da viscosidade e da turbulência, dissipando energia.
Perdas de Carga
197
Sabe-se que no escoamento de fluidos reais, parte de sua energia dissipa-se em forma de calor e nos turbilhões que se formam na corrente fluida;
Essa energia é dissipada para o fluido vencer a resistência causada pela sua viscosidade e a resistência provocada pelo contato do fluido com a parede interna do conduto, e também para vencer as resistências causadas por peças de adaptação ou conexões (curvas, válvulas, ....)
Perdas de Carga
198
Chama-se esta energia dissipada pelo fluido de PERDA DE CARGA (hp), que tem dimensão linear, e representa a energia perdida pelo líquido por unidade de peso, entre dois pontos do escoamento. A perda de carga pode ser distribuída ou localizada, dependendo do motivo que a causa:
Perda de Carga Distribuída
Perda de Carga Localizada
199
Perdas de Carga Localizada
Perdas de Carga Localizada
200
Este tipo de perda de carga é causado pelos acessórios de canalização, isto é, as diversas peças necessárias para a montagem da tubulação e para controle do fluxo do escoamento, que provocam variação brusca da velocidade, em módulo ou direção intensificando a perda de energia nos pontos onde estão localizadas. O escoamento sofre perturbações bruscas em pontos da instalação tais como em válvulas curvas, etc.
Perdas de Carga Distribuída
201
Perdas de Carga Distribuída
202
A perda de carga distribuída a parede dos dutos retilíneos causa uma perda de pressão distribuída ao longo do comprimento do tubo, fazendo com que a pressão total vá diminuindo gradativamente ao longo do comprimento e por isso é denominado de Perda de Carga Distribuída
Perdas de Carga Distribuída
203
A perda de carga é uma função complexa de diversos elementos tais como:
Rugosidade do conduto;
Viscosidade e densidade do líquido;
Velocidade de escoamento;
Grau de turbulência do movimento;
Comprimento percorrido.
Efeito do atrito
Implica que p1 = p2
Considerando o atrito,
Do teorema de Buckingham
204
Efeito do atrito
Resultados originais de
Nikuradse (1933) 205
Método de Moody
O ábaco de Moody é um dos mais utilizados
para o cálculo de perda de carga distribuída.
Entra-se com o valor de e/D (rugosidade
relativa) e o número de Reynolds, obtendo-se o
falor de f (coeficiente de atrito)
206
O Diagrama de Moody
Os resultados de Nikuradse foram refinados e
modernizados
Uma equação válida para toda a faixa usual de
Re foi obtida por Colebrook (1939)
O resultado foi sintetizado no diagrama de
Moody.
207
208
Rugosidade de Tubos Comerciais
209
Equações para f
Para escoamento laminar:
Lembrando que
Mas,
Logo,
210
Equações para f Atualmente o diagrama não é mais utilizado
Escoamento turbulento, expressões implícitas
211
Equações para f Escoamento turbulento, expressões implícitas
212
Tubos não circulares (duto) Uso prático: dutos de ar
condicionado e ventilação, dutos de escape de gases de combustão, etc
Em geral, dutos com grande área de seção não são circulares
Também não são quando a vedação não for problema
O escoamento laminar em dutos possui solução analítica geral (via transformações conformes)
213
Tubos não circulares (duto) No caso anterior:
Aqui, como a pressão age na área e o atrito age no
perímetro molhado, tem-se
Para evitar o aparecimento de outro grupo adimensional,
criamos um diâmetro equivalente, Dh
214
Dutos A definição é de forma que na geometria circular,
Dh= D
Mas, f= fduto? O diagrama de Moody pode ser
usado?
Teoricamente não, mas na prática, diferença de
±40% no caso laminar e ±15 no turbulento, o que
justificaria o uso
Razoável. Mas porque é pior no caso laminar?
215
Dutos As soluções analíticas são:
Pode-se compensar as diferenças do caso turbulento introduzindo-se um diâmetro efetivo, Def= 0.64Dh
Coincidentemente funciona para o laminar também...
Isso também acontece com outras geometrias não-circulares além da retangular
216
Resumos: Tubos e Dutos
217
Perdas de Carga Localizada
218
Perdas de Carga Localizada
Acessórios de tubulação
Entradas e saídas
Expansões e contrações
Curvas e joelhos
Válvulas
Divisões (tês e cruzes)
Principal motivo das perdas?
219
Curvas, joelhos, entre outros
220
Válvulas
221
Geometria Típica de válvulas
Comerciais
222
223
Modelagem Matemática
Falta uma teoria bem estabelecida,
porque as geometrias são complexas
Na verdade, K = f ( Re, G), mas as
tabelas são simplificadas
Cada novo lançamento do mercado
implica em novas tabelas...
As tabelas e gráficos acabam sendo
médias para muitos fabricantes.
As incertezas podem chegar a 50%
224
Coeficiente de Perda de Carga
225
226
227
228
229
230
Resumo
A tabela 6.5 não deve ser utilizada, exceto em
caso de não haver outra possibilidade. Foi
apresentada apenas a título de ilustração
O comprimento L é medido pela linha de centro
da tubulação, incluindo as curvas e outros
acessórios
Na prática, valores podem variar em relação às
tabelas e aos gráficos apresentados
231
Exemplo
232
Exemplo
233
Exemplo
234
Exemplo
235
Exemplo
236
237
238
239
240
241
242
Os três tipos de Problema
243
Tipo 1 : calcular a perda de carga
Tipo 2 : calcular a velocidade ou vazão
Tipo 3 : calcular diâmetro (s) do (s) tubo (s)
Solução iterativa
Exemplo Tipo 1
244
Exemplo
245
Exemplo
246
Exemplo Tipo 2
247
Exemplo Tipo 2
248
Exemplo Tipo 2
249
Exemplo Tipo 2
250
Exemplo Tipo 2
251
252
Exemplo Tipo 3
253
Exemplo Tipo 3
254
Lista de exercícios propostos
255
Cálculo de perdas de carga
Problemas explícitos: 6.43
Problemas iterativos: 76,
Perdas localizadas: 102
256
Redes de Tubulações
257
Escoamentos Externos
Escoamentos Externos
258
São escoamentos sobre corpos imersos em um fluido sem fronteiras. escoamento sobre uma placa plana semi infinita cilindro O fluido em contato com a superfície adquire a velocidade do corpo como resultado da condição de não deslizamento Camadas limites formam-se tanto na superfície superior quanto na superfície inferior do corpo.
Escoamentos Externos
259
O escoamento da camada limite no início é laminar
A transição para o escoamento turbulento ocorre a alguma distância do ponto de estagnação.
Corrente livre Rugosidade da superfície
Gradiente da pressão
A camada limite turbulenta a jusante da transição cresce mais rapidamente do que a camada laminar montante
Visão Geral
260
Cálculo de forças de arrasto e sustentação
Cálculo dos coeficiente de arrasto e sustentação
Recomendação: revisar detalhes fenomenológicos da camada limite (MFL 1)
Visão Geral
261
O arrasto é uma componente da força sobre um corpo
agindo paralelamente à direção do movimento.
Fd – força de arrasto
d – diâmetro
V – velocidade
ρ – massa específica
μ - viscosidade
Aplicações
262
Aerodinâmica Transporte
Aeronaves automóveis
Foguetes ônibus e caminhões
Projéteis trens
Hidrodinâmica Carga eólica
Embarcações de superfícies edifícios
Submarino pontes
Torpedos torres
e cabos de transmissão
263
Geometria e Número de Reynolds
Justaposição de escoamento
264
Trata-se de resolver
separadamente os
escoamentos na CL e fora
dela e justapor os resultados
Boa aproximação só em alto
Re e/ou corpos alongados
Soluções analíticas existem?
100< Re < 103: não
103 < Re < 106: sim
(laminar)
106 > Re: sim (turbulento)
Justaposição de escoamento
265
Quando é válido: O deslocamento das LC é pequeno A distribuição de pressões ao redor da placa não é muito afetada pela CL –torna-se uma forçantenos cálculos O cálculo pode ser feito pela teoria sem atrito, desconsiderando a CL Válido para a maioria das aplicações em placas planas e aerofólios Inválido na maioria dos escoamentos em torno de corpos rombudos
Separação da camada limite
266
Descrição
Justaposição não
funciona: soluções
numéricas ou por
análise
dimensional
Obs: a parte não
separada pode ser
laminar ou
turbulenta; a parte
separada é sempre
turbulenta
267
Soluções analíticas
Soluções de Von Kármán (1921)
268
Von Kármán (1921)
269
Durante o período compreendido entre 1920 a
1950, onde computadores digitais nem sequer
existiam, o desenvolvimento de aplicações da teoria
da camada limite ocorreu através do
desenvolvimento e aperfeiçoamento dos métodos
integrais. Soluções aproximadas utilizando-se
equações integrais para a camada limite deve-se ao
trabalho pioneiro de Von Kármán publicado em 1921.
Von Kármán (1921)
270
Theodore von Kármán (Kármán Tódor) foi um
físico muitas vezes cognominado como 'pai da era
supersônica'.
Kármán abriu novas perspectivas para a pesquisa de
foguetes . Foi um dos primeiros a construir
helicópteros operáveis e formulou teorias e
desenhos que tornaram possível o desenvolvimento
do avião-foguete Bell X-1.
Soluções de Von Kármán (1921)
271
Soluções de Von Kármán (1921)
272
Tensões e Forças Totais
273
Resumo
274
Solução válida para
Escoamento sobre superfícies planas de pequena
espessura, pois U= cte.
Camada limite fina, i.e., δ/x= 0,1 ou Re = 2.500
Escoamento laminar –o limite é Re = 3.106,mas o
valor mais comum é Re = 5.105
Superfície lisa ou rugosa.
Exercício
275
Escoamento em CL sobre uma placa plana de 30 cm
de comprimento, U = 0,3 m/s. Calcule a espessura
da CL para ar e água a 20 C.
Exercício
276
Solução de Blasius (1908)
277
Obtida pela resolução analítico-numérica das eqs. de
Navier-Stokes simplificadas
Solução válida para
Escoamento sobre superfícies planas de pequena
espessura, pois U = cte.
Escoamento laminar –o limite é Re = 3.106, mas o
valor mais comum é Re = 5.105
Camada Limite Turbulenta
278
Exercício
279
Um aerobarco 1,2 pés de comprimento e 6 m de
largura é colocado em um fluxo de água de 40 pés
/ s, com ρ= 1,99 slug/ft3 e 𝝊= 0,000011 ft2/s.
A) Estimar a espessura da camada limite no final
da placa. Estimar o atrito para arrastar. B) fluxo
turbulento parede lisa da ponta, c) fluxo laminar
turbulento com Re trans = 5 x 105 . D) fluxo
turbulento parede áspera, com ε = 0,0004 ft
280
a)
281
b)
282
c)
283
d)
284
Resultados Experimentais
Introdução
285
Não existe teoria satisfatória para o escoamento geral em torno de um corpo qualquer
Muitos problemas específicos tem sido tratados com sucesso, mas sem generalidade.
A separação da CL é o grande complicador
Soluções existentes Experimentais (via variáveis adimensionais) Numéricas
Forças e Momentos
286
O escoamento cria 3 forças e 3 momentos
Arrasto e momento de rolamento
Sustentação e momento de guinada
Força lateral e momento de arfagem
Simetria em relação ao plano arrasto-sustentação:
FLat= MG= MR= 0
Simetria também em relação ao plano arrasto-lateral:
FS= 0, MA= 0
Se a simetria existir mas não nos planos da figura, os
esforços existirão. Depende da orientação de V.
Observe a linha de corda principal paralela à
intersecção entre os dois planos anteriores
287
Eixos e momento
288
Arrasto
289
Arrasto
290
Em geral, temos arrasto de pressão (ou de forma), arrasto de atrito
(ou de película) e arrasto de interferência
Arrasto de pressão é devido à separação da CL, que cria uma
zona de “vácuo” à jusante e não tem modelagem matemática no
caso geral
Arrasto de atrito é modelado pela teoria da tensão cisalhante
Arrasto de interferência aparece quando tentamos representar o
arrasto de um corpo composto como a soma dos arrastos das
partes
Cilindro
291
Cilindro e Esfera
292
Nenhum dos dois componentes do arrasto pode ser
desprezado
A transição Turbulenta
293
Separação ocorre em 82º
(laminar) e 120º(turbulento)
O aumento de arrasto de
atrito no caso turbulento é
compensado pela redução
do arrasto de pressão
O arrasto total é reduzido
Aplicação do efeito a bolas
esportivas
A esteira de Vórtices de Kárman
294
Em uma certa faixa de Re o escoamento emite vórtices
alternados (60 < Re <5.000)
Cada vórtice que se desprende gera uma força de
sustentação no sentido contrário que faz o cilindro/esfera
oscilar
Casos de ressonância podem gerar acidentes graves
com cabos de transmissão, etc.
A esteira de Vórtices de Kárman
295
Desde tempos imemoriais a humanidade se
confronta com os fenômenos dos vórtices.
Na Renascença, Leonardo da Vinci estudou e
desenhou o fenômeno dos vórtices ao analisar o
efeito das águas fluindo ao encontro dos pilares de
uma ponte, e provocando uma série de diferentes
vórtice .
A esteira de Vórtices de Kárman
296
Theodore von Kármán (1881 – 1963), nascido na
Hungria e falecido nos EUA, foi um grande
especialista em mecânica dos fluidos e, em
aerodinâmica, em particular. Aprofundando os
estudos de Borda, Kármán afirmou que dois corpos
movendo-se separadamente estão livres da
chamada “esteira de vórtice” (vortex street) de Von
Kármán. Entretanto, quando esses corpos são
colocados juntos, lado a lado, há a formação de
vórtice na parte posterior à incidência do fluxo.
A esteira de Vórtices de Kárman
297
Experiências e investigações adicionais sobre
vórtices têm sido conduzidos pela NASA – A
Agência Aeroespacial americana, principalmente os
relacionados aos assim chamados vórtices de
Karmann, os quais são significativamente mais
complexos, pois suas características principais se
referem à alternância da direção destes vórtices,
sendo que alguns obedecem ao sentido horário,
outros, ao sentido anti-horário
.
A esteira de Vórtices de Kárman
298
O escoamento com número de Reynolds superior a
≈ 45 induz o aparecimento de vórtices
imediatamente após o corpo rombudo, formando a
esteira de vórtices de von Karmann.
O corpo fica então sujeito a forças dinâmicas que
fazem com que o mesmo vibre com freqüências
ligadas às freqüências com que se desprendem os vórtices.
.
A esteira de Vórtices de Kárman
299
Este acontecimento foi devido a um colapso gerado por fortes
ventos.
A esteira de Vórtices de Kárman
300
A esteira de Vórtices de Kárman
301
Iteração
302
O arrasto pode ser
significativamente reduzido
pela proximidade do corpo
com outro corpo ou com
uma superfície
Isso é evidente em
aeronaves (efeito solo), no
vácuo formado atrás de
veículos rodoviários e na
deposição de partículas de
poeira
Corpos Carenados
303
O objetivo é reduzir a extensão e/ou intensidade da separação
em altos números de Re
•Arredondamento do bordo de ataque
•Afilamento do bordo de fuga
Dependendo das restrições de projeto, o carenamento:
•Sempre diminui CA,press
•Pode aumentar CA,atrito
•Pode aumentar o peso de um conjunto
•Pode aumentar ou diminuir a área de uma seção transversal
Existe, portanto, um ponto de projeto ótimo na maioria dos casos
Ponto ótimo
304
Corpos Carenados
305
306
307
Exemplo
308
Um bate estaca quadrado com 6 in é acionados por fluxo de
água a 5 ft/s e 20 ft de profundidade conforme mostra a figura
abaixo. Estimar a flexão máxima exercida pelo fluxo na parte
inferior do empilhamento
Exemplo
309
Exemplo
310
Exercício
311
Chaminé ao nível do mar, seção quadrada, h= 52 m, força
lateral máxima = 90 kN, deve suportar ventos de furacão com
145 km/h. Qual a largura máxima?
Exercício
312
Exercício
313
Mais de uma vez o cinema mostrou personagens saltando de
aviões utilizando artefatos redutores de velocidade diferentes
de um pára-quedas. Em um filme destes, os heróis utilizam
um bote inflável e chegam em segurança ao solo. Para
verificar se isto é possível, considere: o pára-quedas de alto
arrasto do US Army tem d = 8,5 m, veloc. terminal = 4,9 m/s
para carga de 200 kg. (a) Calcule o seu coef. de arrasto. (b)
Calcule a velocidade terminal de bote inflável com a mesma
área e carga.
Exercício
314
Exercício
315
Veículos de Rodagem
316
A crise do combustível gerou
interesse na redução do
consumo, inicialmente em
automóveis, posteriormente em
caminhões, ônibus e trens.
Limitações de projeto não
permitem um carenamentoideal
•Comprimento total
•Espaço interno
•Posição ao dirigir
•Visibilidade
•Altura livre do solo
•Pára-lamas
Veículos de Rodagem
317
Também é preciso minimizar a sustentação (tração e curvas)
•Questões de estilo dificultam o uso de aerofólios
•É possível acelerar o escoamento sob o veículo
A segurança/lei não permitem retirar alguns itens geradores de
arrasto
•Limpadores de pára-brisa
•Espelhos retrovisores
•Espaço nos pára-lamas (resfriamento dos freios, limpeza)
•Placa de licença
A redução da área frontal também apresenta problemas
Pneus
•Radiadores
•Diferencial dianteiro
•Tamanho do motor
Veículos de Rodagem
318
Área frontal também diminuiu, então FA diminuiu muito.
Por isso se usa CDA
Efeito de pequenas alterações no projeto
Veículos de Rodagem
319
Veículos de Rodagem
320
Atrito de Rolamento
321
Exercício
322
Um veículo circula a 80 km/h com uma placa de
propaganda fina na capota.
(a) Calcule a potência para movimentar o conjunto carro +
placa como na fig.
(b) Calcule a potência com a placa paralela ao movimento
do veículo. O carro possui área frontal de 2,5 m2 e a força
de resistência ao rolamento é 55 kgf
323
Efeitos da Compressibilidade
324
Conclusões Arrasto
325
Corpos de Sustentação
326
Corpos de Sustentação
327
Aerofólios - Terminologia
328
Terminologia
329
Estrutura da Aeronave
330
Asas e Empenagem
331
Forças em Vôo Reto Nivelado
332
Dispositivos de Alta Sustentação
(Flaps e Slats)
333
Flaps e Slats
334
Destruidores de sustentação(Spoilers)
335
Dispositivos de Frenagem
336
•Reversão de empuxo ou
mudança do passo
•Freios aerodinâmicos
•Freios de roda
•Destruidores de sustentação