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Mecânica dos Sólidos 7ª Aula 1
Sumário e Objectivos
Sumário: Torção de Veios de Secção Circular
Objectivos da Aula: Apreensão dos conceitos Fundamentais associados à torção de veios de Secção Circular.
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Mecânica dos Sólidos 7ª Aula 2
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Mecânica dos Sólidos 7ª Aula 3
Torção
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Mecânica dos Sólidos 7ª Aula 4
Vigas
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Mecânica dos Sólidos 7ª Aula 5
Torção de Um Veio de Secção Circular
Um veio cilíndrico de material homogéneo e isotrópico está sujeito a momentos torsores, Mt, sendo z o eixo coincidente com o eixo do cilindro, está em equilíbrio se os momentos torsores aplicados forem iguais e de sinais opostos.
x 0M =∑
Os binários Mt aplicados produzem uma rotação relativa f entre as duas secções extremas, de tal modo que a geratriz AB, inicialmente rectilínea, se deforma segundo a configuração de uma hélice cilíndrica A´B´.
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Mecânica dos Sólidos 7ª Aula 6
Torção de Um Veio de Secção Circular
Pressupostos Fundamentais:
1- Secções Rectas do Cilindro permanecem Circulares e planas, após deformação, rodando em torno do respectivo centro.
2- Um raio traçado sobre uma secção recta permanece rectilíneo durante a deformação do veio.
3- O ângulo entre dois quaisquer raios no plano duma secção recta permanece constante durante a deformação da barra.
4- Se se considerar um ângulo de torção total pequeno não há variação do raio nem do comprimento do veio.
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Mecânica dos Sólidos 7ª Aula 7
Torção de Um Veio de Secção Circular
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Mecânica dos Sólidos 7ª Aula 8
Secção Arbitrária
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Mecânica dos Sólidos 7ª Aula 9
Torção de Um Veio de Secção Circular
0
´ *lim* ´x
S S drdzR SΔ
φγ→
= =A relação deformação – deslocamento para um veio de secção circular é 1 1
2 2xdrdzθφγε = =
As outras componentes do tensor das deformações em coordenadas cilíndricas são: 0r rz rr zzθ θθε ε ε ε ε= = = = =
2 zdr rdzθφγ θε = = =
u 0v r zw 0
⎧ ⎫ ⎧ ⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪= θ⎨ ⎬ ⎨ ⎬⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎩ ⎭ ⎩ ⎭
Vector Deslocamentos
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Mecânica dos Sólidos 7ª Aula 10
O tensor das deformações tem a forma
Torção de Um Veio de Secção Circular
zz z zr
z r z
rz r rr
0 r / 2 0r / 2 0 0 ou r / 2
0 0 0
θ
θ θθ θ θ
θ
θ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ε ε ε⎢ ⎥ ⎢ ⎥= θ = θε ε ε ε⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ε ε ε⎣ ⎦ ⎣ ⎦
12 z
w dv rr dzθγ θε
θ∂
= = + =∂sendo
O tensor das tensões toma a forma
zz z zr
z r z
rz r rr
0 Gr 0Gr 0 0 ou Gr (4.4)
0 0 0
θ
θ θθ θ θ
θ
θ⎡ ⎤ ⎡ ⎤σ τ τ⎢ ⎥ ⎢ ⎥= θ = θτ σ τ τ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥τ τ σ⎣ ⎦ ⎣ ⎦
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Mecânica dos Sólidos 7ª Aula 11
Torção de Um Veio de Secção Circular
Figura 4.3
(4.5)
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Mecânica dos Sólidos 7ª Aula 12
Momento Torsor
As tensões distribuídas na secção correspondem a uma força num elemento de área dA que é dF dA= τ
O momento resultante da distribuição de tensões na secção é tA A
2
A A
rdF r dAM
r(Gr )dA G dAr
= = τ
= θ = θ
∫ ∫
∫ ∫
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Mecânica dos Sólidos 7ª Aula 13
Momento Torsor e Tensão
O momento de Inércia Polar4
2z
A
rJ dAI r 2π
= = =∫
consequentemente o momento torsor ét zGM I= θ
t
z
MGI
θ =ou
Grτ = θA tensão é
t
z
rMI
τ =t
z
d Mdz GIφ
θ = =z
t
z0
(z)dzM(z) (0)G(z) (z)I
φ = φ + ∫
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Mecânica dos Sólidos 7ª Aula 14
Torção de Um Veio de Secção Oca
sendo dA = r dϕ dr
No caso do veio ter a secção oca, a distribuição de tensões é linear como se representou, sendo o momento obtido pela fórmula
tA A
2
A A
rdF r dAM
r(Gr )dA G dAr
= = τ
= θ = θ
∫ ∫
∫ ∫
( )2
1
23 4 4
t 2 10
RdG d dr GM r R Rdz 2R
πφ π= ϕ = θ −∫ ∫
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Mecânica dos Sólidos 7ª Aula 15
Momento de Inércia Polar
Momento de Inércia Polar
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Mecânica dos Sólidos 7ª Aula 16
Tubos de Parede Delgada
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Mecânica dos Sólidos 7ª Aula 17
Tensão e ângulo de Torção
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Mecânica dos Sólidos 7ª Aula 18
Torção de Um Veio de Secção Composta
No caso de se considerar um veio constituído por dois materiais, o material A e o material B, como se representa na figura com módulos de elasticidade transversal respectivamente, as tensões são , sendo a 1ª a tensão no material A e a 2ª a tensão no
material B.
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Mecânica dos Sólidos 7ª Aula 19
Torção de Um Veio de Secção Composta
O momento torsor é composto pelo momento torsor no material A e pelo momento torsor no material B, ou seja
t tA tB A A B BG J G JM M M= + = θ + θ
se nd o A B e J J o s m o m e nto s d e in érc ia p o la res d a s reg iõ es A e B .
Os momentos de inércia polares são obtidos a partir das dimensões e são4 44
AA BA B
)(r rr e J J2 2
π −π= =
O ângulo de torção por unidade de comprimento
t
A A B B
MG J G J
θ =+
t A t BA BA B
A A B B A A B B
G GM r M r e G J G J G J G J
= =τ τ+ +
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Mecânica dos Sólidos 7ª Aula 20
Exemplo 17.1
Considere um veio de Secção Circular com 5cm de diâmetro e admita que o pretende substituir por um veio de secção circular oca. No caso do diâmetro exterior da secção oca ser de 7.5 cm, qual deve ser o diâmetro interior de modo que a tensão máxima no tubo não se alterar. Determine o peso dos dois tubos e compare-os e diga o que conclui dessa comparação. Considere o mesmo material para os dois tubos.
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Mecânica dos Sólidos 7ª Aula 21
Exemplo 17.2
A
.
Considere um veio de secção circular composta, como se representa na figura, cujo diâmetro exterior é 140mm e cujo diâmetro interior édesconhecido. A tensão máxima instalada é de 150MPa.O material A tem um módulo de rigidez transversal GTA=110GPa e o material B tem um módulo de rigidez transversal GTB=80GPa. O momento torsor a que a peça está sujeita é 78.5KN.m. Determine o raio interior do veio.
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Mecânica dos Sólidos 7ª Aula 22
Veio de Secção Arbitrária
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Mecânica dos Sólidos 7ª Aula 23
O deslocamento PP* é rφ = r θ z cujas componentes segundo x e y são u,v. O vectordeslocamento referido aos eixos dos xx e dos yy é de acordo com a figura
Teoria de Saint Vennant
u r zsen zyv r z cos zxw w(x, y) w(x, y)
− θ α −θ⎧ ⎫ ⎧ ⎫ ⎧ ⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪= θ α = θ⎨ ⎬ ⎨ ⎬ ⎨ ⎬⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎩ ⎭ ⎩ ⎭ ⎩ ⎭
x
y
P
P*
αvu
α
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Mecânica dos Sólidos 7ª Aula 24
Teoria de Saint Vennant
As deformações são obtidas a partir dos deslocamentos, tendo em conta as relações deformações deslocamentos, sendo o tensor das deformações
1 1 12 2 2
1 1 12 2 2
1 1 1 12 2 2 2
u u v u w w0 0 yx y x z x x
u v v v w w0 0 xy x y z y y
u w v w w w wy xz x z y z x y
⎡ ⎤⎛ ⎞∂ ∂ ∂ ∂ ∂⎛ ⎞ ∂⎛ ⎞+ + − θ⎢ ⎥⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎢ ⎥⎢ ⎥⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂⎢ ⎥= + + = + θ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂⎢ ⎥⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎢ ⎥
⎛ ⎞ ⎛ ⎞∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎢ ⎥+ + − θ + θ⎜ ⎟ ⎜⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎢ ⎥∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎣ ⎦
ε
0
⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎟⎢ ⎥⎣ ⎦
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Mecânica dos Sólidos 7ª Aula 25
Teoria de Saint Vennant
As tensões são obtidas por aplicação da lei de Hooke, sendo o tensor das tensões w0 0 G y
x
w0 0 G xy
w wG y G x 0x y
⎡ ⎤∂⎛ ⎞− θ⎢ ⎥⎜ ⎟∂⎝ ⎠⎢ ⎥⎢ ⎥⎛ ⎞∂⎢ ⎥σ = + θ⎜ ⎟∂⎢ ⎥⎝ ⎠⎢ ⎥
⎛ ⎞∂ ∂⎛ ⎞⎢ ⎥− θ + θ⎜ ⎟⎜ ⎟⎢ ⎥∂ ∂⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎣ ⎦
As equações de equilíbrio tomam neste caso a forma seguinte
xz yzw wG y e G xx y
⎛ ⎞∂ ∂⎛ ⎞= − θ = + θτ τ ⎜ ⎟⎜ ⎟∂ ∂⎝ ⎠ ⎝ ⎠
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Mecânica dos Sólidos 7ª Aula 26
Teoria de Saint-Vennant
As derivadas dos deslocamentos w são tais que
xz yzw wG Gy e G Gx x y
∂ ∂− θ + θ= τ = τ
∂ ∂
Para assegurar a compatibilidade dos deslocamentos, pode derivar-se em ordem a y a 1ª equação e em ordem a x a 2ª equação, os resultados obtidos têm de ser iguais, donde se infere a equação de compatibilidade seguinte
zyzx 2Gy x
∂∂ ττ − = − θ∂ ∂
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Mecânica dos Sólidos 7ª Aula 27
Teoria de Saint Vennant
A solução do problema passa pela solução do sistema de equações
zyzx 0x y
∂∂ ττ + =∂ ∂
zyzx 2Gy x
∂∂ ττ − = − θ∂ ∂
considerando as condições de fronteira seguintes
zx x zy y 0+ =τ ν τ ν na superfície Lateral
yz xzA(x y )dxdy−τ τ∫∫ para z=0 e z=L.
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Mecânica dos Sólidos 7ª Aula 28
Problema 1
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Mecânica dos Sólidos 7ª Aula 29
Resolução do Problema 1
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Mecânica dos Sólidos 7ª Aula 30
Resolução do Problema 1
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Mecânica dos Sólidos 7ª Aula 31
Resolução do Problema 1
a b
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Mecânica dos Sólidos 7ª Aula 32
Resolução Problema 1
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Mecânica dos Sólidos 7ª Aula 33
Resolução do Problema 1
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Mecânica dos Sólidos 7ª Aula 34
Problema 2
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Mecânica dos Sólidos 7ª Aula 35
Resolução Problema 2
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Mecânica dos Sólidos 7ª Aula 36
Resolução Problema 2
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Mecânica dos Sólidos 7ª Aula 37
Resolução Problema 2
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Mecânica dos Sólidos 7ª Aula 38
Resolução Problema 2
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Mecânica dos Sólidos 7ª Aula 39
Problema 3
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Mecânica dos Sólidos 7ª Aula 40
Resolução Problema 3a)
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Mecânica dos Sólidos 7ª Aula 41
Resolução Problema 3a)
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Mecânica dos Sólidos 7ª Aula 42
Resolução Problema 3b)
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Mecânica dos Sólidos 7ª Aula 43
Resolução Problema 3b)
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Mecânica dos Sólidos 7ª Aula 44
Resolução Problema 3c)
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Mecânica dos Sólidos 7ª Aula 45
Resolução Problema 3c)
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Mecânica dos Sólidos 7ª Aula 46
Problema 4
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Mecânica dos Sólidos 7ª Aula 47
Resolução Problema 4a)
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Mecânica dos Sólidos 7ª Aula 48
Resolução Problema 4a)
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Mecânica dos Sólidos 7ª Aula 49
Resolução Problema 4a)
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Mecânica dos Sólidos 7ª Aula 50
Resolução 4b)
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Mecânica dos Sólidos 7ª Aula 51
Resolução 4b)
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Mecânica dos Sólidos 7ª Aula 52
Resolução 4b)
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Mecânica dos Sólidos 7ª Aula 53
Problemas Propostos
2. Considere um veio composto de alumínio e aço com as dimensões representadas na figura e sujeito a um momento torsor de 2kN.m. Determine as tensões de corte máximas instaladas e determine o ângulo de corte. O módulo de rigidez transversal do Alumínio é 27 GPa e o módulo de rigidez transversal do Aço é 80GPa.
A
A
1250mm
50m 100mm
m