Download - Mecanica Fluidelor Curs
-
MECANICA FLUIDELOR
Generaliti
Orice substan care curge se numete fluid. n aceast categorie se ncadreaz att lichidele ct i gazele.
Deoarece cu gazele se produc de obicei transformri termice, studiul gazelor se face pe larg la termodinamic. Ca urmare, se face referire n continuare n mod preponderent la lichide.
n cadrul acestui curs se vor studia fluidele omogene i izotrope. Un fluid este omogen dac densitatea sa are aceeai valoare n orice punct din volumul ocupat de fluid. Un fluid este izotrop dac i pstreaz aceleai proprieti dup orice direcie care strbate mediul fluid. Mecanica fluidelor se mai numete i mecanica mediilor continue, deoarece un fluid umple complet spaiul n care este pus. Studiul fluidelor se face la nivel macroscopic, n sensul c o particul fluid conine un numr considerabil de molecule. Particula fluid reprezint o poriune de fluid de form oarecare i dimensiuni arbitrar de mici, dar care pstreaz proprietile de mediu continuu ale fluidului. Se deosebesc urmtoarele modele de fluid:
fluid uor (practic fr greutate): aerul, gazele; fluid greu (lichidele, eventual gazele foarte dense); fluid ideal nu are proprietatea de vscozitate; fluid real fluid vscos (modelul Newton); fluid incompresibil (modelul Pascal).
-
Forele care acioneaz asupra fluidelor sunt de urmtoarele tipuri:
fore masice exterioare ce acioneaz asupra ntregii mase de fluid i sunt datorate unui cmp de fore exterioare; de exemplu: cmpul gravitaional, cmpuri electrice sau magnetice (dac fluidul are particule ionizate aplicaie la generatoarele magneto-hidro-dinamice);
fore masice interioare sunt de tipul aciune-reaciune, se exercit ntre dou particule nvecinate din fluid i se anihileaz reciproc;
fore de presiune exterioare se exercit pe suprafaa exterioar a fluidului i sunt, n general, fore de compresiune;
- sunt de tipul forelor de legtur din mecanica clasic; fore de presiune interioare se exercit de o parte i de cealalt a
unei suprafee oarecare ce strbate fluidul (sunt orientate dup aceeai direcie i de sensuri opuse i deci se anihileaz reciproc).
Condiia de echilibru a unui volum de fluid este:
=+ 0pm FF ,
condiie ce se menine i n cazul n cazul n care fluidul se deplaseaz cu vitez constant (micarea uniform).
Ecua
ia de micare pentru fluidul ideal este:
=+ amFF pm , valabil n cazul unei micri uniform variate.
Presiunea ntr-un punct din mediul fluid este o mrime scalar. Cu alte cuvinte, din orice direcie ne apropiem de punctul respectiv,
vom regsi n locul respectiv aceeai valoare a presiunii.
-
Proprietile generale ale fluidelor
1.Densitatea Pentru un fluid neomogen, densitatea este limita raportului dintre masa
de fluid din jurul punctului considerat i volumul de fluid corespunztor atunci cnd acest volum tinde ctre 0, adic:
dvdm
vm
v=
0lim
Pentru un lichid omogen:
vm=
3mkg
Inversul densitii este volumul specific:
1=v
Densitatea unui fluid variaz cu temperatura dup formula:
+= t1
0
unde: densitatea la 0C = densitatea la temperatura = coeficientul de dilatare n volum al fluidului. =t
Daca crete sau, urmnd un alt raionament, 0 0 V
-
pv
v = 1
Pentru un volum infinitezimal:
dpdv
v= 1
Coeficientul de elasticitate al fluidului este dat de:
dvdpv==
1
Pentru a exprima sub alt form pe , se consider masa de fluid constant.
ctm = 0=dm ( ) 0=Vd 0=+ VddV VddV =
ddV
V = ddp=
Viteza sunetului ntr-un mediu fluid este:
dpdd
dpc 1===
Pentru fenomenul de transmitere de unde sonore n lichid, acesta nu mai poate fi considerat incompresibil. Se demonstreaz prin reducere la absurd:
Dac ct= 0=dpd
, ceea ce este practic imposibil. cSe deduce deci c pentru fenomenul transmiterii de unde sonore ntr-un
lichid, acesta trebuie considerat compresibil. n aceast situaie viteza sunetului va avea o valoare finit.
Se definete numrul Mach: cvMa=
- viteza fluidului sau a corpului care evolueaz n mediul fluid, v - viteza sunetului n mediul respectiv c
Se obine: o pentru curgerea subsonic 1Ma ( )cv >
-
4.Dilatarea termic Variaia relativ a volumului de fluid este direct proporional cu
variaia de temperatur: T
VV
t = 0
,
unde V0 reprezint volumul iniial de fluid. Relaia se poate prelucra sub forma:
TV
VVt =
0
01 ; V ( )TV tt += 101unde Vf reprezint volumul final de fluid.
5.Adeziunea la suprafee solide Se constat experimental c un strat de fluid din imediata apropiere a
unei suprafee solide rmne n repaus mpreun cu suprafaa, eventual execut acelai tip de micare o dat cu suprafaa. Se spune c stratul de fluid ader la suprafaa solid.
Grosimea acestui strat de fluid este 1001 dintr-un milimetru.
1/100 mm n repaus
6.Vscozitatea
Se deosebesc vscozitatea cinematic
s
m2 i vscozitatea dinamic
2msN ;
smkg .
Mrimea vscozitii semnific intensitatea frecrii ce se produce la curgerea fluidului. Odata cu scderea temperaturii, vscozitatea lichidelor crete, iar a gazelor scade.
-
ntre cele do u vscoziti exist relaia: =
Se disting dou tipuri de fluide : -fluide ideale (fr viscozitate). Nu exist frecri i nici pierderi de
energie. -fluide reale (au proprietatea de vscozitate). Cu ajutorul vscozitii se pot determina eforturile tangentiale, fortele de frecare i pierderile de energie.
Calculul efortului tangenial Formula efortului tangenial a fost dedus cu ajutorul experienei lui
Newton. n cadrul experienei se consider dou plci plane: cea de jos n repaus
iar cea de sus n micare rectilinie uniform, conform figurii: y U U
h 0 x
fluid
Placa superioar ce se gsete n micare rectilinie i uniform cu viteza
U antreneaz fluidul care, datorit proprietii de adeziune, antreneaz primul strat de fluid nvecinat. Acesta, prin intermediul eforturilor tangeniale , antreneaz succesiv la rndul lui urmtoarele straturi, a cror vitez descrete ns liniar , pe msura apropierii de placa de baz fix.
Stratul inferior ader la placa fix i rmne deci n repaus. S-a constatat c efortul tangenial este o funcie de variaia de viteze
dintre straturi i este proporional cu vscozitatea dinamic a fluidului, :
yu
dydu
=
Aproximarea cu ajutorul diferenelor se face n cazul n care distana h se poate considera suficient de mic.
La contac tul dintre dou straturi nvecinate, efortul se poate exprima cu:
-
dydu=
xperienei, considernd h mic, atunci: n cazul e hU ,
unde U este viteza prii mobile. Se poate determina n continuare fora de frecare ce apare la curgerea fluidului:
AFf = A fiind suprafaa unei plci.
7.Conductibilitatea termic Este proprietatea fluidului de a transmite cldur. Intereseaz de obicei determinarea temperaturii unui anumit strat din
interiorul unui mediu fluid prin care se transmite cldur, caracterizat de fluxul termic q : y
h =?
placi
fluid
Pentru determinarea temperaturii , corespunztoare unui strat situat la distana h de placa de baz, se face asemnarea triunghiurilor dreptunghice din figur:
Se obine: h
y=
|||
|
( )y =
Fluxul termic de la placa superioar la cea inferioar este dat de formula lui Fourier :
hkqq
= .
-
Semnul minus arat c fluxul termic se transmite n sens invers axei Oy. reprezint coeficientul de conductibilitate termic. qk
8.Difuzia masic
Difuzia masic este proprietatea unui fluid de a se rspndi n interiorul uni alt fluid, proces datorat agitatiei termice moleculare
Se pune problema determinrii concentraiei fluidului F1 ce difuzeaz ntr-o anumit zon din fluidul F2.
n cazul unui vas umplut parial cu alcool de exemplu, deasupra cruia se gsete aer, se determin concentraia alcoolului difuzat n aer, la o anumit distan de suprafaa liber a alcoolului..
Fcnd asemnarea triunghiurilor dreptunghice din figur, rezult:
hyh
CCCC
S
=
( )yCC =
Fluxul masic este dat de legea lui Fick: m
hCkmm
= i se produce n sensul pozitiv al axei Oy. km reprezint coeficientul de difuzie masic.
-
Proprietile fizice specifice lichidelor
1.Tensiunea superficial Se constat experimental c suprafaa liber a unui fluid se gsete ntr-
o stare de tensiune asemntoare cu a unei membrane elastice ntinse. Fora care se exercit pe unitatea de lime la suprafaa exterioar a
fluidului este coeficientul de tensiune superficial . Ca urmare a aciunii tensiunii superficiale, la suprafaa liber rmne un
numr minim de particule, ct sunt absolut necesare pentru a forma aceast suprafa.
Din acest motiv, volume mici de lichid iau forma sferic, (eventual elipsoidal), tiut fiind faptul c sfera este corpul geometric cu volum maxim la suprafa exterioar minim. (O pictur de ap aflat n cdere, picturi de ap pe fundul unui vas cu ulei)
O suprafa exterioar a unui volum mic de lichid corespunde unei energii superficiale minime:
AW =
Se poate deduce diferena de presiune dintre zona interioar a fluidului i cea exterioar cu ajutorul formulei lui Laplace:
+=
2121
11RR
pp pentru elipsoid
Dac elipsoidul devine sfer i se obine: RRR == 21
Rpp 221 =
-
2.Capilaritatea Eeste o consecin a proprietilor de adeziune i tensiune superficial. Se constat c lichidele cu densitate mic urc n tuburile capilare ce au
diametrul interior de ordinul zecimilor de milimetri, cu o cot h fa de suprafaa liber a lichidului, conform figurii a.
figura a figura b
Lichidele cu densitate mare coboar n tuburile capilare cu o cot h, conform figurii b.
Citirea nlimilor coloanei de lichid denivelate se face plecnd de la planul suprafeei libere a lichidului pn la planul orizontal tangent la suprafaa liber a lichidului din tub.
Pentru determinarea cotei h se egaleaz rezultanta forelor de tensiune superficial calculat pe circumferina suprafeei libere, cu greutatea volumului de lichid ce a urcat n tubul din figura a:
gvgmr == cos2 ghrr = 2cos2 formula lui Jourin : grh
= cos2
3.Absobia gazelor Fenomenul de absorbie a gazelor ntr-un lichid se produce odat cu
creterea presiunii sau scderea temperaturii. Apa, n condiii normale de presiune i temperatur, conine aer. %2
-
4.Degajarea gazelor i cavitaia
Degajarea gazelor se produce odat cu scderea presiunii sau creterea temperaturii din jurul mediului lichid. (de exemplu fierberea apei)
Cavitaia este fenomenul ce se produce la scderea presiunii pn la nivelul presiunii de vaporizare al lichidului. n aceste condiii, se formeaz caviti n interiorul lichidului aflat n curgere, care sunt umplute cu gaze coninute anterior n lichid, caviti ce se reabsorb cu creterea ulterioar a presiunii.
Fenomenul este nsoit de procese mecanice (presiuni foarte mari), chimice (se dagaj oxigen activ), termice (temperaturi locale de mii de grade), electrice (fulgere n miniatur), ce conduc mpreun la distrugerea materialului metalic.
Distrugerea palelor rotoarelor de pomp cuplate la motoare asincrone conduce la asimetrii n masa acestora, ce conduc la bti n lagre i obligativitatea opririi instalaiei i nlocuirea rotorului, cu costuri ridicate pentru pies i manoper.
n mod similar se poate produce distrugerea palelor rotoarelor de turbin, n special la turbinele de abur, la ieirea din ultima treapt, cea de joas presiune, turbine cuplate la generatoare sincrone, cu pagube similare.
Pentru evitarea fenomenului de cavitaie, se asigur de regul n amonte de zona periclitat, o presiune suficient de mare, pentru a nu scdea presiunea n zona critic pn la valoarea presiunii de vaporizare.
Statica fluidelor
Se consider c asupra fluidului n repaus acioneaz forele masice exterioare i forele exterioare de presiune.
Pentru o mas infinitezimal de fluid n repaus, ecuaia vectorial de hilibru este : ec
d mF + d pF = 0
Ecuaiile de repaus ale fluidelor
Se consider o particul infinitesimal, paralelipipedic, de dimensiuni dx, dz i dy i se figureaz toate forele exterioare ce acioneaz asupra particulei:
-
Particula este de dimensiuni infinitezimale deoarece n acest mod se poate considera c presiunea p din origine se regsete cu aceeai valoare pe toate cele trei fee ce conin originea. n acest mod se poate aplica formula cea mai simpl de calcul a forei, ca produsul dintre presiune i suprafaa aferent. Pe feele opuse presiunea sufer modificri (de exemplu, pe direcia avem variaia de presiune
Ox
dxxp
).
Fora masic infinitezimal este dat de:
dmfFd mm = unde mf este fora masic unitar: kZjYiXfm ++= X, Y i Z sunt componentele forei masice unitare (masa este considerat egal cu unitatea i atunci fm devine o for) dup cele trei direcii asociate cu versorii i,j i k. Difereniala masei este dat de: dVdm = dxdydz= Se obine fora masic infinitezimal, respectiv componentele ei dup cele trei axe:
-
dxdydzXdF mx = ( ) dxdydzkZjYiXFd m ++= dxdydzYdF my = dxdydzZdF mz = Componenta forei de presiune dup axa OX se deduce fcnd bilanul forelor orientate dup axa respectiv din figur:
dxdydzxpdydzdx
xpppdydzdFpx
=
+=
Componentele dup axele OY i OZ se deduc n mod analog. Se scrie ecuaia vectorial dup cele trei direcii i rezult:
Ecuaiile de repaus :
:Ox 0= dxdydz
xpdxdydzX 01 =
xpX Xx
p =
1
i :Oy 0=
dxdydzypdxdydzY 01 =
yp
Y Yyp =
1
j :Oz 0=
dxdydzzpdxdydzZ 01 =
zpZ Zz
p =
1
k Prin nmulirea ecuaiilor cu versorii axelor i adunare:
kXjYiXkzpj
ypi
xp ++=
+
+
1
i se obine n final ecuaia vectorial a fluidului: mfgradp =
1
-
Relaia fundamental a staticii fluidelor
Se pornete de la ecuaia vectorial de echilibru dedus anterior:
mfgradp=1
Pentru a putea integra ecuaia vectorial se exprim forele masice unitare tot cu ajutorul unui gradient:
gradUf m = unde U potenialul forelor masice unitare. = Se obine:
01 =+ gradUgradp 01 =
+ drgradUgradp
Se calculeaz ca exemplu: ( ) dpdz
zpdy
ypdx
xpkdzjdyidxk
zpj
ypi
xpdrgradp =
++
=++
+
+= dpdrgradp =
i se obine:
01 =+dUdp - relaia fundamental a staticii sub form diferenial
i prin integrare se obine:
ctUdp =+ - relaia fundamental a staticii sub form integral.
Se deduc n continuare diversele forme ale relaiei fundamentale a staticii.
1.Relaia fundamental a staticii pentru fluide incompresibile Pentru fluidele incompresibile = ct. i efectund integrala rezult:
ctUp =+ ctUp =+
-
2.Transformarea izoterm a gazelor Relaia fundamental n cazul repausului izoterm al fluidelor uoare se
deduce n condiia pentru care i considernd se obine:
ctT = ctpV = ctm=
ctmp = ct
p = Ecuaia de transformare fa de starea iniial, notat cu indicii 0, este:
0
0
pp = = 0
0pp dp
dp =0
0 ctU
dp =+ 00 ctUp =+ ln0
0
i n final: ctUp =+ ln0
0
3.Transformarea adiabatic a gazelor ctpVk =
ctmp k
k
= , ctm= ctp
k =
ctp
K = dkp
dp kk1
0
0 =
ctUdkp kk =+ 100
ctUdkp k
k =+ 200 ctUk
kp KK =+
1
0
0
1
4.Transformarea politrop a gazelor
ctpVn = , cu exponentul politropic. Se obine n mod analog: nctU
nnp n
n =+1
0
0
1
-
Calculul potenialului forelor masice unitare
gradUf m = mfgradU = ( ) ( )drfdrgradU m= ( )( ) ( )ZdzYdyXdxkdzjdyidxkZjYiXdU ++=++++= i se obine expresia potenialului forelor masice unitare:
U ++= )( ZdzYdyXdx
Consecine ale relaiei fundamentale ale rapausului fluidelor
1.Suprafeele echipoteniale sunt i suprafee izobare : ( ctU = )
)
ctUp =+
ct= 2.Suprafeele echipoteniale sunt i suprafee izodense: ( ctU =
ct=
3.Suprafeele echipoteniale sunt i suprafee izoterme:
ctT =
4.Dou suprafee echipoteniale nu se intersecteaz.
Prin reducere la absurd, n cazul n care suprafeele s-ar intersecta, se deduce c n zona interseciei am avea dou presiuni, ceea ce este imposibil . Deci suprafeele echipoteniale nu se intersecteaz.
5.Fora masic unitar este orientat perpendicular pe suprafaa echipotenial n sensul creterii presiunii i scaderii potenialului.
6.Dou lichide nemiscibile au suprafaa de separaie echipotenial.
- pentru primul lichid obinem: Udp 1= ( ) 012 = dU 0=dU ctU =
- pentru al doilea lichid: Udp 2=
7.ntr-un fluid n repaus, n care forele masice sunt neglijabile n raport cu cele de presiune, se consider c presiunea rmne constant n ntreg volumul de fluid considerat.
0=mf , din gradUfm = U 0=gradU ct= ctp= principiul lui Pascal ctUp =+
-
Aplicaii ale principiului lui Pascal 1.Presa hidraulic
Deoarece forele de presiune sunt foarte mari, se consider n toat masa
de lichid. Atunci se obine: ctp=
1
1
2
2
SF
SF =
1
212 S
SFF =
Se aplic conservarea momentului forelor fa de articulaia 0:
( ) bFbaF =+ 1 bbaFF +=1 FS
Sb
baFF >>+=1
22
2.Amplificatorul hidraulic de presiune
ctF = 1122 SpSp = 12
112 pS
Spp >>=
-
Repausul fluidelor n cmpul gravitaional ctUp =+ kgkZjYiXf m =++= U = = - = ++ )( ZdzYdyXdx gdz gz + ct ctUp =+ ctgzp =+ U ctgz +=
=g ctzp =+ ctzp =+ Interpretarea energetic a relaiei fundamentale:
ctzp =+ ctzg
p =+ ctmgzmggp =+ ctmgzVgg
p =+ =g Vm =
ctmgzpV =+ Suma dintre energia de presiune si cea potenial rmne constant.
Principiul vaselor comunicante: ctzp =+ ctz = ctpp at ==
Calculul presiunii n interiorul unui lichid n repaus : ctzp =+ NNNM zpzp +=+ ( ) hpzzpp NMNNM +=+= hpp atM += ghpp atM +=
-
Repartiia de presiuni pe pereii solizi ai unui rezervor
== hhtg
Repartiia de presiuni pentru trei lichide nemiscibile
Repausul relativ al fluidelor n cmpul gravitaional
Un fluid se gsete n repaus relativ, dac se afl n repaus fa de un sistem de referin mobil, aflat n micare uniform variat fa de un alt sistem de referin fix.
Exemplu: - lichidul dintr-un camion aflat n micare uniform accelerat. - lichidul dintr-un vas aflat n micare circular uniform.
Pentru a analiza situaia ne putem situa pe sistemul de referin fix (pmnt) pentru care se aplic principiul al II-lea al dinamicii (lichidul se mic o dat cu vehiculul respectiv) sau ne situm pe observatorul mobil
apare fora de inerie si pentru care: unde 0=F : 0=++ ipm FFF amFi = amFF pm =+
Considerm c observatorul se gsete pe sistemul mobil, pentru care
ectorial de echilibru este : ecuaia v im ffgradp +=
1
-
ctUp T =+ U ,unde U potenialul forelor unitare de inerie iT UU += T
Analiza micrii de translaie a unui rezervor umplut parial cu lichid
1.Determinarea ecuaiei suprafeei libere:
ctUp T =+ ( ) ( ) +++++= dzZZdyYYdxXXU iiiT )( 0=X aX i =
=mf Y 0= =if 0=iY gZ = 0=iZ
++== ctgzaxgdzadxU T )( , , U ctpp at == ctT = Cgzax =+ Cghba =+ 02
Pentru
0,2
hbA 02 ghbagzax +=+ 02 hg
abxgaz ++=
2.Repartiia de presiune n interiorul lichidului i pe perei ( ) 2Cgzaxp =++ Punnd din nou condiia ca punctual A s se gseasc pe suprafaa liber, la presiunea atmosferic, se obine:
202Cghabpat =
++ ( )gzaxghabpp at +
++= 02
( )zxpp ,=
-
Se obine n final repartiia de presiuni pe pereii rezervorului:
Se observ c zonele cele mai solicitate sunt cele corespunztoare muchiilor ce trec prin origine i extremitatea jos dreapta. Se vor lua msurile adecvate pentru a spori rezistena rezervorului n zonele respective.
-
Aciunea fluidelor n repaus asupra suprafeelor solide
Prin analogie cu mecanica clasic se poate considera c aciunea fluidului poate fi caracterizat de o for rezultant i un moment rezultant ce formeaz mpreun un torsor. Se consider iniial fora cu care acioneaz fluidul asupra unui element de suprafa infinitezimal:
dSnpFd p = deci pe acea suprafa infinitezimal pe care presiunea se poate considera constant.
p
=S
p dSnpF
-iar momentul corespunztor tuturor forelor de presiune este: ( ) =
S
dSnprM =S
pdSrnM
1.Actiunea fluidelor n repaus asupra suprafeelor plane
Pe o suprafa plan, normala are aceeai orientare constant: n
=S
p pdSnF
-iar momentul tuturor forelor devine:
=S
pdSrnM
Pentru determinarea vectorului de poziie corespunztor punctului de aplicaie al rezultantei ( )Cr , centrul de presiune ; se aplic ( C )
Teorema lui Varignon: Momentul rezultantei este egal cu suma momentelor tuturor forelor.
-
pC FrM = =
=
SC
SC pdSrnpdSnrM
- se egaleaz cele dou expresii ale momentului i
=S
SC
pdS
pdSrr
1.1.Aciunea fluidelor uoare n repaus asupra suprafeelor plane
ctp= =S
p pdSnF SpnFp = pSFp =
-din
=S
SC
pdS
pdSrr i cu ctp=
=
S
SC
dSp
dSrpr S
SrdS
dSrr G
S
SC
==
GC rr = GC
Centrul de presiune coincide cu centrul de greutate al suprafeei pe care acioneaz fluidul uor.
1.2.Aciunea fluidelor grele n repaus asupra suprafeelor plane Deoarece acioneaz totodat sub suprafaa solid, se ia n
considerare numai efectul presiunii date de lichid (suprapresiunea). atp
-
hpp atabs += , hp = ==SS
p dSynhdSnF sin =S
p ydSnF sin
S
ydS -momentul static al suprafeei fa de axa . S Ox
SYydS GS
= =S
p ydSnF sin SYnF Gp = sin ShnF Gp = Gh - distana de la planul suprafeei libere a lichidului pn la centrul
de greutate al suprafeei udate de lichid (sau adncimea centrului de greutate al suprafeei udate). - aria suprefeei udate de lichid. S
=
==S
S
S
S
S
SC
dSy
dSyr
dSy
dSyr
hdS
hdSrr
sin
sin
SY
dSyrr
G
SC
=
Se determin separat coordonatele carteziene ale centrului de presiune C .
SYIxy
SY
xydSX
GG
SG ==
Ixy - momentul de inerie centrifugal al suprafeei fa de sistemul de axe.
S
SY
dSyY
G
SG =
2
- momentul de inerie centrifugal al suprafeei fa de axa . Ix S OxPentru a putea exprima momentul de inertie cu formule cunoscute, se
trece de la sistemul de axe xOy la sistemul aplicnd teoremele lui Steiner.
''Gyx
'' yIxSYXIxy GG += '2 IxSYIx G +=
-
-coordonatele centrului de presiune , unde se aplica fora rezultant
C
pF . SYyIxXX
GGC +=
''
SYIxYG
GC +='Y
Aplicaie: Aciunea apei asupra suprafeei solide plane verticale i
dreptunghiulare a unei stavile.
bhhSpF mp 20+== , 2
2bhFp= , 3
2hYC = Metoda a II-a:
ShF Gp =
2
2bhFp= , 0=CX 3
262
2
122
'
3
hhh
bhh
bhh
SYIxYG
GG =+=+=+=Y
2.Aciunea fluidelor n repaus asupra suprafeelor curbe deschise
2.1.Aciunea fluidelor uoare n repaus asupra suprafeelor curbe deschise
Deoarece curbura unei suprafee poate sa fie oarecare n spaiu, este de preferat s se determine separat componentele dupa cele 3 axe ale forei de presiune i s se determine ulterior rezultanta .
Componentele forei elementare sunt:
-
dSinpidFdF ppx == cos11 = in
cospdSdFpx = yOzpx pSdF =
=yOzS
yOzpx pdSF
=xOzS
xOzpy pdSF
=
xOySxOypz pdSF
Vectorii de poziie se calculeaz n mod similar cu cazul suprafeei plane, cu precizarea c integralele se efectueaz pe proieciile suprafeei curbe deschise n cele 3 plane de coordonate.
ctp= yOzpx pSF = =yOzS
yOzpx pdSF
xOzpy pSF = xOypz pSF =
- aria proieciei suprafeei curbe udate n planul yOzS yOz.
2.2.Aciunea fluidelor grele n repaus asupra suprafeelor curbe deschise
yOzGx SZF = xOzGy SZF =
VFz = , GG rr =
GZ -adncimea centrului de greutate a suprafeei curbe udate n planul yOz
V -volumul cuprins ntre suprafaa curb udat i proiecia ei n planul suprafeei libere a lichidului.
-
3.Aciunea fluidelor n repaus asupra suprafeelor curbe nchise
3.1.Aciunea fluidelor uoare n repaus asupra suprafeelor curbe nchise
Rezultanta forelor de presiune dat de fluidul uor este nul. (exemplu: o minge aflat pe o suprafata plan n interiorul unui gaz).
3.2.Aciunea fluidelor grele n repaus asupra suprafeelor curbe nchise
Principiul lui Arhimede
11 VFz = ( )122 VVVFz +== VFFF zzz == 21
VFz = -principiul lui Arhimede
Un corp cufundat intr-un lichid este mpins de jos n sus cu o for egal cu greutatea volumului de lichid dislocuit.
Se poate face demonstraia i n urmtorul mod:
=S
p pdSnF zpp at += =V
p dVgradpF
kkzpj
ypi
xpgradp =
++
= =S
p dVkF =S
p dVkF VkFp = VFp =
-
Cinematica fluidelor Se ocup cu studiul micrii fluidelor fr a ine seama de forele i transformrile energetice care apar. Se intenioneaz determinarea componentelor vitezei vectoriale i ale acceleraiei vectoriale precum i traiectoriile parcurse de particulele fluide. Micarea se caracterizeaz sintetic prin spectrul hidrodinamic sau aerodinamic. Se consider c mrimile sunt funcii continue i derivabile n timp i spaiu i se aplic elemente de teoria cmpului. Formulele sunt valabile att pentru fluidele ideale ct i pentru fluidele reale.
Metode de studiu n cinematic 1.Metoda Lagrange
n metoda Lagrange se urmrete fiecare particul pe traseul strbtut de aceasta, iar micarea ntregului fluid este caracterizat prin ansamblul traiectoriilor parcurse de particulele fluide.
Pentru o particul, traiectoria este caracterizat de:
( )tZYXXX ,,, 000= Y , n care , Y si sunt coordonatele iniiale ( )tZYXY ,,, 000= 0X 0 0Z ale particulei la momentul t( tZYXZZ ,,, 000= ) 0.
Considerm c fluidul este format din particule, iar un ansamblu de ecuaii de acest tip, caracterizeaz micarea fluidului.
MN
Din ecuaiile traiectoriilor se deduc componentele vitezei vectoriale ( )wvu ,, =
Componentele de vitez sunt:
tXu = , t
Yv = , t
Zw =
Componentele acceleraiei vectoriale ( )zyx aaaaa ,,= sunt:
-
2
2
tX
tuax
==
2
2
tY
tvay
==
2
2
tZ
twaz
==
2.Metoda Euler
n cadrul acestei metode se determin componentele de viteza n puncte fixe din spaiu n care se pot plasa aparate de msur.
- u se pot scrie: wv,,
( )tZYXuu ,,,= ( )tZYXvv ,,,= ( )tZYXww ,.,=
Din componentele de vitez se deduc traiectoriile din urmtoarele ecuaii:
dtdXu = , dt
dYv = , dtdZw=
Componentele acceleraiei se deduc derivnd componentele de vitez:
dtduax = , dt
dvay = , dtdwaz =
dZZudY
YudX
Xudt
tudu
++
+=
dtdZ
Zu
dtdY
Yu
dtdX
Xu
tu
dtduax
++
+==
dtuw
tuv
tuu
tu
dtduax
++
+==
tvw
tvv
tvu
tv
dtdvay
++
+==
tww
twv
twu
tw
dtdwaz
++
+==
-
Calculul acceleraiei vectoriale Se nmulesc cu zyx aaa ,, kj,,i
kajaiaa zyx ++=
+
++
+
+
++
+
++
+
++
=
kZwj
Zvi
Zuw
kYwj
Yvi
Yuvk
Xwj
Xvi
Xuui
tui
tui
tu
Zw
Yv
Xu
ta
++
+=
dtd
dtdZ
ZdtdY
YdtdX
Xta =
++
+= ( )tZYX ,,, =
Primul termen din acceleraia vectorial t
apare n cazul unei
micri nepermanente i reprezint variaia vitezei vectoriale n timp n anumite puncte fixe din spaiu iar urmtorii 3 termeni reprezint variaia vitezei vectoriale la deplasarea n spaiu.
Primul termen reprezint acceleraia instantanee, iar ultimii 3 reprezint acceleraia convectiv.
Acceleraia obinut anterior corespunde unei micri nepermanente
i neuniforme. Dac micarea este permanent, atunci 0=dtd
Dac micarea este uniform, atunci derivatele pariale n raport cu una sau mai multe variabile spaiale sunt nule.
Micarea cea mai simpl, permanent i uniform corespunde la a=0. Noiuni generale de cinematic Curentul de fluid reprezint o mas de fluid aflat n micare. Linia de curent reprezint nfurtoarea vectorilor vitez care se
gsesc la un moment dat cu originea pe curba respectiv . Altfel spus, linia de curent este curba la care vectorii vitez
corespunztori particulelor fluide sunt tangeni la curb n punctele n care se gasesc particulele respective.
Ecuaia liniilor de curent:
-
Considernd c vectorul de viteza este paralel cu difereniala vectorului de poziie se obin :
dr|| ( )wvu ,,
( )dZdYdXdr ,,
wdZ
vdY
udX == - ecuaiile linilor de curent.
Doua linii de curent nu se intersecteaz niciodat. Daca s-ar intersecta, n punctul respectiv particula fluid ar avea dou viteze, fiecare vitez tangent la linia de curent corespunztoare, ceea ce este fals.
Liniile de curent umplu complet spaiul n care evolueaz fluidul. Traiectoria reprezint drumul parcurs de particula fluid n micare. Ecuaiile traiectoriei se deduc plecnd de la:
( )dttrdr ,= dtdr =
n micarea permanent traiectoria coincide cu linia de curent. Seciunea vie reprezint seciunea strbtut de particulele de fluid n
micare, perpendicular pe liniile de curent corespunztoare.
2RA = bhA=
Perimetrul udat reprezint lungimea conturului solid cu care fluidul
se gsete n contact n cadrul seciunii vii. RP 2= hbP 2+=
Raza hidraulic este raportul dintre seciunea vie i perimetrul udat.
22
2 RR
RPARh ===
bh
bhRh += 2
-
Debitul volumic reprezint f ez printr-o suprafa curb deschis.
( )Q
=Q =Q
n =
Dac viteza este constant n orice p
SQ n= n cazul unui circuit deschis debitu
raportul dintre volumul de lichid scurs i
tVQ=
s
m3
,
sl
tmQm =
k
tGQG =
N
Circulaia vitezei de-a lungul unei c
V
=
In legtur cu vrtejul se poate enunFluxul vectorului vrtej printr-o sup
=S ctndS ctdS = luxul vectorului vit dSn
SndS
nn =cos
unct al suprafeei , atunci: S SQ =
l volumic se poate determina ca timpul corespunztor.
sg
debitul masic
s debitul de greutate
urbe deschise este: AB
== BA
t
B
A
dsds rtejul:
wvuZYX
kji
rot
=
21
21
a teorema lui Helmholtz. rafa curb nchis este constant.
- pentru o suprafa
-
Un vrtej nu se poate nchide n interiorul fluidului. Daca s-ar nchide n interiorul fluidului 0dS
Un vrtej se nchide pe o suprafa solid cu care se nvecineaz un fluid, sau se nchide n el nsui (vrtejuri toroidale).
-
Cinematica fluidelor Ecuaia de continuitate
Ecuaia de continuitate reprezint principiul conservrii cantitii de fluid aflat n curgere. Prin cantitate se poate nelege volum, mas, greutate.
Ecuaia de continuitate se obine fcnd un bilan al maselor. Diferena dintre masa de fluid intrat i cea ieit dintr-un volum de
fluid este egal cu variaia de mas din interior datorat variaiei de densitate n timp.
Ecuaia de continuitate n cazul tridimensinal:
Aceast particul se consider infinitezimal astfel nct si v pot fi constante n raport cu dy de exemplu.
Se face bilanul maselor:
Variaia de mas dup direcia axei Ox este:
dydzdtdxx
dxdydtdm uuux
+=
-
dxdydzdtxdm ux
=
dxdydzdtydm vy
=
dxdydzdtzdm wz
=
dxdydzdtzyxdmdmdmdm wvuzyx
+
+=++=
dxdydzdmi = dxdydzdt
tdmf
+=
dxdydzdxdydzdttdmdmdm if
+==
dxdydzdttdm
= Se obine ecuaia de continuitate sub forma:
0=+
++
zw
yv
xu
t
sau:
0=+ div
t
n cazul unei micri permanente 0=
t
0=div Pentru un fluid incompresibil ct= 0=div sau:
0=+
+
zw
yv
xu
ce reprezint forma extins a ecuaiei i conine variaiile de vitez.
Aceste rezultat se extinde la nivelul ntregului volum de fluid, avnd n vedere proprietile de omogenitate i de izotropie ale fluidului.
-
Ecuaia de continuitate n cazul tubului de curent:
Diferena dintre masa intrat i cea ieit este: dtdSVdSVdtdSndSn
Sn
Sn
S S
=
211 2
222111222111 Variaia de mas din interior
n interior avem masa iniial din volumul V:
=V
i dVm , masa final:
+=
Vf dVdtt
m
+=
VVif dVdtt
dVmm dtdVtV
=
Fcnd bilanul maselor, rezult:
dtdSVdSVdtdVt S nS nV
=
21
222111
=21
222111S
nS
nV
dSVdSVdVt
Dac micarea este permanent: 0=
t
ctdSVdSVQS
nS
nm === 21
222111
-
Dac fluidul este incompresibil: ct== 21 ctdSVdSVQ
Sn
Snv ===
21
2211
Ecuaia de continuitate pentru tubul de curent elementar Diferena dintre masa intrat i cea ieit este:
dsdtsVSdtds
sVSVSVSdt
=
+ Masa iniial i cea final din tubul respectiv sunt: ( )Sdsmi =
dsdttSSmf
+= dsdtt
Sm
=
Din bilanul maselor, rezult: dsdts
VSdsdttS
=
0=
+
sVS
tS
-forma general
Dac tubul este nedeformabil: 0=
tS
0=+
sVS
tS
Dac micarea este permanent: 0=
t
0=
tVS
Q ctVS= ctSVSVm === 222111 Dac fluidul este incompresibil: Q ct= ctSVSVm === 2211
-
Dinamica fluidelor
Se ocup cu studiul micrii fluidelor, innd cont de forele i transformrile energetice care apar.
Se analizeaz iniial micarea fluidelor ideale la care exist frecri i pierderi de energie.
Deducerea ecuaiei de micare a fluidelor ideale
Se consider un volum oarecare de fluid aflat n micare uniform variat; se figureaz toate forele ce apar asupra unui volum delimitat de fluid, de dimensiuni infinitezimale i se aplic principiul al II-lea al dinamicii.
Ecuaia vectorial de micare (principiul al II-lea) este:
admFdFd pm =+
-
dVfdmfFd mmm == ( ) dxdydzkZjYiX ++= dxdydzXdFmx = dxdydzYdFmy = dxdydzZdFmz =
dydzdxxpppdydzdFpx
+= dxdydzx
p=
dxdydzdVdm == dtdua x =
Fcnd nlocuirile n ecuaia vectorial de micare se obine ecuaia corespunztoare axei Ox.
dtdudxdydzdxdydz
xpdxdydzX =
xp
dtduX
= YypX =
1
Xxp
dtdu =
+ 1
Yyp
dtdv =
+ 1
Zzp
dtdw =
+ 1
- ecuaia corespunztoare axei Ox
- ecuaia corespunztoare axei Oy
- ecuaia corespunztoare axei Oz
Primul termen reprezint fora unitar instantanee de inerie, al doilea fora unitar de presiune, iar membrul drept fora masic unitar.
Aplicnd formulele de la cinematic sistemul de ecuaii de micare:
Xxp
zuw
yuv
xuu
tu =
++
++
1
Yyp
zvw
yvv
xvu
tv =
++
++
1
Zzp
zww
ywv
xwu
tw =
++
++
1
-
Sistemul are 4 necunoscute: u, v, w i t se completeaz sistemul cu ecuaia de continuitate.
0=+
++
zw
yv
xu
t
Dac i densitatea este o necunoscut, atunci se completeaz sistemul cu ecuaia de stare a gazelor: 5 ecuaii cu 5 necunoscute. ( )Tp, =
Sistemul se rezolv exact n cazuri particulare de micare formule analitice. n general, sistemul se rezolv cu metode numerice, alegnd o reea n care se precizeaz valorile iniiale i/sau la limit.
Valorile iniiale , , si se precizeaz n cazul unei micri nepermanente.
0u 0v 0w 0p
O condiie la limit pentru fluidele ideale este c viteza tangenial a fluidului la suprafaa solid este diferit de zero, datorit absenei frecrilor.
Componenta normal a vitezei la suprafaa solid este ns nul. Ecuaia vectorial se obine nmulind fiecare ecuaie cu versorul
corespunztor axei respective i adunnd membru cu membru: kZjYiXk
zpj
ypi
xpk
dtdwj
dtdvi
dtdu ++=
+
++++
1
mfgradpdtd =+ 1
ecuaia vectorial de micare
-
Dinamica fluidelor
Relaia lui Bernoulli
Integrarea ecuaiilor de micare :pe o linie de curent
Xzuw
yuv
xuu
tu =
++
+
Yzvw
yvv
xvu
tv =
++
+
Zzww
ywv
xwu
tw =
++
+
se realizeaz pe o linie de curent
Se pornete de la sistemul de ecuaii de micare ala fluidelor ideale i se pun urmtoarele condiii:
1.Micarea este permanent:
0==
=
tw
tv
tu
2.Micarea se efectueaz pe o linie de curent
wdz
vdy
udx ==
3.Pentru a exprima membrul drept al fiecrei ecuaii sub forma unei derivate, se pune condiia ca forele masice s derive dintr-un potenial.
gradUfm =
gradUfm =
+
+=++ k
zUj
yUi
xUkZjYiX
-
xUX = x
Uxp
zuw
yuv
xuu
=+
++
1
yU=Y y
Uyp
zvw
yvv
xvu
=+
++
1
zUZ = z
Uzp
zww
ywv
xwu
=+
++
1
dxxUdx
xpdx
zuwdx
yuvdx
xuu
=+
++
1
dyyUdy
ypdy
zvwdy
yvvdy
xvu
=+
++
1
dzzUdz
zpdz
zwwdz
ywvdz
xw
=
++
+
1u
dxvdyu = dzwdzu = dywdzv =
dxxUdx
xpdz
zuudy
yuudx
xuu
=+
++
1
dxxUdx
xpdz
zudy
yudx
xuu
=+
+
+
1
dxxUdx
xpduu
=+
1
dyyUdy
ypdvv
=+
1
dzzUdz
zpdww
=+
1
+
+=
+
+=++ dz
zUdy
yUdx
xUdz
zpdy
ypdx
xpdwwdvvduu
1
-
duuduuud ==
221
2
2
( ) dudpwvud =+
++
1
2
222
( )wvu ,, = 01
2
2
=++ dUdpvd
- pentru fluide incompresibile - pentru fluide care se afl n cm
ctgzdpv =++ 122
gpv ++ 22
ctzgp
gv =++ 2
2
- ecuaia lu
ntre punctele (1) i(2) situate pe
=g , 121
2p
gv +
Interpretare energetic i reprezectzp
gv =++ 2
2
Vgpmg
gv + 2
2
Concluzie: suma dintre energia cpotenial a fluidului rmne constant ct=p gravitaional U , gz= =g
ctz= ctggzgp
gv =++ 1112
2
i Bernoulli
o linie de curent, se obine:
221
22
1 2z
pg
vz ++=+
ntarea grafic: ctmgzg =+ ctmgzpVmv =++2
2
inetic, energia de presiune i energia (pentru un fluid ideal). -linia energetic
-linia piezometric
-linia de curent
-
n cazul fluidelor uoare, energia potenial e neglijabil ctg
pg
v =+ 22
ctpv =+ 22
2
221
21
22pvpv +=+
Teorema impulsului i teorema momentului cinetic
Impulsul unui corp cu masa m i viteza vectorial v este: vm , iar
momentul cinetic corespunztor este: vmr Impulsul total al unui sistem de corpuri este:
= vmH = vmrK - momentul cinetic
Teorema impulsului:
= eFdtdH ; ( ) = eFvmdtd
Derivata n raport cu timpul a impulsului total este egal cu suma forelor exterioare care acioneaz asupra sistemului de corpuri.
Teorema momentului cinetic:
= eMdtdK ; ( ) = eMvmrdtd
Derivata n raport cu timpul a momentului cinetic total este egal cu suma momentelor forelor exterioare care acioneaz asupra sistemului de corpuri.
Se procedeaz n mod analog pentru un volum de fluid format din particule de mas (dm).
Impulsul unei particule fluide este vdm - pentru ct= impulsul este: dVvvdV =
Momentul cinetic al unei particule fluide: dVvrvdmr =
Impulsul total al ntregului volum de fluid este:
V dVv
-
Teorema impulsului devine:
=V eFdVvdtd Teorema momentului cinetic devine:
=V eMdVvrdtd Pentru a efectua integralele de volum se va considera curgerea unui
fluid cu densitatea constant i se va apela la noiunea de tub de curent elementar pentru care i viteza iese n faa integralei deoarece este o mrime constant
Teorema impulsului i teorema momentului cinetic pentru tubul de curent elementar ( ) egpp FFFFvvQ +++= 2112
Variaia forelor de impuls este egal cu suma forelor exterioare ce acioneaz asupra volumului de fluid V. 2v i 1v - reprezint viteza de ieire-intrare n volumul V de fluid de control 1pF i 2pF - forele cu care fluidul ndeprtat acioneaz asupra fluidului din volumul V. gF - fora de greutate a fluidului considerat. eF - fora cu care pereii solizi acioneaz asupra fluidului din volumul V.
RFe = (fora cu care fluidul acioneaz asupra pereilor) ( ) eeggpppp FrFrFrFrvrvrQ +++= 22111122
-
Din teorema impulsului se deduce modulul forei sau i din teorema momentului cinetic se determin vectorul de poziie .
eFr
`R
e
Aciunea apei asupra unui cot de conduct
Se consider un cot de unghi situat n plan orizontal prin care trece debitul Q de ap la presiunea p.
- greutatea gF se neglijeaz
(este perpendicular pe tabl)
Dac sensul vectorilor coincide cu sensul axelor, atunci vectorii i menin acelai semn n teorema impulsului. Se proiecteaz teorema impulsului pe axe:
( ) xpp RFFvvQ = coscos 2112 :Ox ( ) yp RFvQ = sinsin 22 :Oy
Deoarece cotul este n plan orizontal i are seciunea transversal constant, atunci ctS
Q ==V ; dac p=ct ctz = vvv == 12v=ct ppp == 21
SvQ = ; SpFp =
( ) ( ) ( )( ) cos1cos1cos1 +=+= ppx FQvFQvR ( )( ) cos12 += pSSv 0> ( ) sinsinsin 2 pSSvFQvR py +=+= 0> 22 yx RRR +=
-
Influena formai suprafeei corpurilor fa de recepionarea forei de impuls
Fora de impuls este: QvF =
1.Forta de impuls recepionat este maxim: ( ) RvvQ = 12 ( )21 vvQR = ( )
= cos
22 vQQvRx
( ) cos1+= Qv- ideal , cos 0 1 QvRx
2.Fora de impuls recepionat este constant:
( ) RvvQ = 12 ( ) QvQvRx == 0
Suprafaa plan pstreaz fora de impuls a unui jet.
3.Fora de impuls recepionat este minim:
= cos2
2 vQQvRx
( ) cos1= Qv0 1cos 0xR
-
Dinamica fluidelor reale
Fluidele reale au proprietatea de viscozitate, care produce frecri i pierderi de energie.
Experiena lui Reynolds
n cadrul acestei experiene, se vizualizeaz modul n care curge un anumit fluid i n final se clasific curgerea fluidelor n urmtoarele regimuri de curgere: laminar, tranzitoriu, turbulent
(1)- rezervor de nivel constant (menine adncimea apei constant, astfel nct viteza cu care intr apa n tubul de sticl este aproximativ gh2 i se obine n final un debit i un regim de curgere constant.
(2)- dispozitiv de alimentare cu orificii multiple (3)- dispozitiv de preaplin. (evacueaz surplusul de debit) (4)- vas cu colorant (5)- tub injector (permite accesul coloranilor n tubul de sticl) (6)- tub de sticl pentru vizualizarea curgerii (7)- robinet pentru reglarea debitului (8)- mensur gradat pentru colectarea volumului de ap scurs ntr-un
anumit timp.
-
Se deschide robinetul (6) i se introduce colorant prin acul injector. La viteze i debite mici, colorantul are aspectul din figura a) i
corespunde regimului laminar. Particulele de fluid au o singur
component de vitez Fluidul curge n straturi, nu exist schimburi de particule i de impuls ntre straturile de fluid. Se deschide n continuare robinetul (6) pn se observ oscilaii aleatorii ale firului de colorant ca n figura b),regim tranzitoriu
Apar pulsaii de vitez dup alte direcii dect direcia curgerii ce determin schimb de particule i impuls ntre straturi.
La o deschidere i mai pronunat a robinetului (6) se obin debite de curgere mari i colorantul are aspectul din figura c)
n cadrul regimului turbulent, pulsaiile de vitez aleatorii au valori mari, schimbul de impuls este accentuat i regimul corespunde unor pierderi energetice mari.
Acest regim se ntlnete de obicei n cazul transportului fluidelor n conducte.
n cazul experienei, s-a constatat c viteza medie de curgere prin tubul de sticl, diametrul interior al tubului, precum i vscozitatea cinematic a lichidului influeneaz evoluia colorantului. S-a dedus numrul Reynolds:
Dv=Re
Pentru figura a): 2300Re
-
n cadrul fiecrui regim de curgere se msoar volumul de ap scurs ntr-un anumit timp i rezult debitul volumic:
( ) tvQ
debit=
( tiuneSvQ sec= ) 224
4DQ
DQ
SQv ===
DDQ
2
4Re=
DQ4Re=
Regimurile de curgere difer din punct de vedere optic, cinematic i energetic - din punct de vedere cinematic (regim turbulent)
'vvv +=
Pulsaiile de vitez sunt variabile n timp. - din punct de vedere energetic :pierderea de energie se poate estima cu
ajutorul pantei hidraulice
lh
J ll = ltt Jlh
tgJ >==
-
Acest lucru se datoreaz efectelor de turbulen care conduc la pierderi suplimentare de energie fa de regimul laminar prin caracteristicile specifice.
Ecuaiile de micare ale fluidelor reale
Spre deosebire de fluidul ideal, ecuaia de micare vectorial precum i calculul se efectueaz pentru ntreg volumul de fluid aflat n micare.
Considerm c observatorul se situeaz pe sistemul de referin mobil; se ia n considerare i fora de inerie pentru care ecuaia vectorial este:
0=+++ FFFF pim F - fora datorat eforturilor tangeniale ce apar la curgerea unui fluid real
dVfdmfFd mmm == =V
mm dVfF
dVdtvddmaFd i == =
Vi dVdt
vdF ==
S Vp gradpdVpdSnF
=S
dVtF
Se determin separat componentele forei de vscozitate dup cele 3 direcii
=S
xx dSF dndu
x =
=S
x dSdnduF ====
V VS S
dVudVdivgradudSgradundSdndu
=S
x dVuF
=V
y dVvF
=V
z dVwF ( ) =++=++=
V Vzyx dVdVkwjviukFjFiFF
-
Introducnd forele n ecuaia de micare, rezult:
=
+
Vm dVgradpdt
vdf 0 =
+
Vm dVgradpdt
vdf 01
+=+ mfgradpdtvd 1
ecuaia vectorial de micare a fluidului.
uXxp
dtdu +=
+ 1
vYyp
dtdv +=
+ 1
sistemul de ecuaii de micare.
wZzp
dtdw +=
+ 1
Ultimul termen din fiecare ecuaie reprezint fora unitar de viscozitate Din acest sistem rezult relaia lui Bernoulli pentru un fluid real:
hzp
gv
zp
gv +++=++ 22
22
11
21
22
Integrarea exact a sistemului de ecuaii la curgerea unui fluid
ntre dou plci plane i orizontale
-
Se consider micarea laminar:
+
++=
++
+
2
2
2
2
2
21zu
yu
xuX
xp
zuw
yuv
xuu
+
++=
++
+
2
2
2
2
2
21zv
yv
xvY
yp
zvw
yvv
xvu
+
++=
++
+
2
2
2
2
2
21zw
yw
xwZ
zp
zww
ywv
xwu
pentru care au disprut derivatele n raport cu timpul din membrul stng.. Observnd micarea plcilor, se constat c lichidul se deplaseaz dup
direcia axei Ox 0u 0==wv
Din ecuaia de continuitate se obine: 0=xu
Deoarece la deplasarea n direcia axei Oy particulele situate identic, au aceeai component u a vitezei rezult c: 0=
yu
La deplasarea particulei dup direcia axei Oz, u se modific:
- de la la 1u+ 2u 022
zu
Deoarece curgerea are loc n cmpul gravitaional : 0== yx gz =se obine sistemul simplificat :
2
21xu
xp
=
01 =yp
01 =
zp
Din ultima ecuaie rezult repartiia de presiuni:
ctgzp =+ formula pentru presiune
-
Considernd 0=xp
022
=zu
1Czu =
u 21 CzC +=Se aplic condiiile la limit:
0=z ; 2Uu = 22 CU = ; U hz = 1Uu = 211 ChC +=
hUU
C 211+=
i se obine distribuia de viteze n interiorul fluidului n micare:
221 Uz
hUU
u += - formula pentru viteze
-
Micarea laminar a fluidelor reale
Calculul vitezelor i al debitului:
a) micarea fluidului ideal(nu exist frecri, iar distribuiile de viteze sunt constante)
b) micarea laminar a fluidului real (particulele curg n straturi); exist o distribuie de viteze parabolic, avnd un maxim n axul conductei
Scriind condiia referitoare la forele ce acioneaz asupra unui fluid in micare (fore de presiune si fore de frecare ) se deduce viteza : pF fF maxu
20
21max 4
rlpp
u = 21 pp diferen de presiune ntre punctul 1 n amonte i n aval 2p vscozitatea dinamic ce produce frecrile.
Daca creste scade. maxuPentru o raz r oarecare 2214 rl
pp = u Se observ c variaia de vitez pe vertical depinde numai de raz si nu
depinde de tipul de fluid.
Viteza medie n seciunea transversal este: 2021max 82 rlppu
v == valoare utilizat n relaia lui Bernoulli.
-
Calculul efortului tangenial: lpp
rlpp
drdu
242 210
21 ===
021
max 2r
lpp =
Calculul debitului corespunztor
unei micri permanente (se folosete ecuaia de continuitate):
20
20
21
8rr
lpp
vSQ ==
4
021
8r
lpp
Q =
n cazul unei curgeri cu suprafa liber se obine o distribuie parabolic cu un maxim pe suprafa.
Teoria stratului limit
Stratul limit este stratul de fluid din imediata vecintate a unui corp solid n care se manifest foarte intens efectul eforturilor tangeniale i n care se produce o variaie accentuat a vitezei fluidului.
1-zona curentului exterior 2-zona stratului limit
-
Grosimea stratului limit este distana msurat la suprafaa exterioar a corpului solid, perpendicular pe acesta, pn la care viteza difer cu 1% fa de viteza curentului exterior.
Evoluia distribuiei de viteze n stratul limit produs de o suprafa deasupra unei plci plane se produce ca n figura:
Desprinderea stratului limit i formarea vrtejurilor (cazul uni cilindru circular drept orizontal). figura b
figura a
a) fluidul care vine iniial cu o energie cinetic spre punctul A, pe msura apropierii de acest punct i transform energia n energie de presiune. Apoi fluidul aluneca fr frecri pe contur pn la B, unde are din nou o energie cinetic maxim i energie de presiune nul. Lucrurile se petrec n continuare simetric iar la deprtarea de corp energia se transform din nou n energie cinetic. Fluidul evolueaz fr frecri pe contur astfel nct energia i menine valoarea maxim
b) energia cinetic se transform n energie de presiune ctre punctul A; se deplaseaz fluidul cu frecri pn n B, n care viteza scade i apoi ctre D, astfel nct n D nu mai are vitez suficient pentru a urma conturul. Se ntlnete o zon de presiune ridicat i ca urmare se desprinde fluidul i este
-
mpins ctre curentul de fluid exterior, care reintroduce particula fluid n stratul limit se formeaz un vrtej care evolueaz ctre aval, formndu-se aa numitele dre hidrodinamice sau aerodinamice (care se mai numesc dre turbionare).
n mod practic, pentru a obine corpuri cu coeficieni de rezisten la naintare mici, se determin experimental repartiia de presiuni pe suprafaa exterioar a corpului, se calculeaz integrala presiunii pe ntreaga suprafa i se determin n final coeficientul de rezisten la naintare.
Se modeleaz suprafaa exterioar, experimental sau prin simulare numeric cu calculatorul, pn la obinerea coeficientului de rezisten la naintare minim.
Condiia de desprindere a stratului limit
Micrile efluente ale fluidelor
- se produc n cazul curgerii unui fluid dintr-un anumit recipient printr-un dispozitiv, ntr-un alt spaiu ocupat de un alt fluid.
Se deosebesc: curgeri prin orificii, prin ajutaje, prin injectoare i peste deversoare.
Ajutajele sunt dispozitive care se monteaz n zona de evacuare a fluidelor pentru creterea debitului.
Injectoarele realizeaz jeturi de fluid cu energie cinetic mare. Deversoarele evacueaz fluidul prin partea superioar a unei incinte.
Problemele care se pun la curgerea prin orificii sunt de obicei determinarea vitezei i al debitului evacuat.
Se va calcula separat, considernd micarea nepermanent, timpul de golire unui rezervor.
-
1.Curgrea fluidelor prin orficii mici, n perei subiri, sub sarcin constant.
Se aplic relaia lui Bernoulli ntre punctele (1) i (2) pentru un fluid real. Se calculeaz pierderile locale de sarcin hidraulic la ieirea prin orificiu n funcie de coeficientul de pierdere local de sarcin :
gv
he 2
22=
ehzp
gv
zp
gv +++=++ 22
22
11
21
22 hz =1
- mare 1S
11SvctQ ==1
1 SQv = mic 021 v
gvp
gv
hp atm
22
22
221 ++=+ ( ) h
ppg
v atm +=+ 1
22
21
ghpp
v atm 21
1 12
++=
+= hppgv atm
12 2
- coeficientul de vitez.
-
- pentru fluidul ideal 1=
+= hppgv atm
12 2
- pentru rezervor deschis atmpp =1 ghv 22 =
- n cazul unui gaz 0=h gpp
gv atm= 12 2
atmppv= 12 2
AA
AvAvSvQ cc === 2222 , =AAc
- coeficientul de strangulare a seciunii.
, coeficientul de debit =
+= hppgA atm
12Q
2.Curgerea fluidelor prin orificii mari, n perei subiri, sub sarcin constant
( ) dzzbdS =
dSvdQ = ( ) dzzbgzdQ = 2
( ) ( ) == 21
2
1
22H
H
H
HdzzbgzdzzbgzQ
- pentru un orificiu dreptunghiular: ( ) ctBzb === 2
1
21
2H
HdzzgBQ ( )231223
2 HHgBQ =
-
Calculul timpului de golire al unui rezervor (n micare nepermanent)
- fiind un caz de micare nepermanent, mrimile se schimb n timp.
Se egaleaz volumul infinitezimal scurs din rezervor n intervalul de timp dt cu volumul ce dispare din rezervor prin coborrea suprafeei libere cu dz.
( ) dzzAQdtdV ==( ) dzzAdtgzA =20 ( ) dzzzA
gAdt =
21
0
( ) = oHTo dzzzA
gAdt
21
0 ( ) = H dzzzA
gAT
00 21
- pentru un rezervor cilindric : ( ) ctDzA == 42
4
20
0dA =
= H dzzDdgT 0 212
20 4
42
1
HdD
gT
2
0
21
=
Deci timpul total de golire a rezervorului cilindric plin iniial pn la
nlimea H este:
gH
dDT 21
2
00
=
-
Micarea turbulent a fluidelor reale
Se deosebete optic, cinematic i energetic de celelalte tipuri de micare Din punct de vedere cinematic, apar pulsaiile turbulente care sunt
componente de vitez dup alte direcii fa de direcia principal a curgerii. Ele determin transferul de particule i de impuls ntre straturile de
fluid. Componentele de vitez i presiune se scriu sub forma: 'uuu += 'vvv +=
'www += 'ppp +=
Se demonstreaz c valoarea medie a unei pulsaii este nul ntr-o perioad T.
Se utilizeaz formula de medie:
+
=Tt
t
dtuT
u0
0
1 uu='u ;
+===
Tt
t
uuuudtT
0
0
01,
u
Din punct de vedre energetic, pierderile de energie sunt mai mari deoarece apar efecte suplimentare datorit turbulenelor.
Calculul efortului tangenial turbulent i al efortului tangenial total
Masa transferat din stratul cu vitez mai mare n cel cu vitez mai mic[u produce accelerarea acestuia ca urmare a unui transfer de impuls.
Au
B
Masa transferat este: dtvSVm '== Variaia de impuls a stratului mai lent este ( ) dtvSuumuum BA ''' ==
-
Fora care accelereaz stratul este: '''' vSu
dtvSuF ==
iar efortul tangenial turbulent corespunztor: ''vuSF
t == O exprimare mai adecvat a efortului tangenial turbulent, lund n
considerare un interval mare de timp, este: ''vut =
n care semnificativ este media produsului pulsaiilor de vitez. Semnul minus apare deoarece cele dou pulsaii de vitez au semne contrare, iar efortul trebuie s fie pozitiv.
Lund n considerare efortul tangenial dat de legea lui Newton ce apare n orice tip de micare : dy
du = , se deduce efortul total:
ttot += ''vudydu
tot = Cu ct regimul turbulent e mai avansat, cu att u i v iau valori mai
mari i rezult pierderi de energie mai mari. Ecuaiile de micare ale fluidelor n regim turbulent
Ecuaiile se obin completnd sistemul de ecuaii de micare a fluidelor reale n regim laminar cu termeni funcii de pulsaiile turbulente:
( )',','1 wvuAuXxp
dtdu ++=
+ ( )',','1 wvuBvY
yp
dtdv ++=
+ ( )',','1 wvuCwZ
zp
dtdw ++=
+
-
Se completeaz sistemul cu ecuaiile de continuitate i cu formule de natur statistic pentru pulsaiile u,v,w, precum i cu ecuaia de continuitate sub forma general :
0=+
++
zw
yv
xu
t
Sistemul are apte necunoscute, u, v, w, p precum i pulsaiile u,v,w, dar va conine i apte ecuaii i deci se poate rezolva. Ultimii termeni din fiecare ecuaie, A, B, i C reprezint forele unitare turbulente.
Distribuia de viteze ntr-o conduct circular dreapt n regim turbulent este de forma:
Zona de curgere turbulent are o form aplatizat deoarece straturile cu
vitez mare situate spre axul conductei tind s le accelereze pe cele mai lente, situate spre zona laminar i invers.
-
Pierderile de sarcin hidraulic
Reprezint pierderi de energie ale fluidului produse pe traseul de curgere i sunt datorate frecrilor vscoase, efectelor de turbulen precum i diverselor elemente hidraulice intercalate pe traseul de curgere.
Se deosebesc pierderi liniare sau distribuite produse pe o anumit lungime de traseu de curgere, i pierderi locale care se datoreaz diverselor elemente hidraulice ce formeaz circuitul (robinei, vane, coturi, etc.)
Formulele pierderilor de sarcin sunt semiempirice.
Ecuaiile de micare ale fluidelor nu conin influena suprafeelor solide cu care fluidul intr n contact.
Acele neuniformiti ale suprafeelor solide produc efecte ce sunt luate n considerare prin intermediul unor coeficieni; acetia sunt determinai experimental i dau caracterul semiempiric al formulelor respective.
Formula general a pierderilor de sarcin hidraulic este
gvh rr 2
2
= - pentru pierderi liniare:
DL
r = - pentru pierderi locale:
lr = Ca urmare, pierderile liniare n cazul unei conducte circulare drepte de lungime L i diametru interior D devine:
gv
DLhd 2
2
= Cu aceasta se poate determina:
dghp = cderea de presiune pe o conduct de lungime L. Pierderile locale devin:
gvh ll 2
2
=
-
Pierderea de presiune total pentru un circuit cu m elemente hidraulice este:
+=
=
m
i
ilt g
vg
vDLgp
1
22
22
Pierderile de sarcin se pot exprima i n funcie de debitul de fluid Q. Utiliznd ecuaia de continuitate:
22
4
4DQ
DQ
SQv ===
pierderea distribuit devine:
5
2
24
8421
DLQ
gDQ
gDLhd
==
50826.0 DLhd = Q2 , iar depinde de numrul Reynolds , eventual
de rugozitatea conductei.
Re64= pentru regim laminar
In cadrul regimului turbulent neted stratul laminar, acoper complet asperitile. Este ca si cum peretele este neted. 25.0Re
3164.0=
=
DRe,
unde /D este rugozitatea relativa.
-
Influena asperitilor n regim turbulent conduce la creterea lui i al lui precum i a pierderilor de presiune. dh
Pierderea local n funcie de debit se exprim cu:
42
22 1621
2 DQ
ggvh llil == sau 4
2
0826.0DQh ll =
n care coeficientul de pierdere local se poate lua din fia produsului sau din cataloage.
Calculul nlimii de aspiraie a unei pompe centrifuge
AH - nlimea de aspiraie Se cunosc: Q, D, L, , , (presiunea de vaporizare) V ,, CS vpSe pune condiia p1>pv i se determin nlimea de aspiraie maxima HA,max.
-
Micarea permanent n conducte sub presiune
Conductele sunt sisteme hidraulice ce asigur transportul sub presiune al fluidului ntre dou puncte cu sarcini energetice diferite.
Se deosebesc: 1.conducte scurte la care pierderile de sarcin hidraulic sunt date de
suma dintre pierderile distribuite i cele locale de pe parcurs. 2.conducte lungi la care pierderile de sarcin hidraulic sunt date doar
de pierderile distribuite, corectate cu un procent de pn la 5% dac au mai multe elemente hidraulice montate pe traseu.
Exemple: magistralele de petrol i gaze, conductele de alimentare cu ap ale localitilor.
Problemele care se pun la calculul conductelor sunt:
1.determinarea diametrului interior problem de dimensionare - cnd se cunosc pierderile de sarcin hidraulic, natura pereilor conductei, lungimea ei, precum i debitul necesar la consumator.
2.determinarea debitului - problem de alimentare - cnd se cunosc celelalte mrimi.
3.determinarea pierderii de sarcin problem energetic cnd se cunosc celelalte mrimi.
Calculul conductelor scurte: - n cazul micrii permanente
Pierderea de sarcin total este: +=
ieidistribuittot hhh sau
+=i
litot DQQ
Dlh 4
22
5 0826.00826.0 ,
+= i
litot Dl
DQh 4
2
0826.0 [ ] m
-
1.determinarea diametrului (D) - se dau diverse valori diametrului i rezult valorile pierderii de
sarcin. - se alege D tan idards D=
2.determinarea debitului (Q)
Re64=
Dv =Re
- se alege Q la iteraia 0, ( )0Q ; ( ) 204DQ
SQv ==
( ) ( )
Dv =0
0Re ( )
Re640 = ( )1Q , adic debitul la iteraia !, i se
urmeaz aceleai proceduri pn cnd ( ) ( )
-
Se aplic relaia lui Bernoulli ntre A i B: totB
BBA
AA hzp
gv
zp
gv +++=++ 22
22
atmBA ppp == A
A SQv = , - mare - mic AS Av g
vA2
2
- neglijabil totA hz = tothH = g
vg
vg
vDl
gvH eci 2222
2222
+++=
HDl
gv
eci =
+++ 2
2
eciD
lgHv
+++= 2
i deci debitul sifon SvQ = Q
Calculul cond
Analogia elec Din punctul dnite calcule similar - circuitul serie electric - circuitul paralel electric
Conducte lun at din rezervorul A n rezervorul B e
4
2Dv = uctelor lungi
tro-hidraulic e vedere al unor mrimi electrice i e.
circuitul serie
circuitul paralel i i
gi montate n serie: ctU == II=
iiUU
ctI =
ste:
hidraulice se pot face
ctQ ==
iidd hh
=i
iQQ cthd =
-
Aplicnd relaia lui Bernoulli ntre punctele A i B se obine:
+++=+i
diBBB
AAA hz
pg
vz
pg
v 2
22
+2
, adic energia potenial a lichidului din rezervor se consum pe pierderile distribuite realizate pe reeaua de conducte n serie.
dhH =
Explicitnd pierderile pe fiecare tronson se obine:
gv
Dl
gv
Dl
gv
Dl
H nn
nn 222
222
2
22
21
1
11 +++=
H este dat i atunci se poate obine n final debitul de fluid :
ii S
Qv =
=
i i
ii D
lQH 5
20826.0 Q
Conducte lungi montate n paralel:
Se aplic relaia lui Bernoulli ntre A i B:
dBBB
AAA hz
pg
vz
pg
v +++=++ 2222
-
- n A i B ctQ= ctS = ctvv BA == ctD= dhH = 550826.0 i
i
ii QD
lH = iQ
=
=n
iiQQ
1
Maini hidraulice
Se deosebesc: 1.Maini generatoare la care energia mecanic la arbore este
transformat n energie hidraulic (exemple: pompe sau ventilatoare antrenate de motoare asincrone).
2.Maini motoare la care energia hidraulic se transform n energie electric (exemple: turbine de ap, abur i de gaze conectate la generatoare sincrone).
3.Transformatoare hidraulice ce transform energia mecanic n energie hidraulic i apoi din nou n energie mecanic (exemplu: transmisiile hidraulice).
Mainile hidraulice se mai clasific n:
- turbo-maini la care exist o circulaie continu de fluid ntre aspiraie i refulare (ventilatoare i pompe axiale, diagonale, centrifugale, suflante) i care dau debite mari dar realizeaz diferene de presiune ntre refulare i aspiraie mici.
- maini volumice: - pompe cu piston, cu roi dinate, cu pistonae, cu palete culisante; acestea realizeaz diferene de presiune mari, dar dau debite mici.
Parametrii energetici ce caracterizeaz funcionarea unei maini sunt n cazul mainii generatoare ( de exemplu o pomp):
-
1.debitul volumic Q
s
m3
sl
2. sarcina pompei:
++
++= aaarrrp zpg
vz
pg
vH 22
22
3. puterea util: pu gQHP =4. puterea consumat: cP
5. randamentul pompei: c
u
PP=
mandrea1.pdfMECANICA FLUIDELORGeneraliti
mandrea2.pdfProprietile fizice specifice lichidelor4.Degajarea gazelor i cavitaia
Statica fluidelorEcuaiile de repaus ale fluidelor
mandrea3.pdfCalculul potenialului forelor masice unitareConsecine ale relaiei fundamentale ale rapausuAplicaii ale principiului lui PascalRepausul fluidelor n cmpul gravitaional
Repartiia de presiuni pe pereii solizi ai unuiRepausul relativ al fluidelor n cmpul gravita
Se obine n final repartiia de presiuni pe pe
mandrea4.pdfAciunea fluidelor n repaus asupra suprafeeloPrincipiul lui Arhimede
mandrea5.pdfCinematica fluidelorCalculul acceleraiei vectoriale
Noiuni generale de cinematic
mandrea6.pdfCinematica fluidelorEcuaia de continuitate reprezint principiul coEcuaia de continuitate pentru tubul de curent eDinamica fluidelor
Deducerea ecuaiei de micare a fluidelor ideale
mandrea7.pdfDinamica fluidelorIntegrarea ecuaiilor de micare :pe o linie de Teorema impulsului i teorema momentului cinetic
Aciunea apei asupra unui cot de conductInfluena formai suprafeei corpurilorfa de recepionarea forei de impuls
mandrea8.pdfDinamica fluidelor realeExperiena lui ReynoldsSe deschide robinetul \(6\) i se introduce coEcuaiile de micare ale fluidelor realeSe determin separat componentele forei de vs
mandrea9.pdfMicarea laminar a fluidelor realeTeoria stratului limitCondiia de desprindere a stratului limitMicrile efluente ale fluidelor
mandrea10.pdfMicarea turbulent a fluidelor realeCalculul efortului tangenial turbulent i al efEcuaiile de micare ale fluidelor n regim turPierderile de sarcin hidraulicFormulele pierderilor de sarcin sunt semiempiriFormula general a pierderilor de sarcin hidrau
mandrea11.pdfMicarea permanent n conducte sub presiuneCalculul conductelor lungi
Analogia electro-hidraulicMaini hidraulice