7/26/2019 Mecanica I UCV

1/12

Jess A. Pinto

Universidad Central De VenezuelaDepartamento De MecnicaMecnica I (0607)

Nombre

C.I._____________________________________________________Primer Examen P arcial

Sistemas De Fuerzas Equivalentes Equilibrio De Partcula

Ejercicio

El sistema est conformado por 3 cuerdas que

sostienen un recipiente cuyo peso y su contenidoson de . Adicionalmente, se aplica en elpunto A una fuerza de , paralela alplano , con un ngulo variable como semuestra. Calcule:

1 Las tensiones en cada una de las cuerdas comouna funcin del ngulo . (3pts)2 El valor de que maximiza la tensin AB. (2pts)3 Un valor de que minimice la tensin AC. (1pto)4 Evale cada tensin para cada cuarto de vueltade

. (1pto)

Ejercicio 2

El sistema mostrado est formado por un cubo depeso y est sometido a 3 fuerzas, todas de valorexcepto , que est indeterminada.1 Calcule el valor de que garantice que elsistema puede reducirse a una fuerza nica. (2pts)

2 Halle la ecuacin de la lnea de accin (eje) dela fuerza nica. (2pts)

3 Reduzca a una sistema fuerzapar en A.(2pts)Ejercicio 3

Ahora el mismo sistema anterior (con peso) estsometido al conjunto de fuerzas mostradas. Estavez F1=P, F2=2P y F3=3P.

1 Reemplace el sistema por un sistemaequivalente en O. (2pts)

2

Verifique que el sistema slo puede reducirse auna llave de torsin y halle su eje y el pasode la misma. (3pto)

3 Calcule la menor distancia (dmin) de la llave detorsin al centro O. (1pto)

4 Dibuje el sistema reducido a una la llave detorsin con todos sus elementos. (1pto)

7/26/2019 Mecanica I UCV

2/12

Jess A. Pinto

Ejercicio

El primer paso, como siempre, es realizar el Diagrama De Cuerpo Libre: En este caso, el punto A es laopcin adecuada puesto que la lnea de accin de cada fuerza lo atraviesan.

Como se observa a simple vista; las tensiones de las cuerdas estn en direcciones no-obvias y, por lo tanto,debe realizarse la bsqueda de los vectores unitarios asociados a ellos.

Puntos (Coordenadas) [mm] Con esto se pueden hallar los vectores unitarios para cada tensin:

Vectores Unitarios

Y se procede a definir completamente los vectores de las tensiones:

Tensiones

7/26/2019 Mecanica I UCV

3/12

Jess A. Pinto

La fuerza se descompone en direcciones de la siguiente manera:

Y el peso se expresa vectorialmente como:

Esto permite aplicar para este conjunto la ecuacin de equilibrio:

Al reemplazar los valores de

y

, esta ecuacin vectorial puede escribirse escalarmente como:

Donde todas las fuerzas estn en . La solucin para las magnitudes de las tensiones es:Tensiones [

Es de particular utilidad graficar estas funciones, lo cual puede hacerse utilizando los valores requeridos

en el ltimo apartado, esto es, ngulo []

2

7/26/2019 Mecanica I UCV

4/12

Jess A. Pinto

Las grficas se muestran a continuacin:

Estas grficas muestran el rango natural de las funciones analticas obtenidas y en ellas se observa que noexistealgn ngulo tal que las tres cuerdas estn sometidas a traccin. Esto significa que el sistema nopodr conservar estar en equilibrio esttico y se acelerar.

La grfica del comportamiento correcto de las cuerdas es una funcin a trozos en virtud del hecho de que

una cuerda no puede estar sometida a compresin :

Para hallar el valor que maximiza la tensin en la cuerda AB -grfica azul- se procede a ubicar elpunto crtico de la funcin . Esto es:

7/26/2019 Mecanica I UCV

5/12

Jess A. Pinto

Para una vuelta completa los puntos crticos estarn en:

Utilizando el criterio de la segunda derivada o una evaluacin directa de la funcin se puede concluirque el valor del ngulo que corresponde al mximo es ].Para el caso de un valor que minimice a la tensin en la cuerda AC -grfica roja- el enfoque no sepuede basar en el estudio de los puntos crticos de dicha funcin. Por principio de las cuerdasinextensibles el valor mnimo en ellas es cero, por lo que hay que hallar cualquier valor donde

:

Esta ecuacin puede ser engorrosa de resolver. Analticamente se puede hacer la siguiente manipulacin:

Esto permite reagrupar la expresin como:

Ambos valores son de importancia dado que entre ellos la tensin de la cuerda en cuestin permanecer

nula. En otras palabras la cuerda estar flojaen este conjunto de valores:

A pesar de que la manipulacin algebraica puede proporcionar los resultados exactos, ciertamente estopuede ser difcil de prever. Incluso puede encontrarse el caso de funciones mucho menos manipulablespor lo que es necesaria otra estrategia de resolucin. Una de estas estrategias es el mtodo iterativo deNewton-Raphson que se aplicar a continuacin a modo ilustrativo:

7/26/2019 Mecanica I UCV

6/12

Jess A. Pinto

El mtodo precisa de una semilla para iniciar. En virtud de tener las grficas para guiar la bsqueda seiniciar con el valor . Entonces se tiene para la primera iteracin:

Este esquema converge rpidamente (cuadrticamente); con unas pocas iteraciones se puede llegar a una

respuesta:

i

Nota importante: Este mtodo es sensible al valor de la semilla utilizado si la ecuacin no tiene solucinnica. (Por ejemplo, se puede verificar que llegar a la solucin 5,788 si la semilla es 5)

Sntesis De Resultados

1Tensiones En Cada Cuerda

2 3

4 Evaluacin

ngulo []

2

7/26/2019 Mecanica I UCV

7/12

Jess A. Pinto

Ejercicio 2

Para calcular el valor de para llevar el sistema a una fuerza nica debe tomarse en cuenta que estoocurre cuando el producto escalar entre el momento resultante respecto a cualquier puntoy la fuerzaresultante sea nulo.

La fuerza resultante en el sistema es:

La toma de momentos respecto a Oser entonces:

Con esto se calcula el producto punto citado:

De donde se concluye que:

Ahora se utiliza este valor para hallar la lnea de accin de la fuerza nica.

Se toma un vector de posicin genrico medido respecto a O de modo que al multiplicarlovectorialmente con la fuerza resultante se produzca el momento :

7/26/2019 Mecanica I UCV

8/12

Jess A. Pinto

Lo cual genera el sistema de ecuaciones:

Eligiendo despejar todas las variables en funcin de y haciendo se tiene:

Y la ecuacin de la lnea de accin medida respecto a Oest dada por:

Finalmente, la reduccin del sistema usando como referencia al punto A se puede calcular fcilmentecomo:

Siendo la fuerza resultante la misma calculada anteriormente:

Sntesis De Resultados

1 Valor de

2 Lnea de Accin 3 Sistema Reducido a A

7/26/2019 Mecanica I UCV

9/12

Jess A. Pinto

Ejercicio 3

1 Para llevar el sistema a uno equivalente en O, se debe hallar la fuerza resultante y la suma de momentosrespecto a dicho punto.

La fuerza resultante

es:

El momento total respecto al punto O , es:

En conclusin, el sistema de fuerzas equivalentes en O, est comprendido por

y

:

2 Para verificar que el sistema puede reducirse a una llave de torsin basta con corroborar que los

vectores y no son perpendiculares entre s:

Ya que este producto escalar no es nulo, el sistema puede reducirse a una llave de torsin. Debe hallarse el

momento paralelo a la fuerza resultante y el momento perpendicular a sta :

7/26/2019 Mecanica I UCV

10/12

Jess A. Pinto

Momento P aralelo A La Fuerza Resultante :Es necesario hallar el vector unitario en la direccin de la fuerza resultante:

Momento P erpendicular A La Fuerza Resultante :

Para ubicar al eje de la llave de torsin, se define un vector de posicin cualquiera (medido desde O), y se procede a ubicar sus coordenadas de manera que el momento producido por la

fuerza resultante sea igual a , entonces:

Lo que genera el siguiente sistema de ecuaciones:

7/26/2019 Mecanica I UCV

11/12

Jess A. Pinto

Cuya solucin es:

Al introducir el parmetro se reescribe esta solucin como:

El paso de la llave de torsin se define por la relacin:

3 Para calcular la menor distancia al punto O, se puede calcular multiplicando al vector escalarmentepor el vector (o su unitario), igualarlo a cero y resolver para el parmetro . Sin embargo, una estrategiams consiste es visualizar que escalarmente el momento es el resultado de:

7/26/2019 Mecanica I UCV

12/12

Jess A. Pinto

Expresado en decimales como:

Sntesis De Resultados

1 Sistema equivalente en O 2

Eje de la llave de torsinPaso de la llave de torsin

. 3 Menor distancia a O

4

Esquema Reducido

Fuerza-Momento

Llave de Torsin