Meccanica 37 marzo 2011
Cinematica in due dimensioni
Vettore spostamento. Velocita` media e istantanea
Componenti cartesiane e polari. Velocita` azimutale
Coordinata curvilinea
Accelerazione media e istantanea
Accelerazione in coordinata curvilinea
Cerchio osculatore
Moto circolare. Moto circolare uniforme e sue proiezioni cartesiane
Vettore velocita` angolare
Moto su di un piano
• Ovvero moto in due dimensioni• Ora è necessario specificare due coordinate per
individuare compiutamente il moto di un corpo• Scelte più frequenti:
– Coordinate cartesiane– Coordinate polari
• Mentre nel moto rettilineo la natura vettoriale di una grandezza era manifestata dal segno, ora dobbiamo introdurre il formalismo vettoriale in modo compiuto
• Molto di quanto diremo per un piano può estendersi immediatamente allo spazio
2
Vettori su di un piano
• Spostamento, velocità e accelerazione sono grandezze vettoriali
• Ogni vettore su di un piano può essere espresso come somma di due vettori
• Per lo spazio: ogni vettore può essere espresso come somma di tre vettori
• Tra i vettori ce ne sono di particolari, detti versori o vettori unitari, in quanto hanno intensità unitaria e dimensioni fisiche nulle
3
Vettore posizione
• Il vettore posizione si può quindi scrivere – In coord. cartesiane– In coord. polari
• Ove le funzioni che moltiplicano i versori sono le proiezioni del vettore lungo le direzioni dei versori stessi
• Similmente in tre dimensioni– In coord. cartesiane– In coord. sferiche
r t x t u x y t u y
uuttr0
r t x t u x y t u y z t u z
uuutrtr r
00
4
Vettore posizione
• Una importante differenza tra sistema cartesiano e polare è che nel primo l’orientazione dei versori è indipendente dal particolare vettore posizione e quindi dal tempo, mentre nel secondo in generale dipende da questi
5
Vettore spostamento
• È la differenza di due vettori posizione, ad esempio e
r t
r t t
r t r t t r t
r t
r t t
r t
r t
r t t
r t
6
Vettore spostamento
• In coordinate cartesiane lo spostamento si può esprimere
• Ove non c’è ambiguità sui versori da usare, in quanto sono gli stessi per i due vettori posizione
r t x t t x t u x y t t y t u y
r t
r t t
r t
7
Vettore spostamento
• In coordinate polari lo spostamento si può esprimere con i versori relativi a
• Ciò in pratica equivale a proiettare lungo e lungo la direzione perpendicolare,
utrttruttttr
r t
r t t
r t
r t
r t t
r t
8
Vettore velocità
• Similmente a quanto fatto nel caso unidimensionale, definiamo la velocità media come
• Che è da intendersi, in coordinate cartesiane, come
• Cioè come la coppia di velocità medie lungo x e y
v m
r t t
r t t r t
t
v m
r t t
x t t x t
tu x
y t t y t t
u y
9
Vettore velocità
• La velocità istantanea è, di nuovo, il limite della velocità media quando l’intervallo di tempo tende a zero:
v lim
t 0
r t t
limt 0
x t t x t t
u x limt 0
y t t y t t
u y
dxdtu x
dydtu y vx
u x vy
u y
10
Vettore velocità
• In coordinate polari avremo
• Ove ora la coppia di velocità è formata dalla velocità radiale (cioè lungo ) e da quella azimutale (cioè lungo )
u
t
trttru
t
ttt
t
trvm
11
Vettore velocità
• E per la velocita` istantanea:
• È importante esprimere in altro modo la velocità azimutale
uvuvudt
dru
dt
d
ut
trttru
t
ttt
dt
rdv
tt
00limlim
12
Vettore velocità
• Se l’intervallo di tempo è infinitesimo, anche il vettore spostamento sarà tale
dr du du
dr t
r t
du
du
dttr
13
Vettore velocità
• Per trovare la velocità basta dividere lo spostamento per l’intervallo di tempo:
• Dal confronto con l’espressione precedentemente trovata, abbiamo che la velocità azimutale è
dr
dt
ddtu
ddtu
dt
d
dt
dr
14
Vettore velocità
• Interpretazione geometrica del vettore velocita` media: • la direzione e` quella della secante alla traiettoria
percorsa dal corpo in moto, individuata dai vettori e • il modulo e` il rapporto tra il modulo del vettore
spostamento e l’intervallo di tempo necessario a percorrerlo
t
trvm
tr
r t t
r t
r t t
r t
tr
r t t
r t
Considerazioni indipendentidal sistema di riferimento
15
Vettore velocità
• Interpretazione geometrica del vettore velocita` istantanea: la direzione e` quella della tangente alla traiettoria percorsa dal corpo in moto, al tempo t
• il modulo e` il limite del rapporto tra il modulo del vettore spostamento e l’intervallo di tempo necessario a percorrerlo
tr
r t t
tr
tr
r t t
r t
t
trv
t
0lim tv
tv
Considerazioni indipendentidal sistema di riferimento
16
Velocita`: riassunto
• Velocita` in coordinate cartesiane:• Componenti:
• Modulo:
• Velocita` in coordinate polari:• Componenti:
• Modulo:
yyxx uvuvv
uvuvv
dt
dxvx dt
dyvy
2222
dt
dy
dt
dxvvv yx
dt
dv
dt
dv
2222
dt
d
dt
dvvv
Generalizzabile Immediatamente almoto nello spazio
17
Coordinata curvilinea
• Il moto lungo la traiettoria puo` essere descritto mediante una coordinata curvilinea s, misurata da un’origine arbitraria sulla traiettoria
• s esprime la lunghezza della traiettoria• ds/dt esprime la variazione temporale della posizione sulla
traiettoria, cioe` la velocita` istantanea• Con questa scelta, il vettore velocita` e` determinato, istante per
istante, dal modulo (ds/dt) e dal versore uT che individua la direzione della tangente alla curva
TT
T uvudt
ds
dt
uds
dt
trdv
O
1tv
2tv
1tuT
2tuT
Tudstrd
18
Un risultato importante
• Nel definire la velocita` abbiamo introdotto il versore uT
• Calcoliamo ora la derivata di uT rispetto al tempo, tale risultato ci sara` utile nello studio dell’accelerazione
tuT
ttuT
tuT
ttuT
tuttu TT
19
Un risultato importante
• Troviamo la differenza dei versori uT calcolati nei due istanti di tempo, con considerazioni geometriche
• La direzione sia individuata da un versore e, che dipende pure dai due istanti di tempo
• Il modulo e` dato dalla formula trigonometrica• Avremo ttetuttu TT
,2
sin2
tuT
ttuT
2
2
sin2
20
Un risultato importante
• La derivata e` dunque il limite del rapporto
• Facendo opportune manipolazioni algebriche e applicando il teorema del limite di un prodotto :
• Il primo termine vale 1, il secondo termine e` la derivata temporale dell’angolo , il terzo termine e` il versore uN perpendicolare a uT e rivolto verso la convessita` locale della traiettoria
ttetdt
tudttt
T
,limlim2
2sinlim
000
tte
tt
tuttut
TT
t,
2sin2limlim
00
tudt
d
dt
tudN
T
In modo simile avremmopotuto calcolare la velocita`a partire dal vettore posizione
tuT
tuN
21
Analogamente
• Possiamo ripetere le considerazioni anche per il versore
• Il terzo termine e` ora il versore
ttetdt
tdttt
,limlim2
2sinlim
ˆ000
tte
tt
ttttt
,2sin
2limˆˆ
lim00
tdt
d
dt
td ˆˆ
22
t̂ t̂
Analogamente
• Idem per il versore
• Il terzo termine e` ora il versore -
ttetdt
tdttt
,limlim2
2sinlim
ˆ000
tte
tt
ttttt
,2sin
2limˆˆ
lim00
tdt
d
dt
td ˆ
ˆ
23
t̂
t̂
Velocita` in coordinate polari
• Con i risultati raggiunti possiamo ri-calcolare facilmente la velocita` in coordinate polari
• Che e` l’espressione ottenuta precedentemente
tdt
tdtt
dt
tddt
tdtt
dt
td
dt
ttd
dt
trdv
ˆˆ
ˆˆ
ˆ
24
Vettore accelerazione
• E` definito come• Usando per convenienenza la coordinata
curvilinea, eseguiamo la derivata della velocita`:
• Mentre per definire la velocita` basta il vettore uT, per l’accelerazione ne servono, in generale, due: uT e uN
dt
tvda
NTNT
TT
T aaudt
dvu
dt
dv
dt
tudtvtu
dt
tdv
dt
tutvd
dt
tvda
25
Vettore accelerazione
• Il primo va a costituire l’accelerazione tangenziale cioe` tangente alla traiettoria: e` relativo alla variazione di modulo della velocita`
• Il secondo l’accelerazione normale, cioe` perpendicolare alla traiettoria e verso la convessita` di questa: e` relativo alla variazione di direzione della velocita`
TT udt
dva
NN udt
dva
tv
ttv
Na
Ta
26
Moto circolare
• Sono i moti che avvengono lungo una circonferenza
• Poiche’ la velocita` cambia direzione continuamente, deve essere sempre presente un’accelerazione
• Se la velocita` e costante in modulo il moto si dice uniforme
• Si puo` descrivere il moto o con la coordinata curvilinea s o con la coordinata angolare , corrispondente all’angolo al centro sotteso da s
Rs 27
Moto circolare
• Similmente a quanto fatto per il moto unidimensionale, si definiscono – Posizione angolare – Spostamento angolare – Velocita` angolare media – Velocita` angolare istantanea
– Accelerazione angolare media– Accelerazione angolare istantanea
tm
dt
d
tm
2
2
dt
d
dt
d
28
Moto circolare
• In un moto circolare la velocita` radiale e` sempre nulla, poiche’ il raggio vettore non cambia in modulo (ma solo in direzione)
• La velocita` coincide quindi con la velocita` azimutale
• La velocita` e` costante se e solo e` tale la velocita` angolare
Rdt
dvv
0dt
dv
tRtv
29
Moto circolare uniforme
• Il modulo della velocita` e` costante• Quindi l’accelerazione tangenziale e` nulla• Rimane l’accelerazione normale (centripeta)
• Il moto e` periodico con periodo T pari al tempo di percorrenza della circonferenza:
22
v
RT
RR
vaa N
22
30
Moto circolare non uniforme
• Cioe` il modulo della velocita` non e` costante• In questo caso c’e` accelerazione tangenziale• Inoltre l’accelerazione centripeta non e`
costante, cio` e` conseguenza della formula che la lega alla velocita`:
• Inoltre dalla relazione tra velocita` e velocita` angolare segue che quest’ultima non e` costante e quindi esiste un’accelerazione angolare
R
vaN
2
Rv
TaRdt
dv
RR
v
dt
d
dt
d 11
31
Esempio: moto circolare uniformemente accelerato
• Cioe` con accelerazione angolare costante• Dalla formula precedente cio` equivale ad
avere un’accelerazione tangenziale costante• Integrando l’equazione che definisce ,
troviamo per la velocita` angolare:
• E l’accelerazione centripeta risulta dipendente dal tempo: 20
2 tRRaN
t 0
32
Moto circolare uniforme
• Se proiettiamo il moto sui due assi cartesiani, con origine nel centro della circonferenza:
• Ove 0 e` il valore assunto dall’angolo al tempo t=0
• Abbiamo ottenuto l’importante risultato che il moto circolare uniforme puo` essere pensato come la sovrapposizione vettoriale di due moti armonici di ugual ampiezza, sfasati di un quarto di periodo
0coscos tRRx
0sinsin tRRy
R
33
Esercizio
• Trovare il moto risultante dalla sovrapposizione dei due moti lungo x e y
tRx cos
tRy cos
34
Esercizio
• Dati i due moti lungo x e y
• Trovare: a) l’equazione della traiettoria, eliminando il tempo dalle equazioni; b) l’espressione della distanza radiale (t); c) l’espressione della coordinata angolare (t); d) il vettore velocita` in coordinate cartesiane; e) il vettore velocita` in coordinate polari
tax costby sin
35
Esercizio
• 1) n. 2.24 pag 47 MNV
36
Vettore velocita` angolare • Possiamo considerare la velocita` angolare del moto
circolare un vettore• Il modulo e` • La direzione e` perpendicolare al piano del moto circolare• Il verso e` determinato con 2a regola della mano destra:
e` indicato dal pollice e la rotazione dalle altre quattro dita• Introduciamo il concetto di asse di rotazione: e` la retta
perpendicolare al piano del moto circolare passante per il centro della circonferenza
• Si deve pensare che il vettore sia applicato ad un punto (per altro arbitrario) dell’asse di rotazione
dt
d
37
Vettore velocita` angolare • Grazie ad possiamo esprimere la
velocita` come• Ove r e` il vettore distanza tra il punto di
applicazione di v e quello di (punto arbitrario sull’asse di rotazione)
• Derivando rispetto al tempo otteniamo il vettore accelerazione angolare
• Calcoliamo l’accelerazione a con le due componenti tangenziale e centripeta:
rv
vr
NT aavrdt
rdr
dt
dr
dt
d
dt
vda
v
r
aTaN
38
Esercizio
• Un punto P si muove di moto rettilineo• Un osservatore O, che non giace sulla retta
percorsa da P, vede il punto muoversi con velocita` angolare
• Trovare come varia in funzione della posizione di P
P
O
h
39
Cerchio osculatore
• Consideriamo una traiettoria planare
• In un suo punto arbitrario P tracciamo una circonferenza: abbiamo possibilita` doppiamente infinite di scelta, corrispondenti alle due coordinate del centro della circonferenza
• Se chiediamo inoltre che la circonferenza abbia in P la stessa tangente della traiettoria, la scelta si riduce a semplicemente infinita, corrispondente alla lunghezza del raggio della circonferenza (il centro deve infatti trovarsi sulla retta perpendicolare in P alla tangente)
P
P
40
Cerchio osculatore
• Se inoltre chiediamo che in P la derivata seconda del cerchio sia uguale a quella della traiettoria, abbiamo una sola possibilita` di scelta
• Questa circonferenza, determinata univocamente, prende il nome di circonferenza osculatrice (CO)
P
• Essa rappresenta la circonferenza che meglio approssima localmente la traiettoria
• Il raggio R della circonferenza e` detto raggio di curvatura della traiettoria
• In generale la CO varia da punto a punto (o istante per istante) lungo la traiettoria, cioe` variano la posizione del centro e la lunghezza del raggio 41
Cerchio osculatore: casi particolari
• Nei punti di flesso della traiettoria la derivata seconda cambia segno (cioe` si annulla)
• In questo caso la circonferenza degenera in una retta
• Ovvero si puo` immaginare che il raggio di curvatura diventi infinitamente grande
• Nei punti angolosi non si puo` definire un cerchio osculatore
• Tutt’al piu` si puo definirne uno a destra e un altro a sinistra del punto
P
P
42
Accelerazione e cerchio osculatore
• Vediamo ora che relazione esiste tra velocita` sulla traiettoria e circonferenza osculatrice
• Sia C il centro della CO • Accanto alla coordinata curvilinea
s sulla traiettoria, introduciamo anche sulla CO una coordinata curvilinea s’
• Consideriamo uno spostamento infinitesimo nel punto P, questo si puo` scrivere, per definizione di CO: ds=ds’ (a meno di termini di ordine superiore a due)
• Se ora introduciamo l’angolo con vertice in C e semiretta origine CP, possiamo scrivere lo spostamento infinitesimo lungo la CO in termini di quest’angolo e del raggio R della CO: ds’=Rd
• Otteniamo infine ds=Rd
P
C
C
dR
P
43
Accelerazione e cerchio osculatore
• Se ora dividiamo entrambi i membri per l’intervallo di tempo infinitesimo dt, otteniamo una relazione di uguaglianza tra la velocita` lungo la traiettoria e sulla CO:
• Inoltre, si puo` dimostrare che l’angolo d definito dalle perpendicolari alle tangenti in due punti infinitamente vicini della traiettoria coincide con l’angolo d della CO, quindi
• La componente normale dell’accelerazione si puo` dunque scrivere (in modulo):
• Tale componente e` anche detta centripeta, poiche’ punta sempre, istante per istante, verso il centro del cerchio osculatore
COatraiettori vdt
dR
dt
dsv
R
v
dt
dvaN
2
dt
dRv
Considerazioni indipendentidal sistema di riferimento
44