Download - mehanika-otpornost materijala
-
7/29/2019 mehanika-otpornost materijala
1/214
Otpornost materijala
Osnovni pojmovi, spoljanje iunutranje sile, definicije napona ideformacije, vrste naprezanja
Osnovni pojmovi
Otpornost materijala
Kruto teloRastojanje ma koje 2 take je stalno,
ne menja se,
telo se ne deformie
predmet prouavanja mehanike
vrsto teloRastojanje ma koje 2 take se menja pod dejstvom sila,realna tela koja mogu da se deformiu
menjaju svoj oblik i veliinu
PREDMET IZUAVANJA OTPORNOSTI MATERIJALA
-
7/29/2019 mehanika-otpornost materijala
2/214
10/24/200
Predmet izuavanjaotpornosti materijala - vrste vrstih tela
tap Ploa Ljuska
Masiv
ab
dd
d
-
7/29/2019 mehanika-otpornost materijala
3/214
10/24/200
Zadatak otpornosti materijala
Proraun vrstoeOdreivanje dimenzija elemenata, zavisno od odabranog
materijala,
koji iskljuuju mogunost loma
Proraun krutosti (deformabilnosti)Dimenzije koje obezbeuju deformacije u odreenim granicamaOdreivanje deformacija tog elementa pod optereenjem
Proraun stabilnostiDa element pod optereenjem zadri prvobitni oblik u eksploatacijii ne izgubi stabilnu ravnoteu
Otpornost materijala
Osnovne pretpostavkeotpornosti materijala
Neprekidnost materijala
Homogenost materijala
Izotropnost materijala (u svimpravcima)
Elastinost materijala
Otpornost materijala
-
7/29/2019 mehanika-otpornost materijala
4/214
10/24/200
Podela sila koje deluju
Spoljanje Unutranje
Otpornost materijala
Osnovne pretpostavkeotpornosti materijala
Pretpostavka o linearnoj zavisnostinapona i deformacija (Hukov zakon)
Princip poetnih dimenzija (deformacije
su male) Princip nezavisnosti dejstva sile
(superpozicije)
Princip Sen-Venana
Otpornost materijala
-
7/29/2019 mehanika-otpornost materijala
5/214
10/24/200
Spoljanje sile se dele:Aktivne
Reaktivne
Po mestu delovanja
zapreminske
povrinske linijske
koncentrisane
Po karakteru dejstva
statike dinamike udarne
Otpornost materijala
Spoljanje i unutranje sile
Telo je u ravnotei kada nanjega deluju dve sile jednakihveliina, kolinearne i suprotnih
smerova Prema zakonu akcije i reakcije:
Usled dejstva tereta,spoljanjih sila, pojavie sesile koje se odupiru dejstvuspoljanjih sila - unutranjesile
GG
L
z
z
FU
FU
G
+
I I I I
Szi = G - F = 0u
I I
Otpornost materijala
-
7/29/2019 mehanika-otpornost materijala
6/214
10/24/200
Naprezanja, naponi i deformacije
Kada vrsto telo napadaju spoljanjesile kaemo da je NAPREGNUTO ili ustanju naprezanja
Pod uticajem spoljnih sila telo doneklemenja svoj oblik i zapreminu
DEFORMIE SE
Otpornost materijala
Osnovne vrste naprezanja:
Aksijalno naprezanje
Smicanje
Uvijanje
Savijanje
Izvijanje
Otpornost materijala
-
7/29/2019 mehanika-otpornost materijala
7/214
10/24/200
Aksijalno naprezanje
Zatezanje
Pritisak
Aksijalno naprezanjeizazivaju silekolinearne sa osom
tapa ili vie sila ijaje rezultanta upravcu ose tapa
Otpornost materijala
F
F
- F
+ Fz
- F
+ F
Smicanje
Otpornost materijala
- F
+ F
Ako deluju samotransferzalne(poprene) sile,
naprezanje je istosmicanje
-
7/29/2019 mehanika-otpornost materijala
8/214
10/24/200
Uvijanje - torzija
Otpornost materijala
Ako u preseku delujesamo moment torzijenaprezanje je istouvijanje - torzija
- F
+ F
m t
mA
A
B
Savijanje
Otpornost materijala
m B
ABm
A
Ako u preseku delujesamo momentsavijanja naprezanje je
isto savijanje
-
7/29/2019 mehanika-otpornost materijala
9/214
10/24/200
Izvijanje
Otpornost materijala
- F
+ F Akoje tap napregnut
aksijalnim silama a poprenipresek tapa mali u odnosuna duinu tapa (vitkitapovi) nastae sluajizvijanja vlakana, jer vlakna
prelaze u krive linije
Savijanje proste grede silama
Otpornost materijala
A B
F1 F2
Savijanje i smicanjePostojanje momenta savijanja
izaziva savijanje
Postojanje transverzalne sile - izazivasmicanje
-
7/29/2019 mehanika-otpornost materijala
10/214
10/24/200
Savijanje konzole silom
Otpornost materijala
A
B
F
Savijanje i smicanjePostojanje momenta savijanja
izaziva savijanje
Postojanje transverzalne sile - izazivasmicanje
Uvijanje konzole silom na kraku
Otpornost materijala
A B
F
Savijanje, uvijanje ismicanje
Postojanje momentauvijanja izaziva uvijanje
Postojanje momentasavijanja izaziva savijanje
Postojanje transverzalnesile - izaziva smicanje
-
7/29/2019 mehanika-otpornost materijala
11/214
10/24/200
Unutranje sile. Metoda preseka
Otpornost materijala
Presei telo zamiljenom ravni na mestu gdetreba odrediti unutranje sile
Odbaciti jedan deo
Dejstvo odbaenog dela zameniti silama Postaviti statike jednaine ravnotee Odrediti unutranje sile, komponente glavnog
vektora i glavnog momenta
Unutranje sile. Metoda preseka
Otpornost materijala
Presei telo zamiljenom ravni na mestu gdetreba odrediti unutranje sile
F1Fn
F3 Fm
Fo
F2
III
-
7/29/2019 mehanika-otpornost materijala
12/214
10/24/200
Unutranje sile. Metoda preseka
Otpornost materijala
Odbaciti jedan deo
Dejstvo odbaenog dela zameniti silama
F1
F3
F2
I
Unutranje sile. Metoda preseka
Otpornost materijala
Postaviti statike jednaine ravnotee Odrediti unutranje sile, komponente glavnog
vektora i glavnog momenta
F1
F3
F2
I
S x = 0S y = 0
S x = 0SM x = 0
SM y = 0SM z = 0
FFF
FR
MR
-
7/29/2019 mehanika-otpornost materijala
13/214
10/24/200
Unutranje sile. Metoda preseka
Otpornost materijala
Fn
Fm
FoFyFx
FzM z
M xM y
x
z
y
II
F1
F3
F2
FyFx
Fz M z
M x
M yx
z
C
y
I
Naponi, sile u preseku
Otpornost materijala
Odnos unutranjesile i povrine nakoju ona deluje,mera intenziteta sile,
je srednji napon psr Ukupan napon p je
vektor kolinearan jesa vektorom sile F
DF
DF DF dF
F1
F3
F2
I n
t
M
DA
DA DA dADA 0p =sr p = lim =
a
-
7/29/2019 mehanika-otpornost materijala
14/214
10/24/200
Napon
Otpornost materijala
Odnos unutranje sile DF koja deluje na povrinuDA preseka optereenog tela, ako veliina ovepovrine tei ka nekoj graninoj vrednosti - akoovu povrinu smanjujemo do beskonano malihdimenzija, suavajui njenu konturu oko takeM.
Granina vrednost ovog odnosa, koju definie
intenzitet unutranjih sila koje deluju na datupovrinu u posmatranoj taki M, zove se NAPON.
Naponi, normalni i tangencijalni
Otpornost materijala
Normalni napon s(sigma) - izduenjeili skraenje
Tangencijalni napon
t (tau)
F1
F3
F2
I n
t
M
DA
p
s
ta
s tp = +2 2
-
7/29/2019 mehanika-otpornost materijala
15/214
10/24/200
Otpornost materijala
Geometrijske karakteristike
poprenog preseka
Geometrijske karakteristikepoprenog preseka
Povrina poprenog preseka
Statiki moment poprenog preseka
Momenti inercije poprenog preseka
Otpornost materijala
-
7/29/2019 mehanika-otpornost materijala
16/214
10/24/200
Povrina poprenog preseka
x
y
C
A
CkCn-1
Cn
C3
C1
C2 C5
A1
A3
An
A2
1
2
n
3
nnn yxCyxCyxCyxC ;...;;; 331221111
nAAAA ...,,, 321
Otpornost materijala
Povrina poprenog preseka
n
n
i
i AAAAAA
...321
1
2LDimenzija Jedinica
2m
A dAA
Otpornost materijala
-
7/29/2019 mehanika-otpornost materijala
17/214
10/24/200
Statiki moment povrine za osu
dAx
x
y
y
r
A A
x ydAS
A
y xdAS
3LDimenzija Jedinica
3m
Otpornost materijala
Statiki moment
Za sloenu povrinu koja se sastoji od vie prostihpovrina, statiki moment za neku osu jednakje zbirustatikih momenata pojedinih prostih povrina uodnosu na istu osu
n
i
iinn
nA
x yAyAyAyAydAydAydAydAydAS1
2211
321
......
n
i
iinn
nA
y xAxAxAxAxdAxdAxdAxdAxdAS1
2211
321
......
Otpornost materijala
-
7/29/2019 mehanika-otpornost materijala
18/214
10/24/200
Koordinate teita
dAx
x
y
y
r
xC
yC
C
A
Po Varinjonovoj teoremi:
(moment rezultante jednak je zbiru momenata komponenata)
A
S
dA
xdA
xy
A
AC
A
S
dA
ydA
y x
A
AC
Otpornost materijala
Primer :6
2
2
R2
x
y
Otpornost materijala
-
7/29/2019 mehanika-otpornost materijala
19/214
10/24/200
Brojni primer:
0;85.028,6
67.0;2261;312
13
2
11
CA
CACA
C3
C1
C2
x
y
1
0.
67
2
3
2
6
R2
4
Otpornost materijala
Brojni primer:2
3128,2428.6612
2cmAAAA
3
333
3
222
3
111
0028.6
02.4)67.0(6
12112
cmyAS
cmyAS
cmyAS
x
x
x
3
333
3
222
3
111
34.5)85.0(28.6
1226
36312
cmxAS
cmxAS
cmxAS
y
y
y
3
321 98.7002.412 cmSSSS xxxx
3
321 66.4234.51236 cmSSSS yyyy
Otpornost materijala
-
7/29/2019 mehanika-otpornost materijala
20/214
10/24/200
Brojni primer:
cmA
Sx
y
C75.1
28.24
66.42
cmA
Sy xC 32.0
28.24
98.7
C3
C1
C
C2x
y
x
h
Otpornost materijala
Karakteristike statikihmomenata poprenog preseka
Za osu simetrije statiki moment povrine jednakje nuli jer ova osa prolazi kroz teite.
Ako povrina ima dve ose simetrije ili vie takvih
osa, teite se nalazi u presenoj taki tih osa Kososimetrine povrine imaju teite u taki
kose ose simetrije
Ako osa prolazi kroz teite statiki momentpovrine za tu osu jednak je nuli
Otpornost materijala
-
7/29/2019 mehanika-otpornost materijala
21/214
10/24/200
Momenti inercije ravnih povina
Aksijalni moment inercije
Centrifugalni moment inercije
Polarni moment inercije
dAxIdAyIA
y
A
x
22
dAxyIA
xy
dArIA
o
2
Otpornost materijala
Aksijalni moment inercije
dAx
x
y
y
r
A
OA
x dAyI2
A
y dAxI2
Aksijalni moment inercije povrine predstavlja zbir proizvodasvih elementarnih povrina i kvadrata njihovih rastojanja ododgovarajue ose u ravni te povrine
4LDimenzija Jedinica
4m
Otpornost materijala
-
7/29/2019 mehanika-otpornost materijala
22/214
10/24/200
Centrifugalni moment inercije
dAx
x
y
y
r
A
O
A
yx dAyxI
Centrifugalni moment povrine predstavlja zbir proizvoda
svih elementarnih povrina i oba njihova rastojanja od osau ravni te povrine
4LDimenzija Jedinica
4m
Otpornost materijala
Polarni moment inercije
dAx
x
y
y
r
A
O
A
O dArI2
Polarni moment inercije u odnosu na pol O u ravni te
povrine predstavlja proizvod svih elementarnih povrina ikvadrata njihovih rastojanja od tog pola
yxAAA
O IIdAydAxdAyxI 2222
222yxr
4LDimenzija Jedinica
4m
Otpornost materijala
-
7/29/2019 mehanika-otpornost materijala
23/214
10/24/200
Karakteristike momenata inercije
Aksijalni i polarni moment inercije su uvek
pozitivni
Centrifugalni moment inercije moe biti vei,manji ili jednak nuli
Svaka povrina ima bar jedan par osa za koje je
centrifugalni moment inercije jednak nuli
Otpornost materijala
Znak polarnog momenta inercije
x
y
I >0xy
x
y
I 0xy
I
-
7/29/2019 mehanika-otpornost materijala
24/214
10/24/200
1
Momenti inercije za paralelno pomerenkoordinatni sistem (tajnerova teorema)
Moment inercije za ose
teine xOhdAx
x
y
y
A
O
x
x
hh
a
b
O1
C
x=a+x
y=b+h
A
dAI2
hx
A
dAI2xh
A
dAI xhxh
Ako osa prolazi kroz teite statikimoment povrine za tu osu jednak je nuli
Otpornost materijala
Momenti inercije za paralelno pomerenkoordinatni sistem (tajnerova teorema)
U izrazima za
momente inercije
za X i Y osu
vrednosti
koordinata x i yzamenjujemo
vrednostima,
prema slici
dAx
x
y
y
A
O
x
x
hh
a
b
O1
C
x=a+x
y=b+h
hx byax
Otpornost materijala
-
7/29/2019 mehanika-otpornost materijala
25/214
10/24/200
Momenti inercije za paralelno pomerenkoordinatni sistem (tajnerova teorema)
hby
AA
x dAbdAyI22 h
AAA
x dAbdAbdAI22
2 hh
AbSbIIx2
2 xx
AbIIx2 x
Ako osa prolazi kroz teite statiki moment povrineza tu osu jednak je nuli, a b je udaljenost x ose od
paralelne teine ose z
Otpornost materijala
Momenti inercije za paralelno pomerenkoordinatni sistem (tajnerova teorema)
x ax
AA
y dAadAxI22 x
AAA
y AaSaIdAadAadAI222
22 hhxx
AaIIy2 h
Ako osa prolazi kroz teite statiki moment povrineza tu osu jednak je nuli, a b je udaljenost x ose odparalelne teine ose z
Otpornost materijala
-
7/29/2019 mehanika-otpornost materijala
26/214
10/24/200
1
Momenti inercije za paralelno pomerenkoordinatni sistem (tajnerova teorema)
hx byax
AA
yx dAbaxydAI hx
abASbaSIIxy hxxh
AAAA
yx dAabdAbdAadAI xhxh
Ako osa prolazi kroz teite statiki moment povrine za tu
osu jednak je nuli, a b je udaljenost x ose od paralelneteine ose z, dok je a udaljenost yose od paralelne teineose h,
abAIIxy xh
Otpornost materijala
Momenti inercije za paralelno pomerenkoordinatni sistem (tajnerova teorema)
Kada se koordinatnipoetak sistema xO1hpoklapa sa teitem tadasu ose x i h teine ose
Statiki moment za teine
ose jednak je nuli, akoordinate
dAx
x
y
y
A
O
x
x
hh
a
b
O1
C
x=a+x
y=b+h
0 hx SS
axby cc ;
Otpornost materijala
-
7/29/2019 mehanika-otpornost materijala
27/214
10/24/200
1
Momenti inercije za paralelno pomerenkoordinatni sistem (tajnerova teorema)
Momenti
sopstveni momentiinercijeProizvod povrinepreseka i udaljenosti odose osa naziva se
poloajni momentinercije
dAx
x
y
y
A
O
x
x
hh
a
b
O1
C
x=a+x
y=b+h
xhhx IiII ,
abAAaAb ,, 22
Otpornost materijala
Momenti inercije za paralelno pomerenkoordinatni sistem (tajnerova teorema)
Momenti inercije zateine ose xOhnazivaju se sopstvenimomenti inercije
Momenti inercije zavanteine ose jednakisu zbiru sopstvenihmomenata inercije ipoloajnih momenatainercije
dA
x
x
y
y
A
O
x
h
a
b
O1
C
x=a
y=
b
kada su ine
ose
x h, te
Otpornost materijala
-
7/29/2019 mehanika-otpornost materijala
28/214
10/24/200
1
Momenti inercije za paralelno pomerenkoordinatni sistem (tajnerova teorema)
byax
AbIIx2 x
AaIIy2 habAIIxy xh
Za teine ose x, h za paralelno pomeren koordinatni sistemizrazi za momente dobijaju oblik
Moment inercije za paralelno pomeren koordinatni sistemjednak je zbiru sopstvenog momenta inercije(uvek za
teine ose) i poloajnog momenta inercije
Otpornost materijala
Momenti inercije za paralelno pomerenkoordinatni sistem (tajnerova teorema)
Moment inercije za vanteine paralelne osejednak je zbiru sopstvenih momenata inercije
(teinih) i poloajnih momenata inercije
AyxII
AxII
AyII
CCxy
Cy
Cx
xh
h
x
2
2
Napomena: rastojanja xc i yc
uzimati sa svojim znakom
Otpornost materijala
-
7/29/2019 mehanika-otpornost materijala
29/214
10/24/200
1
Momenti inercije za paralelno pomeren
koordinatni sistem (tajnerova teorema)
Moment inercije za paralelne teine ose jednak jerazlici momenata inercije za vanteine paralelneose i poloajnih momenata inercije
AyxII
AxII
AyII
CCxy
Cy
Cx
xh
h
x
2
2
Napomena: rastojanja xc i ycuzimati sa svojim znakom
Otpornost materijala
Momenti inercije za zaokrenutikoordinatni sistem (za teine ose)
Poznati su momenti
inercije za teineose xCy Ix, Iy, Ixy
Za neki zaokrenutiza ugao j
koordinatni sistem
uCvtreba odreditimomente inercije Iu,Iv, Iuv
dA
x
x
v
v
u
u
y
y
A
CP
Q
M
N
j
j
Otpornost materijala
-
7/29/2019 mehanika-otpornost materijala
30/214
10/24/200
1
Momenti inercije za zaokrenutikoordinatni sistem (za teine ose)
dAx
v
u
u
y
y
CP
Q
MN
j
j v
x
jj cossin xyCMPQCMMNu
jj sincos xyMPSQNQSQu
Otpornost materijala
Momenti inercije za zaokrenutikoordinatni sistem (za teine ose)
A AAAA
u xydAdAxdAydAxydAvI jjjjjj cossin2sincossincos222222
jjjj cossin2sincos 22 xyyxu IIII
A AAAA
v xydAdAxdAydAxydAuI jjjjjj cossin2cossincossin 222222
jjjj cossin2cossin 22 xyyxv IIII
xydAdAxdAyuvdAIAAA
uv jjjj2222
sincoscossin
jjjj 22 sincoscossin xyyxuv IIII
Koristei transformaciju koordinata dobijaju se:
Otpornost materijala
-
7/29/2019 mehanika-otpornost materijala
31/214
10/24/200
1
Momenti inercije za za okrenutikoordinatni sistem (za teine ose)
Kako je:
,2cos12
1cos
2 jj ,2cos12
1sin
2 jj
jjj 2sincossin2 jjj 2cossincos 22
Izrazi za izraunavanje teinih momenata inercije za zaokrenute ose sada su
jj 2sin2cos2
1
2
1xyyxyxu IIIIII
jj 2sin2cos2
1
2
1xyyxyxv IIIIII
jj 2cos2sin2
1xyyxuv IIII
Ako su poznati momenti inercije za jedan par teinih osa bez integraljenjamogu se izraunati momenti inercije za zaokrenute teine ose
Otpornost materijala
Glavni momentiinercije i glavne ose inercijeKako se drugi izraz za moment moe dobiti iz prvog zamenom j sa j+90o
analiziraju se drugi i trei izraz
Navedeni izrazi su neprekidne funkcije ugla j pa se mogu odrediti ekstremnevrednosti:
jj 2sin2cos2
1
2
1xyyxyxu IIIIII
jj 2cos2sin2
1xyyxuv IIII
02cos22sin jjj
xyyxu III
d
dI
argument j koji zadovoljava ovu jednainu obeleimo sa a
2cos:02cos22sin xyyx III
yx
xy
II
Itg
22
Otpornost materijala
-
7/29/2019 mehanika-otpornost materijala
32/214
10/24/200
1
Glavni momentiinercije i glavne ose inercije
22tg
2
1
2
tg
1
Ugao odreuje poloaj glavnih teinih osa
222 4211
2cos
xyyx
yx
III
II
tg
222 42
21
22sin
xyyx
xy
III
I
tg
tg
221max 4
2
1
2
1xyyxyx IIIIIII
222min
42
1
2
1xyyxyx IIIIIII
012
IIuv j
yx
xy
II
Itg
22
Otpornost materijala
Glavni momentiinercije i glavne ose inercije Za teine ose za koje aksijalni momenti inercije
imaju ekstremne vrednosti, centrifugalni moment
inercije je jednak nuli.
I obrnuto ako je za dve upravne teine osecentrifugalni moment inercije jednak nuli, onda
aksijalni momenti za te ose imaju ekstreme
Otpornost materijala
-
7/29/2019 mehanika-otpornost materijala
33/214
10/24/200
1
Elipsa inercije
x
x
i2
i2
i 1
i 1
y
u
y
j
(1)
(2)
C
N(x,y)
Za povrinu A poznate su glavne teine ose(1) i (2) i glavni teini momenti inercije I1 i I2.Za proizvoljnu teinu osu u pod uglom j dobijase
Deljenjem leve i desne strane sa
povrinom A dobija se
jj 22
2
1 sincos IIIu
A
I
iu
u
A
Ii
A
Ii 22
11 ,
jj 222
1 sincos iiiu
Poluprenici inercije za glavne ose
Poluprenik inercije za osu u
Otpornost materijala
Momenti inercije pravougaonika
bdydAbh
dyybdAyI
h
A
x ,3
3
0
22
hdxdAhb
dxxhdAxI
b
A
y ,3
3
0
22
22,, hC
bC yxbhA
bdydAbh
ydyb
ydAxydAI
hb
b
A
xy ,42
22
0
2
0
2
Za teine ose x i h
1243
323
2 bhbh
hbhAyII
Cxx
1243
323
2 hbbhbhb
AxIICy h
0224
32
bhhbbh
AyxIICCxyxh
x
x
y
dy
dx
y
x
yC
xC
b
hC
h
Otpornost materijala
-
7/29/2019 mehanika-otpornost materijala
34/214
10/24/200
2
Momenti inercije i elipsa inercije
pravougaonika
x
y
b
hC
T
D
ix
iy
iD0,
12,
12
33
xyyx Ihb
Ibh
I
Za teine ose obeleene sa xi ymomenti inercije iznose:
Poluprenici inercije su
bbb
bh
hb
A
Iii
y
y29,0
6
3
12
122
3
2
hhh
bh
bh
A
Iii x
x29,0
6
3
12
122
3
1
Za proizvoljnu osu tangenta paralelna sa
odabranom osom, i rastojanje od C do take dodiratangente T je iD.
2
DD iAI
Otpornost materijala
Podaci iz tablica za krug
R
y
xC
D
2
2
4r
DA
44
44
7854,00491,0
464
rDrD
IIyx
24
rDii yx
0xyI
Otpornost materijala
-
7/29/2019 mehanika-otpornost materijala
35/214
10/24/200
2
Podaci iz tablica za polovinu kruga
R
e1
e2
y
x
x1
C
28
22 rDA
4440069.01098.0
9
8
8DrrI
x
DereDr
e 2878.0;2122.03
4121
4444
025.0392.01288
DrDr
Iy
44
44
1 025.0392.01288
DrDr
Ix
Otpornost materijala
Postupak pri odreivanju momenatainercije sloene povrine
1. Izabrati koordinatni sistem Oxy i odrediti poloajteita
2. Odrediti momente inercije za teine ose svakepovrine, pa primenom tajnerove teoremeodrediti momente inercije za teine ose sloenepovrine
3. Odrediti ugao glavnih centralnih osa inercije
4. Odrediti glavne centralne momente inercije
5. Odrediti poluprenike elipse inercije i nacrtatielipsu inercije
Otpornost materijala
-
7/29/2019 mehanika-otpornost materijala
36/214
10/24/200
2
Primer izraunavanja momenata zasloenu povrinu
x
y
1
1
14
6.
5
6.
5
3.5
3.5
C1
C2
C3
5.6;5.3;818
,5.6;5.3;818
,0;0;12112
33
22
11
CA
CA
CA
Odabrati ose x i y i odrediti teite
3
3
3
3
3
2
3
2
3
1
3
1
52,28
52,28
,0,0
cmScmS
cmScmS
cmScmS
yx
yx
yx
08812
28280
321
321 AAA SSSxxxx
C
08812
52520
321
321
AAA
SSSy
yyy
C
Otpornost materijala
Primer izraunavanja momenata zasloenu povrinu
x
y
1
1
14
6.
5
6.
5
3.5
3.5
C1
C2
C3
3
2
332
2
221AyIAyIII CxCxxx
Odrediti momente inercije za ose x i y
3
2
332
2
221 AxIAxIII CyCyyy
333322221 AyxIAyxIII CCxyCCxyxyxy
Otpornost materijala
-
7/29/2019 mehanika-otpornost materijala
37/214
10/24/200
2
Primer izraunavanja momenata zasloenu povrinu
Odrediti momente inercije za ose x i y
4
33
1 14412
121
12cm
bhIx
4
33
1 112
121
12cm
hbIy
y = y1
12 C1 x = x1
4
11 0cmI yx
Otpornost materijala
Primer izraunavanja momenata zasloenu povrinu
Odrediti momente inercije za ose x i y
4
33
32 66.012
18
12cm
bhII xx
4
33
32 66.4212
18
12 cm
hb
II yy
y 2
x 21
C2
84
3322 0 cmII yxyx
Otpornost materijala
-
7/29/2019 mehanika-otpornost materijala
38/214
10/24/200
2
Primer izraunavanja momenata zasloenu povrinu
4
22
822
85.666.085.666.0144
cmI
I
x
x
Odrediti momente inercije za ose x i y
4
22
282
85.366.4285.366.421
cmI
I
x
y
4
364
85.65.3085.65.300
cmI
I
xy
xy
x
y
1
1
14
6.
5
6.
5
3.5
3.5
C1
C2
C3
C
Otpornost materijala
Primer izraunavanja momenata zasloenu povrinu
72.26433.533481.12
3481.128233.821
364222
arctg
II
Itg
yx
xy
Odrediti ugao glavnih osa
221max
42
1
2
1xyyxyx IIIIIII
222min
42
1
2
1xyyxyx IIIIIII
012
IIuv j
x
y
C
(2)
(1)
26.72o
22
1max 36442828222
1282822
2
1
II
4
1max1006cmII
221max 3644282822
2
1282822
2
1 II
4
2min99cmII
012
IIuv j
Otpornost materijala
-
7/29/2019 mehanika-otpornost materijala
39/214
10/24/200
2
Primer izraunavanja momenata zasloenu povrinu
Poluprenici inercije
cmA
Ii 66.5
28
100611
cmA
Ii 88.1
28
9922
x
y
C
(2)
(1)
26.72o
Otpornost materijala
Postupak pri odreivanju momenatainercije sloene povrine
1. Podeliti sloenu povrinu na odreen brojmanjih povrina za koje je lako odrediti:Teite povrineStatike momente inercije povrina za teine ose
Sopstvene momente inercije povrine za teine oseAksijalne momente inercije povrine za teine oseCentrifugalne momente inercije povrine za teineose
Polarne momente inercije povrine za teine ose
Otpornost materijala
-
7/29/2019 mehanika-otpornost materijala
40/214
10/24/200
2
Postupak pri odreivanju momenatainercije sloene povrine
2. Izabrati koordinatni sistem Oxy i odrediti poloajteita
3. Odrediti momente inercija za teine ose svakepovrine pa primenom tajnerove teoremeodrediti momente inercije za teine ose sloenepovrine
4. Odrediti ugao glavnih centralnih osa inercije
5. Odrediti glavne centralne momente inercije
6. Odrediti poluprenike elipse inercije i nacrtatielipsu inercije
Otpornost materijala
Napomene pri odreivanju momenatainercije sloene povrine
Treba koristiti simetriju teite sloene povrineje uvek na osi simetrije
Osa simetrije je ujedno i jedna glavna osa inercije,a druga glavna osa prolazi kroz teite i upravnaje na prvu
Ako povrina ima vie osa simetrije teite je unjihovom preseku a one su ujedno i glavne oseinercije
Za glavne ose uvek je centrifugalni momentinercije jednak nuli
Otpornost materijala
-
7/29/2019 mehanika-otpornost materijala
41/214
10/24/200
2
Primer :6
2
2
R2
x
y
Otpornost materijala
Brojni primer:
0;85.028,6
67.0;226
1;312
13
2
11
CA
CA
CA
C3
C1
C2
x
y
1
0.
67
2
3
2
6
R2
4
Otpornost materijala
-
7/29/2019 mehanika-otpornost materijala
42/214
10/24/200
2
Brojni primer:
cmA
Sx
y
C75.1
28.24
66.42
cmA
Sy xC 32.0
28.24
98.7
C3
C1
C
C2x
y
x
h
Otpornost materijala
Brojni primer:
C1
C
x1
y1
x
h 67.0;24.112 1
2
1CcmA
4
33
14
12
26
12cm
bhIx
4
33
1
3612
26
12cm
hbI
y
011 yxI
Otpornost materijala
-
7/29/2019 mehanika-otpornost materijala
43/214
10/24/200
2
Brojni primer:
1;.24.06 12
2 CcmA
4
33
2 33.136
26
36cm
bhIx
433
2 1236
26
36cm
hbIy
y2
CC2
x
h
x2
4
2222
22 2
72
26
72
cmhb
I yx
Otpornost materijala
Brojni primer:
0;61.228.61
2
1 CcmA
4
44
3 28.68
2
8 cmr
Ix
424
2
4
376.1649
72
2649
72cm
rIy
033
yxI
y3
C3
C x
h
x3
Otpornost materijala
-
7/29/2019 mehanika-otpornost materijala
44/214
10/24/200
3
Brojni primer:
3
2
332
2
221
2
11 AIAIAII xxx hhhx
3
2
332
2
221
2
11 AIAIAII yyy hxxh
42328.6633.138.54 cmI x
43.11175.178.4234.01245.1836 cmI h
233332222211111 AIAIAII yxyxyx hxhxhxxh 453.10061.228.601624.021267.024.10 cmI xh
Otpornost materijala
Rezime
Povrina poprenog preseka Statiki moment povrine poprenog preseka Teite povrine Aksijalni moment inercije
Centrifugalni moment inercije
Polarni moment inercije
tajnerova teorema - sopstveni + poloajni Momenti inercije za zaokrenuti koordinatni sistem
Glavni momenti inercije i glavne ose inercije
Elipsa inercije i glavne teine ose
Otpornost materijala
-
7/29/2019 mehanika-otpornost materijala
45/214
10/24/200
3
Postupak pri odreivanju momenata
inercije sloene povrine1. Izabrati koordinatni sistem Oxy i odrediti poloaj
teita
2. Odrediti momente inercija za teine ose svakepovrine, pa primenom tajnerove teoremeodrediti momente inercije za teine ose sloenepovrine
3. Odrediti ugao glavnih centralnih osa inercije
4. Odrediti glavne centralne momente inercije
5. Odrediti poluprenike elipse inercije i nacrtatielipsu inercije
Otpornost materijala
-
7/29/2019 mehanika-otpornost materijala
46/214
11/1/200
Aksijalno naprezanje
Zatezanje
Pritisak
Otpornost materijala
F
F
- F
+ Fz
- F
+ F
Aksijalno naprezanje
Aksijalno naprezanje (zatezanje ilipritisak) je takvo naprezanje pri komese u poprenim presecimaoptereenog dela, najee tapa,
javljaju samo aksijalne unutranje sile(unutranje sile su u pravcu uzduneose tapa)
Otpornost materijala
-
7/29/2019 mehanika-otpornost materijala
47/214
11/1/200
Aksijalno naprezanje
Aksijalno naprezanjeizazivaju sile kolinearnesa osom tapa ili viesila ija je rezultanta upravcu ose tapa
Otpornost materijala
F
F
- F
+ Fz
- F
+ F
Kod aksijalnog naprezanjapostoje samo normalni naponi
Otpornost materijala
Normalni napon s (sigma) - izduenje ili skraenje
Nema tangencijalnih napona t (tau)
F1
F3
F2
I nM
A s
-
7/29/2019 mehanika-otpornost materijala
48/214
11/1/200
Unutranje sile i naponi
0
0
az
Az
FFF
FFF
Otpornost materijala
Ravnotea spoljanjih iunutranjih sila
Dijagram promene aksijalne sile
Zanemaren je uticaj teine tapa,posmatra se homogeni tap konstantnogpoprenog preseka
FA
FA
Fa
F
F
B
B
A
A
I
I
+
Unutranje sile i naponi
0
0
az
Az
FFF
FFF
Otpornost materijala
Za proizvoljni zamiljeninormalni presek vae usloviravnotee:
FA
Fa
s
F
F
F
B
B
B
AI
I
I
I
I
I
-
7/29/2019 mehanika-otpornost materijala
49/214
11/1/200
Unutranje sile i naponi
Otpornost materijala
A
F
AdAdAF
a
AA
a
s
sss
Normalni napon konstantan usvakoj taki poprenog preseka
Popreni presek nepromenljivitavom duinom tapa
Normalan napon dobija se kaoodnos sile po povrini
Jedinica MPa
Stare jedinice: kp/mm2
i kg/cm2
FA
Fa
s
F
F
F
B
B
B
AI
I
I
I
I
I
Deformacije kod aksijalnog naprezanja
F
F
F
F
l
l l
l1
elini tap duine ldeformisae se poddejstvom sile
zatezanja F Duina e se
poveati za l Ukoliko su vee
aksijalne sile utolikosu vea i izduenja
Otpornost materijala
-
7/29/2019 mehanika-otpornost materijala
50/214
11/1/200
Deformacije kod aksijalnog naprezanja
elini tap duine ldeformisae se poddejstvom silepritiskanja F
Duina e sesmanjiti za l
Ukoliko su veepritisne aksijalne sileutoliko su vea iskraenja
F
F
F
F
l
l
l
Otpornost materijala
Deformacije kod aksijalnog naprezanja
Deformacija (u oba sluaja) je u promeniduine tapa
Deformacija je zavisna od veliine aksijalnih
sila te raste ukoliko su sile vee Uz odgovarajuu opremu mogue je snimiti
zavisnost izmeu spoljanjeg optereenja(aksijalnih sila) i odgovarajuih deformacija
Otpornost materijala
-
7/29/2019 mehanika-otpornost materijala
51/214
11/1/200
Dijagram sile i deformacije eline ipke
lmm
F
kN
Otpornost materijala
Dijagrami napona i dilatacije
Dijagram sile i izduenja zavisi od dimenzijaipke
Za svaku ispitivanu ipku dobio bi se sliandijagram
Da bi se otklonile neusaglaenosti i dobileporedive vrednosti izvrena jestandardizacija metodologije ispitivanjai epruvete koje se koriste
Otpornost materijala
-
7/29/2019 mehanika-otpornost materijala
52/214
11/1/200
Dijagrami napona i dilatacije
Za debele materijale propisane su pravecilindrine epruvete
Za limove propisane su pljosnate epruvete
Propisane su i duine epruveta i to:
DUGAKE
KRATKE
00 10 dl
005 dl
Otpornost materijala
Standardna epruveta za ispitivanje zatezanjem
Otpornost materijala
-
7/29/2019 mehanika-otpornost materijala
53/214
11/1/200
Ispitivanje zatezanjem na hidraulinoj kidalici
Otpornost materijala
Savremene maine za ispitivanjezatezanjem
Otpornost materijala
-
7/29/2019 mehanika-otpornost materijala
54/214
11/1/200
Dijagrami sila - izduenje za razliitematerijale
Otpornost materijala
Dijagram sila izduenjedijagram napon - dilatacija
Umesto izduenja naneti odnosizduenja i prvobitne duine
e Dilatacija, neimenovan broj0
0
lle
Otpornost materijala
-
7/29/2019 mehanika-otpornost materijala
55/214
11/1/200
Dijagram sila izduenjedijagram napon - dilatacija
Umesto sile naneti odnos sile ipovrine poprenog preseka
s Napon MPa0
A
Fs
Prema vaeim standardima napon se oznaava sa R
Otpornost materijala
Dijagram napon - dilatacija
e
sM Pa
Dijagram napon - dilatacija za meki elik
Otpornost materijala
-
7/29/2019 mehanika-otpornost materijala
56/214
11/1/200
Karakteristine take na dijagramunapon - dilatacija
e
s M Pa
P
ETG
TD
M
K
asP
sM
sE
P - granica proporcionalnostiE - granica elastinostiTg -gornja granica teenjaTd - donja granica teenja
M - maksimalna vrstoaK - taka prekida
tg =Ea
Otpornost materijala
Hukov zakon
Od koordinatnog poetkado take P postojiproporcionalnost izmeu
napona i dilatacije E koeficijent
proporcionalnostiMODUL ELASTINOSTIili Jungov moduldimenzija MPa
es E
Otpornost materijala
-
7/29/2019 mehanika-otpornost materijala
57/214
11/1/200
Hukov zakon
Hukov zakon u obliku s=Ee
Zamenom u izrazu za dilataciju kao e=l/lo
Napon kao odnos s=F/A
Dobija se izraz za Hukov zakon u obliku
AE
lFl
ee 11
llllll
Duina ipke posle prekida
Otpornost materijala
Poasonov koeficijent m
e uzduna dilatacija
eP poprena dilatacija
koeficijent zavisnosti poprene dilatacije od uzdune Poasonov koeficijent je neimenovan broj
l
l1
b
h
epb
ep
h
eme p
Otpornost materijala
-
7/29/2019 mehanika-otpornost materijala
58/214
11/1/200
Poasonov koeficijent
Izraunavanjem zapremina pre i posledeformacije dobija se zapreminska dilatacijakao
mee 21V
V
VV
V
V
hblhblV
hblV
V
1
2
11111
e
mee
Otpornost materijala
Poasonov koeficijent i modul elastinosti
0,3
0,34
0,33
0,37
0,25
1/6
m [-]
2.1 . 105
0.7 . 105
1.1 . 105
1.0 . 105
1.0 . 105
0.3. 105
E [ MPa ]
elik
Materijal
Aluminijum
Bakar
Mesing
Sivi liv
Beton
Otpornost materijala
-
7/29/2019 mehanika-otpornost materijala
59/214
11/1/200
Dimenzionisanje aksijalno napregnutogtapa, dozvoljeni napon, stepen sigurnosti
Obrasci u otpornosti materijala izvedeni suna osnovu Hukovog (Robert Hooke)zakona, to jest zakona proporcionalnosti
Pri dimenzionisanju delova treba topotovati, pa dozvoljeni napon merodavanza proraun mora biti manji od napona nagranici proporcionalnosti to se postieuvoenjem stepena sigurnosti
Otpornost materijala
Dozvoljeni napon mora biti manji odnapona na granici proporcionalnosti
e
s M Pa
P
E TG
TD
M
K
asP
sM
sE
P - granica proporcionalnostiE - granica elastinostiTg -gornja granica teenjaTd - donja granica teenjaM - maksimalna vrstoaK - taka prekida
tg =Ea
Otpornost materijala
-
7/29/2019 mehanika-otpornost materijala
60/214
11/1/200
Dimenzionisanje aksijalno napregnutogtapa, dozvoljeni napon, stepen sigurnosti
Stepen sigurnosti je kolinik jaine nakidanje, zatezne vrstoe, ili graniceteenja materijala od kog jeproraunavani tap i dozvoljenognapona
Otpornost materijala
doz
TT
doz
MM
s
s
s
s
Dozvoljeni napon
Dozvoljeni napon je kolinik jaine nakidanje, zatezne vrstoe, od kog jeproraunavani deo i stepena sigurnosti
Otpornost materijala
sss
Mddoz
-
7/29/2019 mehanika-otpornost materijala
61/214
11/1/200
Stepen sigurnosti
Zavisno od toga na koju karakteristiku seodnosi, razlikuju se:
Stepen sigurnosti u odnosu na zateznuvrstou
Stepen sigurnosti u odnosu na granicu
teenja
Otpornost materijala
doz
TT
doz
MM
s
s
s
s
Na izbor veliinestepena sigurnosti utiu
Tanost odreivanja spoljanjih sila Nain dejstva spoljanjih sila
Namena projektovane konstrukcije Zakonska regulativa za odreene
projekte
Osobine primenjenih materijala
Otpornost materijala
-
7/29/2019 mehanika-otpornost materijala
62/214
11/1/200
2
Stepen sigurnostiprema vrsti optereenja
1. Mirno optereenje2. Jednosmerno promenljivo
3.
Naizmenino promenljivo
Otpornost materijala
Stepeni sigurnosti
U okviru ovog kursa bie korienistepeni sigurnosti u odnosu na zateznuvrstou
Bie reavani primeri sa mirnimoptereenjima
Otpornost materijala
-
7/29/2019 mehanika-otpornost materijala
63/214
11/1/200
2
Stepen sigurnosti
Vrednosti stepena sigurnosti u odnosu na zateznuvrstou koji se sreu u literaturi:
Za elik termiki neobraen za mirno optereenje 2.5-3 za naizmenino promenljivo 5-6
Za liveno gvoe za mirno optereenje 3-6 za naizmenino promenljivo 5-12
Otpornost materijala
Primer primene stepena sigurnosti
Iz tablica karakteristika materijala za odreenmaterijal oitava se zatezna vrstoa
Primer za .0545
sM = 500-600 MPa seH=280-300 MPa
Otpornost materijala
MPaMdoz 1763
500
ss
-
7/29/2019 mehanika-otpornost materijala
64/214
11/1/200
2
Napon aksijalno napregnutog tapa
Napon aksijalno napregnutog dela mora bitimanji ili jednak dozvoljenom naponu
Normalni napon ili napon kod zatezanjapredstavlja kolinik aksijalne sile i povrinepoprenog preseka
Otpornost materijala
dozA
Fss MPa
Kod aksijalnog naprezanjapostoje tri osnovna zadatka
Poznato je optereenje i poprenipresek tapa i treba odrediti veliinunapona
Poznato je optereenje, oblik poprenogpreseka i materijal, a potrebno jeodrediti dimenzije tog preseka
Poznati su popreni presek i dozvoljeninapon, a potrebno je odrediti vrednostmaksimalne sile
Otpornost materijala
A
Fs
doz
FA s
AF doz s
-
7/29/2019 mehanika-otpornost materijala
65/214
11/1/200
2
Definisanje veliine naponaaksijalno napregnutog tapa
Odrediti vrednosti optereenja odnosnoaksijalnu silu koja deluje na tap
Izraunati povrinu poprenog preseka tapa Izraunati napon koji nastaje delovanjem
aksijalne sile
Uporediti vrednost sa odreenim dozvoljenimnaponom
Otpornost materijala
dozA
Fss MPa
Dimenzionisanjeaksijalno napregnutog tapa
Odrediti vrednost aksijalne sile koja deluje natap
Odrediti dozvoljeni napon za odabrani
materijal Sraunati potrebnu povrinu preseka
Otpornost materijala
doz
FA
s m2
-
7/29/2019 mehanika-otpornost materijala
66/214
11/1/200
2
Za dimenzionisani tap odreditivrednost aksijalne sile
Odrediti povrinu preseka Odrediti dozvoljeni napon za poznati materijal
i definisani stepen sigurnosti
Sraunati maksimalnu aksijalnu silu
Otpornost materijala
AF doz s N
Preporuke pri dimenzionisanju
1. Veliina aksijalnog optereenja - statika2. Povrina poprenog preseka3. Normalni napon za popreni presek-
stepen sigurnosti 4. Za odabrani materijal dozvoljeni napon
5. Veliina poprenog preseka6. Veliina optereenja za poznatu
povrinu i materijal
Otpornost materijala
-
7/29/2019 mehanika-otpornost materijala
67/214
11/1/200
2
Uticaj temperature na deformacije inapone
Pod uticajem toplote sva tela se ire irenje zavisi od materijala i
temperaturne razlike
Promena duine tapa proporcionalna
je duini tapa, vrsti materijala ipromeni temperature
Otpornost materijala
Uticaj temperature na deformacije inapone
tll
lll
tll
ae
a
1
l l
l1
Otpornost materijala
-
7/29/2019 mehanika-otpornost materijala
68/214
11/1/200
2
Uticaj temperature na deformacije inapone
Koeficijent linearnog irenja 1Coa
12 . 10-6
23 . 10-6
17.
10
-6
19. 10-6
9. 10-6
a [ C ]o -1
elik
Materijal
Aluminijum
BakarMesing
Sivi liv
Otpornost materijala
Unutranje sile i naponi usled zagrevanja
0
0
azBAz
FFF
FFF
Otpornost materijala
Ravnotea spoljanjih iunutranjih sila
Dijagram promene aksijalne sileza statiki neodreen nosa
Usled promene toplote nastajeizduenje tapa
Poto izmeu oslonaca ne dolazido izduenja, raste napon usamom tapu
-
7/29/2019 mehanika-otpornost materijala
69/214
11/1/200
2
Unutranje sile i naponi usled zagrevanja
Otpornost materijala
12ttt Ako je nastala deformacija u
zoni elastinosti materijala, zapostojeu temperaturnu razlikunastala bi dilatacija
Prema Hukovom zakonu naponje definisan kao proizvod
modula elastinosti i dilatacije
Moe se odrediti i unutranjasila
tl
l
ae
tE as
oa
o
a AFA
F ss
es E
tll a
Napon u kosom preseku aksijalnonapregnutog tapa
A
Fs
A
Fp
F F
Ako analiziramo aksijalno napregnuttap i neki presek pod uglom
Otpornost materijala
-
7/29/2019 mehanika-otpornost materijala
70/214
11/1/200
2
Napon u kosom preseku aksijalnonapregnutog tapa
U svakoj taki poprenog presekaaksijalno napregnutog tapa javlja senormalni napon s, a tangentnognapona t nema
(napon je vektorska veliina imapravac, smer i intenzitet)
U kosom preseku aksijalnonapregnutog tapa javlja se totalninapon p
A
Fs
A
Fp
Otpornost materijala
Napon u kosom preseku aksijalnonapregnutog tapa
A
Fs
A
Fp
F F
Ako analiziramo aksijalno napregnuttap i neki presek pod uglom
Otpornost materijala
-
7/29/2019 mehanika-otpornost materijala
71/214
11/1/200
2
Napon u kosom preseku aksijalnonapregnutog tapa
A
Fs
A
Fp
Ako analiziramo aksijalno napregnuttap i neki presek pod uglom
Otpornost materijala
Napon u kosom preseku aksijalnonapregnutog tapa
Ako analiziramo uoeni normalni presek i kosipresek pod uglom
A
Fs
A
Fp
s
ss
s
cos
cos
cos
0
A
A
A
Ap
AA
AApFz
s p
Otpornost materijala
-
7/29/2019 mehanika-otpornost materijala
72/214
11/1/200
3
Napon u kosom preseku aksijalnonapregnutog tapa
Komponente napona u pravcu normale itangente na posmatrani kosi presek
sst
sss
2sin2
1cossinsin
2cos12
1coscos
2
p
p
p
p
s
t
s
p
nA A
t
Otpornost materijala
Napon u kosom preseku aksijalnonapregnutog tapa
Najvei normalni naponi su za =0o smax=s ,
a najmanji, odnosno jednaki nuli za =90o smin=0
Najvei tangencijalni i najmanji naponi su za=45o tmax,min=+- 1/2 s
22
2sin2
12cos1
2
1
ts
stss
p
i pp
Analizom dobijenih izraza u funkciji ugla
Otpornost materijala
imajui na umu
-
7/29/2019 mehanika-otpornost materijala
73/214
11/1/200
3
Grafiki prikaz Morov krug napona
22
2sin2
1
2cos12
1
ts
st
ss
p
p
p
Otpornost materijala
Napon u kosom preseku aksijalnonapregnutog tapa
F
F
F
F
90o
45o
Kod krtih materijala(kaljenih elika, sivogliva ili kamena) prekidje poprean
Kod plastinih, mekih,materijala (meki elik,bakar, aluminijum)pucaju pod uglom od45o
Otpornost materijala
-
7/29/2019 mehanika-otpornost materijala
74/214
-
7/29/2019 mehanika-otpornost materijala
75/214
11/4/200
Zatezanje u dva pravca
Otpornost materijala
Tanka ploa, debljine d,napregnuta je silama
jednako podeljenim popovrinama osnova upravcu:
Ox ose
Oy ose
Zatezanje u dva pravca
Veliine sila na jedinicu povrineoznaimo sa sx, odnosno sy
u pravcu Ox imamo silu X
u pravcu Oy silu Y
Sile X ne izazivaju napone u ravni u-u
Sile y ne izazivaju napone u ravni p-p
Otpornost materijala
-
7/29/2019 mehanika-otpornost materijala
76/214
11/4/200
Hukov zakon
Od koordinatnog poetka do take P (graniceproporcionalnosti) postoji proporcionalnostizmeu napona i dilatacije
E koeficijent proporcionalnosti MODULELASTINOSTI ili Jungov modulDimenzija napona MPa
s E
Otpornost materijala
Poasonov koeficijent m
uzduna dilatacija
P poprena dilatacija koeficijent zavisnosti poprene dilatacije od uzdune Poasonov koeficijent je neimenovan broj
l
l1
b
h
pb
p
h
m p
Otpornost materijala
-
7/29/2019 mehanika-otpornost materijala
77/214
11/4/200
Dilatacija u pravcu Ox
Na osnovu pokazanih zavisnosti,dobija se:
Pozitivna dilatacija u pravcu Ox
Negativna poprena dilatacija upravcu Ox ose kao posledicaistezanja u pravcu Oy ose
Ukupna dilatacija u pravcu Ox ose
E
ysm
E
xs
EEE
yxyxx
msssm
s
Otpornost materijala
Dilatacija u pravcu Oy
Na osnovu pokazanih zavisnosti,dobija se:
Pozitivna dilatacija u pravcu Oy
Negativna poprena dilatacija upravcu Oy ose kao posledicaistezanja u pravcu Ox ose
Ukupna dilatacija u pravcu Oy oseE
xsm
E
ys
EEE
xyxy
y
msssm
s
Otpornost materijala
-
7/29/2019 mehanika-otpornost materijala
78/214
11/4/200
Dilatacija u pravcu osa Ox i Oy
EEE
xyxy
ymsssms
EEE
yxyxx
msssm
s
Otpornost materijala
Komponentni naponi u kosom presekuzatezanje u dva pravca
Otpornost materijala
Ako iz tanke ploe,debljine d, napregnutesilama jednako
podeljenim popovrinama osnova upravcu osa Ox i Oy,izdvojimo prizmu maledebljine d i ispitamoravnoteu
-
7/29/2019 mehanika-otpornost materijala
79/214
-
7/29/2019 mehanika-otpornost materijala
80/214
11/4/200
Komponentni naponi u kosom presekuzatezanje u dva pravca
jsjjs cossincosxn
jsjjs sincossin yn
0sincoscos jdjsjds ccbcX nxi
0cossinsin jdjsjds ccbcY nyi
Otpornost materijala
Komponentni naponi u kosom presekuzatezanje u dva pravca
jjsjjs coscossincos xn
jjsjjs sinsincossin yn
Saberemo jednaine i dobijamo normalninapon
1cossin 22 jj
jsjss 22 sincos yxn
Otpornost materijala
-
7/29/2019 mehanika-otpornost materijala
81/214
-
7/29/2019 mehanika-otpornost materijala
82/214
11/4/200
Komponentni naponi u kosom presekuzatezanje u dva pravca - Morov krug
jss 2sin2
1
yxn
jsjsjsssjss 222 sincoscoscos yxyxyyn BD
Otpornost materijala
Pritisak u dva pravca
Otpornost materijala
Tanka ploa, debljine d,napregnuta je silama
jednako podeljenim po
povrinama osnova upravcu: Ox ose
Oy ose
-
7/29/2019 mehanika-otpornost materijala
83/214
11/4/200
1
Dilatacija u pravcu Oxkod pritiska u dva pravca
Na osnovu pokazanih zavisnosti,dobija se:
Negativna dilatacija u pravcu Ox
Pozitivna poprena dilatacija upravcu Ox ose kao posledicapritiska u pravcu Oy ose
Ukupna dilatacija u pravcu Ox ose
E
ysm
E
xs
EEE
yxyxx
msssm
s
Otpornost materijala
Dilatacija u pravcu Oykod pritiska u dva pravca
Na osnovu pokazanih zavisnosti,dobija se:
Negativna dilatacija, skraenje, upravcu Oy
Pozitivna poprena dilatacija upravcu Oy ose kao posledicasabijanja u pravcu Ox ose
Ukupna dilatacija u pravcu Oy ose
E
xsm
E
ys
EEE
xyxy
y
msssm
s
Otpornost materijala
-
7/29/2019 mehanika-otpornost materijala
84/214
11/4/200
1
Dilatacija u pravcu osa Ox i Oykod pritiska u dva pravca
EEE
xyxy
y
msssm
s
EEE
yxyxx
msssm
s
Po apsolutnoj vrednosti ove dilatacije sujednake zbiru dilatacija kod zatezanja u dvapravca samo suprotnog znaka
Otpornost materijala
Zatezanje i pritisak
Otpornost materijala
Tanka ploa, debljine d,napregnuta je silama
jednako podeljenim po
povrinama osnova upravcu: Ox ose
Oy ose
-
7/29/2019 mehanika-otpornost materijala
85/214
11/4/200
1
Dilatacija u pravcu Ox
Na osnovu pokazanih zavisnosti,dobija se:
Pozitivna dilatacija u pravcu Ox
Pozitivna poprena dilatacija upravcu Ox ose kao posledicapritiska u pravcu Oy ose
Ukupna dilatacija u pravcu Ox ose
E
ysm
E
xs
EEE
yxyxx
msssm
s
Otpornost materijala
Dilatacija u pravcu Oy
Na osnovu pokazanih zavisnosti,dobija se:
Negativna dilatacija u pravcu Oy
Negativna poprena dilatacija upravcu Oy ose kao posledicaistezanja u pravcu Ox ose
Ukupna dilatacija u pravcu Oy ose
E
xsm
E
ys
EEE
xyxy
y
msssm
s
Otpornost materijala
-
7/29/2019 mehanika-otpornost materijala
86/214
-
7/29/2019 mehanika-otpornost materijala
87/214
11/4/200
1
Zatezanje i pritisak
Vaan sluaj je kada supritisni i zateui napon
jednaki po apsolutnojvrednosti
Otpornost materijala
sss yx
Dilatacija u pravcu osa Ox i Oykada su pritisni i zateui naponi jednaki
E
x
sm
1
Po apsolutnoj vrednosti jednake su i dilatacije,samo suprotnog znaka kod po apsolutnojvrednosti jednakih zateuih i pritisnih napona
E
ysm 1
sss yx
Otpornost materijala
-
7/29/2019 mehanika-otpornost materijala
88/214
11/4/200
1
Komponentni naponi u kosom presekujednakihnapona na zatezanje i pritisak - Morov krug
jsjss 2sin2sin2
1n
jsjsjss 2cossincos 22 n
Otpornost materijala
Jednaki naponi na zatezanje i pritisak za sluaj j=45o
s n
0ns
090cos190sin oo
js 2sinn
jss 2cosn
isto smicanje
Otpornost materijala
-
7/29/2019 mehanika-otpornost materijala
89/214
11/9/20
primer I zadatka za grafiki
Momenti inercije sloene ravne povri
Sloena povr iji moment inercije se trai
-
7/29/2019 mehanika-otpornost materijala
90/214
11/9/20
Podeliti na poznate povri
Odrediti teite sloene povri
A
S
dA
xdA
xy
A
AC
A
S
dA
ydA
y x
A
AC
-
7/29/2019 mehanika-otpornost materijala
91/214
11/9/20
Iz tablica oitati vrednosti momenata za teineose svake povri
Momenti inercije za paralelno pomerenkoordinatni sistem (tajnerova teorema)
Moment inercije za vanteine paralelne osejednak jezbiru sopstvenih momenata inercije (teinih) ipoloajnih momenata inercije
AyxII
AxII
AyII
CCxy
Cy
Cx
2
2
Napomena: rastojanja xc i ycuzimati sa svojim znakom
-
7/29/2019 mehanika-otpornost materijala
92/214
11/9/20
Za teine ose odrediti momente inercije No1
Za teine ose odrediti momente inercije No2
-
7/29/2019 mehanika-otpornost materijala
93/214
-
7/29/2019 mehanika-otpornost materijala
94/214
-
7/29/2019 mehanika-otpornost materijala
95/214
-
7/29/2019 mehanika-otpornost materijala
96/214
11/9/20
Elipsa inercije za dati primer
Smicanje
Unutranje sile i naponi,deformacije, modul klizanja,dimenzionisanje
Otpornost materijala
-
7/29/2019 mehanika-otpornost materijala
97/214
11/9/20
Osnovne vrste naprezanja:
Aksijalno naprezanje
Smicanje
Uvijanje
Savijanje
Izvijanje
Otpornost materijala
Smicanje
Otpornost materijala
- F
+ F
Ako deluju samotransverzalne(poprene) sile,
naprezanje je istosmicanje
-
7/29/2019 mehanika-otpornost materijala
98/214
-
7/29/2019 mehanika-otpornost materijala
99/214
11/9/20
1
Modul klizanja
Klizanje je srazmernotangencijalnom naponu
Kao i kod aksijalnognaprezanja vai Hukovzakon
Koeficijent srazmere
naziva se modulklizanja G
g G
Otpornost materijala
Veza modulaelastinosti i modula klizanja
G modul klizanja MPa Emodul elastinosti MPa
m - Poasonov koeficijent
m212
EG
MPa
Otpornost materijala
-
7/29/2019 mehanika-otpornost materijala
100/214
11/9/20
1
Poasonov koeficijent i modul elastinosti
0,3
0,34
0,33
0,37
0,25
1/6
m [-]
2.1 . 105
0.7 . 105
1.1 . 105
1.0 . 105
1.0 . 105
0.3. 105
E [ MPa ]
elik
Materijal
Aluminijum
Bakar
Mesing
Sivi liv
Beton
Otpornost materijala
Moduli klizanja i elastinosti za elik
G=8 104
MPa modul klizanja MPa E=2,1 105 MPa - modul elastinosti
m=0,3 Poasonov koeficijent
Pa
m
NEEG
2
8104
6,2212 m
u starim jedinicama E=2,1 106 kp/cm2 G=8 105 kp/cm2
Otpornost materijala
-
7/29/2019 mehanika-otpornost materijala
101/214
-
7/29/2019 mehanika-otpornost materijala
102/214
-
7/29/2019 mehanika-otpornost materijala
103/214
11/9/20
1
Smiui napon
Napon dela izloenog smicanju mora biti manjiili jednak dozvoljenom naponu
Tangencijalni napon smicanja predstavljakolinik smiue sile i povrine poprenogpreseka
Otpornost materijala
dozAF MPa
Primeri isto smiueg napona
Zakivci i zakovanekonstrukcije
Izrada rezervoara
Izrada ramnih i noseihkonstrukcija zakivanjem(sada sve eeustupaju mesto varenimkonstrukcijama)
do znA
F
1
Zakivak
lim
lim
A =
d
41
2p
d
FF
FF
Otpornost materijala
-
7/29/2019 mehanika-otpornost materijala
104/214
11/9/20
1
Primeri isto smiueg napona
Proraun takastozavarenog spoja(jezgro zavarenogspoja ini soivostopljenogmaterijala izloenoistom smicanju)
lim
lim
lim
lim
z ivoavareno so
z ivoavareno so
d
F
F
F
F
A =d
41
2 p
doznA
F
1
Otpornost materijala
Primeri isto smiueg napona
Primena zavrtnjeva zaosiguranje od preoptereenjaneke konstrukcije
Za prekid pri montai da bise spreila demontaa(montaa brave podvolanom)
MA
F
Otpornost materijala
-
7/29/2019 mehanika-otpornost materijala
105/214
-
7/29/2019 mehanika-otpornost materijala
106/214
11/9/20
2
Dimenzionisanjedela napregnutog na smicanje
Odrediti vrednost poprene - smiue sile kojadeluje na deo
Odrediti dozvoljeni napon za odabranimaterijal
Sraunati potrebnu povrinu preseka
Otpornost materijala
doz
FA
m2
Odrediti smiuu silu koju moe daprenese deo
Odrediti povrinu preseka Odrediti dozvoljeni napon za poznati materijal
i definisani stepen sigurnosti
Sraunati maksimalnu smiuu (poprenu) silu
Otpornost materijala
AF doz N
-
7/29/2019 mehanika-otpornost materijala
107/214
-
7/29/2019 mehanika-otpornost materijala
108/214
11/22/200
Uvijanje - torzija
Obrtni moment i moment uvijanja
Uvijanje grede krunog poprenogpreseka
Odnos modula elastinosti i modulaklizanja Dimenzionisanje delova izloenihistom uvijanju
Uvijanje - torzija
Otpornost materijala
Ako u presekudeluje samo momenttorzije naprezanje jeisto uvijanje -torzija
- F
+ F
mt
mA
A
B
-
7/29/2019 mehanika-otpornost materijala
109/214
-
7/29/2019 mehanika-otpornost materijala
110/214
-
7/29/2019 mehanika-otpornost materijala
111/214
-
7/29/2019 mehanika-otpornost materijala
112/214
11/22/200
Obrtni moment i moment uvijanja
Primer transmisije gde sepogoni vratilo sa 5 kNm, ana dva izlaza prosleuje 3odnosno 2 kNm
Raspodela torzionogmomenta merodavna zaodreivanje dimenzijavratila i napona u
presecima ima izgled kaona slici
A B
izlaz izlazulaz
M =2kNm2 M =5kNm1 M =3kNm3
3 kNm3 kNm
-2kNm -2kNm
+
Mt
MtI
MtIIM 2 M 1
M 3
polje I polje II
Otpornost materijala
Uvijanje grede krunog poprenog preseka
Moment uvijanja Mt=MA
deluje u ravni B
Nastaje deformacija pavlakno se ab naspoljanjem omotauUVIJA na ab, a vlakno
cd na cd za ugao g Istovremeno se u ravni B
zakrene Cd na Cb zaugao q
a
b'd'
c
b
d
C
g1
q
F
-F
Mt
M Al
AB
Otpornost materijala
-
7/29/2019 mehanika-otpornost materijala
113/214
-
7/29/2019 mehanika-otpornost materijala
114/214
-
7/29/2019 mehanika-otpornost materijala
115/214
-
7/29/2019 mehanika-otpornost materijala
116/214
-
7/29/2019 mehanika-otpornost materijala
117/214
-
7/29/2019 mehanika-otpornost materijala
118/214
-
7/29/2019 mehanika-otpornost materijala
119/214
-
7/29/2019 mehanika-otpornost materijala
120/214
11/22/200
1
Dozvoljeni torzioni (smicajni) napon
Poto se u tablicama ee nalazevrednosti dozvoljenog napona nazatezanje koristi se odnos
dd s 6,05,0 -
Otpornost materijala
Dimenzionisanje vratila i tapova pri uvijanju
Dimenzionisanje dela premamaksimalnom torzionom naponu - uslovvrstoe
Dimenzionisanje prema dozvoljenom ugluuvijanja po jedinici duine - uslov
deformabilnosti ODABRATI NEPOVOLJNIJI KRITERIJUM
ODNOSNO VEE DIMENZIJE
Otpornost materijala
-
7/29/2019 mehanika-otpornost materijala
121/214
11/22/200
1
Dimenzionisanje prema najveem torzionomnaponu
Najvei napon pri uvijanju
Dobija se popreni presek
Za kruni popreni presek
dozt
W
M
0
1max
doz
tO
MW
316
doz
tMD
Otpornost materijala
Dimenzionisanje prema dozvoljenojdeformabilnosti dozvoljeni ugao uvijanja
Najvei ugao priuvijanju
Dobija se poprenipresek
Za kruni poprenipresek
dozt
GI
Mqq
0
'
doz
t
O G
M
I q
3
32
doz
t
G
MD
q
m
raddozq
Otpornost materijala
-
7/29/2019 mehanika-otpornost materijala
122/214
-
7/29/2019 mehanika-otpornost materijala
123/214
-
7/29/2019 mehanika-otpornost materijala
124/214
-
7/29/2019 mehanika-otpornost materijala
125/214
11/22/200
1
Veza izmeu obrtnog momenta i snage
Kada je poznata snaga koju prenosi analiziranideo (vratilo, tap) poznat je i obrtni moment
Wn
MP30
min
on
NmnPM
30
1min
-n
Otpornost materijala
Rezime
Moment uvijanja jednak je spoljanjem obrtnom momentusuprotnog smera Mt=M
Kod uvijanja najvie se deformiu (uvijaju) spoljanjavlakna, vlakna u osi se ne deformiu
Smicajni napon max najvei je na spoljanjim vlaknima G modul klizanja Hukov zakon: napon je proporcionalan proizvodu modula
klizanja i ugla uvijanja
Maksimalni smiui napon je kolinik momenta Mt torzije iW0 polarnog otpornog momenta
Maksimalni ugao uvijanja je kolinik momenta torzije Mt iproizvoda modula klizanja i polarnog momenta inercije GI0
Otpornost materijala
-
7/29/2019 mehanika-otpornost materijala
126/214
11/29/200
Ravni nosai
Klasifikacija nosaa
Klasifikacija optereenja
Sile i momenti u poprenom preseku
Pojam statikog nosaa
Nosai su tela, u okviru konstrukcije ilimaine koja primaju optereenja i prenose ihna oslonce
Svako kruto telo vezano za nepokretnu ravan
i optereeno silama, zove se nosa
-
7/29/2019 mehanika-otpornost materijala
127/214
11/29/200
Nosee konstrukcije
Kuita maina
Karoserije automobila
Nosee konstrukcijegraevinskih maina
Vagoni i cisterne
Dizalina postrojenja
Pretovarni mostovi
Mostovi
Nadvonjaci ipodvonjaci
Krovne konstrukcije
Dalekovodi
Nosai nadzemnihtoplovoda
Karoserija automobila - nosai sloenogoblika kod automobia
-
7/29/2019 mehanika-otpornost materijala
128/214
-
7/29/2019 mehanika-otpornost materijala
129/214
11/29/200
Karoserija automobila - nosai sloenogoblika kod automobia
Podela nosaa
Prema poloaju optereenja
Prema obliku
Prema obliku poprenog preseka
-
7/29/2019 mehanika-otpornost materijala
130/214
-
7/29/2019 mehanika-otpornost materijala
131/214
-
7/29/2019 mehanika-otpornost materijala
132/214
-
7/29/2019 mehanika-otpornost materijala
133/214
-
7/29/2019 mehanika-otpornost materijala
134/214
-
7/29/2019 mehanika-otpornost materijala
135/214
-
7/29/2019 mehanika-otpornost materijala
136/214
-
7/29/2019 mehanika-otpornost materijala
137/214
11/29/200
1
Vrste delovanja optereenja
Direktno neposredno
Indirektno - posredno
B
B
A
A
F2
F2
F3
F3
F1
F1
Jednaine ravnotee za prostenosae
B
B
A
A
-F1L
L
y
y
z
z
F
F
F
a
a
M
M
1
Ax
a
L
F M
a
0
0
0
i
i
i
M
Y
Z
-
7/29/2019 mehanika-otpornost materijala
138/214
-
7/29/2019 mehanika-otpornost materijala
139/214
-
7/29/2019 mehanika-otpornost materijala
140/214
-
7/29/2019 mehanika-otpornost materijala
141/214
11/29/200
1
Konvencija o znacima optereenja grede
Aksijalna sila se
definie kao algebarskizbir svih spoljanjih silakoje deluju u pravcu
ose grede sa leve
strane od preseka p-p
FAFB
F1 F2 F4F3
FAK
FTMf
+FAK
FT
Mf
+
p
p
LiLAK ZF
Aksijalna sila se
definie kao algebarskizbir svih spoljanjih silakoje deluju u pravcu
ose grede sa desne
strane od preseka p-p
DiDAK ZF
Konvencija o znacima optereenja grede
Moment savijanja sa
leve strane se definiekao algebarski zbir svihmomenata spoljanjih silai momenata koji deluju na
gredu sa leve strane od
preseka p-p
FAFB
F1 F2 F4F3
FAK
FTMf
+FAK
FT
Mf
+
p
p
LiLf MM DiDf MM Moment savijanja sa
desne strane se definiekao algebarski zbir svihmomenata spoljanjih silai momenata koji deluju na
gredu sa desne strane od
preseka p-p
-
7/29/2019 mehanika-otpornost materijala
142/214
-
7/29/2019 mehanika-otpornost materijala
143/214
-
7/29/2019 mehanika-otpornost materijala
144/214
-
7/29/2019 mehanika-otpornost materijala
145/214
11/29/200
2
isto savijanje proste grede spregovima
l
AB
- M + M
z
z
-M -M
-M
FTR
BABAi FYFYY 000 AAi ZZZ
0 BA FlMMM
00 AB YF
MMf
0TRF
isto savijanje
Ovakvo optereenje grede mogue je ostvaritikod grede sa dva jednaka prepusta na ijimkrajevima deluju jednake sile F
l cc
A
B
F F
-
7/29/2019 mehanika-otpornost materijala
146/214
-
7/29/2019 mehanika-otpornost materijala
147/214
-
7/29/2019 mehanika-otpornost materijala
148/214
-
7/29/2019 mehanika-otpornost materijala
149/214
11/29/200
2
isto savijanje nastaje
Kada je ravan dejstva spregova (ravan savijanja)
istovremeno i ravan simetrije grede
Kada ravan savijanja prolazi kroz geometrijsku osu
Az grede
Osnovne jednaine savijanja
Veza izmeu aksijalne deformacije i napona
I jednaina savijanja - promena normalnognapona
II jednaina savijanja krivina elastinelinije
-
7/29/2019 mehanika-otpornost materijala
150/214
11/29/200
2
Prizmatina greda optereena na istosavijanje
Nastaju deformacije izduenja ili skraenjavlakana
Popreni preseci unutar grede su zaokrenutijedan u odnosu na drugi
Dilatacija posmatranih vlakna na nekom
udaljenju y od neutralne linije moe sedovesti u vezu sa modulom elastinosti(Hukov zakon) i poluprenikom krivineelastine linije
Prva jednaina savijanja
Normalni napon u nekoj taki poprenog
presekas
M moment sprega
Ix aksijalni moment inercije povrine za tuosu
y udaljenost posmatranog vlakna od ose
yI
M
x
s
-
7/29/2019 mehanika-otpornost materijala
151/214
11/29/200
2
Druga jednaina savijanja
K- krivina elastine linije
M moment sprega
Ix aksijalni moment inercije povrine za tuosu
E modul elastinosti
B=E.
Ix krutost savijanja grede Rk poluprenik krivine
B
IE
RK xk
1
-
7/29/2019 mehanika-otpornost materijala
152/214
12/6/200
Konvencija o znacima za optereenja grede
Levo od preseka Desno od preseka
Savijanje
isto savijanje (spregovima)Osnovne jednaine savijanjaSavijanje silama
Dimenzionisanje nosaa izloenih savijanju
-
7/29/2019 mehanika-otpornost materijala
153/214
12/6/200
Savijanje
Savijanje se najee analizira kod nosaave izuavanih u okviru mehanike I ili statike
Nosee konstrukcije maina i postrojenja sese po principima statike prevode u prostorne i
ravanske proste nosae
Optereenja se prevode u odgovarajue:koncentrisane sile, kontinualna optereenja,momente i spregove
isto savijanje
Ravan savijanja
Neutralna ravan
Neutralna osa
Neutralna (elastina) linija
-
7/29/2019 mehanika-otpornost materijala
154/214
12/6/200
isto savijanje
mBA
BmA
z
Ako deluje samo moment savijanja, naprezanje jeisto savijanje
Na gredu deluju dva sprega jednakih intenziteta, a
suprotnih smerova u vertikalnoj ravni
isto savijanje proste grede spregovima
Spregovi istog intenziteta, a suprotnih
smerova deluju u vertikalnoj ravni koja prolazi
kroz uzdunu osu nosaa Az
Ova vertikalna ravan je RAVAN SAVIJANJA
Horizontalna osa u ravni koja sadri uzdunuosu, a upravna je na nju (obeleena sa x)naziva se NEUTRALNA OSA
-
7/29/2019 mehanika-otpornost materijala
155/214
12/6/200
isto savijanje proste grede spregovima
isto savijanje proste grede spregovima
l
AB
- M + M
z
z
-M -M
-M
FTR
BABAi FYFYY 000 AAi ZZZ
0 BA FlMMM
00 AB YF
MMf
0TRF
-
7/29/2019 mehanika-otpornost materijala
156/214
12/6/200
isto savijanje
Ovakvo optereenje grede mogue je ostvaritikod grede sa dva jednaka prepusta na ijimkrajevima deluju jednake sile F
l cc
A
B
F F
isto savijanje grede
BABAi FYFFYFY 0
00 AAi ZZZ
0 BA FllcFcFM
FYFF AB
l cc
A
B
F F
YAFB
-
7/29/2019 mehanika-otpornost materijala
157/214
12/6/200
isto savijanje Statiki dijagrami za ovu gredu sa prepustima
l cc
A
B
F F
z
z
-M -M
-M
FTR
YAFB
-F
-F
cFzFzcFMf
0 FFFTR
I polje II polje III polje Za II polje
isto savijanje
-
7/29/2019 mehanika-otpornost materijala
158/214
12/6/200
Deformacija usled savijanja momentima
Pod dejstvom prikazanih spregova greda se
deformie tako to vlakna menjaju svoju duinu Duina jednih vlakana se poveava, a duina
drugih se smanjuje
Vlakna koja se niti izduuju niti skrauju zovu seneutralna vlakna
Deformacija usled savijanja momentima u ravnisavijanja
Uoava se utoliko vee izduenje vlakana ukolikoje vlakno udaljenije od neutralne ose sa spoljanje
strane (a-a vee od b-b) Sa druge strane, sa unutranje strane skraenje
vlakana je vee to su vlakna udaljenija odneutralne linije (c-c vee od d-d)
Najvie se izduuju spoljanja vlakna
-
7/29/2019 mehanika-otpornost materijala
159/214
-
7/29/2019 mehanika-otpornost materijala
160/214
12/6/200
Osnovne jednaine savijanja
Veza izmeu aksijalne deformacije i napona
I jednaina savijanja - promena normalnog
naponaII jednaina savijanja krivina elastinelinije
Prizmatina greda optereena na istosavijanje
Nastaju deformacije - izduenja ili skraenjavlakana
Popreni preseci unutar grede su zaokrenutijedan u odnosu na drugi
Dilatacija posmatranih vlakana na nekomudaljenju y od neutralne linije moe sedovesti u vezu sa modulom elastinosti(Hukov zakon) i poluprenikom krivineelastine linije
-
7/29/2019 mehanika-otpornost materijala
161/214
12/6/200
1
Prva jednaina savijanja
Normalni napon u nekoj taki poprenog
presekas M moment sprega
Ix aksijalni moment inercije povrine za tuosu
y udaljenost posmatranog vlakna od ose
yI
M
xzs
Druga jednaina savijanja
K- krivina elastine linije
M moment sprega
Ix aksijalni moment inercije povrine za tuosu
E modul elastinosti
B=E.Ix krutost savijanja grede Rk poluprenik krivine
B
IE
RK
xk
1
-
7/29/2019 mehanika-otpornost materijala
162/214
12/6/200
Prva jednaina savijanjapokazuje da:
Normalni napon u nekoj taki poprenogpreseka proporcionalan je napadnom
momentuMsavijanja i udaljenju yodneutralne ose
Normalni napon je obrnuto proporcionalan
momentu inercije poprenog preseka za
neutralnu osu Ix koja se poklapa sateinom osom
y
I
M
x
z s
Prva jednaina savijanjapokazuje da:
Kod istog savijanja napadni momentje usvakom preseku isti, pa normalan napon ne
zavisi od koordinate z
To znai da ne zavisi i od udaljenosti poprenogpreseka od oslonca
Normalni napon ne zavisi od koordinate x, toznai da je isti u svim takama ravni paralelnojkoordinatnoj ravni Axz kroz osu grede Az
yI
M
x
z s
-
7/29/2019 mehanika-otpornost materijala
163/214
12/6/200
1
Prva jednaina savijanjapokazuje da:
Normalni napon zavisi samo od udaljenosti
vlakana od neutralne ose Cx
U takama neutralne ose Cx, on je jednak 0
Zbog toga se ti naponi nazivaju i ivini naponi
yI
M
x
z s
Druga glavna jednaina savijanja pokazujeda:
Usled savijanja osa Az se krivi i postaje
elastina linija grede
Druga glavna jednaina slui za odreivanjekrivine te elastine linije
Za gredu konstantnog poprenog preseka ikonstantan napadni moment:
K =const.
B
IE
RK
xk
1
-
7/29/2019 mehanika-otpornost materijala
164/214
-
7/29/2019 mehanika-otpornost materijala
165/214
12/6/200
1
Primer grede sa dve koncentrisane sile
021 FFFFY BAi
0642 21 BA FaaFaFM
kNFkNF BA 4030
Primer grede sa dve koncentrisane sile
Maksimalni moment
savijanja
Maksimalna
transverzalna sila
Mfmax = 80 kNm
Ftmax = 40 kN
-
7/29/2019 mehanika-otpornost materijala
166/214
12/6/200
1
Promena transverzalne sile i momenta
savijanja du podune ose nosaa:
U svakom poprenom preseku imamoodgovarajuu transverzalnu silu
U svakom poprenom preseku imamoodgovarajui moment savijanja.
Transverzalnasila izaziva smicanje
Moment savijanjaizaziva savijanjenosaa oko poprene teine ose
Jednaine savijanja vae i kod savijanjasilama i moraju biti ispunjeni uslovi:
Da neutralna linija prolazi kroz teite svihpoprenih preseka
Da je neutralna osa teina osa poprenogpreseka
Da je neutralna osa, osa simetrije poprenogpreseka tj. glavna centralna ose inercijepreseka.
-
7/29/2019 mehanika-otpornost materijala
167/214
12/6/200
1
Glavne jednaine savijanja
yI
M
x
z s
x
f
k IE
RK
1
Trea glavna jednaina
bI
SF
x
xT
xS - Moment inercije povrine A za neutralnu osu Cx
- Tangencijalni napon grede optereene na savijanje
b - irina poprenog preseka za neutralnu osu
-
7/29/2019 mehanika-otpornost materijala
168/214
12/6/200
1
Raspored normalnog napona po
poprenom presekuy
I
M
x
z s
Raspored normalnog napona popoprenom preseku
Odnos Ix/ymax zavisi od oblika poprenog presekai naziva se
OTPORNI MOMENT POPRENOG PRESEKA
maxy
IW xx L3
-
7/29/2019 mehanika-otpornost materijala
169/214
12/6/200
1
Otporni moment razliitih ravnih preseka
pravougaonik
Otporni moment razliitih ravnih preseka
kvadrat
-
7/29/2019 mehanika-otpornost materijala
170/214
12/6/200
1
Otporni moment razliitih ravnih preseka
Krug i kruni prsten
Raspodela tangencijalnog napona popoprenom preseku
x
xT
I
SF
xS - Moment inercije povrine A za neutralnu osu Cx - Tangencijalni napon grede optereene na savijanje
- promenljiva irina poprenog preseka zaneutralnu osu
FT Transverzalna sila
-
7/29/2019 mehanika-otpornost materijala
171/214
12/6/200
2
Maksimalni normalni napon nosaaizloenog optereenju na savijanje
Maksimalni normalni napon
Maksimalni moment savijanja
Otporni moment poprenog preseka
xW
Mmax
maxs
Raspodela tangencijalnog napona popoprenom preseku pravougaonika
A
FTmaxmax
3
2
2
max41
h
y
-
7/29/2019 mehanika-otpornost materijala
172/214
12/6/200
2
Raspodela tangencijalnog napona po
poprenom preseku kruga
A
FTmaxmax
3
4
2
max1
R
y
Raspodela tangencijalnog napona popoprenom preseku limenog nosaa
0
max
max
A
FT
-
7/29/2019 mehanika-otpornost materijala
173/214
12/6/200
2
Dimenzionisanje nosaa optereenihna savijanje
Postoje dva razliita zadatka:
1. Poznato je optereenje koje deluje nanosa, a treba odrediti vrednosti najveegnormalnog i tangencijalnog napona koji se
javljaju
2. Poznato je optereenje, raspon, nainoslanjanja i oblik nosaa koji se moraupotrebiti, a trae se dimenzije poprenogpreseka
Odreivanje veliina normalnog itangencijalnog napona ako je poznato
optereenje
Najvei normalni napon javlja se u opasnompreseku, u najudaljenijem vlaknu
Najvei tangencijalni napon javlja se upreseku u kome je najvea tangencijalna sila
Opasni presek najvei moment savijanja inajvea transverzalna sila definiu se izstatikih dijagrama nosaa
x
xT
I
SF
xW
Mmax
maxs
-
7/29/2019 mehanika-otpornost materijala
174/214
12/6/200
2
Odreivanje dimenzija poprenogpreseka nosaa
Prema definisanom optereenju izraunatiotporni moment preseka
Po odreivanju dimenzija proveriti da li je
tangencijalni napon manji od dozvoljenog
fdoz
xW
Mss max
max
fdoz
x
MW
s
max
Maksimalni napon manji od dozvoljenog
fdozss max
fdoz max
Provera tangencijalnih napona
Kod elinih konstrukcija tangencijalni naponisu vrlo mali pa se ova provera esto i ne vri
Proveru obavezno vriti kod drvenihkonstrukcija
-
7/29/2019 mehanika-otpornost materijala
175/214
12/6/200
2
Rezime: Dimenzionisanje nosaa
Odrediti otpore oslonaca
Nacrtati statike dijagrame i iz njih odreditinajvei napadni moment i najveutransverzalnu silu
Prema izabranom materijalu definisati
dozvoljene napone na savijanje
Odrediti otporni moment poprenog preseka Proveriti da li su najvei normalni i
tangencijalni napon manji od dozvoljenih
-
7/29/2019 mehanika-otpornost materijala
176/214
12/11/201
Savijanje elastine linije
Analitika metoda odreivanja elastine linijeIzraunavanje ugiba i nagiba uz pomo tablica
Prva jednaina savijanja
Normalni napon u nekoj taki poprenog
presekas
M moment sprega
Ix aksijalni moment inercije povrine za tuosu
y udaljenost posmatranog vlakna od ose
yI
M
x
z s
-
7/29/2019 mehanika-otpornost materijala
177/214
12/11/201
Druga jednaina savijanja
K- krivina elastine linije
M moment sprega
Ix aksijalni moment inercije povrine za tuosu
E modul elastinosti
B=E.
Ix krutost savijanja grede Rk poluprenik krivine
B
IE
R
Kxk
1
Diferencijalna jednaina elastine linije
Pomou druge glavne jednaine definisana je krivinaelastine linije savijenog nosaa
Iz matematike je poznato da se pod krivinom
podrazumeva odnos
Gde je: R poluprenik krivine
dselementarni luk
da elementarna promena ugla
B
IE
Rd
sdK
x
1
a
-
7/29/2019 mehanika-otpornost materijala
178/214
12/11/201
Nagib tangente krive prema Ox osi iz
matematike
Nagib tangente krive f(x) je prvi izvod funkcije koja
predstavlja krivu
Kako je element luka krive
Odatle je krivina
ydx
dytg
a
aa
2cos
1,
2221 ydxdydxds
22
1
cos1
y
y
ds
dxy
ds
d
RK
aa
Diferencijalna jednaina elastine linije Usled savijanja teite nekog preseka se sputa (u
peavcu y ose) za duinu koju nazivamo
ugib elastine linije (strela) tangenta sa osom Az gradi ugao koji se naziva
nagib grede
-
7/29/2019 mehanika-otpornost materijala
179/214
12/11/201
Diferencijalna jednaina elastine linijeproste grede
Gde su:
Mfmoment savijanja u preseku z
B = E.Ix savojna krutost grede
B
M
IE
My
L
f
x
L
f
L
fMyB
Analitiko odreivanje elastine linije
Odrediti otpore oslonaca za reavani nosa
Napisati izraze za promenu momenta
savijanja u funkciji od podune koordinate z
Proizvod savojne krutosti i drugog izvoda
jednak je negativnom momentu savijanja i topredstavlja diferencijalnu jednainu elastinelinije
L
fMyB
-
7/29/2019 mehanika-otpornost materijala
180/214
12/11/201
Analitiko odreivanje elastine linije
Integraljenjem dobija se jednaina promenenagiba u zavisnosti od koordinate z
Ponovnim integraljenjem dobija se jednainapromene ugiba u zavisnosti od koordinate z
Integracione konstante odreuju se iz uslovada su ugibi oslonaca jednaki nuli i kod
nosaa u nekom preseku na kraju poljapromene optereenja oba kraja moraju imatiisti ugib i nagib
Primer jednaine elastine linije prostegrede
L
bFFA
Otpori oslonaca
L
aFFB
zL
bFzFM A 1
azFzL
bFazFzFM A 2
az 0
Lza
I polje
II polje
-
7/29/2019 mehanika-otpornost materijala
181/214
12/11/201
Primer jednaine elastine linije prostegrede
Uvedena je Klebova crta ili masna crta
Ona obeleava kraj prvog polja i poetakdrugog polja
azFzL
aFazFzFM A
Oba izraza za moment mogu se objediniti
Primer jednaine elastine linije prostegrede:
Izvriti integraciju u I polju pre crte po z
u II polju posle crte po (z-a)
azFzL
aFazFzFMyB A
Diferencijalna jednainaL
fMyB
-
7/29/2019 mehanika-otpornost materijala
182/214
12/11/201
Primer jednaine elastine linije prostegrede
Integra