Download - MEKBAN
-
MEKANIKA BAHAN
BUKU : MECHANICS OF MATRIAL
PRASYARAT : MEKANIKA TEKNIK I
3 SKS
BY E.P. POPOV
-
MATERI KULIAH
PENDAHULUAN2. METODE IRISAN
3. PENGERTIAN TEGANGAN
4. TEGANGAN NORMAL
5. TEGANGAN GESER RATA RATA
6. MENENTUKAN DAN
7. STATIC TEST
8. TEGANGAN IJIN
9. REGANGAN
t
s
-
10. DIAGRAM, TEGANGAN REGANGAN NORMAL
- Hukum HOOKE
- Penentuan Titik Leleh
- Deformasi Batang Akibat Beban Aksial
- Poissons Ratio
- Hubungan Tegangan, Regangan dan Poissons Ratio
11. TEGANGAN DAN REGANGAN GESER
- Tegangan Geser
- Regangan Geser
-
12. LENTUR MURNI PADA BALOK
13. MOMEN INERSIA PENAMPANG
14. MENGHITUNG TEGANGAN PADA BALOK
15. BALOK DENGAN DUA BAHAN
16. LENTUR MURNI PADA BALOK NON ELASTIS
17. TEGANGAN GESER LENTUR
18. TORSI
19. TEGANGAN MAJEMUK
20. KOMBINASI TEGANGAN PADA PENAMPANG
KOLOM
21. KERN
-
Pendahuluan
APLIKASI
Rencana Konstruksi
ANALISIS STRUKTUR
PEMILIHAN BAHAN
PENENTUAN DIMENSI
KONTROL KEKUATAN / TEGANGAN
Konstruksi Kuat / Stabil
-
Contoh Obyek
TABUNG
RANGKA BATANG
-
Contoh Obyek
50/50
70/70
PORTAL GEDUNG BERTINGKAT
-
Contoh Obyek
P1
P2
H1
H2
B1
B2
Karena P2 > P1, maka berdasarkan perhitungan tegangan, akan didapatkan dimensi B2 > B1, H2 > H1
-
Metode Irisan
P2
P1
P2
P3
P4
P1
S1
S2
S3
P3
P4
S1
S2
S3
GAYA DALAM
GAYA DALAM
-
Tegangan (Stress)
TEGANGAN NORMAL
TEGANGAN GESER
Tegak Lurus Bidang Potongan
Sejajar Bidang Potongan
DEFINISI :
TEGANGAN ADALAH GAYA DALAM YANG BEKERJA PADA SUATU LUASAN KECIL TAK BERHINGGA DARI SUATU POTONGAN
-
Tegangan (Stress)
BENTUK MATEMATIK :
s
t
F
A
V
= Tegangan Normal
= Tegangan Geser
= Luas Penampang yang bersangkutan
= Gaya yang bekerja tegak lurus potongan
= Gaya yang bekerja sejajar potongan
D A
0
Lim
s
D F
D A
=
TEGANGAN NORMAL
D A
0
Lim
t
D V
=
D A
TEGANGAN GESER
-
Tegangan (Stress)
Tegangan yang bekerja pada elemen suatu benda :
y
z
x
sy
sz
sx
txz
txy
tyz
tyx
tzy
tzx
-
Tegangan Normal
s
= P/A
= P/A
s
P
P
P
P
TEGANGAN NORMAL TARIK
TEGANGAN NORMAL TEKAN
-
Tegangan Geser Rata - rata
TEG. GESER
GAYA YANG BEKERJA SEJAJAR POTONGAN
MENIMBULKAN
ANormal
AGeser
t
= P / AGeser
P
AGeser
s
= P Cosa / ANormal
-
Tegangan Geser Rata - rata
Total AGeser =
2 x Luas Penampang Baut
P
P
P
AGeser
t
= P / Total AGeser
-
Menentukan s dan t
AKAN MENJADI MASALAH BESAR BILA TIDAK MEMAHAMI MEKANIKA TEKNIK I
Perhitungan TEGANGAN
PERHITUNGAN
PENENTUAN GAYA DAN LUAS PENAMPANG
HASIL PERHITUNGAN
PERLU DIPAHAMI MAKSUD DAN TUJUANNYA
MEMILIH PERUMUSAN s atau t
-
Menentukan Besarnya Gaya
MENGGUNAKAN PERSAMAAN STATIKA :
S FX = 0 S MX = 0
S FY = 0 S MY = 0
S FZ = 0 S MZ = 0
Menentukan Luas Penampang
UNTUK MENDAPATKAN TEGANGAN YANG MAKSIMUM
DIPILIH LUASAN TERKECIL
-
Menentukan Luas Penampang
CONTOH :
LUAS PENAMPANG TERKECIL YANG DIPILIH UNTUK MNENDAPATKAN TEGANGAN MAKSIMUM
-
Tegangan
SOAL :
Bila W = 10 Ton, a = 30o dan luas penampang kabel baja ABC = 4 cm2, kabel BD = 7 cm2, maka hitung tegangan yang terjadi pada kabel ABC dan BD.
2.
P
P
d1
d2
b
Bila Diameter Baut = 30 mm, b = 200 mm, d1 = 8 mm, d2 = 12 mm, P = 2000 kg, maka hitung te -gangan MAX pada masing masing ba -tang dan tegangan Geser pada Baut.
1.
A
B
W
C
D
a
-
Static Test
P
P
BEBAN P DINAIKKAN TERUS MENERUS
MATERIAL UJI PUTUS
P BEBAN ULTIMATE
TEG. ULTIMATE
PUlt
A
MATERIAL UJI
-
Regangan
-. P Dinaikkan terus sampai yang dikehendaki
- Setiap kenaikan P dilakukan pencatatan deformasi yang tertera dalam dial gauge
MATERIAL UJI
REGANGAN
STATIC TEST
BEBAN
P
P
L
-
Regangan
D (Deformasi)
BAHAN 1
BAHAN 2
P (Beban)
Diagram P - D
D
=
e
REGANGAN
L
=
BERUBAH SESUAI DENGAN PERUBAHAN BEBAN
-
Diagran Tegangan - Regangan
SIFAT FISIS SUATU MATERIAL DAPAT DILIHAT DARI HUBUNGAN DIAGRAM TEGANGAN REGANGAN DARI MATERIAL YANG BERSANGKUTAN KENAPA ??
BAHAN 1
BAHAN 2
s (Tegangan)
Diagram s - e
e Regangan
Gbr. A
Gbr. B
BAHAN 1
BAHAN 2
P (Beban)
Diagram P - D
-
Diagran Tegangan - Regangan
MATERIAL 1 dan MATERIAL 2, SAMALUAS PENAMPANG MATERIAL 2 < MATERIAL 1HUBUNGAN P D MATERIAL 1 TIDAK SAMA DENGAN MATERIAL 2- HUBUNGAN s e MATERIAL 1 SAMA DENGAN MATERIAL 2, WALAUPUN LUAS PENAMPANGNYA BERBEDA
JADI UNTUK MENGETAHUI SIFAT FISIS DARI SUATU MATERIAL LEBIH COCOK MENGGUNAKAN GAMBAR B
-
Diagram Tegangan - Regangan
Batas Proposional
s (Tegangan)
s (Tegangan)
e Regangan
e Regangan
MATERIAL BAJA
MATERIAL BETON
-
HUKUM HOOKE
= TEGANGAN
= REGANGAN
E = MODULUS ELASTISITAS
s
e
s (Tegangan)
e Regangan
PENENTUAN TITIK LELEH
KONDISI ELASTIS
Batas Proposional
METODE OFF-SET
s
e
E
X
=
=
E
s
e
-
HUKUM HOOKE
SOAL :
Pada suatu batang dengan panjang L=100 cm dilakukan Static Test. Bila beban P yang diberikan sebesar 4000 kg, batang masih dalam kondisi elastis, uluran batang bertambah 2 mm, maka berapakah Regangan batang tersebut dan berapakan tegangan yang terjadi pada batang tersebut ?? Bila Modulus Elastisitasnya 2 x 106 kg/cm2. Hitung pula luas penampang batang tersebut.
P
P
L
-
Deformasi Batang Akibat Beban Aksial
P2
P3
P4
dx
d x + dx
e
P1
Px
Px
Gaya Px bekerja pada elemen dx dan menim -bulkan deformasi dD
s
E
dx
P
E
dx
Ax
=
dD = dx
e
-
Deformasi Batang Akibat Beban Aksial
CONTOH :
L
P
P
P = Px
Px
Px
dx
A
B
D = Px / Ax . E dx
0
= Px . dx / Ax . EA
B
L
Ax = A , Px = P
D = P . L / E . A
Deformasi akibat beban P, berat sendiri diabaikan
D = P . X / Ax . E
0
L
-
DEFORMASI AKIBAT BEBAN P DAN BERAT SENDIRI ADALAH :
D = P.L / A.E + WT.L / 2.A.E =
D = L (P + .WT) / A.E
Deformasi Batang Akibat Beban Aksial
DEFORMASI AKIBAT BEBAN BERAT SENDIRI ADALAH :
= Px . dx / Ax . E = 1 / A . E w . X . dxA
B
L
0
= . W.x2 / A . E = w . L2 / 2 . A . E = WT . L / 2 . A . E
0
L
-
Deformasi Batang Akibat Beban Aksial
SOAL :
1.
A
B
C
D
E
1000 kg
100 cm
100 cm
a
Bila diameter batang AB dan BC adalah 20 mm, a = 30o dan Modulus Elasti - sitasnya adalah 2x106 kg/cm2, maka hitung penurunan titik B.
2.
P1
P2
b1
b2
b3
h1
h2
Hitung P1/P2, agar setelah P1 dan P2 bekerja, panjang kedua batang tersebut tetap sama, bila b1 = 50 mm, b2 = 50 mm, b3 = 25 mm, h1 = 500 mm, h2 = 500 mm dan tebal masing masing kedua batang tersebut = 20 mm.
P2
-
Poissons Ratio
REGANGAN
Bentuk menjadi MEMANJANG dan MENGECIL
Beton = 0.1 0.2 Karet = 0.5 0.6
REGANGAN AKSIAL
REGANGAN LATERAL
e
e
Lateral
Aksial
POISSONS RATIO ( ) =
-
Hubungan Poissons Ratio, Tegangan dan Regangan
sy
sx
txz
txy
tyz
tyx
tzy
tzx
sy
sz
sx
-
Hubungan Poissons Ratio, Tagangan dan Regangan
sz
sz
sy
sy
-
Hubungan Poissons Ratio, Tagangan dan Regangan
ex
E
E
E
sx
sy
sz
+
-
-
=
ey
E
E
E
sx
sy
sz
-
+
-
=
ez
E
E
E
sx
sy
sz
-
-
+
=
-
Tegangan dan Regangan Geser
TEGANGAN GESER
tzy
tyz
tzy
tyz
A
B
C
g = REGANGAN GESER
O
O
S MO = 0
S Fz = 0
tyz kiri =
- tyz kanan
tyz
tzy
g/2
g/2
A
C
B
tzy
(dy.dx).dz - (dx.dz.).dy = 0
tyz
tzy
tyz
=
-
Tegangan dan Regangan Geser
REGANGAN GESER :
PERUBAHAN BENTUK YANG DINYATAKAN DENGAN PERUBAHAN SUDUT g ADALAH MERUPAKAN REGANGAN GESER
Hukum HOOKE untuk Tegangan dan Regangan Geser :
= Tegangan Geser
= Regangan Geser
= Modulus Geser
= Poissons Ratio
t
g
. G
=
G
E
2 (1+ )
=
Hubungan Modulus Elastisitas Normal dengan Modulus Geser
t
G
g
-
Lentur Murni Pada Balok
Lenturan yang hanya diakibatkan oleh MOMEN saja
d
-
Lentur Murni Pada Balok
max
max
e
D/2
D/2
Panjang Awal
Ya
Yb = C
s
Keseimbangan Gaya :
( Y/C . max ) dA = 0
A
s/C Y . dA = 0
A
s
S FX = 0
-
Lentur Murni Pada Balok
MOMEN :
M = ( Y/C . max ) dA . Y = max Y 2 . dA
s
s
A
A
Y2 . dA = I = MOMEN INERSIA
M = ( max / C ) . I
s
TEGANGAN SERAT ATAS
TEGANGAN SERAT BAWAH
A
max = M . Ya / I
s
max = M . C / I
s
max = M . Yb / I
s
-
Lentur Murni Pada Balok
SECARA UMUM :
max = M . Y / I
s
I / Y = W (Momen Tahanan)
I / Ya = Wa
I / Yb = Wb
I = Y 2 . dA
A
MOMEN INERSIA
-
Momen Inersia
CONTOH :
Ix = y 2 . dA
A
= Y 2 . b . dy
h/2
-h/2
= 1/3 . 1/4. h3. b = 1/12 . b. h3
2
2
3
1
1/2
Ix = 3.y 2 . dy
-2
+ 2 y 2 . dy
-11/2
-11/2
11/2
+ 3.y 2 . dy
11/2
2
b
x
y
y
x
h/2
h/2
= 1/3 . y3. b = 1/3 . (1/8 + 1/8) . h3. b
-h/2
h/2
-
Momen Inersia
CONTOH :
+ 2 . 1/3 . y3
11/2
-11/2
+ 3/3 . y3
2
11/2
= (-11/2)3 (-2)3 + 2/3 . (11/2)3 - 2/3 . (-11/2)3 + 23 - (11/2)3
= 13,75
CARA LAIN :
= 1/12 . 3 . 4 1/12 . 1 . 33 = 16 2,25 = 13,75
LEBIH SINGKAT
= 3/3 . y3
-2
-11/2
-
Menghitung Tegangan Pada Balok
10 cm
30 cm
10 cm
30 cm
10 cm
10.000 kg
LUAS :
A = ( 2 . 30 . 10 ) + (10 . 30 ) = 900 cm2
MOMEN INERSIA :
I = 1/12 . 30 . 503 2 . 1/12 . 10 . 303 = 267.500 cm4
400 cm
-
Menghitung Tegangan Pada Balok
MOMEN TAHANAN :
Wa = Wb = I/y = 267.500 / 25 = 10.700 cm3
MOMEN YANG BEKERJA (Beban Hidup Diabaikan) :
MMax = . 10.000 . 400 = 1.000.000 kg-cm.
TEGANGAN MAKSIMUM YANG TERJADI :
s
Max
= MMax / W = 1.000.000 / 10.700 = 93,46 kg/cm2
-
Menghitung Tegangan Pada Balok
y1 = 20 cm
yMax
+
-
s
Max
s1
s
Max
= M / W1 = 1.000.000 . 20 / 267.500 = 74.77 kg/cm2
s1
W1 = I / y1
-
Latihan Soal Momen Inersia
30 cm
10 cm
40 cm
10 cm
1
Hitung Momen Inersia Terhadap Sumbu Kuat ( Ix ) dan Sumbu Lemahnya ( Iy )
Sb X
Sb Y
Hitung Momen Inersia Terhadap Sumbu Kuat ( Ix ) dan Sumbu Lemahnya ( Iy )
Sb X
Sb Y
10 cm
10 cm
8 cm
8 cm
10
10
10
2
20 cm
-
Latihan Soal Lentur Murni
400 cm
200 cm
1500 kg
1
2
A
B
C
30 cm
10 cm
10 cm
10 cm
8 cm
8 cm
100 kg/m (Termasuk berat sendiri)
200 cm
80 cm
Gambar Bidang MomennyaHitung Momen Inersia Penampang BalokHitung Tegangan tegangan Serat tepi pada potongan 1 dan 2 dan gambar diagram tegangannyaHitung Tegangan Maksimum yang terjadi30 cm
-
Lenturan Tidak Simetris
Terjadi Momen terhadap sumbu x (MX) dan terhadap Sumbu y (MY)
MX = 1/8 . qCos a . L2 MY = 1/8 . qSin a . L2
Momen yang lenturannya mengitari Sumbu X
Momen yang lenturannya mengitari Sumbu Y
Sb x
Sb y
q
qCos a
qSin a
a
L
q
-
Tegangan pada Penampang akibat Lenturan Tidak Simetris
Sb x
Sb y
q
qCos a
qSin a
a
a
b
c
d
b/2
b/2
h/2
h/2
o
MX = 1/8 . qCos a . L2
MY = 1/8 . qSin a . L2
Ix = 1/12 . b . h3
Iy = 1/12 . h . b3
L
q
MX . h/2
Ix
+
My . b/2
Iy
=
+
MX . h/2
Ix
-
My . b/2
Iy
=
+
MX . h/2
Ix
-
My . b/2
Iy
=
-
MX . h/2
Ix
+
My . b/2
Iy
=
-
sa
sb
sc
sd
-
Contoh Soal Tegangan Penampang akibat Lenturan Tidak Simetris
Sb x
Sb y
a
a
b
c
d
b/2
b/2
h/2
h/2
o
L = 300 cm, q = 100 kg/m, P = 200 kg, h = 20 cm, b = 10 cm, a = 30o
P berjarak 150 cm dari B
Hitung tegangan yang terjadi di tengah bentang pada titik a, b, c, d, e dan f. Dimana titik e berjarak 5 cm dari sumbu x dan 3 cm dari sumbu y.
Titik f berjarak 6 cm dari sumbu x dan 4 cm dari sumbu y.
e
f
L
q
P
B
A
-
Tugas I
Bila W = 8 Ton, a = 90o dan luas penampang kabel baja ABC = 4 cm2, batang BD masing masing = 6 x 3 cm2, maka hitung tegangan yang terjadi pada kabel ABC dan tegangan maksimum batang BD.
Hitung Penurunan titik B dan tegangan geser yang terjadi pada baut As. B. Diameter baut As B = 20 mm.
Diketahui Modulus Elastisitas Batang BD = 2x106 kg/cm2.
1.
A
B
W
C
D
a
50 cm
B
W
-
400 cm
200 cm
1000 kg
1
2
A
B
C
30 cm
10 cm
20 cm
10 cm
8 cm
8 cm
2000 kg/m (Termasuk berat sendiri)
200 cm
80 cm
Gambar Bidang MomennyaHitung Momen Inersia Penampang BalokHitung Tegangan tegangan Serat tepi pada potongan 1 dan 2 dan gambar diagram tegangannyaHitung Tegangan Maksimum yang terjadi pada balok ABC.25 cm
80 cm
1000 kg
2.
-
L = 300 cm, q = 1000 kg/m, P = 2000 kg, a = 30o, P berjarak 100 cm dari B.
Hitung tegangan yang terjadi di tengah bentang pada titik a, b, c, d, e dan f.
3.
L
q
P
B
A
10 cm
10 cm
8 cm
8 cm
10
10
10
20 cm
a
a
b
c
d
e
f
-
Balok Dua Bahan
dx
dy
a
e
y
h
b1
b2
ex
ea
ee
1
2
1
exE1
eeE1
eeE2
DISTRUBUSI TEGANGAN DALAM SATU BAHAN
DISTRUBUSI TEGANGAN ELASTIS
-
Balok Dua Bahan
b1
b2.n2
b2/n1
b1.n1
b1/n2
b2
E1 > E2, n1 = E1 / E2, n2 = E2 / E1
Irisan Padanan dalam Bahan 1
Irisan Padanan dalam Bahan 2
-
Contoh Soal Balok Dua Bahan
1
2
1200 cm
1000 kg
A
B
12 cm
36 cm
12
12
10
a
c
b
1
Bahan 1 = Beton Bahan 2 = Baja
400 cm
1
E beton = 200.000 kg / cm2 ; E baja = 2.000.000 kg /cm2
Hitung tegangan yang terjadi pada penampang 1 1 di serat a, serat b beton, serat b baja dan serat c.
Gambarkan pula diagram tegangannya.
Berat sendiri balok diabaikan
Baja
Beton
-
Lentur Murni pada Balok Non-Elastis
e
s
ELASTIS
NON - ELASTIS
e
s
DIAGRAM TEGANGAN - REGANGAN
-
Lentur Murni pada Balok Non-Elastis
e
s
Distrubusi Regangan
Distrubusi Regangan Elastis
Distrubusi Regangan nonElastis
e
s
a
b
c
d
o
Bila pengaruh D aob dan cod kecil
-
Balok Segi-4 yang mengalami Plastis Penuh
h
h/4
h/4
C
T
Momen Plastis yang dapat dipikul = C . . h = T . . h
C = T = yp ( bh/2)
Momen Plastis Balok Segi - 4 adalah :
Mp = yp . bh/2 . h/2 = yp . bh /4
s
s
s
2
-
Balok Segi- 4 yang mengalami Plastis Penuh
Secara Umum dapat ditulis :
Mp = . y dA = 2 ( yp ) . y . b . dy
s
s
h/2
0
Bila dihitung dengan Rumus Elastis :
Myp = yp . I / (h/2) = yp . 1/12 b h3 / ( h/2 )
= yp . b . h2 / 6
0
h/2
yp . y2 . b = yp . bh /4
s
s
2
s
s
s
-
Balok Segi-4 yang mengalami Plastis Penuh
Penampang yang mengalami Elastis - Plastis
Leleh Sedikit (Elastis-Plastis)
yo
h/2
Mp / Myp = yp . b . h2 / 4
s
yp . b . h2 / 6
s
= 1,5
SHAPE FACTOR
Leleh Banyak (Elastis-Plastis)
Leleh Total (Plastis)
-
Penampang yang mengalami Elastis - Plastis
Momen Elastis-Plastis yang dapat dipikul dengan kondisi distribusi tegangan yang mengalami leleh sebagian, adalah :
+ 2 ( yp) . b . y. dy
= 2/3 yp . yo2 . b + yp . bh2 / 4 - yp . b . yo2
M = . y dA = 2 ( yp ) . y/yo . b . y. dy
s
s
yo
0
s
h/2
yo
yp . y3/yo . b
o
yo
= 2/3s
yo
+ syp . b . y2
h/2
s
s
s
= yp . bh2 / 4 1/3 yp . b . yo2 = Mp 1/3 yp . b . yo2
s
s
s
-
Tegangan Geser - Lentur
q (x)
dx
M+dM
dx
M
V
V+dV
x
S MA = 0
(M + dM) M (V + dV) . dx + q . dx . dx/2 = 0
M + dM M V . dx + dV . dx + . q . dx2 = 0
kecil
kecil
ATAU
dM V . dx = 0
dM = V . dx
dM / dX = V
-
dM / dx = V
Tegangan Geser - Lentur
Persamaan ini memberikan arti bahwa :
SETIAP ADA PERBEDAAN MOMEN LENTUR PADA IRISAN YANG BERDAMPINGAN, MAKA AKAN MENIMBULKAN GESERAN
Contoh :
L/3
L/3
L/3
Bid. D
Bid. M
Tidak Ada Geseran
M
M
Ada Geseran
M
M+dM
-
Tegangan Geser - Lentur
Tegangan Geser Akibat Beban Lentur
R
FB
FA
Q =
Y . dA
Afghj
=
Afghj . Y
a
b
d
f
h
j
e
g
- MB
I
=
Y . dA
Afghj
FB =
Afghj
- MB . Y
I
dA
=
- MB . Q
I
-
Tegangan Geser - Lentur
Tegangan Geser Akibat Beban Lentur
FB FA = R Dipikul Alat Penghubung Geser
Sepanjang dx
dF/dx = q = Aliran Geser = SHEAR FLOW
q = dM . Q / dx . I = V . Q / I
=
- MA . Q
I
- MA
I
=
Y . dA
Aabde
FA
=
- MB . Q
I
- MA . Q
I
-
=
dF
=
( MA + dM ) . Q MA . Q
I
=
dM . Q
I
-
Tegangan Geser Akibat Beban Lentur
Contoh :
50 mm
Yc
Q = 50 . 200 ( 87,5 25 ) = 625.000 mm3 = 625 cm3 atau,
Y1 = 250 Yc - 200 / 2 = 62,5 mm
Q = 50 . 200 . 62,5 = 625.000 mm3 = 625 cm3
Yc
q = V . Q / I = 30.000 x 625 / 11.350 = 1.651 kg / cm
Jarak paku yang dibutuhkan = 7000 / 1651 = 4,24 cm
V = 30.000 kg, kekuatan paku = 7000 kg
200 mm
=
50 . 200 . 25 + 50 . 200 . 150
50 . 200 + 50 . 200
=
87,5 cm
I = 200 . 503 / 12 + 50 . 200 . 62,52
= 50 . 2003 / 12 + 50 . 200 . 62,52
= 113.500.000 mm4 = 11.350 cm4
200 mm
50 mm
Y1
-
Soal :
Bila kemampuan paku bagian atas adalah 7000 kg dan paku bagian bawah 5000 kg, maka hitunglah jarak paku atas dan bawah mulai dari ujung A hingga B , agar penampang tersusun tersebut kuat memikul beban q.
Jarak paku atas dan bawah dibuat 3 macam ukuran jarak.
200 mm
50 mm
30 mm
200 mm
50 mm
150 mm
q = 3000 kg/m
600 cm
A
B
100
100
200
100
100
-
Diagram Tegangan Geser
Arah Longitudinal :
= dF / t.dx = ( dM / dx ) . ( A . Y / I . t ) = V . A . Y / I . t
t
Contoh :
=
V . Q
I . t
t
q
t
=
1/8 . V. h2
I
t = b
h
dy
f
g
h
j
y
y1
=
V . Q
I . t
t
q
t
=
V
I . t
Y . dA
A
=
-
Diagram Tegangan Geser
V
I
=
x
h/2
y1
V
I . b
y1
h/2
b . y . dy
=
Bila y1 = 0, maka
t
Y2
2
( b/2 ) 2 y12
V
2 . I
=
3 . V
2 . b. h
V
2 . I
=
h2
4
x
=
1/8
V . h2
1/12 . b .h3
=
=
3 . V
2 . A
t
-
Soal :
20 cm
5 cm
3 cm
20 cm
5 cm
15 cm
a
b
c
d
e
q = 3000 kg/m
600 cm
A
B
P = 1500 kg
1
200 cm
Gambar diagram tegangan geser penampang pada tumpuan A dan pada potongan 1 yang berjarak 100 cm dari titik B.
-
Tahapan pengerjaan :
Menghitung Posisi Garis Netral20 . 5 . 2,5 + 20 . 5 . 15 + 15 . 3 . 26,5
20 . 5 + 20 . 5 + 15 . 3
=
Yc
=
12,01 cm
Dari Atas
2. Menghitung Momen Inersia
I
=
1/12 . 20 . 53 + 20 . 5 . 9,512 + 1/12 . 5 . 203
+ 20 . 5 . 2,952 + 1/12 . 15 . 33 + 15 . 3 . 14,492
=
208,33 + 9044,01 + 3333,33 + 870,25 + 33,75 + 9448,20
=
22937,88 cm4
-
3. Menghitung Gaya Geser
Ra = 3000 . 6/2 + 2/3 . 1500 = 10.000 kg
Rb = 3000 . 6 + 1500 - 10.000 kg = 9.500 kg
Va = 10.000 kg ;
V1 = - 9.500 + 3000 . 1= - 6.500 kg
Posisi
A
y
Q
q = V.Q / I
= q / t
t
a
b1
b2
c
d1
d2
e
0
0
100
100
100
45
45
35.05
12.01
9,51
9,51
9,51
3.505
14.49
14.49
15.99
t
20
20
5
5
5
15
15
0
0
0
0
951
951
1073,85
652.05
652.05
0
0
Pada Penampang A dengan Gaya Geser 10.000 kg
414,6
414,6
468,16
284,27
284,27
20,73
82,92
93,63
56,854
18,951
-
Posisi
A
y
Q
q = V.Q / I
= q / t
t
a
b1
b2
c
d1
d2
e
0
0
100
100
100
45
45
35.05
12.01
9,51
9,51
9,51
3.505
14.49
14.49
15.99
t
20
20
5
5
5
15
15
0
0
0
0
951
951
1073,85
652.05
652.05
0
0
Pada Penampang 1 dengan Gaya Geser 6.500 kg
269,49
269,49
304,30
184,774
184,774
13,474
53,89
60,86
36,955
12,318
-
20 cm
5 cm
3 cm
20 cm
5 cm
15 cm
a
b
c
d
e
13,474
0
0
0
0
53,89
60,68
36,955
12,318
20,73
93,63
56,854
82,92
18,951
Gambar Diagram Tegangan Geser :
Gaya Geser 6.500 kg
Gaya Geser 10.000 kg
-
Variasi Aliran Geser
Variasi Aliran Geser digunakan untuk menentukan PUSAT GESER, agar beban vertikal yeng bekerja tidak akan menimbulkan puntiran pada penampang, bila dikerjakan pada PUSAT GESER.
-
Pusat Geser
to
to
P
V=P
e
h
F1
F1
e = F1 . h / P =
2 . P . I . t
b. t. h . V . Q
=
=
. b . t . h
2 . P
I . t
V . . h . b . t
x
=
b2 . h2 . t
4 . I
.
to
. b . t . h
P
-
Soal :
e
P
10 cm
50 cm
10 cm
10
15
30
Tentukan PUSAT GESER dari penampang seperti pada gambar.
V=P
PERSAMAAN YANG DIGUNAKAN :
e . P + F1 . 60 = F2 . 60
e = ( F2 . 60 F1 . 60 ) / P
.
t1
. 17,5 . 10
F1
F2
F1 =
F2 =
t2
. 37,5 . 10
.
-
V . Q
I . t
V . Q
I . t
I = 1/12 . 55 . 703 - 1/12 . 40 . 503 = 1.155.416,67 cm4
t1
t2
P . 17,5 . 10 . . 60
P . 37,5 . 10 . . 60
=
=
1.155.416,67 . 10
=
0,00045 . P kg/cm2
=
=
=
1.155.416,67 . 10
0,00097 . P kg/cm2
F1 =
0,00045 . P . 17,5 . 10
.
=
0,0394 . P
F2 =
0,00097 . P . 37,5 . 10
.
=
0,1820 . P
e =
0,0394
. P
. 60 -
0,182
. P
. 60
=
: P
8,556 cm
Perhitungan :
Agar batang tidak mengalami puntiran, maka beban P harus diletakkan sejarak e = 8,556 cm ( lihat Gambar )
-
TORSI (Puntiran )
20 N-m
10 N-m
30 N-m
10 N-m
30 N-m
Bidang Potongan
MOMEN PUNTIR DALAM sama dengan MOMEN PUNTIR LUAR
Torsi atau Puntiran yang dipelajari pada Mata Kuliah Mekanika Bahan ini hanya terbatas pada Batang berpenampang BULAT saja.
-
TORSI (Puntiran )
M
M
M
M
M(x)
Momen Puntir pada ujung batang
Momen Puntir merata pada seluruh batang
-
TORSI (Puntiran )
C
r
tmax
r
C
tmax
. dA .
r
= T
Tegangan
Luas
Gaya
Lengan
Momen Torsi
Atau dapat ditulis :
tmax
C
= IP
= Momen Inersia Polar
A
A
A
r
C
tmax
r
. dA
= T
2
r
. dA
2
-
Contoh Momen Inersia Polar untuk LINGKARAN
r
. dA
2
=
A
3
r
d
2p
r
=
0
C
2p
r
4
.
4
.
4
.
0
C
=
p
C
=
Puntiran pada LINGKARAN dapat ditentukan denga rumus :
tmax
T =
C
. IP
tmax
=
T . C
. IP
MOMEN PUNTIR
TEGANGAN PUNTIR
Contoh Soal Hal. 72 dan 73, Contoh 3-2 dan 3-3
2
32
p
d
4
-
Contoh 3 - 3
tmax
tdalam
Sebuah tabung diputar dengan momen puntir T = 40 N-m, diameter luar tabung = 20 mm dan diameter dalam tabung = 16 mm. Hitunglah tegangan geser puntir di dalam dan di luar tabung.
PENYELESAIAN :
IP =
p
( 0,024 0,0164 )
32
=
9,27 . 10-9 m4
tmax
=
40 . 0,01
9,27 . 10-9
=
43,1 . 106 N/m2
tluar
=
40 . 0,008
9,27 . 10-9
=
34,5 . 106 N/m2
-
Sudut Puntiran
Sudut puntiran didefinisikan sebagai f dan dengan menyatakan besarnya sudut DAB = gmax, maka :
= df . c
BD =
gmax
. dx
BD = df . c
gmax
gmax
=
gmax
Sebanding dengan t max
gmax
t max
G
G = Modulus Geser
=
t max
= T . c / IP
dx
x
df
gmax
o
B
D
A
c
df
dx
. c
-
Sudut Puntiran
Dengan demikian , maka :
= T . c / IP . G
df
dx
= T / IP . G
df
= T . dx / IP . G
f
=
df
A
B
=
T(x) . dx / IP(x) . G
PELAJARI CONTOH 3 6 dan 3 7, halaman 78 dan 79
gmax
= T . c / IP . G
df
dx
. c
A
B
-
Tegangan Majemuk
Tegangan yang mungkin terjadi pada suatu benda adalah sebagai berikut :
Tegangan Normal yang terjadi akibat Gaya Aksial : ( = P / A )2. Tegangan Normal akibat Lentur : ( = M . Y / I )
3. Tegangan Geser akibat Gaya Geser : ( = P / A ) atau ( = V . Q / I . t )
4. Tegangan Geser akibat Torsi : ( = T . r / IP )
t
t
s
s
t
Ada kalanya suatu benda mengalami tegangan - tegangan tersebut secara bersama sama. Sehingga untuk mengetahui tegangan total yang terjadi perlu dilakukan penjumlahan.
-
Tegangan Majemuk
Tegangan tegangan yang dapat dijumlahkan adalah tegangan tegangan yang sejenis. Tegangan Normal dijumlahkan dengan Tegangan Normal, sedangkan Tegangan Geser dijumlahkan dengan Tegangan Geser.
Penampang di tengah bentang
M1 = . P . L
M2 = F . e
Contoh :
F
F
e
F
L
P
-
Tegangan Majemuk
Tegangan total yang terjadi pada potongan tengah bentang di serat atas dan bawah adalah :
s = ( - F / A ) + ( M1 . Y / I ) + ( M2 . Y / I )
= ( - F / A ) + ( . P . L ) + ( F . e . Y / I )
+
+
=
-
Tegangan Majemuk
Contoh :
M = P . e
e
P
Tegangan yang terjadi adalah :
s
=
+
Agar sisi B tidak terangkat, maka berapakah jarak e maksimum ??, Bila berat sendiri pondasi diabaikan
Persamaan yang digunakan :
b
h
P
A
B
P . e
W
A
P
1/6 . b . h2
P . e
A
P
=
+
1/6 . b . h2
P . e
A
P
=
+
s
= O
-
Tegangan Majemuk
=
+
s
= O
=
1/6 . b . h2
P . e
e
=
A
1/6 . b . h2
b . h
1/6 . b . h2
=
=
+
b
h
P
A
B
1/6 . b . h2
P . e
A
P
A
P
h
6
1/6 . b . h2
P . e
A
P
1/6 . b . h2
P . e
-
KOLOM
yo
zo
d
P
P
P
Momen yang ditimbulkan akibat adanya Eksentrisitas :
M = P . d = P . zo + P . yo
d
-
Diagram Tegangan pada Kolom
d
yo
zo
yo
zo
-
Tugas II
1
1
2
3
E-bahan 1 = 200.000 kg / cm2
E-bahan 2 = 100.000 kg / cm2
E-bahan 3 = 2.000.000 kg / cm2
20 cm
50 cm
10 cm
10 cm
20 cm
10 cm
Hitung tegangan maksimum yang terjadi pada masing masing bahan di potongan 1 dari balok A B.
Potongan 1 berjarak 100 cm dari titik B.
q = 3000 kg/m
600 cm
A
B
P = 1500 kg
1
200 cm
-
2
Gambar diagram tegangan geser penampang pada tumpuan A dan pada potongan 1 yang berjarak 200 cm dari titik B.
20 cm
5 cm
3 cm
20 cm
5 cm
15 cm
a
b
c
d
e
q = 3000 kg/m
600 cm
A
B
P = 1500 kg
1
200 cm
f
5 cm
10 cm
-
F
F
e
F
L
P
3
h
b
q
Diketahui : L = 20 m, b = 50 cm, h = 100 cm, P = 50 ton, F = 100 ton, e = 30 cm dari garis netral, q = 5 ton / m.
Potongan 1 berjarak 5 m dari titik A.
A
B
1
Hitung Tegangan gabungan di serat atas dan bawah dari penampang pada potongan 1 dan di tengan bentang.
-
4
P
A
B
C
D
O
e
b
h
Bila P = 5000 kg, h = 120 cm, b= 150 cm dan e = 40 cm, maka hitunglah tegangan yang terjadi di titik E dan F.
Berat sendiri pondasi diabaikan.
Tentukan e agar tegangan di titik F = 0
P
E
F
-
5
20 cm
20 cm
70 cm
10
20
40
Tentukan dan Gambarkan batas batas KERN - nya
Tugas II ini dikumpulkan pada saat Ujian Tengah Semester
-
KERN / GALIH / INTI
N
N
ya
yb
O
ka
kb
ya / Ix = Wa
yb / Ix = Wb
smin
=
=
+ N / A - N . ca . yb /Ix
sb
=
Posisi Beban di atas titik O
smax
sn
sma
=
=
=
+ N / A + N . ca . ya / Ix
sa
+
ca = Jarak ka ke titik O
cb = Jarak kb ke titik O
y
x
sn
smb
+
-
Posisi Beban di bawah titik O
smax
sn
smb
=
=
=
+ N / A + N . cb . yb / Ix
smin
=
=
+ N / A - N . cb . ya / Ix
sb
+
sa
=
KERN / GALIH / INTI
Kejadian khusus, bila = O, sehingga perumusannya menjadi :
smin
Posisi Beban di atas titik O
smin
sn
smb
=
=
=
+ N / A - N . ca . yb / Ix = O
sb
+
+ N / A - N . ca / Wb = O
=
=
( Wb / A ca ) . N / Wb = O
Ca = Wb / A
Ca = ka
Kern Atas
sn
sma
+
-
KERN / GALIH / INTI
Posisi Beban di bawah titik O
smin
sn
sma
=
=
=
+ N / A - N . cb . ya / Ix = O
sa
+
+ N / A - N . cb / Wa = O
=
=
( Wa / A cb ) . N / Wa = O
Cb = Wa / A
Cb = kb
Kern bawah
Dalam bentuk lain :
ix =
2
ix =
A =
Ix
Wa = Ix / ya
Wb = Ix / yb
Ix
A
Ix
A
ix
2
ka = ix / yb
2
kb = ix / ya
2
-
KERN / GALIH / INTI
Macam macam bentuk KERN :
Dibatasi 6 Titik
Dibatasi Titik tak Berhingga
Dibatasi 4 Titik
Dibatasi 4 Titik
-
KERN / GALIH / INTI
Menetukan Momen Inersia terhadap sumbu miring :
Xa
Ya
a
X
Y
xa
ya
a
a
x
df
Cos a
Sin a
xa
x
=
+
y
Cos a
Sin a
ya
y
=
-
x
Ixa
2
2
ya
=
Ixa
df
=
y
2
2
2
2
2
Cos a
x
+
Sin a
-
2xy
Sin a
Cos a
df
=
Ix
Cos a
+
Iy
Sin a
-
2 Sxy
Sin a
Cos a
-
KERN / GALIH / INTI
Menetukan Momen Inersia terhadap sumbu miring :
=
x
2
2
2
2
2
Cos a
y
+
Sin a
+
2xy
Sin a
Cos a
df
=
Ix
Sin a
+
Iy
Cos a
+
2 Sxy
Sin a
Cos a
2
2
xa
=
Iya
df
-
KERN / GALIH / INTI
Contoh Menentukan batas batas KERN :
Menentukan posisi garis netral :
2.20.1 + 8.2.6.2
2.20 + 8.2.2
=
=
x
3,2 cm
A
=
2.20 + 8.2.2
=
72 cm
Ix
=
1/12.2.203 + 1/12.8.23.2
+ 8.2.92.2 = 3936 cm4
=
Wax
3936
10
=
393,6 cm3
=
Wbx
3936
10
=
393,6 cm3
2 cm
2
2
16
10
y
x
3,2
-
KERN / GALIH / INTI
Contoh Menentukan batas batas KERN :
Ix
=
1/12.20.23 + 1/12.2.83.2
+ 20.2.(2,2)2 + 2.2.8.(2,8)2 = 628,48 cm4
=
Wkr y
628,48
3,2
=
196,4 cm3
=
Wkn y
6,8
=
92,42 cm3
628,48
Ka x
=
Wbx
A
=
393,6
72
=
5,46 cm
Kkny
=
Wkr y
A
72
=
196,4
=
2,72 cm
Kb x
=
Wax
A
=
393,6
72
=
5,46 cm
Kkr y
=
Wkn y
A
72
=
92,42
=
1,28 cm
-
KERN / GALIH / INTI
Gambar batas batas KERN :
2 cm
2
2
16
10
y
x
3,2
5,46 cm
5,46 cm
2,72 cm
1,28 cm
-
SELESAI
-
6.1. TEGANGAN
A. PERSAMAAN TRANSFORMASI TEGANGAN BIDANG -
- Tegangan tarik normal adalah positif (+)
- Tegangan tekan adalah negatif (-)
Menggunakan persamaan keseimbangan statika : -
Dengan mengubah orientasi sebuah elemen, seperti ditentukan oleh sudut untuk elemen, maka dapat digambarkan status tegangan pada suatu titik dengan jumlah cara yang tidak terhingga banyaknya, yang kesemuanya setara
-
Dalam hal ini, hukum transformasi tegangan pada suatu titik akan dikembangkan, yaitu persamaan-persamaan yang akan diturunkan untuk mentransformasi tegangan yang setara yang bekerja pada bidang yang melalui titik tertentu. Bidang-bidang dimana Tegangan-
tegangan mencapai intensitas maksimum akan ditentukan.
Dengan cara yang sama, tegangan geser adalah:
Catatan :
Persamaan 1 dan 2 adalah pernyataan umum untuk tegangannormal dan tegangan geser pada bidang dengan sudut
x, y dan xy adalah tegangan yang diketahui.
s
s
s
u
-
Contoh Soal
Jawab
-
-
B. TEGANGAN UTAMA
Tegangan utama ialah tegangan normal maksimum dan minimum yang bekerja pada bidang utama.
Pada bidang utama, dimana bekerja tegangan normal maksimum dan minimum, tidak akan terdapat tegangan geser.
Untuk mendapatkan letak bidang utama maka digunakan persamaan : -
u mempunyai 2 harga yang berbeda 180o
-
Harga cos2 dan sin2 dimasukkan dalam persamaan transformasi tegangan diperoleh :
C. TEGANGAN GESER MAKSIMUM DAN MINIMUM
Tegangan geser maksimum dan minimum dapat diketahui letaknya dengan menurunkan rumus tegangan
geser terhadap sudut dan disamakan dengan nol.u
u
- dengan cara yang sama seperti mencari tegangan utama, maka
tegangan geser adalah :
Pada tegangan utama tegangan gesernya sama dengan nol.
Tapi pada tegangan geser maksimum tegangan normalnya tidak sama dengan nol.
Bila harga sinus dan cosinus untuk tegangan geser dimasukkan ke persamaan transformasi, didapat
tegangan normal -
Bila x dan y adalah merupakan tegangan utama, maka xy = 0 , dan tegangan geser maksimumnya :
Jadi tegangan geser maksimum selalu bekerja bersama-sama dengan tegangan normal kecuali bila x dan y sama dengan nol.
u
u
t
u
u
-
D. LINGKARAN TEGANGAN MOHR
Untuk menghitung tegangan yang bekerja pada suatu bidang dari sebuah elemen, disamping dengan menggunakan persamaan transformasi, juga bisa menggunakan "Lingkaran MOHR". Persamaan transformasi 1 dan 2 dapat dituliskan kembali sebagai berikut :