Estruturas de Betão I
0/168 2011/2012
Mestrado em Engenharia Civil 2011 / 2012
Eduardo S. Júlio
Estruturas de Betão I Materiais, Escoras e Tirantes, Flexão Simples
Estruturas de Betão I
1/168 2011/2012
O Eurocódigo 2 M1 – 3. Materiais Escoras e Tirantes M2 – 2. Flexão Simples
Sumário
Estruturas de Betão I
2/168 2011/2012
O Eurocódigo 2 M1 – 3. Materiais Escoras e Tirantes M2 – 2. Flexão Simples
Sumário
Estruturas de Betão I
3/168 2011/2012
O Eurocódigo 2
Estruturas de Betão I
4/168 2011/2012
O Eurocódigo 2
Estruturas de Betão I
5/168 2011/2012
O Eurocódigo 2
Estruturas de Betão I
6/168 2011/2012
O Eurocódigo 2 M1 – 3. Materiais Escoras e Tirantes M2 – 2. Flexão Simples
Sumário
Estruturas de Betão I
7/168 2011/2012
M1 – 3. Materiais
Estruturas de Betão I
8/168 2011/2012
M1 – 3. Materiais: BETÃO
Estruturas de Betão I
9/168 2011/2012
M1 – 3. Materiais: BETÃO
Estruturas de Betão I
10/168 2011/2012
M1 – 3. Materiais: BETÃO
Estruturas de Betão I
11/168 2011/2012
M1 – 3. Materiais: BETÃO
Estruturas de Betão I
12/168 2011/2012
M1 – 3. Materiais: BETÃO
Estruturas de Betão I
13/168 2011/2012
M1 – 3. Materiais: BETÃO
Estruturas de Betão I
14/168 2011/2012
M1 – 3. Materiais: BETÃO
Estruturas de Betão I
15/168 2011/2012
M1 – 3. Materiais: BETÃO
Estruturas de Betão I
16/168 2011/2012
M1 – 3. Materiais: BETÃO
Estruturas de Betão I
17/168 2011/2012
M1 – 3. Materiais: BETÃO
Estruturas de Betão I
18/168 2011/2012
M1 – 3. Materiais: BETÃO
Estruturas de Betão I
19/168 2011/2012
M1 – 3. Materiais: BETÃO
Estruturas de Betão I
20/168 2011/2012
M1 – 3. Materiais: BETÃO
Estruturas de Betão I
21/168 2011/2012
M1 – 3. Materiais: BETÃO
Estruturas de Betão I
22/168 2011/2012
M1 – 3. Materiais: BETÃO
Estruturas de Betão I
23/168 2011/2012
M1 – 3. Materiais: BETÃO
Estruturas de Betão I
24/168 2011/2012
M1 – 3. Materiais: BETÃO
Estruturas de Betão I
25/168 2011/2012
M1 – 3. Materiais: BETÃO
Estruturas de Betão I
26/168 2011/2012
M1 – 3. Materiais: BETÃO
Estruturas de Betão I
27/168 2011/2012
M1 – 3. Materiais: BETÃO
Estruturas de Betão I
28/168 2011/2012
M1 – 3. Materiais: BETÃO
Estruturas de Betão I
29/168 2011/2012
M1 – 3. Materiais: BETÃO
Estruturas de Betão I
30/168 2011/2012
M1 – 3. Materiais: BETÃO
Estruturas de Betão I
31/168 2011/2012
M1 – 3. Materiais: BETÃO
Estruturas de Betão I
32/168 2011/2012
M1 – 3. Materiais: BETÃO
Estruturas de Betão I
33/168 2011/2012
M1 – 3. Materiais: BETÃO
Axial C ircu m fe re n tial
0
0,5
1
1,5
2
2,5
3
-150
00
-100
00
-500
0 0
5000
1000
0
Strain (µε )
Nor
mal
ized
Axi
al S
tres
s (f
c/f´c
)
AC4 (1 ply)AC5 (2 plies )AC6 (3 plies )REF
Estruturas de Betão I
34/168 2011/2012
M1 – 3. Materiais: AÇO
Estruturas de Betão I
35/168 2011/2012
M1 – 3. Materiais: AÇO
Estruturas de Betão I
36/168 2011/2012
M1 – 3. Materiais: AÇO
Estruturas de Betão I
37/168 2011/2012
M1 – 3. Materiais: AÇO
Estruturas de Betão I
38/168 2011/2012
M1 – 3. Materiais: AÇO
Estruturas de Betão I
39/168 2011/2012
M1 – 3. Materiais: AÇO
Estruturas de Betão I
40/168 2011/2012
M1 – 3. Materiais: AÇO
Estruturas de Betão I
41/168 2011/2012
M1 – 3. Materiais: AÇO
Estruturas de Betão I
42/168 2011/2012
O Eurocódigo 2 M1 – 3. Materiais Escoras e Tirantes M2 – 2. Flexão Simples
Sumário
Estruturas de Betão I
43/168 2011/2012
Escoras e Tirantes
Estruturas de Betão I
44/168 2011/2012
Escoras e Tirantes
Estruturas de Betão I
45/168 2011/2012
Escoras e Tirantes
Estruturas de Betão I
46/168 2011/2012
Escoras e Tirantes
Estruturas de Betão I
47/168 2011/2012
Escoras e Tirantes
Estruturas de Betão I
48/168 2011/2012
Escoras e Tirantes
Estruturas de Betão I
49/168 2011/2012
Escoras e Tirantes
Estruturas de Betão I
50/168 2011/2012
Escoras e Tirantes
Estruturas de Betão I
51/168 2011/2012
Escoras e Tirantes
Estruturas de Betão I
52/168 2011/2012
Escoras e Tirantes
Estruturas de Betão I
53/168 2011/2012
Escoras e Tirantes
Estruturas de Betão I
54/168 2011/2012
Escoras e Tirantes
Estruturas de Betão I
55/168 2011/2012
32 2 10cε
−= ×
Para as classes C12/15 ~ C50/60:
Escoras e Tirantes
Estruturas de Betão I
56/168 2011/2012
Escoras e Tirantes
Estruturas de Betão I
57/168 2011/2012
3348 ; 1,74 10yd ydf MPa ε −= = ×
Para S400:
32 2 10cε
−= ×
Escoras e Tirantes
Estruturas de Betão I
58/168 2011/2012
32 2 10cε
−= ×
3435 ; 2,17 10yd ydf MPa ε −= = ×
Para S500:
Escoras e Tirantes
Estruturas de Betão I
59/168 2011/2012
32 2 10cε
−= ×
c cdfσ =
cF,s iF
( )3400
2 10 500s yd s
s s s s
F f A S
F E A Sε −
= ⋅ ⇐⎧⎪⎨
= ⋅ = × ⋅ ⇐⎪⎩,s iF
c cd cF f A= ⋅
Rd c sN F F= +
EdN
Escoras e Tirantes
Estruturas de Betão I
60/168 2011/2012
De notar que, na prática, nenhum elemento está sujeito apenas a esforço axial (há sempre que considerar excentricidades). No caso do esforço axial ser de compressão, há ainda a considerar a possibilidade do elemento encurvar.
Escoras e Tirantes
Estruturas de Betão I
61/168 2011/2012
Escoras e Tirantes
Estruturas de Betão I
62/168 2011/2012
2
2crEIPL
π=
Pcr
Escoras e Tirantes
Estruturas de Betão I
63/168 2011/2012
Escoras e Tirantes
Estruturas de Betão I
64/168 2011/2012
2
2
2
π=⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠
crEIPL
Pcr
Escoras e Tirantes
Estruturas de Betão I
65/168 2011/2012
Escoras e Tirantes
Estruturas de Betão I
66/168 2011/2012
( )
2
20,7crEIPL
π=
Pcr
Escoras e Tirantes
Estruturas de Betão I
67/168 2011/2012
Escoras e Tirantes
Estruturas de Betão I
68/168 2011/2012
( )
2
20,5crEIPL
π=
Pcr
Escoras e Tirantes
Estruturas de Betão I
69/168 2011/2012
Escoras e Tirantes
Estruturas de Betão I
70/168 2011/2012
2
2crEIPL
π=
Pcr
Escoras e Tirantes
Estruturas de Betão I
71/168 2011/2012
Escoras e Tirantes
Estruturas de Betão I
72/168 2011/2012
( )
2
22crEIPL
π=
Pcr
Escoras e Tirantes
Estruturas de Betão I
73/168 2011/2012
Exercício Calcule as armaduras necessárias a um pilar de secção transversal quadrada com 30cm de lado, sujeito a um esforço de compressão simples, NEd=1749kN. Nota: Considere que o pilar está contraventado nos dois planos (não há risco de encurvadura). Nota: Adopte aço S400 e betão C20/25.
Escoras e Tirantes
Estruturas de Betão I
74/168 2011/2012
32 2 10cε
−= ×
c cdfσ =
cF,s iF
3348 10s yd s sF f A A= ⋅ = × ⋅
,s iF
3 213,33 10 0,30 1200c cd cF f A kN= ⋅ = × × =
NRd = Fc + Fs ≥ NEd
1749EdN kN=
NRd =1200+348×103 ⋅ As ≥1749kN
As ≥15,78×10−4m2
Escoras e Tirantes
Estruturas de Betão I
75/168 2011/2012
10mm – Anexo Nacional
Escoras e Tirantes
Estruturas de Betão I
76/168 2011/2012
Escoras e Tirantes
Estruturas de Betão I
77/168 2011/2012
4 2,min 3
0,10 1749 5,03 10348 10sA m−×
= = ××
2 4 20,002 0,002 0,3 1,8 10cA m−⋅ = × = ×
Escoras e Tirantes
Estruturas de Betão I
78/168 2011/2012
4 2,min 3
0,10 1749 5,03 10348 10sA m−×
= = ××
2 4 20,002 0,002 0,3 1,8 10cA m−⋅ = × = ×
As ≥15,78×10−4m2
Escoras e Tirantes
Estruturas de Betão I
79/168 2011/2012
4 2,min 3
0,10 1749 5,03 10348 10sA m−×
= = ××
2 4 20,002 0,002 0,3 1,8 10cA m−⋅ = × = ×
n.º de varões e áreas (cm2)
φ [mm] 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
6 0,28 0,57 0,85 1,13 1,41 1,70 1,98 2,26 2,54 2,83 3,11 3,39
8 0,50 1,01 1,51 2,01 2,51 3,02 3,52 4,02 4,52 5,03 5,53 6,03
10 0,79 1,57 2,36 3,14 3,93 4,71 5,50 6,28 7,07 7,85 8,64 9,42
12 1,13 2,26 3,39 4,52 5,65 6,79 7,92 9,05 10,18 11,31 12,44 13,57
16 2,01 4,02 6,03 8,04 10,05 12,06 14,07 16,08 18,10 20,11 22,12 24,13
20 3,14 6,28 9,42 12,57 15,71 18,85 21,99 25,13 28,27 31,42 34,56 37,70
25 4,91 9,82 14,73 19,63 24,54 29,45 34,36 39,27 44,18 49,09 54,00 58,90
32 8,04 16,08 24,13 32,17 40,21 48,25 56,30 64,34 72,38 80,42 88,47 96,51
40 12,57 25,13 37,70 50,27 62,83 75,40 87,96 100,53 113,10 125,66 138,23 150,80
Escoras e Tirantes
As ≥15,78×10−4m2
Estruturas de Betão I
80/168 2011/2012
4 2,min 3
0,10 1749 5,03 10348 10sA m−×
= = ××
28 16 ( 16,08 )sA cmφ → =
2 4 20,002 0,002 0,3 1,8 10cA m−⋅ = × = ×
n.º de varões e áreas (cm2)
φ [mm] 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
6 0,28 0,57 0,85 1,13 1,41 1,70 1,98 2,26 2,54 2,83 3,11 3,39
8 0,50 1,01 1,51 2,01 2,51 3,02 3,52 4,02 4,52 5,03 5,53 6,03
10 0,79 1,57 2,36 3,14 3,93 4,71 5,50 6,28 7,07 7,85 8,64 9,42
12 1,13 2,26 3,39 4,52 5,65 6,79 7,92 9,05 10,18 11,31 12,44 13,57
16 2,01 4,02 6,03 8,04 10,05 12,06 14,07 16,08 18,10 20,11 22,12 24,13
20 3,14 6,28 9,42 12,57 15,71 18,85 21,99 25,13 28,27 31,42 34,56 37,70
25 4,91 9,82 14,73 19,63 24,54 29,45 34,36 39,27 44,18 49,09 54,00 58,90
32 8,04 16,08 24,13 32,17 40,21 48,25 56,30 64,34 72,38 80,42 88,47 96,51
40 12,57 25,13 37,70 50,27 62,83 75,40 87,96 100,53 113,10 125,66 138,23 150,80
Escoras e Tirantes
As ≥15,78×10−4m2
Estruturas de Betão I
81/168 2011/2012
Escoras e Tirantes
Estruturas de Betão I
82/168 2011/2012
15x – Anexo Nacional
Escoras e Tirantes
Estruturas de Betão I
83/168 2011/2012
15x – Anexo Nacional 300mm – Anexo Nacional
Escoras e Tirantes
Estruturas de Betão I
84/168 2011/2012
15x – Anexo Nacional 300mm – Anexo Nacional
( ), max 15 16;300;300 240cl ts mín mm= × =
Cintas φ 6 @ 0,20m
Escoras e Tirantes
Estruturas de Betão I
85/168 2011/2012
Escoras e Tirantes
Estruturas de Betão I
86/168 2011/2012
Escoras e Tirantes
Estruturas de Betão I
87/168 2011/2012
Armadura longitudinal: 8φ16
Cintas: φ 6 @ 0,20m
Escoras e Tirantes
Estruturas de Betão I
88/168 2011/2012
Armadura longitudinal: 8φ16
Cintas: φ 6 @ 0,20m
Escoras e Tirantes
Estruturas de Betão I
89/168 2011/2012
,s iF
s yd sF f A= ⋅
,s iF
0cF =
Rd s EdN F N= =
EdN
Escoras e Tirantes
Estruturas de Betão I
90/168 2011/2012
Exercício Calcule as armaduras necessárias a um pilar de secção transversal quadrada com 30cm de lado, sujeito a um esforço de tracção simples, NEd=1112kN. Nota: Adopte aço S400 e betão C20/25.
Escoras e Tirantes
Estruturas de Betão I
91/168 2011/2012
,s iF
s yd sF f A= ⋅
,s iF
0cF =
NRd = Fs ≥ NEd
1112EdN kN=
NRd = 348×103 ⋅ As ≥1112kN
As ≥ 31,95×10−4m2
Escoras e Tirantes
Estruturas de Betão I
92/168 2011/2012
As ≥ 31,95×10−4m2
Escoras e Tirantes
Estruturas de Betão I
93/168 2011/2012
2 4 2,max 0,04 0,3 36 10sA m−= × = ×
Escoras e Tirantes
As ≥ 31,95×10−4m2
Estruturas de Betão I
94/168 2011/2012
2 4 2,max 0,04 0,3 36 10sA m−= × = ×
n.º de varões e áreas (cm2)
φ [mm] 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
6 0,28 0,57 0,85 1,13 1,41 1,70 1,98 2,26 2,54 2,83 3,11 3,39
8 0,50 1,01 1,51 2,01 2,51 3,02 3,52 4,02 4,52 5,03 5,53 6,03
10 0,79 1,57 2,36 3,14 3,93 4,71 5,50 6,28 7,07 7,85 8,64 9,42
12 1,13 2,26 3,39 4,52 5,65 6,79 7,92 9,05 10,18 11,31 12,44 13,57
16 2,01 4,02 6,03 8,04 10,05 12,06 14,07 16,08 18,10 20,11 22,12 24,13
20 3,14 6,28 9,42 12,57 15,71 18,85 21,99 25,13 28,27 31,42 34,56 37,70
25 4,91 9,82 14,73 19,63 24,54 29,45 34,36 39,27 44,18 49,09 54,00 58,90
32 8,04 16,08 24,13 32,17 40,21 48,25 56,30 64,34 72,38 80,42 88,47 96,51
40 12,57 25,13 37,70 50,27 62,83 75,40 87,96 100,53 113,10 125,66 138,23 150,80
Escoras e Tirantes
As ≥ 31,95×10−4m2
Estruturas de Betão I
95/168 2011/2012
2 4 2,max 0,04 0,3 36 10sA m−= × = ×
24 20 4 25 ( 32,21 )sA cmφ φ+ → =
n.º de varões e áreas (cm2)
φ [mm] 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
6 0,28 0,57 0,85 1,13 1,41 1,70 1,98 2,26 2,54 2,83 3,11 3,39
8 0,50 1,01 1,51 2,01 2,51 3,02 3,52 4,02 4,52 5,03 5,53 6,03
10 0,79 1,57 2,36 3,14 3,93 4,71 5,50 6,28 7,07 7,85 8,64 9,42
12 1,13 2,26 3,39 4,52 5,65 6,79 7,92 9,05 10,18 11,31 12,44 13,57
16 2,01 4,02 6,03 8,04 10,05 12,06 14,07 16,08 18,10 20,11 22,12 24,13
20 3,14 6,28 9,42 12,57 15,71 18,85 21,99 25,13 28,27 31,42 34,56 37,70
25 4,91 9,82 14,73 19,63 24,54 29,45 34,36 39,27 44,18 49,09 54,00 58,90
32 8,04 16,08 24,13 32,17 40,21 48,25 56,30 64,34 72,38 80,42 88,47 96,51
40 12,57 25,13 37,70 50,27 62,83 75,40 87,96 100,53 113,10 125,66 138,23 150,80
Escoras e Tirantes
As ≥ 31,95×10−4m2
Estruturas de Betão I
96/168 2011/2012
2 4 2,max 0,04 0,3 36 10sA m−= × = ×
24 20 4 25 ( 32,21 )sA cmφ φ+ → =
( ), max 15 20;300;300 300cl ts mín mm= × =
Cintas φ 6 @ 0,30m
n.º de varões e áreas (cm2)
φ [mm] 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
6 0,28 0,57 0,85 1,13 1,41 1,70 1,98 2,26 2,54 2,83 3,11 3,39
8 0,50 1,01 1,51 2,01 2,51 3,02 3,52 4,02 4,52 5,03 5,53 6,03
10 0,79 1,57 2,36 3,14 3,93 4,71 5,50 6,28 7,07 7,85 8,64 9,42
12 1,13 2,26 3,39 4,52 5,65 6,79 7,92 9,05 10,18 11,31 12,44 13,57
16 2,01 4,02 6,03 8,04 10,05 12,06 14,07 16,08 18,10 20,11 22,12 24,13
20 3,14 6,28 9,42 12,57 15,71 18,85 21,99 25,13 28,27 31,42 34,56 37,70
25 4,91 9,82 14,73 19,63 24,54 29,45 34,36 39,27 44,18 49,09 54,00 58,90
32 8,04 16,08 24,13 32,17 40,21 48,25 56,30 64,34 72,38 80,42 88,47 96,51
40 12,57 25,13 37,70 50,27 62,83 75,40 87,96 100,53 113,10 125,66 138,23 150,80
Escoras e Tirantes
As ≥ 31,95×10−4m2
Estruturas de Betão I
97/168 2011/2012
O Eurocódigo 2 M1 – 3. Materiais Escoras e Tirantes M2 – 2. Flexão Simples
Sumário
Estruturas de Betão I
98/168 2011/2012
M2 – 2. Flexão Simples
Estruturas de Betão I
99/168 2011/2012
M2 – 2. Flexão Simples
Estruturas de Betão I
100/168 2011/2012
betão
M2 – 2. Flexão Simples
Estruturas de Betão I
101/168 2011/2012
aço
M2 – 2. Flexão Simples
Estruturas de Betão I
102/168 2011/2012
M2 – 2. Flexão Simples: EQUILÍBRIO ESTÁTICO
Estruturas de Betão I
103/168 2011/2012
M2 – 2. Flexão Simples: EQUILÍBRIO ESTÁTICO
Estruturas de Betão I
104/168 2011/2012
M2 – 2. Flexão Simples: EQUILÍBRIO ESTÁTICO
Estruturas de Betão I
105/168 2011/2012
εcu3=3.5‰
Fc
Fs εs
x 0.8x
d
fcd
As
h
b
M2 – 2. Flexão Simples: EQUILÍBRIO ESTÁTICO
Estruturas de Betão I
106/168 2011/2012
Fc
0.8x
fcd
Fs
M2 – 2. Flexão Simples: EQUILÍBRIO ESTÁTICO
Estruturas de Betão I
107/168 2011/2012
Fc
0.8x
fcd
Fs
0.8c cdF x f b= ⋅ ⋅
Cálculo das resultantes
M2 – 2. Flexão Simples: EQUILÍBRIO ESTÁTICO
Estruturas de Betão I
108/168 2011/2012
Fc
0.8x
fcd
Fs
0.8c cdF x f b= ⋅ ⋅
s yd sF f A= ⋅
Cálculo das resultantes
M2 – 2. Flexão Simples: EQUILÍBRIO ESTÁTICO
Estruturas de Betão I
109/168 2011/2012
Fc
0.8x
fcd
Fs
0.8c cdF x f b= ⋅ ⋅
s yd sF f A= ⋅
Cálculo das resultantes
incógnita
M2 – 2. Flexão Simples: EQUILÍBRIO ESTÁTICO
Estruturas de Betão I
110/168 2011/2012
Fc
0.8x
fcd
Fs
0.8c cdF x f b= ⋅ ⋅
s yd sF f A= ⋅
Cálculo das resultantes
incógnita incógnita
M2 – 2. Flexão Simples: EQUILÍBRIO ESTÁTICO
Estruturas de Betão I
111/168 2011/2012
Fc
0.8x
fcd
Fs
0.8c cdF x f b= ⋅ ⋅
s yd sF f A= ⋅
Cálculo das resultantes
Equações de equilíbrio estático
0Rd i c s Edi
N F F F N= = − = =∑
M2 – 2. Flexão Simples: EQUILÍBRIO ESTÁTICO
Estruturas de Betão I
112/168 2011/2012
Fc
0.8x
fcd
Fs
0.8c cdF x f b= ⋅ ⋅
s yd sF f A= ⋅
Cálculo das resultantes
Equações de equilíbrio estático
0Rd i c s Edi
N F F F N= = − = =∑
Rd i Edi
M M M= ≥∑
M2 – 2. Flexão Simples: EQUILÍBRIO ESTÁTICO
Estruturas de Betão I
113/168 2011/2012
Fc
0.8x
fcd
Fs
0.8c cdF x f b= ⋅ ⋅
s yd sF f A= ⋅
Cálculo das resultantes
Equações de equilíbrio estático
0Rd i c s Edi
N F F F N= = − = =∑
Rd i Edi
xM M M= ≥ ⇒∑
M2 – 2. Flexão Simples: EQUILÍBRIO ESTÁTICO
Estruturas de Betão I
114/168 2011/2012
Fc
0.8x
fcd
Fs
0.8c cdF x f b= ⋅ ⋅
s yd sF f A= ⋅
Cálculo das resultantes
Equações de equilíbrio estático
0Rd i c s di
sEN F F F AN= = − = ⇒=∑
Rd i Edi
xM M M= ≥ ⇒∑
M2 – 2. Flexão Simples: EQUILÍBRIO ESTÁTICO
Estruturas de Betão I
115/168 2011/2012
Fc
0.8x
fcd
Fs
0.8c cdF x f b= ⋅ ⋅
s yd sF f A= ⋅
Cálculo das resultantes
Equações de equilíbrio estático
0Rd i c s di
sEN F F F AN= = − = ⇒=∑
Rd i Edi
xM M M= ≥ ⇒∑
Seguidamente deve-se calcular a extensão na armadura, para garantir a ductilidade…
M2 – 2. Flexão Simples: EQUILÍBRIO ESTÁTICO
Estruturas de Betão I
116/168 2011/2012
Fc
0.8x
fcd
Fs
0.8c cdF x f b= ⋅ ⋅
s yd sF f A= ⋅
Cálculo das resultantes
Equações de equilíbrio estático
0Rd i c s di
sEN F F F AN= = − = ⇒=∑
Rd i Edi
xM M M= ≥ ⇒∑
… sendo necessário em alguns casos prever uma armadura de compressão.
M2 – 2. Flexão Simples: EQUILÍBRIO ESTÁTICO
Estruturas de Betão I
117/168 2011/2012
Rotura dúctil:
M2 – 2. Flexão Simples: EQUILÍBRIO ESTÁTICO
Estruturas de Betão I
118/168 2011/2012
Rotura frágil:
M2 – 2. Flexão Simples: EQUILÍBRIO ESTÁTICO
Estruturas de Betão I
119/168 2011/2012
Limite a assegurar:
M2 – 2. Flexão Simples: EQUILÍBRIO ESTÁTICO
Estruturas de Betão I
120/168 2011/2012
Exercício: Calcular a armadura necessária para uma secção rectangular de 0.25x0.50m sujeita a um momento flector de cálculo de 250kNm. O betão é da classe C30 e o aço S500.
M2 – 2. Flexão Simples: EQUILÍBRIO ESTÁTICO
Estruturas de Betão I
121/168 2011/2012
0.8 4000c cdF x f b x= ⋅ ⋅ =
Cálculo das resultantes
M2 – 2. Flexão Simples: EQUILÍBRIO ESTÁTICO
Estruturas de Betão I
122/168 2011/2012
0.8 4000c cdF x f b x= ⋅ ⋅ =
435000s yd s sF f A A= ⋅ = ⋅
Cálculo das resultantes
M2 – 2. Flexão Simples: EQUILÍBRIO ESTÁTICO
Estruturas de Betão I
123/168 2011/2012
0.8 4000c cdF x f b x= ⋅ ⋅ =
435000s yd s sF f A A= ⋅ = ⋅
Cálculo das resultantes
Equações de equilíbrio estático
( )4000 0.45 0.4 250 0.16Rd i Edi
M M M x x x m= ≥ ⇒ × − = ⇒ =∑
M2 – 2. Flexão Simples: EQUILÍBRIO ESTÁTICO
Estruturas de Betão I
124/168 2011/2012
0.8 4000c cdF x f b x= ⋅ ⋅ =
435000s yd s sF f A A= ⋅ = ⋅
Cálculo das resultantes
Equações de equilíbrio estático
20 14,7Rd i c s Ed si
N F F F N A cm= = − = = ⇒ =∑
( )4000 0.45 0.4 250 0.16Rd i Edi
M M M x x x m= ≥ ⇒ × − = ⇒ =∑
M2 – 2. Flexão Simples: EQUILÍBRIO ESTÁTICO
Estruturas de Betão I
125/168 2011/2012
M2 – 2. Flexão Simples: FÓRMULAS
Estruturas de Betão I
126/168 2011/2012
Assumindo o diagrama parábola rectângulo…
M2 – 2. Flexão Simples: FÓRMULAS
Estruturas de Betão I
127/168 2011/2012
… tem-se:
⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎣
⎡
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−−=
n
c
ccdc f
211
εε
σ 20 c cε ε⇐ ≤ ≤
cdc f=σ 2 2c c cuε ε ε⇐ ≤ ≤
Classes 12/15 a 50/60 55/67 60/75 70/85 80/95 90/105 fck(MPa) 12~50 55 60 70 80 90 fcd(MPa) 8,0~33,3 36,7 40,0 46,7 53,3 60,0 εc2(‰) 2,0 2,2 2,3 2,4 2,5 2,6 εcu2(‰) 3,5 3,1 2,9 2,7 2,6 2,6 n 2 1,75 1,6 1,45 1,4 1,4
M2 – 2. Flexão Simples: FÓRMULAS
Estruturas de Betão I
128/168 2011/2012
A partir da expressão do diagrama parábola-rectângulo do EC 2 podem deduzir-se as correspondentes expressões da resultante das tensões, Fc, soma das resultantes dos troços rectangular (Fc1) e parabólico (Fc2), e respectiva posição da sua linha de acção.
M2 – 2. Flexão Simples: FÓRMULAS
Estruturas de Betão I
129/168 2011/2012
Para secções rectangulares, de largura b, sujeitas a flexão plana, assumindo a posição do eixo neutro a uma distância x da fibra mais comprimida, tem-se:
xbfFcu
ccucdc ⋅⋅
−⋅=
2
221 ε
εε
xbnnfF
cu
ccdc ⋅⋅⋅
+⋅=
2
22 1 ε
ε
xbn
fFFFcu
ccdccc ⋅⋅⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛⋅
+−⋅=+=
2
221 1
11εε
M2 – 2. Flexão Simples: FÓRMULAS
Estruturas de Betão I
130/168 2011/2012
As extensões ao nível das linhas de acção das resultantes Fc1 e Fc2 são, respectivamente:
222
1cuc
Gεε
ε+
=
22 423
cG nn
εε++
=
M2 – 2. Flexão Simples: FÓRMULAS
Estruturas de Betão I
131/168 2011/2012
Sendo c a distância da linha de acção da resultante à fibra mais comprimida, vem:
21
222
211
cc
cuGc
cuGc
FF
xFxFcx
+
⋅⋅+⋅⋅
=−ε
εε
ε
M2 – 2. Flexão Simples: FÓRMULAS
Estruturas de Betão I
132/168 2011/2012
Consegue facilmente obter-se:
( )( )x
n
nnc
cu
c
cu
c
⎟⎟⎟⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜⎜⎜⎜
⎝
⎛
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
+−
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
++−
−=
2
2
2
2
2
111
211
21
1
εε
εε
M2 – 2. Flexão Simples: FÓRMULAS
Estruturas de Betão I
133/168 2011/2012
Vindo:
xbkfF cdc ⋅⋅⋅= 1
xkc ⋅= 2
Classes ≤ 50/60 55/67 60/75 70/85 80/95 90/105
k1 0,810 0,742 0,695 0,637 0,599 0,583
k2 0,416 0,392 0,377 0,362 0,355 0,353
M2 – 2. Flexão Simples: FÓRMULAS
Estruturas de Betão I
134/168 2011/2012
É habitual utilizar valores adimensionais da área da armadura longitudinal de flexão, As, e do momento resistente, MRd, de uma secção transversal de betão armado…
M2 – 2. Flexão Simples: FÓRMULAS
Estruturas de Betão I
135/168 2011/2012
… os quais se designam por, respectivamente, percentagem mecânica de armadura, ω, e momento resistente reduzido, µ, podendo ser determinados através das seguintes expressões:
cd
yds
bdffA
=ωcd
Rd
fbdM2=µ
M2 – 2. Flexão Simples: FÓRMULAS
Estruturas de Betão I
136/168 2011/2012
Em flexão simples plana, para secções simplesmente armadas, a resultante de tracção na armadura iguala a resultante de compressão no betão pelo que se tem:
1cd
cd
f k b xbdf
ω⋅ ⋅ ⋅
=
M2 – 2. Flexão Simples: FÓRMULAS
Estruturas de Betão I
137/168 2011/2012
Sendo ainda α a relação entre a posição do eixo neutro, x, e a altura útil da secção, d, tem-se:
1kω α= ⋅
M2 – 2. Flexão Simples: FÓRMULAS
Estruturas de Betão I
138/168 2011/2012
O momento resistente pode ser definido, neste caso, como o binário constituído pelas resultantes de tracção na armadura e de compressão no betão…
M2 – 2. Flexão Simples: FÓRMULAS
Estruturas de Betão I
139/168 2011/2012
… Substituindo o numerador de (13) pelo produto da resultante de compressão no betão, dada por (10), pelo braço do binário, dado pela diferença entre a altura útil da secção, d, e a distância da linha de acção da resultante de compressão no betão à fibra mais comprimida, c, dada por (11), tem-se:
( )ααµ ⋅−⋅⋅= 21 1 kk
M2 – 2. Flexão Simples: FÓRMULAS
Estruturas de Betão I
140/168 2011/2012
Uma das situações limite, consideradas em [1], é a fronteira entre rotura frágil e rotura dúctil, ou seja, consiste em admitir um diagrama de extensões na secção em que a fibra mais comprimida de betão apresenta a extensão última e a armadura de tracção assume a extensão de cedência, sendo:
ydcu
culim εε
εα
+=
2
2
M2 – 2. Flexão Simples: FÓRMULAS
Estruturas de Betão I
141/168 2011/2012
Introduzindo (16) em (14) e (15) obtêm-se as correspondentes expressões de cálculo dos valores limite da percentagem mecânica de armadura e de momento resistente reduzido, respectivamente:
ydcu
culim k
εεε
ω+
⋅=2
21
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
+⋅−⋅
+⋅=
ydcu
cu
ydcu
culim kk
εεε
εεε
µ2
22
2
21 1
M2 – 2. Flexão Simples: FÓRMULAS
Estruturas de Betão I
142/168 2011/2012
Classes ≤ 50/60 55/67 60/75 70/85 80/95 90/105
S400
αlim 0,668 0,641 0,625 0,608 0,599 0,599
ωlim 0,541 0,475 0,434 0,388 0,359 0,350
µlim 0,391 0,356 0,332 0,302 0,283 0,276
S500
αlim 0,617 0,588 0,572 0,554 0,545 0,545
ωlim 0,499 0,436 0,397 0,353 0,326 0,318
µlim 0,371 0,336 0,312 0,282 0,263 0,257
S600
αlim 0,573 0,543 0,526 0,509 0,499 0,499
ωlim 0,464 0,403 0,366 0,324 0,299 0,291
µlim 0,353 0,317 0,293 0,264 0,246 0,240
M2 – 2. Flexão Simples: FÓRMULAS
Estruturas de Betão I
143/168 2011/2012
Outra situação limite, igualmente considerada em [1], representa a fronteira a partir da qual é mais racional armar duplamente a secção. Para uma secção simplesmente armada, tem-se:
( )cdfAM ydsRd −⋅⋅=
M2 – 2. Flexão Simples: FÓRMULAS
Estruturas de Betão I
144/168 2011/2012
Derivando esta expressão em ordem a As, pode determinar-se o incremento de momento resistente com o aumento de armadura de tracção:
( )Rds yd
s s
dM d A f d cdA dA
⎡ ⎤= ⋅ ⋅ −⎣ ⎦
M2 – 2. Flexão Simples: FÓRMULAS
Estruturas de Betão I
145/168 2011/2012
Podendo obter-se:
[ ]xkdfbkf
fAkdf
dAdM
ydcd
ydsyd
s
Rd ⋅⋅−⋅=⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡
⋅⋅
⋅⋅⋅−⋅= 2
12 22
M2 – 2. Flexão Simples: FÓRMULAS
Estruturas de Betão I
146/168 2011/2012
Se o aumento de armadura for distribuído igualmente pelas faces traccionada e comprimida da secção, tem-se que:
( )adfAM yds
Rd −⋅⋅=2Δ
Δ
M2 – 2. Flexão Simples: FÓRMULAS
Estruturas de Betão I
147/168 2011/2012
sendo a a distância da fibra mais comprimida da secção ao centro de gravidade da armadura de compressão. A partir de (25) pode definir-se:
( )adfdAdM
yds
Rd −⋅⋅=21
M2 – 2. Flexão Simples: FÓRMULAS
Estruturas de Betão I
148/168 2011/2012
Para que seja mais racional armar duplamente a secção, terá de se verificar a seguinte inequação, obtida de (24) e (26):
[ ] ( )adfxkdf ydyd −⋅⋅<⋅⋅−⋅212 2
M2 – 2. Flexão Simples: FÓRMULAS
Estruturas de Betão I
149/168 2011/2012
De onde vem que:
⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛+
⋅=
da
klim 141
2α
⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛+
⋅=
da
kk
lim 14 2
1ω
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛+−⋅⎟
⎠
⎞⎜⎝
⎛+
⋅=
da
da
kk
lim 14111
4 2
1µ
M2 – 2. Flexão Simples: FÓRMULAS
Estruturas de Betão I
150/168 2011/2012
a/d Classes ≤ 50/60 55/67 60/75 70/85 80/95 90/105
0,05 αlim 0,631 0,670 0,696 0,725 0,740 0,744 ωlim 0,511 0,497 0,484 0,462 0,443 0,434 µlim 0,377 0,366 0,357 0,341 0,327 0,320
0,10 αlim 0,661 0,702 0,729 0,760 0,775 0,779 ωlim 0,535 0,521 0,507 0,484 0,465 0,455 µlim 0,388 0,377 0,367 0,351 0,337 0,330
0,15 αlim 0,691 0,734 0,762 0,794 0,810 0,815 ωlim 0,560 0,544 0,530 0,506 0,486 0,475 µlim 0,399 0,388 0,377 0,361 0,346 0,339
M2 – 2. Flexão Simples: FÓRMULAS
Estruturas de Betão I
151/168 2011/2012
Comparando os valores do Quadro 3 com os do Quadro 4, verifica-se que: (a) para betões de classe superior a C50/60, a condicionante é
sempre o limite entre rotura frágil e dúctil (Quadro 3); (b) para betões de classe inferior ou igual a C50/60 e aços S500
ou S600, a condicionante é a mesma (Quadro 3); (c) para betões de classe inferior a C50/60 e aço S400, a
condicionante ainda é a mesma (Quadro 3), para a/d=0,15, passando a ser a eficácia do posicionamento das armaduras (Quadro 4), para a/d=0,10 e a/d=0,05.
M2 – 2. Flexão Simples: FÓRMULAS
Estruturas de Betão I
152/168 2011/2012
É útil, em várias situações práticas, poder determinar-se de forma expedita, ainda que aproximada, a área de armadura de tracção e de compressão, sem ter que recorrer a cálculo automático ou a tabelas/ábacos. Por este motivo, são apresentadas em [1] “fórmulas simplificadas”.
M2 – 2. Flexão Simples: FÓRMULAS
Estruturas de Betão I
153/168 2011/2012
Sendo , a secção será simplesmente armada. Tem-se: limµµ ≤
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−⋅= ωωµ
1
21kk
Podendo obter-se a expressão de cálculo da percentagem mecânica de armadura:
⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎣
⎡
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛⋅⋅−−⋅=
21
1
2
2
1 4112
µωkk
kk
M2 – 2. Flexão Simples: FÓRMULAS
Estruturas de Betão I
154/168 2011/2012
Se , a secção será duplamente armada. Admitindo que o acréscimo de momento reduzido, , é conseguido através da colocação de uma armadura de compressão e de um acréscimo de igual valor de armadura de tracção, mantendo-se a posição do eixo neutro inalterada relativamente à situação limite considerada, vem:
limµµ >limµµ −
( ) ⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛−⋅ʹ′=−⋅⋅
⋅⋅
ʹ′=−
daadf
fdbA
ydcd
s 12lim ωµµ
M2 – 2. Flexão Simples: FÓRMULAS
Estruturas de Betão I
155/168 2011/2012
e:
da
−
−=ʹ′1
limµµω
ωωω ʹ′+= lim
M2 – 2. Flexão Simples: FÓRMULAS
Estruturas de Betão I
156/168 2011/2012
o projectista pode entender considerar, em lugar do valor dado por (16), o limite:
ydcu
culim m εε
εα
⋅+=
2
2
vindo:
ydcu
culim m
kεε
εω
⋅+⋅=
2
21
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
⋅+⋅−⋅
⋅+⋅=
ydcu
cu
ydcu
culim m
km
kεε
εεε
εµ
2
22
2
21 1
M2 – 2. Flexão Simples: FÓRMULAS
Estruturas de Betão I
157/168 2011/2012
Exercício: Calcular a armadura necessária para uma secção rectangular de 0.25x0.50m sujeita a um momento flector de cálculo de 250kNm. O betão é da classe C30 e o aço S500.
M2 – 2. Flexão Simples: FÓRMULAS
Estruturas de Betão I
158/168 2011/2012
1 2
1 2
2 1
1 1 4 0.2902k kk k
ω µ⎡ ⎤⎛ ⎞⎢ ⎥= ⋅ − − ⋅ ⋅ =⎜ ⎟⎢ ⎥⎝ ⎠⎣ ⎦
1 0.810k = 2 0.416k =
2 0.247Rd
cd
Mbd f
µ = =
215cds
yd
bdfA cmf
ω= =
M2 – 2. Flexão Simples: FÓRMULAS
Estruturas de Betão I
159/168 2011/2012
M2 – 2. Flexão Simples: TABELAS
Estruturas de Betão I
160/168 2011/2012
M2 – 2. Flexão Simples: TABELAS
Estruturas de Betão I
161/168 2011/2012
M2 – 2. Flexão Simples: TABELAS
Estruturas de Betão I
162/168 2011/2012
M2 – 2. Flexão Simples: TABELAS
Estruturas de Betão I
163/168 2011/2012
M2 – 2. Flexão Simples: TABELAS
Estruturas de Betão I
164/168 2011/2012
M2 – 2. Flexão Simples: TABELAS
Estruturas de Betão I
165/168 2011/2012
M2 – 2. Flexão Simples: TABELAS
Estruturas de Betão I
166/168 2011/2012
M2 – 2. Flexão Simples: TABELAS
Estruturas de Betão I
167/168 2011/2012
Exercício: Calcular a armadura necessária para uma secção rectangular de 0.25x0.50m sujeita a um momento flector de cálculo de 250kNm. O betão é da classe C30 e o aço S500.
M2 – 2. Flexão Simples: TABELAS
Estruturas de Betão I
168/168 2011/2012
2 0.247Rd
cd
Mbd f
µ = = 0.290ω→ = 215cds
yd
bdfA cmf
ω→ = =
M2 – 2. Flexão Simples: TABELAS
Estruturas de Betão I
0/84 2011/2012
Mestrado em Engenharia Civil 2011 / 2012
Eduardo S. Júlio
Estruturas de Betão I Cálculo de Secções em Flexão Simples
Estruturas de Betão I
1/84 2011/2012
Sumário
1. Dimensionamento por equilíbrio da secção 2. Dimensionamento com fórmulas 3. Dimensionamento com tabelas 4. Exercício
Estruturas de Betão I
2/84 2011/2012
Sumário
1. Dimensionamento por equilíbrio da secção 2. Dimensionamento com fórmulas 3. Dimensionamento com tabelas 4. Exercício
Estruturas de Betão I
3/84 2011/2012
1. Dimensionamento por equilíbrio da secção 1.1 Adoptando o diagrama rectangular 1.2 Adoptando o diagrama parábola-‐rectângulo
2. Dimensionamento com fórmulas 3. Dimensionamento com tabelas 4. Exercício
Sumário
Estruturas de Betão I
4/84 2011/2012
Exercício: Calcular a armadura necessária para uma secção rectangular de 0.30x0.60m sujeita a um momento flector de cálculo de 800kNm. O betão é da classe C30/37 e o aço da classe S500.
Dimensionamento por equilíbrio da secção
Estruturas de Betão I
5/84 2011/2012
εcu3=3.5 ‰
Fc
Fs εs
x 0.8x
d=0.53m
fcd
As
h=0.60m
b=0.30m
Dimensionamento por equilíbrio da secção
Estruturas de Betão I
6/84 2011/2012
Limite a assegurar:
Dimensionamento por equilíbrio da secção
Estruturas de Betão I
7/84 2011/2012
εcu3=3.5 ‰
Fc
Fs εy=2.17 ‰
d=0.53m
fcd
As
h=0.60m
b=0.30m
x=0.33m 0.8x=0.26m
3.5 2.17 0.330.53
x mx x= ⇒ =
−
Dimensionamento por equilíbrio da secção
Estruturas de Betão I
8/84 2011/2012
30.8 0.8 0.33 20 10 0.3 1584c cdF x f b kN= ⋅ ⋅ = × × × × =
Cálculo das resultantes
Dimensionamento por equilíbrio da secção
Estruturas de Betão I
9/84 2011/2012
30.8 0.8 0.33 20 10 0.3 1584c cdF x f b kN= ⋅ ⋅ = × × × × =3435 10s yd s sF f A A= ⋅ = × ⋅
Cálculo das resultantes
Dimensionamento por equilíbrio da secção
Estruturas de Betão I
10/84 2011/2012
30.8 0.8 0.33 20 10 0.3 1584c cdF x f b kN= ⋅ ⋅ = × × × × =3435 10s yd s sF f A A= ⋅ = × ⋅
Cálculo das resultantes
Equações de equilíbrio estático
0 1584Rd i c s Ed s ci
N F F F N F F kN= = − = = ⇒ = =∑
Dimensionamento por equilíbrio da secção
Estruturas de Betão I
11/84 2011/2012
30.8 0.8 0.33 20 10 0.3 1584c cdF x f b kN= ⋅ ⋅ = × × × × =3435 10s yd s sF f A A= ⋅ = × ⋅
Cálculo das resultantes
Equações de equilíbrio estático
( )1584 0.53 0.4 0.33 630 800Rd EdM kNm kNm M= × − × = < =
0 1584Rd i c s Ed s ci
N F F F N F F kN= = − = = ⇒ = =∑
Dimensionamento por equilíbrio da secção
Estruturas de Betão I
12/84 2011/2012
30.8 0.8 0.33 20 10 0.3 1584c cdF x f b kN= ⋅ ⋅ = × × × × =3435 10s yd s sF f A A= ⋅ = × ⋅
Cálculo das resultantes
Equações de equilíbrio estático
( )1584 0.53 0.4 0.33 630 800Rd EdM kNm kNm M= × − × = < =
A secção tem de ser duplamente armada !
0 1584Rd i c s Ed s ci
N F F F N F F kN= = − = = ⇒ = =∑
Dimensionamento por equilíbrio da secção
Estruturas de Betão I
13/84 2011/2012
εcu3=3.5 ‰
Fc
Fs εy=2.17 ‰
d=0.53m
fcd
As
h=0.60m
b=0.30m
x=0.33m 0.8x=0.26m
F’s A’s
εs’=2.76 ‰
33.5 2.76 100.33 0.33 0.07
ss
εε −ʹ′ʹ′= ⇒ = ×
−
Dimensionamento por equilíbrio da secção
Estruturas de Betão I
14/84 2011/2012
Fc
Fs
fcd F’s 1584cF kN=
Cálculo das resultantes
Dimensionamento por equilíbrio da secção
Estruturas de Betão I
15/84 2011/2012
Fc
Fs
fcd F’s 1584cF kN=3435 10s yd s sF f A A= ⋅ = × ⋅
Cálculo das resultantes
Dimensionamento por equilíbrio da secção
Estruturas de Betão I
16/84 2011/2012
Fc
Fs
fcd F’s 1584cF kN=3435 10s yd s sF f A A= ⋅ = × ⋅
Cálculo das resultantes
3435 10s yd s sF f A Aʹ′ ʹ′ ʹ′= ⋅ = × ⋅
Dimensionamento por equilíbrio da secção
Estruturas de Betão I
17/84 2011/2012
Fc
Fs
fcd
0.53-0.07=0.46m
F’s 1584cF kN=3435 10s yd s sF f A A= ⋅ = × ⋅
Cálculo das resultantes
3435 10s yd s sF f A Aʹ′ ʹ′ ʹ′= ⋅ = × ⋅
31584 0.40 435 10 0.46Rd sM Aʹ′= × + × ⋅ ×
630.4 200100Rd sM Aʹ′⇒ = +
0.53-0.4×0.33=0.40m
Dimensionamento por equilíbrio da secção
Estruturas de Betão I
18/84 2011/2012
Fc
Fs
fcd F’s Equações de equilíbrio estático
630.4 200100 800Rd s EdM A kNm Mʹ′= + ≥ =
Dimensionamento por equilíbrio da secção
Estruturas de Betão I
19/84 2011/2012
Fc
Fs
fcd F’s Equações de equilíbrio estático
630.4 200100 800Rd s EdM A kNm Mʹ′= + ≥ =
28.5sA cmʹ′⇒ ≥
Dimensionamento por equilíbrio da secção
Estruturas de Betão I
20/84 2011/2012
Fc
Fs
fcd F’s Equações de equilíbrio estático
630.4 200100 800Rd s EdM A kNm Mʹ′= + ≥ =
28.5sA cmʹ′⇒ ≥
c s sF F Fʹ′+ =
Dimensionamento por equilíbrio da secção
Estruturas de Betão I
21/84 2011/2012
Fc
Fs
fcd F’s Equações de equilíbrio estático
630.4 200100 800Rd s EdM A kNm Mʹ′= + ≥ =
28.5sA cmʹ′⇒ ≥
c s sF F Fʹ′+ =3 4 31584 435 10 8.5 10 435 10 sA
−⇒ + × × × = × ⋅
Dimensionamento por equilíbrio da secção
Estruturas de Betão I
22/84 2011/2012
Fc
Fs
fcd F’s Equações de equilíbrio estático
630.4 200100 800Rd s EdM A kNm Mʹ′= + ≥ =
28.5sA cmʹ′⇒ ≥
c s sF F Fʹ′+ =
244.9sA cm⇒ =
3 4 31584 435 10 8.5 10 435 10 sA−⇒ + × × × = × ⋅
Dimensionamento por equilíbrio da secção
Estruturas de Betão I
23/84 2011/2012
Fc
Fs
fcd F’s Equações de equilíbrio estático
630.4 200100 800Rd s EdM A kNm Mʹ′= + ≥ =
28.5sA cmʹ′⇒ ≥
c s sF F Fʹ′+ =
244.9 8.5 53.4s sA A cmʹ′+ = + =
244.9sA cm⇒ =
3 4 31584 435 10 8.5 10 435 10 sA−⇒ + × × × = × ⋅
Dimensionamento por equilíbrio da secção
Estruturas de Betão I
24/84 2011/2012
1. Dimensionamento por equilíbrio da secção 1.1 Adoptando o diagrama rectangular 1.2 Adoptando o diagrama parábola-‐rectângulo
2. Dimensionamento com fórmulas 3. Dimensionamento com tabelas 4. Exercício
Sumário
Estruturas de Betão I
25/84 2011/2012
εcu3=3.5 ‰
Fc
Fs εy=2.17 ‰
d=0.53m
fcd
As
h=0.60m
b=0.30m
x=0.33m
F’s A’s
εs’=2.76 ‰
Dimensionamento por equilíbrio da secção
Estruturas de Betão I
26/84 2011/2012
31 20 10 0.81 0.30 0.33 1604c cdF f k b x kN= ⋅ ⋅ ⋅ = × × × × =
2 0.416 0.33 0.14c k x m= ⋅ = × =
Classes ≤ 50/60 55/67 60/75 70/85 80/95 90/105
k1 0,810 0,742 0,695 0,637 0,599 0,583
k2 0,416 0,392 0,377 0,362 0,355 0,353
Dimensionamento por equilíbrio da secção
Estruturas de Betão I
27/84 2011/2012
Fs
fcd
0.53-0.07=0.46m
F’s 1604cF kN=
Cálculo das resultantes
0.53-0.14=0.39m Fc
Dimensionamento por equilíbrio da secção
Estruturas de Betão I
28/84 2011/2012
Fs
fcd
0.53-0.07=0.46m
F’s 1604cF kN=3435 10s yd s sF f A A= ⋅ = × ⋅
Cálculo das resultantes
0.53-0.14=0.39m Fc
Dimensionamento por equilíbrio da secção
Estruturas de Betão I
29/84 2011/2012
Fs
fcd
0.53-0.07=0.46m
F’s 1604cF kN=3435 10s yd s sF f A A= ⋅ = × ⋅
Cálculo das resultantes
3435 10s yd s sF f A Aʹ′ ʹ′ ʹ′= ⋅ = × ⋅
0.53-0.14=0.39m Fc
Dimensionamento por equilíbrio da secção
Estruturas de Betão I
30/84 2011/2012
Fs
fcd
0.53-0.07=0.46m
F’s 1604cF kN=3435 10s yd s sF f A A= ⋅ = × ⋅
Cálculo das resultantes
3435 10s yd s sF f A Aʹ′ ʹ′ ʹ′= ⋅ = × ⋅
31604 0.39 435 10 0.46Rd sM Aʹ′= × + × ⋅ ×
0.53-0.14=0.39m Fc
Dimensionamento por equilíbrio da secção
Estruturas de Betão I
31/84 2011/2012
Fs
fcd
0.53-0.07=0.46m
F’s 1604cF kN=3435 10s yd s sF f A A= ⋅ = × ⋅
Cálculo das resultantes
3435 10s yd s sF f A Aʹ′ ʹ′ ʹ′= ⋅ = × ⋅
31604 0.39 435 10 0.46Rd sM Aʹ′= × + × ⋅ ×
626 200100Rd sM Aʹ′⇒ = +0.53-0.14=0.39m Fc
Dimensionamento por equilíbrio da secção
Estruturas de Betão I
32/84 2011/2012
Fs
fcd F’s Equações de equilíbrio estático
626 200100 800Rd s EdM A kNm Mʹ′= + ≥ =
Fc
Dimensionamento por equilíbrio da secção
Estruturas de Betão I
33/84 2011/2012
Fs
fcd F’s Equações de equilíbrio estático
626 200100 800Rd s EdM A kNm Mʹ′= + ≥ =
28.7sA cmʹ′⇒ ≥Fc
Dimensionamento por equilíbrio da secção
Estruturas de Betão I
34/84 2011/2012
Fs
fcd F’s Equações de equilíbrio estático
626 200100 800Rd s EdM A kNm Mʹ′= + ≥ =
28.7sA cmʹ′⇒ ≥
c s sF F Fʹ′+ =
Fc
Dimensionamento por equilíbrio da secção
Estruturas de Betão I
35/84 2011/2012
Fs
fcd F’s Equações de equilíbrio estático
626 200100 800Rd s EdM A kNm Mʹ′= + ≥ =
28.7sA cmʹ′⇒ ≥
c s sF F Fʹ′+ =3 4 31604 435 10 8.7 10 435 10 sA
−⇒ + × × × = × ⋅
Fc
Dimensionamento por equilíbrio da secção
Estruturas de Betão I
36/84 2011/2012
Fs
fcd F’s Equações de equilíbrio estático
626 200100 800Rd s EdM A kNm Mʹ′= + ≥ =
28.7sA cmʹ′⇒ ≥
c s sF F Fʹ′+ =
245.6sA cm⇒ =
Fc
3 4 31604 435 10 8.7 10 435 10 sA−⇒ + × × × = × ⋅
Dimensionamento por equilíbrio da secção
Estruturas de Betão I
37/84 2011/2012
Fs
fcd F’s Equações de equilíbrio estático
626 200100 800Rd s EdM A kNm Mʹ′= + ≥ =
28.7sA cmʹ′⇒ ≥
c s sF F Fʹ′+ =
Fc
245.6 8.7 54.3s sA A cmʹ′+ = + =
245.6sA cm⇒ =
3 4 31604 435 10 8.7 10 435 10 sA−⇒ + × × × = × ⋅
Dimensionamento por equilíbrio da secção
Estruturas de Betão I
38/84 2011/2012
1. Dimensionamento por equilíbrio da secção 2. Dimensionamento com fórmulas 3. Dimensionamento com tabelas 4. Exercício
Sumário
Estruturas de Betão I
39/84 2011/2012
1. Dimensionamento por equilíbrio da secção 2. Dimensionamento com fórmulas 2.1 Adoptando εs=εy 2.2 Adoptando εs=2εy
3. Dimensionamento com tabelas 4. Exercício
Sumário
Estruturas de Betão I
40/84 2011/2012
2 2 3
800 0.4750.30 0.53 20 10
Rd
cd
Mbd f
µ = = =× × ×
Dimensionamento com fórmulas
Estruturas de Betão I
41/84 2011/2012
Classes ≤ 50/60 55/67 60/75 70/85 80/95 90/105
S400
αlim 0,668 0,641 0,625 0,608 0,599 0,599
ωlim 0,541 0,475 0,434 0,388 0,359 0,350
µlim 0,391 0,356 0,332 0,302 0,283 0,276
S500
αlim 0,617 0,588 0,572 0,554 0,545 0,545
ωlim 0,499 0,436 0,397 0,353 0,326 0,318
µlim 0,371 0,336 0,312 0,282 0,263 0,257
S600
αlim 0,573 0,543 0,526 0,509 0,499 0,499
ωlim 0,464 0,403 0,366 0,324 0,299 0,291
µlim 0,353 0,317 0,293 0,264 0,246 0,240
Limite para garantir rotura dúctil
Dimensionamento com fórmulas
Estruturas de Betão I
42/84 2011/2012
a/d Classes ≤ 50/60 55/67 60/75 70/85 80/95 90/105
0,05 αlim 0,631 0,670 0,696 0,725 0,740 0,744 ωlim 0,511 0,497 0,484 0,462 0,443 0,434 µlim 0,377 0,366 0,357 0,341 0,327 0,320
0,10 αlim 0,661 0,702 0,729 0,760 0,775 0,779 ωlim 0,535 0,521 0,507 0,484 0,465 0,455 µlim 0,388 0,377 0,367 0,351 0,337 0,330
0,15 αlim 0,691 0,734 0,762 0,794 0,810 0,815 ωlim 0,560 0,544 0,530 0,506 0,486 0,475 µlim 0,399 0,388 0,377 0,361 0,346 0,339
Limite para garantir economia
lim0.13 0.395ad
µ= → =
Dimensionamento com fórmulas
Estruturas de Betão I
43/84 2011/2012
0.475 0.371µ = >
Logo, a secção deve ser armada duplamente!
Dimensionamento com fórmulas
Estruturas de Betão I
44/84 2011/2012
lim 0.475 0.371 0.1201 0.131 a
d
µ µω
− −ʹ′ = = =
−−
Dimensionamento com fórmulas
Estruturas de Betão I
45/84 2011/2012
lim 0.475 0.371 0.1201 0.131 a
d
µ µω
− −ʹ′ = = =
−−
20.120 0.30 0.53 20 8.8435
cds
yd
bdfA cmf
ωʹ′ × × ×ʹ′ = = =
Dimensionamento com fórmulas
Estruturas de Betão I
46/84 2011/2012
limω ω ωʹ′= +
Dimensionamento com fórmulas
Estruturas de Betão I
47/84 2011/2012
Classes ≤ 50/60 55/67 60/75 70/85 80/95 90/105
S400
αlim 0,668 0,641 0,625 0,608 0,599 0,599
ωlim 0,541 0,475 0,434 0,388 0,359 0,350
µlim 0,391 0,356 0,332 0,302 0,283 0,276
S500
αlim 0,617 0,588 0,572 0,554 0,545 0,545
ωlim 0,499 0,436 0,397 0,353 0,326 0,318
µlim 0,371 0,336 0,312 0,282 0,263 0,257
S600
αlim 0,573 0,543 0,526 0,509 0,499 0,499
ωlim 0,464 0,403 0,366 0,324 0,299 0,291
µlim 0,353 0,317 0,293 0,264 0,246 0,240
Dimensionamento com fórmulas
Estruturas de Betão I
48/84 2011/2012
lim 0.499 0.120 0.619ω ω ωʹ′= + = + =
Dimensionamento com fórmulas
Estruturas de Betão I
49/84 2011/2012
lim 0.499 0.120 0.619ω ω ωʹ′= + = + =
20.619 0.30 0.53 20 45.3435
cds
yd
bdfA cmf
ω × × ×= = =
Dimensionamento com fórmulas
Estruturas de Betão I
50/84 2011/2012
lim 0.499 0.120 0.619ω ω ωʹ′= + = + =
20.619 0.30 0.53 20 45.3435
cds
yd
bdfA cmf
ω × × ×= = =
245.3 8.8 54.1s sA A cmʹ′+ = + =
Dimensionamento com fórmulas
Estruturas de Betão I
51/84 2011/2012
1. Dimensionamento por equilíbrio da secção 2. Dimensionamento com fórmulas 2.1 Adoptando εs=εy 2.2 Adoptando εs=2εy
3. Dimensionamento com tabelas 4. Exercício
Sumário
Estruturas de Betão I
52/84 2011/2012
2lim 1
2
3.50.81 0.3623.5 2 2.17
cu
cu yd
km
εω
ε ε= ⋅ = × =
+ ⋅ + ×
Dimensionamento com fórmulas
Estruturas de Betão I
53/84 2011/2012
2lim 1
2
3.50.81 0.3623.5 2 2.17
cu
cu yd
km
εω
ε ε= ⋅ = × =
+ ⋅ + ×
2 2lim 1 2
2 2
1cu cu
cu yd cu yd
k km m
ε εµ
ε ε ε ε
⎛ ⎞= ⋅ ⋅ − ⋅⎜ ⎟⎜ ⎟+ ⋅ + ⋅⎝ ⎠
Dimensionamento com fórmulas
Estruturas de Betão I
54/84 2011/2012
2lim 1
2
3.50.81 0.3623.5 2 2.17
cu
cu yd
km
εω
ε ε= ⋅ = × =
+ ⋅ + ×
lim3.50.362 1 0.416 0.295
3.5 2 2.17µ ⎛ ⎞⇒ = × − × =⎜ ⎟+ ×⎝ ⎠
2 2lim 1 2
2 2
1cu cu
cu yd cu yd
k km m
ε εµ
ε ε ε ε
⎛ ⎞= ⋅ ⋅ − ⋅⎜ ⎟⎜ ⎟+ ⋅ + ⋅⎝ ⎠
Dimensionamento com fórmulas
Estruturas de Betão I
55/84 2011/2012
lim 0.475 0.295 0.2071 0.131 a
d
µ µω
− −ʹ′ = = =
−−
Dimensionamento com fórmulas
Estruturas de Betão I
56/84 2011/2012
lim 0.475 0.295 0.2071 0.131 a
d
µ µω
− −ʹ′ = = =
−−
20.207 0.30 0.53 20 15.1435
cds
yd
bdfA cmf
ωʹ′ × × ×ʹ′ = = =
Dimensionamento com fórmulas
Estruturas de Betão I
57/84 2011/2012
lim 0.362 0.207 0.569ω ω ωʹ′= + = + =
Dimensionamento com fórmulas
Estruturas de Betão I
58/84 2011/2012
lim 0.362 0.207 0.569ω ω ωʹ′= + = + =
20.569 0.30 0.53 20 41.6435
cds
yd
bdfA cmf
ω × × ×= = =
Dimensionamento com fórmulas
Estruturas de Betão I
59/84 2011/2012
lim 0.362 0.207 0.569ω ω ωʹ′= + = + =
20.569 0.30 0.53 20 41.6435
cds
yd
bdfA cmf
ω × × ×= = =
241.6 15.1 56.7s sA A cmʹ′+ = + =
Dimensionamento com fórmulas
Estruturas de Betão I
60/84 2011/2012
1. Dimensionamento por equilíbrio da secção 2. Dimensionamento com fórmulas 3. Dimensionamento com tabelas 4. Exercício
Sumário
Estruturas de Betão I
61/84 2011/2012
0.475µ =
Dimensionamento com tabelas
Estruturas de Betão I
62/84 2011/2012
0,475
Para A´/A=0,0 não há solução!
Dimensionamento com tabelas
Estruturas de Betão I
63/84 2011/2012
0,475
A secção tem de ser duplamente armada !
Dimensionamento com tabelas
Estruturas de Betão I
64/84 2011/2012
0,475
Para A´/A=0,2 => ω=0.609 (x1.2=0.731)
Dimensionamento com tabelas
Estruturas de Betão I
65/84 2011/2012
0,475
Para A´/A=0,3 => ω=0.575 (x1.3=0.748>0.731!)
Dimensionamento com tabelas
Estruturas de Betão I
66/84 2011/2012
Adopta-se A´/A=0,2
Dimensionamento com tabelas
Estruturas de Betão I
67/84 2011/2012
20.609 0.30 0.53 20 44.5435
cds
yd
bdfA cmf
ω × × ×= = =
Adopta-se A´/A=0,2
Dimensionamento com tabelas
Estruturas de Betão I
68/84 2011/2012
20.609 0.30 0.53 20 44.5435
cds
yd
bdfA cmf
ω × × ×= = =
20.2 44.5 8.9sA cmʹ′ = × =
Adopta-se A´/A=0,2
Dimensionamento com tabelas
Estruturas de Betão I
69/84 2011/2012
20.609 0.30 0.53 20 44.5435
cds
yd
bdfA cmf
ω × × ×= = =
20.2 44.5 8.9sA cmʹ′ = × =
Adopta-se A´/A=0,2
244.5 8.9 53.4s sA A cmʹ′+ = + =
Dimensionamento com tabelas
Estruturas de Betão I
70/84 2011/2012
1. Dimensionamento por equilíbrio da secção 2. Dimensionamento com fórmulas 3. Dimensionamento com tabelas 4. Exercício
Sumário
Estruturas de Betão I
71/84 2011/2012
Exercício: Resolva o exercício anterior para betão da classe C40/50 e MEd=1000kNm.
Exercício
Estruturas de Betão I
72/84 2011/2012
εcu3=3.5 ‰
Fc
Fs εy=2.17 ‰
d=0.53m
fcd
As
h=0.60m
b=0.30m
x=0.33m
F’s A’s
εs’=2.76 ‰
Exercício
Estruturas de Betão I
73/84 2011/2012
31 26.7 10 0.81 0.30 0.33 2141c cdF f k b x kN= ⋅ ⋅ ⋅ = × × × × =
2 0.416 0.33 0.14c k x m= ⋅ = × =
Classes ≤ 50/60 55/67 60/75 70/85 80/95 90/105
k1 0,810 0,742 0,695 0,637 0,599 0,583
k2 0,416 0,392 0,377 0,362 0,355 0,353
Exercício
Estruturas de Betão I
74/84 2011/2012
Fs
fcd
0.53-0.07=0.46m
F’s 2141cF kN=
Cálculo das resultantes
0.53-0.14=0.39m Fc
Exercício
Estruturas de Betão I
75/84 2011/2012
Fs
fcd
0.53-0.07=0.46m
F’s 3435 10s yd s sF f A A= ⋅ = × ⋅
Cálculo das resultantes
0.53-0.14=0.39m Fc
2141cF kN=
Exercício
Estruturas de Betão I
76/84 2011/2012
Fs
fcd
0.53-0.07=0.46m
F’s 3435 10s yd s sF f A A= ⋅ = × ⋅
Cálculo das resultantes
3435 10s yd s sF f A Aʹ′ ʹ′ ʹ′= ⋅ = × ⋅
0.53-0.14=0.39m Fc
2141cF kN=
Exercício
Estruturas de Betão I
77/84 2011/2012
Fs
fcd
0.53-0.07=0.46m
F’s 3435 10s yd s sF f A A= ⋅ = × ⋅
Cálculo das resultantes
3435 10s yd s sF f A Aʹ′ ʹ′ ʹ′= ⋅ = × ⋅
32141 0.39 435 10 0.46Rd sM Aʹ′= × + × ⋅ ×
0.53-0.14=0.39m Fc
2141cF kN=
Exercício
Estruturas de Betão I
78/84 2011/2012
Fs
fcd
0.53-0.07=0.46m
F’s 3435 10s yd s sF f A A= ⋅ = × ⋅
Cálculo das resultantes
3435 10s yd s sF f A Aʹ′ ʹ′ ʹ′= ⋅ = × ⋅
32141 0.39 435 10 0.46Rd sM Aʹ′= × + × ⋅ ×
835 200100Rd sM Aʹ′⇒ = +0.53-0.14=0.39m Fc
2141cF kN=
Exercício
Estruturas de Betão I
79/84 2011/2012
Fs
fcd F’s Equações de equilíbrio estático
835 200100 1000Rd s EdM A kNm Mʹ′= + ≥ =
Fc
Exercício
Estruturas de Betão I
80/84 2011/2012
Fs
fcd F’s Equações de equilíbrio estático
28.2sA cmʹ′⇒ ≥Fc
835 200100 1000Rd s EdM A kNm Mʹ′= + ≥ =
Exercício
Estruturas de Betão I
81/84 2011/2012
Fs
fcd F’s Equações de equilíbrio estático
c s sF F Fʹ′+ =
Fc 28.2sA cmʹ′⇒ ≥
835 200100 1000Rd s EdM A kNm Mʹ′= + ≥ =
Exercício
Estruturas de Betão I
82/84 2011/2012
Fs
fcd F’s Equações de equilíbrio estático
c s sF F Fʹ′+ =3 4 32141 435 10 8.2 10 435 10 sA
−⇒ + × × × = × ⋅
Fc 28.2sA cmʹ′⇒ ≥
835 200100 1000Rd s EdM A kNm Mʹ′= + ≥ =
Exercício
Estruturas de Betão I
83/84 2011/2012
Fs
fcd F’s Equações de equilíbrio estático
c s sF F Fʹ′+ =
257.4sA cm⇒ =
Fc
3 4 32141 435 10 8.2 10 435 10 sA−⇒ + × × × = × ⋅
28.2sA cmʹ′⇒ ≥
835 200100 1000Rd s EdM A kNm Mʹ′= + ≥ =
Exercício
Estruturas de Betão I
84/84 2011/2012
Fs
fcd F’s Equações de equilíbrio estático
c s sF F Fʹ′+ =
257.4sA cm⇒ =
Fc
3 4 32141 435 10 8.2 10 435 10 sA−⇒ + × × × = × ⋅
28.2sA cmʹ′⇒ ≥
835 200100 1000Rd s EdM A kNm Mʹ′= + ≥ =
257.4 8.2 65.6s sA A cmʹ′+ = + =
Exercício