Mestrado Integrado em Engenharia Mecânica Aerodinâmica
1º Semestre 2012/13 Exame de 1ª época, 18 de Janeiro de 2013 Nome : Hora : 8:00 Número: Duração : 3 horas 1ª Parte : Sem consulta 2ª Parte : Consulta limitada a livros de texto e folhas da disciplina
1ª Parte
Em cada alínea, assinale com verdadeiro (V) ou falso (F) cada um dos quadrados, sabendo que podem existir todas as combinações possíveis de verdadeiro e falso. A cotação das respostas é a seguinte: Quadrado correctamente preenchido 0,25 valores. Quadrado em branco 0 valores. Quadrado incorrectamente preenchido -0,15 valores.
1. As equações de Navier-Stokes escritas em média de Reynolds
F permitem calcular a velocidade instantânea do escoamento.
V necessitam de um modelo de turbulência para terem o número de equações igual ao número de incógnitas.
F são apropriadas para o cálculo de escoamentos a baixos números de Reynolds.
F não se podem aplicar em escoamentos com separação.
2. O centro aerodinâmico de um perfil sustentador
F nunca pode coincidir com o centro de pressão.
V só existe se a variação do coeficiente de sustentação com o ângulo de ataque for linear.
F só se pode calcular em fluido perfeito.
F é o ponto em relação ao qual o valor absoluto do momento é máximo.
3. A figura em baixo representa as curvas de estabilidade neutra de perfis de velocidade de camadas limite em regime
V A região C é típica de escoamentos em gradiente de pressão adverso.
V A variável representada no eixo das ordenadas está relacionada com a frequência das perturbações aplicadas ao perfil de velocidade.
F Ri corresponde ao número de Reynolds de transição.
V A região D corresponde à região instável do perfil de velocidade A.
4. A figura em baixo representa o coeficiente de sustentação e de resistência de um perfil
simples e com quatro tipos de hiperfunção do ângulo de ataque
V Os flaps simples e split têm
F As linhas D e 5 correspondem correspondem ao flap split.
F Dos quatro hiper-sustentadores, três têm controle de camada limite.
V O perfil simples corresponde às linhas E e 1.
A figura em baixo representa as curvas de estabilidade neutra de perfis de velocidade de em regime laminar
A região C é típica de escoamentos em gradiente de pressão adverso.
A variável representada no eixo das ordenadas está relacionada com a frequência das perturbações aplicadas ao perfil de velocidade.
corresponde ao número de Reynolds de transição.
A região D corresponde à região instável do perfil de velocidade A.
A figura em baixo representa o coeficiente de sustentação e de resistência de um perfil simples e com quatro tipos de hiper-sustentadores (simples, split, fenda e Fowler) em função do ângulo de ataque α.
Os flaps simples e split têm deflecções semelhantes. As linhas D e 5 correspondem correspondem ao flap split.
sustentadores, três têm controle de camada limite.
O perfil simples corresponde às linhas E e 1.
A figura em baixo representa as curvas de estabilidade neutra de perfis de velocidade de
A variável representada no eixo das ordenadas está relacionada com a frequência das
A figura em baixo representa o coeficiente de sustentação e de resistência de um perfil sustentadores (simples, split, fenda e Fowler) em
5. A figura em baixo apresenta a distribuição de intradorso de um perfil de Joukowski a três ângulos de ataque (incluindo o ângulo de ataque nulo) para os quais o coeficiente de sustentação é maior ou igual do que zero.
V O coeficiente de momento de picada em torno do centro do perfil para o ângulo de ataque correspondente às linhas C é positivo
F A área entre as duas linhas (extradorso e intradorso) representadas no gráfico é exactamente igual ao coeficiente de sustentação para os três ân
F O extradorso corresponde às linhas a cheio
V O perfil tem curvatura positiva, mas não tem espessura.
6. A figura em baixo apresenta a tensão de corte total (
camada limite turbulenta na vizinhança de uma
distância à parede, ν a viscosidade cinemática e
V O gráfico corresponde a uma situação de
F uvB ρ−= .
V 2τρuA = .
V ν
ξ τ yu= .
A figura em baixo apresenta a distribuição de pressão (em fluido perfeito) no extradorso e intradorso de um perfil de Joukowski a três ângulos de ataque (incluindo o ângulo de ataque nulo) para os quais o coeficiente de sustentação é maior ou igual do que zero.
mento de picada em torno do centro do perfil para o ângulo de
ataque correspondente às linhas C é positivo. A área entre as duas linhas (extradorso e intradorso) representadas no gráfico é exactamente igual ao coeficiente de sustentação para os três ângulos de ataque.
O extradorso corresponde às linhas a cheio.
O perfil tem curvatura positiva, mas não tem espessura.
A figura em baixo apresenta a tensão de corte total ( yutotal µτ ∂∂=
camada limite turbulenta na vizinhança de uma parede ( τu é a velocidade de fricção
a viscosidade cinemática e ρ a massa específica do fluido
O gráfico corresponde a uma situação de gradiente de pressão nulo.
pressão (em fluido perfeito) no extradorso e intradorso de um perfil de Joukowski a três ângulos de ataque (incluindo o ângulo de ataque nulo) para os quais o coeficiente de sustentação é maior ou igual do que zero.
mento de picada em torno do centro do perfil para o ângulo de
A área entre as duas linhas (extradorso e intradorso) representadas no gráfico é gulos de ataque.
uvy ρ− ) de uma
é a velocidade de fricção, y a
ífica do fluido).
7. A figura em baixo apresenta o coeficiente de resistência
sustentação lC de dois perfis sustentadores a três números de Reynolds entre 10
para um dos números de Reynolds com rugosidade na superfície dos perfis.
F O aumento de dC com a aplicação de rugosidade deve
de atrito.
F Se a gama de número de Reynolds aumentasse para 10obtidas para os dois perfis não se alteraria significativamente.
F Nenhum dos perfis tem uma sucção.
V O número de Reynolds mais baixo para os perfis sem rugosidade corresponde às linhas A.
8. A figura em baixo representa a variação do coeficiente de resistência Strouhal S de um cilindro circular um função de número de Reynolds, Re.
V Para 410Re = , a frequência de libertação de vórtices de um cilindro com 20cm de diâmetro imerso num escoamento de velocidade igual a 10m/s é
V Para números de Reynolds mais elevados do que os representados no gráfico, as linhas A B voltam a ser horizontais.
V Para números de Reynolds inferiores a 50 não há libertação de vórtices.
F A linha A corresponde ao coeficiente de resistência.
A figura em baixo apresenta o coeficiente de resistência dC em função do coeficiente de
de dois perfis sustentadores a três números de Reynolds entre 10
para um dos números de Reynolds com rugosidade na superfície dos perfis.
com a aplicação de rugosidade deve-se exclusivamente à resistência
Se a gama de número de Reynolds aumentasse para 108 a 109, a forma das curvas obtidas para os dois perfis não se alteraria significativamente. Nenhum dos perfis tem uma gama de ângulos de ataque para a qual não existe pico de
O número de Reynolds mais baixo para os perfis sem rugosidade corresponde às linhas
A figura em baixo representa a variação do coeficiente de resistência DC
de um cilindro circular um função de número de Reynolds, Re.
, a frequência de libertação de vórtices de um cilindro com 20cm de diâmetro imerso num escoamento de velocidade igual a 10m/s é 10≅f Hz.Para números de Reynolds mais elevados do que os representados no gráfico, as linhas A
ser horizontais. Para números de Reynolds inferiores a 50 não há libertação de vórtices.
A linha A corresponde ao coeficiente de resistência.
em função do coeficiente de
de dois perfis sustentadores a três números de Reynolds entre 106 e 107 e
para um dos números de Reynolds com rugosidade na superfície dos perfis.
se exclusivamente à resistência
, a forma das curvas
gama de ângulos de ataque para a qual não existe pico de
O número de Reynolds mais baixo para os perfis sem rugosidade corresponde às linhas
D e do número de de um cilindro circular um função de número de Reynolds, Re.
, a frequência de libertação de vórtices de um cilindro com 20cm de Hz.
Para números de Reynolds mais elevados do que os representados no gráfico, as linhas A
Mestrado Inte
Exame de 1ª época, 18 de Hora : 8:00 Duração : 3 horas 1ª Parte : Sem consulta 2ª Parte : Consulta limitada a livros de texto e folhas da
1. A figura em cima apresenta as características aerodinâmicas de um Para ângulo de ataque nulo, admita que o coeficiente de resistência de atrito do perfil se pode obter a partir de uma placa plana em gradiente de pressão nulo (com camadas limite idênticas dos dois lados da plconcentrada num ponto (Reynolds crítico igual a Reynolds de transição).
×= − /s,m1051,1 25ar ρν
Para ângulo de ataque nulo
Mestrado Integrado em Engenharia MecânicaAerodinâmica
1º Semestre 2012/13
época, 18 de Janeiro de 2013
Parte : Consulta limitada a livros de texto e folhas da disciplina
2ª Parte
apresenta as características aerodinâmicas de um perfil NACA 63009Para ângulo de ataque nulo, admita que o coeficiente de resistência de atrito do perfil se pode obter a partir de uma placa plana em gradiente de pressão nulo (com camadas limite
nticas dos dois lados da placa) e que a transição das camadas limites se encontra concentrada num ponto (Reynolds crítico igual a Reynolds de transição).
transicaocritico ReRe == ,kg/m2,1 3arρ
ângulo de ataque nulo e um número de Reynolds de 3×106:
grado em Engenharia Mecânica
disciplina
perfil NACA 63009.
Para ângulo de ataque nulo, admita que o coeficiente de resistência de atrito do perfil se pode obter a partir de uma placa plana em gradiente de pressão nulo (com camadas limite
) e que a transição das camadas limites se encontra concentrada num ponto (Reynolds crítico igual a Reynolds de transição).
a) Em condições de transição natural, estime a dimensão mínima da região de camada limite laminar.
A dimensão mínima da região de camada limite laminar corresponde ao coeficiente de resistência de atrito máximo.
( )[ ]max
minlaminarw
dCc
xτ⇒
∆.
Uma vez que ( ) ( )perfildd CCw
<τ o valor máximo de ( )
wdC
τ é de 0,004. De acordo com
as aproximações do enunciado
( ) ( )
−+= −−− 2,0
transicao5,0
transicaotransicao2,0 072,033,1072,02 ReReRe
ReReC
c
cdwτ
Para ( ) 004,0=w
dCτ e
6103×=c
Re temos
6transicao
25,15,0transicao
transicao 106,1072,0
33,131,4940×=⇒
+= Re
ReRe .
A região do perfil com camada limite laminar obtem-se directamente de transicaoRe
.534,0transicao
laminar
==
∆
cRe
Re
c
x
b) É possível estimar o coeficiente de resistência de pressão do perfil quando a transição é
forçada junto ao bordo de ataque nos dois lados do perfil? Justifique quantitativamente a sua resposta.
O coeficiente de resistência de pressão pode ser obtido subtraindo o coeficiente de resistência de atrito do coeficiente de resistência de perfil.
( ) ( ) ( )w
ddd CCCτ
−= perfilpressão
Nas condições dadas
( ) 0073,0072,02 2,0 =×= −
cd ReCwτ
Este valor é maior do que qualquer estimativa de ( )perfildC baseada no gráfico fornecido,
pelo que não é possível estimar ( )pressãodC com as aproximações sugeridas.
c) Pretende-se calcular o escoamento com transição natural com a solução numérica das equações em média temporal de Reynolds utilizando um modelo de turbulência de viscosidade turbulenta. O programa disponível inclui o modelo k-ε standard e a versão SST do modelo k-ω. Qual dos dois modelos é o mais indicado para efectuar este cálculo? Justifique claramente a resposta.
Para escoamento com transição natural não se pode utilizar leis da parede para condição de fronteira na superfície do perfil. O modelo k-ε standard não é válido nas sub-camadas linear e tampão, pelo que só se pode utilizar com leis da parede como condição de fronteira. Logo, o modelo de turbulência mais indicado para fazer o cálculo é a versão SST do modelo k-ω.
d) Estime a rugosidade relativa mínima ( crε ) da superfície do perfil para que a
resistência de atrito se torne independente do número de Reynolds.
O coeficiente de resistência de atrito torna-se independente do número de Reynolds quando se estiver em regime completamente rugoso, i.e.
fc
r
c
frr
CRecRe
C
c
u 27070
270 >⇔>⇔>
εε
ν
ετ
com
2,00576,0 −= xf ReC
pelo que o valor mínimo de fC ocorre para cx ReRe = e é igual a 0,0029. Donde
4101,6 −×>c
rε.
2. Considere o escoamento estacionário, bi-dimensional, potencial e incompressível em
torno de um cilindro circular. O cilindro tem um raio de 1m e está centrado no ponto
( )2i,0 a do referencial ζ=ξ+iη. 2a é uma constante positiva menor ou igual do que 0,04
04,00 2 ≤≤ a . O escoamento de aproximação uniforme faz um ângulo α, (|α|<π/4),
com o eixo real ξ e tem uma velocidade com um módulo igual a U∞. No centro do cilindro existe um vórtice com a intensidade necessária para que o ponto de intersecção do cilindro com o eixo real positivo, ξ=b, seja um ponto de estagnação.
a) Escreva o potencial complexo que representa o
de ataque α, indicando claramente o sistema de eixos que utilizou.
Para o problema dado temos:
ao == βζ arcsen,i 2
Introduzindo o referencial auxiliar
(representado na figura em baixo) temos:
( )*ζ =W
em que
Γ
Escreva o potencial complexo que representa o escoamento em função de
indicando claramente o sistema de eixos que utilizou.
Para o problema dado temos:
( ) ( ) ba =βcosearcsen 2
Introduzindo o referencial auxiliar ( ) αζζζ i* −−= eo ou
(representado na figura em baixo) temos:
( )**
* ln2
i1ζ
πζζ
Γ−
+∞U
( )βαπ +−= ∞ sen4 U
de 2a e do ângulo
oe ζζζ α += i*
b) Determine a gama de ângulos de ataque
um dos pontos de estagnação (
absoluto da coordenada imaginária desse ponto de estagnação é menor do que 0,2
( )985,01
1−≤
=pCξ e ( )
11=pCη
ataque do limite superior do interval
A linha que une os dois pontos de estagnação do escoamento em torno de um cilindro é paralela ao escoamento de aproximação. Um dos pontos de estagnação está sempre em ζ=b, pelo que é fácil identificar graficamente
A partir das figuras acima obtém
∆
∆=
x
y2max earctanα
em que
( ) ,985,0cosx ∆+=∆ β
Para maximizar maxα temos
yyx ,985,1 21 ∆=∆=∆
Considere a transformação conforme de Karmán
Determine a gama de ângulos de ataque ( minα e maxα ) para a qual a coordenada real de
um dos pontos de estagnação (( ) ( )
11
11,
== pCpCηξ ) é menor ou igual do que
absoluto da coordenada imaginária desse ponto de estagnação é menor do que 0,2
2,0< ). Seleccione o valor de 2a que maximiza o ângulo de
ataque do limite superior do intervalo, maxα .
A linha que une os dois pontos de estagnação do escoamento em torno de um cilindro é paralela ao escoamento de aproximação. Um dos pontos de estagnação está sempre em
identificar graficamente minα e maxα quando ( )1
1=
=pCξ
A partir das figuras acima obtém-se
∆
∆−=
x
y1min arctane α
222
1 985,01e985,01 yay −=∆+−=∆
temos 02 =a , donde
o
o
5rad087,0
5rad087,0985,01
max
min2
==
−=−=⇒−=
α
α
transformação conforme de Karmán-Treftz dada por
para a qual a coordenada real de
) é menor ou igual do que -0,985 e o valor
absoluto da coordenada imaginária desse ponto de estagnação é menor do que 0,2 (
que maximiza o ângulo de
A linha que une os dois pontos de estagnação do escoamento em torno de um cilindro é paralela ao escoamento de aproximação. Um dos pontos de estagnação está sempre em
985,0−= .
22985 a− .
.
( ) ( )( ) ( )
96,1eicom =+=−−+
−++= kyxz
bb
bbkbz
kk
kk
ζζ
ζζ
que transforma o cilindro num perfil sustentador.
c) Determine o valor de 2a que conduz ao maior coeficiente de sustentação para ângulo de
ataque nulo ( )( )0paramax =αlC e determine a equação que relaciona lC com α para
esse valor de 2a .
Para 0=α , lC é propocional a β . Logo, o maior valor de lC é obtido para o valor
máximo de β . Isto implica que 04,02 =a eo3,2rad04,0 ==β .
O coeficiente de sustentação obtém-se a partir da circulação (calculada na alínea a)) e da corda do perfil ( c ) no plano transformado. Para a transformação conforme de Karmán-Treftz de um cilindro centrado no eixo imaginário kbc 2= . Atendendo a
( ) ( ) ( ) ( )βαβαββ +≅+≅= sene1cos,cosb temos
( ) radianosemcom04,004,22
ααπ +=Γ−
=∞cU
Cl.
d) Para o valor de 2a da alínea anterior e para o ângulo de sustentação nula, determine os valores máximos e mínimos do coeficiente de pressão no plano transformado (perfil) e a sua localização.
O ângulo de sustentação nula corresponde a o3,2rad04,0 −=−=α , pelo que o
escoamento no plano de partida é qualitativamente dado por
O perfil no plano transformado é semelhante a
pelo que o coeficiente de pressão mínimo está no bordo de ataque e é igual a
( ) −∞=minpC .
Os dois pontos de estagnação exibem o coeficiente de pressão máximo, ( ) 1max
=pC .
Um dos pontos de estagnação está no bordo de fuga e outro no extradorso (junto ao bordo
de ataque) no transformado do ponto πζ i
e=*.
3. Uma asa finita de um planador tem um alongamento Λ=14, uma corda média de 1,5m,
não tem torção e a sua secção é um perfil NACA 63009 ( lC e dC dados na figura do
problema 1). Admita em primeira aproximação que a força de resistência do planador se deve apenas à asa e que a distribuição de circulação é elíptica.
a) Para a secção da asa, determine o coeficiente de momento de picada em torno do centro
do perfil e a posição do centro de pressão.
O perfil NACA 63009 é simétrico pelo que o coeficiente de momento de picada em torno do centro aerodinâmico é nulo. De acordo com a figura dada, o centro aerodinâmico está
localizado a cx ac 258,0.. = e a variação de lC com α é dada por α1,0=lC para α em
graus ou α73,5=lC para α em radianos. O coeficiente de momento de picada em torno
do centro do perfil obtém-se por uma simples propagação de momentos a partir do centro aerodinâmico:
−=
−=⇒−−=
)radianosem(39,1
)grausem(0242,0)258,05,0(
αα
αα
c
c
c
m
m
lmC
CCC .
Obviamente, o centro de pressão coincide com o centro aerodinâmico, pelo que está em
cx pc 258,0.. = .
y
x
kb-kb
b) Se o planador voar numa zona sem vento a velocidade constante,
altitude que o planador perde por cada km percorrido.
Num planador a voar numa zona sem vento a velocidade constante, a força aerodinâmica (sustentação mais resistência) equilibra o peso:
( )( ) LW
DW⇒
=
=
γ
γtan
cos
sen
equivalente a minimizar o ângulo
Λ+=
πL
L
D
L
D C
C
C
C
C perfil
, pelo que é necessário determinar
fornecido (obviamente só interessa
≅dCperfil
Como nas condições do problema
casos
C
C
pelo que
voar numa zona sem vento a velocidade constante, estime o mínimo de altitude que o planador perde por cada km percorrido.
Num planador a voar numa zona sem vento a velocidade constante, a força aerodinâmica (sustentação mais resistência) equilibra o peso:
( )L
D
C
C
L
D==γtan e ( )γsen1000=h pelo que minimizar
equivalente a minimizar o ângulo γ ou seja a razão LD CC .
, pelo que é necessário determinar perfilDC a partir do gráfico
(obviamente só interessa 0>lC ).
<⇐+
≤≤⇐
ll
l
CC
C
2,000625,0006,0
2,00004,02
Como nas condições do problema lL CC = eperfilperfil dD CC = , temos para qualquer dos
L
LL
D bCC
a
C
C+= ,
estime o mínimo de
Num planador a voar numa zona sem vento a velocidade constante, a força aerodinâmica
pelo que minimizar h é
a partir do gráfico
, temos para qualquer dos
b
aCb
C
a
C
C
dC
dL
LL
D
L
=⇔=+−⇔=
00
2
A tabela em baixo apresenta LCba ,, e ( )minLD CC para os dois ramos da definição de
perfildC e ( )minLD CC para o limite direito da bossa laminar 2,0== lL CC e
004,0perfilperfil
== dD CC .
a b
LC ( )minLD CC
2,0<LC 0,004
π14
1
0,42 ---
2,0>LC 0,006
π14
100625,0 +
0,455 0,0264
2,0=LC --- --- 0,2 0,0246
Os resultados mostram que ( )minLD CC se obtem para o limite direito da bossa laminar
pelo que ( ) o41,1rad02046,00246,0tan =⇒=γ o que implica m6,24=h .
c) Para as condições da alínea b), estime o ângulo de ataque a que está a funcionar a asa.
Nas condições dadas
( )
( )
o
L
L
l
l
L
C
C
C
C
C
26,2rad039,02,0
07,5
14,73,5,0
111
'
'
==⇒=
=
=Λ==
+
Λ+
=
∞
∞
α
α
β
βα
π
d) Para as condições da alínea b), determine a relação entre o peso do planador e a
velocidade de descida.
A partir do equilíbrio de forças e da definição de LC temos
( )( )
( )222 comcos22
1cos cSU
SCWSUCW L
L Λ==⇔= ∞∞γ
ρργ .