Download - MetNum5-Differensiasi Numerik 2012
-
DIFFERENSIASI NUMERIK
Yuliana Setiowati
-
DIFFERENSIASI NUMERIK Salah satu perhitungan kalkulus yang banyak digunakan
adalah differensial Differensial digunakan untuk keperluan perhitungan
geometrik, yang berhubungan dengan perubahan nilai per-satuan waktu atau jarak.
Secara kalkulus, didefinisikan sebagai perbandingan perubahan tinggi (selisih tinggi) dan perubahan jarak
penentuan titik puncak kurva y = f(x) dy/dx = 0
xy
dxdy
ax = lim 0
-
Mengapa perlu Metode Numerik ?
Terkadang terdapat suatu fungsi yang sulit dihitung secara manual
Untuk mengotomatiskan, tanpa harus menghitung manualnya
-
DIFFERENSIASI NUMERIK
Hubungan antara nilai fungsi dan perubahan fungsi untuk setiap titiknya didefinisikan : y = f(X) + f1(x).h(x)
( ) ( )h
xfhxfxf h+= lim 0)('
-
Diferensiasi dg MetNum
Metode Selisih Maju Metode Selisih Tengahan Metode Selisih Mundur
-
Metode Selisih Maju Metode selisih maju merupakan metode yang
mengadopsi secara langsung definisi differensial
Pengambilan h diharapkan pada nilai yang kecil agar errornya kecil
Error yang dihasilkan
hxfhxfxf )()()(' +=
( )xhf 1121 E(f) =
-
Contoh : Hitung
differensial f(x)=e-xsin(2x) +1 dari range
x=[0,1] dengan h=0.05
-
Metode Selisih Tengahan Metode selisih tengahan merupakan metode
pengambilan perubahan dari dua titik sekitar dari titik yang diukur.
Perhatikan selisih maju pada titik x-h
selisih maju pada titik x
Metode selisih tengahan merupakan rata-rata dari dua selisih maju :
( ) ( ) ( )h
hxfxfhxf =11
( ) ( ) ( )h
xfhxfxf +=12
( ) ( )2
)('1
21
1xfxfxf +=
( ) ( )h
hxfhxfxf2
)(' +=
-
Metode Selisih Tengahan
Kesalahan pada metode ini
( )11126
E(f) fh=
-
Metode Selisih Mundur
( ) ( ) ( )h
hxfxfxf ='
-
Contoh Hitung differensial
f(x)=e-xsin(2x)+1 dari range x=[0,1] dengan h=0.05
-
Differensiasi tingkat tinggi
Differensiasi tingkat tinggi merupakan proses pendifferensialan secara terus-menerus, hingga tingkatan yang ditentukan.
Differensial tingkat 2
Differensial tingkat 3
Differensial tingkat n
( ) ( ){ }xffxf ''" =( ) ( ){ }xffxf "')3( =
( )( ) ( ){ }xffxf nn 11 =
=
1
1
n
n
n
n
dxfd
dxd
dxfd
-
Differensiasi tingkat tinggi
Differensiasi tingkat 2 untuk M. Selisih Maju
( ) ( )
( )( ) 2 )()(2)2("
)()()()2(
"
)(''"
hxfhxfhxfxf
hh
xfhxfh
hxfhxf
xf
hxfhxfxf
+++=
+++=
+=
-
Differensiasi tingkat tinggi
Differensiasi tingkat 2 untuk M. Selisih Tengahan
( ) ( )
( )( ) 24
)2()(2)2("
22
)2()(2
)()2(
"
2)(''"
hhxfxfhxfxf
hh
hxfxfh
xfhxf
xf
hhxfhxfxf
++=
+=
+=
( ) ( )h
hxfhxfxf2
)(' +=
-
Contoh :
Untuk f(x) = x3 2x2 - x
-
Pemakaian Differensiasi Untuk Menentukan Titik Puncak Kurva
-
Pemakaian Differensiasi Untuk Menentukan Titik Puncak Kurva
Definisi 5.1. Suatu titik a pada kurva y = f(x) dinamakan titik
puncak bila dan hanya bila : f1(a) = 0. Definisi 5.2. Sebuah titik puncak a dikatakan titik maksimum pada
kurva y = f(x) bila : f11(a) < 0. Definisi 5.3. Sebuah titik puncak a dikatakan titik minimum pada
kurva y = F(x) bila : f11(a) > 0.
-
Terlihat bahwa nilai puncak terjadi antara 0.1 dan 0.2 serta antara 1.6 dan 1.7, karena nilai f(x) mendekati nol.
Pada x=0.2 terlihat f(x)0 puncak minimum
-
Contoh :
Terlihat bahwa nilai puncak terjadi antara 0.75 dan 0.8, karena nilai f(x) mendekati nol.
Pada nilai tersebut terlihat nilai f(x)