METODE PRIMAL AFFINE-SKALING
UNTUK MASALAH PROGRAM LINEAR
Skripsi
Diajukan untuk Memenuhi Salah Satu Syarat
Memperoleh Gelar Sarjana Sains
Program Studi Matematika
Oleh:
Ajeng Retnojiwati
NIM : 013114013
PROGRAM STUDI MATEMATIKA JURUSAN MATEMATIKA
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM
UNIVERSITAS SANATA DHARMA
YOGYAKARTA
2007
i
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
ii
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
iii
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
HALAMAN PERSEMBAHAN
“Dan apa saja yang kamu minta dalam doa dengan penuh
kepercayaan, kamu akan menerimanya.”
(Matius 21:22)
Terimakasih Tuhan Yesus
Engkau bantu aku melewati satu pergumulan lagi dalam hidup
Kupersembahkan karya ini untuk:
Tuhan Yesus dan Bunda Maria
Bapak, Ibu, Mas Purwiyadi, Mas
Sugeng, simbah dan keluargaku
iv
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
v
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
ABSTRAK
Untuk menyelesaikan masalah program linear, selain dengan metode grafik atau metode simpleks dapat juga diselesaikan dengan metode titik-dalam. Salah satu kelas dalam metode titik-dalam adalah metode primal affine-skaling. Untuk menentukan penyelesaian masalah program linear dengan metode primal affine-skaling dimulai dengan memilih titik-dalam awal, yaitu dari suatu daerah layak di ruang penyelesaian awal. Kemudian ditransformasi oleh transformasi affine-skaling, yaitu sedemikian sehingga hasil transformasi diposisikan dekat dengan pusat di ruang penyelesaian hasil transformasi ini. Hasil transformasi sebut saja . Langkah selanjutnya, dari dijalankan ke titik-dalam lain, yaitu
yang menggerakkan nilai sampai optimum dicapai sesuai dengan alur iterasi , dengan adalah arah layak turun tercuram (steepest descent) yang menyebabkan nilai fungsi berkurang dengan cepat. Dan
kxkx
kT kxkx
ky ky1+ky f f
kyk
kk dyy α+=+1 kyd
kα adalah besarnya langkah yang menyatakan seberapa jauh arah tersebut akan menuju ke titik optimum yang tetap berada pada daerah layak. Penyelesaian yang didapat di ruang penyelesaian tersebut ditransformasikan kembali dengan transformasi invers, yaitu
. Proses iterasi ini diulang hingga penyelesaian optimum dicapai. 1−kT
vi
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
ABSTRACT
Linear programming problems not only can be solved with graphic method or simplex method, but also it can be solved with interior-point method. One of the classes of the interior-point method is primal affine-scaling method. To find the solution of linear programming using primal affine-scaling method, we should start by selecting the interior-point solution , namely from inside feasible region in original solution space. Then, is transformed with an affine-scaling transformation, which is called , so that the selected interior-point solution is placed near the transformed feasible region. The image of called . Then, from we move to another interior-point , which improves the value of objective function , in accordance to the iteration . Here, is the direction of steepest descent that causes the fastest rate of decrease in the objective function. While
kxkx
kTkx ky
ky 1+kyf k
ykkk dyy α+=+1 k
yd
kα is the step-length which gives how far the direction can move to the optimum point but it still remains in the feasible region. The solution, which is found in the solution space, is transformed back with inverse transformation, called . This process will be repeated until we obtain an optimum solution with the desired accuracy.
1−kT
vii
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
KATA PENGANTAR
Puji syukur penulis panjatkan kepada Tuhan Yesus atas segala kasih dan
perlindungan-Nya sehingga penulisan skripsi ini dapat terselesaikan. Skripsi ini
disusun dalam rangka melengkapi salah satu syarat untuk memperoleh gelar Sarjana
Sains pada Program Studi Matematika, Jurusan Matematika, Fakultas Matematika
dan Ilmu Alam, Universitas Sanata Dharma Yogyakarta.
Penulisan skripsi ini tidak lepas dari bantuan dan dukungan dari berbagai
pihak. Oleh karena itu, pada kesempatan ini penulis ingin menyampaikan ucapan
terima kasih kepada:
1. Ibu Lusia Krismiyati, S.Si, M.Si sebagai dosen pembimbing yang penuh
perhatian dan kesabaran telah membimbing serta memberi saran dan kritik
kepada penulis selama proses penulisan skripsi ini.
2. Bapak Y.G. Hartono, S.Si, M.Sc sebagai dosen pembimbing dan selaku Ketua
Program Studi Matematika, dosen pembimbing akademik dan dosen penguji yang
telah memberikan dukungan, saran dan kritik dalam skripsi ini.
3. Bapak Ir. Ig. Aris Dwiatmoko, M.Sc selaku Dekan fakultas MIPA yang telah
memberi dukungan dalm penulisan skripsi ini.
4. Ibu Any Herawati, S.Si, M.Si selaku dosen penguji yang telah memberikan saran
dan kritik dalam skripsi ini.
5. Bapak dan Ibu dosen di Fakultas MIPA yang telah membimbing dan mendidik
penulis selama menuntut ilmu di Universitas Sanata Dharma.
viii
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
6. Bapak dan Ibu karyawan Universitas Sanata Dharma, khususnya sekretariat
fakultas MIPA dan perpustakaan Universitas Sanata Dharma atas segala bantuan
dan fasilitas yang telah diberikan.
7. Sahabat-sahabatku seperjuangan angkatan 2001: Very, Upik, Yuli, Dani, Tabita,
Fanya, Andre, Indah, Ariel, Agnes, Erika, Wiwit, Deta, Maria, Rita, Alam,
Vrysca, Daniel, Tedy, Ray, April, Ardi, serta kakak-kakak angkatan 1998, 1999,
2000 dan adik-adik angkatan 2002, 2003, 2004 yang telah membantu dan
mendukung penulis.
8. Dhe-dhe dan keluarga yang telah memberi dukungan, semangat dan doanya.
9. Tien, Mei, Bayu, Helbin, Sinta, Heni, Henri, Mbak uci dan keluarga, mbak Novi,
Murni, Rini ikom, teman-teman Gloria Graha dan temen-temen radio masdha,
yang telah memberi dukungan, semangat dan doanya.
10. Semua pihak yang telah membantu penulis baik secara langsung maupun tidak
langsung hingga selesainya penulisan skripsi ini.
Penulis menyadari bahwa skripsi ini masih banyak kekurangannya. Oleh
karena itu, penulis mengucapkan terima kasih bila ada kritik dan saran yang dapat
membangun penulis. Penulis berharap semoga skripsi ini dapat bermanfaat dan
menjadi referensi bagi pembaca.
Yogyakarta, 7 Februari 2007
Penulis
ix
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
DAFTAR ISI
Halaman
HALAMAN JUDUL …………………………………………….…………..…. i
HALAMAN PERSETUJUAN PEMBIMBING …………….………………….. ii
HALAMAN PENGESAHAN ………………………………………………….. iii
HALAMAN PERSEMBAHAN ……………………………………….…..…… iv
PERNYATAAN KEASLIAN KARYA ……………………….…………….…. v
ABSTRAK ……………………………………………….………………….….. vi
ABSTRACT ………………………………………………….……………….... vii
KATA PENGANTAR …………………………………….……………….…… viii
DAFTAR ISI ……………………………………………………….……….….. x
DAFTAR GAMBAR ………………………………………………………..… xiii
TABEL ………………………………………………………………………… xiii
BAB I PENDAHULUAN ……………………………………………..…... 1
A. Latar Belakang Masalah …………………………………….…. 1
B. Rumusan Masalah …………………………………….…...…… 3
C. Pembatasan Masalah …………………………….…………...…. 4
D. Tujuan Penulisan …………………………………………….….. 4
E. Manfaat Penulisan ……................................................................. 4
F. Metode Penulisan ……………………………..…………..…….. 5
G. Sistematika Penulisan ……………………….………………….. 5
x
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
BAB II ORTOGONALITAS DAN OPTIMISASI UNTUK PERSOALAN
LINEAR ……………………………………………………………. 6
A. Sistem Persamaan Linear Dan Matriks ……………...…………. 6
B. Ruang Vektor ………………………………………..……….… 10
1. Ruang Vektor ……………..…..…………………..………... 10
2. Hasil Kali Dalam Dan Ortogonalitas …................................. 22
3. Transformasi Linear ……………………………….………… 31
C. Masalah Program Linear …………………………………...…. . 32
1. Bentuk Standar Masalah Program Linear ………………….. 32
2. Dualitas ……………………………………………………. . 37
D. Optimisasi Fungsi Untuk Persoalan Linear ………………..…… 40
1. Optimisasi ………………………………………………….. 40
2. Kelayakan ……………………………………………...….... 41
E. Metode Arah Layak ………………………………………...…... 42
F. Metode Arah Turun Tercuram (Steepest Descent) …………..... 44
BAB III METODE PRIMAL AFFINE-SKALING ……………………..…. 45
A. Metode Primal Affine-Skaling …………………………..……. 46
1. Transformasi Affine-Skaling …………………………….... 49
2. Menentukan Arah Layak ………………………………..… 61
a. Bentuk Masalah Program Linear di Ruang Penyelesaian Hasil
Transformasi ………………………………………………. 61
b. Menentukan Arah Layak ……………………………..…… 66
xi
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
c. Perumusan Arah Langkah Dengan Arah Turun Tercuram ..... 70
3. Menentukan Besar Langkah kα ……………..………...…… 74
B. Algoritma Primal Affine-Skaling ………………………...…..… 83
C. Aplikasi Metode Primal Affine-Skaling Untuk Menyelesaikan
Masalah Program Linear Dengan Program Matlab ……….....… 87
BAB IV PENUTUP ...................................................................................….. 99
A. Kesimpulan ……………....................................................…….. 99
B. Saran ………………………………………………………...… 100
DAFTAR PUSTAKA …………………………………………………………. 101
LAMPIRAN ………………………………………………………………….. 102
xii
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
DAFTAR GAMBAR
Halaman
Gambar 1.1 Metode titik-dalam vs metode simpleks ………………………….. 2
Gambar 2.1 yxc += ……………………………………………………….…. 28
Gambar 3.1 Ide transformasi affine-skaling ………………….…………...…… 50
Gambar 3.2 Titik-dalam ditransformasikan oleh ke posisi e ………..... 54 kx kT
Gambar 3.3 Sifat-sifat dari transformasi affine-skaling ………………………. 59
Gambar 3.4 Daerah layak soal A ……………………………………………… 65
Gambar 3.5 Daerah layak soal B …………………………………………...…. 66
Gambar 3.6 Proyeksi ke ruang nol ………………………………….. 71 kc− kA
Gambar 3.7 Daerah layak sebelum dikenai transformasi affine skaling ……... 94
Gambar 3.8 Daerah layak yang sudah ditransformasi
oleh transformasi affine skaling ………………………………….. 95
TABEL
Halaman
Tabel 1 Hasil iterasi contoh 3.4 …………………………………..…………. 103
Tabel 2 Hasil iter5asi contoh 3.5 ……………………………………………. 104
xiii
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
1
BAB I
PENDAHULUAN
A. LATAR BELAKANG MASALAH
Masalah program linear adalah suatu masalah penyelesaian sistem per-
samaan linear. Masalah program linear dapat diselesaikan dengan cara metode
grafik atau metode simpleks. Pada metode grafik penyelesaiannya khusus dikerja-
kan hanya untuk dua variabel saja, sehingga apabila memuat lebih dari dua varia-
bel akan sulit menyelesaikannya. Meskipun dalam prakteknya masalah program
linear jarang yang hanya memuat dua variabel tetapi metode grafik mempermu-
dahkan orang dalam memahami pengertian-pengertian yang timbul dalam ma-
salah program linear. Untuk menyelesaikan masalah program linear yang memuat
dua atau lebih variabel dapat digunakan metode simpleks.
Ada metode lain yaitu metode titik-dalam yang dapat digunakan untuk
menyelesaikan masalah program linear yang memuat dua atau lebih variabel.
Perbedaan proses penyelesaian antara metode simpleks dan metode titik-
dalam, yaitu pada metode simpleks penyelesaian dilakukan dengan meninjau
setiap titik-titik sudut pada batas dari daerah layak hingga dicapai titik optimum.
Sedangkan pada metode titik-dalam dengan meninjau titik-titik yang berada dalam
daerah layak hingga dicapai titik optimum. Sehingga apabila program linear me-
muat masalah yang kompleks maka proses penyelesaian yang dilakukan dengan
metode titik-dalam dapat lebih cepat dan efisien dibandingkan dengan metode
simpleks. Karena pada metode simpleks apabila program linear memuat masalah
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
2
yang kompleks maka program linear tersebut juga akan memiliki banyak titik ba-
tas. Sehingga dibutuhkan proses lebih panjang dibandingkan dengan metode titik-
dalam untuk mencapai titik optimum.
Sebagai ilustrasi perhatikan gambar 1.1 berikut:
Gambar 1.1
Metode Titik-dalam vs Metode Simpleks
Ada dua langkah yang diperlukan dari metode titik-dalam, yaitu
a. Mencari arah layak yang memperbaiki nilai fungsi sasaran pada titik yang
ditentukan dari tiap iterasi.
b. Menentukan besar langkah yang berada pada daerah layak sesuai arah layak
yang memperbaiki nilai fungsi sasaran.
Metode titik-dalam dibagi menjadi empat kelas utama, yaitu metode af-
fine-skaling (affine-scaling method), metode proyektif (projective method) atau
lebih dikenal dengan metode Karmarkar , metode path-following (path-following
method), dan metode potensial-reduksi (potential-reduction method).
Dalam tulisan ini hanya akan dibahas metode affine-skaling. Metode af-
fine-skaling adalah salah satu metode titik-dalam yang paling sederhana diantara
kx
Langkah-langkah Metode Simpleks
1+kx
Langkah-langkah metode titik-dalam
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
3
semua metode titik-dalam. Disebut metode affine-skaling karena transformasi
yang digunakan adalah transformasi affine-skaling. Metode affine-skaling yang
akan digunakan dibatasi hanya untuk masalah primal program linear yang
meminimumkan fungsi sasaran. Sehingga metode ini disebut juga sebagai me-
tode primal affine-skaling.
Ide dasar metode primal affine-skaling yaitu dimulai dengan memilih
suatu titik-dalam awal didalam daerah layak. Kemudian titik dalam yang dipilih
ditransformasi oleh transformasi affine-skaling sedemikian sehingga hasil
transformasi titik-dalam yang dipilih diposisikan dekat dengan pusat di ruang
penyelesaian hasil transformasi. Hasil transformasi titik-dalam yang dipilih
dijalankan ke suatu titik-dalam lain dengan arah layak dan besar langkah yang
sesuai. Penyelesaian yang didapat di ruang penyelesaian tersebut ditransformasi
kembali dengan transformasi invers yang sesuai. Proses iterasi ini diulang hingga
penyelesaian optimum dicapai.
Selain dibahas metode primal affine-skaling juga akan dibahas
aplikasinya dengan menggunakan program matlab untuk menyelesaikan masalah
program linear.
B. RUMUSAN MASALAH
Berdasarkan latar belakang masalah di atas, maka dibuat rumusan seba-
gai berikut:
1. Bagaimana menyelesaikan masalah program linear dengan menggunakan
metode primal affine-skaling?
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
4
2. Bagaimana aplikasi dari metode primal affine-skaling dengan mengguna-
kan program matlab?
C. PEMBATASAN MASALAH
1. Penulis hanya akan membahas masalah dalam bentuk meminimumkan, se-
hingga masalah memaksimumkan harus diubah dalam bentuk memini-
mumkan, yaitu negatif dari maksimum fungsinya.
2. Metode yang digunakan adalah metode primal affine-skaling.
3. Transformasi yang digunakan adalah transformasi affine-skaling.
4. Daerah layak dari soal program linear adalah terbatas dan tidak kosong.
5. Hanya memuat variabel kurang dari atau sama dengan 10 ( 10≤n ).
D. TUJUAN PENULISAN
Sesuai dengan latar belakang di atas, penulisan skripsi ini bertujuan un-
tuk menunjukkan langkah-langkah metode primal affine-skaling untuk menyele-
saikan masalah program linear yang memuat 10≤n dan dapat dipertanggung-
jawabkan langkah demi langkah.
E. MANFAAT PENULISAN
Manfaat dari penulisan skripsi ini adalah memberikan tambahan referensi
dalam menyelesaikan masalah program linear dengan metode primal affine -
skaling.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
5
F. METODE PENULISAN
Metode yang digunakan dalam skripsi ini adalah penelitian kepustakaan,
yaitu dengan mempelajari buku-buku yang berkaitan dengan topik skripsi ini, se-
hingga dalam tulisan ini tidak ditemukan hal-hal yang baru.
G. SISTEMATIKA PENULISAN
Penulisan skripsi ini menggunakan sistematika sebagai berikut:
Bab I PENDAHULUAN
Bab ini berisi latar belakang masalah, perumusan masalah, pembatasan
masalah, tujuan penulisan, manfaat penulisan, dan metode penulisan.
Bab II ORTOGONALITAS DAN OPTIMISASI UNTUK PERSOALAN
LINEAR
Bab ini berisi tentang dasar teori yang berkaitan dan digunakan dalam
metode primal affine-skaling, yaitu mengenai sistem persamaan linear
dan matriks, ruang vektor, masalah program linear, optimisasi fungsi
untuk persoalan linear, metode arah layak dan metode arah turun
tercuram.
Bab III METODE PRIMAL AFFINE-SKALING
Bab ini membahas tentang langkah-langkah metode primal affine-skaling
dan aplikasinya menggunakan program matlab.
Bab IV PENUTUP
Bab ini berisi beberapa kesimpulan dan saran berdasarkan hasil
pembahasan dan keseluruhan proses penyusunan skripsi.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
6
BAB II
ORTOGONALITAS DAN OPTIMISASI UNTUK PERSOALAN LINEAR
Pada bab ini akan dibahas hal-hal yang melandasi bab berikutnya. De-
finisi, teorema serta konsep-konsep mengacu pada daftar pustaka.
A. Sistem Persamaan Linear Dan Matriks
Definisi 2.1 Persamaan Linear
Persamaan linear dalam n variabel nxxx ,,, 21 L adalah persamaan yang dapat
dinyatakan dalam bentuk
bxaxaxa nn =+++ L2211 (2.1)
dengan naaa ,,, 21 K dan b adalah konstanta real dan naaa ,,, 21 K tidak semua
sama dengan nol.
Definisi 2.2 Sistem Persamaan Linear
Suatu sistem persamaan linear nm× adalah himpunan m persamaan linear
dengan n variabel, yang dapat dinyatakan dalam bentuk
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
11
121
111
xa
xaxa
m
M
+
++
22
222
212
xa
xaxa
m +
++
L
O
L
L
+
++
mnmn
nn
nn
bxa
bxabxa
=
==
M
22
11
(2.2)
dengan inii aaa ,,, 21 K dan ib adalah konstanta real dan inii aaa ,,, 21 K tidak semua
sama dengan nol, untuk mi ,,2,1 K= .
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
7
Dalam sistem persamaan linear nm× , dapat terjadi
nmnmnm <>= atau, . Apabila nn txtxtx === ,,, 2211 L dimana nttt ,,, 21 K
adalah konstanta-konstanta real yang memenuhi semua persamaan linear dalam
sistem (2.2), maka pasangan terurut ),,,( 21 nttt K disebut penyelesaian atau
jawab dari sistem persamaan linear (2.2).
Definisi 2.3 Konsisten dan Tidak Konsisten
1. Sistem persamaan linear disebut konsisten jika sistem persamaan tersebut
mempunyai penyelesaian.
2. Sistem persamaan linear disebut tidak konsisten jika sistem persamaan terse-
but tidak mempunyai penyelesaian.
Sistem yang konsisten dapat mempunyai tepat satu penyelesaian atau mempunyai
banyak penyelesaian.
Sistem persamaan linear (2.2) di atas dapat dituliskan dengan notasi ma-
triks sebagai berikut:
⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
=
⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
mnmnmm
n
n
b
bb
x
xx
aaa
aaaaaa
MM
L
MOMM
L
L
2
1
2
1
21
22221
11211
(2.3)
Atau lebih singkat ditulis bAx = , dimana )( ija=A yaitu matriks koefisien,
( )jx=x dan ( )ibb = , untuk mi ,,1K= dan nj ,,1L=
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
8
Definisi 2.4 Sistem Persamaan Linear Homogen
Suatu sistem persamaan linear disebut sistem persamaan linear homogen jika
konstanta 0=ib , untuk setiap mi ,...,2,1= . Sistem persamaan linear homogen
mempunyai bentuk umum:
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
11
121
111
xa
xaxa
m
M
+
++
22
222
212
xa
xaxa
m +
++
L
O
L
L
+
++
0
00
2
1
=
==
nmn
nn
nn
xa
xaxa
M (2.4)
Sistem persamaan linear homogen selalu konsisten karena
0...,,0,0 21 === nxxx selalu merupakan penyelesaian. Penyelesaian ini disebut
penyelesaian trivial. Jika ada penyelesaian lain maka penyelesaian itu disebut
penyelesian nontrivial.
Definisi 2.5 Matriks Lengkap
Matriks lengkap dari sistem persamaan linear (2.2) adalah
⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
1
21
11
ma
aa
M
2
22
12
ma
aa
L
O
L
L
mn
n
n
a
aa
M
2
1
⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
mb
bb
M
2
1
Definisi 2.6 Operasi Baris Elementer
Operasi baris elementer pada suatu matriks adalah salah satu operasi:
1. Menukar letak dari dua baris matriks tersebut, yakni menukar baris ke- i dan
ke- j , dengan notasi ji RR ↔ .
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
9
2. Mengalikan suatu baris dengan konstanta tak nol, yakni mengalikan baris ke- i
dengan bilangan 0, ≠cc , dengan notasi icR .
3. Mengganti suatu baris dengan hasil penjumlahan baris tersebut dan kelipatan
baris lain, yakni mengganti baris ke- i ditambah c kali baris ke- j , dengan no-
tasi ji cRR + .
Definisi 2.7 Matriks Ekivalen Baris
Matriks B dikatakan ekivalen baris dengan matriks A jika terdapat matriks ele-
menter kEEE ,...,, 21 sehingga AEEEB 11...−= kk atau BEEEA 112
11 ... −−−= k .
Dengan operasi baris elementer, matriks lengkap dari suatu sistem per-
samaan linear harus diubah menjadi suatu matriks dari sistem persamaan linear
yang mudah dicari jawabnya, yakni dengan matriks eselon.
Definisi 2.8 Matriks Eselon
Matriks E disebut matriks eselon jika memenuhi dua sifat berikut:
1. Setiap baris yang hanya terdiri dari bilangan nol terletak sesudah baris yang
memuat elemen tak nol.
2. Pada setiap baris dari matriks E yang mempunyai elemen tak nol, elemen tak
nol yang pertama harus terletak di kolom sebelah kanan elemen tak nol dari
baris sebelumnya.
Matriks eselon ini disebut juga matriks eselon baris. Elemen tak nol pertama
dari suatu baris disebut elemen utama atau elemen pivot. Sifat kedua dari matriks
eselon mengatakan bahwa elemen di bawah elemen pivot haruslah nol.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
10
B. Ruang Vektor
1. Ruang Vektor
Definisi 2.9 Ruang Vektor
Ruang Vektor atas lapangan F adalah himpunan tidak kosong V yang dileng-
kapi dengan operasi penjumlahan dan operasi perkalian dengan skalar sedemikian
sehingga V∈∀ zyx ,, dan F∈∀ βα , memenuhi syarat - syarat berikut:
a. V∈+ yx
b. xyyx +=+ (sifat komutatif)
c. zyxzyx ++=++ )()( (sifat asosiatif)
d. Terdapat elemen VV ∈∀∈ x0 , , x0x =+ (unsur identitas)
e. V∈∀ x V∈−∃ )( x sehingga 0xx =−+ )( (elemen invers)
f. V∈xα
g. yxyx ααα +=+ )( (sifat distributif)
h. xxx βαβα +=+ )(
i. xx =1
j. )()( xx βαβα =
Elemen – elemen di V disebut vektor dan biasanya dinyatakan dengan huruf –
huruf KK ,,,,, yxba . Elemen – elemen di F disebut skalar .
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
11
Contoh 2.1
Misalkan
⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
=
nx
xx
M2
1
x dan
⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
=
ny
yy
M2
1
y adalah vektor – vektor di nR . Penjumlahan
pada nR didefinisikan sebagai berikut:
n
nnnn yx
yxyx
y
yy
x
xx
Ryxyx ∈∀
⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
+
++
=
⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
+
⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
=+ ,,22
11
2
1
2
1
MMM (2.5)
dan operasi perkalian dengan skalar α di R didefinisikan sebagai berikut:
RRxx ∈∀∈∀
⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
=
⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
= α
α
αα
αα ,,2
1
2
1
n
nn x
xx
x
xx
MM (2.6)
Tunjukkan bahwa nR merupakan ruang vektor.
Bukti:
Misalkan
⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
=
nx
xx
M2
1
x ,
⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
=
ny
yy
M2
1
y , dan
⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
=
nz
zz
M2
1
z , nRzyx ∈∀ ,, , R∈∀ βα ,
a. Akan ditunjukkan nRyx ∈+ . Sudah jelas (dari persamaan (2.5))
b. Akan ditunjukkan xyyx +=+
xyyx +=
⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
+
⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
=
⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
+
++
=
⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
+
++
=
⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
+
⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
=+
nnnnnnnn x
xx
y
yy
xy
xyxy
yx
yxyx
y
yy
x
xx
MMMMMM2
1
2
1
22
11
22
11
2
1
2
1
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
12
c. Akan ditunjukkan )( zyx ++ zyx ++= )(
⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
++
++++
=
⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
+
++
+
⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
=++
)(
)()(
)( 222
111
22
11
2
1
nnnnnn zyx
zyxzyx
zy
zyzy
x
xx
MMMzyx
⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
++
++++
=
nnn zyx
zyxzyx
)(
)()(
222
111
M
⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
+
⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
+
++
=
nnn z
zz
yx
yxyx
MM2
1
22
11
zyx ++= )(
d. Akan ditunjukkan ada elemen identitas terhadap operasi penjumlahan.
Elemen identitasnya
⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
=
0
00
M0 sehingga
x0x =
⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
=
⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
+
++
=
⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
+
⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
=+
nnn x
xx
x
xx
x
xx
MMMM2
1
2
1
2
1
0
00
0
00
e. Akan ditunjukkan mempunyai invers.
Invers dari
⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
=
nx
xx
M2
1
x adalah
⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
−
−−
=−
nx
xx
M2
1
x sehingga
0xx =
⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
=
⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
−+
−+−+
=
⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
−
−−
+
⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
=−+
0
00
)(
)()(
)( 22
11
2
1
2
1
MMMM
nnnn xx
xxxx
x
xx
x
xx
f. Akan ditunjukkan nRx∈α . Sudah jelas (dari persamaan (2.6))
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
13
g. Akan ditunjukkan yxyx ααα +=+ )(
yxyx αα
α
αα
α
αα
αα
αααα
αα +=
⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
+
⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
=
⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
+
++
=
⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
+
++
=+
nnnnnn y
yy
x
xx
yx
yxyx
yx
yxyx
MMMM2
1
2
1
22
11
22
11
)(
h. Akan ditunjukkan x)( βα + xx βα +=
⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
+
⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
=
⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
+
++
=
⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
+
++
=
⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
+=+
nnnnnn x
xx
x
xx
xx
xxxx
x
xx
x
xx
β
ββ
α
αα
βα
βαβα
βα
βαβα
βαβαMMMMM
2
1
2
1
22
11
2
1
2
1
)(
)()(
)()( x
xx βα +=
i. Akan ditunjukkan ada elemen identitas terhadap operasi perkalian
xx =
⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
=
⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
=
⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
=
nnn x
xx
x
xx
x
xx
MMM2
1
2
1
2
1
1
11
11
j. Akan ditunjukkan )()( xx βαβα =
)(
_)(
)()(
)(
)()(
)( 2
1
2
1
2
1
2
1
xx βα
β
ββ
α
βα
βαβα
βα
βαβα
αββα =
⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
=
⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
=
⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
=
⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
=
nnnn x
xx
x
xx
x
xx
x
xx
MMMM. ~
Definisi 2.10 Subruang (Subspaces)
Jika W adalah subhimpunan tak kosong dari suatu ruang vektor V dan W me-
menuhi syarat-syat berikut:
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
14
a. untuk W∈x dan sebarang skalar F∈α maka W∈xα
b. untuk W∈x dan W∈y maka vektor W∈+ yx
maka W disebut subruang vektor dari V .
Definisi 2.11 Ruang Nol (Null Spaces)
Misalkan A adalah matriks berukuran nm× . Misalkan )(AN menyatakan him-
punan semua penyelesaian dari sistem persamaan homogen 0xA = . Jadi
}{)( 0AxRxA =∈= nN (2.7)
)(AN disebut sebagai ruang nol.
Contoh 2.2
Tunjukkan bahwa }{)( 0AxRxA =∈= nN merupakan ruang vektor.
Bukti:
Misalkan
⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
=
nx
xx
M2
1
x ,
⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
=
ny
yy
M2
1
y , dan
⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
=
nz
zz
M2
1
z , nRzyx ∈∀ ,, , R∈∀ βα ,
a. Akan ditunjukkan )(AAyAx N∈+
000AyAx =
⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
=
⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
+
⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
=+=+
0
00
0
00
0
00
MMM
Jadi )(AAyAx N∈+
b. Akan ditunjukkan AyAx + AxAy +=
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
15
=
⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
+
⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
=
⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
+
⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
=+=+
0
00
0
00
0
00
0
00
MMMM00AyAx AxAy00 +=+
c. Akan ditunjukkan =++ )( AzAyAx AzAyAx ++ )(
⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
+
⎟⎟⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜⎜⎜
⎝
⎛
⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
+
⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
=
⎟⎟⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜⎜⎜
⎝
⎛
⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
+
⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
+
⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
=++=++
0
00
0
00
0
00
0
00
0
00
0
00
)()(MMMMMM
000AzAyAx
AzAyAx000 ++=++= )()(
d. Akan ditunjukkan ada elemen identitas terhadap operasi penjumlahan
Elemen identitasnya
⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
=
0
00
M0 sehingga
Ax0000Ax ==
⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
=
⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
+
⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
=+=+
0
00
0
00
0
00
MMM
e. Akan ditunjukkan ada elemen invers
Invers dari
⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
==
0
00
M0Ax adalah
⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
−
−−
=−=−
0
00
)(M
0Ax sehingga
0AxAx =
⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
=
⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
−
−−
+
⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
=−+
0
00
0
00
0
00
))((MMM
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
16
f. Akan ditunjukkan )(AAx N∈α
)(
0
00
0
00
A00Ax N∈=
⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
=
⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
==MM
ααα
g. Akan ditunjukkan AyAxAyAx ααα +=+ )(
( ) AyAx00AyAx αα
α
αα
α
αα
ααα +=
⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
+
⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
=
⎟⎟⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜⎜⎜
⎝
⎛
⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
+
⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
=+=+
0
0 0
0
0 0
0
00
0
00
)(MMMM
h. Akan ditunjukkan =+ Ax)( βα AxAx βα +=
⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
+
⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
=
⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
+
++
=
⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
+=+=+
0
0 0
0
0 0
0 )(
0 )(0 )(
0
0 0
)()()(
β
ββ
α
αα
βα
βαβα
βαβαβαMMMM
AxAx
AxAx βα +=
i. Akan ditunjukkan ada elemen identitas terhadap operasi perkalian
Ax00Ax ==
⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
=
⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
==
0
00
0
00
1 11MM
j. Akan ditunjukkan )()( AxAx βααβ =
)(
0
0 0
0 )(
0 )(0 )(
0
0 0
)()()( AxAxAx βα
β
ββ
α
αβ
αβαβ
αβαβαβ =
⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
=
⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
=
⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
==MMM
. ~
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
17
Teorema 2.1
}{)( 0AxRxA =∈= nN merupakan subruang dari nR .
Bukti:
Akan dibuktikan bahwa )(AN adalah subruang dari nR , yakni
a. Misalkan )(Ax N∈ dan α suatu skalar, maka 00AxxA === ααα )()( .
Jadi )(Ax N∈α .
b. Misalkan x dan y adalah elemen – elemen dari )(AN , maka
000AyAxyxA =+=+=+ )(
Jadi )(Ayx N∈+ .
Dari (a) dan (b) terbukti bahwa )(AN adalah subruang dari nR . ▄
Definisi 2.12 Kombinasi Linear
Misalkan nxxx ,,, 21 K adalah vektor – vektor dalam suatu ruang vektor V atas
lapangan F . Jumlahan vektor-vektor yang berbentuk
nnxxx ααα +++ L2211 (2.8)
disebut suatu kombinasi linear dari nxxx ,,, 21 K , dengan skalar Fn ∈αα ,,1 K .
Definisi 2.13 Merentang (span)
Jika nxxx ,,, 21 K adalah vektor-vektor pada ruang vektor V dan jika masing-
masing vektor pada V dapat dinyatakan sebagai kombinasi linear dari
nxxx ,,, 21 K maka dapat dikatakan bahwa vektor-vektor nxxx ,,, 21 K merentang
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
18
V dan dilambangkan ),,,( 21 nS xxx K .
Teorema 2.2
Jika nxxx ,,, 21 K adalah vektor-vektor dalam ruang vektor V maka
),,,( 21 nS xxx K adalah subruang dari V .
Bukti:
Misalkan β suatu skalar dan misalkan nnxxxb ααα +++= L2211 adalah
sebarang elemen dari ),,,( 21 nS xxx K .
Maka nn xxxb )()()( 2211 βαβαβαβ +++= L
Jadi ),,,( 21 nS xxxb K∈β
Selanjutnya akan ditunjukkan bahwa sebarang jumlah elemen-elemen dari
),,,( 21 nS xxx K juga berada dalam ),,,( 21 nS xxx K
Misalkan nnxxxb ααα +++= L2211 dan nnxxxc βββ +++= L2211
Maka nnn xxxcb )()()( 222111 βαβαβα ++++++=+ L
Jadi ),,,( 21 nS xxxcb K∈+
Jadi ),,,( 21 nS xxx K adalah subruang dari V . ▄
Definisi 2.14 Himpunan Perentang
Himpunan },,,{ 21 nxxx K disebut himpunan perentang untuk ruang vektor V
jika hanya jika ),,,( 21 nS xxxV K= .
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
19
Contoh 2.3
Misalkan ie adalah vektor dalam nR yang komponen ke- i adalah 1 dan kompo-
nen yang lainnya semua sama dengan nol, untuk ni ,,2,1 K= . Jadi
⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
=
⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
=
⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
=
1
00
,,
0
10
,
0
01
21M
LMM
neee .
Setiap vektor nRv∈ dapat dinyatakan sebagai kombinasi linear dari vektor-vek-
tor neee ,,, 21 L tersebut, yaitu jika
⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
=
nv
vv
M2
1
v adalah sebarang vektor dalam nR ,
maka nnvvv eeev +++= L2211 . Oleh karena itu },,,{ 21 neee L adalah himpunan
perentang untuk nR . ~
Definisi 2.15 Bebas linear (linearly independent)
Vektor – vektor nxxx ,,, 21 K dalam ruang vektor V disebut bebas linear jika
0xxx =+++ nnααα L2211 (2.9)
mengakibatkan semua skalar – skalar nαα ,,1 K harus sama dengan nol.
Definisi 2.16 Bergantung Linear (linearly dependent)
Vektor – vektor nxxx ,,, 21 K dalam ruang vektor V disebut bergantung linear
jika terdapat skalar – skalar nαα ,,1 K yang tidak semuanya nol sehingga
0xxx =+++ nnααα L2211 (2.10)
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
20
Definisi 2.17 Basis
Misalkan V suatu ruang vektor atas lapangan F . Himpunan vektor - vektor
{ }nxxx ,,., 21 K membentuk basis untuk ruang vektor V jika dan hanya jika
a. { }nxxx ,,., 21 K bebas linear
b. { }nxxx ,,., 21 K merentang V
Contoh 2.4
Tunjukkan bahwa { }neee ,,, 21 K adalah basis.
Bukti:
Dalam contoh 2.3 telah ditunjukkan bahwa neee ,,, 21 K merentang nR . Bila
0eee =+++ nnvvv L2211 maka
⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
=
⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
0
00
2
1
MM
nv
vv
, sehingga 021 ==== nvvv L .
Jadi neee ,,, 21 K bebas linear.
Maka { }neee ,,, 21 K merupakan basis untuk nR . ~
Basis tersebut disebut basis baku untuk nR
Definisi 2.18 Vektor-Vektor Baris dan Vektor-Vektor Kolom
Misalkan matriks
⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
=
mnmm
n
n
aaa
aaaaaa
L
MOMM
L
L
21
22221
11211
A . Vektor-vektor dalam n×1R yaitu
[ ]naaa 112111 L=r , [ ]naaa 222212 L=r , [ ]mnmmm aaa LL 21, =r
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
21
yang dibentuk dari baris-baris matriks A dinamakan vektor-vektor baris dari A
dan vektor-vektor dalam mR , yaitu
⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
=
1
21
11
1
ma
aa
Mk ,
⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
=
2
22
12
2
ma
aa
Mk ,
⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
=
mn
n
n
n
a
aa
ML 2
1
, k
yang dibentuk dari kolom-kolom matriks A , dinamakan vektor-vektor kolom
dari A .
Definisi 2.19 Ruang Baris dan Ruang kolom
a. Subruang yang direntang oleh m vektor baris matriks A merupakan subruang
dari n×1R dan disebut ruang baris A .
b. Subruang yang direntang oleh n vektor kolom matriks A merupakan
subruang dari mR dan disebut ruang kolom A . Ruang kolom A dapat
dinotasikan
{ }nmR RxAxbRbA ∈=∈= untuk )(
Definisi 2.20 Rank Dari Matriks
Rank dari matriks A berukuran nm× ditunjukkan dengan )(Ar . Rank matriks
A penuh jika )(Ar = min },{ nm .
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
22
2. Hasil Kali Dalam Dan Ortogonalitas
Definisi 2.21 Ruang Hasil Kali Dalam
Hasil kali dalam pada ruang vektor V adalah sebuah operasi pada V yang
menunjuk setiap pasang vektor - vektor x dan y di dalam V sebuah bilangan
real yx, yang memenuhi syarat berikut:
a. 0,dan ,, =≠∀≥ xx0x0xx jika hanya jika =x 0 .
b. V∈∀= yxxyyx ,,,
c. V∈∀+=+ zyxzyzxzyx ,,,,,, βαβα dan R∈∀ βα ,
Sebuah ruang vektor V dengan hasil kali dalamnya disebut ruang hasil kali
dalam .
Contoh 2.5
Ruang vektor nR . Tunjukkan bahwa hasil kali skalar yang didefinisikan:
[ ] nn
n
nT yxyxyx
y
yy
xxx +++=
⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
== KM
L 22112
1
21, yxyx . (2.11)
adalah hasil kali dalam untuk nR (yang disebut hasil kali dalam baku).
Persamaan (2.11) dapat juga ditulis
∑=
==n
iii
T yx1
, yxyx (2.12)
dengan Tx menyatakan transpose matriks x .
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
23
Bukti:
Ambil sebarang vektor
⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
=
nx
xx
M2
1
x ,
⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
=
ny
yy
M2
1
y , dan
⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
=
nz
zz
M2
1
z dalam ruang
vektor nR dan sebarang skalar R∈βα ,
a. Dibuktikan 0, ≥= xxxx T
Diketahui xxxx T=,
[ ] 0, 222
21
2
1
21 ≥+++=
⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
== n
n
nT xxx
x
xx
xxx KM
Lxxxx
Jadi 0, ≥xx
)(⇒ Diketahui 0, =xx
Untuk 0... 222
21 =+++ nxxx diperoleh 0.......21 ==== nxxx
jadi 0x =
⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
=
⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
=
0
00
2
1
MM
nx
xx
)(⇐ Diketahui 0x =
Dibuktikan 0, == xxxx T
00xxxx TT ==, [ ]⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
=
0
00
000M
L
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
24
Jadi 00.00.00.0 =+++= KxxT
b. Dibuktikan nRyxxyyx ∈∀= ,,,
yaitu dibuktikan xyxyyxyx ,, === TT
yxyx T=,
[ ] nn
n
n yxyxyx
y
yy
xxx +++=
⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
= KM
L 22112
1
21
nn xyxyxy +++= K2211
[ ]⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
=
n
n
x
xx
yyyM
L 2
1
21
xyxy ,== T
Jadi xyyx TT = (2.13)
Jadi terbukti nRyxxyyx ∈∀= ,,,
c. Dibuktikan nRzyxzyzxzyx ∈∀+=+ ,,,,,, βαβα , R∈∀ βα ,
[ ]⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
+++=+
n
nn
z
zz
yxyxyxM
L 2
1
2211, βαβαβαβα zyx
nnnn zyzyzyzxzxzx βββααα +++++++= KK 22112211
)()( 22112211 nnnn zyzyzyzxzxzx +++++++= KK βα
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
25
[ ] [ ]⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
+
⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
=
n
n
n
n
z
zz
yyy
z
zz
xxxM
LM
L 2
1
212
1
21 βα
zyzx TT βα += (2.14)
zyzx ,, βα +=
Jadi terbukti nRzyxzyzxzyx ∈∀+=+ ,,,,,, βαβα
Dari (a), (b), (c) terbukti bahwa hasil kali dalam di ruang vektor nR adalah
hasil kali skalar yxyx T=, . ~
Definisi 2.22 Panjang atau norma
Jika x adalah sebuah vektor di dalam sebuah ruang hasil kali dalam nR , pan-
jang atau norma dari x didefinisikan
222
21)( n
T xxx +++== Kxxx (2.15)
Definisi 2.23 Ortogonal
Dua vektor dalam nR , yaitu yx dan , dikatakan orthogonal, dilambangkan
yx ⊥ , jika
0=yxT (2.16)
Definisi 2.24 Subruang Yang Ortogonal
Dua subruang vektor dalam nR , yaitu X dan Y , dikatakan orthogonal jika
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
26
XT ∈∀= xyx ,0 dan Y∈y (2.17)
Jika X dan Y saling orthogonal, dapat ditulis sebagai YX ⊥ .
Teorema 2.3
bAx = adalah konsisten jika hanya jika )(Ab R∈
Bukti:
)(⇒
Akan dibuktikan )(Ab R∈ , artinya b berada di ruang kolom dari )(AR
Misalkan A adalah matriks nm× dan nRx∈
Karena bAx = adalah konsisten maka bAx = mempunyai penyelesaian
Misalkan x adalah penyelesaian
Maka
⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
=
nmnmm
n
n
x
xx
aaa
aaaaaa
M
L
MOMM
L
L
2
1
21
22221
11211
Ax
⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
+++
++++++
=
nmnmm
nn
nn
xaxaxa
xaxaxaxaxaxa
L
M
L
L
2211
2222121
1212111
=
⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
mb
bb
M2
1
b
Atau dapat ditulis
niniii xaxaxab +++= L2211
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
27
Perhatikan bahwa b merupakan vektor yang direntang oleh vektor-vektor
kolom matriks A . Ini berarti b berada di ruang kolom A . Jadi )(Ab R∈
)(⇐
Akan dibuktikan bAx = adalah konsisten
Karena )(Ab R∈ maka b dapat direntangkan oleh oleh vektor-vektor
kolom matriks A , yang dapat ditulis
niniii xaxaxab +++= L2211
Berarti
⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
=
nx
xx
M2
1
x memenuhi sistem bAx =
Jadi x adalah penyelesaian
Jadi bAx = adalah konsisten. ▄
Teorema 2.4
Misalkan A matriks berukuran nm× . Andaikan matriks A mempunyai rank
penuh m . Misalkan )(AN menyatakan ruang nol A dan )( TR A menyatakan
ruang kolom dari TA maka )(AN dan )( TR A merupakan subruang yang saling
orthogonal.
Bukti:
Misalkan )(Ax N∈ dan )( TR Ay∈
Akan dibuktikan ⊥)(AN )( TR A
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
28
Berarti cukup dibuktikan yx ⊥ , artinya 0=yxT , )( , )( TRN AyAx ∈∈∀
}{)( 0AxRxA =∈= nN dan
{ }mTnTR RzzAyRyA ∈=∈= untunk )(
Maka zAxzAxyx TTTT )()( ==
Karena 0Ax =
Maka z0yx TT =
Maka 0=yxT
Jadi yx ⊥
Jadi ⊥)(AN )( TR A . ▄
)( TR A disebut juga sebagai ruang jawab dari zAy T= .
Dari teorema 2.4 telah diperlihatkan bahwa nN RA ∈)( dan nTR RA ∈)(
adalah subruang yang saling orthogonal. Misalkan )(Ax N∈ dan )( TR Ay∈ dan
yxc += , nRc∈ .
Gambar 2.1. yxc +=
c
x0Ax =
y
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
29
x dapat juga ditulis
ycx −= (2.18)
Karena zAy T= , maka didapatkan
zAcx T−= (2.19)
Kalikan kedua ruas dengan A , maka didapatkan
zAAAcAx T−=
Diketahui bahwa 0Ax = , maka didapatkan
zAAAc0 T−=
zAAAc T=
z AcAA 1)( −= T (2.20)
Subsitusikan persamaan (2.20) ke persamaan (2.19), maka didapatkan
AcAAAcx 1)( −−= TT
cAAAAI ])([ 1−−= TT
Pc= (2.21)
dengan ])([ 1 AAAAIP −−= TT (2.22)
Definisi 2.25 Matriks Proyeksi Orthogonal
Matriks P berukuran nn× , dengan ])([ 1 AAAAIP −−= TT disebut matriks
proyeksi ruang nol A atau matriks proyeksi orthogonal.
Perhatikan bahwa )( TR Ay∈ , maka berdasarkan persamaan (2.20)
RcAcAAAzAy === −1)( TTT (2.23)
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
30
dengan AAAAR 1)( −= TT (2.24)
Sifat 2.1
Misalkan P adalah matriks proyeksi orthogonal berukuran nn× , dengan
])([ 1 AAAAIP −−= TT maka
a. PP =2
b. PP =T
Bukti:
a. Diketahui ])([ 1 AAAAIP −−= TT
Maka ])([])([ 112 AAAAIAAAAIP −− −−= TTTT
AAAAAAAAII 112 )())((2 −− +−= TTTT AAAA 1)( −TT
AAAAAAAAI 11 )())((2 −− +−= TTTT
=−= − AAAAI 1)( TT P
b. TP TTT ])([ 1 AAAAI −−=
AAAAI TTT ))(( 1−−=
AAAAI 1))(( −−= TTT
=−= − AAAAI ))( 1TT P . ▄
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
31
3. Transformasi Linear
Definisi 2.26 Transformasi
Misalkan V dan W dua ruang vektor. Transformasi atau pemetaan atau
fungsi T dari V ke dalam W adalah aturan yang memasangkan setiap elemen x
di V dengan satu dan hanya satu elemen di W . Untuk selanjutnya, transformasi
ini ditulis
WVT →:
Ruang vektor V disebut daerah asal T . Nilai transformasi T untuk elemen
V∈x ditulis )(xT yang merupakan elemen di W . Elemen )(xT disebut peta
dari x .
Definisi 2.27 Transformasi Linear
Misalkan V dan W dua ruang vektor. Transformasi WVT →: disebut transfor-
masi linear jika
a. Untuk sebarang vektor 1x dan 2x di V berlaku
)()()( 2121 xxxx TTT +=+ (2.25)
b. Untuk sebarang bilangan real s dan vektor x di V berlaku
)()( xx sTsT = (2.26)
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
32
C. Masalah Program Linear
1. Bentuk Standar Masalah Program Linear
Perumusan masalah program linear dibagi menjadi dua, yakni fungsi sa-
saran dan kendala-kendala.
Definisi 2.28 Fungsi sasaran
Fungsi sasaran dalam masalah program linear dapat dinyatakan sebagai
∑=
=p
jjj xcf
1
(2.27)
dengan p merupakan bilangan bulat yang menyatakan banyaknya variabel, jx
merupakan variabel ke- j , dan ∈jc R merupakan koefisien ongkos dari variabel
ke- j , dengan pj ,,1K=
Kendala-kendala dibagi dua, yakni kendala utama dan kendala tak nega-
tif.
Definisi 2.29 Kendala utama
Kendala utama masalah program linear berbentuk
( )∑=
≥=≤p
jijij bxa
1
,, , mi ,...,2,1= ; pj ,,1K= (2.28)
dengan m merupakan banyaknya persamaan, R∈ija merupakan koefisien
variabel ke- j pada persamaan ke- i dan ib menyatakan konstanta di ruas kanan
untuk persamaan ke- i .
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
33
Definisi 2.30 Kendala Tak Negatif
Kendala tak negatif berbentuk
;0≥jx .,...,2,1 pj = (2.29)
Untuk mencari penyelesaian dari sistem (2.28), kendala utama yang ber-
bentuk pertidaksamaan diubah menjadi persamaan, dengan cara sebagai berikut:
a. Kendala yang berbentuk ,1∑=
≤p
jijij bxa pada ruas kiri disisipkan variabel
pengetat (slack variable) is sedemikian sehingga dipenuhi:
∑=
=+p
jiijij bsxa
1
dengan ,0≥is mi ,...,2,1= ; pj ,...,2,1=
Dalam hal ini,
jika ;1∑=
=p
jijij bxa mi ,...,2,1= ; pj ,...,2,1= maka 0=is
dan jika ;1∑=
<p
jijij bxa mi ,...,2,1= ; pj ,...,2,1= maka 0>is
b. Kendala yang berbentuk ,1∑=
≥p
jijij bxa pada ruas kanan disisipkan variabel
surplus (surplus variable) it sedemikian sehingga dipenuhi:
;1∑=
+=p
jiijij btxa mi ,...,2,1= ; pj ,...,2,1=
yang ekivalen dengan
∑=
=−p
jiijij btxa
1
dengan ,0≥it mi ,...,2,1= ; pj ,...,2,1=
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
34
Dalam hal ini,
jika ;1∑=
=p
jijij bxa mi ,...,2,1= ; pj ,...,2,1= maka 0=it
jika ;1∑=
>p
jijij bxa mi ,...,2,1= ; pj ,...,2,1= maka 0>it
Dengan demikian kendala utama akan berubah menjadi sistem persamaan linear:
;1∑=
=n
jijij bxa mi ,...,2,1= ; nj ,...,2,1= (2.30)
yakni dengan memberi lambang variabel pengetat atau variabel surplus jx dimu-
lai dari 1+= pj sampai ,nj = dengan n adalah banyaknya variabel .jx Dan su-
paya penyelesaian sistem (2.30) menjadi layak masih harus dipenuhi kendala tak
negatif
;0≥jx .,...,2,1 nj = (2.31)
Untuk menyesuaikan dengan bentuk kendala yang baru, fungsi sasaran
yang semula berbentuk
pp
p
jjj xcxcxcxcf +++== ∑
=
...22111
(2.32)
dilengkapi menjadi
nnpppp
n
jjj xcxcxcxcxcxcf ++++++== ++
=∑ ...... 112211
1
(2.33)
dengan 0....21 ==== ++ npp ccc
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
35
Dengan demikian, suatu masalah program linear dapat dinyatakan dalam bentuk
sebagai berikut:
Maksimumkan (atau minimumkan)
∑=
=n
jjj xcf
1
(2.34)
dengan kendala
;1∑=
=n
jijij bxa mi ,...,2,1= .,...,2,1; nj = (2.35)
;0≥jx .,...,2,1 nj = (2.36)
Bentuk di atas (dengan semua kendala utama berbentuk persamaan) disebut ben-
tuk standar dari masalah program linear.
Bentuk di atas bila ditulis dalam notasi matriks adalah sebagai berikut
Maksimumkan (atau Minimumkan) xcTf = (2.37)
dengan kendala bAx },,{ =≥≤ (2.38)
0x ≥ (2.39)
dengan ( )jx=x
( )ija=A adalah koefisien matriks kendala
( )ib=b adalah vektor suku tetap
( )jc=c adalah vektor ongkos
Dimana mi ,...,2,1= ; .,...,2,1 nj =
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
36
Definisi 2.31 Penyelesaian Layak
Nilai-nilai variabel yang memenuhi kendala utama (2.38) dan kendala tak negatif
(2.39) disebut penyelesaian layak .
Pada umumnya sistem persamaan linear (2.38) mempunyai penyelesaian
takhingga banyak. Di antara penyelesaian-penyelesaian tersebut dicari juga yang
memenuhi (2.39), dan pada umumnya masih mempunyai penyelesaian takhingga
banyak. Kemudian di antara penyelesaian layak yang takhingga banyak ini dicari
yang mengoptimumkan fungsi sasaran, maka akan diperoleh penyelesaian opti-
mum.
Definisi 2.32 Penyelesaian Basis
Suatu vektor x merupakan penyelesaian basis, jika:
a. x memenuhi persamaan kendala dalam program linear
b. kolom-kolom matriks kendala yang bersesuaian dengan vektor tak nol x
adalah bebas linear.
Definisi 2.33 Penyelesaian Layak Basis
Suatu vektor x disebut penyelesaian layak basis jika vektor x merupakan
penyelesaian basis yang memenuhi kendala tak negatif 0x ≥ .
Definisi 2.34 Penyelesaian Layak Basis Optimum
Suatu vektor x disebut penyelesaian layak basis optimum jika x adalah
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
37
penyelesaian layak basis yang memberikan nilai optimum untuk fungsi sasaran.
2. Dualitas
Dalam masalah program linear timbul hubungan dual antara dua soal
program linear tertentu dan masing-masing penyelesaian optimumnya akan ber-
kaitan. Perhatikan contoh berikut.
Contoh 2.6
Misalkan terdapat masalah program linear , namakan saja soal P, yakni
Maksimumkan xcTf = (2.40)
dengan kendala bAx ≤ (2.41)
0x ≥ (2.42)
Masalah program linear ini berpola maksimum standar. Soal P disebut soal pri-
mal karena lebih dulu ditentukan. Dari soal primal dapat ditentukan soal dual,
yakni
Minimumkan wbTg = (2.43)
dengan kendala cwA ≥T (2.44)
0w ≥ (2.45)
dengan x adalah penyelesaian dari soal primal dan w penyelesaian dari soal
dual. Perhatikan bahwa vektor suku tetap dalam (2.41) menjadi vektor ongkos
dalam (2.43) dan sebaliknya vektor ongkos dalam (2.40) menjadi vektor suku
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
38
tetap dalam (2.44). Sedangkan koefisien matriks kendala (2.41) adalah transpose
matriks koefisien kendala (2.44).
Teorema 2.5
Jika x suatu penyelesaian layak dari soal primal dan w penyelesaian layak dari
soal dual maka wbxc TT ≤ (berarti nilai f yang bersesuaian dengan soal primal
lebih kecil atau sama dengan nilai g yang bersesuaian dengan soal dual)
Bukti:
Misalkan
⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
=
nx
xx
M2
1
x adalah penyelesaian layak dari soal primal
dan
⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
=
mw
ww
M2
1
w adalah penyelesaian layak dari soal dual
Maka i
n
jjij bxa ≤∑
=1
, untuk mi ,,1K=
Bila kedua ruas dikalikan dengan iw , maka didapatkan
ii
n
jjiji bwxaw ≤∑
=1
, untuk mi ,,1K= (karena 0≥iw )
Bila dijumlahkan menurut i , maka didapatkan
mm
n
jjijm
n
jjij bwbwxawxaw ++≤++ ∑∑
==
LL 1111
1
Dari persamaan (2.12), maka
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
39
∑∑∑===
≤m
iii
n
jjij
m
ii bwxaw
111
bwAxw TT ≤
Dari persamaan (2.13), maka didapatkan
wbAxw TT ≤ (2.46)
Karena w penyelesaian layak dari soal dual. Maka j
m
iiij cwa ≥∑
=1
,
untuk nj ,,1K= .
Bila kedua ruas dikalikan dengan jx , maka didapatkan
jjj
m
iiij xcxwa ≥∑
=
1
, untuk nj ,,1K=
jj
m
ijiji xcxaw ≥∑
=1
, untuk nj ,,1K=
Bila dijumlahkan menurut j , maka didapatkan
nn
m
inini
m
iii xcxcxawxaw ++≥++ ∑∑
==
LL 1111
11
( ) nnnini
m
ii xcxcxaxaw ++≥++∑
=
LL 11111
∑∑∑===
≥n
jjj
n
jjij
m
ii xcxaw
111
xcAxw TT ≥ (2.47)
Dari persamaan (2.46) dan persamaan (2.47), maka wbAxwxc TTT ≤≤
Jadi wbxc TT ≤ . ▄
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
40
Teorema 2.6
Jika 0x adalah penyelesaian layak dari soal primal dan 0w penyelesaian layak
dari soal dual dengan 00 wbxc TT = , maka 0x adalah penyelesaian optimum untuk
soal primal dan 0w penyelesaian optimum untuk soal dual. Ini berarti
minimummaksimum gf = .
Bukti:
Diketahui 00 wbxc TT = . Dari teorema 2.5, maka 00 xcwbxc TTT =≤ untuk
sebarang penyelesaian layak x . Jadi 0xcxc TT ≤ berarti 0x adalah
penyelesaian optimum bagi soal primal.
Analog dengan bukti di atas, untuk sebarang penyelesaian w bagi soal dual
berlaku 00 wbxcwb TTT =≥ . Jadi 0wbwb TT ≥ berarti 0w adalah
penyelesaian optimum untuk soal dual.
Sehingga minimum00maksimum gf TT === wbxc . ▄
D. Optimisasi Fungsi Untuk Persoalan Linear
1. Optimisasi
Optimisasi merupakan suatu proses penentuan penyelesaian yang terbaik
dari suatu masalah. Dalam masalah optimisasi fungsi sasaran adalah mengopti-
mumkan (memaksimumkan/meminimumkan) nilai suatu fungsi.
Perhatikan masalah berikut
)(kanMinimum xx
fS∈
, dengan nRx∈
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
41
Karena masalah memaksimumkan dapat juga dinyatakan sebagai masalah yang
meminimumkan seperti berikut
))((Minimum)(Maksimum xxxx
ffSS
−=∈∈
dan kemudian nilai optimum sasarannya dikalikan dengan -1. Alasan inilah se-
hingga cukup untuk dibahas masalah minimum saja.
Definisi 2.35 Pembuat Minimum Global
Suatu titik S∈*x disebut pembuat minimum global )(xf atas S jika untuk
setiap ∈x S berlaku ≤)( *xf )(xf .
Definisi 2.36 Pembuat Minimum Lokal
Suatu titik *x disebut pembuat minimum lokal )(xf atas S jika untuk setiap
∈x S terdapat 0>δ dan δ<− *xx sedemikian hingga berlaku ≤)( *xf )(xf .
2. Kelayakan
Definisi 2.37 Titik Layak dan Daerah Layak
a. Suatu titik yang memenuhi semua kendala disebut titik layak (feasible point)
b. Himpunan dari titik layak-titik layak disebut daerah layak (feasible region)
atau himpunan layak (feasible set) dan dinotasikan dengan S .
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
42
Definisi 2.38 Persekitaran (Neighbourhoods)
Persekitaran dari titik nRx∈ adalah himpunan dari titik – titik
{ }εε <−∈= xyRyx n :)(N , dengan 0>ε (2.48)
Definisi 2.39 Titik Dalam (Interior Point)
Suatu titik *x dikatakan titik dalam dari himpunan S jika ada persekitaran dari
*x sedemikian sehingga semua titik dalam persekitaran dari *x juga berada dalam
S , yakni
SN ⊂)( *xε (2.49)
Definisi 2.40 Titik batas
Suatu titik x dikatakan titik batas dari himpunan S jika setiap persekitaran dari
x terdiri dari titik yang berada di dalam dan di luar S , dinotasikan
∧≠∩ φε SN )(x φε ≠∩ cSN )(x (2.50)
E. Metode arah layak
Metode arah layak merupakan suatu metode untuk menyelesaikan ma-
salah program linear dengan bergerak dari suatu penyelesaian layak ke penyele-
saian layak yang lain pada suatu arah kd sehingga diperoleh nilai sasaran yang le-
bih baik dengan syarat-syarat yang menyertainya. Pada masalah meminimumkan,
ide dasar dari metode arah layak adalah memilih titik awal yang memenuhi semua
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
43
kendala, kemudian ke titik yang lebih baik sesuai dengan alur iterasi:
kk
kk dxx α+=+1
kx adalah penyelesaian layak pada iterasi ke- k ,
kd arah pencarian
kα adalah besar langkah )0( >α
Nilai α dipilih sedemikian sehingga nilai 1+kx tetap berada pada daerah layak.
Sedangkan arah langkah kd dipilih sedemikian sehingga pada setiap perpindahan
dalam iterasinya tidak melanggar kendala yang diberikan sehingga dapat mem-
perbaiki nilai dari fungsi sasaran.
Jadi, titik 1+kx yang diperoleh dipakai sebagai titik baru untuk iterasi
berikutnya dan iterasi diulang sampai diperoleh suatu titik (sebut *x ) sedemikian
sehingga tidak dapat ditentukan lagi arah layak yang memperbaiki nilai sasaran
atau dengan kata lain titik itu sudah memenuhi syarat arah langkah kd yang mem-
perbaiki nilai sasaran.
Definisi 2.41 Arah layak (Feasible direction)
Diberikan masalah meminimumkan )(xf dengan kendala S∈x dan S adalah
himpunan layak. Suatu vektor nRd∈ , 0≠d adalah arah layak pada S∈x jika:
∋>∃ 00α S∈+ dx α , ],0[ 0αα ∈∀ (2.51)
Selanjutnya, vektor d , 0≠d disebut arah layak yang memperbaiki nilai sasaran
(improving feasible direction) pada S∈x jika:
∋>∃ 00α S∈+ dx α dan )()( xdx ff <+α , ],0[ 0αα ∈∀ (2.52)
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
44
Dari definisi 2.41, secara umum iterasi dari metode arah layak memerlukan
dua langkah, yaitu:
1. Mencari arah layak yang memperbaiki nilai sasaran pada titik yang ditentu-
kan dari tiap iterasinya.
2. Menentukan besar langkah yang berada pada daerah layak sesuai arah layak
yang memperbaiki nilai sasaran.
F. Metode Arah Turun Tercuram (Steepest Descent Direction)
Metode arah turun tercuram adalah metode arah layak yang dalam
menentukan besar langkah α dipilih untuk memperoleh harga maksimum dari
penurunan fungsi sasaran pada setiap langkahnya.
Metode arah turun tercuram digunakan untuk mencari minimum suatu
fungsi, yakni dengan menggunakan nilai negatif dari gradien fungsi di suatu titik.
Digunakan nilai negatif dari gradien karena gradien memberikan nilai kenaikan
yang semakin besar. Dengan nilai negatif dari gradien maka akan diperoleh nilai
penurunan yang semakin besar.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
45
BAB III
METODE PRIMAL AFFINE SKALING
Metode affine-skaling adalah salah satu kelas dalam metode titik-dalam
yang paling sederhana. Dalam tulisan ini akan dibatasi hanya untuk masalah pri-
mal program linear yang meminimumkan fungsi sasaran, sehingga metode yang
digunakan disebut sebagai metode primal affine-skaling.
Penyelesaian masalah program linear menggunakan metode primal af-
fine-skaling dimulai dengan memilih titik-dalam (interior point), namakan kx ,
dari suatu daerah layak di ruang penyelesaian awal. Kemudian kx ditransformasi
oleh transformasi affine-skaling, namakan kT , sedemikian sehingga hasil
transformasi kx diposisikan dekat dengan pusat di ruang penyelesaian hasil
transformasi. Hasil transformasi affine-skaling tersebut namakan ky .
Selanjutnya dari ky dijalankan ke titik-dalam lain, yaitu 1+ky yang
menggerakkan nilai f sampai f optimum. Digunakan arah turun tercuram
(steepest descent), yakni dengan menggunakan nilai negatif dari gradien fungsi
yang akan dioptimumkan di suatu titik, yang bertujuan untuk memilih pencapaian
jumlah maksimum berkurangnya nilai fungsi sasaran. Penyelesaian yang didapat
di ruang penyelesaian tersebut ditransformasikan kembali dengan transformasi
invers yang sesuai, yaitu 1−kT ke ruang penyelesaian awal. Proses iterasi ini
diulang hingga penyelesaian optimum dicapai.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
46
Dalam bab ini akan dibahas yaitu bagaimana metode ini dimulai, bagai-
mana cara penentuan arah layak perpindahan terbaik dalam memperbaiki f , dan
bagaimana proses iterasinya berhenti.
A. Metode Primal Affine-Skaling
Untuk menyelesaikan masalah program linear dengan menggunakan
metode primal affine-skaling digunakan bentuk primal standar masalah program
linear berikut:
Minimumkan: xcTf = (3.1)
dengan kendala: bAx = (3.2)
0x ≥ (3.3)
dengan A adalah matriks nm× yang mempunyai rank penuh m , dengan nm ≤ ,
b adalah vektor yang panjangnya m , c dan x adalah vektor yang panjangnya n .
Definisi 3.1 Daerah Layak
Daerah layak dari soal primal adalah himpunan
{ }0xbAxRx ≥=∈= ,nP (3.4)
Definisi 3.2 Daerah Layak Dalam
Daerah layak dalam dari P adalah himpunan
{ }0xbAxRx >=∈= ,0 nP (3.5)
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
47
Definisi 3.3 Penyelesaian Dalam (Interior Solution)
Titik x disebut penyelesaian dalam dari masalah program linear jika 0P∈x dan
φ≠0P .
Definisi 3.4 Ortant tak negatif n+R
n+R disebut ortant taknegatif dari nR jika 0 , >∈∀ i
ni xx R ni ,,1dengan K= .
Definisi 3.5 Pusat
Vektor nRe∈ adalah vektor yang setiap elemennya sama dengan 1, yakni
⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
=
1
11
Me . Vektor e disebut sebagai pusat n
+R .
Berikut merupakan contoh untuk menentukan dan memperkenalkan titik-dalam
dari soal program linear
Contoh 3.1
Minimumkan: 212 xxf +−=
dengan kendala: 1521 ≤− xx
152 ≤x
0, 21 ≥xx
Agar menjadi bentuk standar, variabel pengetat ditambahkan pada masalah pro-
gram linear tersebut, yakni:
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
48
Minimumkan: 4321 002 xxxxf +++−=
dengan kendala: 15321 =+− xxx
1542 =+ xx
0,,, 4321 ≥xxxx
Untuk menyelesaikan masalah program linear dengan metode primal affine-
skaling, diperlukan titik-dalam awal yang memenuhi persamaan (3.5). Untuk
menentukan titik-dalam awal dapat digunakan subsitusi mundur atau algoritma
Gauss-Jordan. Dalam contoh 3.1 digunakan subsitusi mundur.
Matriks lengkap dari persamaan kendala di atas adalah
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡ −=
151010150111
A
Kemudian matriks lengkap dari sistem persamaan kendala diatas diubah menjadi
matriks eselon
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡⎯⎯ →⎯⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡ − +
151010301101
151010150111
21 RR
Setelah didapatkan matriks eselon. Tentukan variabel bebas dan variabel tak be-
bas. 43 , xx adalah variabel bebas dan 21 , xx adalah variabel tak bebas. Ke-
mudian nyatakan variabel bebas tersebut dalan parameter. Misal
txsx == 43 dan
Dari persamaan terakhir didapat
txx −=−= 1515 42
Dari persamaan pertama didapatkan
tsxxx −−=−−= 3030 431
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
49
Jadi penyelesaian dari persamaan linear tersebut adalah
⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡−−−
=
⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
=
ts
tts
xxxx
1530
4
3
2
1
x
Karena bentuk umum penyelesaian dari sistem persamaan linear ini diketahui, be-
berapa penyelesaian dari sistem persamaan linear ini dapat dicari dengan menen-
tukan nilai ts dan , dengan catatan harus memenuhi persamaan (3.5). Misal
13dan 7 == ts , maka didapat
⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
=
⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
=
1372
10
4
3
2
1
1
xxxx
x
adalah penyelesaian dalam untuk soal di atas. ~
1. Transformasi Affine-Skaling
Langkah pertama dari metode primal affine-skaling adalah transformasi
affine-skaling, yaitu mengubah penyelesaian dalam yang dipilih dengan transfor-
masi affine-skaling sedemikian sehingga penyelesaian dalam yang dipilih di-
posisikan dekat dengan pusat dari daerah layak.
Ide dasar dari transformasi ini, yaitu
a. Jika penyelesaian dalam yang dipilih letaknya dekat dengan pusat dari daerah
layak seperti titik 1x pada gambar 3.1. Maka dapat dibuat perpindahan ke titik
*x yang maksimum dengan tetap memenuhi kelayakan. Sehingga dihasilkan
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
50
juga perbaikan nilai fungsi sasaran yang maksimum. Sedangkan jika penyele-
saian dalam yang dipilih letaknya dekat batas daerah layak seperti titik 2x
pada gambar 3.1. Maka hanya sedikit perpindahan dapat dibuat dengan tetap
memenuhi kelayakan. Sehingga dihasilkan juga perbaikan nilai fungsi sasaran
yang kecil. Perpindahan tersebut dilakukan dengan menggunakan arah turun
tercuram dari fungsi sasarannya. Dengan demikian arah turun tercuram lebih
efektif jika penyelesaian dalam yang dipilih berada dekat dengan pusat dari
daerah layak.
Gambar 3.1 Ide transformasi affine-skaling
Keterangan: *x adalah titik optimum yang ingin dicapai, 1x adalah titik-dalam yang dipilih dan letaknya dekat dengan pusat dari daerah layak, 2x adalah titik-dalam yang dipilih dan letaknya dekat dengan batas dari daerah layak
b. Tanpa harus mengubah soal, suatu transformasi yang sesuai dapat digunakan
sedemikian sehingga penyelesaian dalam yang dipilih diposisikan dekat
dengan pusat daerah layak.
1x
*x
2x
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
51
Definisi 3.6 Matriks skaling (Scaling Matrix)
Misalkan nk Rx ∈ adalah titik-dalam dari ortan tak negatif n+R yaitu 0>k
ix un-
tuk ni ,,1L= . Matriks diagonal nn× dengan elemen diagonalnya adalah titik-
dalam kx disebut matriks skaling kX , dituliskan sebagai berikut
⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
==
kn
k
k
kik
x
xx
xdiag
L
MOMM
L
L
00
0000
)( 2
1
X (3.6)
matriks kX adalah matriks nonsingular dengan matriks inversnya, yaitu
⎥⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
=⎟⎠⎞
⎜⎝⎛=
−
kn
k
k
ki
k
x
x
x
xdiag
100
010
001
1 2
1
1
L
MOMM
L
L
X (3.7)
Karena kX dan 1−kX adalah matriks diagonal nn× sehingga
kT
k XX =)( (3.8)
dan 11 )( −−= k
Tk XX (3.9)
Definisi 3.7 Transformasi affine-skaling (Affine-Scaling Tranformation)
Misalkan 0x ≥ , nRx∈ , transformasi affine-skaling )(xkT (atau dapat ditulis
kT ) dari n+R ke n
+R didefinisikan
=y xXx 1)( −= kkT (3.10)
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
52
Sifat 3.1
Misalkan ∈)(xkT n+R . Transformasi affine-skaling )(xkT dengan xXx 1)( −
= kkT
adalah transformasi linear.
Bukti:
a. Untuk sebarang vektor 1x dan 2x di nR
)()( 211
21 xxXxx +=+ −kT
21
11 xXxX −− += kk
)()( 21 xx TT +=
b. )()( 1 xXx ssT k−=
)( 1xX −= ks
)(xsT=
Jadi xXx 1)( −= kkT adalah transformasi linear. ▄
Transformasi kT memiliki beberapa sifat yaitu:
Sifat 3.2
Jika kx adalah suatu titik-dalam di n+R maka kT adalah pemetaan yang terdefinisi
dengan baik (well defined) dari n+R ke n
+R .
Bukti:
Terdefinisi dengan baik yaitu )()( ,, kk
kk
kknkk TT yxyxRyx =⇒=∈∀ +
Akan dibuktikan dengan kontrapositifnya, yaitu kkkk
kk TT yxyx ≠⇒≠ )()(
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
53
Misalkan nkk+∈Ryx ,
Bila kk yx dan dikenai transformasi affine-skaling kT , maka didapat
kk
kkT xXx 1)( −
= dan kk
kkT yXy 1)( −
=
Karena )()( kk
kk TT yx ≠
Maka kk
kk yXxX 11 −−
≠
kkk
kkk yXXxXX 11 −−
≠
Jadi kk yx ≠
Jadi kT adalah pemetaan yang terdefinisi dengan baik dari n+R ke n
+R . ▄
Sifat 3.3
kT memetakan kx ke posisi pusat dari n+R , yaitu ex =)( k
kT .
Bukti:
Misalkan n
kn
k
k
k
x
xx
+∈
⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
= RxM2
1
Bila kx dikenai transformasi affine-skaling kT , maka didapat
kk
kkT xXx 1)( −
=
⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
⎥⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
=
kn
k
k
kn
k
k
kk
x
xx
x
x
x
TM
L
MOMM
L
L
2
1
2
1
100
010
001
)(x
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
54
e=
⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
=
⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
=
1
11
2
2
1
1
MM
kn
kn
k
k
k
k
xx
xx
xx
Jadi ex =)( kkT . ▄ (3.11)
Secara geometri pemetaan transformasi affine skaling )( kkT x dapat diperlihatkan
pada ilustrasi dalam 2R berikut ini
Gambar 3.2. Titik-dalam yang dipilih kx ditransformasikan oleh kT ke posisi e .
Sifat 3.4
Jika x adalah titik batas dari S maka )(xkT adalah titik batas dari )(ST .
Bukti:
Dari definisi 2.40, suatu titik x dikatakan titik batas dari S jika setiap
persekitaran dari x terdiri dari titik yang berada di dalam dan di luar S ,
yakni φφ εε ≠∩∧≠∩ cSNSN )()( xx
1x
kx
1y
e•
2y 2x
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
55
Akan dibuktikan )(xkT titik batas dari )(ST
Cukup dibuktikan
a. φε ≠∩ )())(( STTN k x
b. φε ≠∩ )())(( ck STTN x
Akan dibuktikan
a. φε ≠∩ )())(( STTN k x
Bila x dikenai transformasi affine-skaling, maka didapatkan
=y )(xkT 1−= kX x
⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
=
⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
⎥⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
=
kn
n
k
k
nkn
k
k
xx
xx
xx
x
xx
x
x
x
MM
L
MOMM
L
L
2
2
1
1
2
1
2
1
100
010
001
atau dapat juga ditulis ki
ii x
xy = , dengan ni ,,1K=
Akan dibuktikan dengan kontradiksinya
Andaikan φε =∩ )())(( STTN k x
Berarti ))((y xki TNε∈∀ , 0<iy
Pilih ))((y xki TNε∈ , dengan S∈x
Maka 0>= ki
ii x
xy (karena 0>ix dan 0>kix )
Timbul kontradiksi maka pengandaian salah
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
56
Jadi φε ≠∩ )())(( STTN k x
b. φε ≠∩ )())(( ck sTTN x
Andaikan φε =∩ )())(( ck sTTN x
Berarti ))((y xki TNε∈∀ , 0>iy
Karena φε ≠∩ )()( cSTN x
Maka ada 0<ix sehingga 0<= ki
ii x
xy (karena 0<ix dan 0>kix )
Timbul kontradiksi maka pengandaian salah
Jadi φε ≠∩ )())(( ck STTN x
Karena ∧≠∩ φε )())(( STTN k x φε ≠∩ )())(( ck STTN x
Jadi )(xkT adalah titik batas dari n+R . ▄
Sifat 3.5
Jika *x adalah titik-dalam dari S maka )( *xkT adalah titik-dalam dari )(ST .
Bukti:
Suatu titik *x dikatakan titik-dalam dari S berarti SN ⊂)( *xε
Akan dibuktikan )( *xkT titik-dalam
Cukup dibuktikan )())(( * STTN k ⊂xε
Andaikan )())(( * STTN k ⊇xε
Berarti ))((y xki TNε∈∃ , )( ci STy ∈
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
57
Karena S⊂*x berarti 0* >ix
Dan 0>kix
Maka 0*
>= ki
ii x
xy berarti )(STyi ∈
Timbul kontradiksi maka pengandaian salah
Jadi )())(( * STTN k ⊂xε
Jadi )( *xkT titik-dalam. ▄
Sifat 3.6
kT merupakan pemetaan satu-satu (one to one) dan juga pemetaan pada (onto)
dengan transformasi invers 1−kT , sehingga
yXy kkT =− )(1 (3.12)
Bukti:
a. kT merupakan pemetaan satu-satu (one to one), yaitu
)()( ), ( yxyxRyx kkn TT ≠⇒≠∈∀ +
Akan dibuktikan dengan kontrapositifnya, yaitu
yxyxRyx =⇒=∈∀ + )()( ), ( kkn TT
Misalkan n+∈Ryx,
Bila yx dan dikenai transformasi affine skaling, maka didapatkan
xXx 1)( −= kkT dan yXy 1)( −= kkT
Karena )()( yx kk TT =
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
58
Maka yXxX 11 −− = kk
Maka yx =
Jadi kT pemetaan satu-satu
b. kT merupakan pemetaan pada (onto), yaitu
)( n+∈∀ Ry )( n
+∈∃ Rx yx =)(kT
Misalkan n+∈Ry
Klaim yXx k= (3.13)
Bila x dikenai transformasi affine skaling, maka didapatkan
xXx 1)( −= kkT
yXX kk1−=
yx =)(kT
Jadi kT pemetaan pada
Jadi kT merupakan pemetaan satu-satu dan juga pemetaan pada. ▄
Agar lebih memahami sifat-sifat dari transformasi affine-skaling kT , perhatikan
contoh 3.2 berikut.
Contoh 3.2
Misalkan zyxdcba ,,,,,, di 3R . Misalkan ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡=
53,
101,
103a adalah titik-dalam
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
59
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡=
32,0,
31b , ⎥⎦
⎤⎢⎣⎡=
76,
71,0c , ⎥⎦
⎤⎢⎣⎡= 0,
41,
43d , [ ]0,0,1=x , [ ]0,1,0=y , [ ]1,0,0=z
adalah titik batas. Titik-titik zyxdcba ,,,,,, ditransformasi oleh transformasi af-
fine- skaling kT . Tentukan hasil dari transformasi affine-skaling kT tersebut.
Perhatikan gambar 3.3 berikut
Gambar 3.3.
Titik-dalam a ditransformasikan oleh kT tetap menghasilkan titik-dalam juga, yaitu )(akT , titik-
titik pada batas yaitu, zyxdcb ,,,,, ditransformasikan kT tetap menghasilkan titik pada batas juga,
yaitu )(),(),( dcb kkk TTT , )(),(),( zyx kkk TTT .
Jawab:
Misalkan a adalah titik-dalam, maka dapat dibuat matriks skaling kX , yaitu
⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
=
5300
01010
00103
kX dan ⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
=−
35000100003
101
kX
Dari persamaan (3.10), yaitu
xXx 1)( −= kkT
a
b c
d x
y
z
)(xkT
)(zkT
)(akT
)(bkT
)(ckT
)(dkT
kT
)(ykT
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
60
Maka bila ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡=
53,
101,
103a dikenai transformasi affine-skaling, akan diperoleh
ea =⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡=
⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
=111
5310
110
3
35000100003
10
)(kT . Sesuai dengan sifat 3.3
Misalkan ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡=
32,0,
31b , ⎥⎦
⎤⎢⎣⎡=
76,
71,0c , ⎥⎦
⎤⎢⎣⎡= 0,
41,
43d , [ ]0,0,1=x , [ ]0,1,0=y ,
[ ]1,0,0=z adalah titik pada batas
Maka bila zyxdcb ,,,,, dikenai transformasi affine-skaling kT , akan diperoleh
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
=⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
=
910
09
10
3203
1
35000100003
10
)(bkT
⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
=
⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
=
710
710
0
76
710
35000100003
10
)(ckT
⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
=
⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
=02
52
5
04
14
3
35000100003
10
)(dkT
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
=⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
=003
10
001
35000100003
10
)(xkT
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡=
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
=0
100
010
35000100003
10
)(ykT
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
61
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
=⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
=
3500
100
35000100003
10
)(zkT
Maka didapatkan )(bkT , )(ckT , )(dkT , )(xkT , )(ykT , )(zkT yang merupakan
titik pada batas di 3R . Sesuai dengan sifat 3.4. ~
2. Menentukan Arah Layak
Setelah titik-dalam yang dipilih kx ditransformasi oleh tranformasi af-
fine- skaling kT , langkah selanjutnya adalah menentukan ke arah mana suatu titik
itu akan menuju ke titik yang lebih baik (titik optimum) pada nilai fungsi, dengan
catatan arahnya adalah arah layak yaitu arah yang tetap pada daerah layak.
a. Bentuk Masalah Program Linear di Ruang Penyelesaian Hasil Transfor-
masi
Andaikan kx adalah penyelesaian dalam yang diketahui dari soal pro-
gram linear berikut
Minimumkan: xcTf = (3.14)
dengan kendala: bAx = (3.15)
0x ≥ (3.16)
dengan A adalah matriks nm× yang mempunyai rank penuh m , dengan nm ≤ ,
b adalah vektor yang panjangnya m , dan xc, adalah vektor yang panjangnya n .
Namakan soal A.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
62
Penyelesaian dalam kx ditransformasi oleh transformasi affine-skaling
kT diposisikan ke e . Dari persamaan (3.13) yakni yXx k= , maka
• Fungsi sasaran xcTf = dari persamaan (3.14) dapat dituliskan
)( yXc kTf =
Dari persamaan (3.8), maka didapatkan
yXc )( Tk
Tf =
ycX Tk )(=
yc Tk )(= (3.17)
dengan cXc kk = (3.18)
• Himpunan kendala bAx = dari persamaan (3.15) dapat dituliskan
byAX =k (3.19)
atau byA =k (3.20)
dengan kk AXA = (3.21)
• Dengan kendala tak negatif di ruang penyelesaian hasil transformasi, yaitu
0y ≥ ( karena 0x ≥ ) (3.22)
Dengan demikian didapatkan soal program linear yang bersesuaian (berkorespon-
densi) di ruang penyelesaian hasil transformasi, yaitu
Minimumkan: yc Tkf )(= (3.23)
dengan kendala: byA =k (3.24)
0y ≥ (3.25)
dengan cXc kk = dan kk AXA = .
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
63
kA adalah matriks nm× yang mempunyai rank penuh m , dengan nm ≤ , b
adalah vektor yang panjangnya m , yc dank adalah vektor yang panjangnya n .
Namakan soal B.
Contoh 3.3
Minimumkan: 215 xxf −−=
dengan kendala: 1232 21 ≤+ xx (1.a)
82 21 ≤+ xx (2.a)
0, 21 ≥xx
Namakan soal A
Ubahlah soal A di atas ke bentuk soal B.
Penyelesaian:
Bentuk standar soal A program linear tersebut, yakni:
Minimumkan: 4321 005 xxxxf ++−−=
dengan kendala: 1232 321 =++ xxx (1.a’)
82 421 =++ xxx (2.a’)
0,,, 4321 ≥xxxx
dengan
⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡−−
=
0015
c , ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡=
10120132
A , ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡=
812
b
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
64
Misal dipilih titik-dalam awalnya
⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
=
5522
1
1x
Kemudian dibuat matriks skaling kX , yaitu
⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
=
5000050000200002
1
kX
Dari persamaan (3.18) yakni cXc kk = , diperoleh
⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
−
−
=
⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡−−
⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
=
0022
5
0015
5000050000200002
1
kc
Dari persamaan (3.21) yakni kk AXA = , diperoleh
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡=
⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡=
50210561
5000050000200002
1
10120132
kA
Sehingga didapatkan suatu soal B yang bersesuaian dengan soal A, yaitu
Minimumkan: [ ]⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
−−
3
3
2
1
00225
yyyy
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
65
dengan kendala: ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡=
⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡8
1250210561
3
3
2
1
yyyy
0≥iy , 4,..,1=i
Agar dapat dinyatakan secara grafik abaikan saja variabel pengetatnya.
Maka soal B dapat ditulis lagi sebagai berikut:
Minimumkan: 21 225 yy −−
dengan kendala: 126 21 ≤+ yy (1.b)
82 21 ≤+ yy (2.b)
0≥iy , 2,1=i
Dari Gambar 3.4 diperlihatkan bahwa daerah layak dari soal A yaitu segi empat
yang diarsir.
Gambar 3.4 Daerah layak soal A
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
66
Dari Gambar 3.5 diperlihatkan daerah layak A pada gambar 3.4 yang sudah
ditransformasi oleh transformasi affine skaling sehingga menghasil segi empat
yang diarsir yang merupakan daerah layak dari soal B.
Gambar 3.5 Daerah layak soal B
b. Menentukan Arah Layak
Dalam menentukan arah layak harus ditentukan apakah arah layak terse-
but merupakan arah yang menuju ke titik yang lebih baik, yaitu ke titik yang
memberikan nilai optimum fungsi sasaran. Oleh karena itu akan ditentukan arah
layak yang memperbaiki nilai fungsi sasaran tersebut.
Perhatikan soal B berikut:
Minimumkan: yc Tkf )(= (3.26)
dengan kendala: byA =k (3.27)
0y ≥ (3.28)
dengan cXc kk = dan kk AXA = .
dengan kA adalah matriks berukuran nm× yang mempunyai rank m , dengan
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
67
nm ≤ , b adalah vektor yang panjangnya m , yc dank adalah vektor yang pan-
jangnya n .
Dengan memperhatikan soal B , akan ditentukan apakah kyd merupakan
arah layak dan apakah kyd tersebut merupakan arah yang memperbaiki nilai fungsi
sasaran.
Misal ky adalah penyelesaian layak, kemudian ky akan dijalankan ke
suatu titik layak lain yaitu 1+ky (yaitu titik dengan perubahan nilai sasarannya) di
ruang penyelesaian hasil transformasi sesuai dengan alur iterasi berikut:
kyk
kk dyy α+=+1 (3.29)
dengan:
ky adalah penyelesaian layak pada iterasi ke- k ,
kyd adalah arah perpindahan di ruang penyelesaian hasil transformasi
kα adalah besar langkah )0( >kα
Nilai kα dipilih sedemikian sehingga nilai 1+ky tetap berada pada daerah layak.
Sedangkan arah langkah kyd dipilih sedemikian sehingga pada setiap perpindahan
dalam iterasinya tidak melanggar kendala yang diberikan sehingga dapat mem-
perbaiki nilai dari fungsi sasaran.
Menurut definisi 2.41, yakni d , dengan 0≠d merupakan arah layak
pada S∈y jika terdapat 00 >α sedemikian sehingga S∈+ dy α ,
],0[ 0αα ∈∀ .
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
68
Maka vektor tak nol kyd merupakan arah layak jika memenuhi kendala
persamaan:
byA =+1kk (3.30)
dengan 01 ≥+=+ kyk
kk dyy α
Dimana )( kyk
k dy α+ merupakan kendala tak negatif untuk setiap ],0[ 0αα ∈k
dan Sk ∈y .
Dari persamaan (3.29), maka
bdyA =+ )( kyk
kk α
Karena byA =k , maka
bdAyA =+ kykk
kk α
bdAb =+ kykkα
0dA =kykkα
Maka untuk nilai kα yang cukup kecil dan positif, nilai kα dapat diabaikan
Maka didapatkan
0dA =kyk (3.31)
Jadi kyd pasti berada di ruang nol dari matriks kk AXA = . Sehingga k
yd meru-
pakan penyelesaian di ruang nol matriks kA .
Pada kendala tak negatif yakni 0≥+ kyk
k dy α dengan 0>kα , diketahui
nilai kiy , yaitu 0>k
iy atau 0=kiy ; sedangkan nilai i
kyd )( yang mungkin adalah
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
69
1. 0)( >ikyd atau
k
ki
iky
yd
α−≥)( jika 0>k
iy
2. 0)( ≥ikyd jika 0=k
iy
Jadi, dari uraian di atas kyd merupakan arah layak jika hanya jika:
1. 0dA =kyk
2. k
ki
iky
yd
α−≥)( jika 0>k
iy
3. 0)( ≥ikyd jika 0=k
iy untuk setiap ni ,,2,1 L=
Selanjutnya akan ditunjukkan apakah kyd merupakan arah layak yang
memperbaiki nilai sasaran, menurut definisi (2.41). Perhatikan bentuk
dy α+
Bentuk ini merupakan titik baru iterasi, artinya fungsi )(yf didekati atau diham-
piri melalui tiap iterasi sampai pada titik y dengan arah d yang menghasilkan ti-
tik baru
dy α+ (3.32)
Dari definisi (2.41), untuk masalah meminimumkan )(yf , arah d merupakan
arah yang memperbaiki nilai sasaran jika:
)()( ydy ff <+α
atau 0)()( <−+ ydy ff α (3.33)
Atau, sesuai dengan alur iterasi dapat ditulis
0)()( 1 <−+ kk ff yy (3.34)
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
70
Dapat juga ditulis
0)()( 1 <−+ kTkkTk ycyc (3.35)
Dari persamaan (3.29), maka
0)()()( <−+ kTkkyk
kTk ycdyc α
0)()()( <−+ kTkkyk
TkkTk ycdcyc α
0)()()( <−+ kTkkTkkyk
Tk ycycdc α
didapatkan
0)( <kyk
Tk dc α (3.36)
Maka untuk nilai kα yang cukup kecil dan positif, nilai kα dapat diabaikan.
Maka didapatkan
0)( <ky
Tk dc (3.37)
Jadi, kyd merupakan arah layak yang memperbaiki, yaitu yang menunjukan bahwa
0)()( 1 <−+ kk ff yy , jika 0)( <ky
Tk dc (3.38)
c. Perumusan Arah Langkah Dengan Arah Turun Tercuram
Akan ditentukan perumusan vektor arah perpindahan dengan arah turun
tercuram.
Misalkan matriks kA berukuran nm× yang mempunyai rank m .
Misalkan )( kN A menyatakan ruang nol dari matriks kA dituliskan sebagai
berikut
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
71
}{)( 0dARdA =∈= kyk
nkykN (3.39)
Dan )( TkR A menyatakan ruang jawab dari T
kA , dituliskan sebagai berikut
{ }mTk
nTkR RzzAyRyA ∈=∈= untuk ,)( (3.40)
Dari teorema 2.4 telah diperlihatkan ruang nol dan ruang jawab
merupakan subruang dari nR yang saling orthogonal. Jadi ⊥)( kN A )( TkR A .
Misalkan )( kky N Ad ∈ dan )( T
kR Ay∈ dan ydc += ky
k , nk Rc ∈ .
Perhatikan gambar 3.6
Gambar 3.6 Gradien negatif dari fungsi )(yf , yaitu kc−
diproyeksikan ke ruang nol kA agar tercipta arah layak kyd .
kyd dapat juga dituliskan sebagai
ycd −= kky
Karena zAy Tk= , maka didapatkan
−= kky cd zA T
k (3.41)
ky
1+ky
kc−
kyd
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
72
Bila kedua ruas dikalikan dengan kA , maka didapatkan
zAAcAdA Tkk
kk
kyk −=
Karena 0dA =kyk , maka didapatkan
zAAcA0 Tkk
kk −=
zAAcA Tkk
kk =
kk
Tkk cAAAz 1)( −= (3.42)
Subsitusikan persamaan (3.42) ke persamaan (3.41), maka didapatkan
kk
Tkk
Tk
kky cAAAAcd 1)( −−=
kk
Tkk
Tk cAAAAI ])([ 1−−=
kk cP= (3.43)
dengan ])([ 1k
Tkk
Tkk AAAAIP −−= (3.44)
kTkk
Tkk AAAAIP 1)( −−= disebut matriks proyeksi orthogonal pada ruang nol
kA
Perhatikan bahwa )( TkR Ay∈ , maka berdasarkan persamaan (3.42)
=y zA Tk
kk
Tkk
Tk cAAAA 1)( −= kk cR= (3.45)
dengan kT
kkT
kk AAAAR 1)( −= (3.46)
Perhatikan persamaan (3.44), karena kk AXA = maka
)()))((()( 1k
Tkk
Tkk AXAXAXAXIP −−=
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
73
kT
kkT
k AXAXAXAXI 1)))()((( −−=
kT
kT
k AXAAXAXI 12 ))(( −−= (3.47)
Perhatikan persamaan (3.43), yakni didapatkan arah perpindahan
kk
ky cPd = . Karena tujuan kita adalah meminimumkan nilai dari fungsi sasaran,
maka digunakan gradien negatif dari fungsi )( kf y , yaitu kc− untuk diproyeksi-
kan pada ruang nol matriks kA . Digunakan nilai negatif dari gradien karena gra-
dien memberikan nilai kenaikan yang semakin besar. Dengan nilai negatif dari
gradien maka akan diperoleh nilai penurunan yang semakin besar. Sehingga ter-
cipta arah kyd terbaik dengan perubahan nilai fungsi sasaran yang maksimum serta
menurunkan nilai fungsi sasaran dari soal B. Seperti digambarkan pada gambar
3.6.
Arah perpindahan kyd dengan arah turun tercuram dapat dituliskan
)( kk
ky cPd −= (3.48)
Dari persamaan (3.47) dan persamaan (3.18), maka persamaan (3.48) dapat ditu-
liskan
cXAXAAXAXId kkT
kT
kky ])([ 12 −−−= (3.49)
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
74
3. Menentukan Besar langkah kα
Setelah dapat ditentukan arah langkah kyd yang memperbaiki nilai sa-
saran maka selanjutnya akan ditentukan sejauh mana arah ini bergerak menuju
tiitk optimum. Diberikan vektor awal ky dan kyd adalah suatu arah layak yang
memperbaiki nilai fungsi sasaran. Untuk menentukan vektor berikutnya yaitu
kyk
kk dyy α+=+1
besar langkah kα dapat diperoleh dengan mencari penyelesaian dari masalah
Minimumkan: )( kyk
kf dy α+
dengan kendala: bdyA =+ )( kyk
kk α
0≥+ kyk
k dy α
0≥kα
Perhatikan bahwa:
byA =kk dan
0dA =kk
Maka
bdyA =+ )( kyk
kk α dipenuhi untuk setiap 0≥kα
Dalam kendala tak negatif diperoleh bahwa
0≥+ kyk
k dy α (3.50)
Dengan demikian untuk 0)( ≥ikyd maka batas maksimum kα agar persamaan
(3.50) tetap terpenuhi adalah ∞=makskα .
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
75
Dan untuk 0)( <ikyd maka batas maksimum kα agar persamaan (3.50) tetap
terpenuhi didapat dari bentuk
i
ky
ki
kikyk
ki d
ydy
)(0)(
−≥⇔≥+ αα
sehingga batas maksimumnya merupakan minimum darii
ky
ki
dy
)(−, untuk
ni ,,2,1 K= .
Dari sifat 3.3, maka
i
kyi
ky
ki
ddy
)(1
)( −=
−.
Sehingga untuk menentukan suatu besar langkah yang maksimum dan agar per-
samaan (3.50) tetap terpenuhi maka dipilih 10 << α , yaitu dipilih 99.0=α se-
hingga
i
kyi
ky
k dd )()(1
−=
−=
ααα
Jadi
⎪⎭
⎪⎬⎫
⎪⎩
⎪⎨⎧
<−
= 0)()(
99.0min iky
iky
ik dd
α (3.51)
Dengan demikian masalah di atas dapat diubah menjadi masalah pencarian besar
langkah
Minimumkan: )( kyk
kf dy α+
dengan kendala: maks0 αα ≤≤
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
76
dengan
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
∞
⎪⎭
⎪⎬⎫
⎪⎩
⎪⎨⎧
<−=
0;)(
99.0min ky
iky
k
ddα
0 jika0jika
≥<
k
k
dd
Langkah selanjutnya adalah memetakan penyelesaian baru 1+ky kembali
ke ruang penyelesaian awal, agar didapat suatu perpindahan penyelesaian 1+kx un-
tuk soal A. Hal ini dapat dilakukan dengan menggunakan transformasi invers
1−kT , yakni )( 111 +−+ = k
kk T yx .
Dari persamaan (3.12), maka didapatkan
1111 )( ++−+ == kk
kk
k T yXyx
Dari persamaan (3.29), maka didapatkan
)(1 kyk
kk
k dyXx α+=+
kykk
kk dXyX α+=
Dari persamaan (3.13), maka didapatkan
kykk
kk dXxx α+=+1 (3.52)
kxk
kk dxx α+=+1 (3.53)
dengan kyk
kx dXd = (3.54)
Ini berarti arah perpindahan di ruang penyelesaian awal yaitu kxd , dengan
kyk
kx dXd = dan besar langkahnya adalah kα .
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
77
Perhatikan kembali persamaan (3.52), yaitu
kykk
kk dXxx α+=+1
Dari persamaan (3.49), maka
1+kx ]))([( 12 cXAXAAXAXIXx kkT
kT
kkkk −−−= α
])([ 2122 cAXAAXAcXx kT
kT
kkk −−−= α
][2 kTkk
k wAcXx −−= α (3.55)
dengan cAXAAXw 212 )( kT
kk −= (3.56)
Perhatikan persamaan (3.55), arah perpindahan di ruang penyelesaian awal dapat
juga ditulis
kxd ][2 kT
k wAcX −−= (3.57)
Perhatikan kembali persamaan (3.49), yaitu
cXAXAAXAXId kkT
kT
kky ])([ 12 −−−=
cAXAAXAXcX 212 )( kT
kT
kk−+−=
Dari persamaan (3.56), maka didapatkan
kTkk
ky wAXcXd +−=
][ kTk wAcX −−= (3.58)
atau kk
ky rXd −= (3.59)
dengan kTk wAcr −= (3.60)
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
78
Ada dua pengamatan penting yang perlu diperhatikan disini:
Pengamatan 1
Misalkan kk
ky cPd −= dan k
ykkx dXd = . Misalkan kP adalah pemetaan proyeksi,
maka dapat dilihat bahwa
)(1 kxk
kTkT dxcxc α+=+
)( kykk
kT dXxc α+=
Dari persamaan (3.8), maka didapatkan
1+kT xc ky
Tk
Tk
kT dXcxc α+=
ky
Tkk
kT dcXxc )(α+=
Dari persamaan (3.18) , maka didapatkan
1+kT xc ky
Tkk
kT dcxc )(α+=
Dari persamaan (3.48), maka didapatkan
1+kT xc kk
Tkk
kT cPcxc )(α−=
Dari sifat 2.1 , yakni , PP P= dan TP P= maka didapatkan
1+kT xc kkk
Tkk
kT cPPcxc )(α−=
kk
Tk
Tkk
kT cPPcxc )(α−=
kk
Tkkk
kT cPcPxc )(α−=
)()( kk
Tkkk
kT cPcPxc −−−= α
Dari persamaan (2.15), maka
1+kT xc2k
ykkT dxc α−= (3.61)
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
79
Sehingga jika arah perpindahan 0d ≠ky ini berarti ada perpindahan yang terjadi
dari kx ke 1+kx . Sedangkan jika 0d =ky ini berarti 1+kT xc kT xc= , maka
kx 1+= kx berarti sudah tidak terjadi perpindahan, maka proses iterasi berhenti.
Beberapa teorema yang penting untuk kondisi arah layak kyd diberikan oleh teo-
rema berikut:
Teorema 3.1
Misalkan 0Pk ∈x . Misalkan kyd pada ruang nol dari kA dengan 0d >k
y maka
nilai fungsi sasaran f masalah program linear dari soal A adalah tak terbatas
(unbounded), maka soal A tidak mempunyai penyelesaian optimum.
Bukti:
Diketahui 0Pk ∈x maka nk Rx ∈ dengan bAx =k , 0x >k
Karena kyd pada ruang nol dari kA dengan 0d >k
y
Maka kyk
kk dyy α+=+1 adalah layak untuk soal B, untuk setiap 0>kα
Dari persamaan (3.61), yakni 1+kT xc2k
ykkT dxc α−=
Sehingga untuk 0)( >ikyd maka batas maksimum kα yang memenuhi
kyk
kk dyy α+=+1 adalah ∞=makskα
Maka 1+kT xc akan mencapai ∞− atau tak terbatas
Maka soal A tidak mempunyai penyelesaian optimum. ▄
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
80
Teorema 3.2
Misalkan 0Pk ∈x . Misalkan kyd pada ruang nol kA dengan 0d =k
y maka
penyelesaian layak dari soal A adalah penyelesaian optimum.
Bukti:
Diketahui 0Pk ∈x maka nk Rx ∈ dengan bAx =k , 0x >k
Diketahui kk
ky cPd −= , dengan kP matriks proyeksi pada ruang nol kA
Karena 0d =ky
Maka kk
ky cPd −= 0cAAAAI =−−= − k
kTkk
Tk ))(( 1
0ccAAAA =−− kkk
Tkk
Tk
1)(
kkk
Tkk
Tk ccAAAA =−1)(
kkTk cuA =
dengan kk
Tkk
k cAAAu 1)( −=
Perhatikan bahwa sebenarnya kk wu = , dengan kk AXA = .
Dari persamaan (3.18) dan persamaan (3.21), maka didapatkan
cXuAX kkT
k =)(
Dari persamaan (3.8), maka didapatkan
cXuAX Tk
kTk =)(
Dari persamaan (2.13), maka didapatkan
kT
kTk XcAXu =)(
11)( −− = kkT
kkTk XXcXAXu
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
81
TTk cAu =)(
Misalkan x adalah penyelesaian layak dari bAx = , maka
xcAxu TTk =)(
xcbu TTk =)(
xcub TkT =)(
Dengan menggunakan teorema 2.6, diperoleh x penyelesaian optimum soal
primal. ▄
Pengamatan 2
Jika kx adalah vertek, maka persamaan (3.56), yakni
cAXAAXw 212 )( kT
kk −=
Dapat disederhanakan menjadi
BTk cBw 1)( −= (3.62)
dengan )( 2 Tk
T AAXB = dan cAXc 2kB =
Perhatikan persamaan (3.62), bila kedua ruas dikalikan dengan TB maka didapat-
kan
BTTkT cBBwB 1)( −=
BkT cwB =
Vektor kw disebut sebagai penduga dual (dual estimates) yang bersesuaian
dengan penyelesaian primal kx .
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
82
Perhatikan persamaan (3.60), yakni
kTk wAcr −=
Persamaan (3.60) di atas dapat disederhanakan menjadi
Tk Acr −= BT cB 1)( −
kr disebut vektor ongkos tereduksi (reduced cost vector) yang bersesuaian
dengan kx . Misalkan kx penyelesaian primal . Bila kx dikenai transformasi af-
fine-skaling, maka
kk
kkT xXx 1)( −
=
Dari sifat 3.3, yakni =)( kkT x e
Maka e kk xX 1−
=
Bila kedua ruas ditransposkan, maka didapatkan
Te Tkk )( 1xX −
=
Dari persamaan (3.9), maka didapatkan
1)( −= kTkT Xxe
kkTk
kT XXxXe 1)( −=
Tkk
T )(xXe =
Dari persamaan (3.8), maka didapatkan
TkTk
T )(xXe =
TkTk )()( xeX =
Bila dikalikan dengan kr , maka
Tk )( eX kr Tk )(x= kr
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
83
Jika ≥kr 0 , maka penduga dual kw akan menjadi penyelesaian layak dual.
Dan Tk )( eX kr Tk )(x= kr disebut duality gap dari pasangan penyelesaian layak
),( kk wx , yakni
kk
TkTkT rXewbxc =− (3.63)
Perhatikan persamaan (3.63) tersebut, jika 0=kk
T rXe dan 0r ≥k , maka
kTkT wbxc = , artinya bahwa penyelesaian layak soal primal , yaitu kx sama
dengan penyelesaian layak soal dual, yaitu kw . Dari teorema 2.6, maka kx
adalah penyelesaian optimum soal primal dan kw adalah penyelesaian optimum
soal dual.
B. Algoritma Primal Affine-Skaling
Dari uraian pada bagian-bagian sebelumnya, maka algoritma primal af-
fine- skaling untuk masalah:
Minimumkan: xcTf =
dengan kendala: bAx =
0x ≥
dengan A adalah matriks nm× yang mempunyai rank penuh m dan nm ≤ , b
adalah vektor yang panjangnya m , xc, adalah vektor yang panjangnya n . Da-
pat disusun sebagai berikut:
Langkah 1 : (Inisialisasi)
Pilih titik-dalam awal kx yang memenuhi:
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
84
bAx =k
Ambil 1=k dan lanjutkan ke langkah 2.
Langkah 2 : (Menentukan vektor penduga dual)
Menentukan vektor penduga dual dengan aturan
cAXAAXw 212 )( kT
kk −=
dengan kX adalah matriks diagonal yang elemen diagonalnya adalah komponen-
komponen dari kx .
Langkah 3 : (Menentukan vektor ongkos tereduksi)
Menentukan vektor ongkos tereduksi dengan aturan
kTk wAcr −=
Langkah 4 : (Uji keoptimalan)
Jika 0r ≥k dan ε≤kk
T rXe (ε adalah bilangan positif kecil yang diberikan)
maka proses berhenti. Dengan demikian kx sudah optimum. Selainnya lanjutkan
ke langkah selanjutnya.
Langkah 5 : (Menentukan arah perpindahan kyd )
Menentukan arah perpindahan kyd dengan aturan
kk
ky rXd −=
Langkah 6 : (Cek untuk nilai f tak terbatas atau f sudah optimum)
Jika 0d >ky maka proses berhenti. Berarti f tak terbatas maka soal tak
mempunyai penyelesaian. Jika 0d =ky maka proses berhenti. Berarti f sudah
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
85
optimum maka kx adalah penyelesaian optimum soal primal. Selainnya lanjutkan
ke langkah selanjutnya
Langkah 7 : (Menentukan besar langkah)
Menentukan besar langkah dengan aturan
⎪⎭
⎪⎬⎫
⎪⎩
⎪⎨⎧
<−
= 0)()(
min iky
iky
ik ddαα , dimana 10 << α
dengan 99.0=α
Langkah 8 (Menentukan titik baru)
Menentukan titik baru dengan aturan
1+kx kkk Xx α+= k
yd
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
86
Flowchart metode primal affine-skaling adalah sebagai berikut:
Mulai
cAXAAXw 212 )( kT
kk −=
kTk wAcr −=
Masukkan ε,,,, eAcx k
dan
ε≤
≥k
kT
k
rXe0r kx
penyelesaian optimum
tidak
ya
kk
ky rXd −=
0d >
0d =ky
kx penyelesaian
optimum
Nilai f tak terbatas
⎪⎩
⎪⎨⎧
=i
)(d- min k
yi
αα k
kykk
kk dXxx α+=+1
ya
ya
tidak
tidak
berhenti
berhenti
berhenti
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
87
C. Aplikasi Metode Primal Affine-Skaling Untuk Menyelesaikan Masalah
Program Linear Dengan Program Matlab.
Contoh 3.4
Selesaikan masalah program linear berikut menggunakan metode primal affine-
skaling.
Minimumkan: 212 xxf +−=
dengan kendala: 1521 ≤− xx
152 ≤x
0, 21 ≥xx
Agar menjadi bentuk standar variabel pengetat ditambahkan pada masalah pro-
gram linear tersebut, yakni:
Minimumkan: 4321 002 xxxxf +++−=
dengan kendala: 15321 =+− xxx
1542 =+ xx
0,,, 4321 ≥xxxx
Matriks kendala A , vektor ongkos c , dan misal dipilih titik-dalam 1x dari sistem
tersebut, ditulis secara berurutan, yaitu
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡ −=
10100111
A ,
⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡−
=
0012
c ,
⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
=
1372
10
1x
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
88
Maka matriks skaling
⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
=
130000700002000010
1X dan
⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
=
1111
e , 00001.0=ε
Listing Program
function pas1 clc; clear; x=input('masukkan titik-dalam x= '); c=input('c = '); A=input('A = '); e=input('e= '); epsilon=input('epsilon = '); X=diag(x); w=inv(A*X*X*A')*A*X*X*c; r=c-A'*w; p=e'*X*r; d=-X*r; norm_d=sqrt(d'*d); d_min=min(d); alpa_maks=min(0.99/-d_min); x_baru=x+alpa_maks*X*d; fprintf('\n w = '); fprintf('\n %3.4f ',w); fprintf('\n\n r = '); fprintf('\n %3.4f ',r); fprintf('\n\n p = '); fprintf('\n %3.4f ',p); fprintf('\n\n d = '); fprintf('\n %3.4f ',d); fprintf('\n\n d min = '); fprintf('\n %3.4f ',d_min);
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
89
fprintf('\n\n norm_d = %3.4f ',norm_d); fprintf('\n\n alpa maks = %3.4f ',alpa_maks); fprintf('\n\n x baru = '); fprintf('\n %3.4f ',x_baru); fprintf('\n -------------------------------------------'); while (r<0 | p>epsilon); x=x_baru X=diag(x); w=inv(A*X*X*A')*A*X*X*c; r=c-A'*w; p=e'*X*r; d=-X*r; norm_d=sqrt(d'*d); d_min=min(d); alpa_maks=min(0.99/-d_min); x_baru=x+alpa_maks*X*d; fprintf('\n w = '); fprintf('\n %3.4f ',w); fprintf('\n\n r = '); fprintf('\n %3.4f ',r); fprintf('\n\n p = '); fprintf('\n %3.4f ',p); fprintf('\n\n d = '); fprintf('\n %3.4f ',d); fprintf('\n\n d min = '); fprintf('\n %3.4f ',d_min); fprintf('\n\n norm_d = %3.4f ',norm_d); fprintf('\n\n alpa maks = %3.4f ',alpa_maks); fprintf('\n\n x baru = '); fprintf('\n %3.4f ',x_baru);
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
90
fprintf('\n -------------------------------------------'); end; end; Output masukkan titik-dalam x= [10;2;7;13] c = [-2;1;0;0] A = [1 -1 1 0;0 1 0 1] e= [1;1;1;1] epsilon = 0.00001 w = -1.3335 -0.0077 r = -0.6665 -0.3258 1.3335 0.0077 p = 2.1187 d = 6.6647 0.6516 -9.3347 -0.1003 d min = -9.3347 norm_d = 11.4887 alpa maks = 0.1061 x baru = 17.0682 2.1382 0.0700 12.8618
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
91
------------------------------------------- x = 17.0682 2.1382 0.0700 12.8618 w = -1.9849 -0.0265 r = -0.0151 -0.9584 1.9849 0.0265 p = -1.8270 d = 0.2573 2.0493 -0.1389 -0.3407 d min = -0.3407 norm_d = 2.0980 alpa maks = 2.9058 x baru = 29.8296 14.8714 0.0417 0.1286 -------------------------------------------
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
92
Jadi didapat titik optimumnya, yakni
⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
=
1286.00417.08714.148296.29
x
Nilai 7877.44−=f
Contoh 3.5
Minimumkan: 21 1020100 xxf −−=
dengan kendala: 42 21 ≤− xx
113 21 ≤+ xx
82 21 ≤+ xx
33 21 −≤− xx
0, 21 ≥xx
Penyelesaian:
Bentuk standar program linear tersebut, yakni:
Minimumkan: 654321 00001020100 xxxxxxf ++++−−=
dengan kendala: 42 321 =+− xxx
113 421 =++ xxx
82 521 =++ xxx
33 621 −=+− xxx
0,,,,, 654321 ≥xxxxxx
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
93
Dengan
⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡−−
=
00001020
c ,
⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
−
−
=
100031010021001013000112
A
Misal dipilih titik-dalam awalnya
⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
=
11115
115
13
1x
Matriks skaling
⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
=
10000001000000100000010000005
110
00000513
kX
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
94
Dari Gambar 3.7 diperlihatkan bahwa daerah layak sebelum ditransformasi oleh
transformasi affine-skaling yaitu segi empat yang diarsir.
Gambar 3.7 Daerah layak sebelum dikenai transformasi affine-skaling
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
95
Dari Gambar 3.8 diperlihatkan daerah layak pada gambar 3.7 yang sudah ditrans-
formasi oleh transformasi affine-skaling.
Gambar 3.8 Daerah layak yang sudah ditransformasi oleh transformasi affine-skaling
Output
masukkan titik-dalam x= [13/5;11/5;1;1;1;1]
c = [-20;-10;0;0;0;0]
A = [2 -1 1 0 0 0;3 1 0 1 0 0;1 2 0 0 1 0;1 -3 0 0 0 1]
e= [1;1;1;1;1;1]
epsilon = 0.0001
w =
-1.9830
-4.6185
-2.6355
0.6525
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
96
r =
-0.1953
-0.1359
1.9830
4.6185
2.6355
-0.6525
p =
7.7779
d =
0.5078
0.2989
-1.9830
-4.6185
-2.6355
0.6525
d min =
-4.6185
norm_d = 5.7430
alpa maks = 0.2144
x baru =
2.8830
2.3410
0.5749
0.0100
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
97
0.4351
1.1399
-------------------------------------------
x =
2.8830
2.3410
0.5749
0.0100
0.4351
1.1399
w =
0.5269
-6.8009
-0.9237
0.2686
r =
0.0042
-0.0191
-0.5269
6.8009
0.9237
-0.2686
p =
-0.1719
d =
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
98
-0.0120
0.0448
0.3029
-0.0680
-0.4019
0.3062
d min =
-0.4019
norm_d = 0.5948
alpa maks = 2.4636
x baru =
2.7975
2.5991
1.0040
0.0083
0.0044
1.9996
-------------------------------------------
Jadi didapatkan titik optimumnya, yakni
⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
=
9996.10044.00083.00040.15991.27975.2
x
Nilai optimum 059.18=f
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
99
BAB IV
PENUTUP
A. Kesimpulan
Berdasarkan pembahasan yang telah diuraikan sebelumnya dapat diambil kesim-
pulan sebagai berikut:
1. Masalah program linear dapat diselesaikan dengan metode titik-dalam yang
salah satunya adalah metode primal affine-skaling.
2. Langkah-langkah untuk menyelesaikan masalah program linear dengan me-
tode primal affine-skaling dimulai dengan memilih titik-dalam awal, yaitu kx
dari suatu daerah layak di ruang penyelesaian awal. Kemudian kx ditransfor-
masi oleh transformasi affine-skaling, yaitu kT sedemikian sehingga hasil
transformasi kx diposisikan dekat dengan pusat di ruang penyelesaian hasil
transformasi ini. Hasil transformasi kx sebut saja ky . Langklah selanjutnya,
dari ky dijalankan ke titik-dalam lain, yaitu 1+ky yang menggerakkan nilai
f sampai f optimum dicapai sesuai dengan alur iterasi kyk
kk dyy α+=+1 ,
dengan kyd adalah arah layak turun tercuram (steepest descent) yang
menyebabkan nilai fungsi berkurang dengan cepat. Dan kα adalah besarnya
langkah yang menyatakan seberapa jauh arah tersebut akan menuju ke titik
optimum yang tetap berada pada daerah layak. Penyelesaian yang didapat di
ruang penyelesaian tersebut ditransformasikan kembali dengan transformasi
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
100
invers, yaitu 1−kT . Proses iterasi ini diulang hingga penyelesaian optimum
dicapai.
B. Saran
Bagi pembaca yang tertarik untuk menyelesaikan masalah program linear dengan
metode titik-dalam dapat juga digunakan misalnya metode proyektif (projective
method) atau lebih dikenal dengan metode Karmarkar , metode path-following
(path-following method), dan metode potensial-reduksi (potential-reduction
method).
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
101
DAFTAR PUSTAKA
Bhatti, M. A. (1998). Practical Optimization Methods with Mathematica
Applications. New york: Springer –Verlag.
Chong, E.K.P. and S.H. Zak (1996). An Introduction to Optimiza tion. New York:
Wiley.
Fang, S-C and S. Puthenpura. (1993). Linear Optimization and Extensions.
Englewood cliffs.NJ: Prentice-Hall.
Ignizio, J.P and T.M. Cavalier. (1994). Linear Programming. New Jersey:
Prentice-Hall, Inc.
Leon, S.J. (1998). Aljabar Linear dan Aplikasinya. Jakarta: Erlangga
Nash, G. S. and Ariela Sofer. (1996). Linear and Nonlinear Program-ming. New
York : Hill International Editions.
Susanta, B. (1994). Program Linear. Jakarta: LPTK Depdikbud.
Wono. S. B. (1995). Aljabar Linear. Jakarta: PT Gramedia Pustaka Utama
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
102
Lampiran
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
103
Tabel 1. Hasil iterasi contoh 3.4
k 1 2 3
kx ⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
1372
10
⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
8618.120700.01382.20682.17
⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
1286.00417.08714.148296.29
kcx -18 -31.9982 -44.7878
kw ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡−−
0077.03335.1
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡−−
0265.09849.1
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡−−
9999.00000.2
kr ⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡−−
0077.03335.13258.06665.0
⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡−−
0265.09849.19584.00151.0
⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
9999.00000.20001.00000.0
kd ⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
−−
1003.03347.9
6516.06647.6
⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
−−
3407.01389.0
0493.22573.0
kd 11.4887 2.0980
kα 0.1061 2.9058 k
kT rXe 2.1187 -1.8270
1+kx ⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
8618.120700.01382.20682.17
⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
1286.00417.08714.148296.29
Status Belum optimum Belum optimum Sudah optimum
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
104
Tabel 2. Hasil iterasi contoh 3.5 k 1 2 3
kx
⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
11115
115
13
⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
1399.14351.00100.05749.03410.28830.2
⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
9996.10044.00083.00040.15991.27975.2
kcx 26 18.93 18.059
kw ⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
−−−
6525.06355.26185.49830.1
⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
−−
2686.09237.08009.6
5269.0
⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
−−−−
0001.00006.29995.50004.0
kr
⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
−
−−
6525.06355.26185.49830.11359.01953.0
⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
−
−−
2686.09237.08009.65269.00191.0
0042.0
⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
0001.00006.29995.50004.00000.00000.0
kd
⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
−−−
6525.06355.26185.49830.1
2989.05078.0
⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
−−
−
3062.04019.00680.0
3029.00448.00120.0
kd 5.7430 0.5948
kα 0.2144 2.4636 k
kT rXe 7.7779 -0.1719
1+kx
⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
1399.14351.00100.05749.03410.28830.2
⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
9996.10044.00083.00040.15991.27975.2
Status Belum optimum Belum optimum Sudah optimum
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
105
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI