Metodi di analisi geologico strutturale
Andrea Bistacchi
MAGS_02
Statistica direzionale
Andrea Bistacchi3
Elementi planari e lineari del fabric granulare
Andrea Bistacchi4
Coordinate sferiche
Coord. sferiche
Andrea Bistacchi5
Come esprimere i dati strutturali
Strike, dip direction, dip(direzione, immersione, inclinazione)
Trend, plunge(immersione, inclinazione)
Rake/pitch(angolo contenuto nel piano)
Andrea Bistacchi6
Come esprimere i dati strutturali
Andrea Bistacchi7
Come esprimere i dati strutturali
[Ragan & Arrowsmith]
Andrea Bistacchi8
Inclinazione apparente
' tanD AA
Quindi:
arctan(tan *cos )
[Ragan & Arrowsmith]
D
A
' tanA AA
cosA D u Du
Andrea Bistacchi9
Stereonet
Andrea Bistacchi10
Proiezione stereografica (Wulff net)
Andrea Bistacchi11
Proiezione stereografica (Wulff net)
12
12
,
' tan
45
' tan 45
p p
p
p
plunge trend
CP R
CP R
'cos 'sin
90
'sin 'cos
p
p p
x CP y CP
x CP y CP
12
12
polo di una linea , :
tan 45 sin
tan 45 cos
p p
p p
p p
x R
y R
Andrea Bistacchi12
Proiezione stereografica (Wulff net)
2 2
grande cerchio di un piano , :
tan sin ( / cos )cos
tan cos ( / cos )sin
dove è un parametro t.c. 0 2
e x
d d
d d d
d d d
x R R
y R R
y R
Andrea Bistacchi13
Proiezione equiareale di Lambert (Schmidt net)
12
12
polo di un piano , :
2 sin 45 sin
2 sin 45 cos
p p
p p
p p
x R
y R
Andrea Bistacchi14
Statistica direzionale: Fisher
1
Il vettore medio (mean vector) da una popolazione di n vettori è:
1( ) dove i vettori ( ) sono di lunghezza unitaria
In generale 1
La varianza sferica è definita come (Davi
n
i
i in
U u u
U
2
s
s, 1986, p.334):
s 1
Si possono calcolare intervalli di confidenza conici sulla media
(analoghi all'errore std sulla media) associati ad un dato livello
di probabilità (es. 95%), ma questo dipende mo
U
lto da assunzioni
sulla funzione di distribuzione.
Andrea Bistacchi15
Statistica direzionale: Fisher
2
La distribuzione di Fisher è unipolare, "analoga" alla
Gaussiana, basata sui due parametri e :
11 per 16
1 per 16
Al contrario della Gaussiana,
nn
nn n
nn
n n
U
U
U
1
1
un parametro
elevato indica bassa dispersione.
L'intervallo di confidenza per una distribuzionedi Fisher è dato da:
1 1arccos 1 1
dove è il livello di confidenza.
n
U
U
Ad es. 0.05 indica una probabilità
del 5% che il mean vector (vero) della popolazione cada all'esterno di un cono
con semi-angolo al vertice centrato sul mean vector campionario .
U
Andrea Bistacchi16
Statistica direzionale: Bingham
2
2
2
Matrice delle somme dei prodotti delle componenti , m , n di una popolazione di n vettori unità:
(Mardia, 1972 - Analogo al momento di inerzi
i i i
i i i i i
i i i i i
i i i i i
l
l l m l n
l m m m n
l n m n n
T
T
max med min max med min
max
a)
La distribuzione degli n vettori è descritta dai tre autovettori , , e autovalori , ,
di . Per una distribuzione unipolare, si ha convergenza con il caso precedente:
t t t
n
T , .t nU
Autovalori: Tipo di distribuzione: Note:
tmin ≈ tmed ≈ tmax uniforme nessuna orientazione significativa
tmin ≈ tmed « tmax unipolare se │U │ ≈ 1, altrimenti bipolare simmetria rotazionale intorno a tmax
tmin < tmed « tmax unipolare se │U │ ≈ 1, altrimenti bipolare
simmetrica
concentrazione ad una o ad entrambe
le estremità di tmax
tmin « tmed < tmax girdle (cintura) asimmetrica ellittica il piano della girdle (cintura) è
individuato da tmax, tmed
tmin « tmed ≈ tmax girdle (cintura) simmetrica simmetria rotazionale intorno a tmin
Il calcolo degli intervalli (coni a sezione ellittica) di confidenza è complesso e dipende da ipotesi sul tipo di distribuzione
di Bingham (normalmente non si fa).
Andrea Bistacchi17
Statistica direzionale: Bingham
proiezione stereografica dati
autovettori
media Fisher
proiezione stereografica dati
autovettori
media Fisher
tmin
«tm
ed<
tmax
tmin
«tm
ed≈
tmax
proiezione stereografica dati
autovettori
media Fisher
tmin
< t
med
« t
max
proiezione stereografica dati
autovettori
media Fisher
tmin
≈ t
med
« t
max
tmin
tmed
tmax
tmin
tmed
tmax
tmin
tmed
tmin
tmed
tmax ≈ U
tmax ≈ U
Andrea Bistacchi18
Bibliografia
• Groshong R.H., 2006. 3-D Structural Geology - A Practical Guide to Quantitative Surface and Subsurface Map Interpretation (2nd ed.). Springer-Verlag.
• Means W., 1976. Stress and strain. Springer-Verlag.
• Pollard D.D. & Fletcher R.C., 2005. Fundamentals of Structural Geology. Cambridge University Press.
• Spencer A.J.M., 2004. Continuum mechanics. Dover.
• Davis, J.C., 2002. Statistics and Data Analysis in Geology, 3rd ed. John Wiley & Sons.
• Mardia, K., 1975. Statistics of Directional Data. J. R. Stat. Soc. Ser. B-Methodological 37, 349–393.
Andrea Bistacchi19
Funzioni utili in Matlab® (dettagli con <fn> help)
plot plottare qualunque cosa in 2D inclusi stereoplot (usare opzione
axis equal e vedere help plot)
% per conversione gradi <> radianti
rad = pi/180; deg = 180/pi;
% polo di un piano
Plunge = 90-Dip; Trend = DipAzimuth+180; Trend = Trend-(Trend>360)*360;
% vettore unità
Normal = [ cos(Plunge*rad)*sin(Trend*rad)
cos(Plunge*rad)*cos(Trend*rad)
-sin(Plunge*rad) ];
% numero dati in input (da adattare secondo formato)
Ndata = length(data);
% autovalori e autovettori
[V,D] = eig(A) restituisce una matrice diagonale D con autovalori
ordinate e una matrice V con autovettori in colonna t.c. A*V = V*D
DOM = Digital Outcrop Model(virtual outcrop)
Raw data: TLS/LIDAR
TLS (Terrestrial Laser Scanner)/LIDAR (Laser Imaging
Detection And Ranging)
• Yields point clouds with XYZ coordinates with errors:
range ± 5mm @200m, ± 2cm @1000m, angle 0.005°,
beam footprint ~25cm @1000m.
• Typical range ≤ 1 km, long range up to ~2 km.
• Spatial resolution generally ~1-10 point/cm2.
A camera is generally attached
to the laser head, allowing to
obtain co-linear images
(±errors), used to “colorize” the
point cloud with RGB values and
make it “photorealistic”.
Resolution of the image is
independent from the point
cloud and depends on the
camera and lens!
Raw data: TLS/LIDAR
Raw data: close-range photogrammetry (with SFM)
Local errors (between two
adjoining photos) ≤ pixel
(otherwise convergence not
attained).
Point cloud and oriented
photos are perfectly co-
registered and have similar
resolution.
Arbitrary resolution
depending on sensor and
lens.
Possible large scale
distortion due to small-scale
error propagation (
acquisition).
Principles of stereo-
photogrammetry:
Raw data: close-range photogrammetry (with SFM)
image fans or “point of interest”
(oblique views)
image strip survey
(nadir or perpendicular views)
Raw data: close-range photogrammetry (with SFM)
Raw data: close-range photogrammetry (with SFM)
Raw data: close-range photogrammetry (with SFM)
Raw data: laser vs. SFM
TLS/LIDAR• More standard
• Almost fixed resolution
• Granted accuracy on several kinds of surfaces
• People say it is more reliable
• “Sees” through vegetation
• Heavier and more complex in the field
• Less measurement stations
• Possible errors in pointcloud/images alignment
SFM• More flexible
• Arbitrary resolution
• Granted accuracy on textured/patterned surfaces (rocks)
• With proper software and acquisition, possibly more accurate
• Do not “see” through vegetation
• Lighter and faster in the field
• Needs several shooting stations (drone…)
• Granted pointcloud/images alignment