POLITECNICO DI MILANO
Facoltà di Ingegneria Civile, Ambientale e Territoriale
Corso di Laurea Specialistica in Ingegneria Civile
Indirizzo Strutture
METODI DI DECOMPOSIZIONE DEI DOMINI
APPLICATI ALLA SOLUZIONE DI
PROBLEMI ELETTRO-MECCANICI
Relatori: Prof. Ing. Alberto CORIGLIANO
Dott. Ing. Federica CONFALONIERI
Tesi di Laurea di:
Martino DOSSI Matr. 735220
Matteo GORNATI Matr. 735370
Anno Accademico 2009/2010
Indice
1 Introduzione 1
2 La decomposizione dei domini: stato dell’arte 5
2.1 Introduzione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
2.2 Approccio per sottostrutture . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
2.3 Metodi di decomposizione dei domini . . . . . . . . . . . . . . 10
2.3.1 Formulazione del problema di interfaccia . . . . . . . . 11
2.3.2 Il metodo BDD . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
2.3.3 Il metodo FETI . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
2.4 L’algoritmo di Gravouil e Combescure . . . . . . . . . . . . . 27
2.4.1 L’algoritmo GC applicato a due sottodomini . . . . . 28
2.4.2 L’algoritmo GC applicato a s sottodomini con diversi
passi temporali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
3 Problema elettro-meccanico accoppiato 35
3.1 Introduzione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
3.2 Problema elettrostatico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
3.2.1 Equazioni di Maxwell ed equazione elettrostatica . . . 36
3.2.2 Formulazione ad elementi finiti del problema elettro-
statico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
3.2.3 Esempio: problema elettrico 1D . . . . . . . . . . . . . 43
3.2.4 Le forze elettrostatiche . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
3.3 Problema elettro-meccanico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
3.3.1 Considerazioni iniziali . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
3.3.2 Formulazione del problema elettro-meccanico accoppiato 49
3.3.3 Dominio meccanico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
3.3.4 Deformazione del dominio elettrico: problema pseudo-
meccanico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
I
INDICE II
3.3.5 Esempio: problema elettro-meccanico 1D . . . . . . . 55
3.4 Instabilita elettro-meccanica: fenomeno di
pull-in . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
3.4.1 Caso statico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
3.4.2 Caso dinamico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
4 Metodi di risoluzione 64
4.1 Introduzione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
4.2 Metodo Monolitico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66
4.2.1 Esempio: metodo monolitico applicato ad un caso 1D 70
4.3 Metodi partizionati . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74
4.3.1 Metodo staggered e metodo delle iterazioni simultanee 74
4.4 Voltaggio di pull-in . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78
4.5 Esempio: problema 1D . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79
5 La decomposizione dei domini applicata al problema elettro-
meccanico 88
5.1 Introduzione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88
5.2 Primo livello di decomposizione: contributi
free e link . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89
5.2.1 Considerazioni iniziali . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89
5.2.2 Formulazione del nuovo algoritmo . . . . . . . . . . . 91
5.3 Secondo livello di decomposizione: algoritmo GC applicato
alla risoluzione del problema meccanico . . . . . . . . . . . . 97
5.3.1 Decomposizione del problema meccanico free . . . . . 97
5.3.2 Decomposizione del problema meccanico link . . . . . 99
5.4 Terzo livello di decomposizione: metodo FETI applicato al
problema elettrico e pseudo-meccanico . . . . . . . . . . . . . 101
5.4.1 Metodo FETI applicato al problema pseudo-meccanico 103
5.4.2 Metodo FETI applicato al problema elettrico . . . . . 112
6 Applicazioni 120
6.1 Introduzione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120
6.2 Casi prova . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121
6.2.1 Trave a doppio incastro . . . . . . . . . . . . . . . . . 121
6.2.2 Trave a mensola . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145
6.2.3 Considerazioni finali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 156
6.3 Casi notevoli . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 157
INDICE III
6.3.1 Esempio 1: trave a doppio incastro soggetta ad attua-
zione sinusoidale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 157
6.3.2 Esempio 2: portale semplice con attuazione laterale . 161
6.3.3 Esempio 3: trave a doppio incastro con smorzamento . 177
6.3.4 Esempio 4: trave a doppio incastro con doppia attua-
zione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 180
7 Conclusioni 184
A Requisiti matematici degli algoritmi di decomposizione dei
domini 187
A.1 Metodo del gradiente coniugato . . . . . . . . . . . . . . . . . 187
A.2 Gradiente coniugato precondizionato (PGC) . . . . . . . . . . 189
B Integrazione delle equazioni del moto 192
B.1 Algoritmi impliciti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 196
B.1.1 Metodo di Newmark dell’accelerazione costante . . . . 197
B.1.2 Metodo di Newmark dell’accelerazione lineare . . . . . 198
C Caratteristiche dei processori 199
D Descrizione dei codici 200
D.1 Decomposizione di 1 livello . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 200
D.2 Decomposizione di 2 livello . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 203
D.3 Decomposizione di 3 livello . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 205
Elenco delle figure
1.1 Esempio di micro-sistema. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
2.1 Problema di Schwarz ([10]). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
2.2 Esempio di suddivisione in sottostrutture. . . . . . . . . . . . 8
2.3 Problema di riferimento ([10]). . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
2.4 Partizione in due sottodomini ([10]). . . . . . . . . . . . . . . 13
2.5 Interfaccia primaria e duale ([10]). . . . . . . . . . . . . . . . 14
2.6 Esempio di suddivisione in tre sottodomini ([10]). . . . . . . . 16
2.7 Definizione dei modelli di spostamento e delle forze di inter-
faccia. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
2.8 Esempio di partizione con sottodominio fluttuante. . . . . . . 23
2.9 Esempio di diverse discretizzazioni temporali ([2]). . . . . . . 32
3.1 Modello di accoppiamento elettro-meccanico ([22]). . . . . . . 36
3.2 Discretizzazione del dominio elettrico. . . . . . . . . . . . . . 40
3.3 Condensatore 1D con armature piane parallele ([22]). . . . . . 44
3.4 Problema elettro-meccanico di riferimento. . . . . . . . . . . . 49
3.5 Spostamenti meccanici, elettrici e di interfaccia. . . . . . . . . 55
3.6 Micro-risonatore monodimensionale ([22]). . . . . . . . . . . . 56
3.7 Andamento della curva spostamento-voltaggio dell’esempio
1D ([22]). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
3.8 In alto la curva statica di pull-in, in basso la risposta oscilla-
toria per un passo di voltaggio costante VD ([22]). . . . . . . . 60
3.9 Pull-in dinamico nel caso 1D: in alto la curva di pull-in statico,
in basso la risposta transitoria per V = VDPI ([22]). . . . . . 63
4.1 Approccio co-simulation (a sinistra) e fully coupled-simulation
(a destra). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
IV
ELENCO DELLE FIGURE V
4.2 Diagramma di flusso: metodo monolitico. . . . . . . . . . . . 69
4.3 Modello di riferimento monodimensionale. . . . . . . . . . . . 71
4.4 Procedura staggered ([22]). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76
4.5 Diagramma di flusso: metodo staggered. . . . . . . . . . . . . 77
4.6 Ricerca del pull-in per potenziale imposto ([22]). . . . . . . . 78
4.7 Ricerca del pull-in con il metodo di Riks-Crisfield. . . . . . . 79
4.8 Esempio monodimensionale. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81
4.9 Algoritmo di Newton-Raphson (istante n). . . . . . . . . . . . 82
4.10 Spostamento verticale nodo 4: soluzioni monolitica e staggered. 83
4.11 Potenziale nel nodo 2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86
4.12 Pull-in dinamico nel caso monodimensionale. . . . . . . . . . 87
5.1 Decomposizione elettro-meccanica (a) e puramente meccanica
(b). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90
5.2 Decomposizione di 1 livello: problemi free e link. . . . . . . . 95
5.3 Algoritmo di 1 livello: decomposizione secondo i due contri-
buti free e link. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96
5.4 Decomposizione della parte meccanica del problema di riferi-
mento. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97
5.5 Decomposizione di 2 livello: schema di risoluzione del pro-
blema free meccanico. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100
5.6 Decomposizione di 2 livello: schema di risoluzione del pro-
blema link meccanico. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102
5.7 Decomposizione della parte elettrica del problema di riferimento.103
5.8 Teorema di composizione della velocita. . . . . . . . . . . . . 108
5.9 Decomposizione di 3 livello: schema di risoluzione del pro-
blema pseudo-meccanico. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111
5.10 Decomposizione di 3 livello: schema di risoluzione del pro-
blema elettrico free. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116
5.11 Decomposizione di 3 livello: schema di risoluzione del pro-
blema elettrico link. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117
5.12 Schema riassuntivo dei livelli di decomposizione introdotti. . . 119
6.1 Microbridge (a) e Comb Drive (b). . . . . . . . . . . . . . . . 121
6.2 Geometria del primo caso prova. . . . . . . . . . . . . . . . . 122
6.3 Mesh di riferimento. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123
ELENCO DELLE FIGURE VI
6.4 Confronto della soluzione staggered con quella ottenuta con il
programma Comsol. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124
6.5 1 modo di vibrare della trave doppiamente incastrata. . . . . 125
6.6 Confronto della freccia massima ottenuta con codici 0 e 1. . . 127
6.7 Confronto del potenziale di riferimento ottenuto con codici 0
e 1. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127
6.8 Deformata qualitativa della trave a doppio incastro. . . . . . 128
6.9 Confronto degli spostamenti in direzione x (spostamenti in µm).129
6.10 Confronto degli spostamenti in direzione y (spostamenti in µm).130
6.11 Confronto degli sforzi σx (in N/m2). . . . . . . . . . . . . . . 131
6.12 Confronto degli sforzi σy (in N/m2). . . . . . . . . . . . . . . 132
6.13 Confronto degli sforzi τxy (in N/m2). . . . . . . . . . . . . . . 133
6.14 Confronto del potenziale (in V olt). . . . . . . . . . . . . . . . 134
6.15 Confronto del campo elettrico in direzione x (in V/m). . . . . 135
6.16 Confronto del campo elettrico in direzione y (in V/m). . . . . 136
6.17 Suddivisione del dominio meccanico in 2 sottodomini. . . . . 137
6.18 Confronto della freccia massima ottenuta con codici 0 e 2. . . 138
6.19 Confronto del potenziale di riferimento ottenuto con codici 0
e 2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138
6.20 Spostamenti e velocita del nodo 3 di interfaccia fra i domini
1 e 2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 140
6.21 Confronto dei tempi di analisi con diverso numero di sottodo-
mini meccanici. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141
6.22 Suddivisione della parte elettrica in 4 sottodomini e della
parte meccanica in 2 sottodomini. . . . . . . . . . . . . . . . 142
6.23 Confronto della freccia massima ottenuta con codici 0 e 3 (2
sottodomini meccanici, 4 sottodomini elettrici). . . . . . . . . 143
6.24 Confronto del potenziale di riferimento ottenuto con codici 0
e 3 (2 sottodomini meccanici, 4 sottodomini elettrici). . . . . 144
6.25 Confronto dei tempi di analisi con diverso numero di sottodo-
mini elettrici e meccanici. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144
6.26 Geometria del secondo caso prova. . . . . . . . . . . . . . . . 145
6.27 Confronto della soluzione staggered con quella ottenuta con il
programma Comsol. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 146
6.28 1 modo di vibrare della trave a mensola. . . . . . . . . . . . 147
6.29 Confronto della freccia massima ottenuta con codici 0 e 1. . . 148
ELENCO DELLE FIGURE VII
6.30 Confronto del potenziale di riferimento ottenuto con codici 0
e 1. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 148
6.31 Spostamenti in direzione x e y (in µm). . . . . . . . . . . . . 149
6.32 Sforzi normali in direzione x e y (in N/m2). . . . . . . . . . . 150
6.33 Sforzi di taglio (in N/m2) e potenziale (in V olt). . . . . . . . 151
6.34 Campi elettrici in direzione x e y (in V/m). . . . . . . . . . . 152
6.35 Confronto dei tempi di analisi con diverso numero di sottodo-
mini meccanici. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 154
6.36 Confronto dei tempi di analisi con diverso numero di sottodo-
mini elettrici e meccanici. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155
6.37 Trave doppiamente incastrata soggetta a differenza di poten-
ziale variabile nel tempo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 157
6.38 Attuazione sinusoidale. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 158
6.39 Forzante elettrica nel nodo di mezzeria della trave. . . . . . . 160
6.40 Spostamento verticale del nodo di mezzeria della trave. . . . . 160
6.41 Geometria del portale. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161
6.42 Deformata del portale sollecitato a carico distribuito variabile
sul montante di sinistra. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162
6.43 Mesh e suddivisione in sottodomini delle casistiche implemen-
tate. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163
6.44 Confronto degli spostamenti in direzione x del nodo A. . . . . 165
6.45 Confronto dei potenziali nel nodo B. . . . . . . . . . . . . . . 165
6.46 Confronto degli spostamenti in direzione x (in µm). . . . . . 167
6.47 Confronto degli spostamenti in direzione y (in µm). . . . . . . 168
6.48 Confronto degli sforzi σx (in N/m2). . . . . . . . . . . . . . . 169
6.49 Confronto degli sforzi σy (in N/m2). . . . . . . . . . . . . . . 170
6.50 Confronto degli sforzi τxy (in N/m2). . . . . . . . . . . . . . . 171
6.51 Confronto del campo elettrico in direzione x (in V/m). . . . . 172
6.52 Confronto del campo elettrico in direzione y (in V/m). . . . . 173
6.53 Confronto del potenziale (in V olt). . . . . . . . . . . . . . . . 174
6.54 Spostamenti in direzione x del nodo C (2 sottodomini). . . . 175
6.55 Spostamenti in direzione x del nodo E (3 sottodomini). . . . 175
6.56 Spostamenti in direzione x del nodo C (4 sottodomini). . . . 176
6.57 Spostamenti in direzione x del nodo E (6 sottodomini). . . . 176
6.58 Pulsazioni dei primi due modi della trave a doppio incastro. . 178
6.59 Andamento della freccia massima nel tempo. . . . . . . . . . 179
ELENCO DELLE FIGURE VIII
6.60 Andamento della forza elettrostatica nodale di mezzeria nel
tempo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 179
6.61 Trave a doppio incastro soggetta a doppia attuazione. . . . . 181
6.62 Andamento nel tempo dei due potenziali di attuazione. . . . . 182
6.63 Andamento della freccia massima nel tempo. . . . . . . . . . 183
D.1 Schema del codice di decomposizione 1 livello. . . . . . . . . 204
D.2 Schema del codice di decomposizione 2 livello. . . . . . . . . 206
D.3 Schema del codice di decomposizione 3 livello. . . . . . . . . 208
Elenco delle tabelle
4.1 Geometria e proprieta dei domini elettrico e meccanico del
caso 1D. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80
4.2 Discretizzazione temporale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83
4.3 Periodo di oscillazione ottenuto dalla simulazione numerica. . 85
4.4 Confronto dei tempi analisi monolitico-staggered. . . . . . . . 85
6.1 Proprieta dei materiali delle parti meccanica ed elettrica. . . 122
6.2 Parametri dell’analisi dinamica. . . . . . . . . . . . . . . . . . 123
6.3 Confronto con la soluzione statica. . . . . . . . . . . . . . . . 124
6.4 Periodo di oscillazione ottenuto dalla simulazione numerica. . 125
6.5 Confronto dei tempi analisi staggered -decomposizione 1livello. 128
6.6 Confronto dei tempi analisi staggered -decomposizione 2livello
(2 sottodomini). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139
6.7 Confronto dei tempi analisi staggered -decomposizione 3livello
(2 sd meccanici, 4 sd elettrici). . . . . . . . . . . . . . . . . . 142
6.8 Riassunto dei tempi analisi ottenuti con i vari algoritmi (trave
a doppio incastro). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143
6.9 Confronto con la soluzione statica. . . . . . . . . . . . . . . . 145
6.10 Periodo di oscillazione ottenuto dalla simulazione numerica. . 146
6.11 Confronto dei tempi di analisi staggered -decomposizione 1livello.153
6.12 Confronto dei tempi analisi staggered -decomposizione 2livello
(2 sottodomini). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153
6.13 Confronto dei tempi analisi staggered -decomposizione 3livello
(2 sd meccanici, 4 sd elettrici). . . . . . . . . . . . . . . . . . 154
6.14 Riassunto dei tempi analisi ottenuti con i vari algoritmi (trave
a mensola). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155
6.15 Parametri dell’analisi dinamica. . . . . . . . . . . . . . . . . . 158
6.16 Stima dei valori di picco della forza elettrica. . . . . . . . . . 159
IX
ELENCO DELLE TABELLE X
6.17 Stima dei valori di picco della freccia massima. . . . . . . . . 159
6.18 Confronto dei tempi di analisi staggered -decomposizione 1livello
(attuazione sinusoidale). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 160
6.19 Numero di nodi dei sottodomini meccanici. . . . . . . . . . . 164
6.20 Numero di elementi dei sottodomini meccanici. . . . . . . . . 164
6.21 Numero di nodi ed elementi del dominio elettrico. . . . . . . . 164
6.22 Parametri dell’analisi dinamica. . . . . . . . . . . . . . . . . . 165
6.23 Valori massimi e minimi delle varie grandezze, valutate nel
nodo A, nell’istante t = 2 · 10−7 sec. . . . . . . . . . . . . . . 166
6.24 Confronto tra i tempi di analisi e relativo guadagno rispetto
all’algoritmo staggered. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 177
6.25 Periodo di oscillazione ottenuto numericamente. . . . . . . . . 180
6.26 Confronto dei tempi di analisi staggered -decomposizione 3livello
(trave smorzata). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 180
6.27 Confronto dei tempi di analisi staggered -decomposizione 1livello
(doppia attuazione). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 182
C.1 Caratteristiche dei processori. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 199
Capitolo 1
Introduzione
Il presente lavoro di tesi mette in relazione due grandi tematiche: da una
parte i metodi di decomposizione dei domini, intesi come particolari tecniche
di modellazione ad elementi finiti; dall’altra, il problema elettro-meccanico
accoppiato, appartenente alla categoria dei cosiddetti multi-field problems
(o problemi a piu campi), nei quali occorre tener conto dell’interazione
fra diversi fenomeni fisici; per questo motivo, si parla anche di problemi
accoppiati.
Il problema elettro-meccanico e tipico dei Micro-Sistemi Elettro-Mecca-
nici (MEMS), termine col quale vengono indicati dispositivi di varia natura
(meccanici, elettrici ed elettronici), integrati in forma altamente miniatu-
rizzata, la cui tecnologia e adottata negli ambiti applicativi piu vari; essi
trovano impiego come sensori, accelerometri, testine per stampanti, ecc.. A
causa delle loro piccole dimensioni, i carichi gravitazionali sono trascurabi-
li nei confronti delle forze elettriche, elastiche e adesive, preponderanti alla
microscala; queste di fatto determinano il comportamento meccanico di quei
dispositivi. La figura 1.1 mostra una particolare tipologia di micro-sistemi,
i comb-drives, costituiti da due serie di elettrodi, l’una fissa e l’altra mobile,
a costituire come due pettini, tra i quali e applicata una differenza di po-
tenziale; le conseguenti forze elettrostatiche che nascono in seguito a quella
attuazione sono proporzionali alla variazione di capacita fra le due serie di
elettrodi.
Nell’ambito della progettazione dei micro-sistemi e estremamente im-
portante riuscire a simulare l’accoppiamento elettro-meccanico in modo suf-
ficientemente preciso, per poter prevedere il comportamento del dispositivo
in esercizio e dimensionarlo di conseguenza; analogamente a quanto avviene
1
2
Figura 1.1: Esempio di micro-sistema.
alla macroscala, e necessario mantenersi lontani da una situazione di insta-
bilita che prende in questo caso il nome di pull-in, in corrispondenza della
quale gli elettrodi fra cui e imposta la differenza di potenziale vengono a
contatto fra loro, compromettendo il funzionamento del dispositivo.
La simulazione e quindi una fase estremamente importante nella pro-
gettazione dei micro-sistemi: essa avviene sfruttando dei metodi approssi-
mati, quale puo essere quello degli elementi finiti, e affidando il calcolo agli
elaboratori. Questi, avendo un limite fisico, necessitano di tempi di ela-
borazione che possono essere molto lunghi nel caso di analisi dinamiche,
problemi a geometria complessa, o di problemi fortemente accoppiati, come
quello elettro-meccanico.
Il punto di partenza del presente lavoro e proprio l’idea di applicare
i metodi di decomposizione dei domini, originariamente proposti per pro-
blemi meccanici sia statici che dinamici (per i quali e stata dimostrata la
maggiore efficienza nel calcolo rispetto ad un approccio di tipo monoliti-
co), al problema elettro-meccanico, con l’obiettivo di verificare sia l’entita
del vantaggio computazionale che essi possono comportare, sia l’accuratezza
della soluzione.
Si mostrera come la decomposizione possa essere applicata a quel tipo
di problema in corrispondenza di piu livelli, a partire dalla naturale suddi-
visione secondo le fisiche del problema fino a giungere alla partizione vera e
3
propria dei due domini meccanico ed elettrico. Occorrera tener conto delle
diverse caratteristiche dei due problemi (il meccanico risolto in dinamica,
l’elettrico in statica) e applicare di conseguenza gli algoritmi di decomposi-
zione piu adatti.
Nel capitolo 2 vengono passati in rassegna i principali metodi di decom-
posizione cosı come sono stati originariamente proposti, fornendo una pano-
ramica degli algoritmi di provata validita. Dopo un breve accenno all’approc-
cio per sottostrutture, precursore dei moderni metodi di decomposizione, si
procede ad introdurre i due grandi metodi proposti nei primi anni ’90, dai
quali sono stati dedotti tutti i successivi: il Balancing Domain Decomposi-
tion (BDD, [9]) e il Finite Element Tearing and Interconnecting (FETI, [1]).
Infine, viene affrontato l’algoritmo di Gravouil e Combescure per problemi
di dinamica strutturale, proposto recentemente e dedotto dal metodo FETI
([8]).
Nel capitolo 3 vengono dedotte le equazioni che governano il problema
elettrico, al quale viene associata una formulazione ad elementi finiti. Ven-
gono quindi messe in evidenza le caratteristiche dell’accoppiamento elettro-
meccanico; sulla base di queste, si procede alla sintesi dei due sistemi elettri-
co e meccanico, inizialmente disaccoppiati, a formare il sistema che governa
il problema accoppiato. Un esempio monodimensionale consente di com-
prendere meglio tale accoppiamento e di affrontare il tema dell’instabilita
elettro-meccanica (pull-in) sia nel caso statico che in quello dinamico.
Dedotto il sistema elettro-meccanico, il capitolo 4 presenta i meto-
di di risoluzione classici (monolitico e staggered) per la risoluzione di tale
problema. Dopo una trattazione principalmente teorica, viene presentato
un esempio monodimensionale risolto con le due procedure gia consolida-
te; per tale problema sono stati opportunamente implementati dei codici in
Matlabr, che hanno consentito un confronto fra i due diversi metodi.
Nel capitolo 5 vengono analizzate le modalita con cui la decomposizio-
ne dei domini puo essere applicata al problema elettro-meccanico. Partendo
dalla procedura di tipo staggered, si introduce innanzitutto una suddivisione
in base alle fisiche del problema, applicando l’algoritmo di Gravouil e Com-
bescure (GC) proposto al capitolo 2. Il nuovo algoritmo ottenuto e indicato
con il nome di decomposizione di 1 livello. Il passaggio successivo consiste
nell’introduzione della decomposizione del dominio meccanico, anche in que-
sto caso nello spirito di GC, dando vita al cosiddetto algoritmo di 2 livello.
4
Infine, l’ultimo passo consiste nell’introdurre la decomposizione della parte
elettrica, nella quale, come osservato nel capitolo 3, i problemi sono risolti in
statica. E quindi inevitabile l’adozione del metodo FETI, che viene in questa
sede esteso al problema elettrico secondo una nuova formulazione, dedotta
tenendo conto dell’analogia col problema meccanico. Il metodo FETI viene
anche applicato alla risoluzione del problema pseudo-meccanico, con il quale
viene aggiornata la configurazione del dominio elettrico sulla base degli spo-
stamenti indotti dalla parte meccanica. Questo terzo e ultimo algoritmo e
indicato con il nome di decomposizione di 3 livello.
Infine, nel capitolo 6 vengono analizzati alcuni casi semplici ai quali
sono applicati gli algoritmi proposti; questi sono confrontati con la procedura
di tipo staggered. Per poter effettuare queste analisi sono stati implementati
ex novo dei codici in Matlab per la procedura di tipo staggered e per i tre
nuovi algoritmi proposti (1, 2 e 3 livello); in realta, per la realizzazione
dell’ultimo codice, si e preso spunto dall’implementazione del metodo FETI
per lo studio di piastre, realizzato in un precedente lavoro di tesi ([17]). Quel-
le subroutines sono state rimaneggiate e adattate ai casi pseudo-meccanico
ed elettrico. Gli esempi proposti si distinguono in due categorie: innanzitut-
to si studiano dei casi prova, ai quali sono applicati tutti i tipi di algoritmi
affrontati nel corso dei precedenti capitoli; questo consentira la validazione
dei codici implementati. In secondo luogo, sono proposti alcuni casi parti-
colari nei quali sono messi a confronto gli algoritmi proposti e dove viene
dimostrato non solo il vantaggio computazionale derivante dall’introduzione
della decomposizione a piu livelli, ma anche l’equivalenza con gli algoritmi
classici di risoluzione del problema elettro-meccanico.
Capitolo 2
La decomposizione dei
domini: stato dell’arte
2.1 Introduzione
A partire dagli anni ’80 del secolo scorso grande importanza e stata attribui-
ta allo sviluppo di metodi efficienti per il calcolo della soluzione nei problemi
ad elementi finiti. Nelle simulazioni, infatti, i domini oggetto dell’analisi
possono risultare complessi per geometria o di notevoli dimensioni, oppure
possono presentare diversi comportamenti fisici (domini meccanici, elettrici,
. . . ); tutti questi aspetti, in genere, comportano un onere di calcolo eccessivo.
Nell’ambito delle tecniche che cercano di porre rimedio a questo problema
si situano i metodi di decomposizione dei domini ; ciascuna delle parti in cui
quelli sono suddivisi puo essere analizzata separatamente tenendo conto allo
stesso tempo dell’effetto-azione esercitata dalle parti adiacenti. In particola-
re, e necessario esprimere una condizione di interfaccia o di interazione fra le
parti, che varia a seconda del tipo di problema affrontato (es.: nei problemi
di dinamica strutturale, nei quali i domini sono solidi meccanici, tale condi-
zione corrisponde alla continuita del campo di spostamento e all’uguaglianza
delle trazioni all’interfaccia).
Il matematico tedesco Hermann Schwarz (1843-1921) e da molti con-
siderato il padre della decomposizione dei domini: risale infatti al 1869 un
articolo in cui egli propose un nuovo metodo per la risoluzione di equazioni
differenziali alle derivate parziali su un dominio complesso, costituito dalla
sovrapposizione di un disco e di un rettangolo (figura 2.1); con quell’articolo
furono poste le basi matematiche dei metodi di decomposizione. In realta,
5
2.1 Introduzione 6
Figura 2.1: Problema di Schwarz ([10]).
e solo un secolo piu tardi, a partire dagli anni ’80 del secolo scorso, con lo
sviluppo dei moderni processori, che ci si rese effettivamente conto dei van-
taggi che l’accoppiamento fra processamento parallelo su piu unita di calcolo
e metodi di decomposizione poteva garantire; con queste tecniche e possibile
risolvere problemi indipendenti su diversi processori, provvedendo contem-
poraneamente ad uno scambio di informazioni in modo sincronizzato. Un
approccio di questo tipo rappresenta oggi un aspetto essenziale, di fronte alla
necessita di effettuare simulazioni numeriche di fenomeni fisici sempre piu
complessi (non-linearita, accoppiamenti, . . . ), in grado di sfruttare al meglio
le potenzialita della moderna tecnologia.
Gia a partire dagli anni ’60 gli ingegneri aeronautici americani svilup-
parono un metodo per lo studio di strutture con elevato numero di gradi di
liberta, quali appunto gli aeromobili. Tale metodo comporta la suddivisione
del dominio di analisi in sottostrutture, per ciascuna delle quali si effettua
la condensazione dei gradi di liberta interni in modo tale da ottenere un si-
stema assemblato esclusivamente sui gradi di liberta di interfaccia (e quindi
ridotto).
E pero solo all’inizio degli anni ’90 che vengono sviluppati due me-
todi di decomposizione dei domini dai quali sono stati successivamente de-
dotti diversi algoritmi, generalmente classificati nelle seguenti due grandi
categorie:
• metodi primari (BDD: Balancing Domain Decomposition);
• metodi duali (FETI: Finite Element Tearing and Interconnecting).
Contrariamente al problema di Schwarz, i due tipi di metodi valgono per
domini non sovrapposti (non-overlapping) e si distinguono tra di loro per
2.2 Approccio per sottostrutture 7
le incognite del problema di interfaccia: spostamenti nei primi, trazioni nei
secondi.1
I metodi di decomposizione presentano vantaggi di diverso tipo: al di
la della naturale riduzione della dimensione dei sistemi risolti (legata al fatto
di considerare N +1 sistemi di dimensioni ridotte - con N numero dei sotto-
domini - in luogo di un unico grande sistema monolitico), metodi di questo
tipo consentono anche di considerare allo stesso tempo comportamenti fisici
differenti, potendo associare a ciascun sottodominio equazioni che governano
un determinato fenomeno fisico. Un esempio, che verra affrontato in segui-
to, e il cosiddetto problema elettro-meccanico accoppiato, che si presenta in
numerose applicazioni tra cui i Micro Sistemi Elettro-Meccanici (MEMS).
2.2 Approccio per sottostrutture
Come accennato in precedenza, la caratteristica principale dell’approccio per
sottostrutture e quella di ottenere una riduzione del numero dei gradi di li-
berta applicando il concetto di condensazione statica alle incognite nodali
interne di ciascuna sottostruttura in cui si immagina suddivisa la struttura
di partenza (figura 2.2); il risultato e la riduzione del problema monolitico
ad essa associato ad una serie di problemi di minore dimensione. Il sistema
algebrico discretizzato monolitico e il seguente:
KU = P (2.1)
in cui la matrice di rigidezza K e il vettore dei carichi nodali equivalenti
P hanno rispettivamente ordine e dimensione pari al numero totale n dei
gradi di liberta della struttura. Si immagini ora di operare una suddivisio-
ne in N parti. Per ciascuna di esse, il sistema di equilibrio viene scritto come:
KiUi = Pi +Pi0 i = 1, . . . , N (2.2)
in cui si mettono in evidenza i carichi nodali di interfaccia Pi0, cioe le forze
interne che la sottostruttura i-esima scambia con quelle ad essa adiacenti.
1Si fa riferimento al problema meccanico, per il quale questi metodi sono stati
originariamente proposti.
2.2 Approccio per sottostrutture 8
Figura 2.2: Esempio di suddivisione in sottostrutture.
Si riscrive il sistema (2.2) introducendo una partizione fra gradi di liberta
esterni (E) ed interni (I) (si omette l’indice i della sottostruttura per una
maggiore chiarezza della trattazione):
[
KEE KEI
KIE KII
][
UE
UI
]
=
[
PE
PI
]
+
[
P0E
0
]
(2.3)
Si osserva che P0I = 0 per definizione stessa di forze di interfaccia.
Dalla seconda delle (2.3) si esprime UI :
UI = K−1II (PI −KIEUE) (2.4)
che, sostituita nella prima, restituisce:
(KEE −KEIK−1II KIE)
︸ ︷︷ ︸
K
UE = (PE −KEIK−1II PI)
︸ ︷︷ ︸
P
+P0E
KiUiE = Pi +Pi
0Ei = 1, . . . , N (2.5)
Si osservi che nel calcolo di Ki e Pi l’operazione piu onerosa e l’inversione
della sottomatrice KiII , da effettuarsi per ogni sottostruttura: l’ordine di
ciascuna di quelle matrici e comunque ridotto e pari al numero di gradi di
liberta interni della corrispondente sottostruttura.
2.2 Approccio per sottostrutture 9
Si procede come nell’analisi ad elementi finiti usuale, considerando le
(2.5) come equazioni di equilibrio associate a singoli elementi finiti.2 L’ener-
gia potenziale totale del sistema puo essere espressa in modo immediato (si
veda [2]):
Π =N∑
i=1
(1
2UiT
E KiUiE −UiT
E Pi −
UiT
E Pi0E
)
(2.6)
in cui l’ultimo contributo, associato alle forze di interazione, e nullo per il
principio di azione-reazione: in particolare, il lavoro di quelle forze lungo
ogni linea di interfaccia da un duplice contributo uguale ed opposto. Si in-
troduce il vettore globale UE dei gradi di liberta del sistema, comprensivo
degli spostamenti sul contorno esterno della struttura e sulle interfacce; le
matrici di connettivita consentono di esprimere gli spostamenti UiE di cia-
scuna sottostruttura in funzione di UE :
UiE = LiUE (2.7)
Sostituendo la (2.7) nella (2.6) si ottiene:
Π =1
2UT
E
( N∑
i=1
LiT KiLi)
︸ ︷︷ ︸
K
UE −UTE
( N∑
i=1
LiTPi)
︸ ︷︷ ︸
P
(2.8)
Imponendo la condizione di stazionarieta dell’energia potenziale totale, si
ricava in definitiva:
δΠ = 0, ∀ δUE = 0 ⇒ KUE = P (2.9)
Il sistema (2.9) ha dimensione pari al numero di incognite nodali di contorno
e interfaccia. Il sistema monolitico di partenza (2.1) e quindi ricondotto a
N sottoproblemi di dimensione ridotta, a cui si aggiunge la risoluzione del
problema (2.9).
2L’analogia infatti e evidente: la suddivisione della struttura globale in sottostrutture
e del tutto analoga alla discretizzazione ad elementi finiti di un generico dominio.
2.3 Metodi di decomposizione dei domini 10
Una volta determinato il vettore UE , e possibile risalire a UiE con la
(2.7) e agli spostamenti nodali interni attraverso la (2.4). 3
Nonostante sia di qualche decennio antecedente ai metodi di decom-
posizione veri e propri, l’approccio per sottostrutture possiede gia alcune
delle caratteristiche degli algoritmi proposti nei primi anni ’90: suddivisione
della struttura di partenza in piu parti, sostituzione del sistema monolitico,
computazionalmente troppo oneroso, con piu sottoproblemi di dimensione
ridotta e importanza attribuita all’interfaccia intesa come quella zona, fisi-
camente individuabile, attraverso cui avviene lo scambio di informazioni fra
sottodomini adiacenti.
2.3 Metodi di decomposizione dei domini
Come anticipato i metodi di decomposizione dei domini si suddividono nelle
due grandi categorie di metodi primari e metodi duali a seconda delle inco-
gnite assunte nel problema di interfaccia, spostamenti nei primi e trazioni nei
secondi. I metodi BDD ([9]) e FETI ([1]) sono i primi, in ordine cronologi-
co, ad essere stati proposti e appartengono rispettivamente alla prima e alla
seconda categoria. Essi sono caratterizzati da un’interpretazione meccanica
molto semplice e da un problema di interfaccia che, in vista della paralle-
lizzazione su piu processori, viene, in genere, affrontato con un risolutore di
tipo iterativo; ogni iterazione, d’altra parte, richiede la risoluzione di un pro-
blema ad elementi finiti che puo avvenire tramite un risolutore diretto. In
questo modo, i metodi di decomposizione combinano l’utilizzo di risolutori
diretto e iterativo, cercando di ottenere dal primo robustezza e dal secondo
risparmio computazionale.
I metodi primari e duali sono stati estesi ai problemi eterogenei e
di elasticita del quarto ordine (piastre e gusci); si parla in questo caso di
algoritmi BDDC e FETIDP ([10]), che oggi risultano essere efficienti tanto
quanto i due metodi originari ([9],[1]).
Ulteriori algoritmi sono stati proposti per ambiti diversi da quello pret-
tamente statico-meccanico; tra questi il transitorio dinamico ed i problemi
multi-fisici (mezzo poroso, fluido incomprimibile, contatto,. . . ; si veda ad
esempio [15]).
3Si osservi che la matrice K−1II e gia stata calcolata per l’assemblaggio della matrice K.
2.3 Metodi di decomposizione dei domini 11
Dato lo stretto legame fra metodi primari e duali, sono stati proposti
anche algoritmi che cercano di fondere le due categorie in una sola. E il caso
dell’approccio ibrido ([10]), che consente di specificare per ciascun grado di
liberta di interfaccia il tipo di incognita (spostamento o trazione); nel caso
dei problemi multi-fisici un approccio di questo tipo consente di definire degli
opportuni risolutori che tengano conto del diverso comportamento fisico che
si presenta. Gli approcci di tipo misto invece ricercano una combinazione
lineare di spostamenti di interfaccia e di sforzi a seconda di una rigidezza
fittizia/artificiale; in particolare gli approcci misti ricadono nella prima o
nella seconda categoria nel caso in cui la rigidezza sia infinita (primari) o
nulla (duali). I metodi misti presentano vantaggi soprattutto per la maggio-
re semplicita con cui vengono affrontate interfacce complesse (per esempio
in presenza di fenomeni di contatto o di attrito) rispetto ai metodi originari.
2.3.1 Formulazione del problema di interfaccia
Problema di riferimento
Si consideri un generico dominio meccanico Ω in Rn, con n = 1, 2, 3 (figura
2.3). Le equazioni che governano il problema elasto-meccanico, usando la
notazione tensoriale compatta proposta in [10], sono:
div(σ) + f = 0 in Ω
σ = Dε in Ω
ε = 12
(
∇u+ (∇u)T)
in Ω
σn = g su ∂gΩ
u = u0 su ∂uΩ
(2.10)
Le equazioni del sistema (2.10), come e noto, esprimono rispettivamente
l’equilibrio, il legame costitutivo (assunto elastico lineare) e la congruenza,
oltre alle condizioni al contorno naturali (equilibrio al contorno) ed essenziali
(di congruenza cinematica fra spostamento e cedimento sulla parte vincola-
ta) rappresentate dalle ultime due equazioni.
2.3 Metodi di decomposizione dei domini 12
Figura 2.3: Problema di riferimento ([10]).
Decomposizione in due sottodomini
Si consideri, in primo luogo, una suddivisione del dominio Ω di partenza in
due parti Ω1 e Ω2 come in figura 2.4. L’interfaccia Υ tra le due parti e
definita nel modo seguente:
Υ = ∂Ω1
⋂
∂Ω2 (2.11)
Le equazioni del problema elastico (2.10) possono essere scritte per ciascuna
delle due sottostrutture:
s = 1, 2
div(σs) + fs = 0 in Ωs
σs = Dsεs in Ωs
εs =12
(
∇us + (∇us)T)
in Ωs
σsns = gs su ∂gΩ⋂∂Ωs
us = u0s su ∂uΩ⋂∂Ωs
(2.12)
I due sistemi (2.12), scritti rispettivamente per Ω1 e Ω2, non sono sufficienti
a sostituire il sistema (2.10); essi devono infatti essere corredati da condizio-
ni all’interfaccia, che esprimano la connessione fra i due sottodomini:
u1 = u2 su Υ (2.13)
σ1n1 = σ2n2 su Υ (2.14)
Le (2.13) e (2.14) esprimono rispettivamente la continuita del campo di spo-
stamento e l’equilibrio degli sforzi (principio di azione-reazione) all’interfac-
2.3 Metodi di decomposizione dei domini 13
Figura 2.4: Partizione in due sottodomini ([10]).
cia.
Le equazioni (2.12), (2.13) e (2.14) sono equivalenti al sistema monolitico
(2.10).
Decomposizione in N sottodomini
Si immagini ora di suddividere il dominio Ω in N parti indicate con Ωs.
Data la maggiore complessita della decomposizione geometrica, occorre in-
trodurre i concetti di interfaccia fra due sottodomini, interfaccia totale di un
sottodominio e interfaccia della struttura globale, definiti come:
Υi,j = Υj,i = ∂Ωi⋂∂Ωj
Υs =⋃
j Υs,j
Υ =⋃
sΥs
(2.15)
In genere ci si riferisce alle Υs e Υ come interfacce locali e interfaccia globale
rispettivamente; Υi,j rappresenta invece l’interfaccia di comunicazione tra i
due sottodomini i e j.
Nel caso di suddivisione in N parti possono formarsi i cosiddetti cros-
spoints, cioe nodi condivisi da piu di due sottodomini. La loro esistenza
rende necessaria la definizione di due nuove entita: la cosiddetta interfac-
cia geometrica, coincidente con Υ, e l’interfaccia di connettivita, costituita
dall’insieme di tutte le interfacce associate alle varie coppie di sottodomini
adiacenti (Υi,j , con 1 ≤ i < j ≤ N). Ciascuna delle due categorie di metodi
di decomposizione fa riferimento ad una di queste due tipologie di intefaccia,
per questo in genere ci si riferisce all’interfaccia geometrica come interfaccia
primaria e a quella di connettivita come interfaccia duale (figura 2.5).
2.3 Metodi di decomposizione dei domini 14
Figura 2.5: Interfaccia primaria e duale ([10]).
Definizione degli operatori booleani
Per poter scrivere in modo compatto le equazioni associate ai vari sottodo-
mini e per seguire allo stesso tempo una trattazione rigorosa che sia la piu
generale possibile (come quella proposta in [10]), e necessario definire diversi
operatori.
Innanzitutto si definisce l’operatore ts che consente di estrarre dall’in-
sieme dei gradi di liberta del sottodominio Ωs quelli della sua interfaccia.
Il suo trasposto consente l’operazione inversa, cioe il passaggio dai gradi di
liberta di interfaccia a quelli dell’intero sottodominio.
In secondo luogo, si definisce un operatore che consente il passaggio
di dati da un sottodominio a quelli adiacenti; a seconda che il metodo di
decomposizione (e quindi l’interfaccia) sia primario o duale si definiscono gli
operatori di assemblaggio corrispondenti, indicati rispettivamente con As e
As. Il primo e di tipo booleano, il secondo e, invece, dotato di segno: in
quest’ultimo caso, infatti, se ad un grado di liberta corrisponde 1 da un
lato dell’interfaccia, al corrispondente grado di liberta pensato come appar-
tenente all’altro sottodominio e associato invece −1. As e As godono delle
seguenti proprieta:
2.3 Metodi di decomposizione dei domini 15
∑
sAsATs = 0
ATs As = IΥs
ATs As = diag(molteplicita−1)Υs
AsATs =
∣∣∣∣∣
I su Υs
0 altrove
(2.16)
Nella terza delle (2.16) si e indicato con molteplicita il numero di sottodo-
mini a cui appartiene il generico punto di interfaccia del dominio s. Dalle
precedenti definizioni deriva il seguente operatore booleano composto:
Bs = Asts (2.17)
L’esempio che segue ([10]) consente di comprendere meglio il significato di
cio che e stato definito e che puo sembrare, di primo acchito, eccessivamente
astratto.
Esempio
Si consideri la partizione di figura 2.6. Considerando la numerazione ripor-
tata, si scrivono gli operatori booleani in questo caso particolare:
t1 =
0 0 1 0 0
0 0 0 1 0
0 0 0 0 1
t2 =
0 0 1 0 0
0 0 0 1 0
0 0 0 0 1
t3 =
1 0 0 0
0 1 0 0
0 0 1 0
A1 =
0 0 0
0 1 0
1 0 0
0 0 1
A2 =
1 0 0
0 0 1
0 0 0
0 1 0
A3 =
0 0 1
0 0 0
1 0 0
0 1 0
2.3 Metodi di decomposizione dei domini 16
Figura 2.6: Esempio di suddivisione in tre sottodomini ([10]).
A1 =
0 0 0
0 1 0
1 0 0
0 0 0
0 0 1
0 0 1
A2 =
1 0 0
0 0 −1
0 0 0
0 1 0
0 −1 1
0 0 0
A3 =
0 0 −1
0 0 0
−1 0 0
0 −1 0
0 0 0
0 −1 0
Si indichino con ns, nbs e ni
s rispettivamente i gradi di liberta totali, di
interfaccia ed interni del sottodominio s-esimo.4 Si definiscano poi nΥ e
nΥi,ji gradi di liberta associati rispettivamente all’interfaccia primaria e
duale (quattro e sei per l’esempio che si sta considerando; la differenza,
4In questo esempio si assume, per semplicita, che a ciascun nodo corrisponda un unico
grado di liberta.
2.3 Metodi di decomposizione dei domini 17
come spiegato in precedenza, consiste nel fatto che la seconda tipologia di
interfaccia tiene conto degli accoppiamenti fra i vari sottodomini, ne segue
che nΥ e nΥi,jrisultano in genere diversi). Si deduce che:
- gli operatori ts hanno dimensioni nbs × ns;
- gli operatori As hanno dimensioni nΥ × nbs;
- gli operatori As hanno dimensioni nΥi,j× nb
s.
Gli operatori booleani composti Bs:
B1 =
0 0 0 0 0
0 0 0 1 0
0 0 1 0 0
0 0 0 0 0
0 0 0 0 1
0 0 0 0 1
B2 =
0 0 1 0 0
0 0 0 0 −1
0 0 0 0 0
0 0 0 1 0
0 0 0 −1 0
0 0 0 0 0
B3 =
0 0 −1 0
0 0 0 0
−1 0 0 0
0 −1 0 0
0 0 0 0
0 −1 0 0
Gli operatori booleani composti (di seguito booleani) hanno quindi dimen-
sioni nΥi,j× ns, consentono cioe il passaggio dalla numerazione interna del
sottodominio s-esimo a quella dei gradi di liberta (nodi in questo caso) del-
l’interfaccia duale.
2.3.2 Il metodo BDD
Il Balancing Domain Decomposition method e stato proposto da J.Mandel
in [9]; esso appartiene alla categoria dei metodi primari, in quanto adotta gli
spostamenti come incognite del problema di interfaccia.
Il punto di partenza per la formulazione del metodo e dato dalla scrit-
tura dei sistemi algebrici discretizzati associati a ciascuno degli N sottodo-
mini Ωs in cui si immagina suddiviso il dominio Ω di partenza:
2.3 Metodi di decomposizione dei domini 18
KsUs = fs + λs s = 1, . . . , N (2.18)
in cui sono messe in evidenza le forze di interazione λs di ciascun sottodomi-
nio. Operando una partizione fra gradi di liberta interni (i) e di interfaccia
(b), il sistema (2.18) viene riscritto come:
[
Kiis Kib
s
Kbis Kbb
s
][
Uis
Ubs
]
=
[
f isf bs + λ
bs
]
(2.19)
dove le forze di interazione λ agiscono ovviamente nei soli nodi di interfaccia.
Con un procedimento del tutto analogo a quello utilizzato nell’approccio per
sottostrutture (si veda il paragrafo 2.2), il sistema (2.19) puo essere riscritto
in termini dei soli spostamenti di interfaccia. Dalla prima delle (2.19) si
ricava:
Uis = Kii−1
s (f is −Kibs U
bs) (2.20)
Sostituendo nella seconda:
(Kbbs −Kbi
s Kii−1
s Kibs )
︸ ︷︷ ︸
Sps
Ubs = (f bs −Kbi
s Kii−1
s f is)︸ ︷︷ ︸
bps
+λbs
SpsUbs = bps + λ
bs s = 1, . . . , N (2.21)
Procedendo ancora una volta come gia fatto nell’approccio per sottostruttu-
re, si esegue l’assemblaggio delle N equazioni (2.21), eliminando in tal modo
il contributo delle forze di interfaccia; cio che si ottiene e la formulazione
primaria del problema di interfaccia:
SpUb = bp (2.22)
in cui Sp rappresenta il complemento primario globale di Schur della strut-
tura decomposta, avente espressione:
Sp =N∑
s=1
LsTSpsLs (2.23)
2.3 Metodi di decomposizione dei domini 19
con Ls le consuete matrici di connettivita.
Il sistema (2.22) puo essere risolto direttamente attraverso l’inversione
del complemento primario di Schur, le cui dimensioni sono pari al numero
totale di incognite nodali di interfaccia e che risulta essere in generale poco
sparso, essendo ciascun grado di liberta connesso a gradi di liberta apparte-
nenti agli stessi sottodomini. Per questo motivo Mandel propose di risolvere
quel sistema in modo iterativo, in modo tale da non dover calcolare l’inversa
diretta di Sp. In particolare, il risolutore utilizzato e il metodo del gradiente
coniugato precondizionato (si veda l’appendice ), che riduce la risoluzione
del sistema (2.22) ad una serie di prodotti matrice-vettore.
2.3.3 Il metodo FETI
Formulazione del metodo
Il Finite Element Tearing and Interconnecting method fu originariamente
proposto da Farhat e Roux in [1] per il problema elasto-statico, ma risulta
comunque applicabile a tutti i problemi governati da equazioni differenziali
alle derivate parziali, trattati mediante il metodo degli elementi finiti.
Come e noto, il problema elastico puo essere riformulato con riferimento alla
proprieta di stazionarieta del funzionale energia potenziale totale in corri-
spondenza della soluzione. La EPT per il generico solido elastico Ω soggetto
a forze F sul proprio volume e a trazioni f sul contorno non vincolato ΓF e
definita come segue ([2]):
Π(u) =1
2
∫
ΩεT d ε dV −
∫
ΩFT u dV −
∫
ΓF
fT u dΓF (2.24)
in cui il simbolo 2 indica il rispetto delle equazioni di congruenza.
Si immagini ora di suddividere il dominio Ω in due parti, ciascuna
delle quali puo essere considerata come indipendente dall’altra, mettendo
in evidenza le forze di interazione che esse si scambiano in corrispondenza
dell’interfaccia Γ1−2; tenendo conto della (2.24) e considerando il contribu-
to aggiuntivo delle forze di interazione, indicate con λ, l’energia potenziale
totale per i due sottodomini Ω1 e Ω2 risulta:
2.3 Metodi di decomposizione dei domini 20
Π(u1) =1
2
∫
Ω1
εT1 d1 ε1 dV −
∫
Ω1
FT1 u1 dV −
−∫
ΓF1
fT1 u1 dΓ−∫
Γ1−2
λT1 u1 dΓ (2.25)
Π(u2) =1
2
∫
Ω2
εT2 d2 ε2 dV −
∫
Ω2
FT2 u2 dV −
−∫
ΓF2
fT2 u2 dΓ−∫
Γ1−2
λT2 u2 dΓ (2.26)
Per ripristinare la continuita dell’intero dominio Ω e necessario imporre le
seguenti condizioni:
u1 = u2 su Γ1−2 (2.27)
λ1 + λ2 = 0 su Γ1−2 (2.28)
Le (2.27) e (2.28) rappresentano le condizioni di continuita del campo di
spostamento e l’equilibrio delle trazioni sull’interfaccia Γ1−2.
Il problema elastico associato al solido Ω e quindi ricondotto alla determina-
zione del punto di stazionarieta dei funzionali (2.25) e (2.26), tenendo conto
del vincolo costituito dalle (2.27) e (2.28). A tal fine si definisce un nuovo
funzionale lagrangiano nel quale compare anche la variabile vettoriale λ che
assume il ruolo di moltiplicatore di Lagrange:
L(u1, u2,λ) = Π(u1) + Π(u2) +
∫
Γ1−2
λT (u1 − u2) dΓ (2.29)
La soluzione e ottenuta cercando il punto di stazionarieta del funzionale Lal variare di u1, u2,λ. Si puo scrivere:
δL,δu1= δΠ(u1) +
∫
Γ1−2
λT δu1 dΓ = 0 ∀ δu1 (2.30)
δL,δu2= δΠ(u2)−
∫
Γ1−2
λT δu2 dΓ = 0 ∀ δu2 (2.31)
δL,δλ =
∫
Γ1−2
(u1 − u2)T δλ dΓ = 0 ∀ δλ (2.32)
2.3 Metodi di decomposizione dei domini 21
Figura 2.7: Definizione dei modelli di spostamento e delle forze di interfaccia.
Soluzione ad elementi finiti
Per ciascuno dei due sottodomini Ω1 e Ω2 si introduce una discretizzazione
spaziale definendo un modello per il campo di spostamento sul singolo ele-
mento finito e attraverso l’utilizzo delle funzioni di forma (figura 2.7):
ue1 = N1U
e1 ∀ e = 1, . . . , ne
1 (2.33)
ue2 = N2U
e2 ∀ e = 1, . . . , ne
2 (2.34)
avendo indicato con Ue1 e Ue
2 gli spostamenti nodali del generico elemento e
appartenente alla prima o alla seconda parte; ne1 e ne
2 rappresentano invece
il numero di elementi in cui si immaginano suddivisi i due sottodomini.
Accanto alle (2.33) e (2.34) si definisce anche un modello per il vettore dei
moltiplicatori di Lagrange λ su ciascun elemento in cui e suddivisa l’inter-
faccia Γ1−2 (si assume che le mesh siano compatibili):
λe = NΓΛ
e ∀ e = 1, . . . , neΓ (2.35)
avendo indicato con Λe le forze di interfaccia nodali del generico elemento e
con neΓ il numero di elementi in cui e suddivisa l’interfaccia stessa.
Introducendo i modelli (2.33), (2.34) e (2.35) nelle condizioni di staziona-
rieta (2.30), (2.31) e (2.32), e tenendo conto della definizione degli operatori
2.3 Metodi di decomposizione dei domini 22
booleani (2.17), si ottiene il seguente sistema:
K1U1 = P1 +BT1 Λ
K2U2 = P2 +BT2 Λ
B1U1 +B2U2 = 0
(2.36)
in cui Ks e Ps sono rispettivamente la matrice di rigidezza ed il vettore dei
carichi nodali equivalenti del sottodominio s-esimo; Λ rappresenta il vettore
delle forze nodali di interfaccia, di dimensione pari al numero di gradi di
liberta lagrangiani, cioe associati all’interfaccia duale. Le matrici di connet-
tivita booleane Bs consentono il passaggio dai gradi di liberta di interfaccia
a quelli del sottodominio s-esimo; per definizione esse sono dotate di segno
(sono matrici contenenti 0, 1,−1) che dipende dalla convenzione assunta. Si
osservi che, nel caso particolare di due sottodomini, il numero totale di gra-
di di liberta di interfaccia corrisponde a quello dei due sottodomini che vi
insistono, si ha cioe nΥ1,2 = nb1 = nb
2.
Se i sottodomini sono opportunamente vincolati, le corrispondenti ma-
trici di rigidezza sono non singolari; di conseguenza la soluzione del sistema
(2.36) puo essere ottenuta attraverso la loro diretta inversione: in parti-
colare, esprimendo U1 e U2 in funzione di Λ dalle prime due equazioni e
sostituendo nella terza, risulta:
U1 = K−11 (P1 +BT
1 Λ)
U2 = K−12 (P2 +BT
2 Λ)
(B1K−11 BT
1 +B2K−12 BT
2 )Λ = −(B1K−11 P1 +B2K
−12 P2)
(2.37)
Dalla terza equazione del sistema (2.37) e possibile ricavare direttamente i
moltiplicatori di Lagrange Λ e quindi, sostituendo questo vettore nelle prime
due, risalire ai campi di spostamento dei due sottodomini.
Estensione al caso di N sottodomini
Quanto ottenuto finora per la suddivisione del dominio Ω in due parti puo
essere facilmente generalizzato al caso di N sottodomini (per ipotesi non so-
vrapposti). Il sistema ottenuto a valle della discretizzazione spaziale risulta:
KsUs = Ps +BTs Λ s = 1, . . . , N
∑Ns=1BsUs = 0
(2.38)
2.3 Metodi di decomposizione dei domini 23
Figura 2.8: Esempio di partizione con sottodominio fluttuante.
Analogamente al caso di due sottodomini (sistema (2.37)), se le matrici Ks
sono non singolari, la soluzione puo essere ottenuta per inversione diretta
delle stesse, previa determinazione dei moltiplicatori di Lagrange. Qualora
le matrici presentino singolarita e necessario adottare la particolare strategia
computazionale esposta nel seguito.
Singolarita locali
Dalla suddivisione del dominio Ω di partenza possono ottenersi dei sottodo-
mini non sufficientemente vincolati o completamente non vincolati, indicati
in genere come sottodomini fluttuanti ; l’esempio tipico e quello di una menso-
la in cui i sottodomini sono ottenuti da una partizione verticale della stessa:
il dominio Ω2, pensato come a se stante, non e vincolato. Si faccia riferimen-
to per semplicita al caso prima citato della mensola suddivisa in due parti
(figura 2.8): il sistema risolvente e costituito dal sistema (2.36). L’inversione
nel sistema (2.36) della matrice di rigidezza del dominio fluttuante Ω2, sin-
golare per le labilita presenti, non e piu possibile direttamente. E necessario
ricorrere al concetto di matrice pseudo-inversa, definita come quella matrice
K+2 tale da soddisfare alle seguenti condizioni ([1]):
K2K+2 K2 = K2
K+2 K2K
+2 = K+
2
(K2K+2 )
T = K2K+2
(K+2 K2)
T = K+2 K2
(2.39)
La seconda delle equazioni del sistema (2.37) puo essere quindi sostituita
2.3 Metodi di decomposizione dei domini 24
dalla seguente:
U2 = K+2 (P2 +BT
2 Λ) +R2α (2.40)
dove R2 e una matrice di dimensioni (ni2+nb
2)×nr2 ed ha il significato fisico
di modi rigidi del dominio fluttuante Ω2; il vettore α di dimensione nr2 rap-
presenta invece una combinazione lineare dei precedenti. Ne segue che nr2
coincide con il numero di moti rigidi consentiti al sottodominio, al massimo
pari a 3 e 6 rispettivamente per problemi bidimensionali e tridimensionali.
Sostituendo quindi la (2.40) nel sistema (2.37) si ricava:
U1 = K−11 (P1 +BT
1 Λ)
U2 = K+2 (P2 +BT
2 Λ) +R2α
(B1K−11 BT
1 +B2K+2 B
T2 )Λ = −
(
B1K−11 P1 +B2(K
+2 P2 +R2α)
)
(2.41)
La scrittura del sistema (2.41) comporta l’introduzione di ulteriori incognite
contenute nel vettore α; le equazioni di (2.41) sono pertanto insufficienti per
la risoluzione del problema. Un’ulteriore condizione puo pero essere intro-
dotta considerando la seconda equazione delle (2.36):
K2U2 = P2 +BT2 Λ (2.42)
Essendo la matrice K2 simmetrica, l’equazione (2.42) ammette almeno una
soluzione se e solo se il suo secondo membro non ha componenti nello spazio
nullo di K2; esso deve cioe risultare ortogonale al nucleo della stessa matri-
ce.5 Quanto affermato si traduce nella seguente condizione (di ortogonalita):
RT2 (P2 +BT
2 Λ) = 0 (2.43)
Combinando tra di loro le equazioni (2.41) e (2.43), e queste con le prime
due delle (2.41), il sistema risolvente viene riscritto nel modo seguente:
5Si ricorda che lo spazio nullo, o nucleo, di una matrice A e definito come l’insieme di
quei vettori v tali che Av = 0.
2.3 Metodi di decomposizione dei domini 25
U1 = K−11 (P1 +BT
1 Λ)
U2 = K+2 (P2 +BT
2 Λ) +R2α
[
(B1K−11 BT
1 +B2K+2 B
T2 ) B2R2
BT2 R
T2 0
][
Λ
α
]
=
=
[
−(B1K−11 P1 +B2K
+2 P2)
−RT2 P2
]
(2.44)
In presenza di N sottodomini, di cui Nf fluttuanti, il sistema risolvente
(2.38) viene riformulato in modo piu generale per tener conto delle eventuali
singolarita; con riferimento a quanto ottenuto per il caso particolare di due
sottodomini, risulta:
Us = K+s (Ps +BT
s Λ) +Rsαs s = 1, . . . , Nf
Us = K−1s (Ps +BT
s Λ) s = 1, . . . , (N −Nf )
[
Sd −G
−GT 0
][
Λ
α3
]
=
[
d
−e3
](2.45)
dove
Sd =N∑
s=1
(BsK+s B
Ts ) (2.46)
G = [−B1R1 · · · −BNfRNf
] (2.47)
d =N∑
s=1
(−BsK+s Ps) (2.48)
e3 = [PT1 R1 · · · PT
NfRNf
]T (2.49)
α3 = [αT
1 · · · αTNf
]T (2.50)
2.3 Metodi di decomposizione dei domini 26
in cui la sottomatrice Sd, che prende il nome di complemento duale di Schur,
e simmetrica e definita positiva mentre i vettori Rs (con s = 1, . . . , Nf ) han-
no rango pari alla loro dimensione. Ne segue che il sottosistema di (2.45)
risulta simmetrico e non singolare e ammette un’unica soluzione [Λ,α3]T ;
questa, sostituita nelle prime di (2.45), consente di risolvere il problema. Si
osserva infine che, nel caso in cui non siano presenti domini fluttuanti, il
sistema (2.45) e equivalente al (2.38) poiche questo corrisponde al caso par-
ticolare di α3 = 0.
Risoluzione del problema di interfaccia
Il sistema (2.45) puo essere, di fatto, risolto direttamente, essendo il proble-
ma ben posto (numero di equazioni che uguaglia il numero delle incognite)
e date le caratteristiche del sistema di cui si e discusso in precedenza. I van-
taggi computazionali associati ai metodi di decomposizione emergono pero
in modo piu significativo associando ad essi dei risolutori di tipo iterativo;
in particolare, nel caso del FETI, si fa riferimento al metodo del gradiente
coniugato precondizionato (PCG, [10]) applicato al problema di interfac-
cia costituito dal sottosistema di (2.45). L’utilizzo di tale metodo iterativo
consente di non calcolare l’inversa della sottomatrice Sd.
Il PCG consiste in un algoritmo per la risoluzione di sistemi lineari
del tipo Ax = b sotto l’ipotesi che la matrice A risulti simmetrica e definita
positiva (ipotesi soddisfatta dal problema di interfaccia). La soluzione del
sistema puo essere determinata attraverso la minimizzazione di una funzione:
f(x) =1
2xTAx− xTb+ c
Per trovare il minimo si procede in modo iterativo partendo da un punto xi
e trovando il punto successivo attraverso la minimizzazione della funzione f
lungo una direzione scelta di uscente dallo stesso punto xi. La differenza del
PCG dal metodo del gradiente consiste proprio nella direzione di che viene
scelta A-ortogonale alle superfici di livello (cio costituisce di conseguenza un
vincolo). Sulla base di queste considerazioni, il problema di interfaccia e
equivalente al seguente problema di minimizzazione vincolata:
2.4 L’algoritmo di Gravouil e Combescure 27
min[
Φ(Λ) = 12Λ
TSdΛ− dTΛ]
GTΛ = e3
(2.51)
Le due equazioni di (2.51) costituiscono rispettivamente la funzione da mini-
mizzare ed il vincolo; quest’ultimo prende il nome di condizione di ammissi-
bilita. La variabile Λ (vettoriale in questo caso) viene espressa come somma
di un valore di inizializzazione e di un contributo che viene aggiornato ad
ogni iterazione:
Λ = Λ0 +PΛ∗ (2.52)
P e l’operatore di proiezione che garantisce il soddisfacimento della condizio-
ne di ammissibilita e che la ricerca di Λ∗ avvenga in un sottospazio prefissato
(corrispondente alla direzione di nell’esempio di partenza) ed e tale per cui:
GTP = 0 (2.53)
Si rimanda comunque all’appendice A per un maggiore approfondimento.
2.4 L’algoritmo di Gravouil e Combescure
Nel 2003 Gravouil e Combescure ([4]) formularono un nuovo algoritmo per
la risoluzione di problemi di dinamica strutturale; tale algoritmo e stato
recentemente riproposto in un’altra forma ([3]), senza pero cambiarne le
caratteristiche fondamentali.
Queste ultime possono essere riassunte nei seguenti punti:
- e ottenuto a partire dal metodo FETI e come tale appartiene alla
categoria dei metodi duali. In particolar modo, le incognite adottate
nel problema di interfaccia sono trazioni, che assumono allo stesso
tempo il ruolo di moltiplicatori di Lagrange;
- e di tipo multi-time-step, cioe consente di associare a ciascuno dei sot-
todomini in cui si immagina suddivisa la struttura un diverso schema di
2.4 L’algoritmo di Gravouil e Combescure 28
integrazione, nonche un diverso passo temporale. Questo si traduce nel-
la possibilita di infittire la discretizzazione temporale dove necessario
e di adottare passi temporali piu grandi in altre zone della struttura;
- essendo stato ricavato direttamente dal metodo FETI, l’algoritmo GC
ne eredita tutti quegli aspetti positivi derivanti dalla decomposizione
dei domini, legati per lo piu all’abbattimento dei tempi di analisi e
quindi ad una riduzione dell’onere computazionale. Quanto affermato
e sicuramente valido per problemi meccanici; cio che ci si propone e
di dimostrare i vantaggi del metodo anche nell’ambito dei problemi
accoppiati, quale puo essere quello elettro-meccanico.
- un’ipotesi alla base dell’algoritmo originario e quella di interfaccia
perfetta.
Di seguito si riporta, a titolo di esempio, il caso particolare di suddi-
visione della struttura in due parti con diversi passi temporali, applicando
l’algoritmo al generico problema meccanico (che rappresenta il tipo di pro-
blema per il quale l’algoritmo e stato originariamente proposto). Il caso
generale di N sottodomini potra essere dedotto successivamente.
2.4.1 L’algoritmo GC applicato a due sottodomini
Si consideri il sistema di equazioni di equilibrio dinamico per un sistema a
k gradi di liberta scritto nell’istante tn+1:
Mun+1 +Kun+1 = f extn+1 (2.54)
dove M, K e f extn+1 rappresentano rispettivamente la matrice delle masse, la
matrice di rigidezza (entrambe simmetriche e definite positive) ed il vettore
dei carichi esterni all’istante tn+1. Tale sistema e ottenuto a valle della di-
scretizzazione spaziale del dominio di riferimento ed e costituito da equazioni
differenziali ordinarie nella variabile tempo: si tratta quindi di un sistema
semi-discretizzato.
Si suddivide l’intervallo di tempo in cui si vuole effettuare l’analisi in sot-
tointervalli ∆t; adottando lo schema di integrazione temporale di Newmark
(appendice B) e possibile esprimere i vettori accelerazione e spostamento
che compaiono nella (2.54) in funzione della velocita, secondo la formulazio-
ne proposta in [2] (si veda anche l’appendice B):
2.4 L’algoritmo di Gravouil e Combescure 29
un+1 =pun +
β
γ∆tun+1 (2.55)
un+1 =pun +
1
γ∆tun+1 (2.56)
dove i predictor pun e pun sono definiti nel modo seguente:
pun = un +∆t(γ − β
γ
)
un +(γ − 2β
2γ
)
∆t2un (2.57)
pun =(γ − 1
γ
)
un − 1
γ∆tun (2.58)
Sostituendo le (2.55) e (2.56) nella (2.54) si ottiene il sistema algebrico in
cui l’unico vettore incognito e quello delle velocita:
Mun+1 = Fn+1 (2.59)
dove
M =1
γ∆tM+
β∆t
γK (2.60)
Fn+1 = f extn+1 −Mpun −Kpun (2.61)
Stesso passo temporale: ∆t1 = ∆t2
Suddividendo il dominio Ω in due sottodomini A e B non sovrapposti ai quali
e associato, in una prima trattazione, uno stesso passo temporale, il sistema
(2.59) puo essere scritto per ciascuno di essi mettendo contemporaneamente
in evidenza le forze di interfaccia, rappresentate dal vettore dei moltiplicatori
di Lagrange:
MAuAn+1 = FA
n+1 + LTAλn+1 (2.62)
MBuBn+1 = FB
n+1 + LTBλn+1 (2.63)
dove L rappresenta l’operatore di interfaccia che consente il passaggio dai
gradi di liberta del singolo sottodominio a quelli di interfaccia e viceversa.
2.4 L’algoritmo di Gravouil e Combescure 30
Accanto ai precedenti sistemi e necessario considerare la condizione di con-
tinuita delle velocita all’interfaccia fra i due sottodomini:
LAuAn+1 + LBu
Bn+1 = 0 (2.64)
La strategia proposta in [2] per risolvere il sistema costituito dalle (2.62),
(2.63), (2.64) consiste nel decomporre la soluzione in una parte free (otte-
nuta risolvendo un problema non vincolato in cui intervengono i soli carichi
esterni) e in una parte link (soluzione di un problema vincolato in cui sono
applicate le forze di interfaccia):
uin+1 = ui
n+1/free + uin+1/link ∀i ∈ A,B (2.65)
In termini matriciali, il problema non vincolato puo essere espresso nel
seguente modo:
MA 0 0
0 MB 0
0 0 0
uAn+1/free
uBn+1/free
λn+1
=
FAn+1
FBn+1
0
(2.66)
Dalla struttura del sistema precedente si osserva come sia possibile risolvere
il problema non vincolato separatamente per ciascun sottodominio, poiche i
sottosistemi che compaiono non risultano accoppiati fra loro. Note le velocita
free e possibile risalire alle corrispondenti quantita cinematiche (spostamenti
e accelerazioni) attraverso le relazioni (2.55) e (2.56). D’altra parte il pro-
blema vincolato puo essere scritto come segue:
MA 0 −LTA
0 MB −LTB
−LA −LB 0
uAn+1/link
uBn+1/link
λn+1
=
0
0∑
i Liuin+1/free
(2.67)
in cui la terza del sistema (2.67) corrisponde alla (2.64), avendo suddiviso
fra contributo free e link.
Il sistema (2.67) consente, una volta nota la soluzione del problema non vin-
colato, di determinare i termini correttivi da aggiungere alle quantita free
ottenute dal sistema (2.66). E pero necessario determinare in via preliminare
le forze di interfaccia risolvendo il cosiddetto problema condensato, che
2.4 L’algoritmo di Gravouil e Combescure 31
puo essere espresso nel modo seguente:
Hλn+1 = bn+1 (2.68)
dove H e bn+1 rappresentano rispettivamente l’operatore di condensazione
ed il termine noto non nullo nel sistema (2.67):
H =∑
i
Li(aiMi + biKi)−1LT
i (2.69)
bn+1 = −∑
i
Liuin+1/free (2.70)
dove ai e bi sono due coefficienti dipendenti dallo schema di integrazione
adottato. Si osserva che l’operatore di condensazione H e ottenuto dai con-
tributi forniti da ciascuno dei sottodomini che concorrono all’interfaccia;
l’aspetto forse piu interessante e pero il fatto che il calcolo dell’operatore
puo essere effettuato una sola volta all’interno di un codice di calcolo, non
essendo esso dipendente dall’istante temporale considerato.6
Diverso passo temporale: ∆t1 6= ∆t2
L’algoritmo GC ha fra i suoi punti di forza la possibilita di associare un
diverso passo temporale a ciascun sottodominio, sotto l’ipotesi che il passo
temporale maggiore sia proporzionale a quello minore attraverso un intero
m > 1:
∆T = m∆t
Inevitabilmente l’attribuzione di diversi passi temporali ai due sottodomini
comporta un’incompatibilita fra gli istanti temporali individuati dalle due
diverse discretizzazioni; e quindi necessario definire un opportuno operatore
di interpolazione che consenta di passare dalla macroscala alla microscala.
Le equazioni di equilibrio dei due sottosistemi A e B scritte rispettivamente
negli istanti tm (della macroscala) e tj (della microscala) sono espresse come:
6Quanto affermato vale nel caso di comportamento elastico dei sottodomini o, nel caso
in cui essi siano non-lineari, assumendo uno schema di integrazione di tipo esplicito.
2.4 L’algoritmo di Gravouil e Combescure 32
Figura 2.9: Esempio di diverse discretizzazioni temporali ([2]).
MAuAm = FA
m + LTAλm
MBuBj = FB
j + LTBλj ∀j ∈ 1 . . .m
(2.71)
L’operatore di interpolazione e definito nel modo seguente:
uj =
(
1− j
m
)
u0 +j
mum (2.72)
Le operazioni che devono essere eseguite possono essere schematizzate nel
modo seguente:
a. Risoluzione del problema non vincolato sul sottodominio a cui e asso-
ciata la macroscala, cioe A:
MAuAm/free = FA
m (2.73)
Le altre quantita cinematiche free sono ricavate attraverso le relazioni
(2.55) e (2.56).
b. Ciclo j = 1 . . .m.
– Risoluzione del problema non vincolato sul sottodominio B (scala
piu fitta) all’istante tj :
MBuBj/free = FB
j (2.74)
– Interpolazione delle velocita free di A all’istante tj (passaggio
dalla macroscala alla microscala temporale):
uAj/free =
(
1− j
m
)
uA0/free +
j
muAm/free (2.75)
2.4 L’algoritmo di Gravouil e Combescure 33
– Risoluzione del problema condensato all’interfaccia per la deter-
minazione dei moltiplicatori di Lagrange:
Hλj = −∑
i∈A,B
Liuij/free (2.76)
– Risoluzione del problema vincolato sul sottodominio B all’istante
tj :
MBuBj/link = LT
Bλj (2.77)
Si ricavano anche le altre quantita cinematiche link di B all’istante
tj con le consuete relazioni (2.55) e (2.56).
– Deduzione della soluzione totale di B all’istante tj :
uBj = uB
j/free + uBj/link
uBj = uB
j/free + uBj/link
uBj = uB
j/free + uBj/link
(2.78)
– Fine del ciclo quando j = m.
c. Risoluzione del problema vincolato per il sottodominio a all’istante tm:
MAuAm/link = LT
Aλm (2.79)
E ora possibile calcolare anche le altre quantita cinematiche link di A
all’istante tm con le (2.55) e (2.56).
d. Calcolo della soluzione totale di A all’istante tm:
uAm = uA
m/free + uAm/link
uAm = uA
m/free + uAm/link
uAm = uA
m/free + uAm/link
(2.80)
2.4.2 L’algoritmo GC applicato a s sottodomini con diversi
passi temporali
La sequenza di operazioni per il caso di due sottodomini puo essere estesa
anche al caso in cui gli stessi sottodomini siano in numero pari a s, mante-
nendo l’ipotesi di passi temporali multipli di quello della scala piu fitta. Si
riporta di seguito l’algoritmo cosı come proposto in [3]:
2.4 L’algoritmo di Gravouil e Combescure 34
1. Inizializzazione dei tempi per ciascun sottodominio: tk = 0, k = 1, . . . , s, t =
0.
2. Ciclo sui passi temporali della scala piu fitta ∆t : t = t+∆t.
• Ciclo sugli s sottodomini.
- if tk < t ⇒ tk = tk +∆tk; risoluzione del problema free.
- if tk 6= t ⇒ interpolazione delle velocita free.
• Fine ciclo sui sottodomini.
• Risoluzione del problema condensato all’interfaccia.
• Ciclo sugli s sottodomini.
- if tk = t ⇒ risoluzione del problema link.
• Fine ciclo sui sottodomini.
3. Fine ciclo sui passi temporali della scala piu fitta.
Capitolo 3
Problema elettro-meccanico
accoppiato
3.1 Introduzione
Le moderne e complesse applicazioni scientifiche possono comportare l’inte-
razione fra diversi rami della fisica; si parla in questo caso di problemi a piu
campi o semplicemente multifisici. Un tipico esempio riguarda i cosiddetti
Micro-Sistemi Elettro-Meccanici (MEMS): si tratta di piccoli dispositivi per
i quali le forze gravitazionali risultano trascurabili nei confronti di quelle
elastiche, adesive e soprattutto elettrostatiche. A queste piccole scale, di
conseguenza, si presenta inevitabilmente un forte accoppiamento fra diversi
fenomeni fisici, in particolar modo fra gli spostamenti meccanici subiti dal
dispositivo e le forze elettrostatiche agenti sullo stesso: si tratta del cosid-
detto accoppiamento elettro-meccanico. Per comprendere le caratteristiche
fondamentali di questo tipo di problema si consideri il dispositivo di figura
3.1. Il sistema e costituito da un elettrodo deformabile di tipo mensola al
quale viene applicata una differenza di potenziale rispetto ad un secondo
elettrodo fisso. Tale attuazione provoca un immediato accumulo di carica
di segno opposto rispettivamente sulla superficie sottostante della mensola,
considerata come conduttore, e sull’altro elettrodo; le forze di Coulomb che
nascono per l’attrazione tra le cariche determinano la deformazione del di-
spositivo.
L’accoppiamento elettro-meccanico e caratterizzato da non-linearita: le ca-
riche elettriche si concentrano nelle zone del contorno dove la distanza tra
gli elettrodi e minore; di conseguenza in questi punti l’intensita delle forze e
35
3.2 Problema elettrostatico 36
Figura 3.1: Modello di accoppiamento elettro-meccanico ([22]).
maggiore e si genera una deformazione aggiuntiva dell’elettrodo. Il processo
deformativo termina al raggiungimento della situazione di equilibrio, quando
le forze elettrostatiche sono bilanciate dalle forze di richiamo elastico della
struttura.
Nei paragrafi che seguono verranno dedotte le equazioni che governano
i due problemi elettrico e meccanico, procedendo poi ad una loro integrazione
per ottenere le equazioni del problema elettro-meccanico accoppiato.
3.2 Problema elettrostatico
3.2.1 Equazioni di Maxwell ed equazione elettrostatica
Le relazioni fondamentali che governano il problema elettro-magnetico sono
costituite dalle leggi di Maxwell ; si tratta di equazioni differenziali alle deri-
vate parziali che descrivono i campi elettrico e magnetico e la loro interazione
([31]):
∇ ·D = ρ
∇ ·B = 0
∇×E = −∂B∂t
∇×H = i+ J+ ∂D∂t
(3.1)
dove E rappresenta il campo elettrico, B l’induzione magnetica, H il campo
magnetico, D il campo di spostamenti elettrici, ρ la densita di carica vo-
lumetrica, J la densita di carica superficiale dovuta alle cariche elettriche
libere, i e la densita di corrente imposta, ∇× e l’operatore rotore e ∇· l’o-peratore divergenza. Le precedenti si immaginano riferite ad un generico
dominio elettrico Ω. Per un materiale lineare, omogeneo e isotropo, le leggi
costitutive sono date dalle seguenti:
3.2 Problema elettrostatico 37
J = σE
B = µH
D = εE
(3.2)
dove la conduttivita σ, la permittivita ε e la permeabilita magnetica µ sono
parametri del materiale.
Se le variazioni che le quantita che compaiono nelle (3.1) subiscono
nel tempo sono trascurabili, il problema elettro-magnetico puo considerarsi
statico. Aggiungendo l’ipotesi di stazionarieta, le equazioni di Maxwell ri-
sultano disaccoppiate; in particolare la prima e la terza delle (3.1) governano
il problema elettrostatico:
∇ ·D = ρ
∇×E = 0(3.3)
La seconda delle (3.3) esprime la natura irrotazionale del campo elettrico; E
e conservativo e quindi puo essere espresso come gradiente di un potenziale
scalare φ:
E = −∇φ (3.4)
Tenendo conto invece della prima delle equazioni (3.3) e della (3.4), nonche
del legame costitutivo (3.2), si ottiene la seguente equazione differenziale nel
potenziale φ, altresı nota come equazione elettrostatica:1
∇2φ = −ρ
εin Ω (3.5)
dove ∇2(2) indica l’operatore di Laplace. Se non sono presenti cariche con-
centrate nel dominio elettrico, come nel caso in cui si tratti di vuoto o aria,
la densita di carica ρ e nulla per cui la (3.5) si riduce ad un’equazione di
Laplace:
∇2φ = 0 in Ω (3.6)
1La divergenza di un gradiente corrisponde al laplaciano.
3.2 Problema elettrostatico 38
Occorre osservare che le equazioni (3.1)-(3.6) sono valide quando Ω e compo-
sto da materiale dielettrico, caratterizzato da un valore finito di permittivita;
alle cariche e quindi impedito il movimento all’interno del dominio elettrico
e di conseguenza si accumulano sul suo bordo.
L’equazione differenziale (3.5) (o analogamente la (3.6)) deve essere corre-
data da condizioni al contorno. Esse sono essenzialmente di due tipi:
- potenziale imposto sulla porzione di contorno ΓV (Dirichlet):
φ = V su ΓV (3.7)
- densita superficiale di carica imposta sulla porzione di contorno ΓE
(Neumann):2
−ε∇φ · n = ρ su ΓE (3.8)
Come gia emerso nell’esempio di introduzione, nell’ambito dei MEMS
si ha a che fare con due tipi di materiali che differiscono per la mobilita delle
loro cariche elettriche: conduttori e isolanti (o dielettrici ideali). La mensola
di figura (3.1) si configura come conduttore: l’applicazione del potenziale tra
i due elettrodi di fatto carica la mensola ma le cariche non rimangono loca-
lizzate in una particolare regione della struttura; esse infatti sono libere di
muoversi da una parte all’altra del corpo, tanto che questo tipo di materiali
possono a tutti gli effetti essere caratterizzati da permittivita infinita. Il
movimento delle cariche avviene a velocita pressoche infinita, tale da annul-
lare una qualsiasi differenza di potenziale che si puo creare tra zone diverse
della mensola: ne segue quindi che al conduttore e associato un potenziale
costante. Il campo elettrico al suo interno e quindi nullo cosı come la sua
componente tangenziale sul contorno: le cariche infatti, potendo muover-
si liberamente, annullerebbero una qualsiasi differenza di potenziale anche
in direzione tangenziale. L’unica componente non nulla del campo elettri-
co e quindi quella perpendicolare allo stesso contorno. Dalle considerazioni
precedenti si deduce che il contorno rivolto verso la parte interna gap e da
considerarsi equipotenziale (condizione di tipo Dirichlet).
Si immagini poi che lo spazio compreso fra i due elettrodi di figura
(3.1) sia riempito con dell’aria, che rappresenta il tipico esempio di mate-
riale dielettrico. Questo tipo di materiali e caratterizzato da permittivita
2La condizione di Neumann corrisponde di fatto al teorema di Coulomb.
3.2 Problema elettrostatico 39
elettrica estremamente bassa se non addirittura nulla, e quindi da assenza
di cariche al loro interno. Sulla superficie del materiale isolante, dove non
sono presenti concentrazioni di carica, si impone, in accordo con la legge di
Gauss, che il campo elettrico in direzione normale sia nullo (condizione di
tipo Neumann).
Nel caso particolare in cui ci sia una porzione di frontiera che divide mate-
riali differenti, le due tipologie di condizioni al contorno vanno intese come
imposizione della continuita del potenziale elettrico e dell’uguaglianza della
densita superficiale di carica.
3.2.2 Formulazione ad elementi finiti del problema elettro-
statico
Definizione del modello per il potenziale
L’equazione (3.5) puo essere risolta in forma chiusa solo in alcuni semplici
casi; per tutti gli altri e necessario adottare un metodo approssimato quale
puo essere quello degli elementi finiti. Si introduca quindi una discretiz-
zazione spaziale del generico dominio elettrico Ω (figura 3.2) e si definisca
contemporaneamente sul singolo elemento finito un modello per il potenzia-
le, espresso in funzione dei potenziali nodali attraverso le funzioni di forma
Nφ:
φe =
nen∑
j=1
Nφjφej = NφΦ
e e = 1, . . . , nel (3.9)
con nel numero degli elementi della discretizzazione e nen numero dei nodi
dell’elemento e. In particolare si osserva che il potenziale φe sul singolo
elemento e una funzione scalare della posizione ed e espresso come prodot-
to fra i due vettori Nφ delle funzioni di forma e Φe dei potenziali nodali
dell’elemento. Si osserva che, contrariamente al caso meccanico in cui, a di-
scretizzazione introdotta, a ciascun nodo corrisponde un numero di incognite
(spostamenti nodali) pari alla dimensione del problema, nel caso elettrico ad
ogni nodo e associata un’unica incognita potenziale.
Analogamente al problema elasto-meccanico, si definisce il vettore glo-
bale delle incognite nodali Φ tale che:
3.2 Problema elettrostatico 40
Figura 3.2: Discretizzazione del dominio elettrico.
Φe = LeφΦ (3.10)
in cui le consuete matrici di connettivita Leφ consentono il passaggio dalla
numerazione locale a quella globale dei gradi di liberta e viceversa.
Si consideri ora il legame fra potenziale e campo elettrostatico espres-
so dalla (3.4). La componente i-esima del vettore E puo essere espressa nel
modo seguente:
Eei = − ∂φ
∂xi= −
nen∑
j=1
∂Nφj
∂xiφej (3.11)
In forma compatta:
Ee = −BφΦe (3.12)
in cui nella matrice Bφ sono contenute le derivate delle funzioni di forma.
Formulazione debole del problema elettrostatico
Si consideri l’equazione elettrostatica (3.5). Si moltiplichino entrambi i mem-
bri per una funzione test δφ che soddisfi alle condizioni al contorno essenziali:
in particolare tale funzione deve essere nulla in corrispondenza della porzio-
ne di contorno ΓV su cui e imposto il potenziale. Si integrino entrambi i
membri dell’equazione ottenuta sul dominio elettrico Ω:
∫
Ωε∇2φ · δφ dΩ = −
∫
Ωρ · δφ dΩ ∀ δφ = 0 su ΓV (3.13)
3.2 Problema elettrostatico 41
Applicando il teorema di Gauss (della divergenza) all’integrale del primo
membro, dopo alcuni passaggi algebrici, l’equazione diventa:
−∫
Ω(∇φ)T ε∇(δφ) dΩ = −
∫
Ωρ δφ dΩ+
∫
Γ(−ε∇φ · n) · δφ dΓ (3.14)
∀ δφ = 0 su ΓV
dove n e la normale alla frontiera di Ω, indicata con la lettera Γ. Introdu-
cendo le condizioni al contorno non omogenee (3.7) e (3.8) ed eliminando gli
integrali nulli sulla frontiera Γ, si ottiene la formulazione debole del proble-
ma:
∫
Ω(∇φ)T ε∇(δφ) dΩ =
∫
Ωρ δφ dΩ−
∫
ΓE
ρ δφ dΓ (3.15)
∀ δφ = 0 su ΓV
Sostituendo il modello per il potenziale (3.9) e per il campo elettrico (3.12)
nella (3.15) e considerando il contributo di tutti gli elementi della discretizza-
zione, si ottiene un sistema di equazioni algebriche che esprimono l’equilibrio
elettrico. In forma matriciale risulta:
KφΦ = Q (3.16)
dove:
- Kφ e la matrice di rigidezza elettrica associata al dominio Ω, simme-
trica e definita positiva:
Kφ =nel∑
e=1
LeT
φ
(∫
Ωe
BTφ εBφ dΩ
)
Leφ (3.17)
- Q e un vettore dipendente dalla densita di carica nel volume e sulla
superficie libera:
Q =nel∑
e=1
LeT
φ
(∫
Ωe
ρNT dΩ−∫
ΓEe
ρNT dΓ
)
(3.18)
3.2 Problema elettrostatico 42
in cui Ωe e ΓEe rappresentano rispettivamente il dominio e la porzione
di contorno ΓEe associati al singolo elemento finito e.
Risolto il sistema (3.16) e quindi possibile risalire al campo elettrico
con la seguente:
Ee = −Bφ LeφΦ (3.19)
Nel caso in cui il dominio elettrico sia costituito da vuoto o aria, non sono
presenti cariche concentrate al suo interno e le condizioni al contorno pos-
sono essere essenzialmente di due tipi: carica nulla o potenziale assegnato.
Analogamente al problema meccanico in cui si rende necessaria una distin-
zione fra gradi di liberta liberi e vincolati, si procede con una partizione del
vettore delle incognite Φ che distingue i nodi a voltaggio libero e a voltaggio
imposto. La partizione riguarda anche le altre quantita che compaiono nel
sistema risolvente (3.16); in particolare si indicano con Φ i gradi di liberta
liberi e con Φ quelli vincolati. La partizione consente di riscrivere il sistema
nel modo seguente:
[
Kφφ Kφφ
Kφφ Kφφ
][
Φ
Φ
]
=
[
0
q
]
(3.20)
Il sottovettore q, associato ai nodi con potenziale imposto, corrisponde alla
carica presente sulla superficie in comune col conduttore; quelle cariche sono
del tutto analoghe alle reazioni vincolari del problema meccanico. E questo
il caso di quella parte di contorno della mensola dell’esempio introduttivo
a contatto con l’aria (e rivolta all’elettrodo fisso), sulla quale e imposto il
potenziale V . Per calcolare i valori nodali di potenziale Φ, e sufficiente espli-
citare la prima riga del sistema matriciale (3.20), dalla quale si ricavano i
potenziali nei nodi liberi:
KφφΦ = −KφφΦ (3.21)
Sostituendo quindi i valori trovati nel secondo blocco di equazioni del sistema
(3.20) si ottengono i valori delle cariche-reazioni q:
q = KφφΦ+KφφΦ (3.22)
3.2 Problema elettrostatico 43
3.2.3 Esempio: problema elettrico 1D
In questo paragrafo viene presentato un modello schematizzato monodimen-
sionale, formato da due piastre parallele, alle quali viene applicata una dif-
ferenza di potenziale V (figura 3.3). Il gap tra le due piastre e riempito da
aria per cui il problema elettrostatico e governato dall’equazione di Laplace
(3.6), che nel caso monodimensionale assume la forma:
ε∂2φ
∂ξ2= 0 (3.23)
dove φ e il potenziale elettrico, ξ la coordinata spaziale e ε la permitti-
vita elettrica. Il dominio nel quale l’equazione (3.23) deve essere risolta e
ξ = [0, x] mentre le condizioni al contorno sono le seguenti:
φ = V per ξ = x
φ = 0 per ξ = 0(3.24)
La soluzione del problema puo essere ottenuta per integrazione diretta della
(3.23); ricavando i valori delle costanti di integrazione attraverso le (3.24),
si ricava:
φ =V
xξ (3.25)
L’espressione del campo elettrico risulta:
E = −∂φ
∂ξ= −V
x(3.26)
Infine le forze elettrostatiche, distribuite uniformemente sui piatti ed in di-
rezione perpendicolare rispetto alla superficie del conduttore, sono calcolate
come segue ([31]):
Fes =1
2εE2 =
1
2εV 2
x2(3.27)
3.2 Problema elettrostatico 44
Figura 3.3: Condensatore 1D con armature piane parallele ([22]).
3.2.4 Le forze elettrostatiche
Le forze elettrostatiche rivestono un ruolo fondamentale nell’analisi dei mi-
crosistemi proprio per le dimensioni che li caratterizzano; ne segue quindi
l’esigenza di una loro corretta valutazione. Sono essenzialmente due gli ap-
procci seguiti per il calcolo delle forze elettrostatiche: il metodo energetico e
il calcolo tramite il tensore degli sforzi di Maxwell.
Approccio energetico
Un primo modo per calcolare le forze elettrostatiche fa riferimento all’energia
elettrica totale del sistema (questo e costituito da un generico dominio elet-
trico Ω):
We =1
2
∫
Ωε∇φ∇φ dV (3.28)
Per valutare le forze elettrostatiche si utilizza il principio di conservazione
dell’energia: si scrive il lavoro virtuale compiuto dal sistema in seguito ad
una variazione δu del campo di spostamenti della struttura sul quale le forze
agiscono:
δL = fe · δu =∂We
∂uδu (3.29)
L’equazione (3.29) mette in evidenza come la forza fe sia legata alla variazio-
ne di energia elettrica dovuta ad un cambiamento virtuale di configurazione
(Ω ⇒ Ω′
). Dalla (3.29) si ricava quindi:
3.2 Problema elettrostatico 45
fe =∂We
∂u(3.30)
Di fatto il metodo piu immediato per il calcolo delle forze elettrostatiche e
il seguente.
Tensore degli sforzi di Maxwell
Un modo alternativo per determinare le forze elettrostatiche comporta il
calcolo del tensore degli sforzi di Maxwell e ne calcola il flusso rispetto alla
superficie considerata. Quel tensore e definito a partire dalla forza di Loren-
tz; essa, nel caso piu generale di problema elettro-magnetico, per una carica
(puntiforme) che si muove con velocita v, e data dalla seguente: 3
F = q(E+ v ×H) (3.31)
che nel caso di una distribuzione di carica nota ρ, puo essere scritta come
integrale di una forza per l’unita di volume:
F =
∫
f dV (3.32)
Alla base di questo approccio vi e l’idea di esprimere la forza f tramite le
derivate di un tensore, in modo tale che, conoscendo questo tensore sulla
superficie che racchiude un certo volume, sia possibile calcolare le forze che
agiscono sul volume stesso attraverso il teorema della divergenza o di Gauss.
In particolare se valesse la seguente:
fα = divTα =∑
β
∂
∂xβTαβ (3.33)
si avrebbe:
Fα =
∫
Vfα dV =
∫
VdivTα dV =
∫
Γ(V )Tα dΓ =
∫
Γ(V )
∑
β
Tαβ dΓβ (3.34)
dove Γ(V ) e la superficie che racchiude il volume V in cui il tensore Tαβ e
3Si suppone che la carica di prova q non alteri in modo apprezzabile i campi elettrico
E e magnetico H.
3.2 Problema elettrostatico 46
noto. Si osservi che Tαβ e rappresentato da una matrice 3 × 3 simmetrica
(caso tridimensionale, piu generale) ed e indicato come tensore degli sforzi.
Nel caso di dominio elettrico immerso nel vuoto, la forza di Lorentz
agente sulle cariche e dovuta solamente al campo elettrostatico:
Fα =
∫
Vfα dV =
∫
VρEα dV = ε
∫
V(∇ ·E)Eα dV (3.35)
Nell’ultimo passaggio della (3.35) si e utilizzata la prima delle leggi di Max-
well (3.3). Dalla (3.35) si ricava:
fα = ε(∇ ·E)Eα
che puo essere rimaneggiata per ottenere il tensore T; infatti, sfruttando le
proprieta delle derivate di un prodotto di funzioni, si ottiene:
fα = εEα(∇ ·E) = εEα∂
∂xβEβ = ε
[∂
∂xβ(EαEβ)− Eβ
∂
∂xβEα
]
(3.36)
Un ulteriore passo avanti nell’equazione (3.36) puo essere compiuto se si con-
sidera la relazione seguente:
∂Eα
∂xβ=
∂Eβ
∂xα(3.37)
La (3.37), che risulta un’identita se α = β, e valida anche nel caso generale
di α 6= β, come conseguenza delle proprieta irrotazionali del campo elettro-
statico (3.3).
Il secondo termine tra parentesi della (3.36) viene quindi modificato e con
esso l’intera equazione:
fα = ε
[∂
∂xβ(EαEβ)− Eβ
∂
∂xβEβ
]
=
=∂
∂xβε
[
EαEβ − 1
2δαβ|E| · |E|
]
=∂
∂xβTαβ (3.38)
Si giunge cosı alla definizione del tensore degli sforzi nel caso tridimensionale:
3.3 Problema elettro-meccanico 47
T = ε
E2x − 1
2 |E|2 ExEy ExEz
EyEx E2y − 1
2 |E|2 EyEz
EzEx EzEy E2z − 1
2 |E|2
(3.39)
dove Ei = − ∂φ∂xi
e il campo elettrico in direzione xi. Analogamente allo sfor-
zo meccanico, la forza elettrostatica nel dominio Ω e esprimibile come ∇·T;
quindi la forza esercitata da Ω sui domini circostanti e:
fe = −∫
Ω∇ ·T dV (3.40)
L’integrale (3.40) risulta comunque scomodo per la determinazione delle for-
ze elettrostatiche in quanto comporta il calcolo delle derivate spaziali seconde
del potenziale elettrico φ. Per superare tale difficolta, come accennato all’i-
nizio del paragrafo, viene utilizzato il teorema di Gauss, in modo da ricavare
le forze elettriche come integrale sul contorno Γ.
fe = −∫
Ω∇ ·T dV =
∫
ΓT · n dS (3.41)
dove n e la normale interna al bordo del dominio elettrico Ω e allo stesso
tempo normale esterna per i domini adiacenti.
Infatti, con riferimento all’esempio di inizio capitolo, sul contorno della
mensola il potenziale assume valore costante e l’unica componente del campo
elettrico diversa da zero e quella perpendicolare al bordo stesso; l’equazione
(3.41) si riduce alla scrittura seguente:
fe =1
2
∫
Γε |∇φ|2 n dS =
1
2
∫
Γε |E|2 n dS (3.42)
3.3 Problema elettro-meccanico
3.3.1 Considerazioni iniziali
Nel paragrafo precedente sono state dedotte le equazioni che governano il
problema elettrico. Si e anche mostrato che il dominio Ω in cui quel problema
viene risolto e costituito in genere da materiale dielettrico, caratterizzato
3.3 Problema elettro-meccanico 48
dall’assenza di cariche interne, e puo confinare con dei conduttori, nei quali
il potenziale risulta costante. Per questo motivo, come gia messo in evidenza,
su quella parte di contorno del dominio elettrico in comune con il conduttore
viene assegnata una condizione di tipo Dirichlet (potenziale imposto).
Il principio che sta alla base dell’accoppiamento elettro-meccanico e
gia stato esposto nell’esempio di introduzione al capitolo: una differenza
di potenziale imposta dall’esterno provoca un accumulo di carica di segno
opposto sui bordi dei due elettrodi e inevitabilmente nascono delle forze
attrattive che agiscono su di essi; deformandosi gli elettrodi provocano un
cambiamento nella configurazione del dominio elettrico (costituito dal gap
compreso fra di essi) e quindi nella distribuzione di potenziale dal quale,
come e noto, dipendono a loro volta le stesse forze elettrostatiche. Questo
fenomeno e caratterizzato da non-linearita, poiche l’accumulo di cariche in
quelle zone degli elettrodi per i quali il gap e minore provoca a sua volta un
aumento dell’intensita delle forze di Coulomb in quei punti.
In definitiva, l’accoppiamento fra i due problemi meccanico ed elettrico
si esplica nei due seguenti modi:
- dal punto di vista del problema meccanico, la parte elettrica influisce in
termini di forze elettriche agenti su quella parte di contorno in comune
con il dominio elettrico; quelle forze dipendono dalla distribuzione di
potenziale;
- d’altra parte, gli spostamenti del dominio meccanico provocano una
deformazione non solo dell’interfaccia ma anche dell’intera parte elet-
trica; questo cambiamento di configurazione provoca a sua volta una
modifica nell’andamento del potenziale e quindi influisce sulla soluzione
del problema elettrico.
Dalle precedenti osservazioni emerge una dipendenza reciproca dei due pro-
blemi meccanico ed elettrico, tanto che non e possibile ricavare la soluzione
di un problema senza aver ricavato anche quella dell’altro. Data poi la non-
linearita, risulta inevitabile l’utilizzo di una procedura di tipo iterativo per
risolvere il problema elettro-meccanico.
3.3 Problema elettro-meccanico 49
Figura 3.4: Problema elettro-meccanico di riferimento.
3.3.2 Formulazione del problema elettro-meccanico accop-
piato
In questo paragrafo si vuole procedere con una sintesi delle equazioni che
governano i due problemi, sulla base delle precedenti osservazioni. Si consi-
derino due domini meccanico ed elettrico Ωm e Ωe (figura 3.4). Assumendo
che non ci siano cariche libere in Ωe, l’equazione del problema elettrostatico
e la seguente (di seguito si adotta la notazione di Einstein ad indici ripetuti):
∂
∂xi
(
ε∂φ
∂xi
)
= 0 (3.43)
D’altra parte, l’equazione di equilibrio dinamico del problema meccanico
(costituito dal generico solido Ωm), nell’ipotesi di piccoli spostamenti e de-
formazioni, e data da:
−ρmuj +∂
∂xiσji + Fj = 0 (3.44)
dove ρm e la densita del materiale solido, σ e il tensore degli sforzi meccanici e
Fj rappresenta le forze esterne. Per semplificare la trattazione del problema,
si assume che le uniche forze esterne agenti siano quelle di Coulomb.
3.3 Problema elettro-meccanico 50
Per calcolare il campo di spostamenti dovuto ai carichi applicati e ne-
cessario introdurre una legge costitutiva del materiale, che leghi gli sforzi σij
alle deformazioni εij . Si esprime innanzitutto εij come funzione del campo
di spostamenti (congruenza):
εij =1
2
(∂uj∂xi
+∂ui∂xj
)
(3.45)
σij = Cijhkεhk (3.46)
dove Cijhk e il tensore di Hooke, composto da termini costanti per l’ipotesi
di isotropia del materiale. Si puo osservare che il problema meccanico, con-
siderato indipendente da quello elettrico, ha carattere lineare.
La distribuzione delle forze elettrostatiche segue la legge di Coulomb:
Fj = qEj (3.47)
dove q e la densita di carica sulla superficie ed Ej e il campo elettrico gene-
rato dalle cariche poste sull’altro elettrodo. In prossimita delle cariche sulla
superficie del conduttore, meta del campo elettrico e generato dalle stesse
cariche, che non danno contributo alla forza elettrostatica sulla superficie
dove sono concentrate; quindi, se Ej e il campo elettrico totale nel dominio,
Fj = q(Ej/2).
In accordo con la legge di Gauss, la carica q sulla superficie di contatto
fra le due parti puo essere espressa in funzione del campo elettrico al bordo:
q = εEini (3.48)
dove ni e il versore normale all’interfaccia rivolta verso il dominio elettrico.
Ricordando l’equazione (3.4), la forza elettrostatica puo essere espressa come
funzione del potenziale elettrico:
Fj =1
2ε
(∂φ
∂xi
∂φ
∂xi
)
nj (3.49)
Anche utilizzando il tensore di Maxwell, emerge la dipendenza delle forze
elettrostatiche dal quadrato del campo elettrico (equazione (3.42)). Quindi,
se da una parte i due problemi meccanico ed elettrico, analizzati in modo
3.3 Problema elettro-meccanico 51
indipendente, presentano un comportamento lineare, dall’altra la risposta
del problema elettro-meccanico e complessivamente non-lineare. Come di-
mostra l’equazione (3.49), questo e dovuto alla dipendenza quadratica della
forza elettrostatica dal potenziale; a questo si aggiunge la dipendenza della
forma del dominio elettrico dagli spostamenti di quello meccanico.
3.3.3 Dominio meccanico
Si consideri il consueto solido deformabile Ωm adiacente ad un dominio elet-
trico Ωe, con il quale confina attraverso l’interfaccia Γ. Si introduca una
discretizzazione spaziale analogamente a quanto fatto nella deduzione del
sistema delle equazioni di equilibrio elettrico. Definendo un opportuno mo-
dello per lo spostamento sul singolo elemento della mesh ed introducendo
tale modello nell’espressione della variazione prima del funzionale energia
potenziale totale ([2]), si giunge alla scrittura del sistema di equilibrio dina-
mico semi-discretizzato, costituito da equazioni differenziali ordinarie nella
variabile tempo:
Muuu+Kuuu = f (3.50)
dove Muu e la matrice delle masse e Kuu e la matrice di rigidezza meccanica,
entrambe simmetriche e definite positive nel caso di solido ben vincolato. 4
3.3.4 Deformazione del dominio elettrico: problema pseudo-
meccanico
Le (3.43) e (3.44) rappresentano le equazioni differenziali alle derivate par-
ziali che governano rispettivamente il problema elettrico e quello meccanico.
Una volta discretizzate, esse danno luogo ai due sistemi elettrico (3.16) e
meccanico (3.50) di cui gia si e discusso. Questi sistemi devono ora esse-
re accoppiati, sulla base delle considerazioni del paragrafo 3.3.1, per dar
luogo alle equazioni del problema elettro-meccanico; infatti i due sistemi
4I pedici uu sono una prerogativa di questo capitolo e consentono di identificare in
maniera piu immediata, al prezzo di una maggior pesantezza della trattazione, le quantita
in gioco ed in particolare di comprendere se esse si riferiscono alla parte meccanica oppure
a quella elettrica.
3.3 Problema elettro-meccanico 52
(3.16) e (3.50) considerati singolarmente governano i due problemi elettrico
e meccanico disaccoppiati.
Sulla base delle considerazioni iniziali del paragrafo 3.3.1 il sistema
governante il problema elettro-meccanico e espresso dalla seguente:
Muuum = f elec(ue, φ, V ) su Ωm
Kφ(ue)Φ = Q(ue, V ) su Ωe
(3.51)
Il sistema (3.51) richiede alcune precisazioni:
- il sottosistema meccanico e stato discretizzato anche temporalmente
adottando uno schema di integrazione, quale puo essere quello di New-
mark (appendice B); in questo modo si e ottenuto un sistema algebrico
nel quale la matrice M e espressa in funzione delle matrici delle masse
Muu e di rigidezza Kuu e dei parametri di integrazione;
- si e ipotizzato che il sistema meccanico sia soggetto esclusivamente a
forzanti elettriche tralasciando quelle gravitazionali, ipotesi realistica
nel campo dei micro-sistemi. Quelle forze dipendono dalla configu-
razione del dominio elettrico (attraverso gli spostamenti nodali ue),
dalla distribuzione di potenziale sullo stesso dominio e dal potenziale
imposto V ;
- per quanto riguarda il sistema elettrico, e stata evidenziata la dipen-
denza della corrispondente matrice di rigidezza dalla configurazione del
dominio elettrico stesso attraverso gli spostamenti nodali ue. E stata
inoltre messa in evidenza la dipendenza del vettore dei termini noti
dagli spostamenti ue e dal potenziale imposto.
Il calcolo delle forze elettrostatiche che compaiono nel primo sottosi-
stema di (3.51) e gia stato discusso nel paragrafo 3.2.4; si vuole mostrare ora
un metodo per tener conto degli spostamenti nodali del dominio elettrico.
Si consideri ancora il generico problema elettro-meccanico di figura 3.4: gli
spostamenti um della parte meccanica inducono, attraverso l’interfaccia Γ,
una deformazione della parte elettrica; sono essenzialmente due i metodi che
consentono di tener conto di tale cambiamento di configurazione: re-meshing
e mesh deformation. Il primo comporta la generazione di una nuova mesh
elettrica ogni volta che si modifica la configurazione di Ωe per effetto di um;
il secondo aggiorna la mesh esistente attraverso il calcolo degli spostamenti
dei nodi della mesh elettrica stessa.
3.3 Problema elettro-meccanico 53
Nel seguito si fara riferimento a questo secondo metodo, che prevede
quindi il calcolo degli spostamenti nodali ue della parte elettrica in funzione
di quelli um della parte meccanica. In realta, tale dipendenza si riduce ai
soli spostamenti dell’interfaccia Γ, indicati con ui, che possono essere estratti
dal vettore um degli spostamenti dell’intero dominio meccanico Ωm attra-
verso una matrice di connettivita opportunamente definita (infatti ui ⊆ um):
ui = Lium (3.52)
In generale, la relazione che lega gli spostamenti di interfaccia con quelli
elettrici puo essere espressa come segue:
g(ue,ui) = 0 (3.53)
La scelta del tipo di legame (3.53) e varia; si preferisce, per semplicita, risol-
vere un problema elasto-meccanico sul dominio elettrico (indicato appunto
con problema pseudo-meccanico) nel quale siano assenti carichi esterni e sia-
no solamente imposti i cedimenti ui in corrispondenza del bordo coincidente
con Γ; in termini matematici si tratta di risolvere il sistema discretizzato:
Kelecue = Fps su Ωe (3.54)
in cui ue sono gli spostamenti nodali incogniti, Kelec e la matrice di rigidez-
za del dominio pseudo-meccanico (geometricamente coincidente con quello
elettrico); Fps, infine, rappresenta il vettore dei carichi nodali equivalenti. Il
sistema (3.54) e corredato dalla seguente condizione al contorno:
ue = ue = ui su Γ
Il vettore Fps e un vettore di termini nulli poiche non agiscono carichi sul
dominio pseudo-meccanico. Si esegue una partizione delle grandezze presen-
ti in (3.54) secondo i gradi di liberta liberi (ue) e vincolati (ue), mettendo
in evidenza le reazioni vincolari incognite R in corrispondenza dei gradi di
liberta vincolati:
3.3 Problema elettro-meccanico 54
[
Kelec(ueue)Kelec(ueue)
Kelec(ueue)Kelec(ueue)
][
ue
ue
]
=
[
0
R
]
(3.55)
Dalla prima delle (3.55) e possibile esplicitare la relazione (3.53) nel caso di
problema pseudo-meccanico:
Kelec(ueue)ue = −Kelec(ueue)
ui (3.56)
In realta gli spostamenti ui dell’interfaccia Γ che compaiono nella (3.54)
possono essere ricondotti al vettore globale degli spostamenti meccanici um
attraverso la (3.52); per questo la (3.56) viene aggiornata come segue:
Kelec(ueue)ue = −Kelec(ueue)
Lium (3.57)
Risolvendo si ottiene:
ue = −K−1elec(ueue)
Kelec(ueue)Lium (3.58)
La (3.58) esplicita la dipendenza della configurazione del dominio elettri-
co (rappresentata dal vettore di spostamenti nodali ue) dagli spostamenti
meccanici um.
La (3.57) deve essere aggiunta alle equazioni iniziali (3.51) a formare
il seguente sistema:
Muuum = f elec(ue, φ, V ) su Ωm
Kelec(ueue)ue = −Kelec(ueue)
Lium su Ωe
Kφ(ue)Φ = Q(ue, V ) su Ωe
(3.59)
Combinando le equazioni in (3.59), condensando in particolar modo la se-
conda, si ottiene il sistema accoppiato:
Muuum = f elec(ue(um), φ, V ) su Ωm
Kφ(ue(um))Φ = Q(ue(um), V ) su Ωe
(3.60)
Il (3.60) puo essere infine scritto in maniera compatta:
3.3 Problema elettro-meccanico 55
Figura 3.5: Spostamenti meccanici, elettrici e di interfaccia.
Muuum = f elec(um, φ, V ) su Ωm
Kφ(um)Φ = Q(um, V ) su Ωe
(3.61)
Si e in questo modo ottenuta la diretta dipendenza delle quantita elettriche
che compaiono nel (3.61) dagli spostamenti meccanici um, esprimendo ma-
tematicamente l’effetto della parte meccanica su quella elettrica.
3.3.5 Esempio: problema elettro-meccanico 1D
Si riporta ora un esempio monodimensionale che vuole mettere in evidenza
la caratteristica di non-linearita del problema elettro-meccanico accoppia-
to, in particolare la relazione tra le forze elettrostatiche e gli spostamenti
meccanici.
La figura 3.6 mostra un condensatore a facce piane parallele immerso
nel vuoto. Le due piastre sono corpi rigidi che si trovano inizialmente ad una
distanza x; in seguito all’applicazione di una differenza di potenziale V , le
cariche elettriche si distribuiscono in modo uniforme su di esse. La risposta
elastica e affidata ad una molla di costante k, collegata alla massa meccanica
m.
Il problema elettrostatico e governato dall’equazione di Laplace (3.6),
che nel caso monodimensionale assume la forma:
3.3 Problema elettro-meccanico 56
Figura 3.6: Micro-risonatore monodimensionale ([22]).
ε∂2φ
∂ξ2= 0 (3.62)
dove φ e il potenziale elettrico, ξ e la coordinata spaziale e ε0 la permit-
tivita elettrica. Il dominio nel quale l’equazione (3.62) deve essere risolta
e ξ = [0, x], dove x descrive la posizione dell’elettrodo mobile che nel caso
dinamico puo essere espresso come x(t). Le condizioni al contorno per il caso
in esame sono:
φ = V per ξ = x
φ = 0 per ξ = 0(3.63)
Per quanto riguarda il problema elettrico, i risultati sono del tutto analoghi
a quelli ricavati nell’esempio 1D del paragrafo (3.2.3). L’andamento del po-
tenziale:
φ =V
xξ (3.64)
Il campo elettrostatico:
E = −∂φ
∂ξ= −V
x(3.65)
3.4 Instabilita elettro-meccanica: fenomeno dipull-in 57
Infine, le forze elettrostatiche agenti sulla massa m:
Fes =1
2εE2 =
1
2εV 2
x2(3.66)
La forza meccanica applicata all’elettrodo a causa della presenza della molla
vale:
Fmech = k(x− x0) (3.67)
dove k e la costante di rigidezza della molla e x0 e la posizione iniziale di
riferimento della stessa.
Si scrive quindi l’equazione di equilibrio dinamico del problema mono-
dimensionale:
mx+ k(x− x0) +1
2εV 2
x2= 0 (3.68)
Nonostante sia valida per il semplice caso monodimensionale, l’equazione di
equilibrio (3.68) esprime la non-linearita del problema elettro-meccanico, che
risiede, in questo caso, nella presenza di x2 a denominatore del termine della
forza elettrica.
3.4 Instabilita elettro-meccanica: fenomeno di
pull-in
3.4.1 Caso statico
Per comprendere il significato fisico del pull-in, si consideri il problema mo-
nodimensionale descritto nel paragrafo 3.3.5 e schematizzato in figura 3.6.
L’equilibrio statico e governato dalla relazione:
k(x− x0)︸ ︷︷ ︸
forza elastica
+1
2εV 2
x2︸ ︷︷ ︸
forza elettrostatica
= 0 (3.69)
che fornisce l’espressione V = V (x) del voltaggio imposto in funzione della
3.4 Instabilita elettro-meccanica: fenomeno dipull-in 58
distanza tra le piastre; la (3.69) mostra come la forza elastica sia propor-
zionale al valore di spostamento (u = x − x0), mentre la forza elettrostati-
ca inversamente proporzionale al quadrato della distanza tra le piastre del
condensatore (x). Come dimostrato sperimentalmente per dispositivi reali,
anche nel modello qui adottato gli elettrodi si avvicinano progressivamente
al crescere del valore di voltaggio imposto fino a quando la forza di richiamo
elastico della molla non e piu in grado di contrastare la forza elettrostati-
ca; l’equilibrio non e piu soddisfatto e l’armatura mobile del condensatore
collassa sull’elettrodo fisso, col verificarsi di una situazione di cortocircuito.
Questo fenomeno prende il nome di pull-in.
Risulta fondamentale, soprattutto nella progettazione dei micro-sistemi,
conoscere la coppia di valori (VPI , xPI) corrispondenti alla situazione limite,
che conduce il sistema all’instabilita. Analiticamente la ricerca di quei valo-
ri puo avvenire imponendo la stazionarieta della curva V (x) ottenuta dalla
(3.69):
dV (x)
dx= k − ε0
V 2PI
x3PI
= 0 ⇒ VPI =
√
x3PI · kε0
(3.70)
Il valore ottenuto VPI rappresenta il massimo voltaggio imponibile. La di-
stanza fra le piastre del condensatore (gap) corrispondente al pull-in si ot-
tiene sostituendo VPI nella (3.69):
k(xPI − x0) +1
2ε0
V 2PI
x2PI
= 0 ⇒ xPI =2
3x0 (3.71)
Quindi l’espressione esatta di VPI risulta:
VPI =
√
8x30 · k27ε0
(3.72)
Si osservi che il valore di pull-in e una caratteristica intrinseca del problema,
in quanto dipende da grandezze invarianti: rigidezza e gap iniziale. Il grafico
di figura 3.7 mostra l’andamento della funzione (3.69) normalizzata rispetto
al valore VPI :
(V
VPI
)2
=27
4
(x0 − x
x0
)[(x0 − x
x0
)
− 1
]2
(3.73)
3.4 Instabilita elettro-meccanica: fenomeno dipull-in 59
Figura 3.7: Andamento della curva spostamento-voltaggio dell’esempio 1D
([22]).
La (3.73) e un’equazione algebrica di secondo grado, che rispecchia la non-
linearita del problema elettro-meccanico; ad un qualsiasi valore di V corri-
spondono in genere due soluzioni in termini di spostamento. Dal grafico 3.7
si osserva che tra le due situazioni di equilibrio corrispondenti al generico V
quella con spostamento maggiore (e quindi con elettrodo deformabile pros-
simo a quello fisso superiore) e instabile; il ramo instabile e rappresentato
dalla linea tratteggiata. Infatti, imprimendo una piccola perturbazione al-
l’elettrodo mobile, questo collassa sulla piastra superiore. Viceversa, i punti
corrispondenti a spostamenti minori rappresentano situazioni di equilibrio
stabile (linea continua). La coppia di valori di pull-in (VPI , xPI) costituisce
lo spartiacque tra i due rami della curva.
Nonostante i risultati ottenuti siano validi per il caso monodimensio-
nale analizzato, e comunque interessante notare che anche nei microsistemi
reali il gap di pull-in e prossimo ai due terzi della distanza iniziale tra le
armature ([22]).
Si sottolinea ancora una volta l’importanza della corretta valutazio-
ne del voltaggio e spostamento di pull-in nell’ambito della progettazione
dei microsistemi elettro-meccanici (MEMS); l’instabilita elettro-meccanica,
che comporta il collasso dell’elettrodo mobile su quello fisso, e infatti una
situazione che deve essere scongiurata in quanto, una volta verificatasi, il
dispositivo risulta irrimediabilmente compromesso.
3.4 Instabilita elettro-meccanica: fenomeno dipull-in 60
Figura 3.8: In alto la curva statica di pull-in, in basso la risposta oscillatoria
per un passo di voltaggio costante VD ([22]).
3.4.2 Caso dinamico
Si consideri il problema monodimensionale di figura 3.6 e se ne scriva l’equa-
zione di equilibrio dinamico:
mx+ k(x− x0) +1
2ε0
V 2
x2= 0 (3.74)
La (3.74) e un’equazione differenziale ordinaria del secondo ordine nella va-
riabile tempo; note le condizioni iniziali e possibile, attraverso l’uso di me-
todi di integrazione numerica, calcolarne una soluzione approssimata. Un
secondo modo di procedere ([22]) mantiene fissa l’attuazione V e lineariz-
za la soluzione intorno ad una configuarazione di equilibrio di riferimento:
x = xeq + ∆x, dove xeq rappresenta la soluzione statica. Sostituendo la
linearizzazione nella (3.74), si ottiene:
mxeq +m∆x+ k(xeq +∆x− x0) +
1
2ε0
V 2
(xeq +∆x)2= 0 (3.75)
dove il termine mxeq e nullo, essendo xeq soluzione statica e quindi costan-
3.4 Instabilita elettro-meccanica: fenomeno dipull-in 61
te. Esprimendo il termine elettrostatico attraverso uno svilupppo in serie di
Taylor, l’equazione diventa:
m∆x+ k∆x+ k(xeq − x0) +1
2ε0
V 2
(xeq)2− ε0
V 2
(xeq)3∆x+ t.o.s. = 0 (3.76)
Considerando che xeq e soluzione della (3.69) e trascurando i termini di or-
dine superiore, l’equazione di equilibrio dinamico si riduce a:
m∆x+
(
k − ε0V 2
x3eq
)
∆x = 0 (3.77)
La (3.77) e un’equazione differenziale ordinaria del second’ordine. Per il pro-
blema considerato, la frequenza propria e:
ω =
√
k
m− ε0
V 2
mx3eq(3.78)
La (3.78) mostra la dipendenza della frequenza propria del sistema ω dal
voltaggio imposto V. Ponendo (V, xeq) = (VPI , xPI) la frequenza propria si
annulla. Se V < VPI e xeq e nella zona stabile della curva di figura (3.7),
ω e reale; viceversa, se xeq si trova nella parte instabile della curva, ω e un
numero complesso.
Si analizza ora la risposta transitoria del modello sottoposto a vol-
taggio crescente. Per valori di potenziale compresi tra 0 e un generico VD
l’equazione del problema in esame e la seguente (insieme alle condizioni ini-
ziali):
mx = −k(x− x0)− 12ε0
V 2D
x2 = 0 t > 0
x = 0 t = 0
x = 0 t = 0
x = 0 t = 0
(3.79)
Non e possibile calcolare la soluzione del problema (3.79) in forma chiusa;
attraverso l’utilizzo di un algoritmo di integrazione numerica nel tempo,
come il metodo di Runge-Kutta del quarto ordine ([22]), e possibile ottenere
la risposta del sistema.
3.4 Instabilita elettro-meccanica: fenomeno dipull-in 62
Se VD e relativamente basso, la risposta oscillatoria e periodica; l’am-
piezza della soluzione dipende dal valore del voltaggio applicato, dalla ri-
gidezza meccanica, dalla permittivita elettrica e dalla distanza iniziale tra
le armature, ma non dipende dalla massa dell’elettrodo mobile. Al contra-
rio il periodo T e funzione della massa m. Nella parte inferiore di figura
3.8 si osserva l’andamento della risposta transitoria per un voltaggio pari
a VD = 0.9VPI , mentre la parte superiore mostra la soluzione di equilibrio
statico (cerchio rosso) per lo stesso valore di potenziale. Le frecce poste al
centro indicano la direzione delle forze elettro-meccaniche; essa cambia in
corrispondenza della soluzione di equilibrio statico.
La risposta dinamica oscilla asimmetricamente intorno alla soluzione di equi-
librio stabile. In dinamica e possibile ottenere uno spostamento maggiore
rispetto a quello di pull-in statico (triangolo verde in figura 3.9).
Durante il transitorio del sistema, lo spostamento puo raggiungere valori
maggiori di quello che si avrebbe nella situazione di equilibrio instabile; a
questo punto le forza elettrostatica cambia direzione e l’elettrodo mobile col-
lassa sull’armatura fissa. Per valori di voltaggio inferiori a 0.9VPI questo non
puo accadere; per l’esempio analizzato lo spostamento di equilibrio istabile
viene raggiunto per valori VD = 0.92VPI . La Figura 3.8 mostra il transi-
torio per questo valore di voltaggio, chiamato pull-in dinamico (VDPI). In
precedenza si e osservato come sia complessa la ricerca della soluzione della
(3.79) in corrispondenza di un passo a voltaggio imposto; risulta invece piu
semplice il calcolo del valore esatto di VDPI . In corrispondenza del pull-in
dinamico, l’accelerazione e nulla, trattandosi di un punto di equilibrio del
sistema:
k(x− x0)2 +
1
2ε0
V 2DPI
x2DPI
= 0 (3.80)
In accordo con il principio di conservazione dell’energia, durante il transito-
rio l’energia stessa deve mantenersi costante; in corrispondenza di (VDPI , x0)
e (VDPI , xDPI) l’energia e la stessa:
1
2k(xDPI − x0)
2 − 1
2ε0
V 2DPI
xDPI= −1
2ε0
V 2DPI
x0. (3.81)
Nelle equazioni (3.80) e (3.81) le uniche due quantita incognite sono VDPI e
xDPI . Risolvendo si ottiene:
3.4 Instabilita elettro-meccanica: fenomeno dipull-in 63
Figura 3.9: Pull-in dinamico nel caso 1D: in alto la curva di pull-in statico,
in basso la risposta transitoria per V = VDPI ([22]).
VDPI =
√
kx304ε0
=3
8
√6VPI ≈ 0.92VPI (3.82)
xDPI =1
2x0. (3.83)
Si osserva come il valore di spostamento di pull-in dinamico, analogamente
al caso statico, dipenda unicamente dalla distanza iniziale delle armature del
condensatore.
Capitolo 4
Metodi di risoluzione
4.1 Introduzione
Le relazioni che governano i problemi elettrico e meccanico (equazioni 3.43
e 3.44) descritte nel paragrafo 3.3 sono equazioni differenziali alle derivate
parziali. La soluzione puo essere ottenuta in forma chiusa solo per alcuni
casi particolari; in generale e necessario introdurre una discretizzazione dei
domini su cui quelle stesse equazioni sono scritte, consentendo il passaggio
da un numero teoricamente infinito di gradi di liberta (continuo) ad un
numero finito (discreto). Esistono diversi metodi di discretizzazione spaziale:
il piu diffuso per domini meccanici e senza dubbio quello degli elementi finiti
(FEM); per la parte elettrica sono invece egualmente utilizzati sia il FEM
sia il metodo degli elementi di contorno (BEM), con i quali viene modellata
l’interfaccia fra le due parti meccanica ed elettrica. Nelle analisi che verranno
svolte si considerera il primo metodo anche per il dominio elettrico, come
peraltro gia introdotto nel paragrafo 3.2.2.
Il problema elettro-meccanico accoppiato e governato dalle seguenti
equazioni, dedotte al capitolo 2. In particolare, per seguire la trattazione di
[22], si escludono effetti dinamici sulla parte meccanica:
Kmechuu u = f elec(u,Φ, V )
Kφφ(u)Φ = q(u, V )(4.1)
dove Kφφ e la matrice di rigidezza elettrica, Kmechuu la matrice di rigidezza
meccanica, Φ e il vettore dei potenziali nodali, u il vettore degli spostamenti
meccanici nodali, q il vettore delle cariche nodali, V e il potenziale imposto
64
4.1 Introduzione 65
Figura 4.1: Approccio co-simulation (a sinistra) e fully coupled-simulation
(a destra).
sul bordo con condizioni di Dirichlet e f elec sono le forze elettrostatiche ap-
plicate alla parte meccanica.1
Nelle equazioni (4.1) e evidente la gia citata non-linearita del problema
elettro-meccanico accoppiato: innanzitutto le forze elettrostatiche applicate
alla struttura dipendono non-linearmente dal potenziale imposto V (equa-
zione (3.49)) e dalla configurazione del dominio elettrico; in secondo luogo,
sussite la dipendenza del dominio elettrostatico dal campo di spostamenti
meccanici.
La soluzione del sistema (4.1) puo essere cercata seguendo due diversi
tipi di approcci:
- partizionati, o co-simulations;
- monolitici, o fully coupled-simulations.
Nei metodi co-simulation i problemi elettrico e meccanico vengono
risolti separatamente, utilizzando codici differenti; l’accoppiamento fra gli
stessi e garantito da uno scambio di informazioni che avviene in determi-
nate fasi del calcolo, consentendo di determinare la soluzione di uno dei
due domini in un determinato passo o iterazione ricevendo come input la
soluzione dell’altro. In particolare, gli spostamenti del dominio meccanico
vengono trasmessi all’altra parte per l’aggiornamento delle coordinate nodali
della mesh elettrica; le forze elettriche invece, calcolate sul dominio elettrico
deformato, vengono successivamente applicate alla struttura, della quale si
determina la risposta (figura 4.1).
1La notazione e stata modificata rispetto a quella del capitolo 2 in funzione della
trattazione seguente.
4.2 Metodo Monolitico 66
I vantaggi dei metodi co-simulation sono molteplici. Innanzitutto per-
mettono di adottare differenti discretizzazioni nei due domini elettrico e mec-
canico: cio consente sia l’accoppiamento di differenti tipologie di discretiz-
zazione per le varie fisiche (FEM-FEM, FEM-BEM ([42], [43], [44])), sia
l’utilizzo di mesh diversamente rifinite. Nei casi piu complessi si possono
presentare alcune complicazioni nelle fasi di trasmissione dei dati da un ri-
solutore all’altro ([39], [40], [41]). In secondo luogo, come gia accennato, e
possibile utilizzare software specifici per la risoluzione di ciascuno dei due
problemi elettrico o meccanico.
Nelle fully-coupled simulations l’intero problema accoppiato viene ri-
solto in maniera monolitica da un unico codice ed entrambi i domini sono
discretizzati con la medesima mesh. Queste procedure comportano in genere
la linearizzazione delle equazioni del problema accoppiato.
4.2 Metodo Monolitico
Come detto, nell’approccio monolitico ([24]) i diversi problemi fisici vengo-
no risolti simultaneamente con una formulazione completamente accoppiata.
Il problema elettro-meccanico, intrinsecamente non-lineare, viene ricondot-
to ad una successione di passi lineari e affrontato in termini incrementali,
provvedendo a correggere la soluzione ad ogni iterazione.
Considerando il sistema (4.1), si definiscono le forze e le cariche interne
come:
f int = Kmechuu u (4.2)
qint = Kφφ(u)Φ (4.3)
Le equazioni di equilibrio del problema accoppiato diventano di conseguenza:
Felec(U, V )− Fint(U) = 0 (4.4)
dove
U =
[
u
Φ
]
F =
[
f
q
]
(4.5)
4.2 Metodo Monolitico 67
Attraverso uno sviluppo in serie di Taylor e possibile linearizzare attorno
alla generica configurazione di equilibrio (u,Φ) le forze e le cariche elettro-
statiche:
f elec(u,Φ, V ) = f elec(u,Φ)+∂f
∂u
∣∣∣∣(u,Φ)
du+∂f
∂Φ
∣∣∣∣(u,Φ)
dΦ+ϑ(du, dΦ) (4.6)
qelec(u,Φ, V ) = qelec(u,Φ)+∂q
∂u
∣∣∣∣(u,Φ)
du+∂q
∂Φ
∣∣∣∣(u,Φ)
dΦ+ϑ(du, dΦ) (4.7)
in cui si e considerato il caso generale in cui siano presenti delle cariche con-
centrate all’interno del dominio elettrico. Arrestando gli sviluppi al primo
ordine e sostituendo le espressioni (4.6) e (4.7) nel problema (4.1), o analo-
gamente nel (4.4), si ottiene la formulazione linearizzata dell’accoppiamento
elettro-meccanico:
KT∆U = ∆Felec (4.8)
dove ∆U rappresenta il vettore degli incrementi di spostamento e di poten-
ziale. Esplicitando i vari termini:
[
Kuu(u,Φ) Kuφ(u,Φ)
KTuφ(u,Φ) Kφφ(u)
]
︸ ︷︷ ︸
KT
[
∆u
∆Φ
]
︸ ︷︷ ︸
∆U
=
[
∆f(u,Φ, V )
∆q(u, V )
]
︸ ︷︷ ︸
∆Felec
(4.9)
dove:
-
Kuu = Kmechuu − ∂f elec(u.Φ)
∂u(4.10)
e la sottomatrice di KT della sola parte meccanica e Kmechuu e la matrice
di rigidezza meccanica;
Kuφ = −∂f elec(u,Φ)
∂Φ(4.11)
e il termine di accoppiamento. In particolare risulta Kφu = KTuφ, per
cui la matrice di rigidezza tangente K e simmetrica;
4.2 Metodo Monolitico 68
- Kφφ e la matrice di rigidezza elettrica;
- ∆f e ∆q sono rispettivamente gli incrementi delle forze e delle cariche
nodali equivalenti.
L’accoppiamento elettro-meccanico richiede l’utilizzo di un risolutore di tipo
iterativo per la risoluzione del sistema (4.8). Uno degli algoritmi piu diffusi
e senza dubbio quello di Newton-Raphson (NR), il cui schema e riportato
in figura 4.2. Ad ogni iterazione k, il sistema risolvente viene linearizzato
rispetto alla configurazione equilibrata dell’iterazione precedente k − 1, de-
terminando il valore dei residui ∆Fk:
∆Fk = Felec(Uk−1, V )− Fint(Uk−1) (4.12)
Utilizzando il sistema di equilibrio statico linearizzato (4.9), si calcola la
correzione da apportare alla soluzione dell’iterazione precedente k − 1, at-
traverso l’inversione della matrice di rigidezza tangente:
∆Uk = K−1T ∆Fk (4.13)
Si osserva che la matrice tangente KT deve essere aggiornata ad ogni ite-
razione, data la sua dipendenza dal vettore soluzione U. Da un punto di
vista computazionale il calcolo di KT rappresenta l’operazione piu onerosa
dell’intero approccio monolitico. La soluzione aggiornata:
Uk = Uk−1 +∆Uk (4.14)
deve essere sottoposta ad un controllo di convergenza del tipo:
‖Uk −Uk−1‖‖Uk−1‖
< ε (4.15)
dove ε e la tolleranza prefissata. Se la condizione (4.15) e soddisfatta il
processo iterativo si arresta e Uk da la soluzione del problema.
In prossimita della configurazione di equilibrio l’algoritmo di Newton-
Raphson presenta un ordine di convergenza quadratico. La buona velocita di
convergenza e piu che compensata dall’onere computazionale derivante dal
4.2 Metodo Monolitico 69
Figura 4.2: Diagramma di flusso: metodo monolitico.
4.2 Metodo Monolitico 70
calcolo ed inversione della matrice di rigidezza tangente ad ogni iterazione.
Per questa ragione e stata proposta una versione modificata del precedente
algoritmo (Newton-Raphson Modificato, o NRM, [37]): tale procedura
mantiene costante la matrice di rigidezza tangente durante il ciclo iterativo
e pari al valore iniziale di prima iterazione (nel caso dinamico quindi tale
matrice verra aggiornata una volta per ogni istante temporale).
Naturalmente l’algoritmo modificato ha il vantaggio di diminuire l’onere
computazionale garantendo la stessa soluzione fornita dalla versione origi-
naria; tuttavia il metodo NRM compie un numero maggiore di iterazioni
rispetto al classico NR e cio determina una minore velocita di convergenza.
Nella trattazione svolta si e considerato il problema meccanico stati-
co. Il passaggio al caso dinamico e comunque immediato: aggiungendo alla
prima delle (4.1) il termine dinamico, il sistema (4.1) si modifica nel modo
seguente:
Muuu+Kmechuu u = f elec(u,Φ, V )
Kφφ(u)Φ = q(u, V )(4.16)
Introducendo la linearizzazione, le equazioni di equilibrio dinamico possono
essere scritte nella seguente forma compatta:
M∆U+KT∆U = ∆F, (4.17)
dove
M =
[
Muu 0
0 0
]
. (4.18)
e la matrice delle masse tangente in cui l’unico sottoblocco non nullo e quello
relativo alla parte meccanica.
4.2.1 Esempio: metodo monolitico applicato ad un caso 1D
Si consideri il modello monodimensionale di figura 4.3 in cui i due domini
meccanico ed elettrico sono rappresentati da due bielle di lunghezza rispet-
tivamente Lm e Le. Nel caso piu generale il sistema globale e dotato di due
gradi di liberta: spostamento u del nodo comune e potenziale φ fra i due
4.2 Metodo Monolitico 71
Figura 4.3: Modello di riferimento monodimensionale.
nodi di estremita della biella elettrica. Si vuole studiare l’accoppiamento
elettro-meccanico in dinamica utilizzando l’approccio di tipo monolitico ap-
pena illustrato.
Le equazioni governanti sono fornite dal sistema (3.51), scritto per il generico
istante n: 2
Muuu = felec(u, φ) + F
qelec(u, φ) + qext = 0(4.19)
Si osservi che:
- si e implicitamente assunto che la parte meccanica sia gia stata discre-
tizzata temporalmente;
- la parte meccanica e soggetta sia a forzanti elettriche sia ai carichi
dinamici (F );
- la seconda equazione, che esprime l’equilibrio elettrico del sistema, puo
essere esplicitata:3
εφ
Le − u= qext (4.20)
dove qext sono le cariche esterne applicate sul contorno oppure dovute
2Onde evitare di appesantire la trattazione e stato omesso il pedice temporale n nelle
equazioni che seguono.3Si pone qelec = −εφ/(Le − u).
4.2 Metodo Monolitico 72
al voltaggio imposto mentre ε = ε0A, con ε0 permittivita dell’aria
(materiale di cui e composta l’ipotetica biella elettrica) e A area della
sezione delle bielle;
- la forza elettrica puo essere valutata utilizzando la formula canonica
valida per il caso monodimensionale:4
felec(u, φ) =1
2ε
φ2
(Le − u)2(4.21)
- il modello permette di evidenziare non solo l’accoppiamento fra i due
problemi meccanico ed elettrico (sia lo spostamento u che il potenziale
φ sono presenti in entrambe le equazioni del sistema (4.19)), ma anche
la non-linearita di cui si e discusso al capitolo 2. Infatti, sulla base
delle espressioni introdotte, il sistema (4.19) viene riscritto nel modo
seguente:
Muuu = 12ε
φ2
(Le−u)2+ F
ε φLe−u + qext = 0
(4.22)
in cui e evidente la dipendenza della forza elettrica da termini al
quadrato dipendenti da spostamento e potenziale.
Per far fronte a tale non-linearita e possibile applicare il metodo di
Newton-Raphson per il caso dinamico, che consente la riduzione del pro-
blema non-lineare accoppiato (4.22) ad un sistema lineare scritto in termini
incrementali. Si introduce quindi la linearizzazione delle quantita felec e
qelec intorno alla configurazione individuata dalla coppia di valori (u, φ), che
si riferiscono all’iterazione precedente nell’ambito dell’algoritmo NR:
felec(u, φ) = felec(u, φ) +∂f
∂u
∣∣∣∣(u,φ)
du+∂f
∂φ
∣∣∣∣(u,φ)
dφ+ ϑ(du, dφ) (4.23)
qelec(u, φ) = qelec(u, φ) +∂q
∂u
∣∣∣∣(u,φ)
du+∂q
∂φ
∣∣∣∣(u,φ)
dφ+ ϑ(du, dφ). (4.24)
4La formula e del tutto analoga a quella dei condensatori piani; il modello analizzato
infatti rappresenta il caso ideale in cui i piatti paralleli si concentrano nei due nodi di
estremita della biella elettrica.
4.2 Metodo Monolitico 73
Arrestando gli sviluppi in serie al primo ordine, si ottengono le espressioni
seguenti:
felec(u, φ) = felec(u, φ) +εφ
2
(Le − u)3du+
εφ
(Le − u)2dφ (4.25)
qelec(u, φ) = qelec(u, φ) +εφ
(Le − u)2du− ε
(Le − u)dφ (4.26)
Sostituendo le (4.25) e (4.26) nelle equazioni di equilibrio dinamico (4.19) si
ottiene:
M − εφ
2
(Le−u)3εφ
(Le−u)2
εφ(Le−u)2
− ε(Le−u)
[
du
dφ
]
=
[
0
−dqext
]
(4.27)
dove
KT =
M − εφ
2
(Le−u)3εφ
(Le−u)2
εφ(Le−u)2
− ε(Le−u)
(4.28)
e la matrice di rigidezza tangente linearizzata intorno alla configurazione
(u, φ). La presenza di termini extra-diagonali evidenzia l’accoppiamento
elettro-meccanico: il campo elettrico che si genera nel gap, induce una forza
di attrazione, che viene equilibrata dalla forza di richiamo elastica; mentre
il movimento del punto meccanico modifica la capacita e quindi la quantita
di cariche presente.
Si noti come l’approssimazione, inevitabilmente introdotta dalla lineariz-
zazione dei termini di accoppiamento, consente di scrivere un sistema di
equazioni algebriche lineari.
La soluzione del sistema (4.27) scritto in forma incrementale permette
di ricavare le correzioni da apportare alla configurazione di riferimento:
U = U+ dU =
[
u
φ
]
+
[
du
dφ
]
(4.29)
Il ciclo iterativo si arresta quando la condizione di convergenza risulta sod-
disfatta. Nel caso il test di convergenza abbia esito negativo, si applica
4.3 Metodi partizionati 74
una ulteriore linearizzazione intorno alla configurazione (u, φ) appena tro-
vata; la sequenza viene ripetuta fino a raggiungimento della convergenza.
La procedura iterativa viene ripetuta in ogni istante temporale dell’analisi
dinamica.
4.3 Metodi partizionati
4.3.1 Metodo staggered e metodo delle iterazioni simultanee
L’approccio monolitico illustrato nel paragrafo 4.2 prevede che ad ogni ite-
razione si debba non solo calcolare, ma anche invertire la matrice tangente;
questa operazione e, dal punto di vista computazionale, molto onerosa. E
anche per ovviare a questo problema che si sono sviluppati metodi alternati-
vi, denominati partizionati, caratterizzati dalla soluzione disaccoppiata delle
fisiche con approccio iterativo; essi consentono fra l’altro la discretizzazio-
ne indipendente dei domini elettrico e meccanico, i cui problemi associati
vengono risolti separatamente grazie ad appositi codici.
Una classe di metodi partizionati, detta staggered, prevede che la
matrice di rigidezza tangente del problema accoppiato (K), data dalla rela-
zione (4.9), venga suddivisa in una parte implicita ed una esplicita:
K = KI+KE =
[
Kuu(u,Φ) Kuφ(u,Φ)
0 Kφφ(u)
]
+
[
0 0
−KTu,φ(u,Φ) 0
]
(4.30)
Data la partizione di KT , il problema scritto in forma compatta risulta:
KIdU = dP−KEdU (4.31)
Esplicitando i vari termini si ottiene:
Kuu(u,Φ)du+Kuφ(u,Φ)dΦ = dPu
Kφφ(u)dΦ = dQφ +KTuφ(u,Φ)du
(4.32)
Per risolvere il sistema (4.32) e necessario impostare un procedimento
iterativo. Di seguito si riportano le operazioni principali dell’algoritmo alla
generica iterazione i-esima.
4.3 Metodi partizionati 75
1. Predizione dupi sugli incrementi del campo di spostamenti rispetto al-
la configurazione (ui−1,Φi−1), attorno alla quale viene linearizzato il
sistema:
dupi = dui−1 (4.33)
2. Calcolo degli incrementi di voltaggio dΦi utilizzando la seconda equa-
zione del sistema (4.32):
dΦi = K−1φφ(ui−1)
[dQφ +KT
uφ(ui−1,Φi−1)dupi
](4.34)
3. Determinazione del campo di spostamenti all’iterazione corrente, so-
stituendo nella prima equazione del sistema (4.32) i valori dΦi:
dui = K−1uu (ui−1,Φi−1) [dPu −Kuφ(ui−1,Φi−1)dΦi] (4.35)
4. Controllo di convergenza:
‖ui − ui−1‖‖ui−1‖
< ε (4.36)
dove ε e la tolleranza fissata. Se il controllo ha esito positivo, (ui,Φi) =
(ui−1 + dui,Φi−1 + dΦi) e la soluzione del problema elettro-meccanico. In
caso contrario bisogna linearizzare nuovamente le equazioni rispetto alla
configurazione di equilibrio (ui,Φi) e si ripetono le operazioni dal punto
1.
Nella procedura staggered i problemi vengono risolti in modo disac-
coppiato. I passi di calcolo prevedono l’inversione delle matrici Kφφ e Kuu,
che hanno le stesse dimensioni dei singoli problemi elettrico e meccanico.
Un’altra possibile partizione della matrice di rigidezza tangente, conduce
alla formulazione del metodo delle iterazioni simultanee:
KT =
[
Kuu(u,Φ) 0
0 Kφφ(u)
]
+
[
0 Kuφ(u,Φ)
−KTuφ(u,Φ) 0
]
. (4.37)
Portando a secondo membro la parte esplicita della matrice KT , il problema
4.3 Metodi partizionati 76
Figura 4.4: Procedura staggered ([22]).
diventa:
Kuu(u,Φ)du = dPu −Kuφ(u,Φ)dΦ
Kφφ(u)dΦ = dQφ +KTuφ(u,Φ)du
(4.38)
Il metodo delle iterazioni simultanee si articola nei punti riportati nel seguito.
1. Doppia predizione sia sugli incrementi di spostamento che su quelli di
voltaggio, rispetto alla configurazione (ui−1,Φi−1) attorno alla quale
viene linearizzato il sistema:
dupi = dui−1
dΦpi = dΦi−1
(4.39)
2. Stima simultanea degli incrementi dui e dΦi dal sistema (4.38):
dui = K−1uu (ui−1) [dPu −Kuφ(ui−1,Φi−1)dΦ
pi ]
dΦi = K−1φφ(uui−1,Φi−1)
[
dQφ +KTuφ(ui−1,Φi−1)du
pi
] (4.40)
3. Controllo di convergenza sulla soluzione totale:
‖Ui −Ui−1‖‖Ui−1‖
< ε (4.41)
Come nel caso del metodo staggered classico, il processo iterativo ter-
mina quando il test di convergenza ha esito positivo; in questa situazione Ui
e la soluzione del problema elettro-meccanico In caso contrario, si linearizza
nuovamente il sistema e si ritorna al punto 1.
In figura 4.4 e rappresentata la sequenza di operazioni di un semplice
solutore staggered. All’iterazione k si calcolano i valori nodali di potenzia-
le utilizzando la soluzione meccanica dell’iterazione k − 1. Successivamente
4.3 Metodi partizionati 77
Figura 4.5: Diagramma di flusso: metodo staggered.
si determinano le forze elettrostatiche f elec, che vengono trasmesse all’al-
goritmo meccanico; risolto il problema meccanico, si ricavano i valori degli
spostamenti nodali uk, che vengono passati al risolutore elettrico, in modo
da determinare i nuovi potenziali nodali Φk. Queste operazioni devono es-
sere ripetute fino a convergenza. In caso la condizione non sia rispettata, la
geometria del dominio elettrico viene modificata imponendo gli spostamenti
meccanici nei nodi di interfaccia, e si ripetono le operazioni precedenti. La
convergenza viene raggiunta quando la correzione del vettore spostamenti
nodali e molto piccola. Si osserva infine che non viene assemblata alcuna
matrice di accoppiamento, ne la matrice di rigidezza tangente globale KT .
Il diagramma di flusso in figura 4.5 mostra in dettaglio le fasi dell’algoritmo
staggered per il problema elettro-meccanico accoppiato.
Naturalmente i vantaggi del metodo staggeded sono evidenti nel ca-
so si utilizzi un approccio co-simulation; i problemi elettrico e meccanico
sono risolti in modo disaccoppiato attraverso algoritmi particolari, con un
vantaggio computazionale evidente, poiche i due problemi sono lineari.
4.4 Voltaggio di pull-in 78
Figura 4.6: Ricerca del pull-in per potenziale imposto ([22]).
4.4 Voltaggio di pull-in
Nella progettazione dei microsistemi e fondamentale mantenersi lontani dalla
condizione di instabilita elettro-meccanica (pull-in), poiche una volta che le
armature di un condensatore vengono a contatto il funzionamento del dispo-
sitivo e irrimediabilmente compromesso. Per questo e necessario conoscere il
voltaggio di pull-in in corrispondenza del quale il sistema diventa instabile.
L’algoritmo iterativo di tipo staggered converge nel tratto stabile del-
la curva in figura 3.7, mentre non puo piu essere utilizzato per trovare la
soluzione del problema elettrostatico, quando il sistema diventa instabile.
Se l’algoritmo raggiunge la convergenza, questo significa che il valore di
pull-in e maggiore del voltaggio imposto e quindi la situazione di equilibrio e
stabile. Al contrario, nel caso l’algoritmo non converga, si puo concludere che
il voltaggio di pull-in e inferiore al valore di potenziale (Vi) imposto al sistema
(figura 4.6). La procedura per la stima del valore di voltaggio di instabilita
ha una forte dipendenza dalla robustezza dell’algoritmo. In prossimita della
situazione di pull-in, il problema diventa mal-condizionato; l’algoritmo diver-
ge prima che venga raggiunta la condizione di instabilita elettro-meccanica.
Per questa ragione, il metodo staggered classico sottostima il voltaggio di
pull-in.
Per la corretta valutazione del voltaggio di pull-in esistono altri algo-
4.5 Esempio: problema 1D 79
Figura 4.7: Ricerca del pull-in con il metodo di Riks-Crisfield.
ritmi tra cui quello di Riks-Crisfield ([47],[48]), che consentono di seguire il
ramo instabile della curva. La tecnica di Riks-Crisfield consiste nel fissare
la distanza tra due punti nel grafico (d,V) in figura 4.7. Si cerca un nuovo
punto di equilibrio imponendo il seguente vincolo aggiuntivo:
sk · sk = ∆S2i (4.42)
dove
sk =
[
∆di +∆dk
∆Vi −∆Vk
]
(4.43)
L’ aggiunta di un’equazione di vincolo permette di trattare i ∆V come in-
cognite, riuscendo ad oltrepassare il punto di pull-in e a descrivere anche il
ramo instabile della curva (figura 4.7).
4.5 Esempio: problema 1D
Si analizza ora l’esempio di figura 4.8, proposto in [25], utilizzando le due
procedure monolitica e staggered, opportunamente implementate in un co-
4.5 Esempio: problema 1D 80
Parte elettrica (aria)
Geometria / proprieta valore
Le [µm] 1
ε0 [C2/N ·m2] 8.8542 · 10−12
V [Volt] 15
Parte meccanica
Lm [µm] 0.2
A [m2] 4 · 10−16
ρ [kg/m3] 2330
E [N/m2] 5000
ν 0
Tabella 4.1: Geometria e proprieta dei domini elettrico e meccanico del caso
1D.
dice Matlab; l’obiettivo e dimostrare che entrambe conducono alla stessa
soluzione e confrontare i tempi di analisi.
Il sistema e composto da un elemento meccanico e tre elettrici. La par-
te meccanica e idealmente concentrata nel punto 4, che rappresenta anche
l’interfaccia tra i domini; per questo motivo l’unico grado di liberta mec-
canico della struttura e dato dallo spostamento verticale di quel punto. In
seguito all’applicazione della differenza di potenziale, la massa viene pertur-
bata e, a causa dello spostamento u dello stesso nodo di interfaccia, anche il
dominio elettrico varia la propria configurazione.
La parte elettrica e discretizzata in tre elementi di trave di lunghezza
le = Le/3. Ai nodi 2 e 3 sono associati i due gradi di liberta elettrici del
sistema, mentre nei punti 1 e 4 viene imposto il voltaggio. Si ipotizza inoltre
che la deformazione del dominio elettrico riguardi esclusivamente l’elemento
compreso fra i nodi 3 e 4, che si configura quindi come elemento di interfaccia.
Con riferimento all’approccio monolitico, trattato nel paragrafo 4.2.1,
le relazioni che governano il problema sono date dal sistema (4.19). Esplici-
tando i termini, nel caso in esame si ottiene:
Muuu = 12ε
V 2
(Le−u)2+ F
KφΦ = qext
(4.44)
dove la matrice M , derivante dall’introduzione della discretizzazione tempo-
4.5 Esempio: problema 1D 81
Figura 4.8: Esempio monodimensionale.
rale (Newmark), ha l’espressione seguente:
M =1
β∆t2M +K =
1
β∆t2ρALm
2+
EA
Lm(4.45)
M e la massa meccanica concentrata nel punto 4, K la rigidezza e β un
parametro dello schema di integrazione; F e il termine noto aggiuntivo,
dovuto anch’esso alla discretizzazione temporale.5
La risposta transitoria del sistema (4.44) puo essere trovata attra-
verso l’algoritmo di Newton-Raphson nel caso dinamico. Per comprende-
re meglio il procedimento all’istante generico n, si riporta la figura 4.9,
che rappresenta gli andamenti della forza elastica f int(u) (curva blu) ed
elettrica felec(u, V ) (curva verde) nell’esempio analizzato, al variare dello
spostamento u. L’algoritmo di NR si articola nei passi seguenti:
1. Partendo dalla configurazione equilibrata dell’iterazione precedente k−1, si calcola la forza elettrostatica e la sua derivata rispetto allo sposta-
mento, in modo da poter linearizzare, in quel punto, la curva della felec:
felec(u, V ) = feleci−1 (ui−1, V ) +
εV 2
(Le − ui−1)3(ui − ui−1) (4.46)
Si noti come il termine della linearizzazione (4.23), contenente le de-
5Si rimanda all’appendice B per la trattazione riguardante Newmark.
4.5 Esempio: problema 1D 82
Figura 4.9: Algoritmo di Newton-Raphson (istante n).
rivate rispetto alle incognite di potenziale, sia nullo; infatti le forze
elettriche dipendono unicamente dal gap tra gli elettrodi (Le−ui−1) e
dal voltaggio esterno imposto (V ).
2. Si scrive la formulazione del problema linearizzato:
(
Muu − εV 2
(Le − ui−1)3
)
ui = feleci−1 − εV 2
(Le − ui−1)3ui−1 (4.47)
La soluzione ui vale:
ui =
(
Muu − εV 2
(Le − ui−1)3
)−1(
feleci−1 − εV 2
(Le − ui−1)3ui−1
)
(4.48)
3. Controllo di convergenza:
‖ui − ui−1‖‖ui−1‖
< ε (4.49)
Se il test ha esito positivo, ui e soluzione del sistema e si ripete il ciclo
di operazioni per l’istante successivo n+1 ; altrimenti si ritorna al passo
1.
4.5 Esempio: problema 1D 83
Figura 4.10: Spostamento verticale nodo 4: soluzioni monolitica e staggered.
Per quanto concerne la soluzione del problema con approccio stag-
gered, si faccia riferimento al diagramma di flusso in figura 4.5. In primo
luogo viene risolto il problema elettrico ricavando i valori nodali di potenziale
(φ2, φ3). Essi dipendono dalla soluzione meccanica all’iterazione precedente,
in quanto la configurazione del dominio elettrico e cambiata in seguito allo
spostamento u imposto nel nodo 4 di interfaccia. Successivamente si calcola
la forza elettrostatica f elec con la relazione (3.27) e la si applica al nodo 4;
si risolve quindi il problema meccanico. Queste operazioni devono essere
ripetute fino a convergenza.
Nella tabella 4.2 vengono riportati i parametri utilizzati per la discre-
tizzazione temporale con il metodo di Newmark implicito. La figura 4.10
mostra l’andamento nel tempo dello spostamento del nodo 4 di interfaccia.
∆t [sec] 10−8
ttot [sec] 10−5
β 1/4
γ 1/2
Tabella 4.2: Discretizzazione temporale
Si osserva la perfetta sovrapposizione delle curve ottenute con i due
approcci monolitico e staggered, che quindi risultano equivalenti in termini
4.5 Esempio: problema 1D 84
di soluzione restituita.
Si propongono alcune semplici verifiche per controllare la correttezza
dei risultati ottenuti con gli algoritmi implementati. Innanzitutto e possibile
confrontare la soluzione con lo spostamento statico della parte meccanica,
sollecitata da una forza pari al valore della forza elettrica iniziale applicata
nel punto di interfaccia 4. L’equazione di equilibrio statico risulta:
kustatico = felec −→ ustatico =
12(ε)
V 2
L2e
EALm
= 3.9825 · 10−8m (4.50)
dove
ε = ε0A = 8.85 · 10−12 · 4 · 10−16 = 3.54 · 10−27 C2
N(4.51)
e il valore di permittivita elettrica associato alla sezione di area A, ideal-
mente concentrata nel punto 4. Il valor medio intorno al quale la risposta
dinamica oscilla e ricavabile dalla figura 4.10:
umedio =max(u)−min(u)
2= 4.3605 · 10−8m (4.52)
La differenza tra i valori ottenuti dalle (4.50) e (4.52) e del 8.66%.
Si verifica ora che il periodo proprio della struttura T ricavato dall’anali-
si sia comparabile con il valore teorico atteso. Infatti per il semplice esempio
in esame e possibile calcolare T utilizzando la formula dell’oscillatore sem-
plice:
T =2π
ω(4.53)
dove ω e la pulsazione del sistema, definita come:
ω =
√
K
M(4.54)
Sostituendo la (4.54) nella (4.53), si ottiene:
4.5 Esempio: problema 1D 85
Coordinate dei punti di picco
Picchi 1 2 3 4
t [10−6 · sec] 0.33 0.97 1.61 2.24
u [10−8 ·m] 8.7187 8.7212 8.7195 8.7178
Periodo di oscillazione
Intervalli 1-2 2-3 3-4
Periodo (T) [10−7 · sec] 6.400 6.300 6.300
Tabella 4.3: Periodo di oscillazione ottenuto dalla simulazione numerica.
Algoritmo Tempo di analisi
Monolitico 0.6298 sec
Staggered 0.3781 sec
Guadagno [-] −39.96%
Tabella 4.4: Confronto dei tempi analisi monolitico-staggered.
T =2π√
Km
=2π
√EALm
ρALm2
= 6.066 · 10−7 s (4.55)
La tabella 4.3 riporta i valori del periodo ricavati dalla simulazione numerica.
Si osserva che i valori ottenuti sono del tutto confrontabili con quello teorico,
trovato con il modello di oscillatore semplice.
Il grafico 4.11 mostra come, anche per quanto riguarda i valori di
potenziale elettrico, i codici monolitico e staggered restituiscano risultati
perfettamente sovrapponibili.
E interessante sottolineare come, gia nel semplice modello monodi-
mensionale analizzato, con il codice staggered si abbia un notevole risparmio
computazionale (tabella 4.4).
L’ultima analisi svolta riguarda la stima del voltaggio di instabilita
elettro-meccanica. Da un punto di vista analitico, il pull-in dinamico puo
essere calcolato con riferimento alla formula 3.82:
VDPI = 0.92 ·√
8L3e · k27ε
= 0.92 ·
√
8L3e · EA
Lm
27ε= 26.61V (4.56)
Inoltre, nella situazione di pull-in, ci si attende che il gap tra gli elettrodi
4.5 Esempio: problema 1D 86
Figura 4.11: Potenziale nel nodo 2.
valga:
uDPI =1
2Le = 0.5µm. (4.57)
Nel grafico 4.12 si presentano i risultati numerici ottenuti attraverso l’analisi
di pull-in con l’algoritmo monolitico. Si noti come il codice riesca a cogliere
molto bene l’andamento della curva spostamento-voltaggio, fino al valore di
pull-in (differenza del 0.3%). In corrrispondenza del voltaggio di pull-in la
tangente alla curva tende all’orizzontale.
4.5 Esempio: problema 1D 87
Figura 4.12: Pull-in dinamico nel caso monodimensionale.
Capitolo 5
La decomposizione dei
domini applicata al problema
elettro-meccanico
5.1 Introduzione
L’utilizzo dei metodi di decomposizione dei domini trattati nel capitolo 2
applicati al sistema oggetto di una simulazione (ad elementi finiti per esem-
pio) comporta dei vantaggi in termini di riduzione dei tempi di calcolo, so-
prattutto nel caso in cui l’analisi riguardi sistemi complessi e di notevoli
dimensioni; in questo modo e possibile ottenere la soluzione localmente su
ciascun sottodominio e, successivamente, ricostruire quella globale, risolven-
do un particolare problema di interfaccia. I problemi a piu campi (multi-field
problems), nei quali il sistema presenta diversi comportamenti fisici governa-
ti da equazioni differenti, rappresentano una categoria per la quale i tempi
di analisi sono in genere molto elevati: tipici esempi sono il problema termo-
elastico, l’interazione fluido-struttura ed il problema elettro-meccanico di cui
si e discusso nel capitolo 3. La loro complessita risiede nell’accoppiamento
o interazione fra i fenomeni fisici che si presentano, per cui in genere non
e possibile determinare in modo indipendente la soluzione associata ad una
delle fisiche senza dover determinare anche quella delle altre.
Nel capitolo 3 si e gia discusso dei metodi che consentono di determi-
nare la soluzione di un problema elettro-meccanico accoppiato con domini
non sovrapposti. In particolare sono emersi, gia dal semplice esempio mono-
88
5.2 Primo livello di decomposizione: contributifree e link 89
dimensionale, come peraltro era gia noto, i vantaggi della procedura di tipo
staggered nei confronti di un approccio di tipo monolitico al problema. Il
metodo staggered, infatti, comporta una automatica partizione del sistema
accoppiato originale in sottoproblemi, l’uno meccanico l’altro elettrico, che
vengono risolti alternativamente all’interno di un processo iterativo fino al
raggiungimento della convergenza. A partire da tale metodo, ci si propone
nel seguito di aumentare il livello di decomposizione del problema elettro-
meccanico: l’idea e quella di utilizzare gli algoritmi proposti in letteratura,
di cui si e gia trattato nel capitolo 2, per i quali sono stati dimostrati i van-
taggi computazionali nell’ambito dei problemi meccanici.
5.2 Primo livello di decomposizione: contributi
free e link
5.2.1 Considerazioni iniziali
Uno degli aspetti negativi della procedura di tipo staggered consiste nel-
la bassa velocita di convergenza perfino nei confronti del metodo monoliti-
co, che pure richiede un tempo maggiore per la risoluzione dei sistemi che
governano il problema.
E per far fronte a questa mancanza che il metodo staggered puo essere
riformulato secondo la filosofia dell’algoritmo di Gravouil e Combescure (GC
nel seguito) esposto nel paragrafo 2.4 (si veda [3]). Si consideri un generico
dominio di analisi Ω, composto per semplicita da due parti, l’una meccanica
Ωm e l’altra elettrica Ωe; sia inoltre Γ la frontiera comune alle due parti e
sia V il potenziale esterno applicato, costante durante l’analisi (figura 5.1.a).
Cosı come per il problema puramente meccanico, anche in questo caso la so-
luzione associata a ciascuno dei due domini puo essere espressa come somma
di due contributi free e link, il primo calcolato trascurando l’interazione fra
le due parti e il secondo, inteso come correzione da apportare al precedente,
determinato come effetto dell’altra parte su quella considerata. Introdotta
una discretizzazione spaziale per entrambe le parti meccanica ed elettrica, la
soluzione per ciascuno dei due sottodomini viene quindi scomposta nei due
contributi free e link :
um = ufreem + ulink
m (5.1)
5.2 Primo livello di decomposizione: contributifree e link 90
Figura 5.1: Decomposizione elettro-meccanica (a) e puramente meccanica
(b).
Φ = Φfree +Φlink (5.2)
in cui um e Φ rappresentano i vettori delle incognite nodali, spostamenti per
la parte meccanica e potenziali per quella elettrica.
Per meglio comprendere il significato fisico dei contributi che compa-
iono nelle (5.1) e (5.2) si consideri l’analogia col problema puramente mecca-
nico risolto nella formulazione originale di Gravouil e Combescure; dato un
dominio Ω′
, esso si immagina suddiviso nelle due parti Ω′
1 e Ω′
2 che, diver-
samente dai due sottodomini Ωm e Ωe, sono caratterizzati dalla stessa fisica
(sono entrambi solidi deformabili)(figura 5.1). In questo caso, il calcolo del
contributo free dello spostamento avviene considerando le due parti come
indipendenti l’una dall’altra e soggette quindi ai soli carichi esterni variabili
nel tempo; la correzione link viene, invece, determinata per ciascuno dei due
sottodomini come effetto dell’interazione con l’altro, che nel caso meccanico
corrisponde all’applicazione delle forze di interfaccia, uguali ed opposte per il
principio di azione-reazione. Il calcolo del secondo contributo puo effettuarsi
solo dopo aver risolto il problema di interfaccia che, nell’esempio meccanico,
deriva dalla condizione di continuita degli spostamenti (o velocita, secondo
la trattazione di Gravouil e Combescure) all’interfaccia stessa.
Allo stesso modo si procede per l’esempio elettro-meccanico che diffe-
risce dal precedente per la diversa fisica dei due sottodomini; in particolare
occorre identificare le due situazioni free e link per ciascuna delle due parti.
Valgono le seguenti osservazioni:
5.2 Primo livello di decomposizione: contributifree e link 91
- dal punto di vista del dominio meccanico, la situazione free (assenza
della parte elettrica) corrisponde al caso in cui esso e soggetto ai soli
carichi esterni o a quelli dovuti alla dinamica; d’altronde l’azione della
parte elettrica su quella meccanica si esplica attraverso le forze di Cou-
lomb calcolate sulla base della distribuzione di potenziale nel dominio
Ωe;
- dal punto di vista del dominio elettrico, sussiste una forte dipendenza
della configurazione (cioe forma, dimensioni e mesh) dello stesso Ωe
dagli spostamenti della parte meccanica, imposti lungo l’interfaccia Γ;
questi ultimi a loro volta dipendono dalle forze applicate, comprese
quelle elettriche (questa dipendenza reciproca rende necessario l’uti-
lizzo di un metodo di risoluzione di tipo iterativo, come peraltro gia
evidenziato in precedenza). Ne deriva quindi che il contributo free
della (5.2) coincide con la distribuzione di potenziale nella situazione
indeformata del dominio elettrico, cioe di spostamenti meccanici im-
posti nulli. Il secondo termine link corrisponde invece ad una sorta
di assestamento del potenziale dovuto alle deformazioni del dominio
elettrico;
- mantenendo l’analogia col caso puramente meccanico, e necessario in
questo caso risolvere un doppio problema di interfaccia: da una parte il
calcolo delle forze elettriche in funzione dell’andamento del potenziale e
dall’altra la risoluzione del cosiddetto problema pseudo-meccanico che
consente di determinare le nuove coordinate nodali della mesh elettrica
per effetto degli spostamenti meccanici imposti.
5.2.2 Formulazione del nuovo algoritmo
Sottodominio meccanico
Si consideri il sistema di equazioni di equilibrio dinamico ottenuto a valle
della discretizzazione spaziale della parte meccanica Ωm del dominio di figu-
ra (5.1.a), scritto nell’istante tn+1:
Mumn+1 +Kumn+1 = f extn+1 + f elecn+1(umn+1 ,Φ, V ) (5.3)
dove M, K e f extn+1 rappresentano rispettivamente la matrice delle masse, la
5.2 Primo livello di decomposizione: contributifree e link 92
matrice di rigidezza ed il vettore dei carichi esterni all’istante tn+1, come e
noto; ad essi si aggiunge il contributo delle forze elettriche che traducono
l’azione del sottodominio Ωe su Ωm; in particolare, e stata messa in evidenza
la dipendenza di f elecn+1 dalla configurazione del dominio elettrico (dipendente
a sua volta dallo spostamento meccanico imposto um1), dalla distribuzione
di potenziale e, indirettamente, dall’attuazione V . Si introduca una discre-
tizzazione temporale e si adotti il metodo di Newmark per l’integrazione nel
tempo delle equazioni semi-discretizzate di equilibrio. Precisamente, combi-
nando le (2.55) e (2.56), si puo scrivere:
umn+1 = pumn +1
β∆t2(umn+1 − pumn) (5.4)
Quindi, sostituendo nel sistema (5.3):
( 1
β∆t2M+K
)
︸ ︷︷ ︸
M
umn+1 = f elecn+1(um,Φ, V ) + f extn+1 −Mpumn +Mumn︸ ︷︷ ︸
Fn+1
(5.5)
Mumn+1 = f elecn+1(um,Φ, V ) + Fn+1 (5.6)
Si introduce nel sistema ottenuto la decomposizione free-link attraverso la
(5.1) (si omette da questo punto in poi l’indice temporale n+ 1):
Mufreem + Mulink
m = f elec(um,Φ, V ) + F (5.7)
Sulla base delle considerazioni riportate nel paragrafo 5.2.1, il problema mec-
canico (5.7) puo essere scomposto nei due sottosistemi seguenti:
Mufreem = F problema free meccanico (in Ωm)
Mulinkm = f elec(um,Φ, V ) problema link meccanico (in Ωm)
(5.8)
Occorre osservare che il primo dei due sottosistemi (5.8) viene calcolato una
sola volta nel generico istante tn+1 in quanto il vettore dei termini noti
F dipende dal vettore dei carichi esterni all’istante tn+1 e dalla soluzione
1Il pedice m indica gli spostamenti nodali del dominio meccanico.
5.2 Primo livello di decomposizione: contributifree e link 93
all’istante precedente tn. Viceversa, il secondo sottosistema viene risolto ad
ogni iterazione poiche l’accoppiamento rientra proprio nel vettore f elec.
Sottodominio elettrico
Si consideri il sistema 3.16 risolvente il problema elettro-statico nel dominio
Ωe:
Kφ(um)Φ = Q(um, V ) in Ωe (5.9)
in cui la matrice Kφ dipende dalla configurazione del dominio elettrico e
quindi dai cedimenti meccanici impostigli; il vettore dei termini noti a sua
volta dipende, nel caso piu generale, sia da um che dal potenziale imposto V .
Sulla base delle considerazioni del paragrafo 5.2.1 il problema free elettrico
e immediatamente scritto come:
K0φΦ
free = Q0(V ) problema free elettrico (in Ωe) (5.10)
Nella (5.10) la matrice di rigidezza elettrica K0φ e associata alla configurazio-
ne indeformata del dominio elettrico, per cui puo essere calcolata una volta
nota la geometria iniziale dello stesso. Infatti:
K0φ = Kφ(um = 0) (5.11)
Nel corso dell’analisi dinamica, il sistema (5.10) viene risolto un’unica volta,
essendo il problema elettro-statico stazionario.
Si consideri ora la generica situazione deformata del dominio elettrico.
La matrice di rigidezza elettrica puo essere espressa come segue:
Kφ(um) = K0φ +∆Kφ(um) (5.12)
Allo stesso modo le cariche nodali:
Q(um, V ) = Q0(V ) + ∆Q(um, V ) (5.13)
5.2 Primo livello di decomposizione: contributifree e link 94
in cui ∆Kφ(um) e ∆Q(um, V ) sono le variazioni rispettivamente della ma-
trice di rigidezza e delle cariche nodali dovute alla deformazione del dominio
elettrico rispetto alla configurazione indeformata (0). Sostituendo le (5.2),
(5.12), (5.13) nella (5.9), si ottiene (omettendo le dipendenze delle grandezze
in gioco):
(
K0φ +∆Kφ
)(
Φfree +Φlink)
= Q0 +∆Q
Svolgendo il prodotto al primo membro:
(
K0φ +∆Kφ
)
Φlink +K0φΦ
free = Q0
︸ ︷︷ ︸
free
+∆Q−∆KφΦfree (5.14)
Tenendo conto del problema free (5.10), la (5.14) diventa:
(
K0φ +∆Kφ
︸ ︷︷ ︸
Kφ(um)
)
Φlink = ∆Q−∆KφΦfree
︸ ︷︷ ︸
∆Q
Kφ(um)Φlink = ∆Q in Ωe (5.15)
Nella (5.15) l’accoppiamento col problema meccanico e contenuto nella di-
pendenza della matrice Kφ dagli spostamenti meccanici imposti su Γ; nella
pratica tale matrice viene assemblata ad ogni iterazione sulla base degli spo-
stamenti nodali della mesh elettrica ue, ottenuti dalla risoluzione del pro-
blema pseudo-meccanico; il sistema (5.15) puo essere quindi scritto in modo
piu esplicito, come peraltro gia evidenziato al capitolo 3:
Kφ(ue(um))Φlink = ∆Q problema link elettrico (5.16)
La matrice ∆Kφ viene invece determinata come semplice differenza:
∆Kφ = Kφ −K0φ
Le (5.10) e (5.16) sono equivalenti al sistema (5.9).
5.2 Primo livello di decomposizione: contributifree e link 95
Figura 5.2: Decomposizione di 1 livello: problemi free e link.
La figura (5.2) mostra in maniera sintetica i problemi che devono essere
risolti con il nuovo algoritmo.
In figura (5.3), invece, si riporta il diagramma di flusso del nuovo al-
goritmo proposto. I pedici n e n + 1 si riferiscono all’istante temporale
rispettivamente precedente e attuale; i e l’indice di iterazione. I pedici m ed
e applicati ai vettori u sono necessari per distinguere gli spostamenti nodali
meccanici di Ωm da quelli elettrici di Ωe, questi ultimi determinati risolvendo
il problema pseudo-meccanico. Il vantaggio di un algoritmo di questo tipo
non risiede tanto nella riduzione della dimensione dei sistemi da risolvere
(nessuno dei due domini elettrico e meccanico sono infatti stati fisicamen-
te suddivisi; i sistemi che compaiono non solo sono dello stesso ordine di
quelli del metodo staggered, ma addirittura aumentano in numero), quanto
nella velocita di convergenza: adottando un ciclo iterativo riferito alle sole
correzioni link, anche di piu ordini di grandezza inferiori rispetto alle cor-
rispondenti quantita free, il numero di iterazioni necessarie per giungere a
convergenza diminuisce rispetto alla procedura di tipo staggered.
5.2 Primo livello di decomposizione: contributifree e link 96
Figura 5.3: Algoritmo di 1 livello: decomposizione secondo i due contributi
free e link.
5.3 Secondo livello di decomposizione: algoritmo GC applicato allarisoluzione del problema meccanico 97
Figura 5.4: Decomposizione della parte meccanica del problema di
riferimento.
5.3 Secondo livello di decomposizione: algoritmo
GC applicato alla risoluzione del problema mec-
canico
L’algoritmo di Gravouil e Combescure per la dinamica strutturale ([3]) di-
scusso nel capitolo 2 puo essere applicato alle due fasi di risoluzione del pro-
blema meccanico free e link (rispettivamente operazioni 2 e 6 dello schema
di figura (5.3)) della procedura proposta nel paragrafo 5.2.
Si consideri il dominio globale Ω costituito dai due domini rispetti-
vamente meccanico Ωm ed elettrico Ωe. Si immagini ora di suddividere
ulteriormente la parte meccanica in due sottodomini Ωm1 e Ωm2 (figura 5.4):
il problema meccanico e quindi ricondotto a due sottoproblemi associati ai
due sottodomini, a cui si aggiunge un problema di interfaccia.
5.3.1 Decomposizione del problema meccanico free
Con riferimento al passo 2 dello schema (5.3), il problema meccanico free e
dato da:
Mufreem = F in Ωm (5.17)
valido per l’intero dominio meccanico Ωm (le equazioni sono da intendersi
5.3 Secondo livello di decomposizione: algoritmo GC applicato allarisoluzione del problema meccanico 98
riferite all’istante tn+1). La matrice M e il vettore F hanno le espressioni
ottenute nella (5.5). Introducendo la decomposizione secondo l’algoritmo
GC, il sistema (5.17) viene sostituito dalle seguenti:
M1ufreem1 = F1 + LT
1 λfree in Ωm1
M2ufreem2 = F2 + LT
2 λfree in Ωm2
(5.18)
L’apice free e da riferirsi alla decomposizione di livello 1 (secondo le due fisi-
che). Si osserva nelle due equazioni di (5.18) la presenza a secondo membro
delle forze di interazione; LTj costituiscono gli operatori di interfaccia, cosı
come definiti nel paragrafo 2.4. Seguendo la strategia dell’algoritmo GC, la
soluzione puo essere espressa come somma di due contributi free e link :
ufreemj = u
free/freemj + u
free/linkmj j = 1, 2 (5.19)
I due termini della (5.19) si determinano risolvendo i corrispondenti sistemi
free e link :
Mjufree/freemj = Fj j = 1, 2
Mjufree/linkmj = LT
j λfree j = 1, 2
(5.20)
Per poter ottenere il secondo contributo dai sistemi costituiti dalla seconda
delle (5.20) e necessario determinare preliminarmente le forze di interfaccia
(moltiplicatori di Lagrange) risolvendo il corrispondente problema conden-
sato:
Hλfree = bfree (5.21)
dove H rappresenta l’operatore di condensazione definito nel modo seguente:
H =2∑
j=1
Lj(ajMj + bjKj)−1LT
j (5.22)
dove aj e bj sono due coefficienti dipendenti dallo schema di integrazione
adottato. Il termine noto bfree e dato da:
bfree = −2∑
j=1
Ljufree/freej (5.23)
5.3 Secondo livello di decomposizione: algoritmo GC applicato allarisoluzione del problema meccanico 99
Ovviamente la formulazione puo essere estesa al caso di decomposizione della
parte meccanica in Nm sottodomini; in questo caso, accanto a Nm sistemi
del tipo (5.20), occorre aggiugere nI problemi condensati all’interfaccia del
tipo (5.21), con nI numero delle interfacce fra i sottodomini meccanici.
I sistemi (5.20) e (5.21) sostituiscono il sistema monolitico (5.17). Lo
schema di figura 5.5 mostra come il passo 2 del diagramma di flusso (5.3)
possa essere risolto in maniera alternativa utilizzando appunto la decompo-
sizione della parte meccanica secondo l’algoritmo GC. E evidente in questo
caso che l’applicazione di tale algoritmo comporta la risoluzione di sistemi
di dimensione inferiore con conseguente risparmio di risorse computazionali.
Negli esempi del capitolo 5 verranno mostrati i risultati nel caso in cui quel
tipo di decomposizione sia applicata ad un problema che invece risulta ac-
coppiato.
5.3.2 Decomposizione del problema meccanico link
La decomposizione intesa alla maniera di Gravouil e Combescure puo essere
applicata anche per l’altro passo dell’algoritmo (5.3) che comporta la risolu-
zione di un problema meccanico, cioe il settimo. Il problema meccanico link
differisce dal corrispondente free affrontato al paragrafo 5.3.1 esclusivamente
per i carichi applicati (forze elettriche in luogo dei carichi esterni e dinamici)
e per il fatto che viene risolto ad ogni iterazione; nonostante queste diffe-
renze, la decomposizione introduce una serie di operazioni (alternative alla
risoluzione del sistema totale) che sono del tutto analoghe al caso free.
Si consideri il sistema risolto al passo 7 dell’algoritmo di 1 livello:
Mulinkm = f elec in Ωm (5.24)
Anche in questo caso il sistema (5.24) e riferito all’intero dominio meccanico
Ωm (si veda la figura 5.1). Considerando una suddivisione in N sottodomi-
ni, l’equilibrio puo essere scritto per ciascuno di essi introducendo anche il
contributo delle forze di interazione tra sottodomini meccanici, agenti all’in-
terfaccia:
Mjulinkmj
= f elecj +Λlinkj in Ωmj
, j = 1, . . . , Nm (5.25)
5.3 Secondo livello di decomposizione: algoritmo GC applicato allarisoluzione del problema meccanico 100
Figura 5.5: Decomposizione di 2 livello: schema di risoluzione del problema
free meccanico.
5.4 Terzo livello di decomposizione: metodo FETI applicato alproblema elettrico e pseudo-meccanico 101
I vettori Λlinkj , rappresentanti le forze di interazione del sottodominio j-
esimo, tengono conto dei contributi provienienti da tutte le interfacce tra
il sottodominio stesso e quelli adiacenti; nel caso piu generale infatti esse
possono essere piu d’una. La soluzione e considerata come somma di due
contributi:
ulinkmj
= ulink/freemj + u
link/linkmj j = 1, . . . , Nm (5.26)
I due termini vengono calcolati risolvendo, in ordine, i tre sistemi di seguito
riportati:
Problemi link/free : Mjulink/freemj = f elecj j = 1, . . . , Nm
Problemi di interfaccia link : Hiλlinki = blink
i i = 1, . . . , nI
Problemi link/link : Mjulink/linkmj = Λlink
j j = 1, . . . , Nm
(5.27)
La soluzione puo essere infine ricostruita tramite la (5.26). La figura 5.6
mostra le operazioni previste dalla decomposizione del problema meccanico
link, alternative alla risoluzione del sistema monolitico del passo 7 dell’algo-
ritmo di 1 livello.
5.4 Terzo livello di decomposizione: metodo FE-
TI applicato al problema elettrico e pseudo-
meccanico
Nei precedenti paragrafi e stato sviluppato, a partire dal metodo staggered
di cui si e discusso al capitolo 4, un algoritmo ottenuto introducendo diversi
livelli di decomposizione: secondo le fisiche (contributi free e link delle par-
ti elettrica e parte meccanica) e suddivisione della parte meccanica. Dopo
l’applicazione dell’algoritmo di Gravouil e Combescure al dominio Ωm, un
ulteriore passo avanti consiste nell’introduzione della decomposizione anche
per quei sottoproblemi dell’algoritmo (5.3) che devono essere risolti sul do-
5.4 Terzo livello di decomposizione: metodo FETI applicato alproblema elettrico e pseudo-meccanico 102
Figura 5.6: Decomposizione di 2 livello: schema di risoluzione del problema
link meccanico.
5.4 Terzo livello di decomposizione: metodo FETI applicato alproblema elettrico e pseudo-meccanico 103
Figura 5.7: Decomposizione della parte elettrica del problema di riferimento.
minio elettrico Ωe: problema elettrico free, problema pseudo-meccanico e
problema elettrico link (rispettivamente passi 1, 4 e 6 dell’algoritmo di de-
composizione di 1 livello); il primo e risolto una sola volta, i restanti ad
ogni iterazione. Come gia emerso nel capitolo 3, questi tre problemi sono
stazionari: e quindi naturale fare riferimento al metodo FETI ([1]) esposto
al capitolo 2 nel momento in cui si procede ad una partizione del dominio
elettrico.
Con riferimento al consueto dominio Ω costituito da una parte mec-
canica Ωm ed una elettrica Ωe, si supponga di suddividere la parte elettrica
in due sottodomini Ωe1 e Ωe2 (figura 5.7); l’estensione al caso di Ne parti
e comunque immediata. Si analizzano separatamente i due casi di proble-
ma elettrico e pseudo-meccanico, ai quali il metodo FETI viene applicato in
maniera leggermente diversa.
5.4.1 Metodo FETI applicato al problema pseudo-meccanico
Introduzione
Come discusso nel capitolo 3, l’accoppiamento elettro-meccanico si presenta
anche in termini di deformazione del dominio elettrico per gli spostamenti in-
dotti dalla parte meccanica attraverso l’interfaccia Γ tra le due parti. Si e vi-
sto che i modi per tenerne conto sono essenzialmente due: re-meshing e mesh
deformation. Nel primo caso si tratta di definire una nuova mesh ogni qual-
volta si verifichi uno spostamento dei nodi di interfaccia; il secondo metodo,
invece, tiene conto della deformazione della mesh del dominio elettrico. Con
5.4 Terzo livello di decomposizione: metodo FETI applicato alproblema elettrico e pseudo-meccanico 104
riferimento a quest’ultimo approccio il problema pseudo-meccanico consente
proprio di determinare gli spostamenti dei nodi della suddetta mesh.
Le caratteristiche del problema pseudo-meccanico sono gia state di-
scusse nel capitolo 3: si tratta di fatto di un problema meccanico fittizio,
risolto sul dominio elettrico, in cui sono assenti carichi esterni e nel quale
sono applicati esclusivamente dei cedimenti all’interfaccia Γ tra i domini Ωm
e Ωe. La risoluzione del problema pseudo-meccanico consente di determi-
nare gli spostamenti dei nodi della mesh elettrica e quindi di aggiornare le
coordinate nodali della stessa mesh per il calcolo della nuova Kφ.
Occorre sottolineare che il problema pseudo-meccanico viene risolto
in statica e soprattutto con riferimento alla configurazione indeformata del
dominio elettrico, per cui la corrispondente matrice di rigidezza Kelec viene
assemblata un’unica volta al di fuori del ciclo temporale dell’analisi dinami-
ca. Il problema pseudo-meccanico in forma monolitica, come si presenta al
passo 4 dell’algoritmo di 1 livello, risulta:
Kelecue = Fps in Ωe (5.28)
in cuiKelec e la matrice di rigidezza meccanica del dominio pseudo-meccanico,
Fps e un vettore di termini nulli, non essendo applicato alcun carico al domi-
nio Ωe2; infine, ue e il vettore degli spostamenti nodali della mesh elettrica.
Si ribadisce ancora una volta che la deformazione della parte elettrica non e
dovuta a carichi esterni ma a cedimenti che traducono l’azione degli sposta-
menti meccanici.
Formulazione del problema
Ora si consideri la suddivisione di Ωe nei due sottodomini Ω(1)e e Ω
(2)e . Si
immagini di aver introdotto preliminarmente una discretizzazione spaziale
per entrambi i sottodomini; la formulazione del metodo FETI, cosı come in-
trodotta nel paragrafo 2.3.3 consente di scrivere il seguente sistema in luogo
del (5.28):
2Ovviamente in seguito all’imposizione dei vincoli, costituiti dai cedimenti imposti, il
vettore avra dei termini diversi da zero; in questo modo dalla risoluzione del sistema (5.28)
si ottiene una soluzione diversa da quella nulla.
5.4 Terzo livello di decomposizione: metodo FETI applicato alproblema elettrico e pseudo-meccanico 105
K(1)elecu
(1)e = F
(1)ps +B
(1)T
ps Λps in Ω(1)e
K(2)elecu
(2)e = F
(2)ps +B
(2)T
ps Λps in Ω(2)e
B(1)ps u
(1)e +B
(2)ps u
(2)e = 0 su Γe
(5.29)
dove con Γe si e indicata l’interfaccia fra i due sottodomini pseudo-meccanici.
Il precedente e del tutto analogo al (2.36). Alcune osservazioni:
- i primi due sistemi di (5.29) esprimono l’equilibrio meccanico per i due
sottodomini Ω(1)e e Ω
(2)e pensati come separati;
- i moltiplicatori di Lagrange Λps rappresentano le forze di interazione
fra le due parti; il principio di azione-reazione garantisce che tali forze,
applicate ai due sottodomini, siano uguali ed opposte;
- il terzo sottosistema di (5.29) esprime la continuita degli spostamenti
all’interfaccia Γe fra i due sottodomini pseudo-meccanici;
- infine, le matrici booleane B(j)ps , con j = 1, 2, sono del tutto analoghe
a quelle definite al capitolo 2, consentono cioe il passaggio dai gradi
di liberta del singolo sottodominio a quelli di interfaccia e viceversa;
si sottolinea di nuovo che, nonostante sia risolto su dominio elettrico,
il problema e di tipo meccanico a cedimento imposto, pertanto a cia-
scun nodo corrisponde un numero di incognite pari alla dimensione del
problema (2D o 3D).
Nel capitolo 2 e stato introdotto il concetto di matrice pseudo-inversa per
quei casi in cui la particolare decomposizione adottata determini la forma-
zione di domini cosiddetti fluttuanti, cioe non sufficientemente o per niente
vincolati. Immaginando, come nell’esempio a due sottodomini del paragrafo
2.3.3, che il dominio Ω(2)e sia fluttuante, si invertono le prime due delle (5.29)
e si sostituiscono nella terza, avendo cura di sostituire l’inversa di K(2)elec con
la sua pseudo-inversa e di aggiungere il contributo dei modi rigidi:
u(1)e = K
(2)−1
elec (F(1)ps +B
(1)T
ps Λps) in Ω(1)e
u(2)e = K
(2)+
elec (F(2)ps +B
(2)T
ps Λps) +R(2)ps αps in Ω
(2)e
(B(1)ps K
(1)−1
elec B(1)T
ps +B(2)ps K
(2)+
elec B(2)T
ps )Λps =
= −(
B(1)ps K
(1)−1
elec F(1)ps +B
(2)ps (K
(2)+
elec F(2)ps +R
(2)ps αps)
) su Γe
(5.30)
5.4 Terzo livello di decomposizione: metodo FETI applicato alproblema elettrico e pseudo-meccanico 106
Accanto al sistema (5.30) occorre considerare l’ulteriore condizione di orto-
gonalita (2.43), adattata al problema pseudo-meccanico:
R(2)T
ps (F(2)ps +B(2)T
ps Λps) = 0 (5.31)
Dalla combinazione delle (5.30) e (5.31) si ottiene il seguente sistema, valido
per il caso di due sottodomini pseudo-meccanici:
u(1)e = K
(1)−1
elec (F(1)ps +B
(1)T
ps Λps)
u(2)e = K
(2)+
elec (F(2)ps +B
(2)T
ps Λps) +R(2)ps αps
[
(B(1)ps K
(1)−1
elec B(1)T
ps +B(2)ps K
(2)+
elec B(2)T
ps ) B(2)ps R
(2)ps
B(2)T
ps R(2)T
ps 0
][
Λps
αps
]
=
=
[
−(B(1)ps K
(1)−1
elec F(1)ps +B
(2)ps K
(2)+
elec F(2)ps )
−R(2)T
ps F(2)ps
]
(5.32)
Il sistema (5.32) e del tutto analogo al (2.44). Estendendo al caso generale
di N sottodomini di cui Nf fluttuanti, si ottiene il sistema analogo al (2.45):
u(s)e = K
(s)+
elec (F(s)ps +B
(s)T
ps Λps) +R(s)ps α
(s)ps s = 1, . . . , Ne
[
Sdps −Gps
−GTps 0
][
Λps
α3ps
]
=
[
dps
−e3ps
] (5.33)
in cui le quantita che compaiono nel (5.33) sono definite in modo analogo
alle (2.46-2.50), adattate al caso pseudo-meccanico.
La soluzione del problema pseudo-meccanico e ottenuta dapprima ri-
solvendo il problema di interfaccia (costituito dal secondo sottosistema delle
(5.33) e successivamente ricavando gli spostamenti nodali u(s)e attraverso le
prime equazioni dello stesso sistema.
Modi rigidi
La determinazione della matrice Rpss dei modi rigidi del sottodominio s puo
avvenire attraverso l’utilizzo del cosiddetto metodo geometrico-algebrico; es-
5.4 Terzo livello di decomposizione: metodo FETI applicato alproblema elettrico e pseudo-meccanico 107
so e stato proposto da Farhat e Geradin in [16] ed e valido per problemi di
meccanica strutturale, quale e appunto il problema pseudo-meccanico, pur
essendo risolto su dominio elettrico.
Il metodo distingue sottodomini privi di vincoli e arbitrariamente vincolati.
STRUTTURA PRIVA DI VINCOLI
Si consideri il generico sottodominio Ω(s)e della partizione e si immagini che
esso sia completamente fluttuante. Poiche si vogliono determinare i mo-
di rigidi, tale sottostruttura viene considerata rigida. Come e noto dalla
Meccanica Razionale, il numero di moti rigidi consentiti ad un solido in-
deformabile e pari rispettivamente a 3 o 6, a seconda che il problema sia
bidimensionale o tridimensionale. La Meccanica Razionale suggerisce anche
il cosiddetto teorema di composizione delle velocita che, per il caso 2D, ri-
sulta (si consideri contemporaneamente la figura 5.8):
uM
vM
ωM
=
1 0 −(yM − yO)
0 1 (xM − xO)
0 0 1
α1
α2
α3
(5.34)
in cui:
- uM , vM , ωM rappresentano rispettivamente le velocita in direzione x e
y e la velocita angolare nel generico punto M(xM , yM ) di Ωs;
- α1, α2, α3 sono invece le velocita in direzione x e y e la velocita angolare
di un punto O(xO, yO) di riferimento della sottostruttura.
In forma compatta la (5.34) puo scriversi:
vM = RMα(s) (5.35)
Le relazioni (5.35) possono essere scritte per tutti i nodi N(s)n della mesh
della sottostruttura Ω(s)e ; si definisce quindi il vettore globale delle velocita
dei nodi stessi:
v3(s)ps = R3(s)
ps α(s)ps (5.36)
dove:
5.4 Terzo livello di decomposizione: metodo FETI applicato alproblema elettrico e pseudo-meccanico 108
Figura 5.8: Teorema di composizione della velocita.
R3(s)ps = [R1, . . . , RN
(s)n
]T (5.37)
v3(s)ps = [v1, . . . ,vN
(s)n
]T (5.38)
α(s)ps = [α1, α2, α3]
T (5.39)
STRUTTURA VINCOLATA IN MODO ARBITRARIO
Si consideri la generica sottostruttura Ω(s)e vincolata in modo arbitrario; in-
dicando con nT e nV rispettivamente il numero totale dei gradi di liberta
associati agli N(s)n nodi della mesh ed il numero di quelli vincolati, si defini-
sce la seguente matrice di dimensioni nT × nV :
E(s)ps = [e1, . . . , enV
] (5.40)
in cui ei e il vettore booleano associato al grado di liberta vincolato i-esimo,
costituito da zeri e da un termine unitario in corrispondenza della posizione
i-esima:
ei = [0, . . . , 0, 1, 0, . . . , 0]T (5.41)
Occorre valutare nel caso generale se alla struttura sono consentiti moti ri-
gidi oppure se e sufficientemente vincolata da evitarli; in pratica, si tratta
di determinare l’eventuale presenza di moti ad energia nulla. Si definisce la
5.4 Terzo livello di decomposizione: metodo FETI applicato alproblema elettrico e pseudo-meccanico 109
seguente matrice:
Z(s)ps = E(s)T
ps R3(s)ps (5.42)
di dimensioni nV × 3 nel caso di problema bidimensionale (come si assume
da questo momento in poi). L’operazione (5.42) estrae le righe di R3(s)ps cor-
rispondenti ai gradi di liberta vincolati. Si considera quindi il sistema:
Z(s)ps α
(s)ps = 0 (5.43)
Possono verificarsi due casi distinti:
- sottostruttura ben vincolata: la matrice Z(s)ps e non-singolare, di conse-
guenza l’unica soluzione del sistema (5.43) e α(s)ps = 0; alla sottostrut-
tura non sono consentiti moti rigidi;
- sottostruttura non vincolata: data la singolarita della matrice Z(s)ps ,
essendo il sistema (5.43) omogeneo, esso ammette sempre almeno una
soluzione; in particolare esistono ∞l(s) soluzioni, in cui l(s) rappresenta
il rango di Z(s)ps e, quindi, il numero di modi rigidi consentiti.
Come suggerisce l’Algebra Lineare, attraverso la decomposizione ai valori
singolari della matrice Z(s)ps e possibile ricavare il numero di modi rigidi:
Z(s)ps = USVT (5.44)
in cui:
- U e una matrice ortogonale di dimensione nV × nV ;
- V e una matrice ortogonale di dimensione 3× 3 (caso 2D);
- S e una matrice diagonale di dimensione nV × 3 avente lo stesso rango
di Z(s)ps ; in particolare essa ha tutti valori nulli a meno di quelli sulla
diagonale, maggiori o uguali a zero (autovalori).
Il passo successivo consiste nella determinazione degli l(s) vettori linearmente
indipendenti α(s)k (autovettori), con k = 1, . . . , l(s), che soddisfano il sistema
5.4 Terzo livello di decomposizione: metodo FETI applicato alproblema elettrico e pseudo-meccanico 110
(5.43) nel caso di struttura mal vincolata. In particolar modo, essi rappre-
sentano il nucleo della matrice Z(s), secondo la definizione data nel capitolo
2. Una volta noti questi vettori, e possibile risalire agli spostamenti dei nodi
dell’intera mesh del sottodominio attraverso il teorema (5.34).
Si definisce la seguente matrice, di dimensioni 3× l(s) che raccoglie i vettori
α(s)k :
Q(s)ps = [α
(s)1 , . . . ,α
(s)
l(s)] (5.45)
Si risale infine al vettore dei modi rigidi effettivo della sottostruttura, a
partire dalla matrice definita dalla (5.37) e ottenuta ipotizzando in via pre-
liminare che lo stesso sottodominio fosse non vincolato:
R(s)ps = R3(s)
ps Q(s)ps (5.46)
Risoluzione del problema di interfaccia
Una volta determinate le matrici dei modi rigidi, e possibile risolvere il pro-
blema di interfaccia costituito dal secondo sottosistema delle (5.33). Come
gia esposto al paragrafo 2.3.3, le potenzialita dei metodi di decomposizione
dei domini sono esaltate dall’utilizzo di procedure di tipo iterativo per la
risoluzione del suddetto problema di interfaccia, che consentono di evitare
l’inversione del complemento duale di Schur. Nei codici implementati (ap-
pendice D) si e utilizzato il metodo del gradiente coniugato precondizionato;
si rimanda ancora una volta all’appendice A per approfondimento.3
In figura 5.9 e riportato la schema delle operazioni da effettuare per la riso-
luzione del problema pseudo-meccanico con il metodo FETI.
3In ambiente Matlab e disponibile una funzione che risolve sistemi lineari classici del tipo
Ax = b proprio attraverso il metodo del gradiente coniugato precondizionato: pcg.mat.
5.4 Terzo livello di decomposizione: metodo FETI applicato alproblema elettrico e pseudo-meccanico 111
Figura 5.9: Decomposizione di 3 livello: schema di risoluzione del problema
pseudo-meccanico.
5.4 Terzo livello di decomposizione: metodo FETI applicato alproblema elettrico e pseudo-meccanico 112
5.4.2 Metodo FETI applicato al problema elettrico
Introduzione
Nell’algoritmo di 1 livello (5.2) i problemi elettrici free e link vengono risolti
rispettivamente nei passi 1 e 6; essi consentono di ricavare la distribuzione di
potenziale nella situazione di dominio elettrico indeformato e la correzione
dovuta alla deformazione del dominio elettrico stesso:
K0φΦ
free = Q0 problema free elettrico (in Ωe)
KφΦlink = ∆Q problema link elettrico (in Ωe)
(5.47)
Nel seguito, per la formulazione dell’algoritmo, si fara riferimento, in luogo
dei due (5.47), al generico problema elettrico KφΦ = Q; ovviamente la
procedura ottenuta potra essere utilizzata anche per i sistemi (5.47), che a
quel caso generale si riconducono.
Formulazione del problema
Si consideri di nuovo la partizione del dominio elettrico di figura 5.7. Es-
sendo stato proposto originariamente per problemi strettamente meccanici
([1]), occorre innanzitutto comprendere come il metodo FETI possa essere
esteso al problema elettrico; a tale scopo e necessario tenere in considerazio-
ne l’analogia fra le grandezze in gioco nei due tipi di problemi. Tralasciando
anche in questo caso la derivazione delle equazioni che governano il problema
decomposto, gia trattata nel paragrafo 2.3.3, il sistema a cui si giunge a valle
dell’introduzione di una discretizzazione spaziale per entrambi i sottodomini
elettrici e il seguente:
K(1)φ Φ(1) = Q(1) +B
(1)T
el Λel in Ω(1)e
K(2)φ Φ(2) = Q(2) +B
(2)T
el Λel in Ω(2)e
B(1)el Φ
(1) +B(2)el Φ
(2) = 0 su Γe
(5.48)
Alcune osservazioni:
- i primi due sistemi di (5.48) esprimono l’equilibrio elettrico per i due
sottodomini Ω(1)e e Ω
(2)e pensati come a se stanti;
- i moltiplicatori di Lagrange Λel, diversamente dal problema pseudo-
meccanico, hanno qui il significato fisico di cariche di interfaccia fra
5.4 Terzo livello di decomposizione: metodo FETI applicato alproblema elettrico e pseudo-meccanico 113
i due sottodomini; per analogia col problema meccanico, un principio
di azione-reazione di tipo elettrico impone che quelle cariche debbano
essere complessivamente nulle su Γe (condizione che anche le forze di
interazione dovevano soddisfare nella versione originaria del FETI);
- un altro aspetto, di cui occorre tener conto, e la continuita del poten-
ziale, grandezza analoga agli spostamenti, attraverso l’interfaccia Γe;
tale condizione e espressa dalla terza di (5.48);
- le matrici booleane B(j)el , con j = 1, 2, pur mantenendo la loro con-
sueta funzione legata al passaggio dalla numerazione del sottodominio
a quella dell’interfaccia e viceversa, differiscono dalle B(j)ps del pseudo-
meccanico. Nel problema elettrico infatti ad ogni nodo e associata
un’unica incognita (il potenziale appunto), in luogo dei due sposta-
menti del caso meccanico 2D.
Il concetto di pseudo-inversa introdotto nel paragrafo 2.3.3 e estendi-
bile anche alla matrice di rigidezza elettrica di un sottodominio fluttuante.
Quest’ultimo concetto puo essere esportato, forse in modo un po’ astratto,
anche al problema elettrico: cosı come nel caso meccanico l’assenza di vin-
colo coincide con la mancata assegnazione di spostamenti sul contorno del
sottodominio, allo stesso modo nel caso elettrico si considerera fluttuante
quella parte sul cui contorno non e imposto alcun potenziale. Immaginando
quindi, come nell’esempio a due sottodomini del paragrafo 2.3.3, che il domi-
nio Ω(2)e sia fluttuante, si invertono le prime due delle (5.48) e si sostituiscono
nella terza:
Φ(1) = K(1)−1
φ (Q(1) +B(1)T
el Λe) in Ω(1)e
Φ(2) = K(2)+
φ (Q(2) +B(2)T
el Λel) +R(2)el αel in Ω
(2)e
(B(1)el K
(1)−1
φ B(1)T
el +B(2)el K
(2)+
φ B(2)T
el )Λel =
= −(
B(1)el K
(1)−1
φ Q(1) +B(2)el (K
(2)+
φ Q(2) +R(2)el αel)
) su Γe
(5.49)
Nel sistema (5.49) e stata introdotta la matrice pseudo-inversa K(2)+
φ ed il
contributo dei modi rigidi, racchiusi nel vettore R(2)el e combinati attraverso
il vettore αel, analogamente al caso meccanico4.
Il sistema risolvente il problema elettrico decomposto in Ne sottodomini di
4Tale modifica e stata aggiunta per semplice analogia con il problema meccanico; si
esploreranno nei paragrafi seguenti i veri significati delle quantita in gioco.
5.4 Terzo livello di decomposizione: metodo FETI applicato alproblema elettrico e pseudo-meccanico 114
cui alcuni fluttuanti e quindi:
Φ(s) = K(s)+
φ (Q(s) +B(s)T
el Λel) +R(s)el α
(s)el s = 1, . . . , Ne
[
Sdel −Gel
−GTel 0
][
Λel
α3
el
]
=
[
del
−e3el
] (5.50)
Formalmente il problema elettrico decomposto tramite FETI e del tutto
analogo al caso meccanico. La differenza sostanziale fra i due casi risiede
pero nel significato assunto dai modi rigidi.
Modi rigidi
La ricerca della matrice R(s)el dei modi rigidi elettrici puo avvenire tenendo
conto di alcune considerazioni derivanti dall’analogia fra problema meccanico
e problema elettrico:
- cosı come i modi rigidi meccanici sono caratterizzati da energia di de-
formazione nulla, tale deve essere anche l’energia elettrica; questa con-
dizione traduce l’assenza di deformazione nel caso meccanico mentre
nel caso elettrico l’annullarsi del campo elettrostatico;
- una seconda analogia riguarda le incognite dei due problemi: se da
una parte i modi rigidi meccanici consentiti (nel caso 2D) sono le due
traslazioni in x e y e la rotazione ω, allo stesso modo nel caso elettrico
la situazione di modo rigido coincide con quella di potenziale ovunque
costante sul sottodominio (il potenziale costante non produce alcun
campo elettrico, che quindi rimane nullo);
- se nel problema meccanico bidimensionale sono possibili tutti casi in-
termedi tra quelli limite, costituiti da numero massimo di modi rigidi
consentiti, pari a 3, e da struttura ben vincolata con nessuna possibi-
lita di muoversi rigidamente, nel caso elettrico si possono presentare
unicamente le due situazioni di sottodominio vincolato (quando su una
parte del suo contorno e assegnato il potenziale) o fluttuante (non e
imposto alcun vincolo sul potenziale); non sussistono in questo caso
situazioni intermedie.
Guardando di nuovo al problema meccanico, si cerca per il caso elettri-
co una relazione analoga al teorema (5.34); si consideri un nodo O(xO, yO)
5.4 Terzo livello di decomposizione: metodo FETI applicato alproblema elettrico e pseudo-meccanico 115
della mesh del sottodominio elettrico fluttuante Ω(s)e ; tale nodo e assunto
come riferimento e ad esso e associato un potenziale αO. Considerando l’i-
potesi di sottodominio elettricamente rigido (definizione data in base alle
considerazioni precedenti), il potenziale nel generico nodo M(xM , yM ) della
stessa mesh si puo scrivere come:
φM = αO (5.51)
cioe il potenziale, unica incognita nodale, e lo stesso per tutti i nodi della
mesh. Allora la (5.51) e analoga alla scrittura compatta (5.35), con RM = 1.
Si definisce il vettore globale dei potenziali degli N(s)n della mesh, come fatto
nella (5.36):
Φ3(s) = R3(s)el α(s) (5.52)
in cui
Φ3(s) = [φ1, . . . , φN(s)n
]T (5.53)
R3(s)el = [1, 1, . . . , 1, 1]T (5.54)
α(s) = αO (5.55)
L’analogia con il problema puramente meccanico ha consentito di giungere
alle precedenti relazioni. Valgono in particolar modo le considerazioni che
seguono:
- nella situazione in cui il sottodominio e vincolato (potenziale imposto
ad almeno uno dei nodi della mesh) la soluzione viene determinata
tramite la prima delle (5.50) una volta noti i moltiplicatori di Lagrange;
in questo caso non e presente il termine legato ai modi rigidi;
- se invece il dominio e fluttuante (da un punto di vista elettrico) si
osserva, sempre nella (5.50), che il secondo termine e dato da un vettore
di costanti uguali; cio significa che la soluzione in termini di potenziale
e ricostruita sommando ad una distribuzione di potenziale ‘locale’, data
dal primo contributo, un valore costante.
5.4 Terzo livello di decomposizione: metodo FETI applicato alproblema elettrico e pseudo-meccanico 116
Figura 5.10: Decomposizione di 3 livello: schema di risoluzione del problema
elettrico free.
Le figure (5.10) e (5.11) riportano i diagrammi di flusso riguardanti
rispettivamente la risoluzione del problema elettrico free e link con l’intro-
duzione del metodo FETI.
Nel presente capitolo si e giunti ad una sintesi dei due macro-argomenti
trattati nei primi due capitoli, cioe la decomposizione dei domini ed il proble-
ma elettro-meccanico. In particolare e stato ottenuto per gradi un algoritmo
che prevedesse l’applicazione di quei metodi nella risoluzione dei sistemi del
problema elettro-meccanico.
Il prossimo capitolo e dedicato ad analisi effettuate con i codici realizzati
ad hoc: verranno innanzitutto considerati alcuni casi prova caratterizzati
da geometria semplice e da maggiore governabilita, dopodiche si passera ad
analizzare problemi piu complessi; verranno pero sempre messi in eviden-
za i guadagni in termini di tempo di calcolo che comporta l’introduzione
5.4 Terzo livello di decomposizione: metodo FETI applicato alproblema elettrico e pseudo-meccanico 117
Figura 5.11: Decomposizione di 3 livello: schema di risoluzione del problema
elettrico link.
5.4 Terzo livello di decomposizione: metodo FETI applicato alproblema elettrico e pseudo-meccanico 118
della decomposizione nei confronti della piu tradizionale procedura di tipo
staggered.
La figura 5.12 riporta uno schema riassuntivo dei livelli di decomposi-
zione che sono stati introdotti a partire dall’algoritmo staggered. I problemi
free e link sono da intendersi risolti su ogni sottodominio della suddivisione.
5.4 Terzo livello di decomposizione: metodo FETI applicato alproblema elettrico e pseudo-meccanico 119
Figura 5.12: Schema riassuntivo dei livelli di decomposizione introdotti.
Capitolo 6
Applicazioni
6.1 Introduzione
Nel presente capitolo si studiano semplici esempi di problema elettro-meccani-
co, utilizzando gli algoritmi discussi nei capitoli precedenti: in particolare,
si fara riferimento da una parte alla procedura staggered, di dimostrata vali-
dita, e dall’altra ai nuovi algoritmi proposti nel capitolo 4 (decomposizione).
Per poter effettuare queste analisi sono stati realizzati dei codici in Matlabr
dei diversi algoritmi in versione 2D, al fine di ottenere in modo immediato un
confronto, sia in termini di soluzione che di tempi di calcolo, fra i vari meto-
di (l’attenzione e volta soprattutto al secondo aspetto, oltre che ovviamente
alla validazione degli algoritmi di decomposizione).
L’implementazione dei codici e stata necessaria poiche gli algoritmi
proposti sono di nuova concezione; i programmi realizzati ad hoc hanno
rappresentato quindi un primo strumento di convalida di cio che e stato
affermato e proposto nei capitoli precedenti, nonche un punto di partenza
per eventuali studi futuri.
Sono stati realizzati i seguenti tipi di codice:
- codice 0: staggered;
- codice 1: decomposizione di 1 livello (o semplice);
- codice 2: decomposizione di 2 livello (o doppia, con l’aggiunta della
decomposizione meccanica);
- codice 3: decomposizione di 3 livello (o tripla, con l’ulteriore e defini-
tiva introduzione della decomposizione della parte elettrica).
120
6.2 Casi prova 121
Figura 6.1: Microbridge (a) e Comb Drive (b).
La realizzazione del codice 3 ha preso spunto dal codice FETI di secondo
ordine realizzato in [17] per l’analisi di piastre: le subroutines sviluppate in
[17] sono state adattate sia al problema pseudo-meccanico che, soprattutto,
a quello elettrico.
Nelle analisi che seguono verranno considerati elementi finiti di tipo
CST: la scelta e ricaduta su questo tipo di elementi per la loro semplicita
e praticita, con la consapevolezza che la loro poverta richiede un maggior
grado di raffinamenti della mesh. I codici implementati sono comunque im-
postati in modo tale da consentire l’aggiunta di altre tipologie di elementi.
6.2 Casi prova
Per validare i codici implementati si considerano innanzitutto due problemi
a geometria semplice. La scelta di questi due esempi non e casuale. Come gia
affermato nei capitoli precedenti, il problema elettro-meccanico trova appli-
cazione nei cosiddetti MEMS (Micro Sistemi Elettro-Meccanici); nonostante
questi siano in genere caratterizzati da geometrie piu o meno complesse,
gli elementi costruttivi base di quei dispositivi possono essere realisticamen-
te ricondotti agli schemi elementari di trave doppiamente incastrata (figura
6.1.a) e di mensola (figura 6.1.b).
6.2.1 Trave a doppio incastro
Il primo modello analizzato e quello della trave doppiamente incastrata. In
figura 6.2 si riporta la geometria dell’esempio, mentre nelle tabelle 6.1 e
6.2 Casi prova 122
Figura 6.2: Geometria del primo caso prova.
6.2 le caratteristiche dei materiali e i parametri dell’analisi dinamica. Ana-
logamente agli esempi proposti nei capitoli precedenti per la formulazione
dell’accoppiamento elettro-meccanico e degli algoritmi di risoluzione, anche
in questo caso viene applicata una differenza di potenziale V fra un elettrodo
fisso ed uno deformabile (la trave) separati da un gap costituito da aria. Il
voltaggio imposto V e costante nel corso di tutta l’analisi dinamica (anda-
mento secondo la funzione di Heaviside) e pari a 30 Volt; e inoltre assente
lo smorzamento: si studiano quindi le oscillazioni della struttura, tenendo
conto dell’analogia con il caso di forzante meccanica applicata all’istante ini-
ziale t = 0 e mantenuta costante, in cui la risposta del sistema e ben nota.
Data la simmetria del problema, l’analisi si concentra su meta trave, con
Parte meccanica (elettrodo deformabile)
Proprieta Simbolo Valore Unita
Modulo elastico E 1011 Pa
Densita ρ 2330 kg/m3
Coefficiente di Poisson ν 0.3 -
Parte elettrica (gap di aria)
Permittivita elettrica ε0 8.854 · 10−12 C2/N ·m2
Tabella 6.1: Proprieta dei materiali delle parti meccanica ed elettrica.
l’introduzione di un vincolo pattino a pattino per tener conto dell’altra meta
mancante; la mesh utilizzata nelle analisi che seguono, realizzata con il pro-
gramma GiDr ([52]), e riportata in figura 6.3.
6.2 Casi prova 123
Parametri di Newmark β 0.25 -
(schema di integrazione implicito) γ 0.50 -
Passo temporale ∆t 10−9 sec
Tempo totale ttot 5 · 10−6 sec
Tabella 6.2: Parametri dell’analisi dinamica.
Figura 6.3: Mesh di riferimento.
Soluzione staggered
Innanzitutto e necessario confrontare la soluzione ottenuta con il codice stag-
gered, che rappresenta il riferimento per le soluzioni degli algoritmi successivi,
con quella ottenuta tramite codice commerciale Comsolr ([53]). Si assume
come parametro di confronto la massima freccia della trave (spostamento
verticale del nodo 1 di figura 6.3): se ne riporta l’andamento nella figura
6.4, in cui vengono messi a confronto i risultati ottenuti col codice 0 e con
Comsol. I due andamenti sono praticamente quasi sovrapposti.
Una seconda verifica consiste nel confrontare il valore medio delle oscillazio-
ni con la soluzione statica; si prevede infatti che il nodo considerato oscilli
all’incirca intorno alla sua posizione di equilibrio statico. I due valori sono
riportati nella tabella 6.3, in cui si e indicato con umedio il valore medio del-
le oscillazioni e con ustatico la soluzione statica: i due valori sono del tutto
confrontabili (a meno di effetti dinamici).
6.2 Casi prova 124
Figura 6.4: Confronto della soluzione staggered con quella ottenuta con il
programma Comsol.
Soluzione statica ustatico −1.72309 · 10−3 µm
Valore medio delle oscillazioni umedio −1.70357 · 10−3 µm
Errore 1.13%
Tabella 6.3: Confronto con la soluzione statica.
Un ulteriore confronto puo essere effettuato fra il periodo proprio della
struttura e i risultati numerici dedotti dalla figura 6.4, ottenuti calcolando la
distanza fra picchi adiacenti. La figura 6.5 riporta il primo modo di vibrare
della trave, di tipo flessionale; il periodo corrispondente puo essere valuta-
to a valle della risoluzione di un problema di autovalori (qui effettuata con
pdetool di Matlab). Esso risulta:
ω1 =√
λ1 = 6.066 · 106rad/sec
T1 =2π
ω1= 1.036 · 10−6sec
La tabella 6.4 riporta i valori del periodo ricavati dall’analisi effettuata col
6.2 Casi prova 125
Figura 6.5: 1 modo di vibrare della trave doppiamente incastrata.
Coordinate dei punti di picco
Picchi 1 2 3 4 5
t [10−6 · sec] 0.503 1.478 2.463 3.471 4.440
u [10−3 · µm] −3.4637 −3.4914 −3.4470 −3.4781 −3.4756
Periodo di oscillazione
Intervalli 1-2 2-3 3-4 4-5
Periodo [10−6 · sec] 0.975 0.985 1.008 0.969
Tabella 6.4: Periodo di oscillazione ottenuto dalla simulazione numerica.
codice 0. Si osserva che i valori ottenuti sono del tutto confrontabili con
quello teorico.
I confronti precedenti di fatto provano che la soluzione ottenuta con il
codice 0 corrisponde a quella dell’algoritmo (staggered). Essa costituisce la
soluzione di riferimento per i risultati ottenuti con gli algoritmi di decompo-
sizione che verranno mostrati nei paragrafi seguenti.
6.2 Casi prova 126
Decomposizione di 1 livello: confronto con la soluzione staggered
Il problema della trave a doppio incastro viene ora analizzato utilizzando il
codice 1 (decomposizione semplice). I dati riguardanti geometria, materiali e
dinamica sono quelli di riferimento per l’intero esempio della trave a doppio
incastro.
Il confronto viene qui effettuato in termini sia di freccia del nodo 1
del dominio meccanico, che di potenziale del nodo 2 del dominio elettrico
(figura 6.3), di coordinate rispettivamente (60µm; 4µm) e (60µm; 2µm).
Le figure 6.6 e 6.7 riportano gli andamenti dei due parametri di confronto
valutati con i due diversi codici. Si osserva che le soluzioni ottenute, sia in
termini di spostamento che di potenziale, sono perfettamente sovrapposte:
l’algoritmo di decomposizione di 1 livello fornisce quindi la stessa soluzione
dell’algoritmo staggered. La perfetta corrispondenza fra i due algoritmi puo
essere dimostrata anche attraverso il confronto di altre grandezze in gioco,
come il campo elettrico nella parte elettrica o gli sforzi in quella meccanica.
Si riportano i confronti fra le seguenti grandezze, i cui andamenti sono stati
ottenuti coi due codici 0 e 1:
- spostamenti in direzione x (figura 6.9);
- spostamenti in direzione y (figura 6.10);
- sforzi σx (figura 6.11);
- sforzi σy (figura 6.12);
- sforzi τxy (figura 6.13);
- andamento del potenziale elettrico (figura 6.14);
- andamento del campo elettrico in direzione x (figura 6.15);
- andamento del campo elettrico in direzione y (figura 6.16);
Queste quantita sono riferite all’istante t = 0.5 · 10−6 sec, in corrispondenza
del primo picco. Data la simmetria del problema, le deformate e i contour
plot sono relativi solo alla meta sinistra della struttura (in figura 6.8 si mo-
stra comunque l’andamento qualitativo della deformata dell’intera trave).
Dalle figure 6.9-6.16 emerge che le grandezze calcolate coi due diversi algo-
ritmi sono del tutto coincidenti.
6.2 Casi prova 127
Figura 6.6: Confronto della freccia massima ottenuta con codici 0 e 1.
Figura 6.7: Confronto del potenziale di riferimento ottenuto con codici 0 e
1.
6.2 Casi prova 128
Figura 6.8: Deformata qualitativa della trave a doppio incastro.
Avendo utilizzato elementi CST, le deformazioni (e quindi gli sforzi) e
i campi elettrici risultano costanti sul singolo elemento finito; i valori ottenu-
ti sono stati interpolati linearmente (tramite la funzione pdeprtni di Matlab
che consente di ottenere un andamento continuo e non a scalini di quelle
quantita).
Si confrontano a questo punto i tempi di analisi; essi sono stati valutati
sulla stessa unita di calcolo e sotto le medesime condizioni. La tabella 6.5
mostra i tempi che sono stati necessari per l’analisi di tipo staggered e con al-
goritmo di 1 livello, ricordando che il tempo totale e pari a ttot = 5 ·10−6sec
ed il passo adottato ∆t = 10−9sec.
Algoritmo Tempo di analisi
Staggered 100160 sec
Decomp. 1livello 77616 sec
Guadagno [-] −22.51%
Tabella 6.5: Confronto dei tempi analisi staggered -decomposizione 1livello.
A parita di condizioni (geometria, materiali, parametri dinamici, elaborato-
re, . . . ) e di soluzioni, l’algoritmo di decomposizione di 1 livello presenta
un vantaggio computazionale consistente nei confronti della procedura
staggered e, a maggior ragione, di quella monolitica (come messo in evidenza
nell’esempio 1D del capitolo 3). Come accennato nel capitolo 4, la ragione
di tale risparmio di tempo risiede essenzialmente nella maggiore velocita di
convergenza del nuovo algoritmo: infatti, il ciclo iterativo riguarda le sole
6.2 Casi prova 129
Figura 6.9: Confronto degli spostamenti in direzione x (spostamenti in µm).
6.2 Casi prova 130
Figura 6.10: Confronto degli spostamenti in direzione y (spostamenti in µm).
6.2 Casi prova 131
Figura 6.11: Confronto degli sforzi σx (in N/m2).
6.2 Casi prova 132
Figura 6.12: Confronto degli sforzi σy (in N/m2).
6.2 Casi prova 133
Figura 6.13: Confronto degli sforzi τxy (in N/m2).
6.2 Casi prova 134
Figura 6.14: Confronto del potenziale (in V olt).
6.2 Casi prova 135
Figura 6.15: Confronto del campo elettrico in direzione x (in V/m).
6.2 Casi prova 136
Figura 6.16: Confronto del campo elettrico in direzione y (in V/m).
6.2 Casi prova 137
Figura 6.17: Suddivisione del dominio meccanico in 2 sottodomini.
correzioni link degli spostamenti e dei potenziali, inferiori anche di piu ordini
di grandezza rispetto alle corrispondenti quantita free.
Decomposizione di 2 livello: confronto con la soluzione staggered
Nel presente paragrafo si mostrano i risultati ottenuti introducendo la de-
composizione della parte meccanica. Si considera, in primo luogo, una di-
visione in due sottodomini 1 (figura 6.17). Si riportano nelle figure 6.18 e
6.19 i confronti effettuati sui due valori di freccia massima e di potenziale
intermedio (associati ai consueti nodi 1 e 2, figura 6.17), ottenuti con l’al-
goritmo di decomposizione di 2 livello e con la procedura staggered. Dai
grafici si osserva che gli andamenti di quei due parametri sono coincidenti.
L’algoritmo con decomposizione di 2 livello (dec.semplice + dec.meccanica)
fornisce quindi la stessa soluzione della procedura staggered di riferimento.
I grafici di figura 6.20 riportano il confronto fra lo spostamento e la
velocita verticali di un nodo di interfaccia (nodo 3 di figura 6.17), conside-
rato come appartenente ai sottodomini 1 e 2 rispettivamente. Si osserva che
i due andamenti sono pressoche sovrapposti, per cui la continuita degli spo-
stamenti e delle velocita e verificata. In particolare, si osserva che la velocita
si annulla in corrispondenza dei picchi di spostamento, quando cioe cambia
il verso dello stesso spostamento; risulta, invece, massima quando lo spo-
1Si ricorda che il problema della trave doppiamente incastrata e stato studiato per
meta, data la simmetria della struttura; quindi la suddivisione riguarda solo meta trave.
6.2 Casi prova 138
Figura 6.18: Confronto della freccia massima ottenuta con codici 0 e 2.
Figura 6.19: Confronto del potenziale di riferimento ottenuto con codici 0 e
2.
6.2 Casi prova 139
stamento e nullo, cioe quando il dispositivo ritorna nella sua configurazione
indeformata durante il suo moto oscillatorio.
Il confronto fra i tempi di analisi e riportato in tabella 6.6. Si os-
serva che l’introduzione della decomposizione meccanica (due sottodomini)
comporta un vantaggio in termini di tempo di analisi leggermente maggiore
rispetto alla sola decomposizione di 1 livello (2% circa in piu di guadagno).
Algoritmo Tempo di analisi
Staggered 100160 sec
Decomp. 2livello (2 Sd) 76024 sec
Guadagno [-] −24.10%
Tabella 6.6: Confronto dei tempi analisi staggered -decomposizione 2livello
(2 sottodomini).
Si considerino ora i casi di suddivisione del dominio meccanico in 3
e 4 sottodomini uguali, ottenute attraverso una partizione verticale dello
stesso. Tralasciando gli andamenti della freccia massima e del potenziale
di riferimento, che risultano anche per questi casi sovrapposti alla soluzio-
ne staggered, si riportano in figura 6.21 i tempi di analisi corrispondenti ai
diversi casi. L’analisi e stata effettuata su un tempo ridotto (10−6 sec in
luogo di 5 · 10−6 sec). Si osserva dalla figura 6.21 che il tempo di analisi non
subisce modifiche sostanziali all’aumentare del numero di sottodomini mec-
canici. L’introduzione della decomposizione meccanica in questo esempio,
quindi, non produce vantaggi apprezzabili a livello computazionale: i risul-
tati ottenuti sono, infatti, riferiti alla mesh di figura 6.3 uniformemente fitta,
per la quale la risoluzione del problema elettrico ha un peso maggiore in ter-
mini di onere di calcolo, essendo appunto la parte elettrica piu estesa. Ci si
aspetta quindi che i tempi di analisi subiscano una riduzione consistente con
l’introduzione del 3 livello di decomposizione (della parte elettrica), come
peraltro verra messo in evidenza al paragrafo successivo. Nel caso analizza-
to al paragrafo 6.3.2 si mettera in evidenza, inoltre, come la decomposizione
meccanica sia vantaggiosa nel caso, non raro, in cui la mesh elettrica sia piu
rada rispetto a quella meccanica.
6.2 Casi prova 140
Figura 6.20: Spostamenti e velocita del nodo 3 di interfaccia fra i domini 1
e 2.
6.2 Casi prova 141
Figura 6.21: Confronto dei tempi di analisi con diverso numero di
sottodomini meccanici.
Decomposizione di 3 livello: confronto con la soluzione staggered
Si introduce infine la decomposizione del dominio elettrico, che si aggiunge
alla precedente suddivisione della parte meccanica in due sottodomini, se-
condo l’algoritmo di decomposizione di 3 livello presentato al capitolo 5. Si
consideri inizialmente la suddivisione del dominio elettrico in quattro par-
ti, mostrata in figura 6.22. Ancora una volta si riporta, nelle figure 6.23 e
6.24, il confronto della freccia massima e del potenziale di riferimento con
la procedura staggered ; gli andamenti sono ancora una volta sovrapposti.
Si riporta nella tabella 6.7 il confronto dei tempi di analisi. A parita di
soluzione, l’algoritmo di 3 livello risulta molto vantaggioso anche solo con
una suddivisione base come quella di figura 6.22.
Si considerino ora i casi di partizione verticale del dominio elettrico
rispettivamente in 3 e 4 sottodomini (per un totale rispettivmaente di 6 e
8 sottodomini elettrici, avendo mantenuto una partizione in orizzontale di
2). La figura 6.25 riporta un confronto dei tempi di analisi rispettivamente
con 4, 6 e 8 sottodomini elettrici (e, corrispondentemente, 2, 3 e 4 sotto-
domini meccanici), ottenuti su un tempo pari a ttot = 10−6sec. I tempi
6.2 Casi prova 142
Figura 6.22: Suddivisione della parte elettrica in 4 sottodomini e della parte
meccanica in 2 sottodomini.
Algoritmo Tempo di analisi
Staggered 100160 sec
Decomp. 3livello (2 sd Mecc. + 4 sd El.) 69605 sec
Guadagno [-] −30.51%
Tabella 6.7: Confronto dei tempi analisi staggered -decomposizione 3livello
(2 sd meccanici, 4 sd elettrici).
rilevati dimostrano che una maggiore suddivisione della parte elettrica com-
porta vantaggi ancor piu evidenti rispetto alla partizione di figura 6.22; cio
conferma quanto affermato alla fine del paragrafo precedente: il vantaggio
e apprezzabile per la decomposizione della parte elettrica proprio perche al
problema elettrico e associato un onere di calcolo maggiore, nel caso in cui
si utilizzi una mesh come quella di figura 6.3, per cui l’introduzione della
decomposizione di 3 livello ha un piu evidente effetto benefico.
6.2 Casi prova 143
Figura 6.23: Confronto della freccia massima ottenuta con codici 0 e 3 (2
sottodomini meccanici, 4 sottodomini elettrici).
Riassunto dei tempi di analisi
Si riassumono nella tabella 6.8 i tempi di analisi e i guadagni percentuali
ottenuti con i diversi livelli di decomposizione, per l’esempio della trave a
doppio incastro (ttot = 5 · 10−6sec; ∆t = 10−9sec). I tempi relativi al caso
di decomposizione di 2 e 3 livello si riferiscono rispettivamente ad una
suddivisione del dominio meccanico in 2 parti e di quello elettrico in 4 parti.
Il guadagno percentuale e relativo all’algoritmo staggered.
Algoritmo Tempo di analisi Guadagno %
Staggered 100160 sec -
Decomp. 1livello 77616 sec −22.51%
Decomp. 2livello 76024 sec −24.10%
Decomp. 3livello 69605 sec −30.51%
Tabella 6.8: Riassunto dei tempi analisi ottenuti con i vari algoritmi (trave
a doppio incastro).
6.2 Casi prova 144
Figura 6.24: Confronto del potenziale di riferimento ottenuto con codici 0 e
3 (2 sottodomini meccanici, 4 sottodomini elettrici).
Figura 6.25: Confronto dei tempi di analisi con diverso numero di
sottodomini elettrici e meccanici.
6.2 Casi prova 145
6.2.2 Trave a mensola
Si studia in questa sezione il secondo caso prova dato dalla trave a menso-
la di figura 6.26. Geometria, materiali e parametri dinamici sono gli stessi
del caso prova precedente (si vedano le tabelle 6.1 e 6.2) cosı come la mesh
adottata (figura 6.3). La differenza fra i due casi risiede nelle condizioni di
vincolo: in questo secondo caso l’estremo di destra della trave risulta libero.
Il potenziale imposto e costante e pari a 30 Volt. Si riportano nel seguito i
Figura 6.26: Geometria del secondo caso prova.
risultati ottenuti, procedendo in modo del tutto analogo al caso della trave
doppiamente incastrata.
Soluzione staggered
Si assume come parametro di confronto lo spostamento verticale del nodo 1
di figura 6.26. La figura 6.27 mostra l’andamento delle curve ottenute con
il codice 0 (staggered) e con Comsol ; si osserva che i due andamenti sono
pressoche sovrapposti. La tabella 6.9 riporta il confronto fra valore medio
delle oscillazioni e soluzione statica.
Soluzione statica ustatico −5.1723 · 10−3 µm
Valore medio delle oscillazioni umedio −4.9344 · 10−3 µm
Errore 4.59%
Tabella 6.9: Confronto con la soluzione statica.
6.2 Casi prova 146
Figura 6.27: Confronto della soluzione staggered con quella ottenuta con il
programma Comsol.
Il primo modo di vibrare della mensola e riportato in figura 6.28. Vie-
ne calcolato il primo periodo modale:
ω1 =√
λ1 = 3.811 · 106rad/sec
T1 =2π
ω1= 1.649 · 10−6sec
Tale valore deve essere confrontato con le stime riportate nella tabella 6.10.
Si osserva che i valori risultano del tutto confrontabili.
Coordinate dei punti di picco
Picchi 1 2 3
t [10−6 · sec] 0.775 2.335 3.952
u [10−3 · µm] −10.4795 −10.3841 −10.3726
Periodo di oscillazione
Intervalli 1-2 2-3
Periodo [10−6 · sec] 1.560 1.617
Tabella 6.10: Periodo di oscillazione ottenuto dalla simulazione numerica.
6.2 Casi prova 147
Figura 6.28: 1 modo di vibrare della trave a mensola.
Decomposizione di 1 livello: confronto con la soluzione staggered
Le figure 6.29 e 6.30 riportano il confronto fra spostamenti e potenziali di
estremita2 nei due casi staggered e decomposizione di 1 livello. Ancora una
volta le soluzioni risultano sovrapposte. Le figure 6.31-6.34 mostrano l’an-
damento degli spostamenti nelle due direzioni x e y, degli sforzi σx, σy, τxy,
del potenziale φ e dei campi elettrici Ex e Ey. Gli andamenti e i contour
plot riportati sono validi per entrambi gli algoritmi con cui sono stati de-
terminati. L’istante a cui essi si riferiscono e in prossimita del primo picco
(a t = 0.7 · 10−6sec). Infine, la tabella 6.11 riporta il confronto fra i
tempi delle analisi staggered con l’algoritmo di decomposizione di 1 livello
(ttot = 5 · 10−6sec; ∆t = 10−9sec). Il secondo caso prova conferma l’entita
del guadagno di tempo percentuale nel passaggio dal primo al secondo algo-
ritmo, che si attesta intorno al 20%.
2Oltre allo spostamento del nodo 1, si assume come parametro di confronto il potenziale
a meta altezza del gap in corrispondenza del nodo 2 di figura 6.26.
6.2 Casi prova 148
Figura 6.29: Confronto della freccia massima ottenuta con codici 0 e 1.
Figura 6.30: Confronto del potenziale di riferimento ottenuto con codici 0 e
1.
6.2 Casi prova 149
Figura 6.31: Spostamenti in direzione x e y (in µm).
6.2 Casi prova 150
Figura 6.32: Sforzi normali in direzione x e y (in N/m2).
6.2 Casi prova 151
Figura 6.33: Sforzi di taglio (in N/m2) e potenziale (in V olt).
6.2 Casi prova 152
Figura 6.34: Campi elettrici in direzione x e y (in V/m).
6.2 Casi prova 153
Algoritmo Tempo di analisi
Staggered 95378 sec
Decomp. 1livello 75603 sec
Guadagno [-] −20.73%
Tabella 6.11: Confronto dei tempi di analisi staggered -decomposizione
1livello.
Decomposizione di 2 livello: confronto con la soluzione staggered
Si immagini di suddividere la mensola in due parti uguali attraverso una par-
tizione verticale, analogamente a quanto fatto nel primo caso prova. Dando
per assodata la sovrapposizione fra gli andamenti della freccia massima e
del potenziale intermedio, e quindi l’equivalenza fra gli algoritmi in termini
di soluzione restituita, ci si concentra sui tempi di analisi. La tabella 6.12
rappresenta il confronto fra i tempi di analisi staggered e decomposizione di
2 livello (con 2 sottodomini meccanici). Ancora una volta il vantaggio deri-
vante dalla decomposizione meccanica non e apprezzabile con 2 sottodomini
meccanici (in questo caso il tempo di analisi e addirittura maggiore, seppur
di poco, a quello della decomposizione di 1 livello); cio e dovuto, come gia
anticipato, al maggior peso della risoluzione del problema elettrico all’inter-
no dell’algoritmo. La figura 6.35 mostra invece i tempi di analisi in funzione
del numero di sottodomini, per la quale valgono le stesse osservazioni del
primo caso prova.
Algoritmo Tempo di analisi
Staggered 95378 sec
Decomp. 2livello (2 Sd) 75667 sec
Guadagno [-] −20.67%
Tabella 6.12: Confronto dei tempi analisi staggered -decomposizione 2livello
(2 sottodomini).
Decomposizione di 3 livello: confronto con la soluzione staggered
Si introduce infine la decomposizione del dominio elettrico. Anche per questo
caso, si consideri innanzitutto la partizione del dominio elettrico in (2 × 2)
parti. A parita di soluzione (non si riportano gli andamenti di freccia mas-
6.2 Casi prova 154
Figura 6.35: Confronto dei tempi di analisi con diverso numero di
sottodomini meccanici.
sima e potenziale intermedio, che risultano del tutto analoghi a quelli delle
figure 6.29 e 6.30) i tempi di analisi sono riportati in tabella 6.13. Il gua-
Algoritmo Tempo di analisi
Staggered 95378 sec
Decomp. 3livello (4 Sd Elettr.) 69399 sec
Guadagno [-] −27.24%
Tabella 6.13: Confronto dei tempi analisi staggered -decomposizione 3livello
(2 sd meccanici, 4 sd elettrici).
dagno percentuale e analogo a quello ottenuto nel primo caso prova. Infine,
la figura 6.36 riporta l’andamento dei tempi di analisi (su intervallo di tem-
po ridotto e pari a 10−6sec) ottenuti aumentando il numero di sottodomini
elettrici secondo una partizione analoga al caso della trave a doppio incastro
(2× 3, 2× 4).
6.2 Casi prova 155
Figura 6.36: Confronto dei tempi di analisi con diverso numero di
sottodomini elettrici e meccanici.
Riassunto dei tempi di analisi
La tabella 6.14 riporta un riassunto dei tempi di analisi ottenuti nel caso
di trave a mensola (ttot = 5 · 10−6sec; ∆t = 10−9sec). Anche in questo
caso i tempi relativi al caso di decomposizione di 2 e 3 livello si riferiscono
rispettivamente ad una suddivisione del dominio meccanico in 2 parti e di
quello elettrico in 4 parti. Il guadagno percentuale e relativo all’algoritmo
staggered.
Algoritmo Tempo di analisi Guadagno %
Staggered 95378 sec -
Decomp. 1livello 75603 sec −20.73%
Decomp. 2livello 75667 sec −20.67%
Decomp. 3livello 69399 sec −27.24%
Tabella 6.14: Riassunto dei tempi analisi ottenuti con i vari algoritmi (trave
a mensola).
6.2 Casi prova 156
6.2.3 Considerazioni finali
I due casi prova analizzati hanno consentito da una parte di convalidare i co-
dici implementati e dall’altra di mettere in evidenza alcuni vantaggi e limiti
dei diversi livelli di decomposizione. In particolare e emerso che l’introdu-
zione della decomposizione di 1 livello comporta, in ogni caso, un netto
abbattimento (20− 30%) del tempo di analisi rispetto al metodo staggered,
garantendo allo stesso tempo che la soluzione ottenuta sia la stessa degli
algoritmi gia convalidati.
I vantaggi derivanti dall’introduzione dell’algoritmo GC e del metodo
FETI, applicati rispettivamente alla parte meccanica ed elettrica, dipendo-
no fortemente dall’onere di calcolo associato alla risoluzione dei problemi
meccanico ed elettrico rispettivamente; in generale si possono avanzare le
seguenti osservazioni:
- qualora sia richiesto un certo livello di precisione nella soluzione mec-
canica, e possibile adottare una mesh molto fitta per il solido e una
mesh altrettanto fitta per il dominio elettrico in corrispondenza del-
l’interfaccia, in modo tale da garantire una buona approssimazione nel
calcolo delle forze elettrostatiche; quest’ultima mesh va pero diradan-
dosi nelle zone piu lontane dal dominio meccanico, riducendo l’onere
computazionale associato al calcolo dei potenziali. E in questo caso
che emergono con piu evidenza le potenzialita della decomposizione
meccanica (si veda il caso notevole al paragrafo 6.3.2);
- viceversa, nel caso in cui sia maggiore l’onere di calcolo associato alla
risoluzione del problema elettrico, i vantaggi della decomposizione sono
piu evidenti dall’introduzione del metodo FETI (caso notevole 6.3.3).
Le considerazioni precedenti sottolineano da una parte la versatilita
dei metodi di decomposizione dei domini, applicati al problema elettro-
meccanico, ma allo stesso tempo la necessita di un loro corretto utilizzo
a seconda del problema che ci si trova ad affrontare (dimensioni dei domini
meccanico ed elettrico, tipo di mesh, . . . ); in caso contrario, l’introduzione
della decomposizione non solo non produrrebbe alcun ulteriore vantaggio ma
addirittura un incremento dell’onere di calcolo.
6.3 Casi notevoli 157
6.3 Casi notevoli
In questa sezione si intende mostrare le potenzialita della decomposizio-
ne dei domini nell’ambito di problemi particolari, confrontando risultati e
tempi di analisi, ricavati con diversi algoritmi fra quelli precedentemente
implementati:
1. trave doppiamente incastrata soggetta ad attuazione sinusoidale: con-
fronto staggered -decomposizione 1 livello;
2. portale semplice con attuazione laterale: confronto staggered -decompo-
sizione 2 livello;
3. trave doppiamente incastrata smorzata: confronto staggered -decompo-
sizione 3 livello;
4. trave doppiamente incastrata con doppia attuazione: confronto stag-
gered -decomposizione 1 livello;
6.3.1 Esempio 1: trave a doppio incastro soggetta ad attua-
zione sinusoidale
Si consideri la trave di figura 6.37 analoga per caratteristiche geometriche e
meccaniche a quella del primo caso prova; si immagini pero in questo caso
che il potenziale imposto non sia costante ma che vari con legge sinusoidale,
come mostrato in figura 6.38. Per il caso in esame si ha ampiezza massima
V0 = 30 Volt e periodo T = 10−5 sec. In tabella 6.15 si riportano i parametri
assunti per l’analisi dinamica. La mesh adottata e quella di figura 6.3. La
Figura 6.37: Trave doppiamente incastrata soggetta a differenza di
potenziale variabile nel tempo.
6.3 Casi notevoli 158
Figura 6.38: Attuazione sinusoidale.
Parametri di Newmark β 0.25 -
(schema di integrazione implicito) γ 0.50 -
Passo temporale ∆t 10−8 sec
Tempo totale ttot 2 · 10−5 sec
Tabella 6.15: Parametri dell’analisi dinamica.
figura 6.39 mostra l’andamento della forza elettrica nodale applicata al nodo
di mezzeria inferiore della trave nei due casi (staggered e decomposizione 1
livello): l’andamento risulta sovrapposto a conferma dell’equivalenza dei ri-
sultati dei due algoritmi. Si osserva che il periodo di oscillazione della forza
elettrica e diverso da quello del potenziale attuato; infatti la forza elettrica
e proporzionale al quadrato del voltaggio, che nel caso in esame risulta sinu-
soidale:
Fel ∝ sin2(2πt
T
)
(6.1)
Utilizzando una nota formula di bisezione, il quadrato del seno puo essere
riscritto come:
Fel ∝1
2
[
1− cos(4πt
T
)]
(6.2)
Il periodo della funzione che compare nella 6.2 puo essere calcolato come
6.3 Casi notevoli 159
Coordinate dei punti di picco - forza elettrica
Picchi 1 2 3 4
t [10−5 · sec] 0.25 0.75 1.25 1.75
Fel [µN ] −51.9281 −51.9282 −51.9284 −51.9287
Soluzione statica - forza elettrica
Fel(statica) [µN ] −51.9281
Tabella 6.16: Stima dei valori di picco della forza elettrica.
Coordinate dei punti di picco - freccia massima
Picchi 1 2 3 4
t [10−5 · sec] 0.25 0.75 1.25 1.75
u [10−3 · µm] −1.7276 −1.7396 −1.7520 −1.7635
Soluzione statica - freccia massima
u(statica) [10−3 · µm] −1.7231
Tabella 6.17: Stima dei valori di picco della freccia massima.
segue:
T ∗ =2π
(4πT )=
T
2= 0.5 · 10−5 sec (6.3)
Il periodo della forzante e quindi pari alla meta di T , coerentemente con
quanto si evince dalla figura 6.39.
Si osserva inoltre che il segno della forzante e sempre negativo (e rivolta verso
il basso) e che i valori massimi in corrispondenza dei picchi sono praticamente
coincidenti con quello ottenuto dall’analisi statica (il confronto e riportato
nella tabella 6.16).
Si riporta inoltre l’andamento della freccia massima della trave (spo-
stamento verticale del nodo di mezzeria) determinato coi due diversi algorit-
mi e caratterizzato dallo stesso periodo di oscillazione della forzante elettrica.
Dalla figura 6.40 si evince che entrambi gli algoritmi confrontati restituisco-
no lo stesso andamento. La tabella 6.17 riporta i valori in corrispondenza
dei picchi e il loro confronto con la soluzione statica.
Infine, si riportano nella tabella 6.18 i tempi di calcolo per i due casi
analizzati. Ancora una volta si ha la conferma che l’introduzione della de-
composizione (di 1 livello in questo caso) garantisce un vantaggio in termini
computazionali.
6.3 Casi notevoli 160
Figura 6.39: Forzante elettrica nel nodo di mezzeria della trave.
Figura 6.40: Spostamento verticale del nodo di mezzeria della trave.
Algoritmo Tempo di analisi
Staggered 26386 sec
Decomp. 1livello 20849 sec
Guadagno [-] −20.98%
Tabella 6.18: Confronto dei tempi di analisi staggered -decomposizione
1livello (attuazione sinusoidale).
6.3 Casi notevoli 161
6.3.2 Esempio 2: portale semplice con attuazione laterale
L’esempio presentato nel paragrafo seguente riguarda il portale di figura
6.41, soggetto a differenza di potenziale imposta lungo il montante sinistro.
Con questo esempio si vogliono evidenziare i vantaggi computazionali che
la decomposizione meccanica di 2 livello comporta nel caso in cui si adotti
una mesh molto fitta in corrispondenza del dominio meccanico e piu rada
in quello elettrico: si mostrera come, aumentando il numero di sottodomini,
si ottenga un abbattimento dei tempi di calcolo, mantenendo inalterata la
qualita della soluzione. Le caratterstiche dei materiali sono riportate in
tabella 6.1.
Figura 6.41: Geometria del portale.
Analogamente agli esempi precedenti, viene applicata una differenza
di potenziale V fra un elettrodo fisso ed uno deformabile; quest’ultimo e rap-
presentato proprio dal montante sinistro del portale, il cui contorno esterno,
rivolto verso l’elettrodo fisso, identifica l’interfaccia sulla quale avviene lo
scambio di informazioni fra dominio meccanico ed elettrico (forze elettriche
applicate al portale e cedimenti imposti al dominio elettrico). Il voltaggio
imposto V = 500V e costante nel corso di tutta l’analisi dinamica (anda-
6.3 Casi notevoli 162
mento secondo la funzione di Heaviside) ed e assente lo smorzamento: si
studiano quindi le oscillazioni forzate della struttura.
L’esempio considerato puo essere assimilato approssimativamente al
caso di portale sollecitato da un carico distribuito non uniformemente lun-
go il montante di sinistra e variabile nel tempo; si ottiene quindi una de-
formata analoga qualitativamente a quella che si ricaverebbe in quel caso,
rappresentata in figura 6.42.
Figura 6.42: Deformata del portale sollecitato a carico distribuito variabile
sul montante di sinistra.
Le analisi sono state eseguite con i seguenti codici
- codice 0: staggered ;
- codice 2: decomposizione 2 livello con
– 2 sottodomini meccanici;
– 3 sottodomini meccanici;
– 4 sottodomini meccanici;
– 6 sottodomini meccanici;
Per le analisi che seguono e stata utilizzata una mesh di elementi trian-
golari CST, realizzata con GiD, e suddivisa, di volta in volta, in un diverso
numero di sottodomini, a seconda dell’analisi effettuata (figura 6.43). Nelle
tabelle 6.19, 6.20 e 6.21 vengono indicati il numero di nodi ed elementi che
compongono i sottodomini nei vari casi.
E stata utilizzata una mesh variabile, molto fitta nel dominio mecca-
nico (17 elementi nello spessore) e via via piu rada nel dominio elettrico.
6.3 Casi notevoli 163
Figura 6.43: Mesh e suddivisione in sottodomini delle casistiche
implementate.
6.3 Casi notevoli 164
Algoritmo n nodi
staggared 2472
2 sottodomini 1242 1240
3 sottodomini 931 631 930
4 sottodomini 931 321 320 930
6 sottodomini 470 471 321 320 469 471
Tabella 6.19: Numero di nodi dei sottodomini meccanici.
Algoritmo n elementi
staggared 4464
2 sottodomini 2234 4230
3 sottodomini 1670 1126 1668
4 sottodomini 1670 564 562 1668
6 sottodomini 834 836 564 562 832 836
Tabella 6.20: Numero di elementi dei sottodomini meccanici.
La scelta scaturisce da una duplice necessita: mettere in evidenza i vantaggi
computazionali derivanti dalla decomposizione del dominio meccanico, evi-
tando pero di dover eseguire analisi che richiedano tempi non compatibili con
il lavoro svolto. Nella tabella 6.22 sono riportati i parametri di Newmark
dell’analisi dinamica.
I grafici 6.44 e 6.45 mostrano gli andamenti degli spostamenti e poten-
ziali nel nodo A (figura 6.43), valutati con i due diversi algoritmi e nei casi di
diverso numero di sottodomini. Si osservi come le curve siano perfettamente
sovrapposte alla soluzione staggered di riferimento.
La correttezza della soluzione ottenuta puo essere dimostrata anche
atttraverso il confronto di altre grandezze in gioco, quali il regime tensio-
nale nella parte meccanica oppure il campo elettrico nella parte elettrica.
Nella tabella 6.23 si riportano i confronti tra i valori di output delle varie
analisi, valutati nel punto A. Essi si riferiscono all’istante t = 2 · 10−7 sec, in
prossimita del primo picco di spostamento.
n. nodi n. elementi
dominio elettrico 1 279 418
Tabella 6.21: Numero di nodi ed elementi del dominio elettrico.
6.3 Casi notevoli 165
Parametri di Newmark β 0.25 -
(schema di integrazione implicito) γ 0.50 -
Passo temporale ∆t 10−9 sec
Tempo totale ttot 2 · 10−6 sec
Tabella 6.22: Parametri dell’analisi dinamica.
Figura 6.44: Confronto degli spostamenti in direzione x del nodo A.
Figura 6.45: Confronto dei potenziali nel nodo B.
6.3 Casi notevoli 166
Grandezza Algoritmo
staggered 2 sd 3 sd 4 sd 6 sd
ux,max [µm] 0 0 0 0 0
ux,min [µm] −0.012485 −0.012485 −0.012485 −0.012485 −0.012485
uy,max [µm] 0.000888 0.000888 0.000888 0.000888 0.000888
uy,min [µm] −0.000998 −0.000998 −0.000998 −0.000998 −0.000998
σx,max [N/m2] 3122388 3122388 3122388 3123715 3123780
σx,min [N/m2] −2682908 −2682908 −2682909 −2682211 −2682174
σy,max [N/m2] 8357410 8357410 8357411 8357897 8357913
σy,min [N/m2] −8880781 −8880781 −8880781 −8881786 −8881772
τxy,max [N/m2] 997531 997530 997530 997588 997586
τxy,min [N/m2] −2166801 −2166801 −2166801 −2167204 −2167199
Ex,max [V/m] 0 0 0 0 0
Ex,min [V/m] −1 · 108 −1 · 108 −1 · 108 −1 · 108 −1 · 108
Ey,max [V/m] 4457 4457 4457 4457 4457
Ey,min [V/m] −30515 −30515 −30515 −30515 −30515
Tabella 6.23: Valori massimi e minimi delle varie grandezze, valutate nel
nodo A, nell’istante t = 2 · 10−7 sec.
Si riportano, a titolo di esempio, i grafici delle grandezze meccaniche
ed elettriche in gioco, valutate con il codice staggered e con la decomposizione
di 2 livello, nel caso di dominio meccanico diviso in sei sottodomini.
Un’ulteriore verifica della correttezza del codice di decomposizione ap-
plicato alla parte meccanica e la continuita di spostamento in corrisponden-
za dei nodi di interfaccia. I grafici 6.54-6.57 verificano tale condizione nelle
diverse suddivisioni.
E, infine, interessante confrontare i tempi di calcolo registrati per le
varie analisi (in tabella 6.24). Anche l’esempio del portale dimostra come,
a parita di condizioni di analisi, l’algoritmo di decomposizione di 1 livello
presenta un vantaggio computazionale evidente nei confronti della procedura
staggered, garantendo in tutti i casi la stessa soluzione.
6.3 Casi notevoli 167
Figura 6.46: Confronto degli spostamenti in direzione x (in µm).
6.3 Casi notevoli 168
Figura 6.47: Confronto degli spostamenti in direzione y (in µm).
6.3 Casi notevoli 169
Figura 6.48: Confronto degli sforzi σx (in N/m2).
6.3 Casi notevoli 170
Figura 6.49: Confronto degli sforzi σy (in N/m2).
6.3 Casi notevoli 171
Figura 6.50: Confronto degli sforzi τxy (in N/m2).
6.3 Casi notevoli 172
Figura 6.51: Confronto del campo elettrico in direzione x (in V/m).
6.3 Casi notevoli 173
Figura 6.52: Confronto del campo elettrico in direzione y (in V/m).
6.3 Casi notevoli 174
Figura 6.53: Confronto del potenziale (in V olt).
6.3 Casi notevoli 175
Figura 6.54: Spostamenti in direzione x del nodo C (2 sottodomini).
Figura 6.55: Spostamenti in direzione x del nodo E (3 sottodomini).
6.3 Casi notevoli 176
Figura 6.56: Spostamenti in direzione x del nodo C (4 sottodomini).
Figura 6.57: Spostamenti in direzione x del nodo E (6 sottodomini).
6.3 Casi notevoli 177
Algoritmo Tempo di analisi Guadagno [-]
Staggered 2498 sec –
2 sottodomini 2121 sec −15.09%
3 sottodomini 2018 sec −19.21%
4 sottodomini 1964 sec −21.37%
6 sottodomini 1771 sec −29.10%
Tabella 6.24: Confronto tra i tempi di analisi e relativo guadagno rispetto
all’algoritmo staggered.
6.3.3 Esempio 3: trave a doppio incastro con smorzamento
Si consideri l’ormai consueto problema della trave a doppio incastro di figura
6.3. Si introduca uno smorzamento di tipo proporzionale, in cui la corrispon-
dente matrice e definita come combinazione lineare delle matrici di massa e
di rigidezza:
[C] = αR[M] + βR[K] (6.4)
in cui αR e βR rappresentano i cosiddetti coefficienti di Rayleigh. Questi ul-
timi sono legati ai rapporti di smorzamento relativi al critico ζ1 e ζ2 associati
ai primi due modi di vibrare della trave attraverso le seguenti equazioni (si
veda Abaqus, Theory Manual):
ζ1 =1
2ω1αR + ω1
2 βR
ζ2 =1
2ω2αR + ω2
2 βR
(6.5)
dove ω1 e ω2 sono le pulsazioni corrispondenti ai primi due modi. Ipotiz-
zando uno stesso rapporto di smorzamento (ζ = ζ1 = ζ2), si esplicitano i
coefficienti di Raylegh dalle 6.5:
αR = ζ 2ω1ω2ω1+ω2
βR = ζ 2ω1+ω2
(6.6)
Dall’analisi modale svolta nel paragrafo 6.2.1 si ricavano le due pulsazioni
ω1 e ω2 (figura 6.58). I due coefficienti quindi risultano pari a:
6.3 Casi notevoli 178
Figura 6.58: Pulsazioni dei primi due modi della trave a doppio incastro.
αR = 0.8897µsec−1
βR = 0.8792 · 10−2 µsec(6.7)
avendo assunto un rapporto di smorzamento ζ = 10%.
Si vuole valutare la risposta della struttura che inizialmente si trova in
quiete (spostamento, velocita e accelerazione nulle), essendo essa soggetta ad
un potenziale costante durante tutta l’analisi (V = 30 Volt); questa situazio-
ne e del tutto analoga a quella delle vibrazioni forzate del problema meccani-
co. Le figure 6.59 e 6.60 riportano rispettivamente l’andamento della freccia
massima e della corrispondente forza elettrostatica nodale in funzione del
tempo, nel caso dei due algoritmi staggered e decomposizione 3 livello (per
quest’ultimo caso e stata adottata una suddivisione in 4 sottodomini elettrici,
analogamente ai casi prova). Si osserva che, come prevedibile, le oscillazioni
tendono a smorzarsi dopo un transitorio iniziale e la soluzione dinamica a
stabilizzarsi nell’intorno di quella statica (ustatica = −1.72309 · 10−3 µsec).
Il periodo di oscillazione e ovviamente lo stesso per la forzante. La tabella
6.25 riporta le stime grafiche dei periodi di oscillazione, da confrontarsi con
il valore teorico (primo periodo modale: T = 1.036µsec).
Infine, si riportano i tempi di calcolo registrati nelle due analisi rispettiva-
mente con algoritmo staggered e decomposizione 3 livello nella tabella 6.26.
6.3 Casi notevoli 179
Figura 6.59: Andamento della freccia massima nel tempo.
Figura 6.60: Andamento della forza elettrostatica nodale di mezzeria nel
tempo.
6.3 Casi notevoli 180
Coordinate dei punti di picco
Picchi 1 2 3 4 5
t [10−6 · sec] 0.499 1.493 2.487 3.482 4.477
u [10−3 · µm] −2.9931 −2.4061 −2.0887 −1.9176 −1.8255
Periodo di oscillazione
Intervalli 1-2 2-3 3-4 4-5
Periodo [10−6 · sec] 0.994 0.994 0.995 0.995
Tabella 6.25: Periodo di oscillazione ottenuto numericamente.
Algoritmo Tempo di analisi
Staggered 98898 sec
Decomp. 3livello (4 sd elettrici) 69258 sec
Guadagno [-] −29.97%
Tabella 6.26: Confronto dei tempi di analisi staggered -decomposizione
3livello (trave smorzata).
6.3.4 Esempio 4: trave a doppio incastro con doppia attua-
zione
Si consideri il problema di figura 6.61, dato da una trave doppiamente inca-
strata soggetta a due voltaggi imposti V1(t) e V2(t), in generale funzioni del
tempo; sono quindi presenti due domini elettrici separati, indicati rispetti-
vamente con 1 (sottostante) e 2 (sovrastante). Si vuole studiare la risposta
della trave soggetta a doppia attuazione, con voltaggio rispettivamente si-
nusoidale e costante (in Volt):
V1(t) = 30 sin(2πtTV
)
(TV = 10−5 sec)
V2(t) = 30(6.8)
Si riportano gli andamenti in figura 6.62.3 Considerando separatamente le
due attuazioni e tenendo conto dei risultati ottenuti nei casi analoghi dei
paragrafi 6.2.1 e 6.3.1 (primo caso prova e attuazione sinusoidale), si puo
tentare una previsione sull’andamento della risposta, espressa ancora una
volta in termini di freccia massima. Si fanno le seguenti considerazioni:
3La scelta non e casuale, in quanto i casi di attuazione singola con V1 e V2 sono stati in
precedenza studiati separatamente; sara quindi possibile stabilire un confronto coi risultati
ottenuti in quelle occasioni.
6.3 Casi notevoli 181
Figura 6.61: Trave a doppio incastro soggetta a doppia attuazione.
- effetto di V1: l’attuazione sinusoidale, caratterizzata da un periodo
pari a TV = 10−5 sec, provoca delle oscillazioni che, come gia osser-
vato al paragrafo 6.3.1, hanno periodo dimezzato rispetto a quello del
voltaggio;
- effetto di V2: l’attuazione costante produce oscillazioni secondo il perio-
do proprio della trave, assunto coincidente con quello del modo prin-
cipale (primo). Dall’analisi modale effettuata al paragrafo 6.2.1 era
emerso un primo periodo modale pari a T = 1.036 · 10−6 sec;
- i due effetti devono essere combinati.
Assumendo quindi come parametro di risposta la freccia massima, si ripor-
ta in figura 6.63 il suo andamento nel tempo, calcolato coi due algoritmi
che si e deciso di utilizzare per questo esempio: staggered e decomposizione
1livello. Il risultato conferma quanto previsto: l’attuazione costante supe-
riore provoca delle oscillazioni aventi periodo prossimo a quello della trave
(circa 10−6sec), analoghe a quelle di figura 6.6 del primo caso prova; queste
pero risentono dell’attuazione sinusoidale inferiore, per cui subiscono una
traslazione in direzione y la cui entita varia essa stessa nel tempo secon-
do un andamento sinusoidale. In figura 6.63 la linea tratteggiata in verde
rappresenta proprio il valore medio, non costante ma funzione sinusoidale,
attorno a cui avvengono le oscillazioni. Infine, il confronto fra i tempi di
calcolo (tabella 6.27) evidenzia ancora una volta il vantaggio derivante dalla
6.3 Casi notevoli 182
Figura 6.62: Andamento nel tempo dei due potenziali di attuazione.
Algoritmo Tempo di analisi
Staggered 2987 sec
Decomp. 1livello 2080 sec
Guadagno [-] −30.36%
Tabella 6.27: Confronto dei tempi di analisi staggered -decomposizione
1livello (doppia attuazione).
decomposizione dei domini.
6.3 Casi notevoli 183
Figura 6.63: Andamento della freccia massima nel tempo.
Capitolo 7
Conclusioni
Nel presente lavoro di tesi sono state applicate varie tecniche di decomposi-
zione dei domini al problema elettro-meccanico accoppiato; questo appartie-
ne alla categoria dei problemi a piu campi, nei quali sono presenti fenomeni
che possono interessare piu ambiti della fisica e che interagiscono fra di loro.
Il problema elettro-meccanico e tipico dei micro-sistemi elettro-meccanici
(MEMS): le dimensioni di tali dispositivi sono tali (ordine di grandezza del
micrometro) che le forze gravitazionali risultano trascurabili nei confronti di
forze elettriche e adesive. Le simulazioni numeriche che vengono effettuate
per determinare le forze elettrostatiche, che e necessario determinare con
sufficiente precisione soprattutto in ambito progettuale, comportano la riso-
luzione di un sistema di equazioni non solo accoppiato, ma anche non-lineare,
che puo richiedere un consistente dispendio di risorse computazionali; il la-
voro svolto ha voluto dimostrare che l’introduzione della decomposizione dei
domini (a piu livelli) puo comportare una notevole riduzione del tempo di
calcolo, sfruttando gli algoritmi originariamente proposti per problemi pu-
ramente meccanici ed estesi al particolare problema oggetto di studio.
Le analisi volte a dimostrare l’effettivo vantaggio che le tecniche di decom-
posizione possono comportare sono state effettuate con l’ausilio di Matlab,
in cui sono stati implementati ex novo dei codici di calcolo associati ai vari
algoritmi proposti nel capitolo 5; questi sono stati utilizzati per analizzare
dei casi prova la cui soluzione e stata confrontata con quella fornita dalla
procedura staggered e dal codice commerciale Comsol. Accanto alla valida-
zione dei nuovi algoritmi presentati, particolare attenzione e stata dedicata
al confronto dei tempi di calcolo dei vari algoritmi, soprattutto con riferi-
mento al metodo staggered. I risultati ottenuti hanno messo in evidenza
184
185
che l’introduzione del 1 livello di decomposizione, che sfrutta la naturale
suddivisione fra dominio meccanico ed elettrico e che comporta, nello spi-
rito dell’algoritmo di Gravouil e Combescure ([8]), una scomposizione delle
soluzioni - spostamenti e potenziali - in due contributi free e link, garantisce
un risparmio computazionale che si attesta intorno al 20-25% del tempo di
calcolo necessario per un’analisi staggered.
Per quanto riguarda la decomposizione della parte meccanica (2 livello) e
di quella elettrica (3 livello), i casi prova hanno mostrato la possibilita di
raggiungere un abbattimento dei tempi di analisi anche del 30%. Cio signi-
fica che, rispetto alla procedura monolitica, il vantaggio computazionale si
eleva al 60%.
Lo studio svolto evidenzia da una parte i benefici dei metodi di decomposizio-
ne dei domini applicati al problema elettro-meccanico, dall’altra la necessita
di un loro corretto utilizzo a seconda del problema che ci si trova ad af-
frontare. Infatti i vantaggi derivanti dall’introduzione della decomposizione
meccanica (2 livello) sono piu evidenti nel caso in cui la maggior parte delle
risorse computazionali sia spesa per la risoluzione del problema meccanico:
e il caso del secondo caso notevole (portale attuato lateralmente), nel quale
la mesh meccanica risulta molto piu fitta di quella elettrica, che invece di-
venta piu rada allontanandosi dall’interfaccia con la parte meccanica. Allo
stesso modo, la decomposizione di 3 livello (FETI, [1]) applicata al caso di
mesh elettrica rada non produce vantaggi apprezzabili. Si deduce quindi la
forte dipendenza del risparmio dal tipo di mesh utilizzata; a seconda della
modellazione adottata sara necessario scegliere il livello di decomposizione
piu adatto, in grado di garantire il massimo guadagno possibile.
L’adozione delle tecniche di decomposizione dei domini per la risolu-
zione del problema elettro-meccanico ricopre un interesse pratico soprattutto
a livello progettuale, in quegli ambiti dove e richiesto effettuare un gran nu-
mero di simulazioni: la diminuzione dei tempi di calcolo, sfruttando il giu-
sto livello di decomposizione, puo portare ad un incremento considerevole
dell’efficienza.
Nella progettazione dei micro-sistemi e di grande importanza riuscire
a determinare la cosiddetta curva di pull-in, dalla quale e possibile dedur-
re il massimo voltaggio applicabile al singolo dispositivo senza che i piatti
del condensatore che lo costituiscono collassino l’uno sull’altro. Per ottenere
una migliore approssimazione del voltaggio di pull-in, in corrispondenza del
quale si ha quel fenomeno di instabilita, e necessario eliminare l’ipotesi, im-
186
plicitamente assunta a monte del lavoro, di piccoli spostamenti della parte
meccanica. Cio comporta la necessita di tener conto non solo della defor-
mazione del dominio elettrico, ma anche di quello meccanico, aggiornandone
le coordinate nodali ad ogni passo temporale. Cio comporta un aggravio
in termini computazionali, dovendo aggiornare istante per istante la matri-
ce di rigidezza e delle masse del dominio meccanico, dipendenti dalla sua
configurazione (variabile).
I risultati ottenuti nel presente lavoro di tesi valgono per il proble-
ma elettro-meccanico; questo appartiene, come accennato, alla piu ampia
categoria dei problemi multi fisici ed e caratterizzato da fisiche non sovrap-
poste (contrariamente, per esempio, al problema termo-meccanico nel quale
dominio elastico e termico sono, in genere, coincidenti). Gli algoritmi propo-
sti in questo lavoro possono essere estesi, con opportuni arrangiamenti che
dipendono dalle fisiche in gioco, a tutti quei problemi multi fisici caratteriz-
zati da domini non sovrapposti e governati da equazioni analoghe a quelle
del problema elettro-meccanico. L’interazione fluido-struttura ne e il tipico
esempio.
Appendice A
Requisiti matematici degli
algoritmi di decomposizione
dei domini
A.1 Metodo del gradiente coniugato
Il metodo del gradiente coniugato permette di risolvere, attraverso una pro-
cedura iterativa, un sistema di equazioni nella forma:
Ax = b (A.1)
dove A e la matrice dei coefficienti, per ipotesi simmetrica e definita positiva,
x il vettore delle incognite e b il vettore dei termini noti.
Il metodo del gradiente coniugato si basa sull’ipotesi che la soluzione
del sistema (A.1) renda minima la forma quadratica:
Q(x) =1
2xTAx− bx (A.2)
Si procede quindi in modo iterativo per trovare il punto di minimo sulla
superficie Q(x). Si costruisce una successione di approssimazioni xk, con-
vergente alla soluzione esatta, a partire da un vettore iniziale arbitrario x0,
secondo la formula ricorsiva:
xk+1 = xk + αkpk (A.3)
187
A.1 Metodo del gradiente coniugato 188
dove pk identifica la direzione che consente al vettore dato dalla (A.3) di
minimizzare la forma quadratica Q(x) lungo la direzione stessa; i vettori pk
sono ottenuti mediante A-ortogonalizzazione dei residui. 1 Si definisce il
coefficiente βk tale da soddisfare:
pk+1 = rk+1 + βkpk (A.4)
dove rk = b −Axk e il residuo associato all’iterazione k. Il nuovo residuo,
relativo all’iterazione k+1, si ricava facilmente utilizzando la relazione (A.3).
Imponendo la condizione di A-ortogonalita fra i vettori pk e pk+1:
pTkApk+1 = pT
kA(rk+1 + βkpk) = 0 (A.5)
si ottiene l’espressione del coefficiente βk:
βk = −pTkArk+1
pTkApk
(A.6)
Sostituendo la (A.3) all’interno della forma quadratica (A.2), si ottiene:
Q(x) =1
2(xk + αkpk)
TA(xk + αkpk)− b(xk + αkpk) (A.7)
Si cerca quindi il punto di minimo della (A.7), imponendo che sia nulla la
derivata prima:
∂Q(x)
∂αk= pT
k (Axk − b) + αkpTkApk = 0 (A.8)
Esplicitando l’equazione (A.8) rispetto al coefficiente αk:
αk =pTk rk
pTkApk
(A.9)
L’algoritmo del gradiente coniugato puo essere sintetizzato nei seguenti
passi:
1Due vettori xi e xj si dicono A-ortogonali se xTi Axj = 0 per i 6= j.
A.2 Gradiente coniugato precondizionato (PGC) 189
1. inizializzazione:
dato x0
r0 = b−Ax0
p0 = r0
(A.10)
2. utilizzando la (A.6) e la (A.9) si calcolano, in corrispondenza della k-
esima iterazione (con k = 0, 1, 2, 3, ..., n):
xk+1 = xk + αkpk
rk+1 = rk − αkApk
(A.11)
3. controllo di convergenza:
‖rk+1 − rk‖‖rk‖
< ε, (A.12)
dove ε e una tolleranza prefissata. In corrispondenza dell’iterazione in
cui il test ha esito positivo, si assume che l’ultima approssimazione del
vettore x sia soluzione del sistema (A.1).
Il metodo del gradiente coniugato trova particolare applicazione nel ca-
so di matrici dei coefficienti sparse, per le quali non e conveniente adottare
una triangolazione della matrice A; infatti in questo caso le matrici trian-
golari che si ottengono hanno un numero di elementi non nulli superiore
rispetto alla matrice originaria.
A.2 Gradiente coniugato precondizionato (PGC)
Il precondizionamento e una tecnica utilizzata per aumentare il numero di
condizionamento di una matrice. Si introduca il precondizionatore M, ma-
trice simmetrica e definita positiva, definito come:
M = ETE (A.13)
A.2 Gradiente coniugato precondizionato (PGC) 190
dove E e una matrice non singolare. Inoltre deve essere garantita la condi-
zione:
K(E−TAE−1) ≪ K(A) (A.14)
Il metodo del gradiente coniugato precondizionato e semplicemente il meto-
do GC (A.1) applicato al sistema:
E−TAE−1(Ex) = E−Tb (A.15)
L’algoritmo PGC puo essere sintetizzato secondo i passi seguenti:
1. inizializzazione
dato x0
r0 = b−Ax0
(A.16)
2. in corrispondenza della k-esima iterazione (con k = 0, 1, 2, 3, ..., n), si
eseguono in sequenza le seguenti operazioni:
zk = M−1rk (A.17)
βk+1 = rTk+1zk (A.18)
pk+1 = zk +βk+1
βkpkzk (A.19)
αk+1 =βk+1
pTk+1Apk+1
(A.20)
xk+1 = xk + αk+1pk+1 (A.21)
A.2 Gradiente coniugato precondizionato (PGC) 191
rk+1 = rk − αk+1Apk+1 (A.22)
3. controllo di convergenza:
‖rk+1 − rk‖‖rk‖
< ε (A.23)
Appendice B
Integrazione delle equazioni
del moto
Lo schema di integrazione temporale di Newmark appartiene alla categoria
dei metodi passo-passo; questi consentono di ricavare una soluzione dalle
equazioni di equilibrio dinamico (equazioni differenziali ordinarie nella va-
riabile tempo), che difficilmente sono risolvibili in forma chiusa. Essi preve-
dono l’introduzione di una discretizzazione temporale, con la quale il tempo
di riferimento viene suddiviso in intervalli finiti ∆t; l’equilibrio dinamico e
soddisfatto negli istanti che delimitano ciascuno di quegli intervallini (nodi
della mesh temporale). Al generico istante tk, l’equilibrio del sistema puo
essere scritte come:
Muk + f(uk,uk) = g(tk) (B.1)
Si concentri l’analisi nell’intervallo temporale ∆tk = tk+1 − tk, dove si sup-
pone siano note all’istante tk la configurazione del sistema, le velocita e le
accelerazioni. Si scrive quindi l’equazione di equilibrio dinamico in forma
incrementale sul passo:
M∆uk +∆fk(∆uk,∆uk) = ∆gk(tk) (B.2)
dove le quantita incrementali sono definite come:
192
193
∆uk = uk+1 − uk
∆fk = fk+1 − fk
∆gk = gk+1 − gk
(B.3)
Il vettore delle forze resistenti f e funzione solamente dell’atto di moto del
sistema; il suo incremento puo essere espresso come combinazione lineare
degli incrementi di spostamento e velocita:
∆fk = Kseck ∆uk +Csec
k ∆uk (B.4)
Nella formulazione (B.4), le matrici di rigidezza Kseck e smorzamento Csec
k
sono tipicamente incognite, in quanto dipendono dalla soluzione in termini di
spostamenti, velocita e accelerazioni in corrispondenza degli istanti discreti.
Sostituendo la (B.4) nel problema (B.2) si ottiene:
M∆uk +Kseck ∆uk +Csec
k ∆uk = ∆gk. (B.5)
Nel caso di comportamento lineare, le matrici di rigidezza e smorzamento
sono note, in quanto costanti nell’intervallo di analisi. Nel caso piu gene-
rale e necessario riscrivere la (B.5) in forma approssimata, sostituendo alle
matrici secanti le corrispondenti matrici tangenti, calcolate ad inizio passo
come sviluppo in serie di taylor arrestato al primo ordine:
Ctank = ∂f(u,u)
∂u
∣∣∣tk
Ktank = ∂f(u,u)
∂u
∣∣∣tk
(B.6)
Si ottiene l’equazione di riferimento per l’integrazione temporale con metodi
passo-passo:
M∆uk +Ktank ∆uk +Ctan
k ∆uk = ∆gk (B.7)
Il problema B.7 e composto da n equazioni nelle 3n incognite uk+1, uk+1,uk+1.
Affinche il problema sia ben posto e necessario considerare ulteriori 2n equa-
zioni, date dalle relazioni:
194
u(τ) = uk +∆tk
∫ τ
0u(τ)dτ (B.8)
u(τ) = uk +∆tkuk + (∆tk)2
∫ τ
0
(∫ τ
0u(τ)dτ
)
dτ (B.9)
dove
τ =(tk+1 − tk)
∆t(B.10)
e la coordinata temporale adimensionalizzata. Integrando per parti le rela-
zioni (B.9), si ottiene:
u(τ) = uk +∆tkuk + (∆tk)2
∫ τ
0(1− τ)u(τ) dτ (B.11)
Se fosse noto l’andamento delle accelerazioni nell’intervallo di anali-
si, sarebbe possibile risalire, attraverso le (B.11), ai valori di spostamento
e velocita in un generico istante appartenente all’intervallo. Per questa ra-
gione, i metodi di integrazione passo-passo introducono un’approssimazione
sull’andamento delle accelerazioni nell’intervallo ∆tk.
Un possibile modello per l’accelerazione puo essere definito come segue:
u(τ) = ωA(τ)ρA (B.12)
dove ωA e la matrice delle funzioni di interpolazione che dipende solamente
da τ ; ρA e il vettore contenente i valori di accelerazione nei punti interpolati.
Gli algoritmi di integrazione passo-passo si differenziano tra loro a se-
conda del modello assunto per l’accelerazione, definito sul generico passo di
calcolo. I metodi della famiglia di Newmark assumono:
ωA(τ) = [ω1(τ)− ω2(τ)]I2n (B.13)
ρA =
[
qk
qk+1
]
(B.14)
195
dove le relazioni (B.13) e (B.14) mostrano che l’andamento dell’accelerazione
sul singolo ∆t dipenda solamente dai valori ad inizio e fine passo; inoltre si
scelgono funzioni interpolanti uguali per ogni passo temporale e per ogni
coordinata libera del sistema.
E possibile stabilire un’analogia tra le funzioni di forma della discre-
tizzazione temporale e quelle utilizzate nel metodo degli elementi finiti;
con questa formulazione le ωi devono essere tali da garantire la continuita
dell’accelerazione nel passo.
In generale non e necessario definire espressamente le funzioni ω1 e ω2;
si introducono due parametri, β e γ, legati ad esse dalle relazioni:
∫ 1
0(1− τ)ω1(τ) dτ =
1
2− β (B.15)
∫ 1
0ω1 (τ)dτ = 1− γ (B.16)
β e γ sono due parametri liberi, i cui valori caratterizzano i diversi metodi
di integrazione di Newmark.
Introducendo le relazioni (B.15),(B.16) e l’espressione approssimata
dell’accelerazione sul passo, valutate per τ = 1, nel problema composto dal-
le (B.7), (B.8) e (B.9), si ottiene:
M∆uk +Ktank ∆uk +Ctan
k ∆uk = ∆gk
∆uk = ∆tkuk +∆tk γ∆uk
∆uk = ∆tkuk +12(∆tk)
2uk + (∆tk)2β∆uk
(B.17)
Il secondo e il terzo blocco di equazioni del sistema (B.17) forniscono l’incre-
mento di velocita (∆u) e di spostamento (∆u) in funzione di grandezze note,
quali le velocita (uk) e accelerazioni (uk) ad inizio passo, ed in funzione di
una grandezza incognita, l’incremento di accelerazione ∆u che le coordinate
libere della struttura subiscono durante il passo.
Le procedure di tipo passo-passo consentono pertanto, in ogni passo
temporale, di scrivere un sistema di equazioni algebriche del tipo:
D
[
∆uk
∆uk
]
= bk (B.18)
B.1 Algoritmi impliciti 196
La matrice dei coefficienti del sistema (B.18) dipende dalle caratteristiche
della struttura e dall’algoritmo di integrazione adottato. Il vettore dei ter-
mini noti bk dipende dai carichi dinamici applicati e dalle condizioni iniziali
del passo.
Possono presentarsi due diverse situazioni, che consentono di distin-
guere tra procedure esplicite e procedure implicite. Nelle procedure
esplicite la matrice dei coefficienti D e diagonale, ed e pertanto possibile la
determinazione immediata dell’incremento di velocita e accelerazione. Vice-
versa, nelle procedure implicite, la matrice D non e diagonale e per trovare la
soluzione del problema (B.18) e necessario risolvere il sistema di equazioni.
In generale, le procedure esplicite richiedono un basso onere compu-
tazionale per ottenere la soluzione, ma comportano problemi di precisione
e stabilita; percio esse richiedono passi di integrazione molto piccoli. Nelle
procedure implicite, al contrario, l’onere computazionale e decisamente piu
elevato ma le procedure sono solitamente piu stabili e accurate.
Le considerazioni precedenti dimostrano come non sia possibile stabili-
re a priori quale sia la migliore tipologia da adottare nelle analisi dinamiche;
la scelta dipende dal particolare tipo di problema.
Analizzando il problema (B.17), si osserva come i parametri β e γ
hanno l’effetto di pesare il contributo dato dall’incremento di accelerazione,
fra gli istanti di inizio e fine passo, rispettivamente alla variazione di velocita
e a quella di spostamento; tale incremento deve essere sommato ai termini
che si otterrebbero se, nel passo ∆tk, le accelerazioni si mantenessero costanti
e pari al valore di inizio passo.
B.1 Algoritmi impliciti
Gli algoritmi impliciti sono caratterizzati da β = 0: lo spostamento e la velo-
cita all’istante finale del passo dipendono dall’incremento dell’accelerazione
nel passo stesso:
∆uk = ∆tkuk +1
2(∆tk)
2uk + (∆tk)2β∆uk (B.19)
∆uk = ∆tkuk + γ∆t∆uk (B.20)
B.1 Algoritmi impliciti 197
Sostituendo la (B.20) nella relazione (B.19), si ottiene:
∆uk =1
β∆t2kuk −
1
β∆tk, uk −
1
2βuk (B.21)
e inserendo le accelerazioni (B.21) nelle (B.20):
∆uk = ∆tkuk + γ1
β∆tkuk −
γ
βuk −
γ∆tk2β
uk. (B.22)
Le relazioni degli incrementi di accelerazione (B.22) e velocita (B.21), in
funzione dell’incremento di spostamento e delle grandezze ad inizio passo,
se sostituite all’interno dell’equazione di equilibrio dinamico, permettono di
giungere alla seguente formulazione:
[
M 1β∆t2
k
+C γβ∆tk
+K]
∆uk = ∆gk +M[
1β∆tk
uk +12β uk
]
+
+C[
∆tk
(γ2β − 1
)
uk +γβ uk
](B.23)
che scritta in forma sintetica risulta:
M∆uk = ∆Fk (B.24)
dove
M =
[
M1
β∆t2k+C
γ
β∆tk+K
]
, (B.25)
e la matrice delle masse, mentre
∆F = ∆gk+M
[1
β∆tkuk +
1
2βuk
]
+C
[
∆tk
(γ
2β− 1
)
uk +γ
βuk
]
(B.26)
e il vettore dei carichi esterni equivalenti.
B.1.1 Metodo di Newmark dell’accelerazione costante
Nelle analisi svolte in questo lavoro di tesi, si e utilizzato uno schema di
integrazione di Newmark con accelerazione costante nel passo temporale. In
B.1 Algoritmi impliciti 198
questo caso, i valori dei parametri β e γ sono:
β = 14 γ = 1
2(B.27)
Come dice il nome stesso, il metodo assume che le accelerazioni si man-
tengano costanti nel generico ∆tk e sia pari alla media tra i valori ad inizio
e fine passo. Cio implica che le condizioni di continuita dell’accelerazione in
corrispondenza degli estremi del passo non siano soddisfatte. Tale metodo
risulta essere incondizionatamente stabile
B.1.2 Metodo di Newmark dell’accelerazione lineare
Il metodo di Newmark dell’accelerazione lineare assume che i parametri val-
gano:
β = 16 γ = 1
2(B.28)
Il metodo assume che l’accelerazione vari linearmente tra i valori iniziale
e finale del passo ∆tk. Anche questo algoritmo risulta condizionatamente
stabile.
Appendice C
Caratteristiche dei processori
Nella tabella C.1 vengono elencate le caratteristiche dei processori utiliz-
zati per le analisi e di conseguneza per il confronto dei tempi tra i diversi
algoritmi.
Processore Sistema Operativo
a Intel(R) Core(TM) 2 Duo
CPU E4600 @ 2.40GHz
2.39GHz
32 bit
b Intel(R) Core(TM) i5 CPU
M460 @ 2.53GHz 2.53GHz
64 bit
Tabella C.1: Caratteristiche dei processori.
199
Appendice D
Descrizione dei codici
Gli algoritmi di decomposizione dei domini applicati alla soluzione del pro-
blema elettro-meccanico, presentati nel capitolo 5, sono stati implementati
ex-novo in codici ad elementi finiti 2D in dinamica, realizzati con Matlab.
E stato adottato uno schema di integrazione implicito, con accelerazione co-
stante sul singolo passo temporale, della famiglia di Newmark (si veda B).
Nei paragrafi successivi si descrive la struttura dei codici implementati.
D.1 Decomposizione di 1 livello
Il codice di decomposizione di 1 livello risolve il problema elettro-meccanico
considerando le soluzioni associate ai due domini meccanico ed elettrico (spo-
stamenti e potenziali rispettivamente) come somma di due contributi free e
link.
Il codice e costituito da un blocco principale (main decomp 1livello),
nel quale si susseguono le fasi di input, di assemblaggio, le operazioni previste
dall’algoritmo, post-processing. In realta il codice e organizzato in maniera
tale da richiamare subroutines atte all’esecuzione di determinate operazioni.
Nella fase di input vengono caricati due file .txt, esportati dal pro-
gramma GiD, contenenti rispettivamente le coordinate e le incidenze nodali.
Le mesh degli esempi analizzati sono costituite da elementi CST.
Il codice, attraverso i file importati, identifica e distingue i domini
meccanico ed elettrico, in base a condizioni sulla geometria imposte dall’u-
tente; sia le quantita geometriche (coordinate, incidenze,. . . ) sia le grandezze
derivate (matrici, vettori,. . . ) vengono salvate all’interno di strutture dati,
identificate rispettivamente con il suffisso mech ed elec.
200
D.1 Decomposizione di 1 livello 201
Oltre alle grandezze citate, vengono salvate, per ogni problema fisi-
co, le condizioni di carico, le condizioni iniziali e di vincolo, queste ultime
espresse in termini di imposizione di potenziale per il problema elettrico, e di
spostamento per la parte meccanica. In aggiunta alle condizioni al contorno
elettriche e meccaniche, e necessario definire anche i vincoli del problema
pseudo-meccanico, imposti in termini di spostamenti.
Si definiscono le interfacce tra i due domini meccanico ed elettrico, sal-
vando le duplici numerazioni di nodi e gradi di liberta e le relative incidenze
sottodominio-interfaccia. Inoltre vengono inserite le proprieta dei materiali.
A questo punto grazie all’ausilio di funzioni particolari per assem-
blaggio vengono costruite, all’esterno del ciclo temporale, tutte le quantita
indipendenti dal tempo di analisi, necessarie per la risoluzione del problema.
Si riporta di seguito una breve descrizione delle subroutines utilizzate:
assemb M
Assembla la matrice delle masse di ogni sottodominio meccanico, salvandola
nella struttura dati M. All’interno del ciclo sugli elementi del singolo sottodo-
minio viene richiamata la funzione mas plane t3, che restituisce la matrice
delle masse locale del singolo elemento CST.
assemb K
Assembla la matrice di rigidezza di ogni sottodominio meccanico, salvandola
nella struttura dati Ku. All’interno dei cicli sugli elementi viene richiamata la
funzione rig plane t3, che calcola la matrice di rigidezza locale del singolo
elemento CST.
assemb f
Esegue l’assemblaggio del vettore delle forze nodali equivalenti meccaniche,
dovuta alla presenza di carichi esterni: forze di volume, di superficie o ca-
richi applicati direttamente nei nodi. All’interno del ciclo di assemblaggio
sugli elementi, vengono richiamate le functions bf space t3 e bf plane t3,
che calcolano per il singolo elemento il vettore dei carichi nodali equivalenti
rispettivamente ai carichi distribuiti sul volume (area nel caso 2D) e sulla
superficie (lati).
assemb Kfi0
La subroutine assembla, per ogni sottodominio elettrico, la matrice di ri-
D.1 Decomposizione di 1 livello 202
gidezza elettrica associata alla configurazione indeformata, salvandola nella
struttura dati Kfi0. All’interno dei cicli sugli elementi di un sottodominio
viene richiamata la funzione rigelec plane t3, che calcola la matrice di
rigidezza locale del singolo elemento CST.
assemb Kelec
Assembla la matrice di rigidezza del dominio pseudo-meccanico, salvandola
nella struttura Kelec. Le operazioni sono analoghe a quelle eseguite nella
funzione assemb K. All’interno dei cicli sugli elementi viene utilizzata ancora
una volta la funzione rig plane t3.
Le subroutines precedenti consentono l’assemblaggio delle quantita che
rimangono costanti durante l’analisi. All’interno del corpo principale del
main vengono richiamate altre subroutines:
assemb Kfi
Formalmente analoga alla assemb Kfi0, differisce per le quantita fornite in
input, che in questo caso tengono conto della deformazione del dominio elet-
trico (alle coordinate iniziali sono aggiunti gli spostamenti nodali attuali).
La matrice calcolata si riferisce quindi alla situazione deformata e viene sal-
vata all’interno della struttura Kfi, che viene sovrascritta ad ogni iterazione.
emaxwell tensor t3
Richiamata a valle della risoluzione del problema elettrico link, all’interno
del ciclo iterativo, consente di determinare le forze di Coulomb nodali del
dominio elettrico attraverso l’utilizzo del tensore di Maxwell.
A valle del ciclo iterativo si colloca la fase di post-processing : le quantita
ottenute dalla risoluzione del problema elettro-meccanico vengono salvate in
corrispondenza di determinati istanti all’interno di files .vtk, che vengono
poi forniti in input al programma ParaView. I files .vtk vengono costruiti
dalle apposite funzioni, di seguito brevemente descritte insieme alla subrou-
tine per il calcolo degli sforzi:
stress plane t3
Calcola gli sforzi nel singolo elemento CST a partire dalle coordinate e spo-
D.2 Decomposizione di 2 livello 203
stamenti nodali dell’elemento. Restituisce per ogni elemento un vettore con-
tenente le tre componenti di sforzo piano.
Writing Ucst t3
Costruisce un file Uplot.vtk, contenente tutte le informazioni, riguardanti
geometria e spostamenti, che devono essere passate a ParaView.
Writing elCST t3
Compila un file Vplot.vtk che, una volta caricato in ambiente ParaView,
consente di rappresentare la distribuzione di potenziale e il valore di campo
elettrico in direzione x e y sul dominio elettrico.
Writing stressCST t3
La funzione riceve in input la matrice degli sforzi di tutta la struttura (co-
stituita dall’insieme dei vettori restituiti da stress plane t3 ), che viene in-
terpolata linearmente sui nodi del dominio meccanico attraverso il comando
pdertni. Anche in questo caso la funzione compila un file stressplot.vtk,
che permette di visualizzare le distribuzioni delle tre componenti di sforzo
piano sul dominio meccanico.
Si riporta uno schema del codice di decomposizione 1 livello in figura D.1.
D.2 Decomposizione di 2 livello
L’algoritmo di decomposizione 2 livello applica l’algoritmo di Gravouil e
Comberscure ([8]), proposto per problemi di dinamica strutturale, alle due
fasi di risoluzione del problema meccanico free e link (rispettivamente in
blu e in viola nello schema di figura D.2). L’algoritmo di GC e applicato
quindi due volte all’interno del codice, per cui le operazioni ad esso associa-
te sono state organizzate in subroutines che vengono richiamate dal main
(main decomp 2livello).
GC t3
E la funzione che gestisce le operazioni dell’algoritmo GC. Essa richiama al-
tre tre subroutines: GC free t3 per la risoluzione della parte free, GC int t3
per il problema di interfaccia e GC link t3 per la parte link. Si osserva che la
subroutine GC t3 viene richiamata un’unica volta in ogni istante temporale
D.2 Decomposizione di 2 livello 204
Figura D.1: Schema del codice di decomposizione 1 livello.
D.3 Decomposizione di 3 livello 205
per la risoluzione del problema meccanico free, ad ogni iterazione invece per
quanto riguarda il problema link.
La fase di input del programma di decomposizione di 2 livello rima-
ne pressoche inalterata; infatti il salvataggio delle grandezze all’interno di
strutture dati permette di adattare facilmente il codice alla presenza di sotto-
domini meccanici. La partizione del dominio meccanico comporta il calcolo
degli operatori di condensazione H nella fase di assemblaggio, necessari per
la risoluzione dei problemi di interfaccia fra domini meccanici.
La fase di output e analoga all’algoritmo di decomposizione 1 livello.
D.3 Decomposizione di 3 livello
La decomposizione di 3 livello introduce, in aggiunta alle decomposizioni
dei livelli precedenti, la decomposizione del dominio elettrico. Al capitolo 5
si mostra che, poiche i problemi elettrico e pseudo-meccanico sono staziona-
ri, e necessario adottare il metodo FETI. In particolare si mette in evidenza
come quel metodo debba essere applicato in modo diverso per i due tipi di
problemi precedenti, trattandosi rispettivamente di un problema a potenzia-
le (elettrico) e di uno meccanico (su dominio elettrico).
Per l’implementazione delle subroutine di decomposizione secondo FETI si
e preso spunto dal codice implementato in [17], le cui suroutines sono state
adattate ai due problemi in esame, elettrico e pseudo-meccanico. Per tener
conto della diversa natura dei due problemi risolti su dominio elettrico, sono
quindi state realizzate due serie di funzioni, una per ciascuno di quei due
problemi. La figura D.3 mostra, all’interno del codice, le operazioni in cui
interviene la decomposizione di 3 livello. Di seguito si riporta una breve
descrizione delle subroutines principali.
Interf 2D elec
Assembla la matrice dei coefficienti e il vettore dei termini noti del problema
di interfaccia associato al problema elettrico.
Interf 2D psm
Assembla la matrice dei coefficienti e il vettore dei termini noti del problema
di interfaccia associato al problema pseudo-meccanico.
D.3 Decomposizione di 3 livello 206
Figura D.2: Schema del codice di decomposizione 2 livello.
D.3 Decomposizione di 3 livello 207
FETI 2D elec
Risolve il problema di interfaccia elettrico e, noto il vettore dei moltiplicatori
di Lagrange, risale al vettore soluzione (potenziali nodali) dei sottodomini
e, successivamente, dell’intero dominio.
FETI 2D psm
Risolve il corrispondente problema di interfaccia, determinando il vettore dei
moltiplicatori di Lagrange e risalendo agli spostamenti nodali del dominio
elettrico.
D.3 Decomposizione di 3 livello 208
Figura D.3: Schema del codice di decomposizione 3 livello.
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