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METODO DE INTERPOLACION DIRECTOEJEMPLO 1La velocidad de ascenso de un cohete est dada en funcin del tiempo, en la siguiente tabla:t(s)v(t) (m/s)
00
10227,04
15362,78
20517,35
22,5602,97
30901,67
1.- Determinar el valor de la velocidad t=16 segundos utilizando el mtodo directo de interpolacin y ajustar un polinomio de primer orden (interpolacin lineal)to =15v(t0)=362,78v(t)=a0+a1tt1=20v(t1)=517,35Reemplazandov(15)=a0+a1(15)=362,78v(20)=a0+a1(20)=517,35Solucin del sistema de ecuacionesa0=-100.93a1=30.914Con lo cual:v(t)=a0+a1tv(t)=-100.93+30.914tCuando t=16v(16)=393.7 m/sDeterminar el valor de la velocidad a t=16 segundos utilizando el mtodo directo de interpolacin y ajustar un polinomio de segundo orden (tambin llamada de interpolacin cuadrtica)to =10v(t0)=227.04v(t)=a0+a1t+a2t^2t1=15v(t1)=362,78t2=20v(t2)=517,35Reemplazandov(10)=a0+a1(10)+a2(10)=227.04v(15)=a0+a1(15)+a2(15)=362,78v(20)=a0+a1(20)+a2(20)=517,35Solucin del sistema de ecuacionesa0=12,05a1=17,733a2=0,3766Con lo cual:v(t)=a0+a1t+a2t^2v(t)=12,05+17,733t+0,3766t^2Cuando t=16v(16)=392.719m/s
Determinar el valor de la velocidad a t=16 segundos utilizando el mtodo directo de interpolacin y ajustar un polinomio de tercer orden (tambin llamada de interpolacin cubica)to =10v(t0)=227.04v(t)=a0+a1t+a2t^2+a3t^3t1=15v(t1)=362,78t2=20v(t2)=517,35t3=22,5v(t3)=602.97Reemplazandov(10)=a0+a1(10)+a2(10)=227.04v(15)=a0+a1(15)+a2(15)=362,78v(20)=a0+a1(20)+a2(20)=517,35v(22,5)=a0+a1(22,5)+a2(22,5)=602,97Solucin del sistema de ecuacionesa0=-4,2540a1=21,266a2=0,13204a3=0,0054347Con lo cual:v(t)=a0+a1t+a2t^2+a3t^3v(t)=-4,2540+21,266t+0,13204^2+0,0054347t^3Cuando t=16v(16)=392.06m/s
TAREALa geometra de un elemento cam est dada en la siguiente figura. Se necesita ajusta una curva a travs de los siete pares de datos que se representan en la siguiente tabla para fabricar el elemento;puntox(pulg)y(pulg)
12,20
21,280,88
30,661,14
401,2
5-0,61,04
6-1,040,6
7-1,20
Si la cam sigue una lnea recta desde x=128 a x=0,66, cul ser el valor de y cuando x=1,10 utilizando el mtodo directo de interpolacin y un polinomio de primer orden?y=a0+a1xsolx1=1,28y1=0,88a1=-0,419354839x2=0,66y2=1,14a0=1,416774194Reemplazamos los valores en la ecuacin y obtenemos los valores de a0 y a1 con un sistema de ecuacionesya0a1
0,8811,28
-1,14-1-0,66
-0,2600,62
Con lo cual y=a0+a1xY=-0,42+1,42XCuando x=1,10Y=0,96
Si la cam sigue una curva cuadrtica desde x=2,20 a x =1,28 y hasta x=0.66, cual es el valor de y cuando x=1,10 utilizando el mtodo directo de interpolacin y un polinomio de segundo orden? Encontrar el error absoluto relativo aproximado obteniendo para los resultados del polinomio ajustados de primero y segundo orden.y=a0+a1x+a2x^2x0=2,2y0=0x1=1,28y1=0,88x2=0,66y2=1,14Para mayor facilidad de resolucin de un sistema de ecuaciones realizamos operaciones con matricesXymatriz 1matriz 2
2,204,842,21c10
1,280,881,63841,281c0,88
0,661,140,43560,661c31,14
Obtenemos el determinantedeter0,878416
Su matriz inversa0,70581592-1,753155681,04733976
inversa-1,369282895,01402525-3,64474235
0,59627329-2,545582052,94930876
La solucinsol
c1-0,34880968
c20,25733593
c31,12209978
Con lo cual y=a0+a1x+a2x^2Y=1,5-0,61X+0,1X^2Cuando x=1,10Y=0,95El error es:
Ajuste un polinomio de sexto orden utilizando todos los puntos de la tabla mediante el mtodo directo de interpolacin
Creamos una tabla que se ajuste a los valores de la graficaxyMATRIZ 1MATRIZ 2
-1,100,001,77-1,611,46-1,331,21-1,101,00c10
-1,000,601,00-1,001,00-1,001,00-1,001,00c20,6
-0,501,000,02-0,030,06-0,130,25-0,501,00c31
0,001,200,000,000,000,000,000,001,00c41,2
0,801,100,260,330,410,510,640,801,00c51,1
1,200,852,992,492,071,731,441,201,00c60,85
2,200,00113,3851,5423,4310,654,842,201,00c70
Para mayor facilidad de resolucin de un sistema de ecuaciones realizamos operaciones con matricesObtenemos el determinantedeter-21,28
Su matriz inversainversa1,05-1,581,12-0,860,50-0,240,01
-2,844,10-2,351,38-0,400,100,01
-0,461,28-2,642,94-2,030,94-0,02
4,02-6,565,05-2,880,050,32-0,01
-0,510,681,63-3,201,91-0,520,01
-1,111,83-2,601,370,73-0,230,01
0,000,000,001,000,000,000,00
La solucinsolc1-0,516
c21,409
c30,217
c4-2,004
c5-0,143
c60,752
c71,2
Con lo cual y=a0+a1x+a2x^2+a3^3+a4^4+a5^5+a6^6y=1,2+0,752x+-0,143x^2-2,004^3+0,217^4+1,409^5-0,516^6
MTODO DE DIFERENCIAS DIVIDIDAS DE NEWTON
Para ilustrar el mtodo se presentara primero la interpolacin lineal y cuadrtica para luego presentar la forma general a travs de la interpolacin cubica que se presenta en la siguiente figura:
INTERPOLACION LINEAL:Dados (x0,y0) y (x1,y1), realizar una interpolacin lineal a travs de los datos. Si tenemos que y=f(x) y y1=f(x1), entonces la interpolacin lineal f1(x) est dada por:
Lo que se representa en la siguiente figura:
Para x=x0,
Si
Entonces
Con lo que obtenemos el siguiente interpolante lineal:
EJEMPLO 1:La velocidad de ascenso de un cohete est dada en funcin del tiempo en la siguiente tabla:Tabla 1: Velocidad como funcin del tiempo.t(s)v(t) (m/s)
00
10227,04
15362,78
20517,35
22,5602,97
30901,67
Grafica de velocidad vs tiempo:
Determinar el valor de la velocidad a t=16 segundos utilizando el mtodo de interpolacin de Newton y ajustar un polinomio de primer orden (interpolacin lineal).SOLUCION:Para una interpolacin lineal, la velocidad est dada por:
Como el objetivo es encontrar la velocidad cuando t=16, ajustando un polinomio de primer orden, necesitados dos datos que estn cercanos a t=16 y que cierren a dicho valor t=16. Analizando la tabla de datos encontramos que tales valores son t=15 y t=20.Entonces:
t015v(t0)362,78
t120v(t1)517,35
Dando:
bo=362,78
b1=30,914
t=16
v(16)=393,694m/s
INTERPOLACION CUADRATICA
Dados (x0,y0), (x1,y1), y (x2,y2), el objetivo es ajustar un interpolante cuadrtico a travs de los datos. Si adoptamos la notacin siguiente: y=f(x), y0=f(x0), y1=f(x1), y2=f(x2), entonces el interpolante cuadrtico f2(x) esta dado por:
Cuando x=x0, tenemos:
Cuando x=x1, tenemos:
Con lo cual:
Cuando x=x2, tenemos:
Con lo cual:
Entonces el interpolante cuadrtico est dado por:
EJEMPLO 2:La velocidad de ascenso de un cohete est dada en funcin del tiempo en la siguiente tabla:Tabla 1: Velocidad como funcin del tiempo.t(s)v(t) (m/s)
00
10227,04
15362,78
20517,35
22,5602,97
30901,67
Determine el valor de la velocidad a t=16 segundos utilizando el mtodo de interpolacin de Newton y ajustar un polinomio de segundo orden.SOLUCION:Para un interpolante cuadrtico, la velocidad est dada por:
Para encontrar la velocidad al tiempo t=16, necesitamos tres pares de datos cercanos a t=16, y que encierren a t=16, esos puntos son t0=10, t1=15, y t2=20.Entonces:t0=10v(t0)=227,04
t1=15v(t1)=362,78
t2=20v(t2)=517,35
Lo que da:
bo=227,04
b1=27,148
V(t2)-v(t1)/t2-t130,914
V(t1)-v(t0)/t1-t027,148
b2=0,3766
Reemplazando:
Para t=16,t=16
v(16)=392,1876 (m/s)
Si expandemos la expresin:Tenemos:
FORMA GENERAL DEL POLINOMIO DE DIFERENCIAS DIVIDIDAS DE NEWTONRecordando el polinomio interpolante cuadrtico tenemos:
Donde:
Note que b0, b1, y b2 son la primera, segunda y tercera diferencia dividida finita. La primera diferencia esta dada por:
La segunda diferencia dividida esta dada por:
Y la tercera diferencia dividida esta dada por:
Donde f[x0], f[x1,x2], y f[x2,x1,x0] son llamadas funciones cerradas de sus variables encerradas en los corchetes.Reescribiendo:
Esto nos conduce a describir la forma general para los n+1 puntos (x0,y0),(x1,y1),.,(xn-1,yn-1),(xn,yn) de la siguiente manera:
Donde:
Y la definicin de la mth diferencia dividida es:
Esto nos indica que las diferencias divididas se calculan de manera recursiva.Para un polinomio de tercer orden dados los puntos (x0,y0),(x1,y1),(x2,y2), y (x3,y3), tenemos:
Tabla de diferencias divididas para un polinomio cbico.
EJEMPLO # 03:
La velocidad de ascenso de un cohete est dada en funcin del tiempo en la siguiente tabla:t(s)v(t) (m/s)
00
10227,04
15362,78
20517,35
22,5602,97
30901,67
Tabla #01: Velocidad como funcin del tiempo.a) Determine el valor de la velocidad a un tiempo t=16 segundos con un polinomio de tercer orden.b) Utilizando el polinomio interpolante de tercer orden para la velocidad, determine la distancia cubierta por el cohete en el tiempo t=11s a t=16s.c) Utilizando el polinomio interpolante de tercer orden para la velocidad, determine la aceleracin del cohete en el tiempo t=16s.SOLUCIN:a) Para un polinomio de tercer orden, la velocidad est dada por:
Necesitamos cuatro pares de datos cercanos a t=16 y que tambin encierren a t=16, estos puntos son t0=10, t1=15, t2=20, y t3=22,5.Entonces:t0=10v(t0)=227,04
t1=15v(t1)=362,78
t2=20v(t2)=517,35
t3=22,5v(t3)=602,97
Con lo cual:
bo=227,04
b1=27,148
v(t2,t1)=30,914
v(t1,t0)=27,148
b2=0,3766
v(t3,t2)34,248
v(t2,t1)30,914
v(t3,t2,t1)=0,44453
v(t2,t1,t0)=0,3766
b3=0,00543467
Reemplazando:
Al tiempo:t=16
v(t)=392,06
b) La distancia cubierta por el cohete entre t=11s y t=16s es:
Este polinomio es vlido entre t=10 y t=22,5 y esto incluye los limites t=11 y t=16t=11
t=16
s(16)=2923
s(11)=1318
s(16)-s(11)=1605
c) La aceleracin a t=16 est dada por:t=16
/t=16
a(16)=29,664
INTERPOLACION LINEAL POR PARTESEs til necesitamos interpolar figuras ms o menos complejas y en las que incluso los valores de x pueden aparecer repetidos.l polinomio interpolante lineal es el siguiente:
Ejemplo Interpolar los siguientes datos:XY
116
218
321
417
515
612
xydifxdif ydelta
11----
221111+(x-1)(1)
331112+(x-2)(1)
441113+(x-3)(1)
551114+(x-4)(1)
661115+(x-5)(1)
0,2
xy
11
1,21,2
1,41,4
1,61,6
1,81,8
22
2,22,2
2,42,4
2,62,6
2,82,8
33
3,23,2
3,43,4
3,63,6
3,83,8
44
4,24,2
4,44,4
4,64,6
4,84,8
55
5,25,2
5,45,4
5,65,6
5,85,8
66
xydifxdif ydelta
116----
21812216+(x-1)(2)
32113318+(x-2)(3)
4171-4-421+(x-3)(-4)
5151-2-217+(x-4)(-2)
6121-3-315+(x-5)(-3)
0,2uv
xyxy
116116
1,216,41,216,4
1,416,81,416,8
1,617,21,617,2
1,817,61,817,6
218218
2,218,62,218,6
2,419,22,419,2
2,619,82,619,8
2,820,42,820,4
321321
3,220,23,220,2
3,419,43,419,4
3,618,63,618,6
3,817,83,817,8
417417
4,216,64,216,6
4,416,24,416,2
4,615,84,615,8
4,815,44,815,4
515515
5,214,45,214,4
5,413,85,413,8
5,613,25,613,2
5,812,65,812,6
612612
Deber:Aplicar el interpolante a los siguientes datos:XY
-6-7
-62
-71
08
71
62
6-7
-3-7
-3-2
0-2
0-7
Solucin:xydifxdif ydelta
1-6----
2-6100(-6)+(x-1)(0)
3-71-1-1(-6)+(x-2)(-1)
40177(-7)+(x-3)(7)
571770+(x-4)(7)
661-1-17+(x-5)(-1)
761006+(x-6)(0)
8-31-9-96+(x-7)(-9)
9-3100(-3)+(x-8)(0)
100133(-3)+(x-9)(3)
1101000+(x-10)(0)
0,2
xy
1-6
1,2-6
1,4-6
1,6-6
1,8-6
2-6
2,2-6,2
2,4-6,4
2,6-6,6
2,8-6,8
3-7
3,2-5,6
3,4-4,2
3,6-2,8
3,8-1,4
40
4,21,4
4,42,8
4,64,2
4,85,6
57
5,26,8
5,46,6
5,66,4
5,86,2
66
6,26
6,46
6,66
6,86
76
7,24,2
7,42,4
7,60,6
7,8-1,2
8-3
8,2-3
8,4-3
8,6-3
8,8-3
9-3
9,2-2,4
9,4-1,8
9,6-1,2
9,8-0,6
10-1,0658E-14
10,20
10,40
10,60
10,80
110
xydifxdif ydelta
1-7----
22199(-7)+(x-1)(9)
311-1-1(2)+(x-2)(-1)
48177(1)+(x-3)(7)
511-7-78+(x-4)(-7)
621111+(x-5)(1)
7-71-9-9(2)+(x-6)(-9)
8-7100(-7)+(x-7)(0)
9-2155(-7)+(x-8)(5)
10-2100(-2)+(x-9)(0)
11-71-5-5(-2)+(x-10)(-5)
0,2uv
xyxy
1-71-7
1,2-5,21,2-5,2
1,4-3,41,4-3,4
1,6-1,61,6-1,6
1,80,21,80,2
2222
2,21,82,21,8
2,41,62,41,6
2,61,42,61,4
2,81,22,81,2
3131
3,22,43,22,4
3,43,83,43,8
3,65,23,65,2
3,86,63,86,6
4848
4,26,64,26,6
4,45,24,45,2
4,63,84,63,8
4,82,44,82,4
5151
5,21,25,21,2
5,41,45,41,4
5,61,65,61,6
5,81,85,81,8
6262
6,20,26,20,2
6,4-1,66,4-1,6
6,6-3,46,6-3,4
6,8-5,26,8-5,2
7-77-7
7,2-8,87,2-8,8
7,4-10,67,4-10,6
7,6-12,47,6-12,4
7,8-14,27,8-14,2
8-168-16
8,2-68,2-6
8,4-58,4-5
8,6-48,6-4
8,8-38,8-3
9-29-2
9,2-29,2-2
9,4-29,4-2
9,6-29,6-2
9,8-29,8-2
10-210-2
10,2-310,2-3
10,4-410,4-4
10,6-510,6-5
10,8-610,8-6
11-711-7
Deber:Aplicar el interpolante a los siguientes datos:XY
14
62
-51
3-3
51
22
62
5-7
-34
1-2
24
xydifxdif ydelta
11----
26155(1)+(x-1)(0)
3-51-11-11(6)+(x-2)(-1)
43188(-5)+(x-3)(7)
551223+(x-4)(7)
621-3-35+(x-5)(-1)
761442+(x-6)(0)
851-1-16+(x-7)(-9)
9-31-8-85+(x-8)(0)
101144(-3)+(x-9)(3)
1121111+(x-10)(0)
0,2
xy
11
1,22
1,43
1,64
1,85
26
2,23,8
2,41,6
2,6-0,6
2,8-2,8
3-5
3,2-3,4
3,4-1,8
3,6-0,2
3,81,4
43
4,23,4
4,43,8
4,64,2
4,84,6
55
5,24,4
5,43,8
5,63,2
5,82,6
62
6,22,8
6,43,6
6,64,4
6,85,2
76
7,25,8
7,45,6
7,65,4
7,85,2
85
8,23,4
8,41,8
8,60,2
8,8-1,4
9-3
9,2-2,2
9,4-1,4
9,6-0,6
9,80,2
101
10,21,2
10,41,4
10,61,6
10,81,8
112
xydifxdif ydelta
14----
221-2-2(4)+(x-1)(9)
311-1-1(2)+(x-2)(-1)
4-31-4-4(1)+(x-3)(7)
51144(-3)+(x-4)(-7)
621111+(x-5)(1)
72100(2)+(x-6)(-9)
8-71-9-9(2)+(x-7)(0)
9411111(-7)+(x-8)(5)
10-21-6-6(4)+(x-9)(0)
114166(-2)+(x-10)(-5)
0,2uv
xyxy
1414
1,23,61,23,6
1,43,21,43,2
1,62,81,62,8
1,82,41,82,4
2222
2,21,82,21,8
2,41,62,41,6
2,61,42,61,4
2,81,22,81,2
3131
3,20,23,20,2
3,4-0,63,4-0,6
3,6-1,43,6-1,4
3,8-2,23,8-2,2
4-34-3
4,2-2,24,2-2,2
4,4-1,44,4-1,4
4,6-0,64,6-0,6
4,80,24,80,2
5151
5,21,25,21,2
5,41,45,41,4
5,61,65,61,6
5,81,85,81,8
6262
6,226,22
6,426,42
6,626,62
6,826,82
7272
7,227,22
7,427,42
7,627,62
7,827,82
8282
8,2-4,88,2-4,8
8,4-2,68,4-2,6
8,6-0,48,6-0,4
8,81,88,81,8
9494
9,22,89,22,8
9,41,69,41,6
9,60,49,60,4
9,8-0,89,8-0,8
10-210-2
10,2-0,810,2-0,8
10,40,410,40,4
10,61,610,61,6
10,82,810,82,8
114114
INTERPOLACION DE LAGRANGEEl polinomio de interpolacin de Lagrange est dado por :
Donde n en se refiere al orden del polinomio que aproxima la funcin dados los n+1 datos
es una funcin con pesos que incluyen el producto de los n-1 trminos pero que excluye los trminos para los cuales j=1.Interpolacin de datos discretosEJEMPLO 1:La velocidad de ascenso de un cohete esta dada en funcin del tiempo en la siguiente tabla:Velocidad como funcin del tiempot(s)v(t) (m/s)
00
10227,04
15362,78
20517,35
22,5602,97
30901,67
Grafica de velocidad vs. tiempo
1. Determinar el valor de la velocidad a t=16 s utilizando el mtodo de interpolacin de Lagrange y ajustar un polinomio de primer orden (interpolacin lineal).
Como el objetivo es encontrar la velocidad cuando t=16 s, ajustando a un polinomio de primer orden, necesitamos dos datos que estn cercanos a t=16 s y que encierren a dicho valor t=16. Analizando la tabla de datos encontrados que tales valores son t=15 y t=20.
to=15v(to)=362,78
t1=20v(t1)=517,35
Entonces:
Con lo cual:
=
= ,
=
=
=393,69m/s
En este caso Lo(t)=0,8 y L1(t)=0,2 son los pesos de la velocidades cuando el tiempo es t=15 y t=20 con los cuales calculamos la velocidad en t=16.
EJEMPLO 2:
a) Determine el valor de la velocidad en el tiempo t=16 s con un polinomio de segundo orden utilizando el mtodo de Lagrange.b) Encontrar el error relativo absoluto para la aproximacin polinomial de segundo orden.Interpolacin cuadrtica.a) Para una interpolacin polinomial de segundo orden (tambin llamada interpolacin cuadrtica ), la velocidad esta dad por :
to=10v(to)=227,04
t1=15v(t1)=362,78
t2=20v(t2)=517,35
=
=
= (-0,08)(227,04)+(0,96)(362,78)+(0,12)(517,35)= 392,19m/s
b) El error relativo aproximado para el polinomio de segundo orden se calcula considerando el resultado del polinomio de primer orden como la aproximacin previa.
EJEMPLO 3:a) Determine el valor de la velocidad a un tiempo t=16 s con un polinomio de tercer orden. b) Encontrar el error relativo absoluto para la aproximacin polinomial de tercer orden.c) Utilizando el polinomio interpolante de tercer orden para la velocidad, determine la distancia cubierta por el cohete en el tiempo t=11s a t=16s.d) Utilizando el polinomio interpolante de tercer orden para la velocidad, determine la aceleracin del cohete en el tiempo t=16s.Necesitamos cuatro pares de datos cercanos a t=16s .to=10v(to)=227,04
t1=15v(t1)=362,78
t2=20v(t2)=517,35
t3=22,5v(t3)602,97
=+
=+
El error relativo aproximado para el polinomio de segundo orden se calcula considerando el resultado del polinomio de primer orden como la aproximacin previa.
La distancia cubierta por el cohete entre t=11 s y t=16s=
+
+
+
Este polinomio esta dado entre los limites t=11 y t16=
=
=
=
La aceleracin a t=16s est dada por:
m/s
SIMPSON 1/3
Ejercicio #01:Hallar las reas de las superficies limitadas por las curvas.Ecuacin 1
x1y1x2y2
66,00066,000
5,85,8995,85,607
5,65,7975,65,227
5,45,6925,44,860
5,25,5865,24,507
55,47754,167
4,85,3674,83,840
4,65,2544,63,527
4,45,1384,43,227
4,25,0204,22,940
44,89942,667
3,84,7753,82,407
3,64,6483,62,160
3,44,5173,41,927
3,24,3823,21,707
34,24331,500
2,84,0992,81,307
2,63,9502,61,127
2,43,7952,40,960
2,23,6332,20,807
23,46420,667
1,83,2861,80,540
1,63,0981,60,427
1,42,8981,40,327
1,22,6831,20,240
12,44910,167
0,82,1910,80,107
0,61,8970,60,060
0,41,5490,40,027
0,21,0950,20,007
00,00000,000
a1=0
a2=6
a1=0
a2=2,9673455
Area1=2,9673455
Ecuacin 2:
b1=0
b2=6
b1=0
b2=12
Area 2=12
Area total=9,0326545
Simpson 1/3 de ecuacin 1n=5
h=1,2
ixy
066,000
14,85,367
23,64,648
32,43,795
41,22,683
500,000
A1=22,9227634
Simpson 1/3 de ecuacin 2n=7
h=0,857
ixy
066,000
15,1434,408
24,2863,061
33,4291,959
42,5711,102
51,7140,490
60,8570,122
70,0000,000
A2=12
Simpson 3/8 ecuacion 1n=4
h=1,5
ixy
066,000
14,55,196
234,243
31,53,000
400,000
A1=41,066
Simpson 3/8 ecuacion 2n=8
h=0,75
ixy
066,000
15,2504,594
24,5003,375
33,7502,344
43,0001,500
52,2500,844
61,5000,375
70,7500,094
80,0000,000
A2=40,03125
Ejercicio #02:Ecuacin 1
x1y1x2y2
54,47254,167
4,85,3674,83,840
4,65,2544,63,527
4,45,1384,43,227
4,25,0204,22,940
44,89942,667
3,84,7753,82,407
3,64,6483,62,160
3,44,5173,41,927
3,24,3823,21,707
34,24331,500
2,84,0992,81,307
2,63,9502,61,127
2,43,7952,40,960
2,23,6332,20,807
23,46420,667
1,83,2861,80,540
1,63,0981,60,427
1,42,8981,40,327
1,22,6831,20,240
12,44910,167
0,82,1910,80,107
0,61,8970,60,060
0,41,5490,40,027
0,21,0950,20,007
00,00000,000
a1=0
a2=5
a1=0
a2=14,9071198
Area1=14,9071198
Ecuacin 2:
b1=0
b2=5
b1=0
b2=6,94444444
Area 2=6,94444444
Area total=7,96267541
Simpson 1/3 de ecuacin 1n=5
h=1
ixy
055,477
144,899
234,243
323,464
412,449
500,000
A1=17,4379369
Simpson 1/3 de ecuacin 2n=7
h=0,714
ixy
054,167
14,2863,061
23,5712,126
32,8571,361
42,1430,765
51,4290,340
60,7140,085
70,0000,000
A2=6,94444444
Simpson 3/8 ecuacion 1n=4
h=1,25
ixy
055,477
13,754,743
22,53,873
31,252,739
400,000
A1=36,461
Simpson 3/8 ecuacion 2n=8
h=0,625
ixy
054,167
14,3753,190
23,7502,344
33,1251,628
42,5001,042
51,8750,586
61,2500,260
70,6250,065
80,0000,000
A2=27,4088542
Ejercicio #03Ecuacin 1
x1y1x2y2
85,657810,667
7,85,5867,810,140
7,65,5147,69,627
7,45,4417,49,127
7,25,3677,28,640
75,29278,167
6,85,2156,87,707
6,65,1386,67,260
6,45,0606,46,827
6,24,9806,26,407
64,89966,000
5,84,8175,85,607
5,64,7335,65,227
5,44,6485,44,860
5,24,5615,24,507
54,47254,167
4,84,3824,83,840
4,64,2904,63,527
4,44,1954,43,227
4,24,0994,22,940
44,00042,667
3,83,8993,82,407
3,63,7953,62,160
3,43,6883,41,927
3,23,5783,21,707
33,46431,500
2,83,3472,81,307
2,63,2252,61,127
2,43,0982,40,960
2,22,9662,20,807
22,82820,667
1,82,6831,80,540
1,62,5301,60,427
1,42,3661,40,327
1,22,1911,20,240
12,00010,167
0,81,7890,80,107
0,61,5490,60,060
0,41,2650,40,027
0,20,8940,20,007
00,00000,000
a1=0
a2=8
a1=0
a2=30,1698893
Area1=30,1698893
Ecuacin 2:
b1=0
b2=8
b1=-16
b2=48
Area 2=64
Area total=33,8301107
Simpson 1/3 de ecuacin 1n=5
h=1,6
ixy
086,928
16,46,197
24,85,367
33,24,382
41,63,098
500,000
A1=35,291903
Simpson 1/3 de ecuacin 2n=7
h=1,143
ixy
0810,667
16,8577,837
25,7145,442
34,5713,483
43,4291,959
52,2860,871
61,1430,218
70,0000,000
A2=28,4444444
Simpson 3/8 ecuacin 1n=4
h=2
ixy
086,928
166,000
244,899
323,464
400,000
A1=50,017
Simpson 3/8 ecuacin 2n=8
h=1
ixy
0810,667
17,0008,167
26,0006,000
35,0004,167
44,0002,667
53,0001,500
62,0000,667
71,0000,167
80,0000,000
A2=73,1666667
Ejercicio #04
ecuaciny= 4x-x^2
limitesinicialfinal
x13
h=0,33333333
ixy
013
11,333333333,555555556
21,666666673,888888889
324
42,333333333,888888889
52,666666673,555555556
633
ecuaciny= 2x+1/x^2
limitesinicialfinal
x14
h=0,5
ixy
013
11,53,444444444
224,25
32,55,16
436,111111111
53,57,081632653
648,0625
rea =7,33333333
Ejercicio #05
y=(-4x)^1/2
Rango:x=-1x=0
xySuma-Producto
-12-0,097366596
-0,91,8973666-0,092075667
-0,81,78885438-0,086457975
-0,71,67332005-0,080443305
-0,61,54919334-0,073931468
-0,51,41421356-0,066770107
-0,41,26491106-0,058704727
-0,31,09544512-0,049239134
-0,20,89442719-0,037048387
-0,10,632455530
000
-12
rea-0,321018683
AJUSTAR MEDIANTE VANDERMONDE Y LAGRAGE LOS SIGUIENTES PUNTOS
xy
xo116
x1218
x2321
x3417
x4515
x5612
Polinomio de Langrage
=
=
=
=
=
Integracin de Vandermonde
xy
116
218
321
417
515
612
xymatrizmatriz 2
116111111c116
21832168421c218
3212438127931c321
4171024256641641c417
51531256251252551c515
612777612962163661c612
det-34560
inversa-0,008333330,04166667-0,083333330,08333333-0,041666670,00833333
0,16666667-0,791666671,5-1,416666670,66666667-0,125
-1,291666675,70833333-10,08333338,91666667-3,958333330,70833333
4,83333333-19,208333331-25,583333310,8333333-1,875
-8,729,25-42,333333333-13,52,28333333
6-1520-156-1
C1-0,24166667
C24,33333333
C3-28,9583333
C487,6666667
C5-115,8
C669