METODO DEGLI SPOSTAMENTI C
ors
o i
n :
Sim
ula
zio
ne
nu
mer
ica
per
l’i
ng
egn
eria
mec
can
ica
- 2
01
2/2
01
3
An
ton
io P
an
tan
o -
Un
iver
sità
deg
li s
tud
i d
i P
ale
rmo
Simmetricità della matrice di rigidezza [k] La matrice [k] risulta simmetrica (kij = kji) in conformità del teorema di
reciprocità di Betti: “Il lavoro mutuo fatto dal sistema di forze (a) per gli
spostamenti dei loro punti di applicazione indotti dal sistema (b) è uguale al
lavoro fatto dalle forze del sistema (b) per gli spostamenti dei loro punti di
applicazione indotti dal sistema (a)”. Nella figura sottostante per elemento
triangolare e per il teorema di Betti si ha: p1 · u2 = p2 · u1
Se u1 = u2 = 1 ne segue che p1 = p2 .
Ma p1 , nel caso in cui u2 = 1 e u1 = u3 = 0, non è altro che k12 .
E p2 , nel caso in cui u1 = 1 e u2 = u3 = 0, non è altro che k21 .
Si è dimostrato che k12 = k21 e che matrice [k] risulta simmetrica.
1 3
2
u2=1
u1=1
p2
p1
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2.2.1.2 Elemento trave a due nodi
L'elemento trave è un elemento monodimensionale collegato agli altri mediante
nodi che vincolano gli spostamenti secondo due direzioni ortogonali alla trave e
le rotazioni attorno a due assi paralleli alle stesse direzioni. Ogni nodo possiede
pertanto nello spazio quattro gradi di libertà e nel piano due: uno coincide con lo
spostamento ortogonale all’elemento, uno con la rotazione attorno ad un asse
ortogonale al piano. Si consideri che la trave abbia direzione coincidente con
l'asse x e sia inflessa nel piano xy (fig. 2.6). I coefficienti della matrice di
rigidezza, di ordine 4x4, possono ricavarsi ricercando le relazioni tra le forze
nodali Vj, Mzj, Vi, Mzi (indicate nella fig. 2.6 con Q1, Q2, Q3, Q4, rispettivamente)
ed i corrispondenti spostamenti vj, φzj, vi, φzi (indicate nella fig. 2.6 con q1, q2, q3,
q4, rispettivamente).
Figura 2.6
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l’equilibrio in una sezione di ascissa x si ha:
Mz = Mzj - Vjx
Essendo Mz = -EIz d2v/dx2 si ha:
EIz d2v/dx2 = Vjx - Mzj
Integrando due volte si ottiene:
EIz dv/dx = Vjx2/2 - Mzjx + C1
EIz v = Vjx3/6 - Mzjx
2/2 + C1x + C2 (a)
La continuità di tali espressioni lungo la trave assicura il rispetto della
condizione di compatibilità.
Le costanti C1 e C2 possono essere valutate usando le condizioni al contorno
sugli spostamenti del nodo j: v = vj e dv/dx = φzj ad x=0. Si ottiene:
C1 = EIz φzj C2 = EIz vj
Inoltre le condizioni al contorno sugli spostamenti del nodo i (v = vi e dv/dx =
φzi ad x=l), insieme alla sostituzione di C1 e C2 nelle due equazioni (a) conduce
alle equazioni: EIz φzi = Vj l2/2 – Mzj l + EIz φzj
EIz vi= Vj l3/6 – Mzj l
2/2 + EIz φzj l + EIz vj
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Ricavando da queste Vj e Mzj si ottiene:
Vj = EIz (12 vj - 12 vi + 6 l zj + 6 l zi ) /l3
Mzj = EIz (6 vj - 6 vi + 4 l zj + 2 l zi ) /l2
dalle quali si ricavano i coefficienti di rigidezza delle prime due righe della
matrice (riportata sotto) della relazione matriciale di equilibrio per l’elemento
trave nel piano. Le analoghe relazioni delle forze al nodo i, si ricavano sulla base
delle relazioni di equilibrio dell’elemento:
Vi = - Vj Mzi = Vjl - Mzj
Si ottengono le altre due relazioni, dalle quali si possono estrarre i coefficienti
delle altre due righe della matrice di rigidezza:
Vi = EIz (- 12 vj + 12 vi - 6 l zj - 6 l zi ) /l3
Mzi = EIz (6 vj - 6 vi + 2 l zj + 4 l zi ) /l2
La relazione di equilibrio è allora:
4
3
2
1
22
22
3
4
3
2
1
4626
612612
2646
612612
q
q
q
q
llll
ll
llll
ll
l
EI
Q
Q
Q
Q
z
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2.2.1.3 Elemento generico
Per il caso di un corpo elastico soggetto nel piano xy ad un sistema di n forze {Q}
= {Q1, Q2,…..,Qn}, i cui punti di applicazione subiscono gli spostamenti {q} =
{q1,q2,…..,qn} (fig. 2.7), si può estrapolare una relazione analoga alla 2.5, che in
forma estesa si scrive:
Q
Q
Q
Q
k k k k
k k k k
k k k k
k k k k
q
q
q
qn
n
n
n
n n n nn n
1
2
3
11 12 13 1
21 22 23 2
31 32 33 3
1 2 3
1
2
3
.
.
.
.
. . . . .
.
.
Figura 2.7
Il generico coefficiente kij rappresenta il
valore della forza Qi che si desta al nodo i a
seguito di uno spostamento qj=1, essendo
nulli tutti gli altri spostamenti. Gli elementi
della j-esima colonna della matrice di
rigidezza rappresentano anche le forze
necessarie per mantenere il corpo nella
configurazione deformata data da qj = 1,
essendo tutti nulli gli altri spostamenti dei
punti di applicazione delle forze.
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Pertanto il vettore {k11, k21, k31 …..,kn1}, rappresenta fisicamente un sistema di
forze equilibrato che agisce sull'elemento e che determina lo spostamento qj = 1.
La 2.7 può essere ottenuta anche valutando lo spostamento qj come somma degli
spostamenti cijQij dovuti ai carichi Qj e calcolati per mezzo dei coefficienti di
influenza di flessibilità cij. Si ha:
In forma contratta si scrive:
{q} = [c] {Q}
nella quale [c] è la matrice di flessibilità.
Considerando che [c] = [k]-1 si ottiene infine:
{Q} = [k] {q}
q c Q c Q c Qq c Q c Q c Q
q c Q c Q c Q
n n
n n
n n n nn n
1 11 1 12 2 1
2 21 1 22 2 2
1 1 2 2
..........
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2.2.2 Assemblaggio Trovate le equazioni di equilibrio per l’elemento, occorre determinare quelle per
la struttura costituita dagli elementi assemblati (come le aste in una struttura
reticolare). La relazione da determinare deve collegare, come la 2.7, il vettore
forze esterne agenti nei nodi agli spostamenti dei nodi e deve essere del tipo:
{F} = [K] {d} (2.8)
La matrice [K] è detta matrice di rigidezza dell'assemblaggio, o della struttura, e
può essere costruita imponendo le opportune condizioni di equilibrio e
congruenza nei nodi degli elementi adiacenti. Essa è quadrata (n'xn'), essendo n' il
numero di gradi di libertà totale della struttura, e simmetrica e possiede le stesse
proprietà enunciate per l’elemento. La 2.8 costituisce un sistema di equazioni dal
quale è possibile ricavare, come si vedrà, gli spostamenti incogniti.
Di seguito si riporta un procedimento per il calcolo dei coefficienti della matrice
[K] per la struttura di figura 2.8, a tre gradi di libertà.
Figura 2.8
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Dalla 2.8 si possono scrivere in forma esplicita, in corrispondenza di ciascun
nodo, le relazioni di equilibrio lungo la direzione x:
Allora, dopo aver scomposto la struttura nei suoi elementi ed aver utilizzato in
ciascuno di essi una numerazione locale dei nodi (figura 2.9), deve risultare:
per l'equilibrio: per la congruenza:
Le equazioni di equilibrio dei singoli elementi sono:
F K d K d K d
F K d K d K d
F K d K d K d
1 11 1 12 2 13 3
2 21 1 22 2 23 3
3 31 1 32 2 33 3
F Q
F Q Q
F Q
1 1
1
2 2
1
1
2
3 2
2
( )
( ) ( )
( )
d q
d q q
d q
1 1
1
2 2
1
1
2
3 2
2
( )
( ) ( )
( )
)1(
2
1
)1(
2221
12111
2
)1(
2
1
21
q
q
kk
kk
Q
Q
)2(
2
1
)2(
2221
12112
3
)2(
2
1
32
q
q
kk
kk
Q
Q
Figura 2.9
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3
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Gli indici delle righe e delle colonne delle matrici di rigidezza sono relativi alla
numerazione dei nodi della struttura completa (riferimento globale). Esplicitando
le 2.10 si ottiene:
che, tenendo presenti le relazioni di equilibrio e di congruenza, consentono di
scrivere:
Confrontando queste ultime con le (2.9) si ottengono infine i coefficienti della
matrice di rigidezza della struttura completa (matrice di rigidezza globale):
Q k q k q
Q k q k q1
1
11
1
1
1
12
1
2
1
2
1
21
1
1
1
22
1
2
1
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
Q k q k q
Q k q k q1
2
11
2
1
2
12
2
2
2
2
2
21
2
1
2
22
2
2
2
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
F Q k d k d
F Q Q k d k d k d k d
F Q k d k d
1 1
1
11
1
1 12
1
2
2 2
1
1
2
21
1
1 22
1
2 11
2
2 12
2
3
3 2
2
21
2
2 22
2
3
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
K k
K kK
11 11
1
21 21
1
31 0
( )
( )
K k
K k k
K k
12 12
1
22 22
1
11
2
32 21
2
( )
( ) ( )
( )
K
K k
K k
13
23 12
2
33 22
2
0
( )
( )
METODO DEGLI SPOSTAMENTI C
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Il risultato ottenuto corrisponde a sommare in ogni nodo le reazioni elastiche
provenienti dagli spostamenti dei nodi di ognuno degli elementi incidenti in quel
nodo.
Si osservi che ciascuna delle (2.9) rappresenta l’equilibrio nel nodo i tra forza
esterna applicata in quel nodo e reazioni elastiche in quel nodo per effetto degli
spostamenti di tutti i nodi dell’elemento; ne consegue che non potendo destarsi
una reazione elastica per effetto degli spostamenti dei nodi appartenenti ad altri
elementi, i coefficienti Kij corrispondenti devono essere nulli; in altri termini i
coefficienti della matrice sono nulli se forza e spostamento sono relativi a nodi
appartenenti ad elementi diversi. Tenendo presente allora che in genere una
struttura è costituita da molti elementi, la matrice di rigidezza possiede molti
coefficienti uguali a 0, cioè è una matrice sparsa.
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Questo è mostrato con la struttura di figura 2.10 i cui nodi possiedono il solo
grado di libertà lungo x. La struttura possiede 11 gradi di libertà e la sua matrice
di rigidezza è 11x11; per quanto detto, risulta che i coefficienti diversi da zero che
danno luogo a reazioni elastiche, per esempio, nel nodo 5 (5^ riga della matrice)
sono soltanto quello della diagonale principale e quelli relativi ai nodi collegati al
nodo 5; pertanto degli undici coefficienti della riga soltanto 5 sono diversi da 0
(fig. 2.11).
Figura 2.10
Figura 2.11
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Un
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Per la numerazione adottata i coefficienti diversi da zero di [K] sono ben raccolti
intorno alla diagonale principale (matrice a banda). Una misura del popolamento
della matrice intorno alla diagonale principale è data dalla "larghezza della
semibanda" della matrice. Se Δi è il massimo numero di termini per riga
all’interno della banda a sinistra o a destra della diagonale principale,
riscontrabile nella matrice, la larghezza della semibanda vale Δi +1 (3 in figura
2.11). La larghezza della semibanda dipende dalla progressività con cui vengono
numerati i nodi (se nell'esempio si scambia il nodo 7 con l'11 la larghezza della
semibanda diventa 7) e cresce col numero di nodi dell'elemento e col numero di
gradi di libertà per nodo. La larghezza dipende anche dalla larghezza del fronte di
avanzamento della numerazione: in fig. 2.10 si è utilizzato un fronte largo due
nodi, che si sposta da sinistra a destra; se si fossero numerati con i numeri più
bassi i nodi inferiori e con i numeri più alti gli altri, il fronte sarebbe stato di 6
nodi e si sarebbe mosso verso l’alto, e la larghezza della semibanda sarebbe stata
7.
Larghezza della semibanda = (nnE+1)nGDL,n
nnE = Massima differenza tra la numerazione dei nodi attaccati allo stesso elemento
nGDL,n = Numero gradi di libertà per nodo
METODO DEGLI ELEMENTI FINITI C
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Larghezza della semibanda
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La caratteristica di matrice simmetrica e a banda consente, in generale,
adoperando metodi di soluzione diretti (p. es. il metodo di eliminazione di Gauss),
di economizzare la occupazione di memoria del calcolatore, in quanto vengono
memorizzati soltanto i coefficienti della semibanda (compresi quelli uguali a
zero), e di ridurre il numero di operazioni aritmetiche. Si può dimostrare che lo
sforzo computazionale dipende, per dato ordine della matrice, da (Δi +1)2.
Considerato che, generalmente, i problemi strutturali sono caratterizzati da un
numero molto elevato di elementi e di gradi di libertà (per strutture
tridimensionali continue si può arrivare anche a milioni di gradi di libertà), la loro
soluzione richiede la soluzione di un sistema di molte equazioni con molte
incognite del tipo delle 2.8 (o 2.9). Considerando, ancora, che in tale situazione
sarà nettamente preponderante il numero di coefficienti nulli della matrice di
rigidezza del sistema di equazioni risolvente , la caratteristica di matrice a banda
può consentire una notevole riduzione del tempo di calcolo, se si riesce ad
individuare una numerazione dei nodi (e dei gradi di libertà) che consenta di
ridurre quanto più è possibile Δi . Esistono algoritmi in grado di ottimizzare tale
numerazione ai fini della minimizzazione della larghezza di banda. I più moderni
codici commerciali di calcolo agli EF contengono sottoprogrammi basati su
algoritmi che hanno questa funzione.
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Senza entrare in dettagli si fa osservare che anche la modalità di numerazione
degli elementi (o meglio l’ordine di assemblaggio) influenza lo sforzo
computazionale quando si usano algoritmi che simultaneamente assemblano e
risolvono progressivamente le equazioni.
Dopo aver scritto le relazioni matriciali di equilibrio per ciascun elemento della
struttura, la procedura di assemblaggio della matrice [K] può essere automatizzata
in questo modo:
a) si predispone una matrice di dimensioni n'xn' con n' uguale al numero di gradi
di libertà della struttura; ciascun coefficiente della matrice è identificato da un
doppio indice ij: il primo compete alla riga, il secondo alla colonna;
b) in ogni casella ij di tale matrice si posizionano i coefficienti di ogni elemento,
i cui indici sono riferiti alla numerazione globale e sono rilevabili da relazioni del
tipo delle 2.10; in presenza di più coefficienti kij con gli stessi i e j si prende
Kij = Σ kij .