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IntroduçãoExemplos
Números aleatóriosAmostragem ponderada
Método Monte-Carlo
Alexandre Rosas
Departamento de FísicaUniversidade Federal da Paraíba
23 de Março de 2009
Alexandre Rosas Método Monte-Carlo
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IntroduçãoExemplos
Números aleatóriosAmostragem ponderada
O que são os métodos de Monte-Carlo?
Métodos numéricos que utilizam amostragem estatística(em contraposição a métodos determinísticos)Amostragem aleatória a partir de uma função distribuiçãode probabilidades. → números pseudo-aleatóriosVárias amostrasMédiaAlguns problemas determinísticos podem ser reescritosem função de uma distribuição de probabilidades
integração
Alexandre Rosas Método Monte-Carlo
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IntroduçãoExemplos
Números aleatóriosAmostragem ponderada
O que são os métodos de Monte-Carlo?
Métodos numéricos que utilizam amostragem estatística(em contraposição a métodos determinísticos)Amostragem aleatória a partir de uma função distribuiçãode probabilidades. → números pseudo-aleatóriosVárias amostrasMédiaAlguns problemas determinísticos podem ser reescritosem função de uma distribuição de probabilidades
integração
Alexandre Rosas Método Monte-Carlo
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IntroduçãoExemplos
Números aleatóriosAmostragem ponderada
O que são os métodos de Monte-Carlo?
Métodos numéricos que utilizam amostragem estatística(em contraposição a métodos determinísticos)Amostragem aleatória a partir de uma função distribuiçãode probabilidades. → números pseudo-aleatóriosVárias amostrasMédiaAlguns problemas determinísticos podem ser reescritosem função de uma distribuição de probabilidades
integração
Alexandre Rosas Método Monte-Carlo
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IntroduçãoExemplos
Números aleatóriosAmostragem ponderada
O que são os métodos de Monte-Carlo?
Métodos numéricos que utilizam amostragem estatística(em contraposição a métodos determinísticos)Amostragem aleatória a partir de uma função distribuiçãode probabilidades. → números pseudo-aleatóriosVárias amostrasMédiaAlguns problemas determinísticos podem ser reescritosem função de uma distribuição de probabilidades
integração
Alexandre Rosas Método Monte-Carlo
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IntroduçãoExemplos
Números aleatóriosAmostragem ponderada
O que são os métodos de Monte-Carlo?
Métodos numéricos que utilizam amostragem estatística(em contraposição a métodos determinísticos)Amostragem aleatória a partir de uma função distribuiçãode probabilidades. → números pseudo-aleatóriosVárias amostrasMédiaAlguns problemas determinísticos podem ser reescritosem função de uma distribuição de probabilidades
integração
Alexandre Rosas Método Monte-Carlo
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IntroduçãoExemplos
Números aleatóriosAmostragem ponderada
O que são os métodos de Monte-Carlo?
Métodos numéricos que utilizam amostragem estatística(em contraposição a métodos determinísticos)Amostragem aleatória a partir de uma função distribuiçãode probabilidades. → números pseudo-aleatóriosVárias amostrasMédiaAlguns problemas determinísticos podem ser reescritosem função de uma distribuição de probabilidades
integração
Alexandre Rosas Método Monte-Carlo
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IntroduçãoExemplos
Números aleatóriosAmostragem ponderada
O que são os métodos de Monte-Carlo?
Métodos numéricos que utilizam amostragem estatística(em contraposição a métodos determinísticos)Amostragem aleatória a partir de uma função distribuiçãode probabilidades. → números pseudo-aleatóriosVárias amostrasMédiaAlguns problemas determinísticos podem ser reescritosem função de uma distribuição de probabilidades
integração
Alexandre Rosas Método Monte-Carlo
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IntroduçãoExemplos
Números aleatóriosAmostragem ponderada
O que são os métodos de Monte-Carlo?
Métodos numéricos que utilizam amostragem estatística(em contraposição a métodos determinísticos)Amostragem aleatória a partir de uma função distribuiçãode probabilidades. → números pseudo-aleatóriosVárias amostrasMédiaAlguns problemas determinísticos podem ser reescritosem função de uma distribuição de probabilidades
integração
Alexandre Rosas Método Monte-Carlo
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IntroduçãoExemplos
Números aleatóriosAmostragem ponderada
Histórico
Origem do nome: Cassino de Monte-Carlo, MônacoRoleta ←→ números aleatóriosNome e sistematização em torno de 1944Precussores
1873 A. Hall – Determinação de π jogando uma agulha1899 Lord Rayleigh – caminhada aleatória unidimensional1931 Kolmogorov – processos markovianos1908 W. S. Gosset – distribuição t de Student
2a guerra Primeiros usos na pesquisa – bomba atômica1948 Harris e Herman Kanh – desenvolvimento sistemático1948 Fermi, Metropolis e Ulam – estimativas de autovalores da
equação de Schrodinger
Alexandre Rosas Método Monte-Carlo
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IntroduçãoExemplos
Números aleatóriosAmostragem ponderada
Histórico
Origem do nome: Cassino de Monte-Carlo, MônacoRoleta ←→ números aleatóriosNome e sistematização em torno de 1944Precussores
1873 A. Hall – Determinação de π jogando uma agulha1899 Lord Rayleigh – caminhada aleatória unidimensional1931 Kolmogorov – processos markovianos1908 W. S. Gosset – distribuição t de Student
2a guerra Primeiros usos na pesquisa – bomba atômica1948 Harris e Herman Kanh – desenvolvimento sistemático1948 Fermi, Metropolis e Ulam – estimativas de autovalores da
equação de Schrodinger
Alexandre Rosas Método Monte-Carlo
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IntroduçãoExemplos
Números aleatóriosAmostragem ponderada
Histórico
Origem do nome: Cassino de Monte-Carlo, MônacoRoleta ←→ números aleatóriosNome e sistematização em torno de 1944Precussores
1873 A. Hall – Determinação de π jogando uma agulha1899 Lord Rayleigh – caminhada aleatória unidimensional1931 Kolmogorov – processos markovianos1908 W. S. Gosset – distribuição t de Student
2a guerra Primeiros usos na pesquisa – bomba atômica1948 Harris e Herman Kanh – desenvolvimento sistemático1948 Fermi, Metropolis e Ulam – estimativas de autovalores da
equação de Schrodinger
Alexandre Rosas Método Monte-Carlo
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IntroduçãoExemplos
Números aleatóriosAmostragem ponderada
Histórico
Origem do nome: Cassino de Monte-Carlo, MônacoRoleta ←→ números aleatóriosNome e sistematização em torno de 1944Precussores
1873 A. Hall – Determinação de π jogando uma agulha1899 Lord Rayleigh – caminhada aleatória unidimensional1931 Kolmogorov – processos markovianos1908 W. S. Gosset – distribuição t de Student
2a guerra Primeiros usos na pesquisa – bomba atômica1948 Harris e Herman Kanh – desenvolvimento sistemático1948 Fermi, Metropolis e Ulam – estimativas de autovalores da
equação de Schrodinger
Alexandre Rosas Método Monte-Carlo
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IntroduçãoExemplos
Números aleatóriosAmostragem ponderada
Histórico
Origem do nome: Cassino de Monte-Carlo, MônacoRoleta ←→ números aleatóriosNome e sistematização em torno de 1944Precussores
1873 A. Hall – Determinação de π jogando uma agulha1899 Lord Rayleigh – caminhada aleatória unidimensional sem
barreira dá solução aproximada para equação diferencialparabólica (difusão)
1931 Kolmogorov – processos markovianos1908 W. S. Gosset – distribuição t de Student
2a guerra Primeiros usos na pesquisa – bomba atômica1948 Harris e Herman Kanh – desenvolvimento sistemático1948 Fermi, Metropolis e Ulam – estimativas de autovalores da
equação de SchrodingerAlexandre Rosas Método Monte-Carlo
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IntroduçãoExemplos
Números aleatóriosAmostragem ponderada
Histórico
Origem do nome: Cassino de Monte-Carlo, MônacoRoleta ←→ números aleatóriosNome e sistematização em torno de 1944Precussores
1873 A. Hall – Determinação de π jogando uma agulha1899 Lord Rayleigh – caminhada aleatória unidimensional1931 Kolmogorov – relação entre processos markovianos e
equações integro-diferenciais1908 W. S. Gosset – distribuição t de Student
2a guerra Primeiros usos na pesquisa – bomba atômica1948 Harris e Herman Kanh – desenvolvimento sistemático1948 Fermi, Metropolis e Ulam – estimativas de autovalores da
equação de Schrodinger
Alexandre Rosas Método Monte-Carlo
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IntroduçãoExemplos
Números aleatóriosAmostragem ponderada
Histórico
Origem do nome: Cassino de Monte-Carlo, MônacoRoleta ←→ números aleatóriosNome e sistematização em torno de 1944Precussores
1873 A. Hall – Determinação de π jogando uma agulha1899 Lord Rayleigh – caminhada aleatória unidimensional1931 Kolmogorov – processos markovianos1908 W. S. Gosset – amostragem experimental usada para criar
a distribuição t de Student2a guerra Primeiros usos na pesquisa – bomba atômica
1948 Harris e Herman Kanh – desenvolvimento sistemático1948 Fermi, Metropolis e Ulam – estimativas de autovalores da
equação de Schrodinger
Alexandre Rosas Método Monte-Carlo
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IntroduçãoExemplos
Números aleatóriosAmostragem ponderada
Histórico
Origem do nome: Cassino de Monte-Carlo, MônacoRoleta ←→ números aleatóriosNome e sistematização em torno de 1944Precussores
1873 A. Hall – Determinação de π jogando uma agulha1899 Lord Rayleigh – caminhada aleatória unidimensional1931 Kolmogorov – processos markovianos1908 W. S. Gosset – distribuição t de Student
2a guerra Primeiros usos na pesquisa – bomba atômicaProblemas probabilísticos associados à difusão de nêutrons nomaterial físsil
1948 Harris e Herman Kanh – desenvolvimento sistemático1948 Fermi, Metropolis e Ulam – estimativas de autovalores da
equação de Schrodinger
Alexandre Rosas Método Monte-Carlo
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IntroduçãoExemplos
Números aleatóriosAmostragem ponderada
Histórico
Origem do nome: Cassino de Monte-Carlo, MônacoRoleta ←→ números aleatóriosNome e sistematização em torno de 1944Precussores
1873 A. Hall – Determinação de π jogando uma agulha1899 Lord Rayleigh – caminhada aleatória unidimensional1931 Kolmogorov – processos markovianos1908 W. S. Gosset – distribuição t de Student
2a guerra Primeiros usos na pesquisa – bomba atômica1948 Harris e Herman Kanh – desenvolvimento sistemático1948 Fermi, Metropolis e Ulam – estimativas de autovalores da
equação de Schrodinger
Alexandre Rosas Método Monte-Carlo
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IntroduçãoExemplos
Números aleatóriosAmostragem ponderada
Histórico
Origem do nome: Cassino de Monte-Carlo, MônacoRoleta ←→ números aleatóriosNome e sistematização em torno de 1944Precussores
1873 A. Hall – Determinação de π jogando uma agulha1899 Lord Rayleigh – caminhada aleatória unidimensional1931 Kolmogorov – processos markovianos1908 W. S. Gosset – distribuição t de Student
2a guerra Primeiros usos na pesquisa – bomba atômica1948 Harris e Herman Kanh – desenvolvimento sistemático1948 Fermi, Metropolis e Ulam – estimativas de autovalores da
equação de Schrodinger
Alexandre Rosas Método Monte-Carlo
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IntroduçãoExemplos
Números aleatóriosAmostragem ponderada
Integração de Monte-CarloEvolução para o equilíbrioDecaimento radioativo
Introdução ao método
Na aula sobre integração numérica vimos que
I =
∫ 1
0f (x)dx ≈
N∑k=1
f (xk )ωk
Tomando todos os ωk iguais e lembrando que h = 1/NN∑
k=1
f (xk )ωk =1N
N∑k=1
f (xk ) = 〈f 〉N
distribuição uniformeRepetindo a medida M vezes,
〈I〉 =1M
M∑k=1
〈f 〉N
Alexandre Rosas Método Monte-Carlo
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IntroduçãoExemplos
Números aleatóriosAmostragem ponderada
Integração de Monte-CarloEvolução para o equilíbrioDecaimento radioativo
Introdução ao método
Na aula sobre integração numérica vimos que
I =
∫ 1
0f (x)dx ≈
N∑k=1
f (xk )ωk
Tomando todos os ωk iguais e lembrando que h = 1/NN∑
k=1
f (xk )ωk =1N
N∑k=1
f (xk ) = 〈f 〉N
distribuição uniformeRepetindo a medida M vezes,
〈I〉 =1M
M∑k=1
〈f 〉N
Alexandre Rosas Método Monte-Carlo
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IntroduçãoExemplos
Números aleatóriosAmostragem ponderada
Integração de Monte-CarloEvolução para o equilíbrioDecaimento radioativo
Introdução ao método
Na aula sobre integração numérica vimos que
I =
∫ 1
0f (x)dx ≈
N∑k=1
f (xk )ωk
Tomando todos os ωk iguais e lembrando que h = 1/NN∑
k=1
f (xk )ωk =1N
N∑k=1
f (xk ) = 〈f 〉N
distribuição uniformeRepetindo a medida M vezes,
〈I〉 =1M
M∑k=1
〈f 〉N
Alexandre Rosas Método Monte-Carlo
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IntroduçãoExemplos
Números aleatóriosAmostragem ponderada
Integração de Monte-CarloEvolução para o equilíbrioDecaimento radioativo
Variância
Variância em uma amostra – medida do desvio de f da suamédia
σ2f = 〈f 2〉M − 〈f 〉2M
Variância da série de medidas
σ2M ≈
1M
(〈f 2〉M − 〈f 〉2N
)=σ2
fM
σM ∼ 1/√
M é uma medida do erro
Alexandre Rosas Método Monte-Carlo
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IntroduçãoExemplos
Números aleatóriosAmostragem ponderada
Integração de Monte-CarloEvolução para o equilíbrioDecaimento radioativo
Variância
Variância em uma amostra – medida do desvio de f da suamédia
σ2f = 〈f 2〉M − 〈f 〉2M
Variância da série de medidas
σ2M ≈
1M
(〈f 2〉M − 〈f 〉2N
)=σ2
fM
σM ∼ 1/√
M é uma medida do erro
Alexandre Rosas Método Monte-Carlo
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IntroduçãoExemplos
Números aleatóriosAmostragem ponderada
Integração de Monte-CarloEvolução para o equilíbrioDecaimento radioativo
Variância
Variância em uma amostra – medida do desvio de f da suamédia
σ2f = 〈f 2〉M − 〈f 〉2M
Variância da série de medidas
σ2M ≈
1M
(〈f 2〉M − 〈f 〉2N
)=σ2
fM
σM ∼ 1/√
M é uma medida do erro
Alexandre Rosas Método Monte-Carlo
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IntroduçãoExemplos
Números aleatóriosAmostragem ponderada
Integração de Monte-CarloEvolução para o equilíbrioDecaimento radioativo
Comparação com outros métodos
Método ErroMonte Carlo N−1/2
Trapézio h ∼ N−1/d
Simpson h ∼ N−4/d
Alexandre Rosas Método Monte-Carlo
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IntroduçãoExemplos
Números aleatóriosAmostragem ponderada
Integração de Monte-CarloEvolução para o equilíbrioDecaimento radioativo
Comparação com outros métodos
Método ErroMonte Carlo N−1/2
Trapézio h ∼ N−1/d
Simpson h ∼ N−4/d
Alexandre Rosas Método Monte-Carlo
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IntroduçãoExemplos
Números aleatóriosAmostragem ponderada
Integração de Monte-CarloEvolução para o equilíbrioDecaimento radioativo
Comparação com outros métodos
Método ErroMonte Carlo N−1/2
Trapézio h ∼ N−1/d
Simpson h ∼ N−4/d
Alexandre Rosas Método Monte-Carlo
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IntroduçãoExemplos
Números aleatóriosAmostragem ponderada
Integração de Monte-CarloEvolução para o equilíbrioDecaimento radioativo
Comparação com outros métodos
Método ErroMonte Carlo N−1/2
Trapézio h ∼ N−1/d
Simpson h ∼ N−4/d
Por que usar Monte-Carlo?
Alexandre Rosas Método Monte-Carlo
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IntroduçãoExemplos
Números aleatóriosAmostragem ponderada
Integração de Monte-CarloEvolução para o equilíbrioDecaimento radioativo
Comparação com outros métodos
Método ErroMonte Carlo N−1/2
Trapézio h ∼ N−1/d
Simpson h ∼ N−4/d
Integrais multidimensionaisMonte-Carlo não depende da dimensão
Alexandre Rosas Método Monte-Carlo
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IntroduçãoExemplos
Números aleatóriosAmostragem ponderada
Integração de Monte-CarloEvolução para o equilíbrioDecaimento radioativo
Implementação
Algoritmo1 Escolha o número de amostras2 Para cada amostra escolha um número aleatório xk e
calcule f (xk )
3 Calcule a média de f (xk ) e a variância
Alexandre Rosas Método Monte-Carlo
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IntroduçãoExemplos
Números aleatóriosAmostragem ponderada
Integração de Monte-CarloEvolução para o equilíbrioDecaimento radioativo
Implementação
Algoritmo1 Escolha o número de amostras2 Para cada amostra escolha um número aleatório xk e
calcule f (xk )
3 Calcule a média de f (xk ) e a variância
Alexandre Rosas Método Monte-Carlo
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IntroduçãoExemplos
Números aleatóriosAmostragem ponderada
Integração de Monte-CarloEvolução para o equilíbrioDecaimento radioativo
Implementação
Algoritmo1 Escolha o número de amostras2 Para cada amostra escolha um número aleatório xk e
calcule f (xk )
3 Calcule a média de f (xk ) e a variância
Alexandre Rosas Método Monte-Carlo
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IntroduçãoExemplos
Números aleatóriosAmostragem ponderada
Integração de Monte-CarloEvolução para o equilíbrioDecaimento radioativo
Exemplo
∫ 10
41+xx dx = π
N 〈I〉 σN | I−ππ |100 3.182251 0.430004 0.012942
1000 3.155254 0.419448 0.00434910000 3.142956 0.413842 0.000434
100000 3.142433 0.413087 0.0002671000000 3.142021 0.413286 0.000136
10000000 3.141894 0.413538 0.000096100000000 3.141638 0.413660 0.000014
1000000000 3.141584 0.413586 0.000003
variância oscila em torno do valor exato 0.413581integral correta até quarta casa
Alexandre Rosas Método Monte-Carlo
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IntroduçãoExemplos
Números aleatóriosAmostragem ponderada
Integração de Monte-CarloEvolução para o equilíbrioDecaimento radioativo
Partículas em uma caixa
Caixa dividida em duas metades iguaisInicialmente, todas as partículas no lado esquerdoPequeno buraco é feito na paredeAo invés de descrever o estado inicial das N partículas,fazemos um modelo estatístico Cada partícula tem mesmaprobabilidade de ir para a direita ou voltar para a esquerda
Algoritmo
1 Repetir para muitos passos de tempo Nt > N
2 Para cada passo de tempo, a probalilidade de uma partícula irpara a direita é p = Nl/N
3 Sortear um número aleatório r
4 Se p < r , Nl ← Nl − 1, caso contrário Nl ← Nl + 1
Alexandre Rosas Método Monte-Carlo
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IntroduçãoExemplos
Números aleatóriosAmostragem ponderada
Integração de Monte-CarloEvolução para o equilíbrioDecaimento radioativo
Partículas em uma caixa
Caixa dividida em duas metades iguaisInicialmente, todas as partículas no lado esquerdoPequeno buraco é feito na paredeAo invés de descrever o estado inicial das N partículas,fazemos um modelo estatístico Cada partícula tem mesmaprobabilidade de ir para a direita ou voltar para a esquerda
Algoritmo
1 Repetir para muitos passos de tempo Nt > N
2 Para cada passo de tempo, a probalilidade de uma partícula irpara a direita é p = Nl/N
3 Sortear um número aleatório r
4 Se p < r , Nl ← Nl − 1, caso contrário Nl ← Nl + 1
Alexandre Rosas Método Monte-Carlo
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IntroduçãoExemplos
Números aleatóriosAmostragem ponderada
Integração de Monte-CarloEvolução para o equilíbrioDecaimento radioativo
Partículas em uma caixa
Caixa dividida em duas metades iguaisInicialmente, todas as partículas no lado esquerdoPequeno buraco é feito na paredeAo invés de descrever o estado inicial das N partículas,fazemos um modelo estatístico Cada partícula tem mesmaprobabilidade de ir para a direita ou voltar para a esquerda
Algoritmo
1 Repetir para muitos passos de tempo Nt > N
2 Para cada passo de tempo, a probalilidade de uma partícula irpara a direita é p = Nl/N
3 Sortear um número aleatório r
4 Se p < r , Nl ← Nl − 1, caso contrário Nl ← Nl + 1
Alexandre Rosas Método Monte-Carlo
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IntroduçãoExemplos
Números aleatóriosAmostragem ponderada
Integração de Monte-CarloEvolução para o equilíbrioDecaimento radioativo
Partículas em uma caixa
Caixa dividida em duas metades iguaisInicialmente, todas as partículas no lado esquerdoPequeno buraco é feito na paredeAo invés de descrever o estado inicial das N partículas,fazemos um modelo estatístico Cada partícula tem mesmaprobabilidade de ir para a direita ou voltar para a esquerda
Algoritmo
1 Repetir para muitos passos de tempo Nt > N
2 Para cada passo de tempo, a probalilidade de uma partícula irpara a direita é p = Nl/N
3 Sortear um número aleatório r
4 Se p < r , Nl ← Nl − 1, caso contrário Nl ← Nl + 1
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IntroduçãoExemplos
Números aleatóriosAmostragem ponderada
Integração de Monte-CarloEvolução para o equilíbrioDecaimento radioativo
Partículas em uma caixa
Caixa dividida em duas metades iguaisInicialmente, todas as partículas no lado esquerdoPequeno buraco é feito na paredeAo invés de descrever o estado inicial das N partículas,fazemos um modelo estatístico Cada partícula tem mesmaprobabilidade de ir para a direita ou voltar para a esquerda
Algoritmo
1 Repetir para muitos passos de tempo Nt > N
2 Para cada passo de tempo, a probalilidade de uma partícula irpara a direita é p = Nl/N
3 Sortear um número aleatório r
4 Se p < r , Nl ← Nl − 1, caso contrário Nl ← Nl + 1
Alexandre Rosas Método Monte-Carlo
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IntroduçãoExemplos
Números aleatóriosAmostragem ponderada
Integração de Monte-CarloEvolução para o equilíbrioDecaimento radioativo
Partículas em uma caixa
Caixa dividida em duas metades iguaisInicialmente, todas as partículas no lado esquerdoPequeno buraco é feito na paredeAo invés de descrever o estado inicial das N partículas,fazemos um modelo estatístico Cada partícula tem mesmaprobabilidade de ir para a direita ou voltar para a esquerda
Algoritmo
1 Repetir para muitos passos de tempo Nt > N
2 Para cada passo de tempo, a probalilidade de uma partícula irpara a direita é p = Nl/N
3 Sortear um número aleatório r
4 Se p < r , Nl ← Nl − 1, caso contrário Nl ← Nl + 1
Alexandre Rosas Método Monte-Carlo
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IntroduçãoExemplos
Números aleatóriosAmostragem ponderada
Integração de Monte-CarloEvolução para o equilíbrioDecaimento radioativo
Partículas em uma caixa
Caixa dividida em duas metades iguaisInicialmente, todas as partículas no lado esquerdoPequeno buraco é feito na paredeAo invés de descrever o estado inicial das N partículas,fazemos um modelo estatístico Cada partícula tem mesmaprobabilidade de ir para a direita ou voltar para a esquerda
Algoritmo
1 Repetir para muitos passos de tempo Nt > N
2 Para cada passo de tempo, a probalilidade de uma partícula irpara a direita é p = Nl/N
3 Sortear um número aleatório r
4 Se p < r , Nl ← Nl − 1, caso contrário Nl ← Nl + 1
Alexandre Rosas Método Monte-Carlo
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IntroduçãoExemplos
Números aleatóriosAmostragem ponderada
Integração de Monte-CarloEvolução para o equilíbrioDecaimento radioativo
Partículas em uma caixa
Caixa dividida em duas metades iguaisInicialmente, todas as partículas no lado esquerdoPequeno buraco é feito na paredeAo invés de descrever o estado inicial das N partículas,fazemos um modelo estatístico Cada partícula tem mesmaprobabilidade de ir para a direita ou voltar para a esquerda
Algoritmo
1 Repetir para muitos passos de tempo Nt > N
2 Para cada passo de tempo, a probalilidade de uma partícula irpara a direita é p = Nl/N
3 Sortear um número aleatório r
4 Se p < r , Nl ← Nl − 1, caso contrário Nl ← Nl + 1
Alexandre Rosas Método Monte-Carlo
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IntroduçãoExemplos
Números aleatóriosAmostragem ponderada
Integração de Monte-CarloEvolução para o equilíbrioDecaimento radioativo
Resultado
0 10000 20000 30000 40000 50000t
4000
5000
6000
7000
8000
9000
10000
Nl(t
)
Alexandre Rosas Método Monte-Carlo
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IntroduçãoExemplos
Números aleatóriosAmostragem ponderada
Integração de Monte-CarloEvolução para o equilíbrioDecaimento radioativo
O problema
Núcleo radioativo X pode decair para núcleo YPor sua vez, o núcleo Y pode decair para ZA meia-vida do núcleo X é τX , e a do núcleo Y é τY
Definindo a probabilidade de decaimento de um núcleopor unidade de tempo ω = 1/τ, o sistema pode serdescrito pelas equações
dXdt
= −ωX X (t)
dYdt
= ωX X (t)− ωY Y (t)
Alexandre Rosas Método Monte-Carlo
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IntroduçãoExemplos
Números aleatóriosAmostragem ponderada
Integração de Monte-CarloEvolução para o equilíbrioDecaimento radioativo
O problema
Núcleo radioativo X pode decair para núcleo YPor sua vez, o núcleo Y pode decair para ZA meia-vida do núcleo X é τX , e a do núcleo Y é τY
Definindo a probabilidade de decaimento de um núcleopor unidade de tempo ω = 1/τ, o sistema pode serdescrito pelas equações
dXdt
= −ωX X (t)
dYdt
= ωX X (t)− ωY Y (t)
Alexandre Rosas Método Monte-Carlo
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IntroduçãoExemplos
Números aleatóriosAmostragem ponderada
Integração de Monte-CarloEvolução para o equilíbrioDecaimento radioativo
O problema
Núcleo radioativo X pode decair para núcleo YPor sua vez, o núcleo Y pode decair para ZA meia-vida do núcleo X é τX , e a do núcleo Y é τY
Definindo a probabilidade de decaimento de um núcleopor unidade de tempo ω = 1/τ, o sistema pode serdescrito pelas equações
dXdt
= −ωX X (t)
dYdt
= ωX X (t)− ωY Y (t)
Alexandre Rosas Método Monte-Carlo
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IntroduçãoExemplos
Números aleatóriosAmostragem ponderada
Integração de Monte-CarloEvolução para o equilíbrioDecaimento radioativo
O problema
Núcleo radioativo X pode decair para núcleo YPor sua vez, o núcleo Y pode decair para ZA meia-vida do núcleo X é τX , e a do núcleo Y é τY
Definindo a probabilidade de decaimento de um núcleopor unidade de tempo ω = 1/τ, o sistema pode serdescrito pelas equações
dXdt
= −ωX X (t)
dYdt
= ωX X (t)− ωY Y (t)
Alexandre Rosas Método Monte-Carlo
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IntroduçãoExemplos
Números aleatóriosAmostragem ponderada
Integração de Monte-CarloEvolução para o equilíbrioDecaimento radioativo
O problema
Núcleo radioativo X pode decair para núcleo YPor sua vez, o núcleo Y pode decair para ZA meia-vida do núcleo X é τX , e a do núcleo Y é τY
Definindo a probabilidade de decaimento de um núcleopor unidade de tempo ω = 1/τ, o sistema pode serdescrito pelas equações
dXdt
= −ωX X (t)
dYdt
= ωX X (t)− ωY Y (t)
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IntroduçãoExemplos
Números aleatóriosAmostragem ponderada
Integração de Monte-CarloEvolução para o equilíbrioDecaimento radioativo
Do ponto de vista simulacional
A cada passo de tempo:Cada um dos NX átomos pode decair com probabilidadeωXCada um dos NY átomos pode decair com probabilidadeωY
Portanto, se N(d)X ,Y (t) é o número de atómos (X ,Y ) que
decaem no tempo t ,
NX (t + 1) ← NX (t)− N(d)X (t)
NY (t + 1) ← NY (t) + N(d)X (t)− N(d)
Y (t)
Alexandre Rosas Método Monte-Carlo
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IntroduçãoExemplos
Números aleatóriosAmostragem ponderada
Integração de Monte-CarloEvolução para o equilíbrioDecaimento radioativo
Do ponto de vista simulacional
A cada passo de tempo:Cada um dos NX átomos pode decair com probabilidadeωXCada um dos NY átomos pode decair com probabilidadeωY
Portanto, se N(d)X ,Y (t) é o número de atómos (X ,Y ) que
decaem no tempo t ,
NX (t + 1) ← NX (t)− N(d)X (t)
NY (t + 1) ← NY (t) + N(d)X (t)− N(d)
Y (t)
Alexandre Rosas Método Monte-Carlo
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IntroduçãoExemplos
Números aleatóriosAmostragem ponderada
Integração de Monte-CarloEvolução para o equilíbrioDecaimento radioativo
Do ponto de vista simulacional
A cada passo de tempo:Cada um dos NX átomos pode decair com probabilidadeωXCada um dos NY átomos pode decair com probabilidadeωY
Portanto, se N(d)X ,Y (t) é o número de atómos (X ,Y ) que
decaem no tempo t ,
NX (t + 1) ← NX (t)− N(d)X (t)
NY (t + 1) ← NY (t) + N(d)X (t)− N(d)
Y (t)
Alexandre Rosas Método Monte-Carlo
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IntroduçãoExemplos
Números aleatóriosAmostragem ponderada
Integração de Monte-CarloEvolução para o equilíbrioDecaimento radioativo
Do ponto de vista simulacional
A cada passo de tempo:Cada um dos NX átomos pode decair com probabilidadeωXCada um dos NY átomos pode decair com probabilidadeωY
Portanto, se N(d)X ,Y (t) é o número de atómos (X ,Y ) que
decaem no tempo t ,
NX (t + 1) ← NX (t)− N(d)X (t)
NY (t + 1) ← NY (t) + N(d)X (t)− N(d)
Y (t)
Alexandre Rosas Método Monte-Carlo
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IntroduçãoExemplos
Números aleatóriosAmostragem ponderada
Integração de Monte-CarloEvolução para o equilíbrioDecaimento radioativo
Decaimento de 210Bi e 210Po
O 210Bi decai em 210Po (decaimento β)O 210Po decai em 206Pb (decaimento α)Meia vida do 210Bi: τBi = 7.2 diasMeia vida do 210Po: τPo = 200 diasSuponha que inicialmente tenhamos 1000 átomos de210Bi, como será a evolução do sistema?É importante escolher bem a escala de tempo
Se ela for muito grande, não veremos a evolução dosistemaSe ela for muito pequena, o programa será muito lento1 passo Monte-Carlo = 1 hora é razoável
Alexandre Rosas Método Monte-Carlo
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IntroduçãoExemplos
Números aleatóriosAmostragem ponderada
Integração de Monte-CarloEvolução para o equilíbrioDecaimento radioativo
Decaimento de 210Bi e 210Po
O 210Bi decai em 210Po (decaimento β)O 210Po decai em 206Pb (decaimento α)Meia vida do 210Bi: τBi = 7.2 diasMeia vida do 210Po: τPo = 200 diasSuponha que inicialmente tenhamos 1000 átomos de210Bi, como será a evolução do sistema?É importante escolher bem a escala de tempo
Se ela for muito grande, não veremos a evolução dosistemaSe ela for muito pequena, o programa será muito lento1 passo Monte-Carlo = 1 hora é razoável
Alexandre Rosas Método Monte-Carlo
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IntroduçãoExemplos
Números aleatóriosAmostragem ponderada
Integração de Monte-CarloEvolução para o equilíbrioDecaimento radioativo
Decaimento de 210Bi e 210Po
O 210Bi decai em 210Po (decaimento β)O 210Po decai em 206Pb (decaimento α)Meia vida do 210Bi: τBi = 7.2 diasMeia vida do 210Po: τPo = 200 diasSuponha que inicialmente tenhamos 1000 átomos de210Bi, como será a evolução do sistema?É importante escolher bem a escala de tempo
Se ela for muito grande, não veremos a evolução dosistemaSe ela for muito pequena, o programa será muito lento1 passo Monte-Carlo = 1 hora é razoável
Alexandre Rosas Método Monte-Carlo
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IntroduçãoExemplos
Números aleatóriosAmostragem ponderada
Integração de Monte-CarloEvolução para o equilíbrioDecaimento radioativo
Decaimento de 210Bi e 210Po
O 210Bi decai em 210Po (decaimento β)O 210Po decai em 206Pb (decaimento α)Meia vida do 210Bi: τBi = 7.2 diasMeia vida do 210Po: τPo = 200 diasSuponha que inicialmente tenhamos 1000 átomos de210Bi, como será a evolução do sistema?É importante escolher bem a escala de tempo
Se ela for muito grande, não veremos a evolução dosistemaSe ela for muito pequena, o programa será muito lento1 passo Monte-Carlo = 1 hora é razoável
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IntroduçãoExemplos
Números aleatóriosAmostragem ponderada
Integração de Monte-CarloEvolução para o equilíbrioDecaimento radioativo
Decaimento de 210Bi e 210Po
O 210Bi decai em 210Po (decaimento β)O 210Po decai em 206Pb (decaimento α)Meia vida do 210Bi: τBi = 7.2 diasMeia vida do 210Po: τPo = 200 diasSuponha que inicialmente tenhamos 1000 átomos de210Bi, como será a evolução do sistema?É importante escolher bem a escala de tempo
Se ela for muito grande, não veremos a evolução dosistemaSe ela for muito pequena, o programa será muito lento1 passo Monte-Carlo = 1 hora é razoável
Alexandre Rosas Método Monte-Carlo
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IntroduçãoExemplos
Números aleatóriosAmostragem ponderada
Integração de Monte-CarloEvolução para o equilíbrioDecaimento radioativo
Decaimento de 210Bi e 210Po
O 210Bi decai em 210Po (decaimento β)O 210Po decai em 206Pb (decaimento α)Meia vida do 210Bi: τBi = 7.2 diasMeia vida do 210Po: τPo = 200 diasSuponha que inicialmente tenhamos 1000 átomos de210Bi, como será a evolução do sistema?É importante escolher bem a escala de tempo
Se ela for muito grande, não veremos a evolução dosistemaSe ela for muito pequena, o programa será muito lento1 passo Monte-Carlo = 1 hora é razoável
Alexandre Rosas Método Monte-Carlo
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IntroduçãoExemplos
Números aleatóriosAmostragem ponderada
Integração de Monte-CarloEvolução para o equilíbrioDecaimento radioativo
Decaimento de 210Bi e 210Po
O 210Bi decai em 210Po (decaimento β)O 210Po decai em 206Pb (decaimento α)Meia vida do 210Bi: τBi = 7.2 diasMeia vida do 210Po: τPo = 200 diasSuponha que inicialmente tenhamos 1000 átomos de210Bi, como será a evolução do sistema?É importante escolher bem a escala de tempo
Se ela for muito grande, não veremos a evolução dosistemaSe ela for muito pequena, o programa será muito lento1 passo Monte-Carlo = 1 hora é razoável
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IntroduçãoExemplos
Números aleatóriosAmostragem ponderada
Integração de Monte-CarloEvolução para o equilíbrioDecaimento radioativo
Decaimento de 210Bi e 210Po
O 210Bi decai em 210Po (decaimento β)O 210Po decai em 206Pb (decaimento α)Meia vida do 210Bi: τBi = 7.2 diasMeia vida do 210Po: τPo = 200 diasSuponha que inicialmente tenhamos 1000 átomos de210Bi, como será a evolução do sistema?É importante escolher bem a escala de tempo
Se ela for muito grande, não veremos a evolução dosistemaSe ela for muito pequena, o programa será muito lento1 passo Monte-Carlo = 1 hora é razoável
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IntroduçãoExemplos
Números aleatóriosAmostragem ponderada
Integração de Monte-CarloEvolução para o equilíbrioDecaimento radioativo
210Bi
10 100 1000 10000tempo (horas)
0
200
400
600
800
1000
NB
i(t)
Alexandre Rosas Método Monte-Carlo
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IntroduçãoExemplos
Números aleatóriosAmostragem ponderada
Integração de Monte-CarloEvolução para o equilíbrioDecaimento radioativo
210Po
0 2000 4000 6000 8000 10000tempo (horas)
0
200
400
600
800
NPo
(t)
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IntroduçãoExemplos
Números aleatóriosAmostragem ponderada
Geradores de números aleatórios uniformesOutras distribuições de probabilidadesDistribuições não inversíveis
Geradores de números aleatórios são fundamentais parao método Monte-CarloO computador não tem como gerar números puramentealeatórios, ele gera números que parecem aleatórios, osnúmeros pseudo-aleatóriosOs números pseudo-aleatórios obedecem a uma regradeterminística com as seguintes propriedades
1 Correlação entre números é pequena2 O período para que a sequência se repita é grande3 O algoritmo deve ser rápido4 Obedecem a uma certa distribuição de probabilidades
A distribuição de probabilidades mais simples é a uniformeCada número em um intervalo – tipicamente [0,1) – temmesma probabilidade de ocorrerOutras distribuições de probabilidades são obtidas a partirda distribuição uniforme
Alexandre Rosas Método Monte-Carlo
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IntroduçãoExemplos
Números aleatóriosAmostragem ponderada
Geradores de números aleatórios uniformesOutras distribuições de probabilidadesDistribuições não inversíveis
Geradores de números aleatórios são fundamentais parao método Monte-CarloO computador não tem como gerar números puramentealeatórios, ele gera números que parecem aleatórios, osnúmeros pseudo-aleatóriosOs números pseudo-aleatórios obedecem a uma regradeterminística com as seguintes propriedades
1 Correlação entre números é pequena2 O período para que a sequência se repita é grande3 O algoritmo deve ser rápido4 Obedecem a uma certa distribuição de probabilidades
A distribuição de probabilidades mais simples é a uniformeCada número em um intervalo – tipicamente [0,1) – temmesma probabilidade de ocorrerOutras distribuições de probabilidades são obtidas a partirda distribuição uniforme
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IntroduçãoExemplos
Números aleatóriosAmostragem ponderada
Geradores de números aleatórios uniformesOutras distribuições de probabilidadesDistribuições não inversíveis
Geradores de números aleatórios são fundamentais parao método Monte-CarloO computador não tem como gerar números puramentealeatórios, ele gera números que parecem aleatórios, osnúmeros pseudo-aleatóriosOs números pseudo-aleatórios obedecem a uma regradeterminística com as seguintes propriedades
1 Correlação entre números é pequena2 O período para que a sequência se repita é grande3 O algoritmo deve ser rápido4 Obedecem a uma certa distribuição de probabilidades
A distribuição de probabilidades mais simples é a uniformeCada número em um intervalo – tipicamente [0,1) – temmesma probabilidade de ocorrerOutras distribuições de probabilidades são obtidas a partirda distribuição uniforme
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IntroduçãoExemplos
Números aleatóriosAmostragem ponderada
Geradores de números aleatórios uniformesOutras distribuições de probabilidadesDistribuições não inversíveis
Geradores de números aleatórios são fundamentais parao método Monte-CarloO computador não tem como gerar números puramentealeatórios, ele gera números que parecem aleatórios, osnúmeros pseudo-aleatóriosOs números pseudo-aleatórios obedecem a uma regradeterminística com as seguintes propriedades
1 Correlação entre números é pequena2 O período para que a sequência se repita é grande3 O algoritmo deve ser rápido4 Obedecem a uma certa distribuição de probabilidades
A distribuição de probabilidades mais simples é a uniformeCada número em um intervalo – tipicamente [0,1) – temmesma probabilidade de ocorrerOutras distribuições de probabilidades são obtidas a partirda distribuição uniforme
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IntroduçãoExemplos
Números aleatóriosAmostragem ponderada
Geradores de números aleatórios uniformesOutras distribuições de probabilidadesDistribuições não inversíveis
Geradores de números aleatórios são fundamentais parao método Monte-CarloO computador não tem como gerar números puramentealeatórios, ele gera números que parecem aleatórios, osnúmeros pseudo-aleatóriosOs números pseudo-aleatórios obedecem a uma regradeterminística com as seguintes propriedades
1 Correlação entre números é pequena2 O período para que a sequência se repita é grande3 O algoritmo deve ser rápido4 Obedecem a uma certa distribuição de probabilidades
A distribuição de probabilidades mais simples é a uniformeCada número em um intervalo – tipicamente [0,1) – temmesma probabilidade de ocorrerOutras distribuições de probabilidades são obtidas a partirda distribuição uniforme
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Números aleatóriosAmostragem ponderada
Geradores de números aleatórios uniformesOutras distribuições de probabilidadesDistribuições não inversíveis
Geradores de números aleatórios são fundamentais parao método Monte-CarloO computador não tem como gerar números puramentealeatórios, ele gera números que parecem aleatórios, osnúmeros pseudo-aleatóriosOs números pseudo-aleatórios obedecem a uma regradeterminística com as seguintes propriedades
1 Correlação entre números é pequena2 O período para que a sequência se repita é grande3 O algoritmo deve ser rápido4 Obedecem a uma certa distribuição de probabilidades
A distribuição de probabilidades mais simples é a uniformeCada número em um intervalo – tipicamente [0,1) – temmesma probabilidade de ocorrerOutras distribuições de probabilidades são obtidas a partirda distribuição uniforme
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IntroduçãoExemplos
Números aleatóriosAmostragem ponderada
Geradores de números aleatórios uniformesOutras distribuições de probabilidadesDistribuições não inversíveis
Geradores de números aleatórios são fundamentais parao método Monte-CarloO computador não tem como gerar números puramentealeatórios, ele gera números que parecem aleatórios, osnúmeros pseudo-aleatóriosOs números pseudo-aleatórios obedecem a uma regradeterminística com as seguintes propriedades
1 Correlação entre números é pequena2 O período para que a sequência se repita é grande3 O algoritmo deve ser rápido4 Obedecem a uma certa distribuição de probabilidades
A distribuição de probabilidades mais simples é a uniformeCada número em um intervalo – tipicamente [0,1) – temmesma probabilidade de ocorrerOutras distribuições de probabilidades são obtidas a partirda distribuição uniforme
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IntroduçãoExemplos
Números aleatóriosAmostragem ponderada
Geradores de números aleatórios uniformesOutras distribuições de probabilidadesDistribuições não inversíveis
Geradores de números aleatórios são fundamentais parao método Monte-CarloO computador não tem como gerar números puramentealeatórios, ele gera números que parecem aleatórios, osnúmeros pseudo-aleatóriosOs números pseudo-aleatórios obedecem a uma regradeterminística com as seguintes propriedades
1 Correlação entre números é pequena2 O período para que a sequência se repita é grande3 O algoritmo deve ser rápido4 Obedecem a uma certa distribuição de probabilidades
A distribuição de probabilidades mais simples é a uniformeCada número em um intervalo – tipicamente [0,1) – temmesma probabilidade de ocorrerOutras distribuições de probabilidades são obtidas a partirda distribuição uniforme
Alexandre Rosas Método Monte-Carlo
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IntroduçãoExemplos
Números aleatóriosAmostragem ponderada
Geradores de números aleatórios uniformesOutras distribuições de probabilidadesDistribuições não inversíveis
Geradores de números aleatórios são fundamentais parao método Monte-CarloO computador não tem como gerar números puramentealeatórios, ele gera números que parecem aleatórios, osnúmeros pseudo-aleatóriosOs números pseudo-aleatórios obedecem a uma regradeterminística com as seguintes propriedades
1 Correlação entre números é pequena2 O período para que a sequência se repita é grande3 O algoritmo deve ser rápido4 Obedecem a uma certa distribuição de probabilidades
A distribuição de probabilidades mais simples é a uniformeCada número em um intervalo – tipicamente [0,1) – temmesma probabilidade de ocorrerOutras distribuições de probabilidades são obtidas a partirda distribuição uniforme
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IntroduçãoExemplos
Números aleatóriosAmostragem ponderada
Geradores de números aleatórios uniformesOutras distribuições de probabilidadesDistribuições não inversíveis
Geradores de números aleatórios são fundamentais parao método Monte-CarloO computador não tem como gerar números puramentealeatórios, ele gera números que parecem aleatórios, osnúmeros pseudo-aleatóriosOs números pseudo-aleatórios obedecem a uma regradeterminística com as seguintes propriedades
1 Correlação entre números é pequena2 O período para que a sequência se repita é grande3 O algoritmo deve ser rápido4 Obedecem a uma certa distribuição de probabilidades
A distribuição de probabilidades mais simples é a uniformeCada número em um intervalo – tipicamente [0,1) – temmesma probabilidade de ocorrerOutras distribuições de probabilidades são obtidas a partirda distribuição uniforme
Alexandre Rosas Método Monte-Carlo
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IntroduçãoExemplos
Números aleatóriosAmostragem ponderada
Geradores de números aleatórios uniformesOutras distribuições de probabilidadesDistribuições não inversíveis
Geradores congruenciais lineares
Nk = (aNk−1 + c)MOD(M)
{Nk ,a, c,M} ∈ ℵGera os números xk = Nk/MN0 é a semente, MOD retorna o resto da divisãoM é o período máximoA escolha de N0,a e c é fundamental para a qualidade dogeradorExemplo: tomando N0 = 2,
Nk = (27Nk−1 + 11)MOD(54) ⇒ {11,38,11,38, . . .}
Estes são os geradores mais usados → muito rápidosAlexandre Rosas Método Monte-Carlo
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IntroduçãoExemplos
Números aleatóriosAmostragem ponderada
Geradores de números aleatórios uniformesOutras distribuições de probabilidadesDistribuições não inversíveis
Geradores congruenciais lineares
Nk = (aNk−1 + c)MOD(M)
{Nk ,a, c,M} ∈ ℵGera os números xk = Nk/MN0 é a semente, MOD retorna o resto da divisãoM é o período máximoA escolha de N0,a e c é fundamental para a qualidade dogeradorExemplo: tomando N0 = 2,
Nk = (27Nk−1 + 11)MOD(54) ⇒ {11,38,11,38, . . .}
Estes são os geradores mais usados → muito rápidosAlexandre Rosas Método Monte-Carlo
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IntroduçãoExemplos
Números aleatóriosAmostragem ponderada
Geradores de números aleatórios uniformesOutras distribuições de probabilidadesDistribuições não inversíveis
Geradores congruenciais lineares
Nk = (aNk−1 + c)MOD(M)
{Nk ,a, c,M} ∈ ℵGera os números xk = Nk/MN0 é a semente, MOD retorna o resto da divisãoM é o período máximoA escolha de N0,a e c é fundamental para a qualidade dogeradorExemplo: tomando N0 = 2,
Nk = (27Nk−1 + 11)MOD(54) ⇒ {11,38,11,38, . . .}
Estes são os geradores mais usados → muito rápidosAlexandre Rosas Método Monte-Carlo
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IntroduçãoExemplos
Números aleatóriosAmostragem ponderada
Geradores de números aleatórios uniformesOutras distribuições de probabilidadesDistribuições não inversíveis
Geradores congruenciais lineares
Nk = (aNk−1 + c)MOD(M)
{Nk ,a, c,M} ∈ ℵGera os números xk = Nk/MN0 é a semente, MOD retorna o resto da divisãoM é o período máximoA escolha de N0,a e c é fundamental para a qualidade dogeradorExemplo: tomando N0 = 2,
Nk = (27Nk−1 + 11)MOD(54) ⇒ {11,38,11,38, . . .}
Estes são os geradores mais usados → muito rápidosAlexandre Rosas Método Monte-Carlo
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IntroduçãoExemplos
Números aleatóriosAmostragem ponderada
Geradores de números aleatórios uniformesOutras distribuições de probabilidadesDistribuições não inversíveis
Geradores congruenciais lineares
Nk = (aNk−1 + c)MOD(M)
{Nk ,a, c,M} ∈ ℵGera os números xk = Nk/MN0 é a semente, MOD retorna o resto da divisãoM é o período máximoA escolha de N0,a e c é fundamental para a qualidade dogeradorExemplo: tomando N0 = 2,
Nk = (27Nk−1 + 11)MOD(54) ⇒ {11,38,11,38, . . .}
Estes são os geradores mais usados → muito rápidosAlexandre Rosas Método Monte-Carlo
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IntroduçãoExemplos
Números aleatóriosAmostragem ponderada
Geradores de números aleatórios uniformesOutras distribuições de probabilidadesDistribuições não inversíveis
Geradores congruenciais lineares
Nk = (aNk−1 + c)MOD(M)
{Nk ,a, c,M} ∈ ℵGera os números xk = Nk/MN0 é a semente, MOD retorna o resto da divisãoM é o período máximoA escolha de N0,a e c é fundamental para a qualidade dogeradorExemplo: tomando N0 = 2,
Nk = (27Nk−1 + 11)MOD(54) ⇒ {11,38,11,38, . . .}
Estes são os geradores mais usados → muito rápidosAlexandre Rosas Método Monte-Carlo
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IntroduçãoExemplos
Números aleatóriosAmostragem ponderada
Geradores de números aleatórios uniformesOutras distribuições de probabilidadesDistribuições não inversíveis
Geradores congruenciais lineares
Nk = (aNk−1 + c)MOD(M)
{Nk ,a, c,M} ∈ ℵGera os números xk = Nk/MN0 é a semente, MOD retorna o resto da divisãoM é o período máximoA escolha de N0,a e c é fundamental para a qualidade dogeradorExemplo: tomando N0 = 2,
Nk = (27Nk−1 + 11)MOD(54) ⇒ {11,38,11,38, . . .}
Estes são os geradores mais usados → muito rápidosAlexandre Rosas Método Monte-Carlo
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IntroduçãoExemplos
Números aleatóriosAmostragem ponderada
Geradores de números aleatórios uniformesOutras distribuições de probabilidadesDistribuições não inversíveis
Deslocamento de registro
Gerador depende de mais de um valor precedentePor exemplo,
Nk = (aNk−l + cNk−j)MOD(M)
Desta forma pode-se obter períodos muito maiores que M
Alexandre Rosas Método Monte-Carlo
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IntroduçãoExemplos
Números aleatóriosAmostragem ponderada
Geradores de números aleatórios uniformesOutras distribuições de probabilidadesDistribuições não inversíveis
Deslocamento de registro
Gerador depende de mais de um valor precedentePor exemplo,
Nk = (aNk−l + cNk−j)MOD(M)
Desta forma pode-se obter períodos muito maiores que M
Alexandre Rosas Método Monte-Carlo
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IntroduçãoExemplos
Números aleatóriosAmostragem ponderada
Geradores de números aleatórios uniformesOutras distribuições de probabilidadesDistribuições não inversíveis
Deslocamento de registro
Gerador depende de mais de um valor precedentePor exemplo,
Nk = (aNk−l + cNk−j)MOD(M)
Desta forma pode-se obter períodos muito maiores que M
Alexandre Rosas Método Monte-Carlo
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IntroduçãoExemplos
Números aleatóriosAmostragem ponderada
Geradores de números aleatórios uniformesOutras distribuições de probabilidadesDistribuições não inversíveis
Mersenne Twister 19937
Criado para corrigir deficiências de outros geradoresPropicia a geração de números pseudo-aleatórios de altaqualidadeVantagens
1 Período de recorrência muito grande – 219937 − 12 Tem alta ordem de equidistribuição dimensional (geradores
congruenciais lineares são particularmente ineficientes)3 É rápido4 Passa em diversos testes estatísticos como o die hard
Baseado em primos de Mersenne (se p é um númeroprimo e Mp = 2p − 1 também, Mp é dito primo deMersenne)É um gerador de deslocamente o registro associado auma operação (twist) para assegurar a equidistribuiçãoImplementado na GSL – Gnu Scientific Library
Alexandre Rosas Método Monte-Carlo
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IntroduçãoExemplos
Números aleatóriosAmostragem ponderada
Geradores de números aleatórios uniformesOutras distribuições de probabilidadesDistribuições não inversíveis
Mersenne Twister 19937
Criado para corrigir deficiências de outros geradoresPropicia a geração de números pseudo-aleatórios de altaqualidadeVantagens
1 Período de recorrência muito grande – 219937 − 12 Tem alta ordem de equidistribuição dimensional (geradores
congruenciais lineares são particularmente ineficientes)3 É rápido4 Passa em diversos testes estatísticos como o die hard
Baseado em primos de Mersenne (se p é um númeroprimo e Mp = 2p − 1 também, Mp é dito primo deMersenne)É um gerador de deslocamente o registro associado auma operação (twist) para assegurar a equidistribuiçãoImplementado na GSL – Gnu Scientific Library
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IntroduçãoExemplos
Números aleatóriosAmostragem ponderada
Geradores de números aleatórios uniformesOutras distribuições de probabilidadesDistribuições não inversíveis
Mersenne Twister 19937
Criado para corrigir deficiências de outros geradoresPropicia a geração de números pseudo-aleatórios de altaqualidadeVantagens
1 Período de recorrência muito grande – 219937 − 12 Tem alta ordem de equidistribuição dimensional (geradores
congruenciais lineares são particularmente ineficientes)3 É rápido4 Passa em diversos testes estatísticos como o die hard
Baseado em primos de Mersenne (se p é um númeroprimo e Mp = 2p − 1 também, Mp é dito primo deMersenne)É um gerador de deslocamente o registro associado auma operação (twist) para assegurar a equidistribuiçãoImplementado na GSL – Gnu Scientific Library
Alexandre Rosas Método Monte-Carlo
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IntroduçãoExemplos
Números aleatóriosAmostragem ponderada
Geradores de números aleatórios uniformesOutras distribuições de probabilidadesDistribuições não inversíveis
Mersenne Twister 19937
Criado para corrigir deficiências de outros geradoresPropicia a geração de números pseudo-aleatórios de altaqualidadeVantagens
1 Período de recorrência muito grande – 219937 − 12 Tem alta ordem de equidistribuição dimensional (geradores
congruenciais lineares são particularmente ineficientes)3 É rápido4 Passa em diversos testes estatísticos como o die hard
Baseado em primos de Mersenne (se p é um númeroprimo e Mp = 2p − 1 também, Mp é dito primo deMersenne)É um gerador de deslocamente o registro associado auma operação (twist) para assegurar a equidistribuiçãoImplementado na GSL – Gnu Scientific Library
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IntroduçãoExemplos
Números aleatóriosAmostragem ponderada
Geradores de números aleatórios uniformesOutras distribuições de probabilidadesDistribuições não inversíveis
Mersenne Twister 19937
Criado para corrigir deficiências de outros geradoresPropicia a geração de números pseudo-aleatórios de altaqualidadeVantagens
1 Período de recorrência muito grande – 219937 − 12 Tem alta ordem de equidistribuição dimensional (geradores
congruenciais lineares são particularmente ineficientes)3 É rápido4 Passa em diversos testes estatísticos como o die hard
Baseado em primos de Mersenne (se p é um númeroprimo e Mp = 2p − 1 também, Mp é dito primo deMersenne)É um gerador de deslocamente o registro associado auma operação (twist) para assegurar a equidistribuiçãoImplementado na GSL – Gnu Scientific Library
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IntroduçãoExemplos
Números aleatóriosAmostragem ponderada
Geradores de números aleatórios uniformesOutras distribuições de probabilidadesDistribuições não inversíveis
Mersenne Twister 19937
Criado para corrigir deficiências de outros geradoresPropicia a geração de números pseudo-aleatórios de altaqualidadeVantagens
1 Período de recorrência muito grande – 219937 − 12 Tem alta ordem de equidistribuição dimensional (geradores
congruenciais lineares são particularmente ineficientes)3 É rápido4 Passa em diversos testes estatísticos como o die hard
Baseado em primos de Mersenne (se p é um númeroprimo e Mp = 2p − 1 também, Mp é dito primo deMersenne)É um gerador de deslocamente o registro associado auma operação (twist) para assegurar a equidistribuiçãoImplementado na GSL – Gnu Scientific Library
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IntroduçãoExemplos
Números aleatóriosAmostragem ponderada
Geradores de números aleatórios uniformesOutras distribuições de probabilidadesDistribuições não inversíveis
Mersenne Twister 19937
Criado para corrigir deficiências de outros geradoresPropicia a geração de números pseudo-aleatórios de altaqualidadeVantagens
1 Período de recorrência muito grande – 219937 − 12 Tem alta ordem de equidistribuição dimensional (geradores
congruenciais lineares são particularmente ineficientes)3 É rápido4 Passa em diversos testes estatísticos como o die hard
Baseado em primos de Mersenne (se p é um númeroprimo e Mp = 2p − 1 também, Mp é dito primo deMersenne)É um gerador de deslocamente o registro associado auma operação (twist) para assegurar a equidistribuiçãoImplementado na GSL – Gnu Scientific Library
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IntroduçãoExemplos
Números aleatóriosAmostragem ponderada
Geradores de números aleatórios uniformesOutras distribuições de probabilidadesDistribuições não inversíveis
Mersenne Twister 19937
Criado para corrigir deficiências de outros geradoresPropicia a geração de números pseudo-aleatórios de altaqualidadeVantagens
1 Período de recorrência muito grande – 219937 − 12 Tem alta ordem de equidistribuição dimensional (geradores
congruenciais lineares são particularmente ineficientes)3 É rápido4 Passa em diversos testes estatísticos como o die hard
Baseado em primos de Mersenne (se p é um númeroprimo e Mp = 2p − 1 também, Mp é dito primo deMersenne)É um gerador de deslocamente o registro associado auma operação (twist) para assegurar a equidistribuiçãoImplementado na GSL – Gnu Scientific Library
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IntroduçãoExemplos
Números aleatóriosAmostragem ponderada
Geradores de números aleatórios uniformesOutras distribuições de probabilidadesDistribuições não inversíveis
Mersenne Twister 19937
Criado para corrigir deficiências de outros geradoresPropicia a geração de números pseudo-aleatórios de altaqualidadeVantagens
1 Período de recorrência muito grande – 219937 − 12 Tem alta ordem de equidistribuição dimensional (geradores
congruenciais lineares são particularmente ineficientes)3 É rápido4 Passa em diversos testes estatísticos como o die hard
Baseado em primos de Mersenne (se p é um númeroprimo e Mp = 2p − 1 também, Mp é dito primo deMersenne)É um gerador de deslocamente o registro associado auma operação (twist) para assegurar a equidistribuiçãoImplementado na GSL – Gnu Scientific Library
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IntroduçãoExemplos
Números aleatóriosAmostragem ponderada
Geradores de números aleatórios uniformesOutras distribuições de probabilidadesDistribuições não inversíveis
Mudança de variáveis
Suponha que uma variável aleatória X obedeça a umadistribuição de probabilidades pX (x)
Devido à conservação da probabilidade, uma mudança devariáveis deve obedecer à relação:
pY (y)dy = pX (x)dxPortanto, se p(x) = 1 no intervalo [0,1) e é nula fora dele(distribuição uniforme),∫ y
−∞pY (y)dy =
∫ x
0dx = x
Invertendo esta relação, podemos obter y = y(x)
Assim obtemos números pseudo-aleatórios que obedecema uma distribuição pY (y) a partir da distribuição uniforme
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IntroduçãoExemplos
Números aleatóriosAmostragem ponderada
Geradores de números aleatórios uniformesOutras distribuições de probabilidadesDistribuições não inversíveis
Mudança de variáveis
Suponha que uma variável aleatória X obedeça a umadistribuição de probabilidades pX (x)
Devido à conservação da probabilidade, uma mudança devariáveis deve obedecer à relação:
pY (y)dy = pX (x)dxPortanto, se p(x) = 1 no intervalo [0,1) e é nula fora dele(distribuição uniforme),∫ y
−∞pY (y)dy =
∫ x
0dx = x
Invertendo esta relação, podemos obter y = y(x)
Assim obtemos números pseudo-aleatórios que obedecema uma distribuição pY (y) a partir da distribuição uniforme
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IntroduçãoExemplos
Números aleatóriosAmostragem ponderada
Geradores de números aleatórios uniformesOutras distribuições de probabilidadesDistribuições não inversíveis
Mudança de variáveis
Suponha que uma variável aleatória X obedeça a umadistribuição de probabilidades pX (x)
Devido à conservação da probabilidade, uma mudança devariáveis deve obedecer à relação:
pY (y)dy = pX (x)dxPortanto, se p(x) = 1 no intervalo [0,1) e é nula fora dele(distribuição uniforme),∫ y
−∞pY (y)dy =
∫ x
0dx = x
Invertendo esta relação, podemos obter y = y(x)
Assim obtemos números pseudo-aleatórios que obedecema uma distribuição pY (y) a partir da distribuição uniforme
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IntroduçãoExemplos
Números aleatóriosAmostragem ponderada
Geradores de números aleatórios uniformesOutras distribuições de probabilidadesDistribuições não inversíveis
Mudança de variáveis
Suponha que uma variável aleatória X obedeça a umadistribuição de probabilidades pX (x)
Devido à conservação da probabilidade, uma mudança devariáveis deve obedecer à relação:
pY (y)dy = pX (x)dxPortanto, se p(x) = 1 no intervalo [0,1) e é nula fora dele(distribuição uniforme),∫ y
−∞pY (y)dy =
∫ x
0dx = x
Invertendo esta relação, podemos obter y = y(x)
Assim obtemos números pseudo-aleatórios que obedecema uma distribuição pY (y) a partir da distribuição uniforme
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IntroduçãoExemplos
Números aleatóriosAmostragem ponderada
Geradores de números aleatórios uniformesOutras distribuições de probabilidadesDistribuições não inversíveis
Mudança de variáveis
Suponha que uma variável aleatória X obedeça a umadistribuição de probabilidades pX (x)
Devido à conservação da probabilidade, uma mudança devariáveis deve obedecer à relação:
pY (y)dy = pX (x)dxPortanto, se p(x) = 1 no intervalo [0,1) e é nula fora dele(distribuição uniforme),∫ y
−∞pY (y)dy =
∫ x
0dx = x
Invertendo esta relação, podemos obter y = y(x)
Assim obtemos números pseudo-aleatórios que obedecema uma distribuição pY (y) a partir da distribuição uniforme
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IntroduçãoExemplos
Números aleatóriosAmostragem ponderada
Geradores de números aleatórios uniformesOutras distribuições de probabilidadesDistribuições não inversíveis
Distribuição exponencial
pY (y) = e−y ⇒ x =
∫ y
0e−y dy = 1− e−y
y(x) = − ln(1− x)
Alexandre Rosas Método Monte-Carlo
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IntroduçãoExemplos
Números aleatóriosAmostragem ponderada
Geradores de números aleatórios uniformesOutras distribuições de probabilidadesDistribuições não inversíveis
Distribuição exponencial
pY (y) = e−y ⇒ x =
∫ y
0e−y dy = 1− e−y
y(x) = − ln(1− x)
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IntroduçãoExemplos
Números aleatóriosAmostragem ponderada
Geradores de números aleatórios uniformesOutras distribuições de probabilidadesDistribuições não inversíveis
Distribuição gaussiana
Aplicando o mesmo procedimento, temos
pY (y) =1√2π
e−y2/2 ⇒ x =12
(1 + erf (
y√2)
)Contudo, não podemos inverter a função erro.
AlternativaAnalisemos a distribuição conjunta de 2 números aleatóriosindependentes
p(y1, y2)dy1dy2 =1
2πe−(y2
1 +y22 )/2dy1dy2
Alexandre Rosas Método Monte-Carlo
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IntroduçãoExemplos
Números aleatóriosAmostragem ponderada
Geradores de números aleatórios uniformesOutras distribuições de probabilidadesDistribuições não inversíveis
Distribuição gaussiana
Aplicando o mesmo procedimento, temos
pY (y) =1√2π
e−y2/2 ⇒ x =12
(1 + erf (
y√2)
)Contudo, não podemos inverter a função erro.
AlternativaAnalisemos a distribuição conjunta de 2 números aleatóriosindependentes
p(y1, y2)dy1dy2 =1
2πe−(y2
1 +y22 )/2dy1dy2
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IntroduçãoExemplos
Números aleatóriosAmostragem ponderada
Geradores de números aleatórios uniformesOutras distribuições de probabilidadesDistribuições não inversíveis
Distribuição gaussiana
Aplicando o mesmo procedimento, temos
pY (y) =1√2π
e−y2/2 ⇒ x =12
(1 + erf (
y√2)
)Contudo, não podemos inverter a função erro.
AlternativaAnalisemos a distribuição conjunta de 2 números aleatóriosindependentes
p(y1, y2)dy1dy2 =1
2πe−(y2
1 +y22 )/2dy1dy2
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IntroduçãoExemplos
Números aleatóriosAmostragem ponderada
Geradores de números aleatórios uniformesOutras distribuições de probabilidadesDistribuições não inversíveis
Distribuição gaussiana
Alternativa
Mudando para coordenada polares,
r =√
y21 + y2
2 e θ = tan−1 y1
y2
Alexandre Rosas Método Monte-Carlo
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IntroduçãoExemplos
Números aleatóriosAmostragem ponderada
Geradores de números aleatórios uniformesOutras distribuições de probabilidadesDistribuições não inversíveis
Distribuição gaussiana
Alternativa
Mudando para coordenada polares,
r =√
y21 + y2
2 e θ = tan−1 y1
y2
Temos1
2πe−(y2
1 +y22 )/2dy1dy2 =
12π
e−r2/2rdrdθ
Alexandre Rosas Método Monte-Carlo
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IntroduçãoExemplos
Números aleatóriosAmostragem ponderada
Geradores de números aleatórios uniformesOutras distribuições de probabilidadesDistribuições não inversíveis
Distribuição gaussiana
Alternativa
Mudando para coordenada polares,
r =√
y21 + y2
2 e θ = tan−1 y1
y2
Temos1
2πe−(y2
1 +y22 )/2dy1dy2 =
12π
e−r2/2rdrdθ
Onde θ é uniformemente distribuído.
Alexandre Rosas Método Monte-Carlo
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IntroduçãoExemplos
Números aleatóriosAmostragem ponderada
Geradores de números aleatórios uniformesOutras distribuições de probabilidadesDistribuições não inversíveis
Distribuição gaussiana
Alternativa
Mudando para coordenada polares,
r =√
y21 + y2
2 e θ = tan−1 y1
y2
Temos1
2πe−(y2
1 +y22 )/2dy1dy2 =
12π
e−r2/2rdrdθ
Para obtermos r fazemos outra mudança de variável: u = r2/2
Alexandre Rosas Método Monte-Carlo
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IntroduçãoExemplos
Números aleatóriosAmostragem ponderada
Geradores de números aleatórios uniformesOutras distribuições de probabilidadesDistribuições não inversíveis
Distribuição gaussiana
Alternativa
Mudando para coordenada polares,
r =√
y21 + y2
2 e θ = tan−1 y1
y2
Temos1
2πe−(y2
1 +y22 )/2dy1dy2 =
12π
e−r2/2rdrdθ
Para obtermos r fazemos outra mudança de variável: u = r2/2e notamos que u é distribuído exponencialmente
e−r2/2rdr = e−udu ⇒ r =√
2u =√−2 ln(1− x)
Alexandre Rosas Método Monte-Carlo
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IntroduçãoExemplos
Números aleatóriosAmostragem ponderada
Geradores de números aleatórios uniformesOutras distribuições de probabilidadesDistribuições não inversíveis
Distribuição gaussiana
Alternativa
Portanto, a partir de dois números aleatórios uniformemente dis-tribuídos no intervalo [0,1), obetmos dois números aleatórioscom distribuição gaussiana
y1 = r sin θ =√−2 ln(1− x1) sin(2πx2)
y2 = r cos θ =√−2 ln(1− x1) cos(2πx2)
Alexandre Rosas Método Monte-Carlo
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IntroduçãoExemplos
Números aleatóriosAmostragem ponderada
Geradores de números aleatórios uniformesOutras distribuições de probabilidadesDistribuições não inversíveis
Recapitulando
Para obtermos números aleatórios com uma distribuiçãopY (y)
1 Calculamos a distribuição acumulada
PY (y) =
∫ y
−∞pY (y ′)dy ′ = ×
2 Invertemos a distribuição acumulada encontrandoy = y(x), onde x é uniformemente distribuído
E se não soubermos calcular analiticamente PY (y)?
Ou, simplesmente, se não soubermos inverter PY (y)?
Alexandre Rosas Método Monte-Carlo
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IntroduçãoExemplos
Números aleatóriosAmostragem ponderada
Geradores de números aleatórios uniformesOutras distribuições de probabilidadesDistribuições não inversíveis
Recapitulando
Para obtermos números aleatórios com uma distribuiçãopY (y)
1 Calculamos a distribuição acumulada
PY (y) =
∫ y
−∞pY (y ′)dy ′ = ×
2 Invertemos a distribuição acumulada encontrandoy = y(x), onde x é uniformemente distribuído
E se não soubermos calcular analiticamente PY (y)?
Ou, simplesmente, se não soubermos inverter PY (y)?
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IntroduçãoExemplos
Números aleatóriosAmostragem ponderada
Geradores de números aleatórios uniformesOutras distribuições de probabilidadesDistribuições não inversíveis
Recapitulando
Para obtermos números aleatórios com uma distribuiçãopY (y)
1 Calculamos a distribuição acumulada
PY (y) =
∫ y
−∞pY (y ′)dy ′ = ×
2 Invertemos a distribuição acumulada encontrandoy = y(x), onde x é uniformemente distribuído
E se não soubermos calcular analiticamente PY (y)?
Ou, simplesmente, se não soubermos inverter PY (y)?
Alexandre Rosas Método Monte-Carlo
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IntroduçãoExemplos
Números aleatóriosAmostragem ponderada
Geradores de números aleatórios uniformesOutras distribuições de probabilidadesDistribuições não inversíveis
Recapitulando
Para obtermos números aleatórios com uma distribuiçãopY (y)
1 Calculamos a distribuição acumulada
PY (y) =
∫ y
−∞pY (y ′)dy ′ = ×
2 Invertemos a distribuição acumulada encontrandoy = y(x), onde x é uniformemente distribuído
E se não soubermos calcular analiticamente PY (y)?
Ou, simplesmente, se não soubermos inverter PY (y)?
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IntroduçãoExemplos
Números aleatóriosAmostragem ponderada
Geradores de números aleatórios uniformesOutras distribuições de probabilidadesDistribuições não inversíveis
Recapitulando
Para obtermos números aleatórios com uma distribuiçãopY (y)
1 Calculamos a distribuição acumulada
PY (y) =
∫ y
−∞pY (y ′)dy ′ = ×
2 Invertemos a distribuição acumulada encontrandoy = y(x), onde x é uniformemente distribuído
E se não soubermos calcular analiticamente PY (y)?
Ou, simplesmente, se não soubermos inverter PY (y)?
Alexandre Rosas Método Monte-Carlo
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IntroduçãoExemplos
Números aleatóriosAmostragem ponderada
Geradores de números aleatórios uniformesOutras distribuições de probabilidadesDistribuições não inversíveis
Recapitulando
Para obtermos números aleatórios com uma distribuiçãopY (y)
1 Calculamos a distribuição acumulada
PY (y) =
∫ y
−∞pY (y ′)dy ′ = ×
2 Invertemos a distribuição acumulada encontrandoy = y(x), onde x é uniformemente distribuído
E se não soubermos calcular analiticamente PY (y)?
Ou, simplesmente, se não soubermos inverter PY (y)?
Alexandre Rosas Método Monte-Carlo
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IntroduçãoExemplos
Números aleatóriosAmostragem ponderada
Geradores de números aleatórios uniformesOutras distribuições de probabilidadesDistribuições não inversíveis
Método com apelo gráfico
Fazendo o gráfico da distribuição de probabilidades pY (y)
y
pY (y)
Alexandre Rosas Método Monte-Carlo
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IntroduçãoExemplos
Números aleatóriosAmostragem ponderada
Geradores de números aleatórios uniformesOutras distribuições de probabilidadesDistribuições não inversíveis
Método com apelo gráfico
A área sob a curva é 1, pois a probabilidade é normalizada
y
pY (y)
Alexandre Rosas Método Monte-Carlo
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IntroduçãoExemplos
Números aleatóriosAmostragem ponderada
Geradores de números aleatórios uniformesOutras distribuições de probabilidadesDistribuições não inversíveis
Método com apelo gráfico
Probabilidade de y assumir valores entre y e y + dy
y
pY (y)
pY (y)dy
Alexandre Rosas Método Monte-Carlo
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IntroduçãoExemplos
Números aleatóriosAmostragem ponderada
Geradores de números aleatórios uniformesOutras distribuições de probabilidadesDistribuições não inversíveis
Método com apelo gráfico
yk distribuído segundo pY (y)
y
pY (y)
ponto aleatório sob acurva com probabili-dade uniforme
.
yk
Alexandre Rosas Método Monte-Carlo
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IntroduçãoExemplos
Números aleatóriosAmostragem ponderada
Geradores de números aleatórios uniformesOutras distribuições de probabilidadesDistribuições não inversíveis
Método com apelo gráfico
Para encontrarmos pontos distribuídos uniformemente, esco-lhemos uma função de comparação f (y), tal que f (y) ≥pY (y) ∀ y
y
pY (y)
.
yk
f (y)
Alexandre Rosas Método Monte-Carlo
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IntroduçãoExemplos
Números aleatóriosAmostragem ponderada
Geradores de números aleatórios uniformesOutras distribuições de probabilidadesDistribuições não inversíveis
Método com apelo gráfico
Escolhemos pontos uniformemente distribuídos sob f (y)
y
pY (y)
.
yk
f (y)
Alexandre Rosas Método Monte-Carlo
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IntroduçãoExemplos
Números aleatóriosAmostragem ponderada
Geradores de números aleatórios uniformesOutras distribuições de probabilidadesDistribuições não inversíveis
Método com apelo gráfico
Aceitamos apenas os pontos sob pY (y)
y
pY (y)
.
yk
f (y)
Alexandre Rosas Método Monte-Carlo
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IntroduçãoExemplos
Números aleatóriosAmostragem ponderada
Geradores de números aleatórios uniformesOutras distribuições de probabilidadesDistribuições não inversíveis
Método com apelo gráfico
Os quais estão distribuídos segundo pY (y)
y
pY (y)
.
yk
f (y)
Alexandre Rosas Método Monte-Carlo
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IntroduçãoExemplos
Números aleatóriosAmostragem ponderada
Geradores de números aleatórios uniformesOutras distribuições de probabilidadesDistribuições não inversíveis
Método com apelo gráfico
Obviamente, o número de pontos rejeitados depende apenasda razão entre as áreas sob pY (y) e f (y)
y
pY (y)
.
yk
f (y)
Alexandre Rosas Método Monte-Carlo
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IntroduçãoExemplos
Números aleatóriosAmostragem ponderada
Geradores de números aleatórios uniformesOutras distribuições de probabilidadesDistribuições não inversíveis
Método com apelo gráfico
Resta determinar os pontos distribuídos uniformemente sobf (y)
y
pY (y)
.
yk
f (y)
Alexandre Rosas Método Monte-Carlo
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IntroduçãoExemplos
Números aleatóriosAmostragem ponderada
Geradores de números aleatórios uniformesOutras distribuições de probabilidadesDistribuições não inversíveis
Na prática
Escolhemos uma função f (y) cuja função acumulada sejainversívelSorteamos um número aleatório y0 distribuído entre 0 e A,onde A é a área sob f (y)
Sorteamos outro número aleatório s distribuído entre 0 ef (y0)
Com isso temos pontos uniformemente distribuídos sobf (y)
Se s < pY (y0), aceitamos y0
Se não, tentamos novamente
Alexandre Rosas Método Monte-Carlo
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IntroduçãoExemplos
Números aleatóriosAmostragem ponderada
Geradores de números aleatórios uniformesOutras distribuições de probabilidadesDistribuições não inversíveis
Na prática
Escolhemos uma função f (y) cuja função acumulada sejainversívelSorteamos um número aleatório y0 distribuído entre 0 e A,onde A é a área sob f (y)
Sorteamos outro número aleatório s distribuído entre 0 ef (y0)
Com isso temos pontos uniformemente distribuídos sobf (y)
Se s < pY (y0), aceitamos y0
Se não, tentamos novamente
Alexandre Rosas Método Monte-Carlo
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IntroduçãoExemplos
Números aleatóriosAmostragem ponderada
Geradores de números aleatórios uniformesOutras distribuições de probabilidadesDistribuições não inversíveis
Na prática
Escolhemos uma função f (y) cuja função acumulada sejainversívelSorteamos um número aleatório y0 distribuído entre 0 e A,onde A é a área sob f (y)
Sorteamos outro número aleatório s distribuído entre 0 ef (y0)
Com isso temos pontos uniformemente distribuídos sobf (y)
Se s < pY (y0), aceitamos y0
Se não, tentamos novamente
Alexandre Rosas Método Monte-Carlo
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IntroduçãoExemplos
Números aleatóriosAmostragem ponderada
Geradores de números aleatórios uniformesOutras distribuições de probabilidadesDistribuições não inversíveis
Na prática
Escolhemos uma função f (y) cuja função acumulada sejainversívelSorteamos um número aleatório y0 distribuído entre 0 e A,onde A é a área sob f (y)
Sorteamos outro número aleatório s distribuído entre 0 ef (y0)
Com isso temos pontos uniformemente distribuídos sobf (y)
Se s < pY (y0), aceitamos y0
Se não, tentamos novamente
Alexandre Rosas Método Monte-Carlo
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IntroduçãoExemplos
Números aleatóriosAmostragem ponderada
Geradores de números aleatórios uniformesOutras distribuições de probabilidadesDistribuições não inversíveis
Na prática
Escolhemos uma função f (y) cuja função acumulada sejainversívelSorteamos um número aleatório y0 distribuído entre 0 e A,onde A é a área sob f (y)
Sorteamos outro número aleatório s distribuído entre 0 ef (y0)
Com isso temos pontos uniformemente distribuídos sobf (y)
Se s < pY (y0), aceitamos y0
Se não, tentamos novamente
Alexandre Rosas Método Monte-Carlo
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IntroduçãoExemplos
Números aleatóriosAmostragem ponderada
Geradores de números aleatórios uniformesOutras distribuições de probabilidadesDistribuições não inversíveis
Na prática
Escolhemos uma função f (y) cuja função acumulada sejainversívelSorteamos um número aleatório y0 distribuído entre 0 e A,onde A é a área sob f (y)
Sorteamos outro número aleatório s distribuído entre 0 ef (y0)
Com isso temos pontos uniformemente distribuídos sobf (y)
Se s < pY (y0), aceitamos y0
Se não, tentamos novamente
Alexandre Rosas Método Monte-Carlo
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IntroduçãoExemplos
Números aleatóriosAmostragem ponderada
Amostragem ponderada (importance sampling)
Técnica de redução da variância usada em integração tipoMonte-CarloBaseia-se em dar maior peso às regiões que contribuemmais para a integral
Alexandre Rosas Método Monte-Carlo
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IntroduçãoExemplos
Números aleatóriosAmostragem ponderada
Amostragem ponderada (importance sampling)
Técnica de redução da variância usada em integração tipoMonte-CarloBaseia-se em dar maior peso às regiões que contribuemmais para a integral
×
f (×)
Alexandre Rosas Método Monte-Carlo
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IntroduçãoExemplos
Números aleatóriosAmostragem ponderada
Amostragem ponderada (importance sampling)
Técnica de redução da variância usada em integração tipoMonte-CarloBaseia-se em dar maior peso às regiões que contribuemmais para a integral
×
f (×)
A escolha de mais pontos em uma região que em outraprovoca tendências
Alexandre Rosas Método Monte-Carlo
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IntroduçãoExemplos
Números aleatóriosAmostragem ponderada
Amostragem ponderada (importance sampling)
Técnica de redução da variância usada em integração tipoMonte-CarloBaseia-se em dar maior peso às regiões que contribuemmais para a integral
×
f (×)
Pesos são usados para corrigir essa tendências
Alexandre Rosas Método Monte-Carlo
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IntroduçãoExemplos
Números aleatóriosAmostragem ponderada
Formalismo
Sendo pY (y) uma função distribuição de probabilidadesnormalizada no intervalo [a,b], temos
I =
∫ b
af (y)dy =
∫ b
apY (y)
f (y)
pY (y)dy
Assim, se x obedece a uma distribuição uniforme, temos
I =
∫ b
apY (y)
f (y)
pY (y)dy =
∫ x(b)
x(a)
f (y(x))
pY (y(x))dx
Finalmente, podemos calcular a integral como
I =
∫ x(b)
x(a)
f (y(x))
pY (y(x))dx =
1N
N∑i=1
f (y(xi))
pY (y(xi))
Alexandre Rosas Método Monte-Carlo
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IntroduçãoExemplos
Números aleatóriosAmostragem ponderada
Formalismo
Sendo pY (y) uma função distribuição de probabilidadesnormalizada no intervalo [a,b], temos
I =
∫ b
af (y)dy =
∫ b
apY (y)
f (y)
pY (y)dy
Assim, se x obedece a uma distribuição uniforme, temos
I =
∫ b
apY (y)
f (y)
pY (y)dy =
∫ x(b)
x(a)
f (y(x))
pY (y(x))dx
Finalmente, podemos calcular a integral como
I =
∫ x(b)
x(a)
f (y(x))
pY (y(x))dx =
1N
N∑i=1
f (y(xi))
pY (y(xi))
Alexandre Rosas Método Monte-Carlo
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IntroduçãoExemplos
Números aleatóriosAmostragem ponderada
Formalismo
Sendo pY (y) uma função distribuição de probabilidadesnormalizada no intervalo [a,b], temos
I =
∫ b
af (y)dy =
∫ b
apY (y)
f (y)
pY (y)dy
Assim, se x obedece a uma distribuição uniforme, temos
I =
∫ b
apY (y)
f (y)
pY (y)dy =
∫ x(b)
x(a)
f (y(x))
pY (y(x))dx
Finalmente, podemos calcular a integral como
I =
∫ x(b)
x(a)
f (y(x))
pY (y(x))dx =
1N
N∑i=1
f (y(xi))
pY (y(xi))
Alexandre Rosas Método Monte-Carlo
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IntroduçãoExemplos
Números aleatóriosAmostragem ponderada
Comentários
A amostragem ponderada só é efetiva se pY (y) forpróxima de f (y)
Como pY (y) é uma função distribuição de probabilidades,ela tem que ser estritamente positiva no intervalo [a,b]
A melhor escolha possível (variância mínima) épY (y) = f (y)
Contudo, para aplicar o método, temos que ser capazesde escrever y = y(x)
Alexandre Rosas Método Monte-Carlo
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IntroduçãoExemplos
Números aleatóriosAmostragem ponderada
Comentários
A amostragem ponderada só é efetiva se pY (y) forpróxima de f (y)
Como pY (y) é uma função distribuição de probabilidades,ela tem que ser estritamente positiva no intervalo [a,b]
A melhor escolha possível (variância mínima) épY (y) = f (y)
Contudo, para aplicar o método, temos que ser capazesde escrever y = y(x)
Alexandre Rosas Método Monte-Carlo
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IntroduçãoExemplos
Números aleatóriosAmostragem ponderada
Comentários
A amostragem ponderada só é efetiva se pY (y) forpróxima de f (y)
Como pY (y) é uma função distribuição de probabilidades,ela tem que ser estritamente positiva no intervalo [a,b]
A melhor escolha possível (variância mínima) épY (y) = f (y)
Contudo, para aplicar o método, temos que ser capazesde escrever y = y(x)
Alexandre Rosas Método Monte-Carlo
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IntroduçãoExemplos
Números aleatóriosAmostragem ponderada
Comentários
A amostragem ponderada só é efetiva se pY (y) forpróxima de f (y)
Como pY (y) é uma função distribuição de probabilidades,ela tem que ser estritamente positiva no intervalo [a,b]
A melhor escolha possível (variância mínima) épY (y) = f (y)
Contudo, para aplicar o método, temos que ser capazesde escrever y = y(x)
Alexandre Rosas Método Monte-Carlo