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Metodos Numericos
M.C. Luis Alejandro Benavides Vazquez
Facultad de Ciencias QuımicasUniversidad Autonoma de Nuevo Leon
Verano 2016
M.C. Luis Alejandro Benavides Vazquez (FCQ-UANL) Metodos Numericos Verano 2016 1 / 78
Introduccion
¿Que es un metodo numerico?
Un metodo numerico es un procedimiento mediante el cual se obtiene, casisiempre de manera aproximada, la solucion de ciertos problemas realizandocalculos puramente aritmeticos y logicos (operaciones aritmeticaselementales, calculo de funciones, consulta de una tabla de valores, etc.).
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Introduccion
¿Que es un procedimiento?
El procedimiento consiste de una lista finita de instrucciones precisas queespecifican una secuencia de operaciones algebraicas y logicas (algoritmo),que producen o bien una aproximacion de la solucion del problema(solucion numerica) o bien un mensaje.La eficiencia en el calculo de dicha aproximacion depende, en parte, de lafacilidad de implementacion del algoritmo y de las caracterısticasespeciales y limitaciones de los instrumentos de calculo (loscomputadores). En general, al emplear estos instrumentos de calculo seintroducen errores llamados de redondeo.
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Introduccion
Los errores numericos se pueden clasificar como
Errores de truncamiento: resultan del empleo de aproximacionescon calculos exactos.
Errores de redondeo: por utilizar numeros que tienen un lımite decifras significativas.
Error verdadero = Ev = valor verdadero – valor aproximado
Error relativo fraccional verdadero = error verdaderovalor verdadero
El error relativo porcentual verdadero se define como
Er =error verdaderovalor verdadero × 100%
El error aproximado se utiliza cuando no se conoce el valorverdadero. Se define por Ea =
error aprox.valor aprox. × 100%.
El error en los metodos iterativos con las aproximaciones actual y
anterior. Ei =aprox. actual – aprox. anterior
aprox. actual × 100%
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Introduccion
Contenido
1 Introduccion2 Soluciones de ecuaciones de una variable
Metodos cerradosMetodos abiertos
3 Sistemas de ecuaciones linealesEliminacion GaussianaMetodo de JacobiMetodo de Gauss-Seidel
4 Sistemas de ecuaciones no linealesInteraccion de punto fijo
5 Diferenciacion e integracion numericaDiferenciacion numerica
6 Interpolacion lineal y polinomial7 Regresion lineal y no lineal con mınimos cuadrados8 Solucion de ecuaciones diferenciales ordinarias y parciales
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Soluciones de ecuaciones de una variable Metodos cerrados
El metodo de biseccion
Se basa en el teorema del valor intermedio, se conoce con el nombre demetodo de biseccion o de busqueda binaria. Supongamos que f es unafuncion continua definida en el intervalo [x1, x2] con f (x1) y f (x2) designos diferentes.Sea p el punto medio de [x1, x2], es decir,
p = a +b − a
2=
a + b
2
Para obtener una solucion f (x) = 0 (raız) dada la funcion f continua en elintervalo [x1, x2], donde f (x1) y f (x2) tienen signos opuestos.
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Soluciones de ecuaciones de una variable Metodos cerrados
Algoritmo de biseccion
i = 1;f1 = f (x1);mientras i ≤ N0 hacer
xp = (x1 + x2)/2;fp = f (xp);si fp = 0 o (x2 − x1)/2 < TOL entonces
raız = xp;parar;
finsi f1 · fp > 0 entonces
x1 = xp;en otro caso
x2 = xp;fini = i + 1;
finM.C. Luis Alejandro Benavides Vazquez (FCQ-UANL) Metodos Numericos Verano 2016 7 / 78
Soluciones de ecuaciones de una variable Metodos cerrados
Desventajas metodo de biseccion
Al dividir el intervalo de x1 a x2 en mitades iguales, no se toman enconsideracion las magnitudes de f (x1) y f (x2). Por ejemplo, si f (x1) estamucho mas cercana a cero que f (x2), es logico que la raız se encuentremas cerca de x1 que de x2. Un metodo alternativo que aprovecha estavisualizacion grafica consiste en unir f (x1) y f (x2) con una lınea recta.
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Soluciones de ecuaciones de una variable Metodos cerrados
El metodo de la falsa posicion
El metodo de la falsa posicion (o metodo de regla falsa) utiliza intervalos yesta basado en una idea para aproximarse en forma mas eficiente a la raız.Este metodo aprovecha la idea de unir dos puntos con una lınea recta. Lainterseccion de esta lınea con el eje x proporciona una mejor estimacion dela raız. Reemplaza la curva por una lınea recta da una posicion falsa de laraız. No es un metodo muy recomendado.Una solucion se da cuando f (x) = 0 dada la funcion continua f en elintervalo [x1, x2] donde f (x1) y f (x2) tienen signos opuestos.
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Soluciones de ecuaciones de una variable Metodos cerrados
Algoritmo de la falsa posicion
i = 1;f1 = f (x1);f2 = f (x2);mientras i ≤ N0 hacer
xr = x2 − f2·(x1−x2)(f1−f2)
;
si |xr − x1| < TOL entoncesraız = xr ;parar;
finfr = f (xr );si fr · f2 > 0 entonces
x2 = xr ;f2 = fr ;
en otro casox1 = xr ;f1 = fr ;
fini = i + 1;
fin
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Soluciones de ecuaciones de una variable Metodos abiertos
Metodo iteracion de punto fijo (sustituciones sucesivas)
Un punto fijo de una funcion g(x) es un numero α para el cual g(α) = α.Si tenemos una ecuacion de la forma normal f (x) = 0. Para utilizar elmetodo de punto fijo se expresa como x = g(x).Ejemplo: cos(x) − x = 0, ln(x) = 1
x .
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Soluciones de ecuaciones de una variable Metodos abiertos
Convergencia de la iteracion de un punto fijo
Si una funcion g(x) cumple con los siguientes requisitos:
g(x) es continua con derivada continua.
g(x) esta definida en el intervalo [a, b] para todo x ∈ [a, b].
M1 = maxx∈[a,b] |g ′(x)| < 1.
Entonces:
La ecuacion x = g(x) tiene una solucion unica α en el intervalo [a, b].
La iteracion de un punto fijo xj+1 = g(x) converge a la solucion αpara cualquier valor x0 ∈ (a, b).
La velocidad de convergencia aumenta con la disminucion de |g ′(x)|.
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Soluciones de ecuaciones de una variable Metodos abiertos
Algoritmo de punto fijo
i = 0;mientras i ≤ N0 hacer
xi = g(x0);si |x − x0| < TOL entonces
raız:x ;parar;
finx0 = x ;i = i + 1;
fin
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Soluciones de ecuaciones de una variable Metodos abiertos
Metodo de la secante
Para encontrar una solucion para f (x) = 0 dadas las aproximacionesiniciales x0 y x1.
i = 2;q0 = f (x0);q1 = f (x1);mientras i ≤ N0 hacer
x = x1 − q1(x1 − x0)/(x1 − x0);si |x − x1| < TOL entonces
raız: = x ;finx0 = x1;q0 = q1;x1 = x ;q1 = f (x);
fin
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Soluciones de ecuaciones de una variable Metodos abiertos
El metodo de Newton-Raphson
El metodo de Newton (o metodo de Newton-Raphson) es una de lastecnicas numericas para resolver un problema de busqueda de raıcesf (x) = 0 mas usadas por su rapidez.
xi+1 = xi −f (xi )
f ′(xi )para i ≥ 0.
Para obtener una solucion f (x) = 0 dada la funcion diferenciable f y unaaproximacion inicial x0.Desventajas:Se debe proponer un valor suficientemente cercano a la raız paraconverger. En la vida real resulta un tanto impractico ya que existenfunciones complejas lo que dificultara obtener la derivada. Si existe mas deuna raız no converge ya que f ′(x) = 0, provocando una division entre cero.
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Soluciones de ecuaciones de una variable Metodos abiertos
Algoritmo de Newton-Rapshon
i = 0;mientras i ≤ N0 hacer
xi+1 = xi − f (xi)/f ′(xi );si |xi+1 − xi | < TOL entonces
raız: xi+1;parar;
fini = i + 1;
fin
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Soluciones de ecuaciones de una variable Metodos abiertos
El metodo de Newton-Raphson mejorado
La ecuacion cambia para calcular la raız se agrega la segunda derivadaf ′′(x):
xi+1 = xi −f (xi )f ′(xi )
[f ′(xi )]2 − f (xi )f ′′(xi )para i ≥ 0.
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Soluciones de ecuaciones de una variable Metodos abiertos
Problemas
El balance de masa de un contaminante en un lago bien mezclado seexpresa como:
Vdc
dt= W − Qc − kV
√c
Dados los valores de parametros V = 1× 106 m3, Q = 1× 105 m3/ano yW = 1× 106 g/ano, y k = 0.25 m0.5/ano, use el metodo deNewton-Raphson para resolver la concentracion en estado estable. Empleeel valor inicial de c = 4 g/m3. Realice cinco iteraciones.
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Soluciones de ecuaciones de una variable Metodos abiertos
Ejemplos
Del problema anterior, la raız puede localizarse con iteracion del punto fijocomo:
c =
(
W − Qc
kV
)2
o bien como
c =W − kV
√c
Q
De las siguientes solo una convergera para valores iniciales de 2 < c < 6.Seleccione la que sea correcta y realice cinco iteraciones.
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Soluciones de ecuaciones de una variable Metodos abiertos
Ejemplos
Suponga que se esta disenado un tanque esferico de almacenamiento deagua para un poblado pequeno de un paıs en desarrollo. El volumen dellıquido que puede contener se calcula con:
V = πh2[3R − h]
3
donde V = volumen [pie3], h = profundidad del agua en el tanque [pies], yR = radio del tanque [pies].Si R = 3 m, ¿a que profundidad debe llenarse el tanque de modo quecontenga 30 m3? Realice cinco iteraciones del metodo Newton-Rapshonpara determinar la respuesta.
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Sistemas de ecuaciones lineales
Sistemas de ecuaciones lineales
Ecuacion (E1):
a11x1 + a12x2 + a13x3 + . . .+ a1nxn = b1
Sistemas de Ecuaciones (forma general):
⎧
⎪
⎪
⎪
⎨
⎪
⎪
⎪
⎩
a11x1 + a12x2 + a13x3 + . . .+ a1nxn = b1a12x1 + a22x2 + a23x3 + . . .+ a2nxn = b2
...an2x1 + an2x2 + an3x3 + . . .+ annxn = bn
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Sistemas de ecuaciones lineales
Sistemas de ecuaciones lineales
Sistemas de Ecuaciones (matriz):
Ax = b
⎡
⎢
⎢
⎢
⎣
a11 a12 a13 . . . a1na12 a22 a23 . . . a2n...
......
. . ....
an2 an2 an3 . . . ann
⎤
⎥
⎥
⎥
⎦
⎡
⎢
⎢
⎣
x1x2· · ·xn
⎤
⎥
⎥
⎦
=
⎡
⎢
⎢
⎣
b1b2· · ·bn
⎤
⎥
⎥
⎦
Sistemas de Ecuaciones (matriz aumentada)
⎡
⎢
⎢
⎢
⎣
a11 a12 a13 . . . a1n b1a12 a22 a23 . . . a2n b2...
......
. . ....
...an2 an2 an3 . . . ann bn
⎤
⎥
⎥
⎥
⎦
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Sistemas de ecuaciones lineales
Solucion de ecuaciones lineales
Metodos Directos:
Eliminacion de Gauss o Gauss Jordan.Pivoteo.Sin Pivoteo.Sustitucion hacia atras.
Metodos Iterativos:
Jacobi.
Gauss-Seidel.
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Sistemas de ecuaciones lineales Eliminacion Gaussiana
Eliminacion de Gaussiana
Un conjunto de n ecuaciones con n incognitas se reduce a un sistematriangular equivalente (iguales valores de la solucion).
a11x1 +a12x1 +a13x1 +a14x1 + . . . +a1n = b1+a122x1 +a123x1 +a124x1 + . . . +a12n = b12
+a233x1 +a234x1 + . . . +a21n = b21...
......
...an−2(n−1)(n−1)xn−1 +an−2
(n−1)n = bn−2n−1
+an−1nn = cn−1
n
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Sistemas de ecuaciones lineales Eliminacion Gaussiana
Eliminacion de Gaussiana
Eliminacion Gaussiana (sin pivoteo):
a1ij = aij −aikakk
(akj)
donde a1ij es el elemento de la matriz reducida, aij es el elemento de lamatriz original, k es el elemento pivote.
{
k ≤ j ≤ n, donde n = columnas,k + 1 ≤ i ≤ m, donde m = renglones.
Eliminacion gausiana (sustitucion hacia atras):
Variable final: xmamnamm
xi =ain−
∑mj=i+1 aij xjaii
, para i = n− 1, n − 2, . . . , 1.
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Sistemas de ecuaciones lineales Metodo de Jacobi
Metodo de Jacobi
Ax = b
(D + C )x = b
Dx + Cx = b
xi+1 =b − Cx
D
⎧
⎪
⎪
⎪
⎨
⎪
⎪
⎪
⎩
a11x1 + a12x2 + a13x3 + . . .+ a1nxn = b1a12x1 + a22x2 + a23x3 + . . .+ a2nxn = b2
...an2x1 + an2x2 + an3x3 + . . .+ annxn = bn
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Sistemas de ecuaciones lineales Metodo de Jacobi
Algoritmo de Jacobi
1 Despejamos x1 de la primera ecuacion, x2 de la segunda, etc.
x1 =b1 − [a12x2 + . . . + a1nxn]
a11
x2 =b2 − [a21x1 + . . . + a2nxn]
a22
2 Como vector solucion inicial se emplea el vector cero x(0).3 El calculo de x(1) se obtiene reemplazando x(0) en cada una de las
ecuaciones.4 Para calcular x(2) se sustituye x(1) en cada una de las ecuaciones, y
ası sucesivamente, hasta que el error sea menor al deseado.
Criterio de Convergencia:
|aii | >n
∑
j=1,ji
|aij |
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Sistemas de ecuaciones lineales Metodo de Gauss-Seidel
Gauss-Seidel
Es el metodo iterativo mas utilizado. Dado un conjunto de n ecuacionescon los elementos de la diagonal diferentes de cero, entonces se tiene:
x1 =b1 − a12x2 − a13x3 − . . . − a1nxn
a11,
x2 =b2 − a21x1 − a23x3 − . . . − a2nxn
a22,
x3 =b3 − a31x1 − a32x2 − . . . − a3nxn
a33,
... =...,
xn =cn − an1x1 − an2x2 − . . .− ann−1xn−1
ann.
Nota importante: Este metodo converge si el coeficiente de la diagonalprincipal en valor absoluto es mayor que la suma de los coeficientesrestantes en la ecuacion.
M.C. Luis Alejandro Benavides Vazquez (FCQ-UANL) Metodos Numericos Verano 2016 28 / 78
Sistemas de ecuaciones lineales Metodo de Gauss-Seidel
Convergencia Gauss-Seidel
ξa,i = |xi ,j − xi ,j−1
xi ,j| · 100% < ξs
Se empieza a solucionar tomando las variables xi con un valor inicial decero. Se sustituyen estos en la ecuacion de x1. Luego el valor calculado x1se sustituye en la ecuacion x2 para encontrar su nuevo valor. Este procesose repite hasta llegar a calcular xn
M.C. Luis Alejandro Benavides Vazquez (FCQ-UANL) Metodos Numericos Verano 2016 29 / 78
Sistemas de ecuaciones no lineales
Sistemas de ecuaciones no lineales
Sistema de ecuaciones:
f1(x1, x2, . . . , xn) = 0,
f2(x1, x2, . . . , xn) = 0,... ,
fn(x1, x2, . . . , xn) = 0.
Forma matricial:
F (x) = 0,
x = [x1, x2, . . . , xn].
M.C. Luis Alejandro Benavides Vazquez (FCQ-UANL) Metodos Numericos Verano 2016 30 / 78
Sistemas de ecuaciones no lineales Interaccion de punto fijo
Interaccion de punto fijo
Punto fijo una ecuacion:
f (x) = 0,
xi+1 = g(xi ),
Criterio de Convergencia:
|g ′(x)| < 1.
Punto fijo un sistema de ecuaciones:
f (x) = 0,
xi+1 = g(xi ),
Criterio de Convergencia:
|∂g ′
i (x)
∂(x)j| <
k
ndonde k < 1.
M.C. Luis Alejandro Benavides Vazquez (FCQ-UANL) Metodos Numericos Verano 2016 31 / 78
Sistemas de ecuaciones no lineales Interaccion de punto fijo
Ejercicios
El siguiente problema presenta un sistemas de ecuaciones generado por uncircuito electrico con una sola fuente de voltaje y cinco resistores.R1 = 450 ohm, R2 = 350 ohm, R3 = 520 ohm, R4 = 100 ohm, R5 = 1000ohm y V1 = 10 V.
V1 + R2(i1 − i2) + R4(i1 − i3) = 0,
R1i2 + R3(i2 − i3) + R2(i2 − i1) = 0,
R3(i3 − i2) + R5i3 + R4(i3 − i1) = 0.
Calcule las corrientes de la malla mediante el Metodo de Gauss-Seidelusando los valores de resistencia y voltaje dados.
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Diferenciacion e integracion numerica
Diferenciacion e integracion numerica
El objetivo de esta seccion es usar algoritmos de metodos numericos, paracalcular derivadas e integrales de funciones difıciles de evaluaranalıticamente, e incluso, hay algunas en las que “no existe” su integralcomo es el caso de e−x2 y senx
x .
M.C. Luis Alejandro Benavides Vazquez (FCQ-UANL) Metodos Numericos Verano 2016 33 / 78
Diferenciacion e integracion numerica Diferenciacion numerica
Diferenciacion numerica
La derivacion numerica es una tecnica de analisis numerico para calcularuna aproximacion a la derivada de una funcion en un punto utilizando losvalores y propiedades de la misma.Por definicion la derivada de una funcion f(x) es:
f ′(x) = limh−>0
f (x + h)− f (x)
h.
Las aproximaciones numericas que podamos hacer (para h ¿ 0) seran:Diferencias hacia adelante:
f ′(x0) ≈f (x0 + h)− f (x0)
h.
Diferencias hacia atras:
f ′(x0) ≈f (x0)− f (x0 + h)
h.
M.C. Luis Alejandro Benavides Vazquez (FCQ-UANL) Metodos Numericos Verano 2016 34 / 78
Diferenciacion e integracion numerica Diferenciacion numerica
La aproximacion de la derivada por este metodo entrega resultadosaceptables con un determinado error. Para minimizar los errores se estimaque el promedio de ambas entrega la mejor aproximacion numerica alproblema dado:Diferencias centrales:
f ′(x0) ≈f (x0 + h)− f (x0 − h)
2h,
f ′′(x0) ≈f (x0 + h)− 2f (x0) + f (x0 − h)
h2.
M.C. Luis Alejandro Benavides Vazquez (FCQ-UANL) Metodos Numericos Verano 2016 35 / 78
Diferenciacion e integracion numerica Diferenciacion numerica
Metodos de Newton-Cotes
Las formulas de Newton-Cotes son los tipos de integracion numerica mascomunes. Se basan en la estrategia de reemplazar una funcion complicadao datos tabulados por un polinomio de aproximacion que es facil deintegrar:
I =
∫ b
a
f (x)dx ∼=∫ b
a
fn(x)dx
donde fn(x) es un polinomio de la formafn(x) = a0 + a1x + ...+ an−1x
n−1 + anxn, n es el grado del polinomio.
M.C. Luis Alejandro Benavides Vazquez (FCQ-UANL) Metodos Numericos Verano 2016 36 / 78
Diferenciacion e integracion numerica Diferenciacion numerica
Existen formas cerradas y abiertas de las formulas de Newton-Cotes. Lasformas cerradas son aquellas donde se conocen los datos al inicio y al finalde los lımites de integracion. Las formulas abiertas tienen lımites deintegracion que se extienden mas alla del intervalo de los datos.
M.C. Luis Alejandro Benavides Vazquez (FCQ-UANL) Metodos Numericos Verano 2016 37 / 78
Diferenciacion e integracion numerica Diferenciacion numerica
La regla del trapecio
La regla del trapecio es la primera de las formulas cerradas de integracionde Newton-Cotes.
I = (b − a)f (a) + f (b)
2
El error de truncamiento de la regla del trapecio es
Et = −(b − a)3
12f ′′
donde f ′′ es el valor promedio de la segunda derivada.
M.C. Luis Alejandro Benavides Vazquez (FCQ-UANL) Metodos Numericos Verano 2016 38 / 78
Diferenciacion e integracion numerica Diferenciacion numerica
Existen n segmentos del mismo ancho, h = b−an . Si a y b se designan
como x0 y xn, respectivamente, la integral completa se representara como:
I =
∫ x1
x0
f (x)dx +
∫ x2
x1
f (x)dx + ...
∫ xn
xn−1
f (x)dx
Sustituyendo la regla del trapecio en cada integral se obtiene
I = hf (x0) + f (x1)
2+ h
f (x1) + f (x2)
2+ ...+ h
f (xn−1) + f (xn)
2
Agrupando se obtiene
I =h
2[f (x0) + 2
n−1∑
i=1
f (xi ) + f (xn)]
M.C. Luis Alejandro Benavides Vazquez (FCQ-UANL) Metodos Numericos Verano 2016 39 / 78
Diferenciacion e integracion numerica Diferenciacion numerica
Otra forma de expresar la expresion anterior es
I ∼= (b − a)f (x0) + 2
∑n−1i=1 f (xi) + f (xn)
2n
El error de truncamiento de la regla del trapecio es
Ea =(b − a)3
12n2f ′′
M.C. Luis Alejandro Benavides Vazquez (FCQ-UANL) Metodos Numericos Verano 2016 40 / 78
Diferenciacion e integracion numerica Diferenciacion numerica
Reglas de Simpson
Otra forma de obtener una estimacion mas exacta de una integral consisteen usar polinomios de grado superior para unir los puntos.Por ejemplo, si hay otro punto a la mitad entre f (a) y f (b), los trespuntos se pueden unir con una parabola. Si hay dos puntos igualmenteespaciados entra f (a) y f (b), los cuatro puntos se pueden unir medianteun polinomio de tercer grado.
M.C. Luis Alejandro Benavides Vazquez (FCQ-UANL) Metodos Numericos Verano 2016 41 / 78
Diferenciacion e integracion numerica Diferenciacion numerica
Regla de Simpson 1/3
Esta regla consiste en tomar el area bajo una parabola que une dos puntos.
I = (b − a)f (x0) + 4f (x1) + f (x2)
6
I =h
3[f (x0) + 4f (x1) + f (x2)]
donde h = b−a2
Error de truncamiento Et = − (b−a)5
2880 f (4)
M.C. Luis Alejandro Benavides Vazquez (FCQ-UANL) Metodos Numericos Verano 2016 42 / 78
Diferenciacion e integracion numerica Diferenciacion numerica
La regla de Simpson se mejora al dividir el intervalo de integracion envarios segmentos de un mismo tamano.
I ∼= (b − a)f (x0) + 4
∑n−1i∈impares f (xi ) + 2
∑n−2j∈pares f (xj) + f (xn)
3n
donde n debe ser siempre par, entonces h = b−an .
El error de truncamiento es
Ea = −(b − a)5
180n4f (4)
M.C. Luis Alejandro Benavides Vazquez (FCQ-UANL) Metodos Numericos Verano 2016 43 / 78
Diferenciacion e integracion numerica Diferenciacion numerica
Regla de Simpson 3/8
Tercera formula de integracion cerrada de Newton-Cotes. Es posibleajustar un polinomio de Lagrange de tercer grado a cuatro puntos eintegrarlo.
I ∼=3h
8[f (x0) + 3f (x1) + 3f (x2) + f (x3)]
donde h = b−a3 .
Se expresa tambien como
I ∼= (b − a)f (x0) + 3f (x1) + 3f (x2) + f (x3)
8
El error de truncamiento es
Et = −(b − a)5
6480f (4)
M.C. Luis Alejandro Benavides Vazquez (FCQ-UANL) Metodos Numericos Verano 2016 44 / 78
Diferenciacion e integracion numerica Diferenciacion numerica
La regla de Simpson 3/8 se mejora al dividir el intervalo de integracion envarios segmentos de un mismo tamano.
I =3h
8[f (x0) + 3f (x1) + 3f (x2) + 2f (x3) + ...+ 3f (xn−1) + f (xn)]
donde n debe ser impar y siempre multiplicar por 2 los subindices que seanmultiplos de 3 excepto los extremos.
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Diferenciacion e integracion numerica Diferenciacion numerica
Integracion con segmentos desiguales
Un metodo consiste en aplicar la regla del trapecio a cada segmento ysumar los resultados:
I = h1f (x0) + f (x1)
2+ h2
f (x1) + f (x2)
2+ ...+ hn
f (xn−1) + f (xn)
2
donde hi = el ancho del segmento i .
Nota: Podemos hacer lo mismo con las reglas de Simpson
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Interpolacion lineal y polinomial
Interpolacion
Con frecuencia se encontrara con que tiene que estimar valores intermediosentre datos definidos por puntos.Los metodos se basan en la suposicion de que en la vecindad del valor x, lafuncion f(x) se puede aproximar a un polinomio P(x) y por lo tanto elvalor encontrado de P(x) sera un calor aproximado al valor verdadero dela funcion.El metodo mas conocido que se usa es la interpolacion polinomial.
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Interpolacion lineal y polinomial
Interpolacion lineal
Es la forma mas simple consiste en unir dos puntos con una lınea recta.
f1(x) = f (x0) +f (x1)− f (x0)
x1 − x0(x − x0)
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Interpolacion lineal y polinomial
Interpolacion cuadratica
Si se tienen tres puntos como datos, estos pueden ajustarse en unpolinomio de segundo grado. La forma conveniente para ello es
f2(x) = b0 + b1(x − x0) + b2(x − x0)(x − x1)
donde
b0 = f (x0)
b1 =f (x1)− f (x0)
x1 − x0
b2 =
f (x2)−f (x1)x2−x1
− f (x1)−f (x0)x1−x0
x2 − x0
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Interpolacion lineal y polinomial
Forma general de los polinomios de interpolacion deNewton
El analisis anterior puede generalizarse para ajustar un polinomio den-esimo grado a n+ 1 datos. El polinomio es
fn(x) = b0 + b1(x − x0) + ...+ bn(x − x0)(x − x1)...(x − xn−1)
donde
b0 = f (x0)
b1 = f [x1, x0]
b2 = f [x2, x1, x0]...
bn = f [xn, xn−1, ..., x1, x0].
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Interpolacion lineal y polinomial
donde las evaluaciones de la funcion colocadas entre parentesis sondiferencias divididas finitas.La primer diferencia dividida finita se expresa como
f [xi , xj ] =f (xi )− f (xj)
xi − xj
La segunda diferencia dividida finita es
f [xi , xj , xk ] =f [xi , xj ]− f (xj , xk)
xi − xk
La n-esima diferencia dividida finita es
f [xn, xn−1, ..., x1, x0] =f [xn, xn−1, ..., x1]− f (xn−1, xn−2, ..., x0)
xn − x0
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Interpolacion lineal y polinomial
Interpolacion de Newton para datos igualmente espaciados
h = xi+1 − xi
k =x − x0
h
fn(x) = f (x0)+k∆f
1!+k(k−1)
∆2f
2!+. . .+k(k−1)(k−2) . . . (k−n+1)
∆nf
n!
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Interpolacion lineal y polinomial
Polinomio de interpolacion de Lagrange
fn(x) = b0(x − x1)(x − x2) . . . (x − xn)
fn(x) =n
∑
i=0
Li (x)f (xi )
Li (x) =∏
j=0,i =j
x − xjxi − xj
Segundo grado:
f2(x) = L0(x)f (x)f (x0) + L1(x)f (x1) + L2(x)f (x2)
L0(x) =x − x1x0 − x1
·x − x2x0 − x2
L1(x) =x − x0x1 − x0
·x − x2x1 − x2
L2(x) =x − x0x2 − x0
·x − x1x2 − x1M.C. Luis Alejandro Benavides Vazquez (FCQ-UANL) Metodos Numericos Verano 2016 53 / 78
Regresion lineal y no lineal con mınimos cuadrados
Regresion por mınimos cuadrados
Encontrar un modelo que ajuste los datos tabulados
Media Muestral
x =1
n
n∑
i=1
xi
y =1
n
n∑
i=1
yi
Varianza
s2 =1
1− n
∑
i=1
(xi − x)2
Desviacion estandar
s =
√
1
1− n
∑
i=1
(xi − x)2
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Regresion lineal y no lineal con mınimos cuadrados
Regresion lineal
Un ejemplo de aproximacion por mınimos cuadrados es ajustar una lınearecta a un conjunto de observaciones definidas por puntos:(x1, y1), (x2, y2), ..., (xn, yn)).La expresion para la lınea recta es
y = a0 + a1x + e
donde a0 y a1 son coeficientes que representan la interseccion con el eje y
y la pendiente, respectivamente, e es el error o diferencia, entre el modeloy las observaciones.
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Regresion lineal y no lineal con mınimos cuadrados
La estrategia consiste en minimizar la suma de los cuadrados de losresiduos entre la y medida y la y calculada con el modelo lineal
Sr =n
∑
i=1
e2i =n
∑
i=1
(yi − a0 − a1xi )2
Objetivo: Minimizar el error
∂Sr∂a0
= (−2)∑
(yi − a0 − a1x1) = 0
∂Sr∂a1
= (−2)∑
(yi − a0 − a1x1)x1 = 0
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Regresion lineal y no lineal con mınimos cuadrados
Si observamos que∑
a0 = na0, expresamos un conjunto de dos ecuacioneslineales simultaneas con dos incognitas, llamadas ecuaciones normales:
na0 + (∑
xi )a1 =∑
yi
(∑
xi )a0 + (∑
x2i )ai =∑
xiyi
Resolviendo en forma simultanea
a1 =n∑
xiyi −∑
xi∑
yi
n∑
x2i − (∑
xi)2
a0 = y − a1x
donde y y x son las medias de x y y , respectivamente.
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Regresion lineal y no lineal con mınimos cuadrados
Una “desviacion estandar” para la lınea de regresion se determina como
Sy/x =
√
Srn − 2
donde a Sy/x se le llama error estandar del estimado. Cuantifica ladispersion alrededor de la lınea de regresion.
Sea St la magnitud del error residual asociado con la variable dependienteantes de la regresion (
∑
(yi − y)2), y Sr la suma de los cuadrados de losresiduos alrededor de la lınea de regresion (
∑
(yi − ymod)2).
Coeficiente de determinacion.
r2 =St − Sr
St
r es conocido como el coeficiente de correlacion. En un ajuste perfecto,Sr = 0 y r = r2 = 1, significa que la lınea explica el 100% de lavariabilidad de los datos.
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Regresion lineal y no lineal con mınimos cuadrados
Regresion No Lineal
Linealizacion: Es la transformacion (utilizando algebra) de los datostabulados de tal forma que sean compatibles con una recta.
Modelo Exponencial
y = aebx ,
ln y = ln a + bx ,
v = ln y ,
u = x ,
a0 = ln a,
a1 = b,
v = a0 + a1u.
Modelo de Saturacion
y =a
b + x,
1
y=
b + x
a=
b
a+
1
ax ,
v =1
y,
u = x ,
a0 =b
a,
a1 =1
a.
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Regresion lineal y no lineal con mınimos cuadrados
Regresion polinomial
De forma general se puede resolver para un polinomio de m-esimo grado,
y = a0 + a1x + a2x2 + ...+ amx
m + e
en el que se tienen m+1 ecuaciones lineales simultaneas.
a0n + a1∑
x1 + a2∑
x21 + . . .+ am∑
xm1 =∑
yi
a0∑
x1 + a1∑
x21 + a2∑
x31 + . . .+ am∑
xm+11 =
∑
x1yi
...
a0∑
xm1 + a1∑
xm+11 + a2
∑
x21 + . . .+ am∑
x2m1 =∑
xm1 yi
El error estandar se formula como
Sy/x =
√
Srn− (m + 1)
M.C. Luis Alejandro Benavides Vazquez (FCQ-UANL) Metodos Numericos Verano 2016 60 / 78
Regresion lineal y no lineal con mınimos cuadrados
Regresion polinomio segundo grado
Ejemplo: Suponga que ajustamos un polinomio de segundo grado
y = a0 + a1x + a2x2 + e
Sr =n
∑
i=1
(yi − a0 − a1xi − a2x2i )
2
Ecuaciones normales
(n)a0 + (∑
xi )a1 + (∑
x2i )a2 =∑
yi ,
(∑
xi)a0 + (∑
x2i )a1 + (∑
x3i )a2 =∑
xiyi ,
(∑
x2i )a0 + (∑
x3i )a1 + (∑
x4i )a2 =∑
x2i yi .
donde todas las sumatorias van desde i = 1 hasta n.
M.C. Luis Alejandro Benavides Vazquez (FCQ-UANL) Metodos Numericos Verano 2016 61 / 78
Regresion lineal y no lineal con mınimos cuadrados
Regresion lineal multiple
En el caso que de m dimensiones tenemos:
y = a0 + a1x1 + a2x2 + ...+ amxm + e
Ecuaciones
a0n + a1∑
x1 + a2∑
x2 + . . .+ am∑
xm =∑
yi
a0∑
x1 + a1∑
x21 + a2∑
x2 · x1 + . . .+ am∑
xm · x1 =∑
x1yi
...
a0∑
xm + a1∑
x1 · xm + a2∑
x2 · xm + . . .+ am∑
x2m =∑
xmyi
donde el error estandar se formula como
Sy/x =
√
Srn − (m + 1)
,
y el coeficiente de determinacion se calcula como
S − SM.C. Luis Alejandro Benavides Vazquez (FCQ-UANL) Metodos Numericos Verano 2016 62 / 78
Regresion lineal y no lineal con mınimos cuadrados
Los ingenieros ambientales que estudian los efectos de la lluvia acidadeben determinar el valor del producto ionico del agua kw como funcon dela temperatura . los coeficientes cientıficos sugieren la ecuacion siguientepara modelar dicha relacion
− log10 kw =a
ta+ b log10 Ta + cTa + d (1)
donde Ta es la temperatura absoluta (K), y a, b, c , y d son parametros.emplee los siguientes datos y la regresion:
M.C. Luis Alejandro Benavides Vazquez (FCQ-UANL) Metodos Numericos Verano 2016 63 / 78
Regresion lineal y no lineal con mınimos cuadrados
Regresion lineal multiple
Es mas sencillo resolver las ecuaciones normales si se expresa en notacionmatricial. El modelo en terminos de las observaciones puede escribirse ennotacion matricial como y = Xβ + ε, donde
El estimador de mınimos cuadrados de β es: β = (XTX )−1XT y
M.C. Luis Alejandro Benavides Vazquez (FCQ-UANL) Metodos Numericos Verano 2016 64 / 78
Solucion de ecuaciones diferenciales ordinarias y parciales
Ecuaciones diferenciales ordinarias
Se llama ecuacion diferencial aquella ecuacion que contiene una variabledependiente y sus derivadas con respecto a una o mas variablesindependientes.
dy
dx= f (x , y)
A partir de una condicion inicial se calcula la funcion y = f (x) conx = x0 + h. El metodo de un paso de forma general es:
Nuevo valor = valor anterior + pendiente× tamano de paso
yi+1 = yi + φh
M.C. Luis Alejandro Benavides Vazquez (FCQ-UANL) Metodos Numericos Verano 2016 65 / 78
Solucion de ecuaciones diferenciales ordinarias y parciales
Metodo de Taylor
Serie de Taylor
f (xi+1) = f (xi) + hf ′(xi) +h2
2!f ′′(xi ) + . . .+
hn
n!f (n)(xi)
Truncando en el 2do termino
f (xi+1) = f (xi ) + f ′(xi )h + Error
h = xi+1 − xi
φ = f ′(xi )
yi+1 = yi + φh
Ejemplody
dx= y2 cos(5x) + y sin(x); x = 0; y = 1
M.C. Luis Alejandro Benavides Vazquez (FCQ-UANL) Metodos Numericos Verano 2016 66 / 78
Solucion de ecuaciones diferenciales ordinarias y parciales
Metodo de Euler
yi+1 = yi + φh
φ = f (xi , yi )
h = xi+1 − xi
Ejemplo: Resolver desde t = 0 hasta t = 0.3 con h = 0.1
dy
dt= y sin3(t); con y(0) = 1.
M.C. Luis Alejandro Benavides Vazquez (FCQ-UANL) Metodos Numericos Verano 2016 67 / 78
Solucion de ecuaciones diferenciales ordinarias y parciales
Metodo de Euler Modificado
Es un metodo que mejora la aproximacion a la pendiente. Implica elcalculo de dos derivadas del intervalo, en el punto inicial y otra en el puntofinal.Ecuacion predictiva
yi+1 = yi + f (xi , yi )h
Ecuacion correctiva
yi+1 = yi +[f (xi , yi ) + f (xi+1, yi+1)]h
2
Ejemplo: Resolver desde t = 0 hasta t = 0.3 con h = 0.1
dy
dx= y sin3(t); con y(0) = 1.
M.C. Luis Alejandro Benavides Vazquez (FCQ-UANL) Metodos Numericos Verano 2016 68 / 78
Solucion de ecuaciones diferenciales ordinarias y parciales
Metodo de Runge-Kutta
Logran exactitud del procedimiento de la serie de Taylor sin necesitar delcalculo de la derivada de orden sueprior.
yi+1 = yi + φ(xi , yi , h)h
donde φ(xi , yi , h)h es la funcion de incremento descrita como
φ = a1k1 + a2k2 + . . . + ankn
donde las a son constantes y las k son
k1 = f (xi , yi )
k2 = f (xi + p1h, yi + q11k1h)
k3 = f (xi + p2h, yi + q21k1 + q22k1h)...
kn = f (xi + pn−1h, yi + qn−1,1k1h + qn−1,2k2h + . . . + 1n−1,n−1kn−1h)
donde las p y las q son constantes.M.C. Luis Alejandro Benavides Vazquez (FCQ-UANL) Metodos Numericos Verano 2016 69 / 78
Solucion de ecuaciones diferenciales ordinarias y parciales
Metodo de Runge-Kutta
*Segundo orden
yi+1 = yi +h
2(k0 + k1)
donde
k0 = f (xi , yi )
k1 = f (xi + h, yi + hk0)
M.C. Luis Alejandro Benavides Vazquez (FCQ-UANL) Metodos Numericos Verano 2016 70 / 78
Solucion de ecuaciones diferenciales ordinarias y parciales
*tercer orden
yi+1 = yi +h
6(k1 + 4k2 + k3)
donde
k1 = f (xi , yi )
k2 = f (xi +h
2, yi +
h
2k1)
k3 = f (xi + h, yi − hk1 + 2hk2)
M.C. Luis Alejandro Benavides Vazquez (FCQ-UANL) Metodos Numericos Verano 2016 71 / 78
Solucion de ecuaciones diferenciales ordinarias y parciales
*cuarto orden
yi+1 = yi +h
6(k1 + 2k2 + 2k3 + k4)
donde
k1 = f (xi , yi )
k2 = f (xi +h
2, yi +
h
2k1)
k3 = f (xi +h
2, yi +
h
2k2)
k4 = f (xi + h, yi + hk3)
M.C. Luis Alejandro Benavides Vazquez (FCQ-UANL) Metodos Numericos Verano 2016 72 / 78
Solucion de ecuaciones diferenciales ordinarias y parciales
Ejemplos
Resolverdy
dx= −2y + 4e−x ; y(0) = 2,
de x = 0 a x = 1 con h = 0.2 mediante R-K de 4◦ orden.
M.C. Luis Alejandro Benavides Vazquez (FCQ-UANL) Metodos Numericos Verano 2016 73 / 78
Solucion de ecuaciones diferenciales ordinarias y parciales
Sistemas de ecuaciones diferenciales (1er orden)
dy1dx
= f1(x , y1, y2, . . . , yn)
dy2dx
= f2(x , y1, y2, . . . , yn)
...dyndx
= fn(x , y1, y2, . . . , yn)
Se deben conocer n condiciones iniciales y definir el paso de integracion h.Runge-Kutta 2do Grado
yj ,i+1 = yj ,i + (1
3k1,j +
2
3k2,j)h
k1,j = fj(xi , y1,i , y2,i , . . . , yn,i )
k2,j = fj(xi +3
4h, y1,i +
3
4hk1,1, y2,i +
3
4hk1,2, . . . , yn,i +
3
4hk1,j)
M.C. Luis Alejandro Benavides Vazquez (FCQ-UANL) Metodos Numericos Verano 2016 74 / 78
Solucion de ecuaciones diferenciales ordinarias y parciales
Un reactor por lotes no isotermico esta descrito por las siguientesecuaciones:
dc
dt= −e
−10T+273 · c
dT
dt= 1000e
−16T+273 · c − 10(T − 20)
Donde c es la concentracion del rectivo y T es la temperatura del reactor,inicialmente esta a 15◦C y tiene c = 1 mol/L de reactante. Encuentre la cy la T como funcion del tiempo.
M.C. Luis Alejandro Benavides Vazquez (FCQ-UANL) Metodos Numericos Verano 2016 75 / 78
Solucion de ecuaciones diferenciales ordinarias y parciales
Estado de orden superior
d3y
dx3− 3
d2y
dx2− y
dy
dx= 0
y(0) = 0, y ′(0) = 1, y ′′(0) = −1.
z1 = y ; f1 =dz1dx
= z2
d
dx
[
d
dx
(
dz1dx
)]
− 3d
dx
(
dz1dx
)
− z1dz1
dx= 0
d
dx
(
dz2dx
)
− 3dz2dx
− z1z2 = 0; f2 =dz2dx
= z3
dz3dx
− 3z3 − z1z2 = 0; f3 =dz3dx
= 3z3 + z1z2
Condiciones iniciales
z1(0) = 0, z2(0) = 1 z3(0) = −1
M.C. Luis Alejandro Benavides Vazquez (FCQ-UANL) Metodos Numericos Verano 2016 76 / 78
Solucion de ecuaciones diferenciales ordinarias y parciales
Metodo de diferencias finitas
Es el metodo mas comun para resolver EDO’s con condiciones defrontera.
Se utilizan las diferencias finitas en lugar de las derivadas(discretizacion de la ecuacion diferencial)
Se construye una retıcula (nodos) donde se ubican los puntos de lafuncion de estudio.
M.C. Luis Alejandro Benavides Vazquez (FCQ-UANL) Metodos Numericos Verano 2016 77 / 78
Solucion de ecuaciones diferenciales ordinarias y parciales
Ejemplo
8d2y
dx2+ 16
dy
dx− 4y = 20, y(0) = 5, y(20) = 2
Dividir en 10 nodos h = ∆x = 2, h = xn−x02
Diferencias finitas
d2y
dx=
yi+1 − 2yi + yi−1
h2
dy
dx=
yi+1 − yi2h
M.C. Luis Alejandro Benavides Vazquez (FCQ-UANL) Metodos Numericos Verano 2016 78 / 78