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7/29/2019 MINT 3 Morphologie Mathematique
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Laboratoire des Sciences de lInformation et des SystmesUMR CNRS 6168
Analyse dimages3 Morphologie Mathmatique
Olivier Coulon
http://olivier.coulon.perso.esil.univmed.fr
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3 . Morphologie Mathmatique
Morphologie Mathmatique : pour quoi faire ?
Comment liminer ce bruit ?
Comment sparer ces deux composantes ?
Comment tiqueter diffremment ces deux formes connexes ?
Comment comparer ces deux formes ?
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3 . Morphologie Mathmatique
Morphologie mathmatique
Techniques de filtrage et danalyse base sur des thories ensemblistes
et algbriques
Un certain nombre de filtres qui permettent de modifier la forme et la
topologie des structures dans limage
Lide gnrale est la comparaison locale des structures dans limage
avec un lment de rfrence : llment structurant
Morphologie mathmatique binaire et en niveau de gris
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3 . Morphologie Mathmatique
Erosion morphologique binaire
Si tout u on associe une position B(u) de llment structurant B, alors
lrod de lensemble X par B est :
EB(X)={u:B(u)X}
B
EB(X)
X
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3 . Morphologie Mathmatique
Dilatation morphologique binaire
Si tout u on associe une position B(u) de llment structurant B, alors
le dilat de lensemble X par B est :
DB(X)={u:B(u)X}
B
DB(X)
X
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3 . Morphologie Mathmatique
Dilatations et rosions : proprits
Deux proprits de base :
EB(X) X DB(X)
Effets :
Bouche les trous plus petits que B,largit les caps,
comble chenaux troits,
soude deux formes proches.
Elimine les composantes connexesplus petites que B,
limine les caps troits,
largit chenaux et trous,
transforme une presque-le en le.
DilatationErosion
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3 . Morphologie Mathmatique
Dilatation et rosion
Erosion
Dilatation
disque 1 disque 2 disque 3 disque 4
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3 . Morphologie Mathmatique
Ouverture binaire
Composition dune rosion suivie dune dilatation avec le mme lment
structurant
OB(X)=DB(EB(X))
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3 . Morphologie Mathmatique
Fermeture binaire
Composition dune dilatation suivie dune rosion avec le mme lment
structurant
FB(X)=EB(DB(X))
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3 . Morphologie Mathmatique
Ouverture et fermeture : proprits
Proprits de base :
Ordre : OB(X) X FB(X)
Idempotence : OB(OB(X) )= OB(X) et FB(FB(X))= FB(X)
Bouche les trous plus petits que B,conserve souvent la taille et la forme
Ne conserve pas la ncessairement
la topologie,
En particulier : soude les formes
proches
Lisse les formes,limine les composantes connexes
plus petites que B,
conserve souvent la taille et la forme
ne conserve pas la ncessairement
la topologie.
FermetureOuverture
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3 . Morphologie Mathmatique
Ouverture et fermeture
Fermeture
Ouverture
disque 1 disque 2 disque 3 disque 4
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3 . Morphologie Mathmatique
Ouverture et fermeture
Applications : images binaires donc souvent comme post-traitement dune
segmentation
Dbruitage :
Ouvertures pour enlever des pics isols.
Fermeture pour enlever des creux isols.
Lissage de forme :
Ouverture pour lisser les bosses .
Fermeture pour lisser les creux.
Sparation en plusieurs composantes connexes (ouverture)
Fusion de composantes spares (fermeture)
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3 . Morphologie Mathmatique
Oprateurs de base : petite parenthse informatique
Limplmentation se fait comme un filtre linaire, avec le test logique
correspondant :
En chaque pixel (x,y) on fait (ici pour une rosion) :
0 1
1
0
0
1
1 0
10 00 0 11 1 11
char h[9]
int i,j,k=0;
int flag=1
for (j=-1; j
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3 . Morphologie Mathmatique
Dilatation conditionnelle
Dilatation conditionnelle : dilatation dun ensemble X par un lment
structurant B, soumise la condition dappartenance un masque M:
DCBM(X)=DB(X) M
M
X
DCBM(X)
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3 . Morphologie Mathmatique
Dilatation conditionnelle : application
Etiquetage de deux composantes connectes : sparation par rosion,
tiquetage, puis reconstruction par itrations de dilatation conditionnelle
XY=EB(X)
DCCX(Y)Lors de la reconstruction, on dilate
conditionnellement X, itrativement
avec une boule de rayon 1 jusquconvergence.
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3 . Morphologie Mathmatique
Morphologie mathmatique en niveaux de gris Extension simple : soit I une image et SG(I) le sous-graphe de I SG(I)={
(x,t) : tI(x) }
I SG(I)
x
t
Une dfinition simplifie des
dilatations et rosionspour des
lments structurants plats etsymtriques est :
EB(I)(x)=inf {I(y), yBx}
DB(I)(x)=sup {I(y), yBx}
O Bx est le translat de B en x
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3 . Morphologie Mathmatique
Morphologie Mathmatique en NdG
DB(I)
x
t
x
t
EB(I)
B
En terme de sous graphe :
SG(EB(I))={(x,t) : SG(B(x,t))SG(I)}
SG(DB(I))={(x,t) : SG(B(x,t))SG(I)}
B(x,t)
x
t
SG(B(x,t))
SG(B(x,t))
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3 . Morphologie Mathmatique
Morphologie Mathmatique en NdG
De mme on dfinit ouverture et fermeture par composition des dilatations
et rosions.
Ouverture : rodes les pics plus petits que B
Fermeture : remplit les creux plus petits que B
x
t
OB(I)B
FB(I)
x
t
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3 . Morphologie Mathmatique
Dautres oprateurs de Morphologie Mathmatique
Amincissement homotopique: amincissement itratif qui mne ausquelette dune forme (binaire).
Ligne de partage des eaux : segmentation par partitionement en bassinsversants de la surface des niveaux de gris (NdG).
Chapeau haut-de-forme : image-ouverture, pour extraire les picsdintensit selon des critres de taille et de forme (NdG).
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3 . Morphologie Mathmatique
Exemple : amincissement homotopique dimages binaires
Lobjectif est dobtenir le squelette homotopique dune forme.
Applications :
Rendre filiforme une rgion peu paisse (ex : criture).
Caractriser une forme.
Inconvnient : parfois instable, en fonction de la forme.
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3 . Morphologie Mathmatique
Transformation en tout ou rien
On considre les lments structurants S forms de deux parties
disjointes S0 et S1.
Pour un pixel x, soit Sx (S0
x et S1
x) le translat de S en x.
Pour un ensemble X, la transformation en tout-ou-rien XS estl ensemble des pixels x qui vrifient :
yS1
x, yS
yS0
x, yS
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3 . Morphologie Mathmatique
Transformation en tout ou rien
Soit les lments structurants S suivants (1 reprsente les pixels dans S1, 0 dans S0, et * les pixelsnon pris en compte)
La transformation en tout ou rien applique X successivement avec
chacun de ces E.S., permet dobtenir les points du contour de X
000
*1*
111
00*
*011
*1*
*00
110
*1*
111
*1*
000
*1*
110
*00
0*1
011
0*1
1*0
110
1*0
*1*
011
00*
1 2 3 4
5 6 7 8
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3 . Morphologie Mathmatique
Amincissement homotopique On supprime le contour de X itrativement : rptition de X\XS ( \
reprsente la diffrence ensembliste) avec les 8 E.S. jusqu stabilisation.
* * * * * * * * *
* * * * * * * * * * * *
* * * * * * * * * * * * *
* * * * * * * * * * * * * *
* * * * * * * * * * * * *
* * * * * * * * * * * *
* * * * * * *
* * *
2 2 2 2 2 2 2 2 2
** * * * * * * * * * 8
4 * * * * * * * * * * * 8
4 * ** * ** * * ** * * 3
6 * * * * * * * * * * * 3
6 * * * 5 1 1 6 * * * 3
1 1 1 6 * * 3
1 1 *
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3 . Morphologie Mathmatique
Ligne de partage des eaux sur image en niveaux de
gris Lintensit est considre comme un paysage montagneux (reprsentation
surfacique)
On cherche les bassins versants pour partitionner ce paysage.
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3 . Morphologie Mathmatique
Ligne de partage des eaux : utilisation Lutilisation la plus courante est sur une image du gradient : Les bassins versants
de limage du gradient sont les rgions homognes de limage originale
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3 . Morphologie Mathmatique
Ligne de partage des eaux : avantages et inconvnients
Un gros avantage : limage est compltement partitionne et les contours
sont ferms Un gros inconvnients : une sur-segmentation systmatique
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3 . Morphologie Mathmatique
La sur-segmentation : solutions possibles
Fusion des bassins sur des critres de contraste, o selon un critre
dhomognit dpendant de lapplication
Marqueurs pour initier la monte des eaux seulement dans quelques
bassins
remplir des bassins avant la monte des eaux, avec une fermeture
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3 . Morphologie Mathmatique
A suivre
Prochain cours :
Dtection de contours