TECHNISCHE MECHANIK 5(1984}Heft1
Manuskripteingang: 10. 3. 1983
MISES-Fließbedingung für Rotationsschalen
Albrecht Oschatz
0. Einleitung
Bei der Traglastberechnung für Flächentragwerke ist es
wie bei der elastischen Berechnung üblich, mit den
Schnittgrößen zu arbeiten. Die für die Spannungen vor-
liegende Fließbedingung wird deshalb in eine Form für
die Schnittgrößen überführt. Bei Rotationsschalen erge-
ben sowohl die Fließbedingung von Huber-v. Mises-
Hencky (HMH) als auch die Fließbedingung von Cou-
lomb-Tresca (CT) nichtlineare Fließbedingungen für die
Schnittgröfsen.
In der Praxis verwendet man deshalb 0ft Näherungs-
fließbedingungen mit auf der „sicheren Seite” liegen-
den Ergebnissen. Steigende Belastungen und Fragen der
. Materialökonomie erfordern aber eine immer genauere
Berechnung. Für die Traglastberechnung bedingt das die
Verwendung einer möglichst exakten Fließbedingung.
Bei dicken Schalen sind zusätzlich der Trapezeffekt, die
Querkraftschubsimnnung und die Normalspannung senk—
recht zur Schalenmittelfläche zu berücksichtigen.
l. Grundlagen
Wir verwenden das in Bild 1 angegebene Koordinaten—
system mit den Koordinaten s in Meridianrichtung, 19 in
Umfangsrichtung und z senkrecht zur Schalenmittel-
fläche. Die Krümmungsradien sind rs und rg, die Scha-
lendicke ist h.
Bei rotationssymmetn'scher Belastung existieren nur die
in Bild 2 angegebenen Schnittmomente ms, mg, die
Schnittkräfte ns, n19 und die Querkraft q.
Mit Berücksichtigung des Trapezeffektes ergeben sich
die Schnittgrößen aus den Spannungen US, 019 und T zu
Bild l
Schalengeometrie i
56
ms : _ f Os(l+—z——)zdz
h 1'19
_§
lh
IE z)dm19: —- g 1+—zzJ M rs
2
+_
nS = f os(1+z—)dz (1)
_E “9
2
h
+-
f2 (1 z)dI119: 019 +— z
_E ‘S
2
„h
E
1-D II I 1(1 +Z—)dz
J ‘19
2
Den Schnittgrößen sind die Geschwindigkeiten der
Krümmungen ks und [(19, der Dehnungen es und ca so—
wie der Winkeländerung dual zugeordnet. Im weite-
ren wird der Zusatz 7,Geschwindigkeit” bei den Verzer-
rungen weggelassen, da bei der Traglastberechnung diese
Größen selbst nicht auftreten und so eine Verwechslung
ausgeschlossen ist.
Fassen wir die Schnittgrößen und die Verzerrungen zu
Vektoren zusammen,
Bild 2
Schni» '"ößen
W = (ms, "119, "Sa Hai q)
(2)"2T H (ks, 1619, es, (2‘19,
so beträgt die Dissipationsarbeit je Flächenelement
W I E) I msks +m&k§+nsés+n6éfi+q.7
Die Beziehungen zwischen Schnittgrößen und Verzer-
rungen ergeben sich aus der Fließbedingung
(1)0713» m19, n57 Hiya 2 0
und dem assoziierten Fließgesetz von v. Mises
- 3(1) . - 8(1): )\ : A—
s öms es önS
_ ' ö<I>
7 = A5; (5)
. - 8(1) . -6q>: Ä— = —
K19 ömg 66 Äöng
Der Faktor x ist eine Funktion der Koordinate s (D 0).
2. Berechnung der
Schnittgrößen
Fließbedingung für die
Es gibt prinzipiell zwei Methoden, um aus einer Fließbe-
dingung für die Spannungen die Fließbedingung für die
Schnittgrößen herzuleiten. Sie basieren auf den bekann-
ten Traglastsätzen (statisch zulässiges oder kinematisch
mögliches System). Das Ergebnis ist eine Fließbedingung
für die Schnittgrößen und die Spannungsverteilung über
die Schaiendicke h. Die Spannungsfließbedingung ist da-
bei in jedem Punkt erfüllt, während die Gleichgewichts-
bedingungen und die Randbedingungen für die Span-
nungen nur im Mittel erfüllt werden, d. h. nur für die
Schnittgröläen.
Auch ohne Berücksichtigung des Trapezeffektes und des
Einflusses der Querkraft ist eine geschlossene Darstellung
der Fließbedingung für die Schnittgrößen in Form der
Gleichung (4) nicht möglich. Man erhält eine Parameter-
darstellung mit 3 Parametern. Das erschwert eine Trag—
lastberechnung außerordentlich. Deshalb benutzt man
häufig Näherungen für die Fließbedingung der Schnitt-
größen.
Erstens besteht die Möglichkeit, sich auf mathemati-
schem Wege eine geschlossene Näherungsfließbedingung
abzuleiten. In [l] findet man so eine Näherung für die
Kreiszylinderschale. Um die maximale Abweichung ge-
ring zu halten, befinden sich Teile der Näherungsfließ-
bedingung innerhalb und außerhalb der exakten Fließbe-
dingung. Für damit berechnete Traglasten ist von vom-
herein keine Aussage möglich, ob diese über oder unter
dem exakten Wert liegen.
Eindeutig innerhalb oder außerhalb der Fliefibedingung
liegende Näherungsfließbedingungen erhält man, wenn
bei deren Berechnung für die Spannungen oder die Ver-
zerrungen Näherungsansätze verwendet werden. Aller—
dings ist die Wahl geeigneter Näherungen für die Span-
nungen oder Verzerrungen schwierig, da das Ziel nicht
in einer Schranke für die Fließbedingung, sondern in
einer geschlossen darstellbaren Form besteht. Eine sehr
gute untere Schranke wird im Abschnitt 5. vorgestellt.
Gute Obere Schranken sind dem Autor nicht bekannt.
3. Berücksichtigung des Trapezeffektes und
der Querkraftschubspannung
3. I. Exakte Fliefibedingung
Zur Herleitung der Fließbedingung für die Schnittgrößen
wird die mit der Variation der Spannungsverteilung ar—
beitende Methode von Landgraf [2] benutzt. Mit der
Spannungsfließbedingung
2 2 2cI):03—05019+06+37'2—0F:0 (6)
lautet das Variationsproblem
+‚gä
. 2 z
+e — 1L<50+;5%h+ns
— 2
_ h (n+_
2
+ €19 —f 019(1+;—)dz+n8
s
. z+ _ 1+_ d +7 T( r19) z q
2+
fh #(Us —osaü+0ä+372— im
2
= Extremum
Für die Lagrangeschen Multiplikatoren sind in Glei-
chung (7) schon die ihnen entsprechenden Verzerrun-
gen eingesetzt. Aus den Eulerschen Variationsglcichun-
gen
II
oea+%n—ea+%wueeno>
kmhäw—oafaweo—o 0<eS S
57
_y(1+z_)+„(„ = 0
l'
und (6) ergeben sich die Spannungen zu
0 :°F 2a+bs .__.________
J5 ./az+ab+b2+cz
0F 2h+aa =—-—~__ 9a ()
fl \/a2+ab+b2+c2
1' "0F c
J5 \/a2+ab+b2+c2
mit
a = (—ksz+äs)(l+l%)
h = <—w+ea><1+—“)l's
_ l . z
C ‘ 5702;)
Durch Integration von (l) berechnet man aus (9) die
Schnittgrößen für den vollplastischen Zustand. Diese
Integration führt im allgemeinen Fall auf elliptische
Integrale und wird zweckmäßig numerisch ausgefiihrt,
+E (2a+b)(1+i)z0F 2 [‘19
ms = — f dz
\[3—_E \/a2+ab+b2+c2
2
h z+_ + „„F 2 <2b a>(1+r)z
m9 — f 5 dz
‘5 _E \/a2+ab+b2+c2
2
+2 (2a+b)<1+;f,;)
0F i
ns = f dz <10)fi_E\/32+ab+b2+c2
' 2
h z
+-2— (2b+a)(l+r—)
n0 = _ f _.______5___dz
V5 _ll-\/a2+ab+b2'+c2
2
h z+_ _
0F 2 c(1+1' )
q = dz
f
V5 _h \/a2+ab+b2+c2
2
(10) ist eine Parameterdarstellung für die Fließbedin-
gung der Schnittgrößen.
96’) = (N? (3?» (11)
58
bei der sich die Parameter ks, 16,9, es, ég‘und '7 nicht eli-
minieren lassen. Da sich der Verzerrungsvektor'ic) nur bis
auf einen Faktor bestimmen läßt, ist eine Normierung
zweckmäßig. Bei der Traglastberechnung ist die Beant-
wortung von zwei Fragen wichtig:
a) Wie groß ist der Auslastungsgrad v oder eine Ver-
gleichsschnittgröße bei einem gegebenen Schnittgrö-
ßenvektorir’o?
b) Welchen Wert hat eine Schnittgröße yk, damit bei
vorgegebenen Schnittgrößen yi (i at k) die Fließbe-
dingung erfüllt ist?
Beide Fragestellungen führen zu nichtlinearen Glei-
chungssystemen :
Falls) ‘y’o = v‘ am?) (12)
Fallb) yi = „(35) in (13)
Einige Probleme bei der numerischen Lösung dieser
nichtlinearen Gleichungssysteme werden im Abschnitt
3.4. behandelt.
3.2. Fliefibedingung ohne Trapezeffekt
Mit [1:715 = 0 ist die Integration von (10) ausführbar.
S .
Ohne Berücksichtigung der Querkraftschubspannungen
würde diese Lösung von Hodge [3] angegeben. Eine ähn-
liche Darstellung wie hier finden wir bei Duszek
(14)
0F _ _ ‚ . . .
ms : — 75— (2es + 60)“ _ (2K5 + ‚(0)12
m0 : _ 0—17- (es + 2ea)il _ (‚es + 2kö)i2
x/ä
„s = 1L (zés + ewio _ (2168 + k1,)i1\/§
n = 9L (es + 2&9“, _ (.2s + 2:21,)i1
x/ä
_ 0F 1 ..q — _ _
«ä 2 7 °
mit
_ 1 [ B+Ah B—Ah ]: .__ arsh — arsh
‘0 «X («Z ) («Z ’
. 1 B .l1 = X(W1—W2)-2j"o
i2 = _12 [(hA—6B)W1+(hA+6B)W2+(3B2—4AC)io]8A
_ .2 .. .2A —KS+KSI<I,+Kl9
U3 n —(2és + éflyes _ (2e;19 + es)‚el9
c = é:+ésé§+é3
‚5,2
‚PI!—
l> l
I
4A(C+D)—B2 > 0
W1=\/%;Ah2+—;—Bh+C+D
/1 1
3.3. Kanten in der Fliefibedingung
An Ecken oder Kanten sind bei gleichen Schnittgröfsen
verschiedene Verzerrungen möglich. Das führt zu Kom-
plikationen bei der numerischen Behandlung und soll
deshalb kurz untersucht werden.
Wir gehen von den Spannungen (9) aus und stellen die
Frage, unter welchen Bedingungen sich die Verzerrun-
gen ändern können, ohne daß sich andere Verläufe für
die Spannungen ergeben. Das ist genau dann der Fall,
wenn sich das Verhältnis zwischen den Zählern in (9)
und dem Nenner nicht ändert. Man erhält
'Y = 0
kséa—Ra'és Z 0 (15)
. h . rlesl 2 E [Ksl
h .I > —| l€8| 2 K19
Voraussetzung für das Auftreten einer Kante ist also das
Verschwinden der Querkraft. Berücksichtigt man den
Trapezeffekt, so ergibt sich kein linearer Spannungsver-
lauf und Momente ms # O und m0 * 0 sind möglich. "
Ohne Trapezeffekt tritt eine Kante nur bei konstanten
Spannungen OS und at? auf. Die Biegemomente sind bei—
de null. Für die Schnittkräfte gilt:
n: —nsnö+nä—o:h2 =0
(16)
ms=0 m19=0 q=0
3.4. Numerische Berechnungen
Geht man von den Verzerrungen aus, so ist die Berech-
nung der Spannungen nach (9) und der Schnittgrößen
nach (10) oder (l4) möglich. Bei der numerischen Inte-
gration von (10) ist zu beachten, daß bei Sonderfällen
der Nenner und der Zähler des Integranden gleichzeitig
null werden. Schon anschaulich ist klar, daß der dazu ge-
hörende Grenzwert existiert und endlich ist.
Eventuelle numerische Schwierigkeiten lassen sich umge-
hen, wenn in solchen Fällen der Integrationsbereich ge-
teilt und mit dem Verfahren von Gauss gearbeitet wird.
Für die Randpunkte sind dann keine Funktionswerte zu
berechnen.
Benutzt man für die Integrale i0, i1 und i2 in Formel
(14) die geschlossenen Ausdrücke, so ist in einigen Fällen
auch eine doppelt genaue Berechnung nicht ausreichend.
Dann muß entweder auf die numerische Integration zu—
rückgegriffen werden oder die Ausdrücke sind für diese
Sonderfälle in Reihen zu entwickeln. Größere numeri-
sche Probleme gab es bei der Lösung der nichtlinearen
Gleichungssysteme (12) und (13). Wesentlich für die
Konvergenz des‘erforderlichen Iterationsverfahrens ist
die Startlösung 3’0. Im Abschnitt 5. wird deshalb eine
gute Näherungsfließbedingung angegeben.
Zwei Verfahren wurden numerisch getestet, wobei keine
Aussage über die geringere Anzahl der Iterationen mög'
lich ist. Diese ist stark abhängig von den vorgegebenen
Schnittgrößen.
Beim ersten Verfahren werden die Schnittgrößen in
einen vom Trapezeffekt unabhängigen und einen abhän—
gigen Teil zerlegt
VG?) = 3’115?) +936") (17)
Die Schnittgrößen y’T ergeben sich als Differenz der
Schnittgrößen mit (Gleichungen (10)) und ohne (Glei-
chungen (14)) Trapezeffekt. Nimmt man für einen Itera-
tionsschritt an, dafi die Integrale i0, i1 und i2 und—37T
unabhängig von 1’ sind, so führt (12) oder (13) auf ein
lineares Gleichungssystem für 3?, wenn für y’U die Aus-
drücke (14) benutzt werden. Wenn das Verfahren sehr
langsam konvergiert, so ist eine Beschleunigung durch
die Einschaltung von Interpolationsschritten möglich.
Das zweite Verfahren besteht in der Linearisierung des
Gleichungssystems (12). Zur Startlösung 350 gehören die
Schnittgrößeny’o .
V = Vl70 + EG} —§<’0)} (13)
Die Koeffizienten der Matrix g bestimmt man nume-
risch, da y’ nur für diskretei> bekannt ist. Analog zu (12)
läßt sich das Gleichungssystem (13) lösen.
3.5. Beispiele
Um den Einfluß des Trapezeffektes und der Querkraft-
schubspannungen zu zeigen, sind im Bild 3 Spannungs-
verläufe und im Bild 4— Schnitte durch die Fließbedin-
gung angegeben.
4. Berücksichtigung der Normalspannung oz
Normalspannungen 0z infolge Druckbelastung pi oder pa
(Bild 5) haben auf die Traglast einen Einfluß in der glei-
chen Größenordnung wie die Querkraft und der Trapez.-
effekt. Eine Berücksichtigung in der Fließbedingung ist
nur näherungsweise möglich, da zur Berechnung von oz
aus den Gleichgewichtsbedingungen auch die Ableitun-
gen der Schnittgrößen benötigt werden. Der Ansatz
59
A Z/h
0.5-
05-
z/h
T/o’i
o_5 —
{Z/h
T/OJFJ‘5
_ 0'5-
-E
ar=§g
l 1.
Ä
QS‘
lz/h
T/dp
Es-
0,
s-
_1_F,
.i
'
7‘5'
2h’
‘5
_ 0'5-
60
“01
Bild 3
Spannungen mit Berücksichtigung des Trapechfektes und der
Querkraftschubspannungen
Bild 4-
Schnitte durch die Fließbedingung m6 : n0: 0
4a: h/rs = 0; h/rö: 0
4b: h/rs = —0,1; h/l'19= l
61
o‚=—pa<ä+%)—n<%—%> <19)
erfiillt die Randbedingungen.
Bild 5
Druckbelastung S
Wie in [5] gezeigt wird, führt die Abspaltung eines
hydrostatischen Spannungszustandes U = oz
as = a: + oz (20)
a - *+8‘019 oz
auf die Fließbedingung (10) für die Spannungen 0:, a;
und T. Wir setzen (20) in (1) ein und erhalten für die
Schnittgröfien zwei Anteile. Mit dem Index p sind die
druckabhängigen und mit * die Anteile gekennzeichnet,
die die Fließbedingung erfüllen
3% = r + v?
h2 h3
msp : E(P3_Pi) + 2741: (Pa+Pi)
h2 h3
map 2 ü‘Ü’a—Pi) + fi:(Pa+Pi)
up = -h (Pa + Pi) — ——h2 (Pa - Pi)(21)
s 2 12g,
2p : + . _ h
n p P) —— (p —p-)6 2 a I 12rS a 1
q" = 0
5. Näherungsfließbedingungen
5.1. Fliefibedingung von Landgraf/Wölfel
Ohne Trapezeffekt und Querkrafteinfluß ist eine sehr
gute Näherung die Fließbedingung von Landgraf/Wölfe].
Sie liegt innerhalb‘der exakten Fließbedingung. Die Ab-
weichung beträgt maximal 4,69 %. Zum gleichen Ergeb—
nis führten unterschiedliche Wege. Landgraf leitete diese
Fließbedingung aus der exakten Fließbedingung ab,
Wölfel ging von zwei Schichten mit konstanten Span-
nungen aus. Mit den Abkürzungen
2 _ l 2.n —-—_(ns._
2
n n + nV OF2h2 S l9 19)
62
2_16
m
2 2v — W (ms —— msmo + m19) (22a)
F
4 4 2
Ev ‘ i “2—3 [(st-ma)ns + (2ma—ms)“a]}o hF
lautet die Näherungsfließbedingung
_ 2 1 2 l ' 4 4 _q) — nv +—é‘mv "PEva +gv _‘l — 0
Soll der Querkrafteinfluß berücksichtigt werden, so ist
nv2 in (22) durch (23) zu ersetzen
2 lnv = _2—2—(ns2—nsn19 + n; + 3q2) (23)
0F h
5.2. Mit Trapezeffekt und Querkrafteinflufi
Mit einem schichtweise konstanten Ansatz für die Span-
nungen OS, 019 und einer konstanten Schubspannung T
kann auch der Trapezeffekt erfaßt werden (Bild 6).
Die Fließbedingung ist in jedem Punkt erfüllt:
2 i 2 2 -
(D1 = 081 — 0510191 + 001 + 312 — 0F -0
2 2 2 (24)
<I>2 = 082 — 052002 +0192 + 312 — 0F =0
Aus (1) folgen die Schnittgrößen
3
m z _"_s_1 9342+}. 1453)]S 2 -41 3119 8
°s2 h2 2 L L+53+ 2—[4‘_5 nah; ’
0191 h2 1 h3
"‘19 Z ‘ 7L“ ‘52" T (?_53)S
2 3
+ 02 h__ 2_-1_(h_+53)
2 4 1'5 8
(25)
n = 0 {h_5 i(h_2_52) ”
s SILZ 21-6 4
h 1 h2+ _+ __ __ 2
OS2[ 2133(4- 6)]
_ l hn — 0 —.—6+_ __ 219 191[ 2% ( 6)]
h 1 h2+ _+5__ ___ 2
OWL 2rs(4 5)]
q = 'r-h
Die Gleichungen (24) und (25) bilden die Fließbedin—
gung mit den Parametern 051, 032, 0191, 0192, 1' und Ö.
Eine geschlossene Elimination der Parameter ist nicht
Bild 6
Spannungsverteilung für Näherungsfließbedingung
möglich und deshalb eine numerische Berechnung not-
wendig.
Günstig ist dafür die Auflösung von (25) nach den Span-
nungen.
asl = 081(ms‚ns‚ö)
052 = 052 (ms,ns,5)
001: “191 ("10119157 (26)
002: 0192(m19ant9’5)
T = 701)
Die Fließbedingungen (24) ergeben dann zwei nicht-
lineare Gleichungen für die Sprungstelle ö und den Aus-
NIZ‘N
I
NI:
lastungsgrad v. Die Abweichung der Näherungsfließbe-
dingung von der exakten Fließbedingung wurde für vier
Fälle numerisch bestimmt und ist in der Tabelle ent-
halten.
h h '—h_:_=0 _=0‚E_=0‚1 £=h_=0,1 h_=0‚1;h_=_1
l's 1‘6 1'8 1'0 1'8 r0 I’s [‘19
im Mittel 3,49 % 3,50 % 3,49 % 4,14 %
maximal 6,27 0/0 6,67 % 6,37 % 11,79 o/cz
Tabelle Abweichung zwischen exakter und Näherungsfliefibedingung
_ = 0,10.5 -« i ’/
l.S
N N II" E. = _ 1/
Ir196 ex I I’ ex
5 r6 y’ <1> 'lex‘
l la ' h2f _ FI
m ~ 0,112
I’ l 'S
I I
. h2 „
l
m19 =
I
:ns = —0,608 OFh
I Y ä n = _0,366 h
-_...| 1 oj/ÖF '9 0Fq = 0
(bN:
v = 1,1164
ö = 0,07516 h
I\
\
I \
I \
l \\\
l s — 0‚.5 — Bild 7
Spannungsverläufe für die exakte und die Nähemngsfließ-
bedingung
63
Den relativ geringen Abweichungen für die Schnittgrö-
Ben stehen größere bei den Spannungen gegenüber.
Im Bild 7 sind für einen ausgewählten Fall Spannungs-
verläufe enthalten.
5.3. Verzerrungen
Zur Berechnung der Verzerrungen für einen gegebenen
Schnittgrößenvektor setzen wir (26) in die Fließhev
dingungen für die Spannungen (24) ein.
©1676)
‘1’26’7 5)
Aus (27) folgt die Fließbedingung für die Schnittgrößen
durch Eliminieren der Größe 8.
0
(27)0
‘1’1=0’\"ö = f1(3”)
'(28)
(1’2 = 0M5 I f2(37)
(1’6") : f1(3’))‘f2(37) : 0 (29)
Mit dem Fließgesetz (5) erhält man dann die Verzerrun-
gen
‚ . ö<I>1 6<I>2 ö<I>2 8<I>1
Xi ‘ M— ——‘aTi“a?‘) (30)
Die Verzerrungen lassen sich auch über die Variation des
Spannungszustandes (Abschnitt 3.1.) berechnen.
Variabel sind aber nur die Spannungen 051, 052, 0191,
0132, 7' und die Sprungstelle 8. Es entsteht ein nicht-
lineares Gleichungssystem mit 13 Gleichungen und 18
Unbekannten, von denen z. B. die fünf Schnittgrößen
vorgegeben werden können. Bis auf den Proportionali-
tätsfaktor X entsprechen die Ergebnisse der Gleichung
(30).
6. Rechenprogramme
Für alle aufgeführten numerischen Berechnungen existie-
ren an der Technischen Universität Dresden FORTRAN -
Programme für die Rechenanlage BESM 6. Sie werden
bei der i Traglastberechnung von‘ Rotationsschalen ge-
nutzt.
64
LITERATUR
[11
[2]
[3]
[4]
[5]
Wolf, P.: Traglastermittlung rotationssymmetrisch bela-
steter Kreiszylinderschalen bei Berücksichtigung des Tra»
pezeffektes und der Querkraftschubspannungen. Disser-
tation, TU Dresden, 1970.
Landgraf, G.: Aufstellung von Fließbedingungen für
Schnittgrößen von Flächentragwerken. ZAMM 48 (1968)
Heft 5, S. 317 —- 323.
Hodge, P. G. jr. The Mises Yield Condition for Rotatio-
nally Symmetric Shells. Quart. of Appl. Math., 18, 305,
1960.
Duszek, M. K.: Foundations of the Non-Linear Plastic
Shell Theory. Mitteilungen aus dem Institut für Mechanik,
Nr. 31, 1982, Ruin-Universität Bochum.
Oschatz, A.: Fließbedingung für Schalen mit Berücksich—
tigung der Normalspannungen Oz. Berichte aus der HFR
Festkörpermechanik: Festigkeitsprobleme und Material-
verhalten, Band A, Fachbuchverlag Leipzig 1982.
Anschrift des Verfassers:
Doz. Dr.-lng. Albrecht Oschatz
Technische Universität Dresden
Sektion Grundlagen des Maschinenwesens
8027 Dresden
Mommsenstraße 13