![Page 1: Mitmemõõtmeline normaaljaotus. Statistika põhijaotused. Segujaotus](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022082322/56813b5f550346895da4599f/html5/thumbnails/1.jpg)
Mitmemõõtmeline normaaljaotus.
Statistika põhijaotused. Segujaotus.
Loeng 8
![Page 2: Mitmemõõtmeline normaaljaotus. Statistika põhijaotused. Segujaotus](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022082322/56813b5f550346895da4599f/html5/thumbnails/2.jpg)
Eelmises loengus...
Õppisime genereerima normaaljaotusega N(0,1) juhuslikke (või pseudojuhuslikke) suuruseid. Kui
X1, X2 ~ U(0,1), sõltumatudsiis
Y1 = sin(2π X2) * sqrt(-2 ln(X1))
Y2 = cos(2π X2) * sqrt(-2 ln(X1))
on sõltumatud normaaljaotusega N(0,1) juhuslikud suurused
![Page 3: Mitmemõõtmeline normaaljaotus. Statistika põhijaotused. Segujaotus](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022082322/56813b5f550346895da4599f/html5/thumbnails/3.jpg)
Normaaljaotus N(μ; σ2)
Kui X~N(0,1), siis mis jaotusega on
Y := aX+b ?
2
2
2
2
1
1
11
2
)(exp
2
1/1
2
)/)((exp
2
1)(
/1)('
/)()(
)(0
)()('))(()(
a
by
aa
abyyf
ayg
abyyg
Igy
Igyygygfyf
Y
XY
Y ~ N(b, a2)
![Page 4: Mitmemõõtmeline normaaljaotus. Statistika põhijaotused. Segujaotus](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022082322/56813b5f550346895da4599f/html5/thumbnails/4.jpg)
Mitmemõõtmeline normaaljaotus
Juhuslik vektor Y~N(μ; Σ) on normaaljaotusega juhuslik suurus parameetritega μ ja Σ, kui tema tihedusfunktsioon avaldub kujul
EY = μ; DY = Σ
)()(5,0exp2)( 12/1μyΣμyΣyY Tf
![Page 5: Mitmemõõtmeline normaaljaotus. Statistika põhijaotused. Segujaotus](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022082322/56813b5f550346895da4599f/html5/thumbnails/5.jpg)
Teoreem
Kui X~N(μ; Σ), siis Y:=AX+b ~ N(Aμ+b; AΣAT).
Tõestus:
1
1
*
*
)(
)()(
0
)())(()(
AyJ
byAyh
y
yyJyhy X
YG
Gff
![Page 6: Mitmemõõtmeline normaaljaotus. Statistika põhijaotused. Segujaotus](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022082322/56813b5f550346895da4599f/html5/thumbnails/6.jpg)
))(())((5,0exp2
))(())((5,0exp2
))(())((5,0exp2)(
)()(5,0exp2)(
1112/1
11112/1
11112/1
12/1
AμbyAΣAAμbyΣAA
AμbyAΣAAμbyAΣ
AμbyAΣμbyAΣy
μxΣμxΣx
Y
X
TTT
TT
T
T
f
f
Y ~ N(b+Aμ; AΣAT)
![Page 7: Mitmemõõtmeline normaaljaotus. Statistika põhijaotused. Segujaotus](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022082322/56813b5f550346895da4599f/html5/thumbnails/7.jpg)
Normaaljaotusest N(μ; Σ) genereerimine
• Lihtne genereerida p-mõõtmeline juhuslike suuruste vektor X jaotusega
X ~ N(0; I)
• Leia selline maatriks A, et AAT = Σ
• Genereeri juhuslike suuruste vektor Y:
Y = AX + μ
• Eeltoodud teoreemi põhjal Y ~ N(μ; Σ).
![Page 8: Mitmemõõtmeline normaaljaotus. Statistika põhijaotused. Segujaotus](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022082322/56813b5f550346895da4599f/html5/thumbnails/8.jpg)
Maatriksi A, AAT=Σ, konstrueerimisest
Arv λi on pxp maatriksi Σ omaväärtus ning px1 vektor vi pikkusega 1 (vi
T vi =1) on omaväärtusele λi vastav omavektor, kui
Σ vi = λi vi
Maatrikskujul on omaväärtused ja omavektorid määratud võrranditega:
Σ V = V Λ
VT V = I p
p
vvvV
Λ
|||
00
00
00
21
2
1
![Page 9: Mitmemõõtmeline normaaljaotus. Statistika põhijaotused. Segujaotus](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022082322/56813b5f550346895da4599f/html5/thumbnails/9.jpg)
Σ V = V Λ
Σ V VT = V Λ VT
Σ = V Λ VTV-1 = VT
Variant 1
A = VΛ1/2
Variant 2
A = VΛ1/2 VT
![Page 10: Mitmemõõtmeline normaaljaotus. Statistika põhijaotused. Segujaotus](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022082322/56813b5f550346895da4599f/html5/thumbnails/10.jpg)
Segujaotuse modelleerimine
150 160 170 180 190 200
0.0
00
.01
0.0
20
.03
0.0
40
.05
0.0
6
f(x)
f(x) = 0.77/sqrt(2π33)*exp(-(x-167)2/66)+0.23/sqrt(2π46)*exp(-(x-182)2/92)
![Page 11: Mitmemõõtmeline normaaljaotus. Statistika põhijaotused. Segujaotus](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022082322/56813b5f550346895da4599f/html5/thumbnails/11.jpg)
Segujaotuse modelleerimine
150 160 170 180 190 200
0.0
00
.01
0.0
20
.03
0.0
40
.05
0.0
6
f(x)
![Page 12: Mitmemõõtmeline normaaljaotus. Statistika põhijaotused. Segujaotus](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022082322/56813b5f550346895da4599f/html5/thumbnails/12.jpg)
Segujaotuse modelleerimine
150 160 170 180 190 200
0.0
00
.01
0.0
20
.03
0.0
40
.05
0.0
6
f(x)
Histogram of pikkus
pikkus
150 160 170 180 190 200
0.0
00
.01
0.0
20
.03
0.0
40
.05
0.0
6
![Page 13: Mitmemõõtmeline normaaljaotus. Statistika põhijaotused. Segujaotus](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022082322/56813b5f550346895da4599f/html5/thumbnails/13.jpg)
Kuidas simuleerida LEGO-jaotusega juhuslikke suuruseid?
1 2 3 4
0.0
0.1
0.2
0.3
0.4
x
f(x)
![Page 14: Mitmemõõtmeline normaaljaotus. Statistika põhijaotused. Segujaotus](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022082322/56813b5f550346895da4599f/html5/thumbnails/14.jpg)
Statistika põhijaotuste modelleerimine
Hii-ruut jaotus
X1, X2, ..., Xk ~ N(0,1)
sõltumatud
Z := X12 + X2
2 + ... + Xk2
Z ~ Χ2df=k
Kui k→∞, siis Χ2df=k→ N(μ=k, σ2=2k)
![Page 15: Mitmemõõtmeline normaaljaotus. Statistika põhijaotused. Segujaotus](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022082322/56813b5f550346895da4599f/html5/thumbnails/15.jpg)
T-jaotus
Olgu X~N(0,1); Y~ Χ2df=k; X ┴ Y
siis
Z := X/sqrt(Y/k) ~ t df=k
![Page 16: Mitmemõõtmeline normaaljaotus. Statistika põhijaotused. Segujaotus](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022082322/56813b5f550346895da4599f/html5/thumbnails/16.jpg)