1
Métodos para el Cálculo de Operaciones de Separación
Multietapa en Mezclas Multicomponentes
MMéétodos para el Ctodos para el Cáálculo de lculo de Operaciones de SeparaciOperaciones de Separacióón n
Multietapa en Mezclas Multietapa en Mezclas MulticomponentesMulticomponentes
Área de conocimiento: Ingeniería QuímicaDocencia en “Operaciones de Separación”
Febrero, 2003Prof.Dr. Juan A. Reyes-Labarta ©
http://iq.ua.es/~jareyes/
Dpto. Ingeniería Química
2
FUNDAMENTOS DE OPERACIONES DE SEPARACIÓN
FUNDAMENTOS DE OPERACIONES DE SEPARACIÓN
OPERACIONES DE SEPARACIÓN
OPERACIONES DE SEPARACIÓN
Fase Líquida. Cálculo de coeficientes de actividad (NRTL)
∑ ∑∑
∑∑
∑
⎟⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜⎜
⎝
⎛ τ
−τ+
τ
=γj
kkkj
rrrjrj
ij
kkkj
jij
kkki
jjjiji
i xG
xG
xGxG
xG
xG
ln
Fase Vapor. Cálculo de coeficientes de fugacidad (Ecuación de Estado de Virial)
...vC
vB1z
RTPv
2 +++==RTPBBy2ln
m
1jmezclaijji ⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡−=ϕ ∑
=
•Termodinámica del equilibrio entre fases (fi, ai, ji, gi).•Termodinámica del equilibrio entre fases (fi, ai, ji, gi).
Métodos para el Cálculo de Oper. de Sep. Multicomponentes ©
3
Operaciones de Separación:Destilación simple
Rectificación continua y discontinua
Extracción líquido-líquido y líquido-sólido
Adsorción, intercambio iónico y cromatografía
Interacción aire-agua
Secado
Cristalización
•Métodos y ecuaciones de diseño de las principales operaciones de separación (menor n° de componentes posibles)
•Métodos y ecuaciones de diseño de las principales operaciones de separación (menor n° de componentes posibles)
Métodos para el Cálculo de Oper. de Sep. Multicomponentes ©
4
ObjetivosObjetivos1. Introducir al alumno en la problemática del cálculo riguroso en
sistemas multicomponentes:
2. Conocer las especificaciones y esquemas de cálculo de losprincipales métodos rigurosos.
• Número de ecuaciones y no linealidad.
• Correcta utilización de los simuladores comerciales
• Procedimientos iterativos
• Modificación de los esquemas de cálculo
Métodos para el Cálculo de Oper. de Sep. Multicomponentes ©
5
2.1. M. Etapa a Etapa
2.2. M. Componente a Componente
3.1. M. Dentro-fuera
3.2. M. de Relajación
3.3. M. Homotópicos
3.4. Prog. Disyuntiva
Métodos para el Cálculo de Oper. de Sep. Multicomponentes
ÍÍndicendice1. Introducción. Métodos de Simulación vs. Métodos de
Diseño. Grados de Libertad. Antecedentes (métodos simplificados).
2. Principales Métodos Rigurosos
3. Últimas tendencias
4.1. M. Punto Burbuja
4. Ejemplo numérico
©
1.1. M. FUG
1.2. M. de Hengstebeck
1.3. M. de Grupos
6
Métodos para el Cálculo de Oper. de Sep. Multicomponentes1. MÉTODOS DE SIMULACIÓN vs. MÉTODOS DE DISEÑO
Métodos de Simulación Métodos de Diseño
-Dadas:
-No se especifican las separaciones.
-Separación deseada de los componentes clave.
-Proporcionan:
-Diseñar los equipos necesarios para conseguir una determinada separación.
-Cálculo del rendimiento de un equipo trabajando bajo unas condiciones determinadas.
-Se obtienen:
•Condiciones de operación.
•Características de las corrientes de salida.
•Posición óptima las corrientes laterales.
•Características de un equipo.
•Perfiles de T, composiciones y caudales a lo largo del equipo.
•Nº de etapas necesarios
-No se han desarrollado prácticamente en sistemas multicomponentes.
©
7
Métodos para el Cálculo de Oper. de Sep. Multicomponentes
Variables
Ecuaciones
Total Ec.= N·(c+2) + N·c + N + q·(c+1)
Balances de Energía ⇒ N ·1Balances de Materia ⇒ N·c (N pisos, c-1 componentes, global)Equilibrios ⇒ N·(c+2) (c componentes, P, T)
k Alimentos laterales ⇒ k·(c+3) (Caudal, P, T, c-1 composiciones y posición)
Grados de Libertad = Var. – Ec. =
Total Var.= (k+q)·(c+3) + 2·N·(c+2) +32 Q (en Cal. y Cond.) ⇒ 2
2 Corrientes por etapa ⇒ 2·N·(c+2) (Caudal, P, T, c-1 composiciones)
Nº de etapas ⇒ 1
q Productos laterales ⇒ q·(c+3) (Caudal, P, T, c-1 composiciones y posición)
Igualdades Prod./Piso ⇒ q·(c+1) (c-1 componentes, P, T)
©
8
Grados de Libertad
Métodos para el Cálculo de Oper. de Sep. Multicomponentes
G.L.= Var. – Ec. = k·(c+3) + 2·q + N + 3
Faltan 2+2·q variables por especificar:
D, Lo y otras 2 variables por producto lateral (caudal y posición)
Si q=0 ⇒ G.L.= k·(c+3) + N + 3
Presiones ⇒ N (etapas)
Nº de pisos ⇒ 1
Faltan 2 variables por especificar: Normalmente D y Lo
k Alimentos laterales ⇒ k·(c+3) (Caudal, P, T, c-1 composiciones y pos.)
Si q≠0:
= 2
©
9
Especificaciones incompatibles:
•2 especificaciones de pureza o reconversión para el mismo componente en 2 corrientes.
•2 especificaciones de pureza o reconversión de 2 componentes distintos en una misma corriente.
•Especificaciones de pureza incompatibles con caudales de producto.
•Especificaciones de pureza demasiado elevadas.
Métodos para el Cálculo de Oper. de Sep. Multicomponentes ©
• Especificación simultánea de todos los caudales.
• Especificación de un vapor de cabeza en un sistema que contiene incondensables.
• Caudales de productos (en destilado y residuo) sin atender a las volatilidades de los componentes.
• Especificación de las pérdidas/aportes de calor y reflujo/vapor generado en la caldera.
10
mHK,LK
,HK
N,HK
N,LK
,LK
min )log(
xx
xx
log
Nα
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
=0
0
1.1. Método FUG (Fenske-Underwood-Gilliland) (diseño)
Métodos para el Cálculo de Oper. de Sep. Multicomponentes
1.1. Antecedentes. MAntecedentes. Méétodos Simplificados (Short todos Simplificados (Short cutscuts))
Cálculo del N° depisos mínimo
(Reflujo Total, conocido un perfil de composiciones
del destilado y residuo)
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
++
−=+
−= 50
1211711
454111 .min
XX
X.X.exp
NNNY
1+−
=R
RRX min
Cálculo delReflujo mínimo
(Según el tipo de sistema)
Cálculo del N°Teórico de Pisos
(Función del N° mínimo de pisos, el Reflujo y del Reflujo mínimo)
a) Sist. Bin. Ideal
b) Sist. Bin. No Ideal
c) Sist. Mult. Clase 1
d) Sist. Mult. Clase 2
e) Sist. Mult. LLK dist.
HHK no dist.
©
11
1.2. Método Gráfico de Hengstebeck (diseño)
Métodos para el Cálculo de Oper. de Sep. Multicomponentes1. ANTECEDENTES. MÉTODOS SIMPLIFICADOS
Definición de Caudales y Composiciones Efectivas
Construcción de la Curva de Equilibrio Efectiva(Diagrama y vs x)
Aplicación equivalente del método de McCabe-ThieleColumnas de Rectificación Binaria
Determinación del piso óptimo de alimentación, número de pisos
xe,LK = xLK/(xLK + xHK)
ye,LK = yLK/(yLK + yHK)
Le = L(xLK + xHK)
Ve = V(yLK + yHK)
xe,LK = xLK/(xLK + xHK)
ye,LK = yLK/(yLK + yHK)
Le = L(xLK + xHK)
Ve = V(yLK + yHK)
Curva de Equilibrio Efectiva: LK(C3) y el HK(C4)
0,00
0,10
0,20
0,30
0,40
0,50
0,60
0,70
0,80
0,90
1,00
0,00 0,10 0,20 0,30 0,40 0,50 0,60 0,70 0,80 0,90 1,00
x_LK
y_LK
Equilibrio cal.xd, zf, xbPtos corteRecta Op. Enriq.Recta Op. Agot.Recta qDiagonalPr.Rec. Op. Agot.Pr.Rec. Op. Enriq.PisosRecta Op. FPr.Rec. Op. F
Utilidad de los métodos gráficos
1. La detección de pinch-points(ptos de conjunción).
2. La identificación de puntos de alimentación inadecuados.
3. La identificación de excesivos reflujo y/o vapor generado en la caldera.
4. Detectar cuando resultan adecuados intercambiadores interetapas.
5. Proporcionar orientación para la optimización de la columna.
©
12
1.3. Métodos de Grupo (Simulación)
•Definición de los factores de absorción efectivos (Ae,i), y fracción de recuperación φA.
•Especificaciones: Alimentos, nº de pisos y P.
•Variables de entrada: LN, TN y T1
•Tratamiento global todas las etapas de la cascada.
•Contracción molar del vapor igual en todas las etapas
•Variación de Tª del líquido proporcional al caudal de gas absorbido
V V VVN N
N
N=
⎛⎝⎜
⎞⎠⎟+
+1
1
1
1 T TT T
V VV V
N
N o
N
N
−−
=−−
+
+
1 1 2
1 1
Métodos para el Cálculo de Oper. de Sep. Multicomponentes1. ANTECEDENTES. MÉTODOS SIMPLIFICADOS
( ) 1i,ji,j
ji,j
ji,j AS;
VKL
A −=⋅
=
[ ][ ] 5.025.0)1S(SS
5.025.0)1A(AA
21
i,Ni,1i,e
21
i,1i,Ni,e
−++=
−++=
1A
1A1N
i,e
i,ei,A
−
−=φ + 1S
1S1N
i,e
i,ei,S
−
−=φ +
)1(l·vv i,Si,oi,Ai,1Ni,1 φ−+φ= +
©
13
•Únicamente aplicables para la simulación de:
Métodos para el Cálculo de Oper. de Sep. Multicomponentes
2.1. Primeros M2.1. Primeros Méétodos todos ““RigurososRigurosos””
•Métodos iterativos (variables de entrada)
• Thiele-Geddes
• Lewis-Matheson
columnas convencionales
MMéétodos Etapa a Etapa y Ecuacitodos Etapa a Etapa y Ecuacióón a Ecuacin a Ecuacióónn*
•1930•Rectificación
•Empiezan por ambos extremos de la columna•Avanzando piso a piso* hasta llegar a la zona de alimentación
todos los componentes se distribuyen•Presentaron un comportamiento muy inestable
-1950
©
14
Variables de entrada
Método de Thiele-Geddes
Especificaciones:• Número de platos en cada sector
Métodos para el Cálculo de Oper. de Sep. Multicomponentes2.1. PRIMEROS MÉTODOS “RIGUROSOS”
Método de Lewis-Matheson
Se resuelve de forma alternada y empezando por ambos extremos de la columna:
Eq.
BM
Método de Simulación Método de Simulación
ConsideracionesPerfil TjKj,i=f(T)
di , biαi,r=ctes
N° de pisos totales y la posición del piso de la alimentación
i,ji,ji,jji,j
ji,j vAv
VKL
l ⋅=⋅⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
⋅=
Factores de Absorción
∑=
α
α= c
1ir,ii,j
r,ii,ji,j
/y
/yxVolatilidades
Relativas
• Caudal, composición y condición térmica del alimento• Otras dos variables (D, Lo)
1dl
dv
i
i,j
i
i,1j +=+ Cocientes de Caudales Individuales 1j
i
1j
i,jji,1j V
dV
xLy
+++ +
⋅=
Composiciones
o “diseño”
©
15
Método de Thiele-Geddes
Métodos para el Cálculo de Oper. de Sep. Multicomponentes2.1. PRIMEROS MÉTODOS “RIGUROSOS”
Método de Lewis-Matheson
i
i,F
i
i,f
i
i,F
i
i,1f
i
i
zFv
bv
zFl
dl
db
⋅+
⋅+
=
−
i.agot,i,ff
i.enriq,i,ff
i.agot,i,f
i.enriq,i,f
i
ib/yVd/yV
b/vd/v
db
⋅
⋅==
Al llegar al piso de alimentación por ambos extremos se calcula: di/bi
©
16
Método de Thiele-Geddes
Métodos para el Cálculo de Oper. de Sep. Multicomponentes2.1. PRIMEROS MÉTODOS “RIGUROSOS”
Método de Lewis-Matheson
∑=
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
= c
1ii
i
i,j
ii
i,j
i,j
ddv
ddv
y∑=
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
= c
1ii
i
i,j
ii
i,j
i,j
ddl
ddl
x
Calcular los perfil de yj,i; xj,i
)d/b(1zFd
ii
ii +
⋅=Calcular
Comprobación de:•di/bi (simulación)•yf,i calculados desde ambos
extremos (diseño)
Al llegar al piso de alimentación por ambos extremos se calcula: di/bi
Nuevo perfil de Ta y Kj,i=f(Tj)
©
17
Método de Thiele-Geddes
Métodos para el Cálculo de Oper. de Sep. Multicomponentes2.1. PRIMEROS MÉTODOS “RIGUROSOS”
Método de Lewis-Matheson
Si no se consideran los caudales molares constantes ⇒ cálculo iterativo en cada etapa de Vj.
Nuevo perfil de Ta y Kj,i=f(Tj)
Suponer Vj → Calcular Lj con BM →
→ con Lj, yji, xji, Hj,i=f(Tj, yj,i), hj,i=f(Tj, xj,i) y BE comprobar Vj
Calcular los perfil de yj,i; xj,i
)d/b(1zFd
ii
ii +
⋅=Calcular
Comprobación de:•di/bi (simulación)•yf,i calculados desde ambos
extremos (diseño)
Al llegar al piso de alimentación por ambos extremos se calcula: di/bi
©
18
Métodos de punto de burbuja (BP)Métodos de suma de caudales (SR) y (SRI)Métodos Newton 2N Métodos de Corrección Simultánea (SC)
Métodos para el Cálculo de Oper. de Sep. Multicomponentes
2.2. Principales M2.2. Principales Méétodos Rigurosostodos RigurososMMéétodos Componente a Componentetodos Componente a Componente
Distintos métodos según:
Forma de agrupar y resolver los sistemas de ecuaciones
Selección de las variables de entrada
•Cálculos generalmente de forma secuencial.•Agrupan todas las ecuaciones correspondiente a un componente, a lo largo de todas las etapas (SIMULACIÓN).
Especificaciones:
-Nº Pisos y presión de trabajo
-Características de todas los alimentos incluida su localización
-Caudal y posición de cada producto lateral extraído (no comp.)
-2 variables, normalmente D y Lo (rectif.)
©
19
Métodos para el Cálculo de Oper. de Sep. Multicomponentes2.2. PRINCIPALES MÉTODOS RIGUROSOS
V J
w JL J-1
U JV J+1
Q J
F J
L J
Etapa j
U J-1
w J+1
2
U2V3
Q2
F2
L2
Etapa 2
V1
W1
U1V2
Q1
F1
L1
Etapa 1
3
Etapa N
Etapa N-1
V J
JL J-1
U JV J+1
Q J
F J
L J
Etapa j
U J-1
W J+1
N-1
U N-2
L N-2
Q N-1
Q N
L N
F N
N
V N
F N-1U N-1
L N-1
VN-1
U N
W
W
W
W
W
©
20
w2
U2V3
Q2F2
L2
Etapa 2
V1
w1
U1V2
Q1F1
L1
Etapa 1
w3
2
U2V3
Q2
F2
L2
Etapa 2
V1
W1
U1V2
Q1
F1
L1
Etapa 1
3
Etapa N
Etapa N-1
V J
JL J-1
U JV J+1
Q J
F J
L J
Etapa j
U J-1
W J+1
N-1
U N-2
L N-2
Q N-1
Q N
L N
F N
N
V N
F N-1U N-1
L N-1
VN-1
U N
W
W
W
W
W
Métodos para el Cálculo de Oper. de Sep. Multicomponentes2.2. PRINCIPALES MÉTODOS RIGUROSOS
©
21
w2
U2V3
Q2F2
L2
Etapa 2
V1
w1
U1V2
Q1F1
L1
Etapa 1
w3
2
U2V3
Q2
F2
L2
Etapa 2
V1
W1
U1V2
Q1
F1
L1
Etapa 1
3
Etapa N
Etapa N-1
V J
JL J-1
U JV J+1
Q J
F J
L J
Etapa j
U J-1
W J+1
N-1
U N-2
L N-2
Q N-1
Q N
L N
F N
N
V N
F N-1U N-1
L N-1
VN-1
U N
W
W
W
W
W
0
0
Alimento Directo
0
Métodos para el Cálculo de Oper. de Sep. Multicomponentes2.2. PRINCIPALES MÉTODOS RIGUROSOS
©
22
w2
U2V3
Q2F2
L2
Etapa 2
V1
w1
U1V2
Q1F1
L1
Etapa 1
w3
Condensador0
0
2
U2V3
Q2
F2
L2
Etapa 2
V1
W1
U1V2
Q1
F1
L1
Etapa 1
3
Etapa N
Etapa N-1
V J
JL J-1
U JV J+1
Q J
F J
L J
Etapa j
U J-1
W J+1
N-1
U N-2
L N-2
Q N-1
Q N
L N
F N
N
V N
F N-1U N-1
L N-1
VN-1
U N
W
W
W
W
W
Métodos para el Cálculo de Oper. de Sep. Multicomponentes2.2. PRINCIPALES MÉTODOS RIGUROSOS
©
23
w2
U2V3
Q2F2
L2
Etapa 2
V1
w1
U1V2
Q1F1
L1
Etapa 1
w3
Total
0
Destilado
Reflujo
Condensador0
0
2
U2V3
Q2
F2
L2
Etapa 2
V1
W1
U1V2
Q1
F1
L1
Etapa 1
3
Etapa N
Etapa N-1
V J
JL J-1
U JV J+1
Q J
F J
L J
Etapa j
U J-1
W J+1
N-1
U N-2
L N-2
Q N-1
Q N
L N
F N
N
V N
F N-1U N-1
L N-1
VN-1
U N
W
W
W
W
W
Métodos para el Cálculo de Oper. de Sep. Multicomponentes2.2. PRINCIPALES MÉTODOS RIGUROSOS
©
24
w2
U2V3
Q2F2
L2
Etapa 2
V1
w1
U1V2
Q1F1
L1
Etapa 1
w3
Condensador0
0
Parcial
0
Destilado
Reflujo
2
U2V3
Q2
F2
L2
Etapa 2
V1
W1
U1V2
Q1
F1
L1
Etapa 1
3
Etapa N
Etapa N-1
V J
JL J-1
U JV J+1
Q J
F J
L J
Etapa j
U J-1
W J+1
N-1
U N-2
L N-2
Q N-1
Q N
L N
F N
N
V N
F N-1U N-1
L N-1
VN-1
U N
W
W
W
W
W
Métodos para el Cálculo de Oper. de Sep. Multicomponentes2.2. PRINCIPALES MÉTODOS RIGUROSOS
©
25
w2
U2V3
Q2F2
L2
Etapa 2
V1
w1
U1V2
Q1F1
L1
Etapa 1
w3
Condensador0
0
0
0
Decantador
Azeótropo het.2
U2V3
Q2
F2
L2
Etapa 2
V1
W1
U1V2
Q1
F1
L1
Etapa 1
3
Etapa N
Etapa N-1
V J
JL J-1
U JV J+1
Q J
F J
L J
Etapa j
U J-1
W J+1
N-1
U N-2
L N-2
Q N-1
Q N
L N
F N
N
V N
F N-1U N-1
L N-1
VN-1
U N
W
W
W
W
W
Reflujo
Métodos para el Cálculo de Oper. de Sep. Multicomponentes2.2. PRINCIPALES MÉTODOS RIGUROSOS
©
26
Etapa N
Etapa N-1
w N-1
U N-2
L N-2
Q N-1
Q N
L N
F N
wN
V N
F N-1U N-1
L N-1
VN-1
UN
2
U2V3
Q2
F2
L2
Etapa 2
V1
W1
U1V2
Q1
F1
L1
Etapa 1
3
Etapa N
Etapa N-1
V J
JL J-1
U JV J+1
Q J
F J
L J
Etapa j
U J-1
W J+1
N-1
U N-2
L N-2
Q N-1
Q N
L N
F N
N
V N
F N-1U N-1
L N-1
VN-1
U N
W
W
W
W
W
Métodos para el Cálculo de Oper. de Sep. Multicomponentes2.2. PRINCIPALES MÉTODOS RIGUROSOS
©
27
Etapa N
Etapa N-1
w N-1
U N-2
L N-2
Q N-1
Q N
L N
F N
wN
V N
F N-1U N-1
L N-1
VN-1
UN
2
U2V3
Q2
F2
L2
Etapa 2
V1
W1
U1V2
Q1
F1
L1
Etapa 1
3
Etapa N
Etapa N-1
V J
JL J-1
U JV J+1
Q J
F J
L J
Etapa j
U J-1
W J+1
N-1
U N-2
L N-2
Q N-1
Q N
L N
F N
N
V N
F N-1U N-1
L N-1
VN-1
U N
W
W
W
W
W Caldera
00
Métodos para el Cálculo de Oper. de Sep. Multicomponentes2.2. PRINCIPALES MÉTODOS RIGUROSOS
Residuo
©
28
Etapa N
Etapa N-1
w N-1
U N-2
L N-2
Q N-1
Q N
L N
F N
wN
V N
F N-1U N-1
L N-1
VN-1
UN
2
U2V3
Q2
F2
L2
Etapa 2
V1
W1
U1V2
Q1
F1
L1
Etapa 1
3
Etapa N
Etapa N-1
V J
JL J-1
U JV J+1
Q J
F J
L J
Etapa j
U J-1
W J+1
N-1
U N-2
L N-2
Q N-1
Q N
L N
F N
N
V N
F N-1U N-1
L N-1
VN-1
U N
W
W
W
W
W
0
Vapor Directo
0
Métodos para el Cálculo de Oper. de Sep. Multicomponentes2.2. PRINCIPALES MÉTODOS RIGUROSOS
Residuo
©
29
Ecuaciones MESH:
1. M: c balances de materia por etapa:
2. E: c relaciones de equilibrio por etapa:
3. S: 2 ec. suma por etapa:
4. H: 1 balance de energía por etapa:
0y)WV(x)U(L zFyVxLM i,jjji,jjji,jji,1j1ji,1jiji,j =⋅+−⋅+−⋅+⋅+⋅≡ ++−−
0xKyE i,ji,ji,ji,j =⋅−≡
0QH)WV(h)ULFHVhLH jj,Vjjj,Ljjj,Fj1j,V1j1j,L1jj =+⋅+−⋅+−⋅+⋅+⋅≡ ++−− ( H
00.1x)S(
00.1y)S(
c
1ii,jjx
c
1ii,jjy
=−≡
=−≡
∑
∑
=
=
Criterio de signos “egoísta” para el calor
Métodos para el Cálculo de Oper. de Sep. Multicomponentes2.2. PRINCIPALES MÉTODOS RIGUROSOS
©
30
Ecuaciones ME (i):
1. M: balance de materia del componente i en la etapa j:
2. E: relación de equilibrio etapa j:
0y)WV(x)U(L zFyVxLM i,jjji,jjji,jji,1j1ji,1jiji,j =⋅+−⋅+−⋅+⋅+⋅≡ ++−−
0xKyE i,ji,ji,ji,j =⋅−≡
1
j
1mmmm1jj V)U WF(VL −−−+= ∑
=+
ji,1jji,jji,1jj DxCxBxA =⋅+⋅+⋅ +−
Nj2 V)UWF(VA1j
1m1mmmjj ≤≤−−−+= ∑
−
=
Nj1 )KW+(V+U+V)UWF(VB ij,jjj
j
1m1mmm1jj ≤≤
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡−−−+−= ∑
=+
1-Nj1 K·VC i,1j1jj ≤≤= ++ Nj1 z·FD i,jjj ≤≤−= con xio = 0, VN+1 = 0
Métodos para el Cálculo de Oper. de Sep. Multicomponentes2.2. PRINCIPALES MÉTODOS RIGUROSOS
©
31
Matriz tridiagonal
⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
=
⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
⋅
⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
−
−
−
−
−−−
−−−
N
1N
2N
3
2
1
N
1N
2N
3
2
1
NN
1N1N1N
2N2N2N
331
222
11
DDD..................DDD
xxx..................xxx
BA000.........0CBA00.........0
0CBA0.........0..........................................0.........0CBA00.........00CBA0.........000CB
Para cada componente i:
Ecuaciones ME (i):ji,1jji,jji,1jj DxCxBxA =⋅+⋅+⋅ +−
Métodos para el Cálculo de Oper. de Sep. Multicomponentes2.2. PRINCIPALES MÉTODOS RIGUROSOS
©
32
1
2i111i B
xCDx −=
BDq
BCp
1
11
1
11 == 2i111i xpqx −=Etapa 1
Métodos Rigurosos para el Cálculo de Oper. de Sep. MulticomponentesMATRIZ TRIDIAGONAL: ALGORITMO DE THOMAS
3i122
2
122
1222i x
pABC
pABqADx ⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−
−−−
=Etapa 2
122
22
122
1222
pABCp
pABqADq
−=
−−
=
3i222i xpqx −=
En general1jjj
jj
1jjj
1jjjj pAB
Cpy
pABqAD
q−−
−
−=
−
−=
1j,ijjij xpqx +−=
Etapa N NiN qx =
Por lo tanto una vez calculados los qjy pj de forma secuencial desde j=1 hasta N se puede recalcular las xj,idesde j=N hasta j=1:
i,j1j1j1j,i xpqx ⋅−= −−−
Este algoritmo es de gran eficiencia y superior a otras alternativas como la inversión de matrices o métodos de resolución numéricas
ji,1jji,jji,1jj DxCxBxA =⋅+⋅+⋅ +−
©
33
Extracción L-L. Se itera sobre las composiciones para obtener los
coeficientes de actividadLj
(k), xj(k)SRI
Sistemas con un estrecho rango de volatilidades
Tj(k+1) Cálculo T Burbuja
Vj(k+1) Balances de
Energía modificados
Tj(k), Vj
(k)
{Kj,i(k)}BP
Más generales y poderosos(sist. altamente no ideales, columnas alimentadas con vapor directo o sin
condensador, dest. Azeotrópica)
Resolución de todas las ecuaciones MESH de
forma simultánea
Tj(k), Vj
(k), Lj
(k), yj,i(k),
xj,i(k)
SCo
Newton global
Sistemas con un intervalo de volatilidades intermedio
Resolución de los BE y relaciones de equilibrio
simultáneamente (Newton-Raphson)
Tj(k), Vj
(k)
{Kj,i(k)}
Newton 2N
Sistemas con un amplio rango de volatilidades
Vj(k+1) BM con
Tj(k+1) Balances de
Energía
Tj(k), Vj
(k)
{Kj,i(k)}
SR
AplicaciónPerfilesVar. Entr.Método
∑=
+ ⋅=c
1ii,j
)k(j
)1k(j xLL
∑=
+ ⋅=c
1ii,j
)k(j
)1k(j xLL
Métodos para el Cálculo de Oper. de Sep. Multicomponentes2.2. PRINCIPALES MÉTODOS RIGUROSOS
©
34
Extracción L-L. Se itera sobre las composiciones para obtener los
coeficientes de actividadLj
(k), xj(k)SRI
Sistemas con un estrecho rango de volatilidades
Tj(k+1) Cálculo T Burbuja
Vj(k+1) Balances de
Energía modificados
Tj(k), Vj
(k)
{Kj,i(k)}BP
Más generales y poderosos(sist. altamente no ideales, columnas alimentadas con vapor directo o sin
condensador, dest. Azeotrópica)
Resolución de todas las ecuaciones MESH de
forma simultánea
Tj(k), Vj
(k), Lj
(k), yj,i(k),
xj,i(k)
SCo
Newton global
Sistemas con un intervalo de volatilidades intermedio
Resolución de los BE y relaciones de equilibrio
simultáneamente (Newton-Raphson)
Tj(k), Vj
(k)
{Kj,i(k)}
Newton 2N
Sistemas con un amplio rango de volatilidades
Vj(k+1) BM con
Tj(k+1) Balances de
Energía
Tj(k), Vj
(k)
{Kj,i(k)}
SR
AplicaciónPerfilesVar. Entr.Método
∑=
+ ⋅=c
1ii,j
)k(j
)1k(j xLL
∑=
+ ⋅=c
1ii,j
)k(j
)1k(j xLL Muy sensibles a los puntos iniciales de partida (opt. loc.).
Aplicación de otro método riguroso para encontrar buenas estimaciones iniciales.
Se pueden agrupar de distintas formas las ecuaciones:
c elevado y N pequeño ⇒ ec. por tipos (BM, BE, Eq)
c pequeño y N elevado ⇒ ec. por etapas
Métodos para el Cálculo de Oper. de Sep. Multicomponentes2.2. PRINCIPALES MÉTODOS RIGUROSOS
©
35
Tj(k) =Tj
(k+1)
Vj(k) =Vj
(k+1)
(SR)
Métodos Punto de Burbuja (BP) Métodos Suma de Caudales (SR)
(BP)
No
k=k+1
Calculo xj,i ( c sistemas tridiagonales)
Suponer perfil de Tj(k), Vj
(k)
FinSi
Cálculo de Kj,i(k+1) =f(Tj, yj,i, xj,i)
Cálculo de Vj(k+1)
BE modific. (Matriz bidiagonal)
Cálculo de Hj,i=f(Tj, yj,i) y hj,i=f(Tj, xj,i)
Normalizar las xj,i
Cálculo de Tj(k+1) e yj,i (N Ptos de burbuja)
♦
y Kj,i(k)
Cálculo de Tj(k+1)
BE, Hj,i=f(Tj, yj,i) y hj,i=f(Tj, xj,i)
Cálculo yj,i (Kj,i(k))
Normalizar xj,i
Cálculo de Vj(k+1) (BM piso j)
∑=
+ ⋅=c
1ii,j
)k(j
)1k(j xLLCálculo de
Métodos
Newton 2N
Métodos para el Cálculo de Oper. de Sep. Multicomponentes2.2. PRINCIPALES MÉTODOS RIGUROSOS
1
1j
1mmmm1jj V)U WF(LV −−−−= ∑
−
=−
©
36
Tj(k) =Tj
(k+1)
Vj(k) =Vj
(k+1)
Métodos Punto de Burbuja (BP) Métodos Suma de Caudales (SR)
(BP)
No
k=k+1
Calculo xj,i ( c sistemas tridiagonales)
Suponer perfil de Tj(k), Vj
(k)
FinSi
Cálculo de Kj,i(k+1) =f(Tj, yj,i, xj,i)
Cálculo de Vj(k+1)
BE modific. (Matriz bidiagonal)
Cálculo de Hj,i=f(Tj, yj,i) y hj,i=f(Tj, xj,i)
Normalizar las xj,i
Cálculo de Tj(k+1) e yj,i (N Ptos de burbuja)
♦
y Kj,i(k)
Métodos para el Cálculo de Oper. de Sep. Multicomponentes2.2. PRINCIPALES MÉTODOS RIGUROSOS
Métodos
Newton 2N
Cálculo de Tj(k+1) y
Vj(k+1) resolviendo
simultáneamente los BE, relaciones de
equilibrio♦
©
37
Métodos Punto de Burbuja (BP)
j1jjjj VV γ=β+α +
( ) jLVjFLjLL
1j
1m1mmmj
LVj
VLj
Q)hH( W)Hh(F)hh(VUWF
hH
Hh
jjjj1jj
j1j
j1j
+−+−+−⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡−−−=γ
−=β
−=α
−
+
−
∑−
=
1
1j
1mmmmj1j V)U WF(VL −−−+= ∑
−
=−
0QH)WV(h)ULFHVhLH jVjjLjjFjV1jL1jj jjj1j1j=−⋅+−⋅+−⋅+⋅+⋅≡
+− +− ( H
Métodos para el Cálculo de Oper. de Sep. Multicomponentes2.2. PRINCIPALES MÉTODOS RIGUROSOS
Cálculo de Vj(k+1)BE modific. (Matriz bidiagonal)
©
38
Métodos Punto de Burbuja (BP)
⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡ −
=
⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
⋅
⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
−
−
−
−
−
−−
−−
−−
1
2
3
4
3
222
1
2
5
4
3
11
22
33
44
33
2
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
000.........0000.........0000.........0..........................................0.........0000.........0000.........0000
N
N
N
N
N
N
NN
NN
NN
V
VVV
VVV
γγγ
γγαγ
βαβα
βα
βαβα
β
j1jjjj VV γ=β+α +
Métodos para el Cálculo de Oper. de Sep. Multicomponentes2.2. PRINCIPALES MÉTODOS RIGUROSOS
Cálculo de Vj(k+1)BE modific. (Matriz bidiagonal)
©
39
Métodos de Suma de Caudales Isotermos (SRI)
FinLj
II(k+1) = LjII (k)
∑=
+ ⋅=c
1i
IIi,j
)k(IIj
)1k(IIj xLL
Cálculo de LjII(k+1)
Calcular xj,iII= Kj,i·xj,i
I
Cálculo xj,iI ( c sistemas tridiag.)
Suponer perfil de LjII(k) Tj
(k)
No
k=k+1
Si
xj,iI(Sup.) =xj,i
I(Cal.)
Calcular xj,iII= Kj,i·xj,i
I
Norm. y Calc. γj,iII, Kj,i
Normalizar xj,iI
Calcular γj,iI, Kj,i
Si
No
Suponer xj,iI
Cálculo de γj,iI, γj,i
II y Kj,i=xj,iII/xj,i
I= γj,iI/γj,i
II
Calcular xj,iII (BM)
Métodos para el Cálculo de Oper. de Sep. Multicomponentes2.2. PRINCIPALES MÉTODOS RIGUROSOS
Aplicable en operaciones isotermas.
Todas las Tjespecificadas
Extracción Líquido-Líquido(γi
L).
Aplicable en operaciones isotermas.
Todas las Tjespecificadas
Extracción Líquido-Líquido(γi
L).
©
40
3.1. M. Dentro-fuera
3.2. M. de Relajación
3.3. M. Homotópicos
3.4. Prog. Disyuntiva
1. Métodos de Simulación vs. Métodos de Diseño
2. Principales Métodos Rigurosos
3. Últimas tendencias
4. Ejemplo numérico
Métodos Rigurosos para el Cálculo de Oper. de Sep. Multicomponentes
ÍÍndicendice
©
41
Se componen de dos bucles:
•bucle interno, se resuelven las ecuaciones MESH (utilizando el método BP, SR, SC… y modelos termodinámicos sencillos)
•bucle externo, se calculan los parámetros específicos de modelos más sencillos.
Métodos Rigurosos para el Cálculo de Oper. de Sep. Multicomponentes
33. . ÚÚltimas tendenciasltimas tendencias
3.1. Métodos Dentro-Fuera (Inside-Out)
Kj,i = exp(Aj,i-Bj,i/Tj)HV,j=HV,j°+∆HV,j con ∆HV,j=cj-dj(Tj-Tref)
hL,j = hL,j° +∆hL,j con ∆hL,j = ej - fj (Tj-Tref)
Reducir los esfuerzos para resolver el problema al evitar calcular las K y H con modelos termodinámicos complejos.
©
42
Métodos Rigurosos para el Cálculo de Oper. de Sep. Multicomponentes3. ÚLTIMAS TENDENCIAS (Método Inside-Out)
(SR)
Cálculo de Vj(k+1)
BE modific. (Matriz bidiag.)
Cálculo de Tj(k+1) utilizando
Newton-Raphson y BE, Hj,i=f(Tj, yj,i) y hj,i=f(Tj, xj,i)
Cálculo yj,i (Kj,i a Tj(k))
Tj(k) =Tj
(k+1)
Vj(k) =Vj
(k+1)
(BP)
Cálculo de Hj,i=f(Tj, yj,i) y hj,i=f(Tj, xj,i)
Cálculo de Tj(k+1) e yj,i (N Ptos burb.)
Normal. xj,i
Cálculo de Vj(k+1) (BM piso j)
∑=
+ ⋅=c
1ii,j
)k(j
)1k(j xLLCálculo de
Si Fin
No
k=k+1
Calculo xj,i ( c matrices tridiag.)
Suponer perfil de Tj(k) y Vj
(k) Bucle Internomodelos
Kj,i , Hj,i , hj,isencillos
Bucle ExternoParámetros
modelos sencillos
Parámet.(r)=Parámet.(r-1)
FinSi
Obtener los parámetros de modelos sencillos para Kj,i, Hj,i y hj,i
Calcular γj,i, ϕj,i, Kj,i , Hj,i , hj,i con modelos termodinámicos complejos
Con xj,i, yj,i, Tj
Nor=r+1
©
43
• Utiliza ecuaciones diferenciales en estado no estacionario para los balances de energía y de materia de los componentes.
• Interesante combinar la elevada velocidad de convergencia en las primeras vueltas de los métodos de relajación, con la estabilidad y robustez del método SC en las siguientes iteraciones.
3.2. Métodos de Relajación
Métodos Rigurosos para el Cálculo de Oper. de Sep. Multicomponentes3. ÚLTIMAS TENDENCIAS
• La velocidad de convergencia disminuye al aproximarnos a la solución.
• A partir de un conjunto supuesto de las variables de entrada, se resuelven las ec. para diferentes intervalos de tiempo, hasta llegar a la convergencia (régimen estacionario) donde el término acumulación será nulo.
0dt
)xM(dy)WV(x)U(L zFyVxL i,jj
i,jjji,jjji,jji,1j1ji,1jij =⋅
−⋅+−⋅+−⋅+⋅+⋅ ++−−
0dt
)hM(dQH)WV(h)UL( HFHVhL j,Lj
jj,Vjjj,Ljjj,Fj1j,V1j1j,L1j =⋅
−+⋅+−⋅+−⋅+⋅+⋅ ++−−
0
0
©
44
H(x,t) = t·F(x) + (1-t)·G(x)
3.3. Métodos Homotópicos o de Continuación
• La función homotópica: combinación de la solución buscada y una solución conocida del problema.
• Consisten en una deformación sistemática de la función “homotópica” hacia la solución deseada.
Métodos Rigurosos para el Cálculo de Oper. de Sep. Multicomponentes3. ÚLTIMAS TENDENCIAS
Parámetro de homotopía t
• ∆t
• Modificaciones progresivas en las variables• t=1 ⇒ Sol. buscada H(x)=F(x)
• t=0 ⇒ Sol. conocida H(x)=G(x)
©
45
3.3. Métodos Homotópicos o de Continuación
Métodos Rigurosos para el Cálculo de Oper. de Sep. Multicomponentes3. ÚLTIMAS TENDENCIAS
( )⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡⋅⋅−+
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡⋅
⋅⋅
⋅= i
0i
ii
0ii x
PP
t1xP
Pt)t,x(H
ϕγ
x
y
x
Temperature
©
t=0
t=1
t=0
t=1
46
3.4. Programación Disyuntiva (MINLP)
Métodos Rigurosos para el Cálculo de Oper. de Sep. Multicomponentes3. ÚLTIMAS TENDENCIAS
• Alternativa para el diseño y simulación en sistemas multicomponentes, incluyendo optimización secuencias de equipos.
Toma de decisiones (variables binarias y modelización matemática de restricciones lógicas).
Todo tipo de restricciones: continuas o discontinuas.
• Resolución simultánea de las ecuaciones MESH.
• Novedades:
x
1
x
1
x
1
DDD LD
D
LL⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡=
=γ∨
⎥⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
⋅+
⋅⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ +
=
=β
∨⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡==α
i,RDi,
i,D
i,1
i,i,1i, x
DKL1
yD
L1y
Si la variables binarias α, β, γ estuvieran asociadas a la existencia de un condensador total, parcial o una alimentación de un reflujo directo respectivamente, la selección de una y solo una de las opciones se modelaría:
α + β + γ =1
©
47
γ+β+
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ +
+α= ·x·
DLK
y·D
L1·yx i,RD
Di,D
i,1D
i,1i,LD
No
x
1
x
1
x
1
DDD LD
D
LL⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡=
=γ∨
⎥⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
⋅+
⋅⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ +
=
=β
∨⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡==α
i,RDi,
i,D
i,1
i,i,1i, x
DKL1
yD
L1y
Si la variables binarias α, β, γ estuvieran asociadas a la existencia de un condensador total, parcial o una alimentación de un reflujo directo respectivamente, la selección de una y solo una de las opciones se modelaría:
3.4. Programación Disyuntiva (MINLP)
)1·(Mxx)1·(M
)1·(M
DLK
y·D
L1x)1·(M
)1·(Myx)1·(M
i,RDi,L
Di,D
i,1D
i,L
i,1i,L
D
D
D
γ−≤−≤γ−−
β−≤+
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ +
−≤β−−
α−≤−≤α−−α + β + γ =1
Métodos Rigurosos para el Cálculo de Oper. de Sep. Multicomponentes3. ÚLTIMAS TENDENCIAS
MyxM0Si
yx0yx01Si
i,1i,L
i,1i,Li,1i,L
D
DD
≤−≤−⇒=α
=⇒≤−≤⇒=α
• Alternativa para el diseño en sistemas multicomponentes, incluyendo optimización secuencias de columnas…
• Resolución simultánea de las ecuaciones MESH
• Novedades:
Toma de decisiones (variables binarias y modelización matemática de restricciones lógicas).
Todo tipo de restricciones: continuas o discontinuas
©
48
Métodos Rigurosos para el Cálculo de Oper. de Sep. Multicomponentes3. ÚLTIMAS TENDENCIAS
3.4. Programación Disyuntiva (MINLP)
Subproblemas NLP Iniciales
Nuevo subproblema NLP
MILP master problem
Linealización de todas las ecuaciones no lineales en todas las anteriores NLP soluciones
Nuevo conjunto de variables binarias (cota inferior de la F.O.)
Conjunto de soluciones conocidas (con variables binarias fijadas) que juntas contemplan todas las posibilidades de la superestructura.
Aproximacion lineal del problemaoriginal modelando las disyuncionescomo inecuaciones relajadas
Cota superiorStop?
©
49
4.1. Método Punto Burbuja
Métodos Rigurosos para el Cálculo de Oper. de Sep. Multicomponentes
ÍÍndicendice1. Métodos de Simulación vs Métodos de Diseño.
2. Principales Métodos Rigurosos
3. Últimas tendencias
4. Ejemplo numérico
©
50
•Presión de la columna = 1 atm (despreciamos la pérdida de carga).
•Condensador parcial
•Caudal de destilado = 23 kmol/h
•Reflujo = 150 kmol/h
•N° de etapas de equilibrio (excluidos caldera y condensador) = 15
•El alimento se introduce en la etapa intermedia
Para este sistema a 1 atm, los valores de K y las entalpías pueden calcularse dentro de un intervalo de temperatura de 10 a 180 ºC mediante las siguientes ecuaciones polinómicas, utilizando las constantes que se indican.
Ki = αi + βi·T + χi·T2 + δi·T3
HVi = Ai + Bi·T + Ci·T2
hLi = ai + bi·T + ci·T2
•Calcular los perfiles de T, caudales y composiciones a lo largo de una columna de rectificación, así como las características de los productos obtenidos y los calores intercambiados en la caldera y condensador. Especificaciones iniciales:
Métodos Rigurosos para el Cálculo de Oper. de Sep. Multicomponentes
4. Ejemplo Numérico
•Alimento (líquido saturado a 1 atm y 101 ºC): etano 3.0; propano 20.0; n-butano 37.0; n-pentano 35.0; n-hexano 5.0 kmol/h.
Simulación de una columna de rectificación con 5 componentes mediante el método BP
©
51
Métodos Rigurosos para el Cálculo de Oper. de Sep. Multicomponentes4. EJEMPLO NUMÉRICO
V3
L2
Etapa 2
V=D1
V =L +D2
Q =Q1
L =L1
Etapa 1
Etapa N
Etapa N-1
V 9
L 8
V 10
F 9
L 9
Etapa 9
L N-2
Q =Q N
L =R N
V N
L N-1
VN-1
D
D
Cond.Parcial
CalderaN=17
2
U2V3
Q2
F2
L2
Etapa 2
V1
W1
U1V2
Q1
F1
L1
Etapa 1
3
Etapa N
Etapa N-1
V J
JL J-1
U JV J+1
Q J
F J
L J
Etapa j
U J-1
W J+1
N-1
U N-2
L N-2
Q N-1
Q N
L N
F N
N
V N
F N-1U N-1
L N-1
VN-1
U N
W
W
W
W
W
150 kmol/h
23 kmol/h
173 kmol/h
100 kmol/h
©
52
ji,1jji,jji,1jj DxCxBxA =⋅+⋅+⋅ +−Matriz tridiagonal
⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
=
⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
⋅
⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
−
−
−
−
−−−
−−−
N
1N
2N
3
2
1
N
1N
2N
3
2
1
NN
1N1N1N
2N2N2N
333
222
11
D D
D ... ... ... ... ... ... D D
D
xxx..................xxx
BA000...... ... 0 CBA00...... ... 0
0CBA0...... ... 0 ...... ...... ...... ...... ...... ... ...... ... 0.........0 C B A 0 0.........0 0 C B A 0.........0 0 0 C B
Para cada componente i:
))·KW+(V+U+V)UWF(V(B i1,111111121 −−−+−=
0 0 0 0 0
)·KDL(B i1,D1 +−=
LD+D D D
f(T1=101 ºC)
-258.09
09.258)70.4·23150( −=+−=
Nj1 )KW+(V+U+V)UWF(VB ji,jjj
j
1m1mmm1jj ≤≤⎥⎦
⎤⎢⎣⎡ −−−+−= ∑
=+
Métodos Rigurosos para el Cálculo de Oper. de Sep. Multicomponentes4. EJEMPLO NUMÉRICO
©
53
ji,1jji,jji,1jj DxCxBxA =⋅+⋅+⋅ +−Matriz tridiagonal
⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
=
⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
⋅
⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
−
−
−
−
−−−
−−−
N
1N
2N
3
2
1
N
1N
2N
3
2
1
NN
1N1N1N
2N2N2N
333
222
11
D D
D ... ... ... ... ... ... D D
D
xxx..................xxx
BA000...... ... 0 CBA00...... ... 0
0CBA0...... ... 0 ...... ...... ...... ...... ...... ... ...... ... 0.........0 C B A 0 0.........0 0 C B A 0.........0 0 0 C B
Para cada componente i:
i2,Di2,21 ·K)DL(·KVC +==
f(T2=101 ºC)
813.01
01.81370.4)·23150( =+=
1-Nj1 KVC 1j,i1jj ≤≤= ++
-258.09
Métodos Rigurosos para el Cálculo de Oper. de Sep. Multicomponentes4. EJEMPLO NUMÉRICO
©
54
ji,1jji,jji,1jj DxCxBxA =⋅+⋅+⋅ +−Matriz tridiagonal
⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
=
⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
⋅
⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
−
−
−
−
−−−
−−−
N
1N
2N
3
2
1
N
1N
2N
3
2
1
NN
1N1N1N
2N2N2N
333
222
11
D D
D ... ... ... ... ... ... D D
D
xxx..................xxx
BA000...... ... 0 CBA00...... ... 0
0CBA0...... ... 0 ...... ...... ...... ...... ...... ... ...... ... 0.........0 C B A 0 0.........0 0 C B A 0.........0 0 0 C B
Para cada componente i:
0z·FD i,111 =−=
-258.09 813.01
Nj1 zFD ijjj ≤≤−=
0
Métodos Rigurosos para el Cálculo de Oper. de Sep. Multicomponentes4. EJEMPLO NUMÉRICO
©
55
ji,1jji,jji,1jj DxCxBxA =⋅+⋅+⋅ +−Matriz tridiagonal
⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
=
⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
⋅
⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
−
−
−
−
−−−
−−−
N
1N
2N
3
2
1
N
1N
2N
3
2
1
NN
1N1N1N
2N2N2N
333
222
11
D D
D ... ... ... ... ... ... D D
D
xxx..................xxx
BA000...... ... 0 CBA00...... ... 0
0CBA0...... ... 0 ...... ...... ...... ...... ...... ... ...... ... 0.........0 C B A 0 0.........0 0 C B A 0.........0 0 0 C B
Para cada componente i:
111122 V)UWF(VA −−−+=
0 0 0LD+D D
-258.09
150L D ==
813.01
Nj2 V)UWF(VA1j
1m1mmmjj ≤≤−−−+= ∑
−
=
150
0
Métodos Rigurosos para el Cálculo de Oper. de Sep. Multicomponentes4. EJEMPLO NUMÉRICO
©
56
( ) jLVjFLjLL
1j
1m1mmmj
LVj
VLj
Q)HH( W)HH(F)HH(VUWF
HH
HH
jjjj1jj
j1j
j1j
+−+−+−⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡−−−=γ
−=β
−=α
−
+
−
∑−
=
⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡ −
=
⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
⋅
⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
−
−
−
−
−
−−
−−
−−
1N
2N
3N
4
3
222
N
1N
2N
5
4
3
1N1N
2N2N
3N3N
44
33
2
...
...
...
...
...
...
V
VVV
...
...
...
...
...
...VVV
000.........0000.........0000.........0..........................................0.........0000.........0000.........0000
γγγ
γγαγ
βαβα
βα
βαβα
β
j1jjjj VV γ=β+α +
Resolución Matriz bidiagonal
j
jjj1j
V·V
β
α−γ=+
22232 V·V· α−γ=β2
D223
)DL·(Vβ
+α−γ=⇒
LD+D
Métodos Rigurosos para el Cálculo de Oper. de Sep. Multicomponentes4. EJEMPLO NUMÉRICO
©
57
Cálculo de Tª de burbuja
iioi ,,p γϕ
1y cal,i =∑
SIFIN
i
ii0i
cal,i·P
x··py
ϕ
γ=
NO
SI
cal,isup,i yy = NO
Suponer T
Suponer yiLi
Vi ff =
ii0iii x··p·y·P γ=ϕ
)T(hp
)x,T,P(g
)y,T,P(f
0i
ii
ii
=
=γ
=ϕ
Métodos Rigurosos para el Cálculo de Oper. de Sep. Multicomponentes4. EJEMPLO NUMÉRICO
©
58
Cálculo de Tª de burbuja
iioi ,,p γϕ
1y cal,i =∑
SIFIN
i
ii0i
cal,i·P
x··py
ϕ
γ=
NO
SI
cal,isup,i yy = NO
Suponer T
Suponer yiLi
Vi ff =
ii0iii x··p·y·P γ=ϕ
)T(hp
)x,T,P(g
)y,T,P(f
0i
ii
ii
=
=γ
=ϕ
Vaporideal
1
Líquidoideal
1
Métodos Rigurosos para el Cálculo de Oper. de Sep. Multicomponentes4. EJEMPLO NUMÉRICO
©
59
Fase Vapor no ideal:Cálculo de coeficientes de fugacidad (Ecuación de Estado de Virial)
...vC
vB1z
RTPv
2 +++==RTPBBy2ln
m
1jmezclaijji ⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡−=ϕ ∑
=
∑ ∑=i j
ijjimezcla ByyB jiij BB =
( ) ( ) ( )[ ]ijRij)AS(
RijRij)(H
ijRij)NP(
cij
cijij ,Tf,Tf,Tf
PRT
B η+µ+ω= µ
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡−−−+ω+−−−= 8
R3R
2RR
i3R
2RR
)NP(
iiiiiii T0073.0
T097.0
T50.0
T46.0073.0
T0121.0
T1385.0
T330.01445.0f
( ) ( ) ( )( ) [
( ) ( ) ]( ) ( ) ( )[ ]
iRiiiRAS
3iR
2iR
iRiR
3iR
2iRiRiRiR
T7.06.6exp,Tf
ln2649074.0ln283270.2
ln181427.6769770.5T1ln2525373.0
ln133816.2ln665807.5237220.5,Tf
−η−=η
µ−µ
+µ−+µ
+µ−µ+−=µµ
si µRi≥4
si µRi≤400
Métodos Rigurosos para el Cálculo de Oper. de Sep. Multicomponentes4. EJEMPLO NUMÉRICO
©
60
Fase Líquida no ideal:Cálculo de coeficientes de actividad (NRTL)
∑ ∑∑
∑∑
∑
⎟⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜⎜
⎝
⎛ τ−τ+
τ
=γj
kkkj
rrrjrj
ij
kkkj
jij
kkki
jjjiji
i xG
xG
xGxG
xG
xG
ln
( )jijiji expG τα−= jiij α=α
TA
RTgg jiiiji
ji =−
=τ
( )15.273TAAA Tji
cjiji −+= Dependencia de los parámetros y de
la constante de ordenación con la temperatura( )15.273TT
jicjiji −α+α=α
Métodos Rigurosos para el Cálculo de Oper. de Sep. Multicomponentes4. EJEMPLO NUMÉRICO
©
61
Evolución: Iteración 0, 1, 2, 5, 10, 20, 40 y 100
Métodos Rigurosos para el Cálculo de Oper. de Sep. Multicomponentes4. EJEMPLO NUMÉRICO
Perfiles de T
40
50
60
70
80
90
100
110
120
130
140
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18
Piso
T (º
C)
©
62
Evolución: Iteración 0, 1, 2, 5, 10, 20, 40 y 100
Métodos Rigurosos para el Cálculo de Oper. de Sep. Multicomponentes4. EJEMPLO NUMÉRICO
Perfiles de Caudales de Vapores
20
40
60
80
100
120
140
160
180
200
220
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18
Piso
kmol
/h
©
63
Perfiles de xj (LK)
00.10.20.30.40.50.60.70.80.9
1
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18Piso
xj (C
lave
lige
ro)
Evolución: Iteración 0, 1, 2, 5, 10, 20, 40 y 100
Métodos Rigurosos para el Cálculo de Oper. de Sep. Multicomponentes4. EJEMPLO NUMÉRICO
©
64
Perfiles de yj (LK)
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18Piso
yj (C
lave
lige
ro)
Evolución: Iteración 0, 1, 2, 5, 10, 20, 40 y 100
Métodos Rigurosos para el Cálculo de Oper. de Sep. Multicomponentes4. EJEMPLO NUMÉRICO
©
65
•Utilizando el método BP de Wang-Henke, calcúlese la composición de los productos, temperaturas de las etapas, composiciones y flujos de las corrientes de vapor y líquido interetapas, composiciones y flujos de las corrientes de vapor y líquido interetapas, servicio del ebullidor y servicio del condensador que resultan, para las especificaciones de la siguiente columna de destilación :
•Alimentación (líquido saturado a 250 psia y 213.9ºF) . Componente lbmol/h: acetona 30.0; n-hexano 5.0; n-heptano 35.0
•Presión de la columna = 250 psia (despreciamos la pérdida de carga).
•Condensador parcial y ebullidor parcial
•Caudal de destilado = 23.0 lbmol/h
•Reflujo = 150 lbmol/h
•N° de etapas de equilibrio (excluidos el condensador y el ebullidor) = 15
•La alimentación se introduce en la etapa intermedia
Métodos Rigurosos para el Cálculo de Oper. de Sep. Multicomponentes
Ejemplo Numérico 2
©
66
Nomenclatura D caudal molar de destilado
Lo reflujo externo
B caudal molar de residuo
Piso 0 condensador
Piso 1 primer plato de la columna (cabeza)
Piso f piso de alimentación
Piso N último piso de la columna (base)
Piso N+1 caldera
Métodos Rigurosos para el Cálculo de Oper. de Sep. Multicomponentes
Vj caudal de vapor que abandona el piso j
V’j caudal de vapor que llega al piso j-1
Vj = V’j si no se introduce ninguna corriente de vapor entre los pisos j y j-1
Lj caudal de líquido que abandona el piso j
L’j caudal de líquido que llega al piso j+1
Lj = L’j si entre los pisos j y j+1 no se introduce ningún líquido
B
N+1
j=1
j=N
j=f
0
0
©
1. Se ha realizado una revisión y análisis de los métodos para el cálculo de operaciones de separación multicomponentes.
2. Se conocen los fundamentos de los métodos utilizados por los simuladores comerciales con lo que se ha obtenido un conocimiento crítico para su utilización.
Conclusiones
67
Métodos Rigurosos para el Cálculo de Oper. de Sep. Multicomponentes
1. Holland, C.D. “Fundamentals of Multicomponent Distillation”. McGraw-Hill. New York (1981).
2. King, C.J. Separation Processes. Chemical Engineering Series, Mc. GrawHill. NY, 1988
3. Kister, H.Z. Distillation Design, McGraw-Hill, Inc. NY, 1992.
4. McCabe, W.L., Smith, J.C. & Harriot, P. “Unit Operations in Chemical Engineering”. 5ª ed. McGraw-Hill. New York (1993).
5. Seader, J.D. & Henley, E.J. “Separation Process Principles”. John Wiley & Sons, New York (1998).
6. Van Winkle, M. “Distillation”. McGraw-Hill. New York (1968).
BibliografBibliografííaa
• Clases de teoría 9 h
• Problemas en Sala de Ordenador 6 h
TemporalizaciTemporalizacióónn
©
68
Métodos Rigurosos para el Cálculo de Operaciones de Separación Multietapa en
Mezclas Multicomponentes
MMéétodos Rigurosos para el todos Rigurosos para el CCáálculo de Operaciones de lculo de Operaciones de SeparaciSeparacióón Multietapa en n Multietapa en
Mezclas MulticomponentesMezclas Multicomponentes
Área de conocimiento: Ingeniería QuímicaDocencia en “Operaciones de Separación”
Febrero, 2003Prof.Dr. Juan A. Reyes-Labarta ©
http://iq.ua.es/~jareyes/
Dpto. Ingeniería Química