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Introduction Méthode d’homogénéisation Descriptions macroscopiques Conséquences de la résonance Conclusion
Modèles homogénéisés pour les vibrations verticales des bâtiments
Céline CHESNAIS Claude BOUTIN Stéphane HANS
Université Paris-Est, IFSTTAR, GERS, SV, Marne-la-Vallée
Université de Lyon, ENTPE, LGCB/LTDS CNRS 5513, Vaulx-en-Velin
1/23Céline CHESNAIS Homogénéisation des vibrations verticales
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Introduction Méthode d’homogénéisation Descriptions macroscopiques Conséquences de la résonance Conclusion
Plan de la présentation
1 Introduction
2 Homogénéisation des milieux périodiques discrets
3 Descriptions macroscopiques
4 Conséquences de la résonance locale
5 Conclusion
2/23Céline CHESNAIS Homogénéisation des vibrations verticales
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Introduction Méthode d’homogénéisation Descriptions macroscopiques Conséquences de la résonance Conclusion
Motivation
L’excitation verticale des bâtiments...
Composante importante à proximité de l’épicentre
Vibrations dues aux chantiers ou au trafic
3/23Céline CHESNAIS Homogénéisation des vibrations verticales
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Introduction Méthode d’homogénéisation Descriptions macroscopiques Conséquences de la résonance Conclusion
Motivation
L’excitation verticale des bâtiments...
Composante importante à proximité de l’épicentre
Vibrations dues aux chantiers ou au trafic
...entraîne une réponse complexe.
Structures creuses constituées de poutres et de plaquesbien plus rigides en traction-compression qu’en flexion
⇒ Modes verticaux pilotés par la traction-compression des murs et poteaux àl’échelle de la structure
⇒ Modes de flexion des planchers parfois dans la même gamme de fréquences
3/23Céline CHESNAIS Homogénéisation des vibrations verticales
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Introduction Méthode d’homogénéisation Descriptions macroscopiques Conséquences de la résonance Conclusion
Démarche
Étude de bâtiments idéalisés =répétition périodique de portiques
Poutre équivalente obtenue par homogénéisation
Avantages de l’homogénéisation
Pas d’hypothèse (mise à part la séparation d’échelles)
Formulation analytique
Possibilité de revenir à l’échelle locale
⇒ Identification des paramètres clés
4/23Céline CHESNAIS Homogénéisation des vibrations verticales
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Introduction Méthode d’homogénéisation Descriptions macroscopiques Conséquences de la résonance Conclusion
Plan de la présentation
1 Introduction
2 Homogénéisation des milieux périodiques discrets
3 Descriptions macroscopiques
4 Conséquences de la résonance locale
5 Conclusion
5/23Céline CHESNAIS Homogénéisation des vibrations verticales
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Introduction Méthode d’homogénéisation Descriptions macroscopiques Conséquences de la résonance Conclusion
Homogénéisation des milieux périodiques discrets(D. Caillerie 1989)
6/23Céline CHESNAIS Homogénéisation des vibrations verticales
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Introduction Méthode d’homogénéisation Descriptions macroscopiques Conséquences de la résonance Conclusion
Homogénéisation des milieux périodiques discrets(D. Caillerie 1989)
6/23Céline CHESNAIS Homogénéisation des vibrations verticales
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Introduction Méthode d’homogénéisation Descriptions macroscopiques Conséquences de la résonance Conclusion
Homogénéisation des milieux périodiques discrets(D. Caillerie 1989)
6/23Céline CHESNAIS Homogénéisation des vibrations verticales
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Introduction Méthode d’homogénéisation Descriptions macroscopiques Conséquences de la résonance Conclusion
Développement des efforts nodaux
Compression N = f(
vD , vF ,ℓ
λc
)
avec λc =1
2π
√
E
ρω2
Flexion T ,M = f(
uD , uF , θD , θF ,ℓ
λf
)
avec λf =1
2π4
√
EI
ρAω2
⇒ λf << λc
7/23Céline CHESNAIS Homogénéisation des vibrations verticales
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Introduction Méthode d’homogénéisation Descriptions macroscopiques Conséquences de la résonance Conclusion
Développement des efforts nodaux
Compression N = f(
vD , vF ,ℓ
λc
)
avec λc =1
2π
√
E
ρω2
Flexion T ,M = f(
uD , uF , θD , θF ,ℓ
λf
)
avec λf =1
2π4
√
EI
ρAω2
⇒ λf << λc
ℓ << λf << λc ℓ ≈ λf << λc λf << λc ≈ ℓ
État local quasi-statique Résonance en flexion Pas de séparationDL de tous les efforts DL de N uniquement d’échelles
Dynamique newtonienne Dynamique atypique Pas d’homogénéisation
7/23Céline CHESNAIS Homogénéisation des vibrations verticales
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Introduction Méthode d’homogénéisation Descriptions macroscopiques Conséquences de la résonance Conclusion
Résonance en flexion
compression
traction
traction
λc
8/23Céline CHESNAIS Homogénéisation des vibrations verticales
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Introduction Méthode d’homogénéisation Descriptions macroscopiques Conséquences de la résonance Conclusion
Plan de la présentation
1 Introduction
2 Homogénéisation des milieux périodiques discrets
3 Descriptions macroscopiques
4 Conséquences de la résonance locale
5 Conclusion
9/23Céline CHESNAIS Homogénéisation des vibrations verticales
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Introduction Méthode d’homogénéisation Descriptions macroscopiques Conséquences de la résonance Conclusion
Changement de variables
Cinématique transverse Cinématique longitudinale
10/23Céline CHESNAIS Homogénéisation des vibrations verticales
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Introduction Méthode d’homogénéisation Descriptions macroscopiques Conséquences de la résonance Conclusion
Descriptions macroscopiques
État local quasi-statique
ℓp << λf (ω)
2EmAmV′′ + Λω2V = 0
Équation classique pourles poutres en compression
11/23Céline CHESNAIS Homogénéisation des vibrations verticales
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Introduction Méthode d’homogénéisation Descriptions macroscopiques Conséquences de la résonance Conclusion
Descriptions macroscopiques
État local quasi-statique
ℓp << λf (ω)
2EmAmV′′ + Λω2V = 0
Équation classique pourles poutres en compression
Résonance en flexion
ℓp ≈ λf (ω)
2EmAmV′′ + Λ(ω)ω2V = 0
Modification du termed’inertie
Masse négative après lesmodes impairs desplanchers
Masse apparente qui dépend de la fréquence
Λ(ω) = Λm + Λp f (ω) avec
f (ω) = 8
3π√
ω
ωf 1
[
coth
(
3π4
√
ω
ωf 1
)
+cot
(
3π4
√
ω
ωf 1
)]
11/23Céline CHESNAIS Homogénéisation des vibrations verticales
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Introduction Méthode d’homogénéisation Descriptions macroscopiques Conséquences de la résonance Conclusion
Origine physique de la masse apparente
Mouvement relatif entre les nœuds et les planchers
Déflexion des planchers
Conditions aux limites = déplacement vertical et en phase des nœuds d’amplitude U
(rotations négligées)
1re fréquence propre 2e fréquence propre
12/23Céline CHESNAIS Homogénéisation des vibrations verticales
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Introduction Méthode d’homogénéisation Descriptions macroscopiques Conséquences de la résonance Conclusion
Plan de la présentation
1 Introduction
2 Homogénéisation des milieux périodiques discrets
3 Descriptions macroscopiques
4 Conséquences de la résonance locale
5 Conclusion
13/23Céline CHESNAIS Homogénéisation des vibrations verticales
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Introduction Méthode d’homogénéisation Descriptions macroscopiques Conséquences de la résonance Conclusion
Structure étudiée
Structure conçue pour mettre en évidence les effets de la résonance des planchers
Em = Ep = 30 000 MPa
νm = νp = 0, 2
ρm = 2 300 kg/m3
ρp = 14 225 kg/m3
}
Λp ≈ Λm
Hauteur totale H = N ℓm = 45 m
Fréquences de résonance des planchers :
ff 1 = 52, 08 Hz
ff 2 = 143, 56 Hz
ff 3 = 281, 44 Hz
N = 15 niveaux
14/23Céline CHESNAIS Homogénéisation des vibrations verticales
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Introduction Méthode d’homogénéisation Descriptions macroscopiques Conséquences de la résonance Conclusion
Analyse modale
Structure encastrée à la base et libre en tête
V (x) = B sin(αx) avec
α2=
Λ(ω)ω2
2EmAm
cos(αH) = 0 ⇒ αkH =(2k − 1)π
2
Conséquences de larésonance locale
⇒ Modification desfréquences de résonancede la structure
⇒ Même déforméemacroscopique àplusieurs fréquences
⇒ Forte densité de modesau voisinage des modesimpairs des planchers
15/23Céline CHESNAIS Homogénéisation des vibrations verticales
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Introduction Méthode d’homogénéisation Descriptions macroscopiques Conséquences de la résonance Conclusion
Validation numérique - Comparaison des fréquences
Déformées et fréquences modales calculées avec CESAR-LCPC et comparaison avecles fréquences estimées grâce à l’homogénéisation
k = 1 k = 2 k = 3 k = 414,00 65,14 36,73 74,35 46,42 97,68 49,36 127,813,76 64,83 35,99 74,22 45,46 97,37 48,28 127,0
16/23Céline CHESNAIS Homogénéisation des vibrations verticales
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Introduction Méthode d’homogénéisation Descriptions macroscopiques Conséquences de la résonance Conclusion
Validation numérique - Comparaison des déformées
17/23Céline CHESNAIS Homogénéisation des vibrations verticales
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Introduction Méthode d’homogénéisation Descriptions macroscopiques Conséquences de la résonance Conclusion
Fonction de transfert sans amortissement
Mouvement vertical harmonique d’amplitude V0 imposé à la base
Déformée à52 Hz
Les fréquences pour lesquelles la masse apparente est négative constituent des bandesde fréquences interdites : les vibrations ne sont pas transmises au sommet de lastructure.
18/23Céline CHESNAIS Homogénéisation des vibrations verticales
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Introduction Méthode d’homogénéisation Descriptions macroscopiques Conséquences de la résonance Conclusion
Fonction de transfert avec amortissement
Amortissement : E e iη avec η = 0, 02
Même type de comportementmais moins de modes avant la bande de fréquences interdites
19/23Céline CHESNAIS Homogénéisation des vibrations verticales
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Introduction Méthode d’homogénéisation Descriptions macroscopiques Conséquences de la résonance Conclusion
Application aux bâtiments
Bâtiment régulier latéralement
Transposition directe
20/23Céline CHESNAIS Homogénéisation des vibrations verticales
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Introduction Méthode d’homogénéisation Descriptions macroscopiques Conséquences de la résonance Conclusion
Application aux bâtiments
Bâtiment régulier latéralement
Transposition directe
Bâtiment plus complexe
Nombreuses fréquences de résonance associées à unefaible proportion de la masse
⇒ Bandes de fréquences interdites très étroites
⇒ Répartition atypique des fréquences propres
20/23Céline CHESNAIS Homogénéisation des vibrations verticales
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Introduction Méthode d’homogénéisation Descriptions macroscopiques Conséquences de la résonance Conclusion
Application aux bâtiments
Bâtiment régulier latéralement
Transposition directe
Bâtiment plus complexe
Nombreuses fréquences de résonance associées à unefaible proportion de la masse
⇒ Bandes de fréquences interdites très étroites
⇒ Répartition atypique des fréquences propres
Autres effets à prendre en compte
Existence de modes modulés
Interaction sol-structure
20/23Céline CHESNAIS Homogénéisation des vibrations verticales
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Introduction Méthode d’homogénéisation Descriptions macroscopiques Conséquences de la résonance Conclusion
Plan de la présentation
1 Introduction
2 Homogénéisation des milieux périodiques discrets
3 Descriptions macroscopiques
4 Conséquences de la résonance locale
5 Conclusion
21/23Céline CHESNAIS Homogénéisation des vibrations verticales
![Page 29: Mod les homog n is s pour les vibrations verticales des b ...jtav.ifsttar.fr/fileadmin/contributeurs/JTAV/2017/Chesnais.pdf · Modèles homogénéisés pour les vibrations ... À](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022042800/5a78911b7f8b9a8c428d5a1b/html5/thumbnails/29.jpg)
Introduction Méthode d’homogénéisation Descriptions macroscopiques Conséquences de la résonance Conclusion
Conclusion
À cause du fort contraste de rigidité entre la traction-compression et la flexion dans lespoutres, les modes verticaux des bâtiments peuvent coïncider avec la résonance enflexion des planchers.
Conséquences
Masse apparente qui dépend de la fréquence ⇒ mécanique newtoniennegénéralisée
Répartition atypique des modes propres
Même déformée macroscopique à différentes fréquences
Bandes de fréquences interdites
22/23Céline CHESNAIS Homogénéisation des vibrations verticales
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Introduction Méthode d’homogénéisation Descriptions macroscopiques Conséquences de la résonance Conclusion
Conclusion
À cause du fort contraste de rigidité entre la traction-compression et la flexion dans lespoutres, les modes verticaux des bâtiments peuvent coïncider avec la résonance enflexion des planchers.
Conséquences
Masse apparente qui dépend de la fréquence ⇒ mécanique newtoniennegénéralisée
Répartition atypique des modes propres
Même déformée macroscopique à différentes fréquences
Bandes de fréquences interdites
Structures idéalisées
Cadre d’analyse obtenu par homogénéisation
Confirmation numérique
Quelle importance dans des bâtiments réels ?
22/23Céline CHESNAIS Homogénéisation des vibrations verticales
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Introduction Méthode d’homogénéisation Descriptions macroscopiques Conséquences de la résonance Conclusion
Merci de votreattention
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14-20 Boulevard NewtonCité Descartes, Champs sur MarneF-77447 Marne la Vallée Cedex 2Tel : 01 81 66 83 78Mail : [email protected]
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