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Introdução à Programação LinearParte I
Elementos de Economia Matemática 2
Prof. Alexandre Stamford
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CaracterizaçãoÉ um subitem da programação matemática É um dos modelos utilizados em pesquisa
operacional. É um modelo de otimização.Tem como objetivo:
"Alocar recursos escassos (ou limitados) a atividades em concorrência (em competição)"
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ExemploUma empresa pode fabricar dois produtos (1 e 2). Na fabricação do produto 1 a empresa gasta
nove horas-homem e três horas-máquina (a tecnologia utilizada é intensiva em mão-de-obra).
Na fabricação do produto 2 a empresa gasta uma hora-homem e uma hora-máquina (a tecnologia é intensiva em capital).
A empresa dispõe de 18 horas-homem e 12 horas-máquina para um período de produção.
Sabe-se que os lucros líquidos dos produtos são $4 e $1 respectivamente.
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Pergunta-seQuanto a empresa deve fabricar de
cada produto para ter o maior lucro?Caso se obtenha algum recurso
financeiro externo, para investimento em expansão, em quais dos recursos a empresa deveria aplicá-lo ?
Qual seria o impacto no lucro se alguns trabalhadores faltassem ao trabalho limitando as horas homens disponíveis em 15 horas?
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Pergunta-seSabendo-se que 4 máquinas são
responsáveis pela produção no período em análise até quanto se deveria pagar pelo aluguel de uma máquina se eventualmente uma das quatro máquinas quebrassem?
Qual deveria ser o lucro líquido fornecido para viabilizar a fabricação um novo produto que utiliza 5 horas de cada recurso?
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Resolvendo Intuitivamente
Que modelo mental poderia ser usado?Como se poderia utilizar a intuição
para responder as perguntas?Tente resolver o problema sem utilizar
um modelo formal.
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Transformando os dados em expressões matemáticas
A função lucro Não havendo economia de escala É claro que o lucro máximo seria
ilimitado se não fosse a escassez de recursos.
Em outros problemas a demanda do mercado também é um fator limitador.
214 xxL
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Transformando os dados em expressões matemáticasAs restrições
Não se pode utilizar o que não se tem! A quantidade utilizada deve ser menor
ou igual a quantidade disponível. As quantidades de fabricação devem
ser não negativas189 21 xx.H.H
00 21 xx123 21 xx.M.H
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O modelo do problema
189 21 xx.H.H
00 21 xx123 21 xx.M.H
21421
xxLMaxx,x
Função Objetivo
Matriz Tecnológica
Variáveis de Decisão
Limitações
Conjunto das
Possibilidades de
Produção
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Solução Gráfica: Construindo o conjunto de possibilidades
Valores Possíveis quando
00 21 xx
1x
2x
0
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189 21 xx
Valores Possíveis quando
Solução Gráfica: Construindo o conjunto de possibilidades
2
18
1x
2x
0
189 21 xx
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123 21 xx
Valores Possíveis quando
Solução Gráfica: Construindo o conjunto de possibilidades
4
12
1x
2x
0
123 21 xx
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Solução Gráfica: Construindo o conjunto de possibilidades
Conjunto de Possibilidades
12
2 1x
2x
0
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Solução Gráfica: Definindo as Curvas de Níveis do Objetivo
LxxLxx 1221 44
Para cada valor de L tem-se uma reta no plano (x2 vs x1).
Dado um valor de L é possível traçar um lugar geométrico (uma reta) onde as várias combinações de produção dão o mesmo lucro, essas curvas são conhecidas como isolucros.
Retas com inclinações negativas
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Solução Gráfica: Desenhando as Curvas de Níveis do Objetivo
1x
2x
0
5L7L9L
Direção de Crescimento do Lucro
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Solução Gráfica: Reunindo os componentes e resolvendo
Conjunto de Possibilidades
12
2 1x
2x
0
13L
1
9
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A soluçãoQue características permitiram a solução?
O conjunto de possibilidades era convexo. Um conjunto é convexo quando toda
combinação convexa de dois elementos dele pertence a ele.
Uma combinação convexa de dois elementos, x e y é um terceiro elemento z tal que: z=a.x+(1-a).y onde 0 a 1.
É possível definir combinação convexa de n elementos.
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Valores p/Restrição 1
Casos onde a solução não existeConjunto de Possibilidades é vazioNão há solução compatívelExemplo:
1x
2x
0
Valores p/Restrição 2
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Conjunto de Possibilidades
Casos onde a solução não existeA solução é ilimitadaNão há como definir a decisãoExemplo:
1x
2x
0
Direção de Crescimento do LucroIsolucr
o
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Caso de Infinitas Soluções
Conjunto de Possibilidades
1x
2x
0
Qualquer um desses pontos é uma solução
As soluções são combinações lineares dos pontos extremos Isolucro
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Exercícios: Resolva Graficamente
1. Maximize o lucro
Sujeito a:21 32 xxL
0;093624
21
21
21
21
xxxxxxxx
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Exercícios: Resolva Graficamente
2. Maximize a receita
Sujeito a:21 5,03,0 xxR
0;03322
21
21
21
xxxxxx
![Page 23: Modelagem e Resolução pelo Método do Gráfico.ppt](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022081420/563db9df550346aa9aa0b70b/html5/thumbnails/23.jpg)
Exercícios: Resolva Graficamente
3. Maximize o lucro
Sujeito a:21 32 xxL
0;093642
21
21
21
21
xxxxxxxx
![Page 24: Modelagem e Resolução pelo Método do Gráfico.ppt](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022081420/563db9df550346aa9aa0b70b/html5/thumbnails/24.jpg)
Exercícios: Resolva Graficamente
4. Duas fábricas produzem três tipos de papel. A companhia que controla as fábricas tem um contrato para produzir 16 toneladas de papel fino, 6 toneladas de papel médio e 28 toneladas de papel grosso. Existe uma demanda para cada tipo de papel . O custo de produção na 1ª fábrica é de R$1.000,00 e o da 2ª é de R$2.000,00, por dia. A primeira fábrica produz 8 toneladas de papel fino, 1 tonelada de papel médio e 2 toneladas de papel grosso por dia, enquanto a segunda produz 2 toneladas de papel fino, 1tonelada de papel médio e 7 toneladas de papel grosso. Quantos dias cada fábrica deve operar para suprir os pedidos com o menor custo?
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Exercícios: Resolva Graficamente
5. Uma companhia de transporte tem dois tipos de caminhões: O tipo A tem 2m3 de espaço refrigerado e 3m3 de espaço não refrigerado; o tipo B tem 2m3 de espaço refrigerado e 1m3 de não refrigerado. O cliente quer transportar produtos que necessitarão de 16m3 de espaço refrigerado e 12m3 de área não refrigerada. A companhia calcula que são necessários em 1.100 litros de combustível para uma viagem com o caminhão A e 750 litros para o caminhão B. Quantas viagens deverão ser feitas de cada tipo de caminhão para que se tenha o menor custo de combustível?
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Voltando ao Primeiro Problema
189 21 xx.H.H
00 21 xx123 21 xx.M.H
21421
xxLMaxx,x
Lembrando que foi resolvido graficamente, analise.......
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Resultados da Solução Gráfica
Quantas perguntas foram respondidas?
Quantas fábricas teriam 2 produtos e apenas dois recursos? Ou duas restrições?
Como se pode obter um método analítico para resolver o problema?
Qual a utilidade deste método?