Download - Modele Probleme ISA+Rezolvare
-
8/3/2019 Modele Probleme ISA+Rezolvare
1/16
1
Stabilitatea sistemelor cu reactie
Sistem strict stabil daca
gradul numaratorului lui H(s) (H(z)) gradul numitorului lui H(s) (H(z)) si/sau toti polii lui H(s) semiplanul stang (interiorul cercului unitate pt. timp discret).Stabil in sens larg daca
polii H(s), sp axa j (imaginara) /polii H(z) zp cercul unitate r=1 pt timp discret.
Sistemul e stabil numitorul lui H(s) este polinom Hurwitz.
Q(s) strict/sens larg Hurwitz daca are coeficienti reali, (strict/nu) pozitivi + radacini in semiplanul stang (adica au Re{r} < 0)Un polinom Hurwitz are toti determinantii de ordin n, n > 0. In sens larg daca k=0.
1 3 5 7
0 2 4 6
1 3 5
2 4 6
1 3
... 0
... 0
0 ... 0
0 ... 0
0 0 ... 0
.. . . . ...
0 . . . ...
n
n
a a a a
a a a a
a a a
a a a
a a
a
=
( )
( )
( )
( ) ( )1Y s H s
X s H s G s=
+(t.continuu)
( )
( )
( )
( ) ( )1
Y z H z
X z H z G z=
+(t.discret)
( ) ( ) ( )W s H s G s= respectiv ( ) ( ) ( )W z H z G z= functia de transfer in bucla deschisa.
Sistemul in bucla deschisa strict stabil daca
radacinile 1+W(s)=0 semiplanul stang fara axa j. (partea reala
-
8/3/2019 Modele Probleme ISA+Rezolvare
2/16
2
Criteriul de stabilitate Nyquist
( )
( )
( )
( ) ( )1Y s kH s
X s H s G s=
+respectiv
( )( )
( )( ) ( )1
Y s H s
X s kH s G s=
+
( ) ( ) ( )1
R s H s G sk
= + ( ) ( ) ( )1
R z H z G zk
= +
( ) ( ) ( )1
R s H s G sk
= + sa nu aiba zerouri in semiplanul drept sau pe axa j
=> ( ) ( )( ),
H j G j
= hodograf Nyquist al sistemului in bucla deschisa trebuie sa
inconjoare punctul (-1/k, 0) in sens anti-orar de n ori unde 2i c
n n n= + ,
in = nr poli semiplanul drept,
cn = nr poli de pe axa imaginara (t. continuu)
( ) ( ) ( )1
R z H z G zk
= + nici un zero sa nu fie in afara cercului unitate r=1 (z=ej)
in = nr zerouri din afara cercului r=1, cn = nr poli de pe cercul r=1 (t. discret)
-
8/3/2019 Modele Probleme ISA+Rezolvare
3/16
3
Stabilitatea sistemelor cu reactie. Probleme
Problema 1. Se consider amplificatorul cu funcia de transfer
( )Ga
H ss a
=+
a) care este ctigul n curent continuu al amplificatorului?b) care este constanta de timp a sistemului?c) se definete banda amplificatorului ca i frecvena la care modulul rspunsului n
frecven al acestui sistem este de 2 ori mai mic dect ctigul n curent
continuu. Care este banda amplificatorului considerat?d) Amplificator considerat se plaseaz ntr-o bucl de reacie ca i n figur:
Care este ctigul n curent continuu, constanta de timp, banda amplificatorului cu
reacie?e) Determinai valoarea lui k pentru care banda sistemului n bucl nchis este
dublul benzii sistemului n bucl deschis.
Rezolvare.
a) ( )Ga
H j
j a
=+
. Ctigul n c.c. ( )0H G=
b) ( )1
1 ate t
s a
+
L
.
Dac ( ) ( )t
h t e t
atunci este constanta de timp a sistemului
( ) ( )1at
h t Ga e t a
= =
c) Banda este ( )2
M
GB H j= = . Dar ( )
2 2
GaH j
a
=+
2 2 2T
M
Ga Ga
a
= =
+
d)
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )1
Y s X s kY s H s
Y s X s H s kY s H s
Y s kH s X s H s
=
=
+ =
K
Ga
s a+
x(t) y(t)
-
8/3/2019 Modele Probleme ISA+Rezolvare
4/16
4
( )( )
( )( )
( )1
1b
GaY s H s s a H s
Ga X s kH sk
s a
+= = =+ +
+
Ctigul n c.c. al sistemului cu reacie este ( )0 1bG
H kG=
+
( )( )1
b
Ga GaH s
s a kGa s a kG= =
+ + + +
Constanta de timp( )
1
1a kG =
+
( )( )1
b
GaH
j a kG
=+ +
( ) ( )
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
( )
2 22
2
2 2 22
2 2 22 2
1 2 1
2 11
1
1 2 1
2 1 1
1
T b
T b
T b
T b
T b
Ga G
j a kG kG
Ga G
kGa kG
a
a kG kG
a kG a kG
a kG
=+ + +
=++ +
=+ + +
+ = + +
= +
e) ( )1
2 1 2T b T a kG a k G
= + = = .
Problema 2.Determinai funciile de transfer ale sistemelor din figur
a)
x(t) H0(s)
G(s)
H1(s) y(t)u(t)
-
8/3/2019 Modele Probleme ISA+Rezolvare
5/16
5
b)
c)
Rezolvare
a) ( ) ( ) ( )0U s X s H s=
( ) ( ) ( ) ( ) ( )1Y s U s Y s G s H s=
( ) ( ) ( ) ( ) ( )1 11Y s G s H s U s H s+ =
( )
( )
( )
( ) ( )1
11
Y s H s
U s G s H s=
+
( )( ) ( )
( )( ) ( )
1
0 11
Y s H s
X s H s G s H s =
+
( )
( )
( ) ( )
( ) ( )1 0
11
Y s H s H s
X s G s H s
=
+
b) [ ] [ ] [ ]u n x n w n= i ( ) ( ) ( )1V z U z H z=
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )1U z X z W z X z G z V z X z G z H z U z = = =
( ) ( ) ( ) ( )11U z G z H z X z+ =
( )( )
( ) ( )11
X z
U z G z H z= + , dar ( )( )
( )1
V z
U z H z=
( )( ) ( )
( ) ( )1
11
H z X zV z
G z H z =
+
G1(s)
H1(s)y(t)x(t)
G2(s)
H2(s)u(t) v(t) w(t)
x[n]
H0(z)
G(z)
H1(z) y[n]
u[n] v[n]
w[n]
-
8/3/2019 Modele Probleme ISA+Rezolvare
6/16
6
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )( ) ( )
( ) ( )
0
1
0
11
Y z X z H z V z
H z X zX z H z
G z H z
= +
= ++
( )
( ) ( )
( )
( ) ( )
1
011
Y z H z
H zX z G z H z= +
+
c) ( ) ( ) ( ) ( )2U s X s G s Y s=
( ) ( ) ( )2V s U s H s=
( ) ( ) ( ) ( )1W s V s Y s G s=
( ) ( ) ( )1Y s W s H s=
( ) ( ) ( ) ( ) ( )1 1Y s H s V s Y s G s =
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ){ }1 2 1
1 2 2 1
Y s H s H s U s Y s G s
H s H s X s G s Y s Y s G s
=
=
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )1 2 2 1 1 1 21Y s H s H s G s H s G s H s H s X s+ + =
( )( )
( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )
1 2
1 2 2 1 11
Y s H s H s
X s H s H s G s H s G s=
+ +.
Problema 3. Se d sistemul descris de ecuaia diferenial
6 9 6 8y y y y x x x + + + = + +
cu condiii iniiale nule.Studiai stabilitatea acestui system pe baza criteriului Hurwitz.
Rezolvare.
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )3 2 3 26 9 6 8s Y s s Y s sY s Y s s X s s X s sX s+ + + = + +
( )( )
3 2
3 2
6 8
6 9 1
Y s s s s
X s s s s
+ +=
+ + +
Polinomul de la numitor are toi coeficienii pozitivi, deci se poate aplica criteriul
Hurwitz.
0 1 2 31, 6, 9, 1a a a a= = = =
1 3 5
3 0 2 4
1 3
6 1 0
1 9 0
0 0 6 1
a a a
a a a
a a
= =
1 6 0 = >
2 54 1 53 0 = = >
3 26 9 1 1 6 0 0 1 0 0 9 0 0 6 6 1 1 1 53 = + + = =
Sistemul considerat este deci stabil.
-
8/3/2019 Modele Probleme ISA+Rezolvare
7/16
7
Problema 4. Se d sistemul n bucl nchis din figur
Determinai valorile lui k pentru care acesta este stabil, dac
a. ( ) ( )1
1H s G s
s=
+
b. ( ) ( )1
1H s G s
s=
c.
( ) ( ) ( )
1
1 110
H s G sss
= + +
d. ( ) ( ) 21
1H s G s
s=
e. ( ) ( )( )
2
1
1H s G s
s=
+
f. ( ) ( )( )
3
1
1H s G s
s=
+
g. ( ) ( ) ( )41
1H s G s
s=
+ (tem).
h. ( ) ( ) 21
4
sH s G s
s
+=
i. ( ) ( ) 21
2 2H s G s
s s=
+ +
Rezolvare
Punctul a. ( ) ( )1
1H s G s
s=
+ ( ) ( )
1
1H j G j
j
=+
, sp = -1
Pentru a desena hodograful se folosesc diagramele Bode.
( ) ( )2
1
1H j G j
=+
( ) ( ) ( )2
220log 10log 1 10log 11
H j G j
= + = +
( ) ( ){ } ( )arg arg 1 arctg arctg1
H j G j j
= + = =
x(t)k
G(s)
H(s)y(t)
-
8/3/2019 Modele Probleme ISA+Rezolvare
8/16
8
=0
=
=1
= -1Sensul nu e antiorar
-
8/3/2019 Modele Probleme ISA+Rezolvare
9/16
9
Sistemul n bucl deschis este stabil => hodograful nu trebuie s ncercuiasc punctul
1,0
k
( )1 1
0 0 sau 1 1,0k kk k
< > >
Deci pentru stabilitate este necesar k>-1!
Punctul b. ( ) ( )1
1H s G s
s=
Sistemul n bucl deschis este instabil cu un pol n semiplanul drept sp=1
( ) ( )2
1
1H j G j
=+
( ) ( ){ } ( )arg arg 1 arctg arctg1
H j G j j
= + = + = +
( ) ( ) 2 2
2 2
Re Im
1 1 1
1 1 1
1
1 1
j jH j G j
j
j
+ += = =
+
= +
+ +
Pentru 0 > ( ) ( ){ }Re 0H j G j < , ( ) ( ){ }Im 0H j G j <
( ) ( ){ }Re H j G j ( ) ( ){ }Im H j G j 0 -1 0
1 -1/2 -1/2
0 0
Conturul Nyquist e strbtut n sens antiorar. Deci sistemul considerat va fi stabil dac
punctul1
,0k
va fi ncercuit o dat n sens antiorar
11 1
110 0
kk
kk
k
> >
> < >
. Deci sistemul este stabil pentru k>1.
-
8/3/2019 Modele Probleme ISA+Rezolvare
10/16
10
=0=
=1
Sens antiorar
-
8/3/2019 Modele Probleme ISA+Rezolvare
11/16
11
Punctul c. ( ) ( )( )
1
1 110
H s G ss
s
=
+ +
. Sistemul n bucl deschis este stabil.
( ) ( )
( )
1
1 110
H j G jj
j
=
+ +
( ) ( )2
2
1
1 110
H j G j
=
+ +
( ) ( )2 2
20log 10log 1 10log 11 10
H j G j
= + +
( ) ( ){ } ( )arg arctg arctg10
H j G j
=
10
1
1 1
kk
k
>
. Sensul nu este antiorar=>punctul1
,0
k
nu trebuie sa fie
incercuit.
-
8/3/2019 Modele Probleme ISA+Rezolvare
12/16
12
Punctul d. ( ) ( )2
1
1H s G s
s=
1,2 1ps = . Sistemul n bucl deschis este instabil.
( ) ( ) ( ) ( ){ }2 21 1
Re1 1
H j G j H j G j
= = = +
; ( ) ( ){ }Im 0H j G j =
Sistemul n bucl deschis are un pol n semiplanul
drept, pentru ca sistemul n bucl nchis s fie
stabil este necesar ca punctul critic s fie ncercuit
o dat n sens antiorar.
1
1 0 1kk < < >
0 1
( ) ( ){ }Re H j G j -1 -1/2 0
=0
=1
=10
=0 =
Sensul nu e antiorar
=
Sensul e antiorar
=1
-
8/3/2019 Modele Probleme ISA+Rezolvare
13/16
13
Punctul e. ( ) ( )( )
( ) ( )( )
2 2
1 1
1 1H s G s H j G j
s j
= =+ +
( ) ( ) 21
1H j G j
=+
( ) ( )2
20log 20log 11
H j G j
= +
( ) ( ){ } ( )arg 2arctgH j G j = Deoarece sistemul n bucl deschis este stabil e necesar ca punctul critic s nu fie
ncercuit1 1
0 sau 1 0 sau 1 0 1k k kk k
< > > < < >
=0
=1
=10
Sensul nu e antiorar
-
8/3/2019 Modele Probleme ISA+Rezolvare
14/16
14
Punctul f. ( ) ( )( )
( ) ( )( )
3 3
1 1
1 1H s G s H j G j
s j
= =+ +
( ) ( )
( )2
3
1
1
H j G j
=
+
( ) ( )2
3
20log 10log 11
H j G j
= +
( ) ( ){ } ( )arg 3arctgH j G j = .
Sens antiorar ( ) ( )1 1 1
1 sau 1 0 sau 8 ,8 1,08
k k kk k
> < < < <
=0
=1
=
= 3Re=-1/8
Sensul nu e antiorar
-
8/3/2019 Modele Probleme ISA+Rezolvare
15/16
15
Punctul g. tem.
Punctul h. ( ) ( ) { }1,2 121
2 Re 04
p p
s H s G s s s
s
+= = >
Rezult c sistemul n bucl deschis este instabil.
( ) ( ) ( ) ( ){ }( ) ( ){ }
2 2
2
1 1Re ,
4 4
Im4
jH j G j H j G j
H j G j
+= =
+
= +
( ) ( ){ }Re H j G j ( ) ( ){ }Im H j G j 0 -1-4 0
1 -1/5 -1/5
0 0
Sistemul este stabil pentru
1 1
0 4 si 0 44 k k kk < < > > > .
i. ( ) ( ) { }1,2 1,221
1 Re 02 2
p p H s G s s j ss s
= =
> >
=0=
= 2
Sensul nu e antiorar