Download - Modeliranje i simulacija
MODELIRANJE I
SIMULACIJA
Eksperiment i teorija
U osnovi svih fizičko-tehničkih nauka ležeeksperimenti i merenja.
Na osnovu merenja vršenih u nekomeksperimentu, na nekom realnom fizičkomobjektu, postuliraju se izvesni zakoni, na kojima segradi teorija.
Zadatak teorije je da predvidi rezultate koji sepotvrđuju novim eksperimentima.
Fizički sistemi i procesi
Sistem u kome se dešava neka složena fizička
pojava (jedan ili, najčešće, više fizičkih procesa)
nazivamo fizički sistem.
Fizički sistem sastoji se od elemenata.
Originali i modeli
Pod objektom podrazumevamo različite fizičkesisteme i procese.
Ako se između dva objekta može ustanovitisličnost u bilo kakvom određenom smislu, tadaizmeđu njih postoji odnos originala i modela.
Najvažnija sličnost je sličnost njihovih ponašanja.
Šta je to model?
U najopštijem smislu model je pojednostavljeni pogled na
stvarnost
Formalno se može definisati i kao opis ili specifikacija
sistema i njegovog okruženja za neku određenu svrhu.
Analitički i sintetički model
Analitički
model
Sintetički
model
Fizički sistem Fizički sistem
Ap
str
akcija
Re
aliz
acija
Pro
sto
r
mo
de
laR
ea
lno
st
Modeliranje i simulacija
Proces izgradnje modela naziva se modeliranje ilimodelovanje (Br. Engl. Modelling, Am. Engl.Modeling).
Korišćenje modela za određivanje očekivanogponašanja sistema naziva se simulacija.
Model i simulacija
Stanje i prostor stanja
sistema
Stanje sistema predstavlja skup vrednosti veličinakoje određuju njegovo ponašanje.
Moguće je različito prikazivanje stanja sistema:npr. analitičko (X1, X2, X3,...), grafičko, tabelarno,...
Prostor u kome se svako stanje prikazujeodređenom tačkom naziva se prostor stanjasistema, ili jednostavnije, prostor stanja.
Prostor stanja
Prostor stanja je n-dimenzioni prostor(hiperprostor). Svako stanje predstavlja tačku (X1,X2, X3,... Xn), u prostoru stanja. Ova tačka se nazivareprezentativna tačka, a promenljive X1, X2, X3,...Xn se nazivaju koordinate sistema. Ponekad sekaže i da “vrh” reprezentativne tačke određujevektor stanja sistema (X1, X2, X3,... Xn) a dimenzija nstepen slobode sistema .
Diskretni i kontinualni prostor
stanja
Oblast prostora stanja u kojoj se može nalazitireprezentativna tačka naziva se oblast dopuštenih stanja.
Ako svaka tačka u oblasti dopuštenog stanja može bitireprezentativna, onda je prostor stanja neprekidan(kontinualan), u suprotnom on je diskretan.
Ulazne veličine sistema
Promena stanja sistema naziva se kretanje
sistema, i ono može da nastane kako pod
uticajem spoljašnjih dejstava, tako i kao rezultat
procesa koji se odvijaju unutar samog sistema.
Spoljašnja dejstva koja izazivaju kretanje sistema
nazivaju se ulazne veličine (ulazna dejstva, ili,najjednostavnije, ulazi) sistema.
Dejstvo sistema na okolnu sredinu karakterišu vrednosti
pro-menljivih koje se nazivaju izlazne veličine (izlazna
dejstva, ili, najjednostavnije, izlazi) sistema.
Izlazne veličine sistema
Sistem čije je unutrašnje uređenje nepoznato za
spoljašnjeg posmatrača (tj. poznate su samo ulazne i
izlazne veličine) naziva se crna kutija.
Model crne kutije
Izomorfni sistemi i
homomorfni model
Sistemi koje karakterišu jednaki skupovi
ulaznih i izlaznih veličina i jednaka
promena izlaznih veličina pri jednakoj
promeni ulaznih veličina nazivaju se
izomorfni sistemi.
Sistem B dobijen od polaznog sistema A
njegovim uprošćavanjem (npr.
smanjivanjem broja koordinata, ili
grubljom procenom njihovih vrednosti)
naziva se homomorfni model sistema A.
Fizičko i matematičko
modelovanje
Fizičko modelovanje polazi od istovetnostifizičke prirode (tj. ulaznih i izlaznih veličina)objekta i modela, s tim da je običnomodel manje srazmere od originala.
Opis sistema nekim formalnim jezikomnaziva se matematički model (poštomatema-tički opis ne može biti idealnotačan, matematički modeli ne opisujurealne sisteme već njihove homomorfnemodele).
Analogni modeli
Matematički modeli najčešće predstavljaju jednu
jednačinu ili sistem jednačina. Jednačine mogu
biti algebarske, diferencne, obične i parcijalne
diferencijalne, integralne, ...
Matematički modeli istog oblika a različite fizičke
prirode nazivaju se analogni modeli.
Analogni modeli koji će se
proučavati:
Mehanički sistemi (kretanje čvrstih tela);
Fluidni sistemi (hidraulični sistemi – kretanjetečnosti, pneumatski sistemi – kretanje gasova);
Termički sistemi (prenos toplotne energije);
Električni sistemi (prenos naelektrisanja).
Klasifikacija matematičkih
modela
Prema prirodi promenljivih veličina mogu biti:
deterministički (promenljive nisu slučajne veličine);
stohastički (promenljive jesu slučajne veličine).
Klasifikacija matematičkih
modela
Prema prirodi jednačina:
diskretni (jednačine su algebarske ili obične
diferencijalno-integralne);
raspodeljeni (parcijalne diferencijalne jednačine).
Klasifikacija matematičkih
modela
Prema obliku jednačina:
linearni (važi princip superpozicije);
nelinearni (ne važi princip superpozicije).
Klasifikacija matematičkih
modela
Prema promenama u vremenu:
statički (promenljive ne zavise od vremena – upitanju su algebarske jednačine);
dinamički (promenljive su vremenski promenljive,opisane su diferencijalnim jednačinama); onimogu biti:
stacionarni (ne zavise eksplicitno od vremena);
nestacionarni (zavise eksplicitno od vremena).
Klasifikacija matematičkih
modela
Prema obliku rešenja za fizičke veličine:
analitički (do rešenja se dolazi preko poznatih
funkcija);
numerički (do rešenja se dolazi numeričkim postupcima).