Facultad de Ciencias EconómicasCentro de Investigaciones para el Desarrollo - CIDSede Bogotá
Escuela de Economía
Junio de 2021
Documentos
117FCE - CID
Nº
Modelos de equilibrio general en Excel®: un modelo de intercambio puro
Introducing General Equilibrium Models in Excel®
GUSTAVO HERNÁNDEZ
Documentos FCE-CID Escuela de Economía N.° 117
Junio 2021
Universidad Nacional de Colombia Sede Bogotá - Facultad de Ciencias Económicas
Pági
na 2
MODELOS DE EQUILIBRIO GENERAL EN EXCEL®: UN MODELO DE
INTERCAMBIO PURO
Gustavo Hernández∗
Resumen
Al enseñar los modelos de equilibrio general los libros de texto de microeconomía se centran
en las ideas que se pueden extraer del diagrama de Edgeworth para el intercambio. Las
herramientas necesarias para analizar matemáticamente los modelos de equilibrio general
abruman a muchos estudiantes menos a algunos que las han desarrollado a lo largo de su
educación básica. Aquí se ofrece una alternativa que, sin dejar de ser rigurosa, puede ayudar a
que muchos más estudiantes puedan comprender los aspectos conceptuales de esta clase de
modelos. Para esto se desarrolla un modelo de equilibrio general de intercambio puro, el cual
es resuelto explícitamente, para luego ser desarrollado en una hoja de cálculo. De esta manera,
al cambiar los parámetros y variables exógenas del modelo se pueden explicar y profundizar
diferentes aspectos de esta clase de modelos, sin que el estudiante llegue a perderse en
problemáticos desarrollos algebraicos.
Palabras clave: Equilibrio general, modelos económicos, modelos de equilibrio general
computable.
Clasificación JEL: A22, C61, D58.
∗ El autor es profesor de la facultad de Ciencias Económicas de la Universidad Nacional de Colombia. Se agradecen los comentarios realizados en el V encuentro nacional virtual de profesores de economía. Los comentarios y errores son responsabilidad del autor y no comprometen a la institución en que trabaja. [email protected]
Gustavo Hernández
Universidad Nacional de Colombia Sede Bogotá - Facultad de Ciencias Económicas
Pági
na 3
INTRODUCING GENERAL EQUILIBRIUM MODELS IN EXCEL®
Abstract
In teaching general equilibrium models, microeconomics textbooks focus on ideas that can be
drawn from the Edgeworth diagram for the exchange. The tools needed to mathematically
analyze general equilibrium models overwhelm far fewer students than some who have
developed them throughout their basic education. Here is an alternative that, while remaining
rigorous, can help many more students to understand the conceptual aspects of this class of
models. For this, a general equilibrium model of pure exchange is developed, which is explicitly
solved, to later be developed in a spreadsheet. In this way, by changing the parameters and
exogenous variables of the model, different aspects of this class of models can be explained
and deepened, without the student getting lost in problematic algebraic developments.
Key words: General equilibrium, economic models, computable general equilibrium
JEL Classification: A22, C61, D58.
La serie Documentos FCE considera para publicación manuscritos
originales de estudiantes de maestría o doctorado, de docentes y de
investigadores de la Facultad de Ciencias Económicas de la Universidad
Nacional de Colombia; resultado del trabajo colectivo o individual y que
hayan sido propuestos, programados, producidos y evaluados en una
asignatura, en un grupo de investigación o en otra instancia académica.
D O C U M E N T O S F C E - C I D E S C U E L A D E E C O N O M Í A
Este documento puede ser reproducido citando la fuente. El contenido y la forma del presente material es responsabilidad exclusiva de sus autores y no compromete de ninguna manera a la Escuela de Economía, ni a la Facultad de Ciencias Económicas, ni a la Universidad Nacional de Colombia.
Director Centro Editorial-FCEÁlvaro Zerda Sarmiento
Equipo Centro Editorial-FCENadeyda Suárez MoralesMarisol Del Rosario VallejoYuly Rocío Orjuela Rozo
Centro Editorial [email protected]
RectoraDolly Montoya Castaño
Vicerector GeneralPablo Enrique Abril Contreras
FACULTAD DE CIENCIAS ECONÓMICAS
DecanoJorge Armando Rodríguez
Vicedecano Germán Enrique Nova Caldas
ESCUELA DE ECONOMÍA
DirectoraNancy Milena Hoyos Gómez
Coordinador Área Curricular de Economía y Desarrollo
Diego Alejandro Guevara Castañeda
CENTRO DE INVESTIGACIONES PARA EL DESARROLLO CID
DirectorFrancesco Bogliacino
SubdirectoraVilma Narváez
La serie Documentos FCE-CID puede ser consultada en el portal virtual:www.http://fce.unal.edu.co/centro-editorial/documentos.html
ISSN 2011-6322
Gustavo Hernández
Universidad Nacional de Colombia Sede Bogotá - Facultad de Ciencias Económicas
Pági
na 5
Contenido
1. Introducción ............................................................................................................................ 6
2. Modelo básico de intercambio puro ....................................................................................... 7
2.1. Algoritmo de solución del modelo ................................................................................. 7
2.2. Implementación computacional del modelo ................................................................. 9
3. El modelo de intercambio puro en Excel ® .......................................................................... 11
4. Comentarios finales .............................................................................................................. 17
5. Referencias ............................................................................................................................ 18
6. Anexo. Cálculo de la variación equivalente y compensada ................................................. 19
Documentos FCE-CID Escuela de Economía N.° 117
Junio 2021
Universidad Nacional de Colombia Sede Bogotá - Facultad de Ciencias Económicas
Pági
na 6
1. Introducción
En los cursos de microeconomía intermedia y avanzados uno de los modelos básicos que se
enseñan son los de equilibrio general, los cuales fueron desarrollados por Kenneth Arrow,
Gerard Debreu, Frank Hahn y otros en la década de 1950. Su aplicación empírica se dio a partir
del algoritmo construido por Scarf (1967), que fue luego desarrollado en un modelo de
equilibrio general aplicado por Johansen en 1960, sin embargo, su aplicación a gran escala fue
implementada por Shoven y Whalley (1973, 1974).
Ahora bien, al enseñar este tipo de modelos, de forma abstracta y con las demostraciones que
esto conlleva, puede llevar a que los estudiantes no puedan comprender fácilmente la
estructura de tales modelos, ya que en algunas ocasiones las habilidades analíticas en
matemáticas pueden ser altamente demandantes. Una forma de que los alumnos tengan una
mayor comprensión de esta clase de modelos es mediante la implementación de modelos
sencillos que pueden ser resueltos con lápiz y papel y luego llevarlos a un software de
optimización, para hacer distintas clases de simulaciones con ellos. Para mantener la
simplicidad y no perder el enfoque al utilizar un software especializado, donde GAMS® es el
más utilizado para esta clase de modelos, aquí los modelos construidos se hacen de tal manera
que se pueda utilizar una hoja de cálculo particularmente la de Excel®, dada su popularidad y
amplia difusión1.
El propósito de este documento es proporcionar algunos ejemplos básicos de modelos de
intercambio puro, los cuales pueden resolverse con lápiz y papel, y mostrar cómo se traduce
fácilmente a un modelo de simulación numérica computable. De esta manera, el artículo llega
a ser pedagógico y metodológico. Aquí no se pretende ofrecer ideas o resultados teóricos
originales, sino mostrar cómo herramientas existentes son utilizadas y los resultados
matemáticos se combinan para producir un marco de modelación simple, claro y consistente.
1 El uso de Excel® como herramienta para enseñar economía ha estado creciendo en los últimos años, en el caso de modelos de equilibrio general se han hecho varios trabajos como el de Nicholson y Westhoff (2009), Peng (2009) y Barreto (2020).
Gustavo Hernández
Universidad Nacional de Colombia Sede Bogotá - Facultad de Ciencias Económicas
Pági
na 7
2. Modelo básico de intercambio puro2
Uno de los modelos básicos de equilibrio general es el modelo de intercambio puro. En este
caso, hay m mercancías (m = 1, 2, …, M), donde a cada una de ellas se le puede asociar un
precio positivo 𝑃𝑃𝑚𝑚 ≥ 0. Adicionalmente, cada uno de los consumidores es dueño de 𝑤𝑤𝑚𝑚ℎ , la
cual es una cantidad no-negativa de la mercancía m para el hogar h, estas son conocidas como
las dotaciones iniciales de los agentes. Tenemos que las funciones de demanda por parte de
cada uno de los agentes son 𝐶𝐶𝑚𝑚ℎ (𝑃𝑃1,𝑃𝑃2,⋯ ,𝑃𝑃𝑀𝑀,𝑤𝑤𝑚𝑚ℎ ), las cuales son no-negativas, continuas y
homogéneas de grado cero en los precios, donde 𝐶𝐶𝑚𝑚ℎ es el consumo del hogar h de la mercancía
m.
Un aspecto clave delo modelo es que el valor de las demandas de mercado debe ser igual al
valor de las dotaciones de mercancías que hay en la economía, las cuales pueden ser
intercambiadas. A esto se le conoce como la ley de Walras:
𝑃𝑃𝑚𝑚 ∑ 𝐶𝐶𝑚𝑚ℎ (𝑃𝑃1,𝑃𝑃2,⋯ ,𝑃𝑃𝑀𝑀)𝐻𝐻ℎ=1 = 𝑃𝑃𝑚𝑚 ∑ 𝑤𝑤𝑚𝑚ℎ𝐻𝐻
ℎ=1 (1)
Luego, el valor de los excesos de demanda de los mercados debe ser igual a cero para todos los
precios
𝑃𝑃𝑚𝑚(∑ 𝐶𝐶𝑚𝑚ℎ (𝑃𝑃1,𝑃𝑃2,⋯ ,𝑃𝑃𝑀𝑀)𝐻𝐻ℎ=1 − 𝑤𝑤𝑚𝑚ℎ ) = 0 (2)
Esta condición se mantiene para un conjunto de precios, sean o no los de equilibrio. Un
equilibrio general es un conjunto de precios Pm*, tal que:
∑ 𝐶𝐶𝑚𝑚ℎ (𝑃𝑃1∗,𝑃𝑃2∗,⋯ ,𝑃𝑃𝑀𝑀∗ )𝐻𝐻ℎ=1 − 𝑤𝑤𝑚𝑚ℎ ≤ 0 (3)
Con la igualdad en (3) y si 𝑃𝑃𝑀𝑀∗ > 0, los precios de equilibrio vacían los mercados.
2.1. Algoritmo de solución del modelo
Para solucionar este modelo de intercambio puro tomemos el sistema de ecuaciones
previamente descrito por (3), que es resuelto por los precios de las mercancías, siguiendo los
siguientes pasos:
2 Se sigue la notación de Shoven y Whalley (1992).
Documentos FCE-CID Escuela de Economía N.° 117
Junio 2021
Universidad Nacional de Colombia Sede Bogotá - Facultad de Ciencias Económicas
Pági
na 8
Se construyen los excesos de demanda de las mercancías:
∑ 𝐶𝐶𝑚𝑚ℎ (𝑃𝑃1,𝑃𝑃2⋯ ,𝑃𝑃𝑚𝑚)𝐻𝐻ℎ=1 − 𝑤𝑤𝑚𝑚ℎ = 0
A partir de los excesos de demanda, sistema de ecuaciones, se encuentran los precios de
equilibrio 𝑃𝑃𝑚𝑚∗ .
Finalmente, se obtienen las cantidades óptimas demandadas por los hogares,
𝐶𝐶𝑚𝑚ℎ (𝑃𝑃1∗,𝑃𝑃2∗,⋯ ,𝑃𝑃𝑚𝑚∗ ).
Supongamos una economía con dos agentes y dos mercancías, las cuales tienen unas
preferencias descritas por la siguiente función de utilidad para los agentes:
𝑈𝑈ℎ�𝐶𝐶1ℎ,𝐶𝐶2ℎ� = �𝐶𝐶1ℎ𝐶𝐶2ℎ. Adicionalmente, supongamos unas dotaciones iniciales de la
siguiente forma: 𝑤𝑤11 = 6, 𝑤𝑤21 = 2, 𝑤𝑤12 = 4, 𝑤𝑤22 = 83F
3. Siguiendo los pasos descritos
anteriormente por el algoritmo, se puede encontrar los precios de las mercancías y las
cantidades de intercambio de equilibrio que son una solución al modelo.
Recordemos que en el caso de una función de utilidad Cobb-Douglas, la demanda se puede
escribir como:
𝐶𝐶𝑚𝑚ℎ = 𝛼𝛼𝑚𝑚ℎ ∑ 𝑃𝑃𝑚𝑚𝑤𝑤𝑚𝑚ℎ𝑀𝑀𝑚𝑚=1
𝑃𝑃𝑚𝑚∑ 𝛼𝛼𝑚𝑚ℎ2𝑚𝑚=1
(4)
Donde las funciones de demanda para consumidor son
�𝐶𝐶11 = 6𝑃𝑃1+2𝑃𝑃2
2𝑃𝑃1𝐶𝐶21 = 6𝑃𝑃1+2𝑃𝑃2
2𝑃𝑃2
𝐶𝐶12 = 4𝑃𝑃1+8𝑃𝑃22𝑃𝑃1
𝐶𝐶22 = 4𝑃𝑃1+8𝑃𝑃22𝑃𝑃2
Entonces, los excesos de demanda son
�
6𝑃𝑃1+2𝑃𝑃22𝑃𝑃1
+ 4𝑃𝑃1+8𝑃𝑃22𝑃𝑃1
− 10 = 06𝑃𝑃1+2𝑃𝑃22𝑃𝑃2
+ 4𝑃𝑃1+8𝑃𝑃22𝑃𝑃2
− 10 = 0 (5)
3 En estos casos los ingresos de los agentes están dados por: 𝑦𝑦ℎ = ∑ 𝑃𝑃𝑚𝑚𝑤𝑤𝑚𝑚ℎ𝑀𝑀
𝑚𝑚=1
Gustavo Hernández
Universidad Nacional de Colombia Sede Bogotá - Facultad de Ciencias Económicas
Pági
na 9
Para encontrar una solución a este problema se puede resolver solamente una de las dos
ecuaciones4, por lo cual 𝑃𝑃1 = 2 − 𝑃𝑃2. Tomando como numerario P1, lo cual implica que: i)
todos los precios toman como referencia a este precio y ii) su valor es igual a uno. Entonces,
las cantidades demandadas son 𝐶𝐶11 = 4, 𝐶𝐶21 = 4, 𝐶𝐶12 = 6, 𝐶𝐶22 = 6. En otras palabras, el hogar
uno decidió intercambiar dos unidades de la mercancía uno para obtener dos unidades más de
la mercancía dos, mientras que el hogar 2 hizo lo contrario.
2.2. Implementación computacional del modelo
En la anterior sección se mostró como solucionar mediante lápiz y papel, ahora se desarrolla el
mismo algoritmo de forma explícita en Excel®5. Como señala Hernández (2020) para la
construcción de este tipo de modelo se tiene: una estructura analítica, una estructura funcional
y una estructura numérica. Las cuales son desarrolladas a continuación.
En el Cuadro 1 se presenta de forma analítica las ecuaciones básicas del modelo de intercambio
puro. Como se puede observar existen dos bloques de ecuaciones: i) el mercado de bienes, que
contiene las demandas y la condición de equilibrio del mercado, y ii) los ingresos de los
hogares. Note que esta última ecuación puede resultar redundante, ya que puede ser omitida
y reemplazada de manera explícita en las funciones de demanda, como una función de las
variables de precios y dotaciones iniciales.
Cuadro 1. Ecuaciones del modelo de intercambio puro
Mercado de Bienes
Demanda 𝐶𝐶𝑚𝑚ℎ = 𝐶𝐶𝑚𝑚ℎ (𝑃𝑃1,𝑃𝑃2,⋯ ,𝑃𝑃𝑚𝑚,𝑦𝑦ℎ)
Vaciamiento del mercado ∑ 𝐶𝐶𝑚𝑚ℎ (𝑃𝑃1,𝑃𝑃2⋯ ,𝑃𝑃𝑚𝑚) − 𝑤𝑤𝑚𝑚ℎ𝐻𝐻ℎ=1 = 0
Tomado como base el sistema de ecuaciones descrito en el Cuadro 1, hay 2ℎ + 2𝑚𝑚 número
de ecuaciones con 𝐶𝐶𝑚𝑚ℎ , 𝑦𝑦ℎ, 𝑃𝑃𝑚𝑚, variables endógenas (2ℎ + 2𝑚𝑚), esto es, un sistema de igual
número de ecuaciones que de incógnitas. En este caso, una de las ecuaciones es linealmente
4 Recuerde que si 𝑚𝑚 − 1 mercados están equilibrio entonces el último mercado está en equilibrio. 5 En el siguiente enlace se puede obtener el archivo en Excel® del modelo: Modelo GE .
Documentos FCE-CID Escuela de Economía N.° 117
Junio 2021
Universidad Nacional de Colombia Sede Bogotá - Facultad de Ciencias Económicas
Pági
na 1
0
dependiente de la otra, entonces se reduce el número de incógnitas al tomar uno de los precios
como numerario, por lo cual se deben de solucionar un sistema de 2ℎ + 2𝑚𝑚 – 1 ecuaciones.
Siguiendo con el anterior ejemplo, podemos obtener la forma funcional de las ecuaciones para
la construcción del modelo de intercambio puro. En este caso, hay dos consumidores (ℎ =
𝐴𝐴,𝐵𝐵) que consumen dos mercancías (𝑚𝑚 = 1, 2), donde para cada consumidor tiene una
dotación inicial de 𝑤𝑤𝑚𝑚ℎ de cada una de las mercancías y unas preferencias de tipo Cobb-Douglas
para ambos consumidores.
Las ecuaciones en forma funcional para el modelo se presentan en el Cuadro 2. Al tener las
ecuaciones de esta manera, estas pueden ser escritas, de acuerdo con el lenguaje de
programación que se quiera utilizar. Adicionalmente, al tener las ecuaciones de esta forma, se
puede resolver el modelo bajo diferentes valores de los parámetros o variables exógenas sin
perder generalidad.
Cuadro 2. Formas funcionales del modelo de intercambio puro
Mercado de Bienes
Demanda
𝐶𝐶1𝐴𝐴 = 𝛼𝛼1𝐴𝐴𝑦𝑦𝐴𝐴
𝑃𝑃1�𝛼𝛼1𝐴𝐴+𝛼𝛼2𝐴𝐴� 𝐶𝐶2𝐴𝐴 = 𝛼𝛼2𝐴𝐴𝑦𝑦𝐴𝐴
𝑃𝑃2�𝛼𝛼1𝐴𝐴+𝛼𝛼2𝐴𝐴�
𝐶𝐶1𝐵𝐵 = 𝛼𝛼1𝐵𝐵𝑦𝑦𝐵𝐵
𝑃𝑃1�𝛼𝛼1𝐵𝐵+𝛼𝛼2𝐵𝐵� 𝐶𝐶2𝐵𝐵 = 𝛼𝛼2𝐵𝐵𝑦𝑦𝐵𝐵
𝑃𝑃2�𝛼𝛼1𝐵𝐵+𝛼𝛼2𝐵𝐵�
Vaciamiento del mercado 𝐶𝐶1𝐴𝐴 + 𝐶𝐶1𝐵𝐵 = 𝑤𝑤1𝐴𝐴 + 𝑤𝑤1𝐵𝐵
𝐶𝐶2𝐴𝐴 + 𝐶𝐶2𝐵𝐵 = 𝑤𝑤2𝐴𝐴 + 𝑤𝑤2𝐵𝐵
Finalmente, la forma numérica del modelo se obtiene al reemplazar los parámetros y variables
exógenas con valores explícitos, en este caso los parámetros son las participaciones en el
consumo de cada una de las mercancías para cada hogar, 𝛼𝛼𝑚𝑚ℎ , y las variables exógenas son las
dotaciones iniciales, 𝑤𝑤𝑚𝑚ℎ . Del ejemplo anterior, encontramos que los valores de los parámetros
son: 𝛼𝛼1𝐴𝐴 = 𝛼𝛼2𝐴𝐴 = 𝛼𝛼1𝐵𝐵 = 𝛼𝛼2𝐵𝐵 = 0,5; y las variables exógenas son 𝑤𝑤1𝐴𝐴 = 6, 𝑤𝑤2𝐴𝐴 = 2, 𝑤𝑤1𝐵𝐵 = 4,
𝑤𝑤2𝐵𝐵 = 8, con lo cual tenemos que las ecuaciones del modelo
Gustavo Hernández
Universidad Nacional de Colombia Sede Bogotá - Facultad de Ciencias Económicas
Pági
na 1
1
Cuadro 3. Ecuaciones numéricas del modelo de intercambio puro
Mercado de Bienes
Demanda
𝐶𝐶1𝐴𝐴 = 𝑦𝑦𝐴𝐴
2𝑃𝑃1 𝐶𝐶2𝐴𝐴 = 𝑦𝑦𝐴𝐴
2𝑃𝑃2
𝐶𝐶1𝐵𝐵 = 𝑦𝑦𝐵𝐵
2𝑃𝑃1 𝐶𝐶2𝐵𝐵 = 𝑦𝑦𝐵𝐵
2𝑃𝑃2
Vaciamiento del mercado 𝐶𝐶1𝐵𝐵 + 𝐶𝐶1𝐵𝐵 = 8
𝐶𝐶2𝐵𝐵 + 𝐶𝐶2𝐵𝐵 = 12
Estas ecuaciones pueden ser introducidas a una hoja de cálculo en Excel® y ser solucionado el
sistema de ecuaciones bajo la opción de buscar objetivo, encontrando otra vez que los valores
de los precios son 𝑃𝑃1 = 𝑃𝑃2 = 1 y las cantidades óptimas iguales a 𝐶𝐶11 = 4, 𝐶𝐶21 = 4, 𝐶𝐶12 = 6 y
𝐶𝐶22 = 6.
3. El modelo de intercambio puro en Excel ®
En la anterior sección se tienen las ecuaciones del modelo de intercambio puro (Cuadro 3) en
esta sección se procede a mostrar la implementación de estas ecuaciones en Excel®. Para
realizar esto se procede a colocar los parámetros relevantes en una hoja del libro de Excel®,
los cuales equivalen a los valores de las participaciones en el en consumo, 𝛼𝛼𝑚𝑚ℎ , y las dotaciones
iniciales, 𝑤𝑤𝑚𝑚ℎ (Cuadro 4).
Cuadro 4. Parámetros del modelo de intercambio puro
Luego se procede a escribir las ecuaciones del modelo de manera que refleje en primer lugar
las decisiones de consumo de cada uno de los individuos, para luego mostrar las dotaciones de
αA 0,5βA 0,5αB 0,5βB 0,5
w1A 6,0
w2A 2,0
w1B 4,0
w2B 8,0
Documentos FCE-CID Escuela de Economía N.° 117
Junio 2021
Universidad Nacional de Colombia Sede Bogotá - Facultad de Ciencias Económicas
Pági
na 1
2
la economía, y finalmente enfatizar en la ley de walras (Cuadro 5). Observe que la escritura de
las ecuaciones se hace de tal manera que no se hace referencia a celdas, sino que estas son
nombradas de tal manera que son muy parecidas a las que se observan en el Cuadro 26.
Cuadro 5. Ecuaciones del modelo de intercambio puro
Observe que, los precios no tienen una ecuación explicita, ya que estos son dados
exógenamente. Lo que se hace inicialmente es colocar un valor cualquiera para los precios,
luego al principio no se vacía el mercado, como se aprecia en el Cuadro 6. Se colocaron unos
precios de 𝑃𝑃1 = 2 y 𝑃𝑃2 = 3, lo cual implica que los consumos son 𝐶𝐶1𝐴𝐴 = 4,5, 𝐶𝐶2𝐴𝐴 = 3, 𝐶𝐶1𝐵𝐵 = 8
y 𝐶𝐶2𝐵𝐵 = 5,3, lo cual implica que los excesos de demanda son diferentes a cero.
6 Se podrían colocar las ecuaciones de acuerdo con las ecuaciones que aparecen en el Cuadro 3. No se hace de esta manera porque estas ecuaciones se refieren a unos parámetros particulares al ejercicio que se ha desarrollado. La idea detrás de colocar las ecuaciones de la forma que aparecen en el Cuadro 2 es construir el modelo de la forma más general posible, para poder luego hacer cambios en los parámetros o variables exógenas del modelo y observar cómo cambian los resultados.
Demanda de la persona A
UA =+(c_1_a^alpha_a)*(c_2_a^beta_a)C1
A =(alpha_a*y_a)/((alpha_a+beta_a)*p_1)
C2A =(beta_a*y_a)/((alpha_a+beta_a)*p_2)
yA =+p_1*w_1_a+p_2*w_2_a
Demanda de la persona B
UB =+(c_1_b^alpha_b)*(c_2_b^beta_b)C1
B =(alpha_b*y_b)/((alpha_b+beta_b)*p_1)
C2B =(beta_b*y_b)/((alpha_b+beta_b)*p_2)
yB =+p_1*w_1_b+p_2*w_2_b
Dotaciones iniciales de la economía
w1 =+w_1_a+w_1_bw2 =+w_2_a+w_2_b
Ley de Walras
Exceso de demanda del Bien 1 =+p_1*((c_1_a-w_1_a)+(c_1_b-w_1_b))Exceso de demanda del Bien 2 =+p_2*((c_2_a-w_2_a)+(c_2_b-w_2_b))
Gustavo Hernández
Universidad Nacional de Colombia Sede Bogotá - Facultad de Ciencias Económicas
Pági
na 1
3
Cuadro 6. Resultados iniciales del modelo
Para lograr encontrar el equilibrio para este modelo de intercambio puro, se va a utilizar la
herramienta de Solver de Excel®, el cual para buscar un valor óptimo en una celda (celda
objetivo), cambia otras celdas que estén relacionadas directa e indirectamente con la celda
objetivo. Para utilizar esta herramienta se traduce lo que se mencionó del algoritmo de
intercambio puro, descrito anteriormente, en las diferentes opciones que presenta esta
herramienta de Excel®.
Variables exógenas del modelo
P1 2,0P2 3,0
Ecuaciones del Modelo
Demanda de la persona A
UA 3,7C1
A 4,5
C2A 3,0
yA 18,0
Demanda de la persona B
UB 6,5C1
B 8,0
C2B 5,3
yB 32,0
Dotaciones iniciales de la economía
w1 10,0w2 10,0
Ley de Walras
Exceso de demanda del Bien 1 5,0Exceso de demanda del Bien 2 -5,0
Documentos FCE-CID Escuela de Economía N.° 117
Junio 2021
Universidad Nacional de Colombia Sede Bogotá - Facultad de Ciencias Económicas
Pági
na 1
4
Como se aprecia en la figura 1 el Solver de Excel® tiene diferentes opciones7. Para resolver el
problema se tiene que resolver una de las dos ecuaciones que van a limpiar los mercados (si
𝑚𝑚 − 1 mercados están equilibrio entonces el último mercado está en equilibrio), luego en la
opción “establecer objetivo” se coloca la celda de alguna de las dos ecuaciones que se hacen
referencia a la ley de walras8. Aquí se colocó la ecuación que hace referencia al vaciamiento del
mercado del bien 1 (z_1)9. Luego, en la opción “Para” no se quiere maximizar (“Máx”) o
minimizar (“Mín”), sino que la ecuación sea igual a cero, entonces en “Valor de” se coloca el
valor de cero.
Figura 1. Solver para el modelo de intercambio puro
7 Para más detalles consulte la ayuda de Excel® para Solver. 8 Se ha nombrado la celda que hace referencia al vaciamiento del mercado del bien 1 como z_1 y para el vaciamiento del mercado del bien 2 como z_2. 9 También se podría haber colocado el vaciamiento del mercado del bien 2. Cualquiera de los dos da como resultado la misma solución, como cuando se escoge que ecuación en el sistema de ecuaciones descrito por (5).
Gustavo Hernández
Universidad Nacional de Colombia Sede Bogotá - Facultad de Ciencias Económicas
Pági
na 1
5
Al resolver el modelo se encuentra que todas las variables quedan en términos de los precios,
luego los precios son resueltos para encontrar los valores que vacían los mercados. En el
modelo computacional, en la opción “Cambiando las celdas de las variables” se colocan las
celdas donde están los valores de los precios10 para que estas varíen hasta encontrar los precios
que hacen que las celdas asociadas a las ecuaciones de vaciamiento del mercado son iguales a
cero, lo cual es equivalente a los precios encontrados al resolver el sistema de ecuaciones
descrito por (5).
De otra parte, hay que recordar que para resolver el sistema de ecuaciones descrito por (5), se
escogió un numerario. En la opción “Sujeto a las restricciones” entonces se puede colocar
algunos de los precios como el numerario, en este caso se colocó que el precio de bien 2 (p_2)
fuera el numerario. Adicionalmente, es esta opción se podría restringir a que los precios y
cantidades fueran no negativos, en este caso como ejemplo se colocó que el precio del bien 1
como no negativo o se podría marcar la opción “convertir variables sin restricciones en no
negativas”. Después de tener en cuenta todas las especificaciones del Solver, se procede a
resolver el sistema al dar clic en “Resolver” y aceptar la solución que salga de este.
En el Cuadro 7 se presenta la solución del modelo, que como se puede apreciar es la misma
que se encontró cuando se resolvió el modelo con lápiz y papel. Además de encontrar los
valores de equilibrio, también se puede empezar a construir distinto tipos de indicadores. Aquí
se presenta el cálculo de la variación equivalente y compensada, que son las medidas de
bienestar más usadas.
En el Anexo se presenta la definición y cálculo, tanto de la variación equivalente como de la
variación compensada. A continuación, se presenta el computo de estos indicadores de
bienestar en el caso de que hay unos precios dados pero que no son de equilibrio con respecto
al caso en que se encuentran los precios que vacían los mercados.
10 Las cuales han sido nombradas: p_1, para el precio del bien 1 y p_2, para el precio del bien 2.
Documentos FCE-CID Escuela de Economía N.° 117
Junio 2021
Universidad Nacional de Colombia Sede Bogotá - Facultad de Ciencias Económicas
Pági
na 1
6
Cuadro 7. Equilibrio de intercambio puro para el modelo
Se considera que la situación inicial es cuando no hay intercambio la cual se presenta en el
Cuadro 6. Esto es, los precios son 𝑃𝑃1 = 2 y 𝑃𝑃2 = 3, y las cantidades demandas con distintas
(𝐶𝐶1 = 12,5 y 𝐶𝐶2 = 8,3) a las dotaciones iniciales (𝑤𝑤1 = 10 y 𝑤𝑤2 = 10). Luego, existen
incentivos para intercambiar, en el mercado del bien 1 hay un exceso de demanda, luego alguno
de los consumidores no podrá satisfacer óptimamente su demanda, y en el mercado del bien 2
hay un exceso de oferta, entonces hay un desperdicio de recursos.
Variables exógenas del modelo
P1 1,0P2 1,0
Ecuaciones del Modelo
Demanda de la persona A
UA 4,0C1
A 4,0
C2A 4,0
yA 8,0
Demanda de la persona B
UB 6,0C1
B 6,0
C2B 6,0
yB 12,0
Dotaciones iniciales de la economía
w1 10,0w2 10,0
Ley de Walras
Exceso de demanda del Bien 1 0,0Exceso de demanda del Bien 2 0,0
Gustavo Hernández
Universidad Nacional de Colombia Sede Bogotá - Facultad de Ciencias Económicas
Pági
na 1
7
De otra parte, hay una situación final, en la cual se llega a un equilibrio, esto es, los mercados
se vacían. La cual se muestra en el Cuadro 7, donde los precios son 𝑃𝑃1 = 1 y 𝑃𝑃2 = 1, y las
cantidades demandas son 𝐶𝐶1 = 10 y 𝐶𝐶2 = 10, iguales a sus dotaciones iniciales. Con toda esta
información es posible encontrar cuales son los “ganadores” y “perdedores” del intercambio,
al calcular la variación equivalente o compensada.
A partir de A.6, se tiene que las variaciones equivalentes para los consumidores son:
𝐸𝐸𝐸𝐸𝐴𝐴 = 8 �21�12 �3
1�12 − 18 ≈ 1,60
𝐸𝐸𝐸𝐸𝐵𝐵 = 12 �21�12 �3
1�12 − 32 ≈ −2,61
A partir de A.8, se tiene que las variaciones compensadas para los consumidores son:
𝐶𝐶𝐸𝐸𝐴𝐴 = 8 − 18 �12�12 �1
3�12 ≈ 0,65
𝐶𝐶𝐸𝐸𝐵𝐵 = 12 − 32 �12�12 �1
3�12 ≈ −1,06
Esto implica que para el consumidor A hay ganancias al intercambiar ya que debe sacrificar
menos de consumo del bien 1 (pasa de 4,5 a 4 su consumo) para obtener más del bien 2 (pasa
de 3 a 4) que para el consumidor B, ya que este debe sacrificar más consumo del bien 1 (pasa
de 8 a 6) para obtener más del bien 2 (pasa de 5,33 a 6).
4. Comentarios finales
Muchas veces se considera que los modelos de equilibrio general son “cajas negras”, dada las
matemáticas detrás de esto modelos, así sean muy sencillos. Por esta razón, la enseñanza de
estos modelos es muy compleja y muchas veces se gasta mucho tiempo en solucionar los
problemas matemáticos de los modelos que en la economía que hay en ellos.
En este documento se presenta como se pueden encontrar los precios de equilibrio de un
modelo de intercambio puro, con lápiz y papel, y como luego este puede trasladarse a un
modelo de equilibrio general computable, el cual se presenta en la hoja de calculo Excel ®. Al
Documentos FCE-CID Escuela de Economía N.° 117
Junio 2021
Universidad Nacional de Colombia Sede Bogotá - Facultad de Ciencias Económicas
Pági
na 1
8
tener este modelo en el programa de Excel® se pueden realizar de manera rápida y eficaz
diferentes clases de ejercicios al variar los parámetros y las variables exógenas del modelo. De
esta manera, se puede reforzar y hacer más comprensibles diferentes aspectos conceptuales
de esta clase de modelos, así como empezar a introducir elementos de lo que se conoce como
modelo de equilibrio general computable.
5. Referencias
Barreto, H. (2020). Intermediate microeconomics with Microsoft Excel®. 2nd Edition.
Nicholson, W. & Westhoff, F. (2009). General Equilibrium Models: Improving the
Microeconomics Classroom. The Journal of Economic Education, 40(3), 297 – 314.
Peng, A. (2009). Introducing CGE models to the classroom using EXCEL (Working Paper No 13).
Ryerson University, Department of Economics.
Scarf, H. (1967). Approximation of Fixed Points of a Continuous Mapping. SIAM Journal of
Applied Mathematics, 15(5), 1328 – 1343.
Shoven, J. & Whalley, J. (1973). General Equilibrium with Taxes: Computational Procedure and
an Existence Proof. Review of Economic Studies, 40(4), 475 – 489.
Shoven, J. & Whalley, J. (1974). Computation of Competitive Equilibrium on International
Markets with Tariffs. Journal of International Economics, 4(4), 341 – 354.
Shoven, J. & Whalley, J. (1992). Applying general equilibrium. Cambridge University Press.
Gustavo Hernández
Universidad Nacional de Colombia Sede Bogotá - Facultad de Ciencias Económicas
Pági
na 1
9
6. Anexo. Cálculo de la variación equivalente y compensada
Se parte de que la función de utilidad Cobb- Douglas es:
𝑈𝑈ℎ�𝐶𝐶1ℎ,𝐶𝐶2ℎ,⋯ ,𝐶𝐶𝑚𝑚ℎ � = ∏ 𝐶𝐶𝑚𝑚ℎ𝛼𝛼𝑚𝑚ℎ𝑀𝑀
𝑚𝑚=1 (A.1)
Donde la ∑ 𝛼𝛼𝑚𝑚ℎ = 1𝑀𝑀𝑚𝑚=1 . Dadas estas especificaciones las funciones de demanda al maximizar
la utilidad son:
𝐶𝐶𝑚𝑚ℎ = 𝛼𝛼𝑚𝑚ℎ 𝑦𝑦ℎ
𝑃𝑃𝑚𝑚∑ 𝛼𝛼𝑚𝑚ℎ𝑀𝑀𝑚𝑚=1
= 𝛼𝛼𝑚𝑚ℎ 𝑦𝑦ℎ
𝑃𝑃𝑚𝑚 (A.2)
Donde 𝑦𝑦ℎ = ∑ 𝑃𝑃𝑚𝑚𝑤𝑤𝑚𝑚ℎ𝑀𝑀𝑚𝑚=1
La función de utilidad indirecta 𝐸𝐸ℎ(𝑃𝑃1,𝑃𝑃2⋯ ,𝑃𝑃𝑚𝑚,𝑦𝑦ℎ) se obtiene por reemplazar
𝐶𝐶𝑚𝑚ℎ (𝑃𝑃1,𝑃𝑃2 ⋯ ,𝑃𝑃𝑚𝑚,𝑦𝑦ℎ) en la función de utilidad (A.1)
𝐸𝐸ℎ�𝑃𝑃1,𝑃𝑃2⋯ ,𝑃𝑃𝑚𝑚,𝑦𝑦ℎ � = ∏ �𝛼𝛼𝑚𝑚ℎ 𝑦𝑦ℎ
𝑃𝑃𝑚𝑚�𝛼𝛼𝑚𝑚ℎ
𝑀𝑀𝑚𝑚=1 (A.3)
Resolviendo (A.3) para 𝑦𝑦ℎ obtenemos la función de utilidad indirecta en términos métricos
monetarios �𝑒𝑒ℎ(∙)�.
𝑒𝑒ℎ�𝑃𝑃1,𝑃𝑃2⋯ ,𝑃𝑃𝑚𝑚,𝐸𝐸ℎ(𝑃𝑃1,𝑃𝑃2⋯ ,𝑃𝑃𝑚𝑚, 𝑦𝑦ℎ)� =
𝐸𝐸ℎ(𝑃𝑃1,𝑃𝑃2⋯ ,𝑃𝑃𝑚𝑚,𝑦𝑦ℎ)∏ �𝑃𝑃𝑚𝑚𝛼𝛼𝑚𝑚ℎ�𝛼𝛼𝑚𝑚ℎ𝑀𝑀
𝑚𝑚=1 (A.4)
Las variaciones compensadas y equivalentes son medidas de bienestar basadas en la función
de utilidad indirecta en términos métricos monetarios. Vamos a considerar que hay unos
precios y un ingreso iniciales, que se nota con el superíndice 𝑖𝑖, y unos precios y un ingreso
finales, los cuales se notan con el superíndice 𝑓𝑓. La variación equivalente se puede definir como
𝐸𝐸𝐸𝐸ℎ = 𝑒𝑒ℎ �𝑃𝑃1𝑖𝑖 ,𝑃𝑃2𝑖𝑖 ,⋯ ,𝑃𝑃𝑚𝑚𝑖𝑖 ,𝐸𝐸ℎ�𝑃𝑃1𝑓𝑓,𝑃𝑃2
𝑓𝑓,⋯ ,𝑃𝑃𝑚𝑚𝑓𝑓,𝑦𝑦ℎ,𝑓𝑓�� −
𝑒𝑒ℎ �𝑃𝑃1𝑖𝑖 ,𝑃𝑃2𝑖𝑖 ,⋯ ,𝑃𝑃𝑚𝑚𝑖𝑖 ,𝐸𝐸ℎ�𝑃𝑃1𝑖𝑖 ,𝑃𝑃2𝑖𝑖 ,⋯ ,𝑃𝑃𝑚𝑚𝑖𝑖 , 𝑦𝑦ℎ,𝑖𝑖��
Documentos FCE-CID Escuela de Economía N.° 117
Junio 2021
Universidad Nacional de Colombia Sede Bogotá - Facultad de Ciencias Económicas
Pági
na 2
0
𝐸𝐸𝐸𝐸ℎ = 𝑒𝑒ℎ �𝑃𝑃1𝑖𝑖 ,𝑃𝑃2𝑖𝑖 ,⋯ ,𝑃𝑃𝑚𝑚𝑖𝑖 ,𝐸𝐸ℎ�𝑃𝑃1𝑓𝑓,𝑃𝑃2
𝑓𝑓,⋯ ,𝑃𝑃𝑚𝑚𝑓𝑓,𝑦𝑦ℎ,𝑓𝑓�� − 𝑦𝑦ℎ,𝑖𝑖 (A.5)
Para el caso de la función Cobb- Douglas, entonces
𝐸𝐸𝐸𝐸ℎ = 𝐸𝐸ℎ�𝑃𝑃1𝑓𝑓,𝑃𝑃2
𝑓𝑓,⋯ ,𝑃𝑃𝑚𝑚𝑓𝑓,𝑦𝑦ℎ,𝑓𝑓�∏ �𝑝𝑝𝑚𝑚
𝑖𝑖
𝛼𝛼𝑚𝑚ℎ�𝛼𝛼𝑚𝑚ℎ
𝑀𝑀𝑚𝑚=1 − 𝑦𝑦ℎ,𝑖𝑖
𝐸𝐸𝐸𝐸ℎ = ∏ �𝛼𝛼𝑚𝑚ℎ 𝑦𝑦ℎ,𝑓𝑓
𝑝𝑝𝑚𝑚𝑓𝑓 �
𝛼𝛼𝑚𝑚ℎ𝑀𝑀𝑚𝑚=1 ∏ �𝑝𝑝𝑚𝑚
𝑖𝑖
𝛼𝛼𝑚𝑚ℎ�𝛼𝛼𝑚𝑚ℎ
𝑀𝑀𝑚𝑚=1 − 𝑦𝑦ℎ,𝑖𝑖
𝐸𝐸𝐸𝐸ℎ = 𝑦𝑦ℎ,𝑓𝑓 ∏ �𝑝𝑝𝑚𝑚𝑖𝑖
𝑝𝑝𝑚𝑚𝑓𝑓 �
𝛼𝛼𝑚𝑚ℎ𝑀𝑀𝑚𝑚=1 − 𝑦𝑦ℎ,𝑖𝑖 (A.6)
La variación compensada se puede definir como
𝐶𝐶𝐸𝐸ℎ = 𝑒𝑒ℎ �𝑃𝑃1𝑓𝑓,𝑃𝑃2
𝑓𝑓,⋯ ,𝑃𝑃𝑚𝑚𝑓𝑓,𝐸𝐸ℎ�𝑃𝑃1
𝑓𝑓,𝑃𝑃2𝑓𝑓,⋯ ,𝑃𝑃𝑚𝑚
𝑓𝑓,𝑦𝑦ℎ,𝑓𝑓�� −
𝑒𝑒ℎ �𝑃𝑃1𝑓𝑓,𝑃𝑃2
𝑓𝑓,⋯ ,𝑃𝑃𝑚𝑚𝑓𝑓,𝐸𝐸ℎ�𝑃𝑃1𝑖𝑖 ,𝑃𝑃2𝑖𝑖 ,⋯ ,𝑃𝑃𝑚𝑚𝑖𝑖 , 𝑦𝑦ℎ,𝑖𝑖��
𝐶𝐶𝐸𝐸ℎ = 𝑦𝑦ℎ,𝑓𝑓 − 𝑒𝑒ℎ �𝑃𝑃1𝑓𝑓,𝑃𝑃2
𝑓𝑓,⋯ ,𝑃𝑃𝑚𝑚𝑓𝑓,𝐸𝐸ℎ�𝑃𝑃1𝑖𝑖 ,𝑃𝑃2𝑖𝑖 ,⋯ ,𝑃𝑃𝑚𝑚𝑖𝑖 ,𝑦𝑦ℎ,𝑖𝑖�� (A.7)
Para el caso de la función Cobb- Douglas, entonces
𝐶𝐶𝐸𝐸ℎ = 𝑦𝑦ℎ,𝑓𝑓 − 𝐸𝐸ℎ�𝑃𝑃1𝑖𝑖 ,𝑃𝑃2𝑖𝑖 ,⋯ ,𝑃𝑃𝑚𝑚𝑖𝑖 ,𝑦𝑦ℎ,𝑖𝑖�∏ �𝑝𝑝𝑚𝑚𝑓𝑓
𝛼𝛼𝑚𝑚ℎ�𝛼𝛼𝑚𝑚ℎ
𝑀𝑀𝑚𝑚=1
𝐶𝐶𝐸𝐸ℎ = 𝑦𝑦ℎ,𝑓𝑓 − ∏ �𝛼𝛼𝑚𝑚ℎ 𝑦𝑦ℎ,𝑖𝑖
𝑝𝑝𝑚𝑚𝑖𝑖�𝛼𝛼𝑚𝑚ℎ
𝑀𝑀𝑚𝑚=1 ∏ �𝑝𝑝𝑚𝑚
𝑓𝑓
𝛼𝛼𝑚𝑚ℎ�𝛼𝛼𝑚𝑚ℎ
𝑀𝑀𝑚𝑚=1
𝐶𝐶𝐸𝐸ℎ = 𝑦𝑦ℎ,𝑓𝑓 − 𝑦𝑦ℎ,𝑖𝑖 ∏ �𝑝𝑝𝑚𝑚𝑓𝑓
𝑝𝑝𝑚𝑚𝑖𝑖�𝛼𝛼𝑚𝑚ℎ
𝑀𝑀𝑚𝑚=1 (A.8)