Download - Modelos Estocásticos
Procesos de simulación en
sistemas estocásticos Juan Carlos Aldana B.
Objetivo
• Reconocer como desarrollar adecuadamente un modelo de simulación estocástica, y las variables que los definen.
Proceso de simulación estocástica
Recolección de datos
Asignación de números aleatorios
Formulación del modelo
Análisis
Simulación con
computadora
Recolección de datos
Da
tos
de
cost
os,
ca
pa
cid
ad
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trib
uci
on
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Registros históricos cuando la información existe en
informes
Procedimiento de muestreo estadístico, cuando no se tiene información precisa
Variables aleatorias
• Cuando en un experimento, las cantidades de interés son determinadas por el resultado de este experimento.
• La función de distribución acumulada o función de probabilidad F, de las variables aleatorias X, es dada algún número real x para:
• F(x) = P(X ≤ x) • Una variable discreta sólo puede tomar un número
finito de valores, por lo tanto la probabilidad de la función es: p(x) = P(X=x)
• Y por lo tanto 𝑝 𝑥𝑖 = 1∞𝑡=1
Generación de Números Pseudo-
Aleatorios • Un número aleatorio es aquel que tiene la misma
probabilidad de ser seleccionado que cualquier otro número.
• Como en la naturaleza no se puede garantizar la completa aleatoriedad de un número se generan los números pseudo-aleatorios.
• Estos constituyen una secuencia de valores, los cuales son determinísticamente generados, tienen la apariencia de ser uniformemente independientes (0,1) de variables aleatorias.
Generación de números Pseudo-
aleatorios • La aproximación más común para generar números
pseudo-aleatorios, empieza con un valor inicial 𝑣0 llamado semilla, y entonces recursivamente se computan valores sucesivos 𝑥𝑛 con n≥ 1, para permitir que:
• 𝑥𝑛 = 𝑎𝑥𝑛−1 , modulo m • Donde a y m son enteros positivos, y donde la media 𝑑𝑒 𝑎𝑥𝑛−1 , es divido por m y el remanente es tomado como .
• Esta ecuación es llamada el método congruencial multiplicativo.
Generación de Números Pseudo-
Aleatorios • Se pueden generar números pseudo-aleatorios a
través de:
▫ Las tablas de números aleatorios de los libros
▫ Las calculadoras
▫ Las hojas de cálculo de los computadores
▫ Aplicaciones especificas
Formulación del modelo
Insumos incontrolables (Parámetros)
Insumos controlables (Variables de
decisión)
Modelo Matemático
Salidas (Resultados previstos)
Análisis
• Es un método para ensayar hipótesis, en el cual el resultado de un conjunto de simulaciones, proporcionan datos de muestra que pueden analizarse estadísticamente.
• Se comparan con otros conjuntos de simulación para determinar consistencia de los datos.
• También se pueden utilizar para analizar alternativas y casos extremos y determinar si son estadísticamente significativos.
Simulación por computadora
En estado estable
Si son manuales pueden consumir mucho tiempo
Mejora las alternativas de la simulación y la eficiencia
Ejercicio. Venta de vehículos • La distribuidora de carros Best vende vehículos nuevos.
El Gerente considera que la distribución de probabilidad de vehículos vendidos por semana es:
Ventas semanales Frecuencia relativa (prob)
0 0,05
1 0,15
2 0,20
3 0,30
4 0,20
5 0,10
Total 1,0
Si el precio de venta por vehículo es de 20 (mill), diseñe un modelo de simulación que determine las distribuciones de probabilidad y la media de las próximas 20 semanas
Variables aleatorias
• Sólo puede asumir una secuencia finita o infinita de valores
• 1, 2, 3,…..100
Discreta
• Pueden asumir cualquier valor en un intervalo determinado
• Números reales Contínua
Una variable aleatoria es la descripción numérica del resultado de un experimento
Distribuciones de probabilidad de una
variable aleatoria discreta
• Si la función de probabilidad f(x) determina la probabilidad que una variable aleatoria tome un valor especifico.
• Se requiere que:
0≤ f(x) ≤ 1
∑ f(x) = 1
Valor esperado de una V.A.D. • El Valor Esperado de una Variable Aleatoria Discreta es
un promedio ponderado de todos los valores posibles de la misma, donde las ponderaciones son las probabilidades asociadas a los valores.
• De denota como: E(x) = μ = ∑ x f(x)
x F(x) X f(x)
0 0,18 0*0,18 = 0
1 0,39 1*0,39= 0,39
2 0,24 2*0,24= 0,48
3 0,14 3*0,14= 0,42
4 0,04 4*0,04= 0,16
5 0,01 5*0,01= 0,05
E(x) = 1,5
Varianza de una V.A.D. • La varianza es la variabilidad de los valores que asume
una variable aleatoria.
• Se denota como:
Var(x) = σ2 = ∑ (x – μ)2f(x)
x x – μ (x – μ)2 F(x) (x – μ)
2f(x)
0 0-1,5 = -1,5 2,25 0,18 0,4050
1 1-1,5 = -0,5 0,25 0,39 0,0975
2 2 – 1,5 = 0,5 0,25 0,24 0,06
3 3 – 1,5 = 1,5 2,25 0,14 0,315
4 4 – 1,5 = 2,5 6,25 0,04 0,25
5 5 – 1,5 = 3,5 12,25 0,01 0,1225
σ2 = 1,25
La desviación estándar es la raiz cuadrada positiva de la varianza σ
Distribución de probabilidad binomial
Es el experimento que cumple las siguientes características:
1. Consiste en una secuencia de n eventos idénticos.
2. Dos resultados son posibles en cada ensayo. Éxito y fracaso; cara y sello.
3. Las probabilidades de los dos resultados no cambian de un ensayo a otro.
4. Los ensayos son independientes, es decir el resultado de un ensayo no afecta el resultado del otro.
Notación de la Distribución Binomial
• Si cumple las condiciones 2,3 y 4 se conoce como un proceso de Bernoulli.
• Función de probabilidad binomial:
f(x) = 𝑛!
𝑥! 𝑛−𝑥 ! 𝑝𝑥(1 − 𝑝)𝑛−𝑥 con x= 0, 1, 2…n
Donde: n: número de ensayos P: probabilidad de éxito en un ensayo x: número de éxitos en n ensayos f(x): probabilidad de x éxitos en n ensayos n! = n(n-1)(n-2)….(1)
Valor esperado y varianza
• El valor esperado es:
E(x) = μ = ∑ x f(x)
Para esta distribución binomial se cumple que:
μ = np
• La varianza es:
Var(x) = σ2 = np (1 - p)
Distribución de Probabilidad de Poisson
Es aplicable cuando:
1. La probabilidad de una ocurrencia del evento es la misma para dos intervalos de igual longitud
2. La ocurrencia o no ocurrencia de un evento en cualquier intervalo es independiente de la ocurrencia o no ocurrencia en cualquier otro intervalo
La función de probabilidad es:
f(x) = λ𝑥𝑒−λ
𝑥! para x= 1,2,3…
λ = media o número medio de ocurrencias en un intervalo
e = 2,71828
X = número de ocurrencias en el intervalo
f(x) = probabilidad de x ocurrencias en el intervalo
Ejercicio. Poisson
• Se desea conocer la cantidad de clientes que llegan a un cajero electrónico durante 15 minutos en las mañanas de los días hábiles. Si se asume que la probabilidad de llegada de un cliente es igual en intervalos de tiempos iguales, y que la llegada de clientes es independiente, la distribución de Poisson es aplicable. Si se conoce que el número medio de clientes que llega es de 10 durante los 15 minutos, se aplica la función de probabilidad con λ = 10 clientes.
Ejercicio. Poisson
• f(x) = λ𝑥𝑒−λ
𝑥! =
10𝑥𝑒−10
𝑥! para x= 1,2,3…
• Si
• f(0) = = 100𝑒−10
0! = 0,00
• f(1) = = 101𝑒−10
1! = 0,005
• Calcule la probabilidad para x = 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9.
• Cuál es la probabilidad que al menos lleguen 5 clientes?
Variables aleatorias contínuas
• Se presentan en modelos en los cuales
▫ No se conoce el comportamiento de las variables, es incierto.
▫ Esta definido para todo instante de tiempo, en un intervalo de observación.
▫ El comportamiento de las variables esta asociado a una distribución de probabilidad.
Distribución de probabilidad Uniforme
• Se define cuando la variable tiene la misma probabilidad de ocurrencia en cualquier intervalo de tiempo.
• La variable puede tomar cualquier valor en el intervalo (por esto es contínua).
0
2
4
6
0 5 10 15
Valores Y
Valores Y
Notación de la Distribución Uniforme
• Función de probabilidad Uniforme:
f(x) = 1
𝑏−𝑎 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑎 ≤ 𝑥 ≤ 𝑏𝑥
0 en cualquier otro valor
Como la variable x puede tomar un número de valores infinitos se asume la probabilidad en función de que la variable aleatoria tome un valor dentro de un intervalo dado.
Ejemplo: Distribución Uniforme
• Una persona demora en llegar a su casa en la noche mínimo 1 hora y máximo 1 hora y 20 minutos.
• Defina la función de probabilidad
• Dibuje la gráfica de distribución de probabilidad.
• Cuál es la probabilidad que se demore entre 1 hora y 1 hora y un minuto?
• Cuál es la probabilidad que demore entre 1 hora y 1 hora y 10 minutos?
• Se puede conocer la probabilidad por el área, cómo?
Diferencias entre las variables
aleatorias discretas y continuas
• La probabilidad de la variable toma un valor en particular.
• La probabilidad es representada como un punto instantáneo en una gráfica.
Discretas
• La probabilidad que la variable tome un valor dentro de un intervalo dado.
• La probabilidad en ese intervalo se define como el área bajo la curva de la función de densidad de probabilidad en el intervalo. Entonces la probabilidad de que la variable tome un valor particular es cero.
Continuas
Distribución de probabilidad normal
• Es muy utilizada, porque existen muchos fenómenos de la vida real y variables que se pueden expresar así.
• La función de densidad de probabilidad es una curva con forma de campana de gauss.
Notación de la Distribución Normal
• Función de probabilidad normal:
f(x) = (1/σ 2𝜋) 𝑒−(x− μ) 2/ 2 σ2 con -∞ ≤ x ≤ ∞
Donde:
μ : Media o valor esperado de la variable aleatoria x
σ2: Varianza de la variable aleatoria x
σ : desviación estándar de la variable aleatoria x
𝜋 : 3,1416
e = 2,71828
Distribuciones de probabilidad con la
misma media
Distribución Normal Estándar
• Se presenta cuando:
▫ μ = 0 ▫ σ = 1
• Z : variable aleatoria con distribución normal estándar
• La probabilidad también corresponde al área bajo la curva
• Los valores de z negativos y positivos se consultan en las tablas.
Cálculo de probabilidades para
distribuciones normales
• Se puede convertir cualquier función con media μ y desviación estándar σ, a una distribución normal estándar utilizando la fórmula:
• Z = x - μ / σ
• En este caso z es el número de desviaciones estándar que x está alejada de μ
Ejercicio Distribución Estándar
• Una fábrica esta probando el recorrido promedio de una nueva llanta que se calcula en μ=35.500 km y con una desviación estándar de σ= 5.000 km. Se identifica que este comportamiento sigue una distribución normal.
• Qué porcentaje de llantas se puede esperar dure más de 40.000 km?
• Cuál es la probabilidad que al menos dure 30.000 km? • Si se da un descuento a las llantas que no cumplan con el
recorrido mínimo y se quiere que este no sea de más del 10% de las llantas, cuál debe ser el kilometraje de garantía de las llantas?
Distribución de probabilidad
exponencial • Es una distribución empleada usualmente para
identificar el tiempo de completar una tarea.
• Llegada entre clientes
• Tiempo para prestar un servicio
• Tiempo entre errores medios en una línea
Notación de la Distribución
Exponencial
• Función de probabilidad normal:
f(x) = 1
μ 𝑒
−𝑥
μ
para x ≥ 0, μ ≥ 0
Donde:
X : Variable aleatoria continua
μ : Media o valor esperado de la variable aleatoria x
e = 2,71828
Cálculo de probabilidades para la
distribución exponencial • La probabilidad es el
área bajo la curva.
• P ( x ≤ 𝑋0) = 1 - 𝑒−𝑋0
μ
• P ( x ≤ 𝑋1) = 1 - 𝑒−𝑋1
μ
• 𝑡2
Ejercicio Distribución Exponencial
• Si los tiempos de atención a un cliente en un banco son μ = 15 minutos, cuál es la probabilidad que se requieran menos de 6 minutos para atender a un cliente?
• Cuál es la probabilidad que se demore entre 6 y 15 minutos?
• Cuál es la probabilidad que se demore más de 18 minutos?
Bibliografía • MORA, Héctor M.,Temas de Optimización. . Facultad De Ciencias
Universidad Nacional 2009.
• TAHA Handy. Investigación de operaciones. Pearson Educación. México. 2004.
• EPPEN G.D. y otros. Investigación de operaciones en la ciencia administrativa. Pearson Educación. México. 2.000.
• HILLIER Fredery y LIEBERMAN. Investigación de operaciones. McGraw Hill. México. 2.001.
• ANDERSON David y otros. Métodos cuantitativos para los negocios. Ed. Cengage Learning , 11ª. Ed. 2010.
• HEIZER Jay, Dirección de la Producción y Operaciones, 8ª. Edición, Prentice Hall, 2007.
• KRAJEWSKI Lee, Administración de Operaciones, 8ª. Edición, PrenticeHall, 2008.
• DUARTE Oscar, Análisis de Sistemas Dinámicos Lineales, Universidad Nacional de Colombia.