MODELOS PROBABILÍSTICOS MAIS
COMUNS
VARIÁVEIS ALEATÓRIAS DISCRETAS
Definições
Variáveis Aleatórias
• Uma variável aleatória representa um valor
numérico possível de um evento incerto.
• Variáveis aleatórias discretas produzem resultados
que advém de um processo de contagem (ex.: no.
de disciplinas que você cursa).
• Variáveis aleatórias contínuas produzem resultados
que advém de um processo de medição (ex.: seu
salário anual ou seu peso).
Variáveis Aleatórias Discretas
Exemplos
Variáveis aleatórias discretas só podem assumir um
número contável de valores
– Exemplos:
• Jogar um dado duas vezes
– Seja X o no. de vezes em que o 4 aparece (então X pode ser 0, 1, ou 2
vezes)
• Lançar uma moeda 5 vezes.
– Seja X o no. de caras (então X = 0, 1, 2, 3, 4, ou 5)
Definições
Variáveis Aleatórias
Variáveis
Aleatórias
Discreta
V. A.
Contínua
V. A.
Definições
Distribuição de Probabilidades
• Uma distribuição de probabilidades para uma variável aleatória discreta é uma lista mutuamente excludente de todos os resultados numéricos possíveis para aquela variável, de modo a que uma determinada probabilidade de ocorrência esteja associada a cada resultado.
No. de disciplinas Probabilidade
2 0.2
3 0.4
4 0.24
5 0.16
Definições
Distribuição de Probabilidades
Experimento: Duas jogadas de uma moeda.
Seja X = # caras.
Distribuição de Probabilidades
Valor X
Probabilidade
0 1/4 = .25
1 2/4 = .50
2 1/4 = .25 0 1 2 X
.50
.25 P
rob
ab
ilit
y
Variáveis Aleatórias Discretas
Valor Esperado
• Valor Esperado (ou média) de uma distribuição discreta (Média Ponderada)
• Exemplo: 2 jogadas moeda, X = # de caras,
Calcule o valor esperado de X:
E(X) = (0)(.25) + (1)(.50) + (2)(.25)
= 1.0
N
i
ii XPX1
)( E(X)
Valor Probabilidade
0 1/4 = .25
1 2/4 = .50
2 1/4 = .25
Variáveis Aleatórias Discretas
Valor Esperado
• Calcule o valor esperado
da distribuição:
No. de
disciplinas
Probabilidade
2 0.2
3 0.4
4 0.24
5 0.16
E(X) = 2(.2) + 3(.4) + 4(.24) + 5(.16) = 3.36
Então, o no. médio de disciplinas por aluno é
de 3.36.
Variáveis Aleatórias Discretas
Dispersão
• Variância de uma variável aleatória discreta
• Desvio Padrão de uma variável aleatória discreta
onde:
E(X) = Valor esperado da variável aleatória discreta X
Xi = o io. resultado de X
P(Xi) = Probabilidade do io. resultado de X ocorrer
N
1i
i
2
i
2 )P(XE(X)][Xσ
N
1i
i
2
i
2 )P(XE(X)][Xσσ
Variáveis Aleatórias Discretas
Dispersão
– Exemplo: Duas jogadas de uma moeda, X = #
caras, calcule o desvio padrão (lembrar que E(X)
= 1)
N
1i
i
2
i
2 )P(XE(X)][Xσσ
.707.50(.25)1)(2(.50)1)(1(.25)1)(0σ 222
Nos. possíveis de caras = 0, 1, or 2
Dist. de Probabilidades - Regras
• Duas regras se aplicam a qualquer distribuição de
probabilidades:
• ... estas regras permitem determinar se uma função (dada por
uma equação ou uma tabela) pode ou não servir como
distribuição de probabilidades de alguma variável aleatória.
Regra 1:
Os valores de uma distribuição de probabilidades devem
ser números do intervalo de 0 a 1.
Regra 2:
A soma de todos os valores de uma distribuição de pro-
babilidades deve ser igual a 1.
Distribuições de Probabilidade
• Vimos como descrever uma distribuição de
probabilidade e que características devem ser
obedecidas para que uma função possa ser
característica de uma distribuição de probabilidades.
• Conhecer a distribuição de probabilidade de um
experimento ou fenômeno nos dá uma forma
simples de avaliar as probabilidades dos resultados
possíveis dos mesmos.
• Os tipos de distribuição podem ser considerados
modelos para descrever situações que envolvem
resultados aleatórios.
Distribuições de Probabilidade
• Cada modelo de distribuição de probabilidades na
estatística, terá seu conjunto de hipóteses que
definem as condições sob as quais aquele modelo
pode ser utilizado validamente.
• O objetivo de estudar distribuições de probabilidade
podem ser resumidos nas duas seguintes questões:
– Que hipóteses ou restrições básicas são exigidas por cada tipo
de distribuição de probabilidades? O conhecimento deste
aspecto é vital para confrontar uma variável aleatória com a
situação real.
– Como se podem usar as distribuições de probabilidades para
obter soluções de problemas?
Distribuições de Probabilidade
• Se a situação real que você analisa se aproxima
fortemente de uma distribuição de probabilidades já
conhecida, sua análise fica muito mais simples,
como veremos adiante.
A essência da análise estatística é confrontar as hipóteses de
uma distribuição de probabilidades com as especificações
de determinado problema.
Distribuições de Probabilidade
• Nesta aula veremos as principais distribuições de
probabilidade que podem ser aplicadas às variáveis
discretas.
Distribuição Binomial
Distribuição de Poisson
Distribuição Binomial:
Propriedades
• A amostra consiste em um número fixo de observações, n
– ex. 15 jogadas de uma moeda; dez lâmpadas retiradas de um estoque
• Cada observação é classificada como uma de duas
categorias mutuamente excludentes e coletivamente
exaustivas, geralmente chamadas de sucesso e insucesso
– ex. Cara ou coroa em cada jogada da moeda; defeituosa ou não defeituosa no caso das lâmpadas; ter um menino ou uma menina
– Geralmente chamados “sucesso” e “fracasso”
– Probabilidade de sucesso é p, probabilidade de fracasso é igual a 1 – p
• A probabilidade é a mesma para cada observação
– ex. A probabilidade de dar cara é a mesma a cada vez que a
moeda é lançada
Distribuição Binomial:
Propriedades
• As observações são independentes – O resultado de uma observação não afeta o resultado da
observação seguinte
• Para assegurar essa independência as
observações podem ser selecionadas
aleatoriamente, seja a partir de uma
– População infinita sem reposição
– População finita com reposição
Aplicações da Distribuição Binomial
• Uma fábrica que classifica itens como
defeituoso ou não defeituoso
• Uma firma que coloca uma proposta para um
contrato ter sucesso ou não na conclusão do
negócio
• Uma pesquisa de mercado para uma empresa
receber respostas “sim, eu comprarei” ou “não
eu não comprarei” o produto da empresa
• Candidatos a um emprego aceitarem ou não a
oferta da empresa
• Seu time ganhar ou não um jogo de futebol
Distribuição Binomial
Técnicas de Contagem
• Suponha que sucesso seja definido como obter
CARA (C) em pelo menos dois de três lançamentos
de uma moeda equilibrada. De quantas formas esse
“sucesso” pode ocorrer?
• Possibilidades: CCK, CKC, KCC, CCC, logo, há
quatro diferentes maneiras.
• Essa situação é bastante simples. Nós precisamos
de uma forma de contar os sucessos em situações
mais complicadas.
Técnicas de Contagem
Combinações
• Combinações são usadas para contar de quantas
maneiras podemos selecionar X objetos em um
conjunto de n objetos:
X)!(nX!
n!
X
n),(C
Xn
onde:
n! =n(n - 1)(n - 2) . . . (2)(1)
X! = X(X - 1)(X - 2) . . . (2)(1)
0! = 1 (por definição)
Técnicas de Contagem
Combinações
• De quantas formas diferentes podemos escolher 3
sabores de sorvete se você tem 31 opções de
sabores para escolher?
• O total de opções é n = 31, e você escolherá X = 3.
44952953128!123
28!293031
3!28!
31!
3)!(313!
31!
3
31)3,31(C
Distribuição Binomial
Fórmula
XnX )(1X)!(nX!
n!P(X)
pp
P(X) = probabilidade de X sucessos em n tentativas, com probabilidade de sucesso p em cada tentativa
X = no. de ‘sucessos’ na amostra,
(X = 0, 1, 2, ..., n)
n = tamanho da amostra (numero de
tentativas ou observações)
p = probabilidade de “sucesso”
Exemplo: lançar uma
moeda 4 vezes, seja x = #
caras:
n = 4
p = 0.5
1 - p = (1 - .5) = .5
X = 0, 1, 2, 3, 4
Distribuição Binomial
Exemplo
32805,0
0,90)(5)(0,10)(
0,10)(1(0,10)1)!(51!
5!
)(1X)!(nX!
n!1)P(X
4
151
XnX
pp
Qual a probabilidade de um sucesso em 5 observações
se a probabilidade de sucesso é 0,10?
X = 1, n = 5, and p = 0,10
Distribuição Binomial
Exemplo
Suponha que a probabilidade de comprar um
computador defeituoso seja de 0,02. Qual a
probabilidade de comprar 2 computadores defeituosos
em um lote de 10 computadores?
X = 2, n = 10, and p = 0,02
0,01531
4)(0,8508)(45)(0,000
0,02)(1(0,02)2)!(102!
10!
)(1X)!(nX!
n!2)P(X
2102
XnX
pp
Distribuição Binomial
Forma
n = 5 p = 0,10
0
.2
.4
.6
0 1 2 3 4 5 X
P(X)
n = 5 p = 0,50
.2
.4
.6
0 1 2 3 4 5 X
P(X)
0
• A forma da distribuição binomial depende dos valores de p e de n
• Aqui, n = 5 e p = 0,10
• Aqui, n = 5 e p = 0,50
Distribuição Binomial
Características
• Média
• Variância e Desvio Padrão
pnE(x)μ
)-(1nσ2 pp )-(1nσ pp
Onde n = tamanho da amostra
p = probabilidade de sucesso
(1 – p) = probabilidade de fracasso
Distribuição Binomial
Características
n = 5 p = 0,10
0
.2
.4
.6
0 1 2 3 4 5 X
P(X)
n = 5 p = 0,50
.2
.4
.6
0 1 2 3 4 5 X
P(X)
0
0,5(5)(0,10)nμ p
0,6708
0,10)1(5)(0,10)()-(1nσ
pp
2,5(5)(0,50)nμ p
1,118
0,50)1(5)(0,50)()-(1nσ
pp
Exemplos
Distribuição Binomial
Exemplo
• A probabilidade de que uma pessoa fazendo compras num certo supermercado aproveita uma promoção especial de sorvete é de 0,30. Determine a probabilidade de que dentre seis pessoas fazendo compras nesse supermercado haja até três aproveitando a promoção.
– Solução: admitindo que a escolha seja aleatória, substituímos n=6, p=0,30 e, respectivamente, x=0, 1, 2, 3 na fórmula da distribuição binomial, otendo:
93,0185,0324,0303,0118,0)3(
185,0)70,0()30,0(3
6)3(
324,0)70,0()30,0(2
6)2(
303,0)70,0()30,0(1
6)1(
118,0)70,0()30,0(0
6)0(
33
42
51
60
XP
P
P
P
P
Distribuição de Poisson
Definições
• Muitos estudos são baseados na contagem das vezes em que um evento específico ocorre em uma determinada área de oportunidade
• Uma área de oportunidade é uma unidade contínua ou um intervalo de tempo, volume ou uma área tal que nela possa acontecer mais de uma ocorrência de um evento
• Exemplos – Defeitos na pintura de uma geladeira nova
– Número de falhas na rede em um determinado dia
– Número de pulgas no pêlo de um cachorro
• Nestas situações você usa a distribuição de Poisson se…
Distribuição de Poisson
Propriedades
A distribuição de Poisson é aplicada quando:
– Você estiver interessado em contar o número de vezes em que um
evento específico ocorre em uma determinada área de
oportunidades. A área de oportunidades é definida pelo tempo,
extensão, área de superfície e assim sucessivamente.
– A probabilidade de que um evento específico ocorra em uma
determinada área de oportunidades é a mesma para todas as áreas
de oportunidades.
– O número de eventos que ocorrem em uma determinada área de
oportunidades é independente do número de eventos que ocorrem
em qualquer outra área de oportunidades.
– A probabilidade de que dois ou mais eventos venham a ocorrer em
uma determinada área de oportunidades se arpoxima de zero à
medida que a área de oportunidades se torna menor.
Distribuição de Poisson
Fórmula
X!
λeP(X)
xλ
onde:
X = probabilidade de X eventos ocorram numa área de
oportunidade
= número esperado de eventos
e = constante matemática aproximada por 2,71828…
Distribuição de Poisson
Parâmetro λ
• O parâmetro λ (a letra grega minúscula lambda), representa a
média, ou o número de sucessos por unidade.
• A variância de uma distribuição de Poisson é igual a λ, e o
desvio padrão é igual a
Distribuição de Poisson
Exemplo
• Suponha que, em média, 5 carros entrem em um
estacionamento por minuto. Qual é a probabilidade de que
em um dado minuto, 7 carros entrem?
• Então, X = 7 e λ = 5
0,1047!
5e
X!
λeP(7)
75xλ
Portanto, há uma probabilidade de 10,4% de que 7
carros entrem no estacionamento em um dado
minuto.
Distribuição de Poisson
Forma
0.00
0.10
0.20
0.30
0.40
0.50
0.60
0.70
0 1 2 3 4 5 6 7
x
P(x
)
P(X = 2) = 0,0758
X P(X)
0
1
2
3
4
5
6
7
0.6065
0.3033
0.0758
0.0126
0.0016
0.0002
0.0000
0.0000
= 0,50
Distribuição de Poisson
Forma
0.00
0.05
0.10
0.15
0.20
0.25
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
x
P(x
)
0.00
0.10
0.20
0.30
0.40
0.50
0.60
0.70
0 1 2 3 4 5 6 7
x
P(x
)
= 0,50 = 3,00
• O formato da distribuição de Poisson depende
do parâmetro :
Distribuição de Poisson
Exemplo
• Sabe-se que o número de acidentes de trabalho, por
mês, em uma unidade de produção segue uma
distribuição de Poisson, com uma média aritmética
de 2,5 acidentes de trabalho por mês.
– (a) Qual é a probabilidade de que em um determinado mês
nenhum acidente de trabalho venha a ocorrer?
– (b) De que pelo menos um acidente de trabalho venha a
ocorrer?
Distribuição de Poisson
Exemplo
• Sabe-se que o número de acidentes de trabalho, por mês, em uma unidade de
produção segue uma distribuição de Poisson, com uma média aritmética de 2,5
acidentes de trabalho por mês. – (a) Qual é a probabilidade de que em um determinado mês nenhum acidente de trabalho
venha a ocorrer?
– (b) De que pelo menos um acidente de trabalho venha a ocorrer?
• Solução: com λ = 2,5
– (a)
A probabildade de que em um determinado mês nenhum acidente de trabalho ocorra é 0,0821,
ou 8,21%.
– (b)
– A probabilidade de que em um determinado mês haverá pelo menos um acidente de trabalho é
0,9179, ou 91,79%.
0821,0)1()71828,2(
1
!0
)5,2()0(
5,2
05,2
e
XP
9179,00821,01)0(1)1( XPXP