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Integrantes: Aguilar Adame Jaime
Pérez Ramírez Juan
Romero Rodríguez José Tláloc
Modos de vibrar
EJERCICIO: Determinar los modos de vibrar de la estructura que se muestra en la siguiente figura.
• Considerando la estructura mostrada en la figura. Las matrices de masas y rigideces son:
M1 0 0 0 0
0 m2 0 0 0 M = 0 0 m3 0 0
0 0 0 m4 0
0 0 0 0 m5
5 x 5
K1+K2 -K2 0 0 0
-K2 K2+K3 -K3 0 0 K = 0 -K3 K3+K4 -K4 0
0 0 -K4 K4+K5 -K5
0 0 0 -K5 K5
5 x 5
El valor de cada masa es igual a Wi/g (g es la aceleración de la gravedad).
m1= 400 / 981 = 0.4077472 m2= 350 / 981 = 0.3567788 m3= 300 / 981 = 0.3058104 m4= 250 / 981 = 0.254842 m5= 200 / 981 = 0.2038736
Remplazando los valores de ki
7.60 -3.60 0.0 0.0 0.0
-3.60 6.60 -3.0 0.0 0.0 K= (50) 0.0 -3.00 5.5 -2.5 0.0
0.0 0.0 -2.5 4.5 -2.0
0.0 0.0 0.0 -2.0 2.0
5 x 5
Y la ecuación |K-w2M|= 0, se escribe:
7.6-0.4077 λ -3.60 0.00 0.00 0.00 -3.60 6.6-0.3568 λ -3 0.00 0.00 0.00 -3.00 5.5-0.3058 λ -2.5 0.00 = 0
0.00 0.00 -2.5 4.5-0.2548 λ -2 0.00 0.00 0.00 -2 2-0.2039 λ
5 x 5
Resolviendo el determinante resulta:
Donde λ=ш2/50. El desarrollo del determinante conduce a la siguiente ecuación cubica:
−0.002311 λ5 + 0.1908751962λ4 − 5.48051339λ3 + 64.0350368λ2 − 266.52763λ+ 215.9902198 = 0
Cuyas soluciones son: λ1= 33.5042, λ2=25.8161, λ3=15.6844 , λ4=6.53541 y λ5=1.05415. Como ш2 = 50 λ, recordando
que el periodo es T=2 𝜋/ ш, se obtienen los siguientes resultados:
Ш52 = 1675.21 Ш5= 40.9293293 seg-1 T5= 0.153513029 seg
Ш42 = 1290.805 Ш4= 35.9277748 seg-1 T4= 0.174883787 seg
Ш32 = 784.22 Ш3= 28.0039283 seg-1 T3= 0.224367997 seg
Ш22 = 326.7705 Ш2= 18.0767945 seg-1 T2= 0.347582936 seg
Ш12 = 52.7075 Ш1= 7.25999311 seg-1 T1= 0.865453343 seg
Para calcular los modos de vibración, se remplazan los valores de Ш2 en la expresión. Procedimiento así con Ш1
2, se llega al siguiente sistema homogéneo de ecuaciones.
-302.98 -180.00 0.00 0.00 0.00 -180.00 -267.71 -150 0.00 0.00 0.00 -150.00 -237.279218 -125 0.00 0.00 0.00 -125 -201.843508 -100 0.00 0.00 0.00 -100 -241.575319
5 x 5
-146.26 -180.00 0.00 0.00 0.00 -180.00 -130.56 -150 0.00 0.00 0.00 -150.00 -119.728169 -125 0.00 0.00 0.00 -125 -103.8972414 -100 0.00 0.00 0.00 -100 -163.1951395
5 x 5
380-52.7075x0.4077 -180.00 0.00 0.00 0.00
Z11 0
-180.00 330-52.7075x0x0.3568 -150 0.00 0.00 Z21 0
0.00 -150.00 275-52.7075x0.3058 -125 0.00 Z31 = 0
0.00 0.00 -125 225-52.7075x0x0.2548 -100 Z41 0
0.00 0.00 0.00 -100 100-52.7075x0.2039 Z51 0
5 x 5
60.27 -180.00 0.00 0.00 0.00 -180.00 50.19 -150 0.00 0.00 0.00 -150.00 35.185524 -125 0.00 0.00 0.00 -125 25.180744 -100 0.00 0.00 0.00 -100 -59.902458
5 x 5
246.78 -180.00 0.00 0.00 0.00
-180.00 213.41 -150 0.00 0.00 0.00 -150.00 175.0735811 -125 0.00 0.00 0.00 -125 141.7388766 -100 0.00 0.00 0.00 -100 33.37149505
5 x 5
358.51 -180.00 0.00 0.00 0.00 -180.00 311.19 -150 0.00 0.00 0.00 -150.00 258.8820465 -125 0.00 0.00 0.00 -125 211.570129 -100 0.00 0.00 0.00 -100 89.25294075
5 x 5
z11 1.0 Z21 1.9917 Z1 = Z31 = 2.9320 Z41 3.6822 Z51 4.1254
z12 1.0 Z22 1.3709 Z2 = Z32 = 0.7506 Z42 -0.5938 Z52 -1.7798
z13 1.0 Z23 0.3345 Z3 = Z33 = -1.088 Z43 -0.7072 Z53 1.1821
z14 1.0 Z24 -1.8125 Z4= Z34 = -0.4935
Z44 1.4476 Z54 -0.8870
z15 1.0 Z25 -1.6838 Z5 = Z35 = 1.8044 Z45 -1.4058 Z55 0.5830
MÉTODO DE NEWMARK
MÉTODO DE HOLZER
924.4679843 -599.944222 198.7040123-401.2331182 198.7111038
F 683.061366 -1006.296232
1.987111038V 200 -483.061366 523.2348661
0.581804278
0.00709145∆X 1 -2.683674255 3.488232441 -3.209864946-1.683674255 1.804558185 -1.40530676
1043.588426 -799.1755359 461.6504812
1675.208
X 1
-481.5072763 317.6682596F 693.1702345 -1055.251385
3.176682596V 200 -493.1702345 562.0811502
1.331997418
-143.982222∆X 1 -2.739834636 3.747207668 -3.85205821
-1.739834636 2.007373032 -1.844685178601.7513322 -119.231858 -327.145141
1700
X 1F 652.3955148 -863.8661699
411.4706551 -190.2806771 -71.04881913-1.522245417 -0.710488191
V 200 -452.3955148
-0.292416132 -1.002904323
256.096322∆X 1 -2.513308415 2.743137701
0.203873598
1600
X 1 -1.513308415 1.229829285
0.407747197 0.356778797 0.305810398 0.254841998
125 100 RESIDUO
(ton/cm)M
-194.6944771 476.0364484 -233.4617199
w^2 SUPUESTO
K200 180 150
242.5770713 -233.4593772F 526.2507645 -374.1333587
-2.334593772V 200 -326.2507645 47.88259416
-0.887264155
0.00234271∆X 1 -1.812504247 0.319217294 1.94061657-0.812504247 -0.493286953 1.447329617
-181.3813812 479.6450369 -256.7182575
1290.63
X 1
238.004254 -241.6407829F 530.0713558 -386.6942285
-2.416407829V 200 -330.0713558 56.62287275
-0.968617733
15.0774746∆X 1 -1.833729754 0.377485818 1.904034032
-0.833729754 -0.456243936 1.447790096-294.5867901 403.4528302 -15.33647706
1300
X 1F 489.2966361 -259.9648157
-29.33182039 265.2549697 -138.19786052.122039758 -1.381978605
V 200 -289.2966361
1.319290755 -0.06268785
-122.861383∆X 1 -1.607203534 -0.195545469
0.203873598
1200
X 1 -0.607203534 -0.802749003
0.407747197 0.356778797 0.305810398 0.254841998
125 100 RESIDUO
(ton/cm)M
w^2 SUPUESTO
K200 180 150
(௧ ି� ௦ మ
(௧ ି� ௦ మ
Nota: El modo de vibrar 1 fue calculado a través del método de Newmark y los siguientes fueron calculados a través del método de Hollzer.
ANÁLISIS MODAL ESPECTRAL z11 1.0 Z21 1.9917 Z1 = Z31 = 2.9320 Z41 3.6822 Z51 4.1254
z12 1.0 Z22 1.3709 Z2 = Z32 = 0.7506 Z42 -0.5938 Z52 -1.7798
z13 1.0 Z23 0.3345 Z3 = Z33 = -1.088 Z43 -0.7072 Z53 1.1821
z14 1.0 Z24 -1.8125 Z4= Z34 = -0.4935
Z44 1.4476 Z54 -0.8870
z15 1.0 Z25 -1.6838 Z5 = Z35 = 1.8044 Z45 -1.4058 Z55 0.5830
Ш52 = 1675.21 T5= 0.153513029 seg
Ш42 = 1290.805 T4= 0.174883787 seg
Ш32 = 784.22 T3= 0.224367997 seg
Ш22 = 326.7705 T2= 0.347582936 seg
Ш12 = 52.7075 T1= 0.865453343 seg
El valor de cada masa es igual a Wi/g (g es la aceleración de la gravedad).
m1= 400 / 981 = 0.4077472 m2= 350 / 981 = 0.3567788 m3= 300 / 981 = 0.3058104 m4= 250 / 981 = 0.254842 m5= 200 / 981 = 0.2038736
Los modos ortonormales se calculan:
m1* = Z1T M Z1 = 11.3768645
m2* = Z2T M Z2 = 1.96102379
m3* = Z3T M Z3 = 1.2220330
m4* = Z4T M Z4 = 1.41217907
m5* = Z5T M Z5 = 2.98785913
Dividiendo cada vector Zj por la correspondiente por la correspondiente remplazamos los modos por sus correspondientes formas ortonormales
obteniendo:
0.71409924 0.97895864
Z2 = 0.53600289 -0.3597632 -1.27095382
0.90961517 0.30259377
Z3 = -0.9842213 -0.63974384 1.06934559
0.84150193 -0.68372032
Z4 = -0.4152812 1.21815819 -0.74641221
0.57850535 -0.97408731
Z5 = 1.04385505 -0.81326282 0.33726862
0.29647543 0.59049011 Z1 = 0.86926596 1.09168183 1.22307974
Los coeficientes de participación se calculan con la ec. 3.49 que arroja:
P1= 1.124952
P2= 0.45356221
P3= 0.2328447
P4= 0.13044996
P5= 0.06907861
Con apego a lo expuesto en la sección 6.1.2, en la zona I para construcciones del grupo A se toma c = 0.16 x 1.5 = 0.24; los demás datos para determinar el espectro de diseño se encuentran en la tabla 6.2 y son:
Ta = 0.2Tb = 1.35r= 1
Ciñéndonos a lo indicado en 6.1.2 se puede encontrar que T1, T2, T3 están comprendidos entre Ta y Tb por tanto las coordenadas espectrales de aceleración y los factores de reducción por comportamiento asísmico quedan
T5= 0.153513029 seg T4= 0.174883787 seg T3= 0.224367997 seg T2= 0.347582936 seg T1= 0.865453343 seg
a1, a2, a3 = 0.240 Q´1, Q´2 , Q´3 = Q = 4 A1= A2 = A3 = 58.86 cm /seg2
El periodo T4 y T5 es menor que Ta, entonces 𝑎4 = ( 1+ 3𝑇4𝑇𝑎 )( 𝑐4 )
a4 = 0.21732 𝑄4 = 1+ (𝑄− 1)( 𝑇4𝑇𝑎 )
Q´3=3.622 A4= 58.86 cm/seg2
𝑎5 = ( 1+ 3𝑇5𝑇𝑎 )( 𝑐4 )
a5 = 0.19814 𝑄5 = 1+ (𝑄− 1)( 𝑇5𝑇𝑎 )
Q´5= 3.3025 A5 = 58.86 cm/seg2
Aplicando la ec 7.1 hallamos los siguientes desplazamientos máximos de las masas U j, y máximos desplazamientos de entrepiso ∂Uj, como contribución de cada nodo j:
0.29647543
0.372452197
0.3724522
U1 = 58.86 X 1.124952001 0.590490114 = 0.741813041 ; δu1 = 0.36936084
0.86926596 1.092029841 0.3502168
52.7075 1.091681828
1.37144348 0.27941364
1.223079738
1.536514293 0.16507081
0.714099237
0.058340862 0.05834086
U2 = 58.86 X 0.453562208 0.978958643 = 0.079979488 ; δu2 = 0.02163863
0.536002887 0.043790651 -0.03618884
326.7705 -0.359763195
-0.029392126 -0.07318278
-1.270953821
-0.103835067 -0.07444294
0.909615165
0.015896679 0.01589668
U3 = 58.86 X 0.232844704 0.302593773
= 0.00528821
; δu3 = -0.01060847
-0.9842213 -0.017200516 -0.02248873
784.22 -0.639743845
-0.011180335 0.00602018
1.069345587
0.018688171 0.02986851
0.841501927
0.005005629
0.00500563
U4 = 58.86 X 0.130449956 -0.683720316
= -0.004067074 -0.0090727
-0.415281201 -0.002470278 ; δu4 = 0.0015968
1290.805 1.21815819
0.007246149 0.00971643
-0.746412209
-0.004439993 -0.01168614
0.578505349
0.001403658
0.00140366
U5 = 58.86 X 0.069078611 -0.974087307
= -0.00236348 -0.00376714
1.043855052 0.002532761 ; δu5 = 0.00489624
1675.7521 -0.81326282
-0.001973263 -0.00450602
0.337268619
0.000818333
0.0027916
Las unidades son cm. La cortante Vij, en el entrepiso i, debido al modo j, se calcula multiplicando el desplazamiento del entrepiso ∂ij, por la rigidez respectiva ki, que k1=200, k2= 180. K3=150, k4 = 125, k5= 100 (en t/cm) encontramos.
V11 = 200 x 0.3725 = 74.4904394 t
v21 = 180 x 0.3694 = 66.4849519 t
V31 = 150 x 0.3502 = 52.5325201 t V41 = 125 x 0.2794 = 34.9267048 t V51 = 100 x 0.1651 = 16.5070813 t
V12 = 200 x 0.0583 = 11.6681725 t v22 = 180 x 0.0216 = 3.89495266 t V32 = 150 x -0.0362 = -5.42832555 t V42 = 125 x -0.0732 = -9.14784723 t V52 = 100 x -0.0744 = -7.44429405 t
V13 = 200 x 0.0159 = 3.17933577 t v23 = 180 x -0.0106 = -1.90952439 t V33 = 150 x -0.0225 = -3.37330886 t V43 = 125 x 0.006 = 0.75252256 t V53 = 100 x 0.0299 = 2.98685058 t
V14 = 200 x 0.005 = 1.00112583 t v24 = 180 x -0.0091 = -1.63308651 t V34 = 150 x 0.0016 = 0.23951935 t V44 = 125 x 0.0097 = 1.21455334 t V54 = 100 x -0.0117 = -1.16861418 t
V15 = 200 x 0.0014 = 0.2807317 t v25 = 180 x -0.0038 = -0.67808496 t V35 = 150 x 0.0049 = 0.73443624 t V45 = 125 x -0.0045 = -0.56325306 t V55 = 100 x 0.0028 = 0.2791596 t
Las diferencias entre los periodos naturales de dos modos cualesquiera son mayores que 10 por ciento, por tant es adecuado estimar la respuesta combinada de todos los modos con la fórmula 7.3 Para las cortantes Vi, y los desplazamientos relativos ∂i, en cada entrepiso i, obtenemos:
V1 = 75.472916 t
V2 = 66.6497752 t
V3 = 52.9254983 t V4 = 36.1374667 t V5 = 18.3920122 t
δ1 = 0.37736458 cm
δ2 = 0.37027653 cm δ3 = 0.35283666 cm δ4 = 0.28909973 cm δ5 = 0.18392012 cm
Las estimaciones de los desplazamientos totales ui, con este criterio son:
U1 = 0.37736458 cm
U2 = 0.74614569 cm
U3 = 1.09304857 cm U4 = 1.37182452 cm U5 = 1.5401388 cm
Cabe puntualizar que las diferencias U2-U1=0.7461-0.3773=0.3688 cm, U3 - U2=1.0930-0.7461=0.3469 cm, U4-U3=1.3718-1.093= 0.2788 cm y U5-U4 = 1.5401-1.3718 = 0.1683 cm, no producen las estimaciones correctas de δ2 δ3 δ4 y δ5 son mayores (0.3702, 0.3528, 0.2890 y 0.1839 cm, respectivamente). Es inadecuado estimar δ2 δ3 δ4 y δ5 como estas diferencias, ya que el criterio expresado por la regla 7.3 requiere que en primer lugar se calcule la respuesta de interés (en este caso los desplazamientos relativos) para cada modo y luego se combinen tales resultados como la raíz cuadrada de la suma de sus cuadrados. Aun que en este ejemplo las diferencias son pequeñas, podrían ser mayores en otras situaciones. Se percibe de inmediato que la participación del modo fundamental en las respuestas sísmicas es mucho mayor que las de los segundo, tercero, cuarto y quinto modos. Esto se podía anticipar calculando las masas efectivas de los cuadrados de los coeficientes de participación: Ƿ1
2 = (1.124952)2= 1.265517 cm Ƿ2
2 = (0.453562)2= 0.20571868 cm Ƿ3
2 = (0.232844)2= 0.05421666 cm Ƿ4
2 = (0.130449)2= 0.01701719 cm Ƿ5
2 = (0.069078)2= 0.00477185 cm La suma de las masas efectivas es σ𝑃𝑗2 = 1.547241 𝑐𝑚, que a salvo por errores pequeños de precisión de las operaciones, es igual a σ𝑚𝑛 = 0.4077472+ 0.3567788+ 0.3058104+ 0.254842+ 0.2038736 =1.529052, lo cual confirma que con los cinco modos hemos incluido la totalidad de las fuerzas de inercia; además, así se satisfacen los requisitos de las NTDS en el sentido de incluir cuando menos tres modos y todos aquellos que tengan periodos mayores que 0.4 segundos.
En general se obtienen tantos modos como pisos y es deseable determinar que fracción de las masas total constituye cada masa efectiva de los modos incluidos en el análisis, como criterio adicional para decidir si es necesario añadir modos superiores. En el ejemplo que nos ocupa, las fracciones son de 0.89, 0.08, 0.03 para los modos 1,2,3 respectivamente, indicando que el modo fundamental involucra casi 90 porciento de la masa total mientras el tercer modo afecta sólo el 3 porciento de dicha masa. Debemos comprobar que el cortante basal no sea menor que Vmin = Q8aWo/Q, siendo en este caso W0 = 1500 ton y, para el modo fundamental, a = 0.24 y Q = 4; entonces Vmin = 0.8 (0.24 X 1500)/4 = 72 ton. Como hemos obtenido que en la base V = 75.47 t, mayor que Vmín no es necesario modificar Vmin ninguno de los demás resultados del análisis modal. Los desplazamientos totales y de entrepiso tienen que multiplicarse por Q = 4, lo cual lleva finalmente a: U1 = 0.37736458 cm x 4 = 1.50945832 cm U2 = 0.74614569 cm x 4 = 2.98458278 cm U3 = 1.09304857 cm x 4 = 4.37219427 cm U4 = 1.37182452 cm x 4 = 5.48729808 cm U5 = 1.5401388 cm x 4 = 6.1605552 cm
δ1 = 0.37736458 cm x 4 = 1.50945832 cm δ2 = 0.37027653 cm x 4 = 1.48110612 cm δ3 = 0.35283666 cm x 4 = 1.41134662 cm δ4 = 0.28909973 cm x 4 = 1.15639894 cm δ5 = 0.18392012 cm x 4 = 0.73568049 cm