Modul 206 Regelmäßige Vielecke!
Regelmäßige Vielecke In- und Umkreise
Gleichseitiges Dreieck
s
s s
r
h r
h = 32 s
r = 23 h =
33 s
ρ = 13 h =
36 s
A = 34 s2
Gleichseitiges Dreieck
Gleichseitiges Dreieck
C
A
B
M c
Gleichseitiges Dreieck im Raster?
C
A
B
M c
Gleichseitiges Dreieck im Raster?
Diese Figur ist falsch!
Gleichseitiges Dreieck Falten
Falten
1. Wir beginnen mit einem langen Streifen.
Falten
2. Wir falten in irgend einer Richtung nach OBEN.
Falten
3. Auffalten
Falten
4. Wir falten nach UNTEN – nun genau wie dargestellt.
Falten
5. Auffalten
6. Wir falten nach OBEN – genau wie dargestellt.
Falten
Falten
7. Auffalten
Falten
8. Wir falten nach UNTEN – nun genau wie dargestellt.
Falten
9. Auffalten
α1
α2
α3
α4
Falten
9. Auffalten
Vermutung: limn→∞
αn( ) = 60°
α1
α2
α3
α4
Beispiel
α1 = 36° = 60° − 24°
α2 = 180°−α12 = 72° = 60° +12°
α3 = 180°−α22 = 54° = 60° − 6°
α4 = 180°−α32 = 63° = 60° + 3°
Startwert
α1
α2
α3
α4α1
α1 = 36° = 60° − 24°
α2 = 180°−α12 = 72° = 60° +12°
α3 = 180°−α22 = 54° = 60° − 6°
α4 = 180°−α32 = 63° = 60° + 3°
Beispiel
Startwert
α1
α2
α3
α4α1 α2
α1 = 36° = 60° − 24°
α2 = 180°−α12 = 72° = 60° +12°
α3 = 180°−α22 = 54° = 60° − 6°
α4 = 180°−α32 = 63° = 60° + 3°
Beispiel
Startwert
α1
α2
α3
α4
α1 = 36° = 60° − 24°
α2 = 180°−α12 = 72° = 60° +12°
α3 = 180°−α22 = 54° = 60° − 6°
α4 = 180°−α32 = 63° = 60° + 3°
Beispiel
Startwert
α1
α2
α3
α4
Beispiel
Startwert α1 = 36° = 60° − 24°
α2 = 180°−α12 = 72° = 60° +12°
α3 = 180°−α22 = 54° = 60° − 6°
α4 = 180°−α32 = 63° = 60° + 3°
Der Fehler wird jedes Mal halbiert: limn→∞
αn( ) = 60°
α1
α2
α3
α4
Beispiel
α1 = 36°
αn =180°−αn−1
2
Startwert
Rekursionsformel
α1
α2
α3
α4
Beispiel
Wie finden wir den Limes?
Rekursionsformel
α1 = 36°
αn =180°−αn−1
2
Startwert beliebig
α1
α2
α3
α4
n
1 10.0000000° 10000.0000000° 70.0000000° -200.0000000° 2 85.0000000° -4910.0000000° 55.0000000° 190.0000000° 3 47.5000000° 2545.0000000° 62.5000000° -5.0000000° 4 66.2500000° -1182.5000000° 58.7500000° 92.5000000° 5 56.8750000° 681.2500000° 60.6250000° 43.7500000° 6 61.5625000° -250.6250000° 59.6875000° 68.1250000° 7 59.2187500° 215.3125000° 60.1562500° 55.9375000° 8 60.3906250° -17.6562500° 59.9218750° 62.0312500° 9 59.8046875° 98.8281250° 60.0390625° 58.9843750° 10 60.0976563° 40.5859375° 59.9804688° 60.5078125° 11 59.9511719° 69.7070313° 60.0097656° 59.7460938° 12 60.0244141° 55.1464844° 59.9951172° 60.1269531° 13 59.9877930° 62.4267578° 60.0024414° 59.9365234° 14 60.0061035° 58.7866211° 59.9987793° 60.0317383° 15 59.9969482° 60.6066895° 60.0006104° 59.9841309° 16 60.0015259° 59.6966553° 59.9996948° 60.0079346° 17 59.9992371° 60.1516724° 60.0001526° 59.9960327° 18 60.0003815° 59.9241638° 59.9999237° 60.0019836° 19 59.9998093° 60.0379181° 60.0000381° 59.9990082° 20 60.0000954° 59.9810410° 59.9999809° 60.0004959° 21 59.9999523° 60.0094795° 60.0000095° 59.9997520° 22 60.0000238° 59.9952602° 59.9999952° 60.0001240° 23 59.9999881° 60.0023699° 60.0000024° 59.9999380° 24 60.0000060° 59.9988151° 59.9999988° 60.0000310° 25 59.9999970° 60.0005925° 60.0000006° 59.9999845° 26 60.0000015° 59.9997038° 59.9999997° 60.0000077°
αn αn αn αn
Der Startwert spielt keine Rolle
Beispiel
Wie finden wir den Limes?
Rekursionsformel
α1 = 36°
αn =180°−αn−1
2
Startwert beliebig
α1
α2
α3
α4
1( ) Annahme: Es gibt einen Limes
α = limn→∞
αn( )
2( ) In Rekursionsformel einsetzen:
α = 180°−α2
3( ) Nach α auflösen: 2α = 180° −α3α = 180°α = 60°
1( ) Annahme: Es gibt einen Limes
α = limn→∞
αn( )
2( ) In Rekursionsformel einsetzen:
α = 180°−α2
3( ) Nach α auflösen: 2α = 180° −α3α = 180°α = 60°
1( ) Annahme: Es gibt einen Limes
α = limn→∞
αn( )
2( ) In Rekursionsformel einsetzen:
α = 180°−α2
3( ) Nach α auflösen: 2α = 180° −α3α = 180°α = 60°
Dreieck
Restenverwertung
Gleichseitiges Dreieck Falten und schneiden
Warum ist das richtig?
Quadrat
Quadrat?
Quadrat?
Fünfeck
Fünfeck
Fünfeck
Fünfeck Pentagon
Pentagramm
Fünfeck
72°
Fünfeck
72°
s
d
s
s s
s d
Fünfeck
72°
s
d
s
s s
s d
108°
Fünfeck
72°
s
d
s
s s
s d
108°
36 °
36 °
Fünfeck
72°
s
d
s
s s
s d
108°
36 °
36 ° 36 °
Fünfeck
72°
s
d
s
s s
s d
108°
36 °
36 ° 36 °
36 °
Fünfeck
72°
s
d
s
s s
s d
108°
36 °
36 ° 36 °
36 °
72 ° 72 °
Fünfeck
72°
s
d
s
s s
s d
108°
36 °
36 ° 36 °
36 °
72 ° 36 °
36 °
Fünfeck
d
s
d
36 °
72 ° 36 °
36 °
Fünfeck
d
s
d
36 °
72 ° 36 °
36 °
s = 1 d = ?
Fünfeck
d
s
d
36 °
72 ° 36 °
36 °
s = 1 d = ?
Ähnliche Dreiecke
Fünfeck
d
s
d
36 °
72 ° 36 °
36 °
s = 1 d = ?
Gleichschenklige Dreiecke
s
s
ds =
sd−s
d1 =
1d−1
d2 − d = 1
d2 − d −1 = 0
d = 1± 52
d =d>0↑
1+ 52 ≈ 1.618
Fünfeck
d
s
d
36 °
72 ° 36 °
36 °
s = 1 d = ?
s
s
Ähnliche Dreiecke
ds =
sd−s
d1 =
1d−1
d2 − d = 1
d2 − d −1 = 0
d = 1± 52
d =d>0↑
1+ 52 ≈ 1.618
Fünfeck
d
s
d
36 °
72 ° 36 °
36 °
s = 1 d = ?
s
s
s = 1
ds =
sd−s
d1 =
1d−1
d2 − d = 1
d2 − d −1 = 0
d = 1± 52
d =d>0↑
1+ 52 ≈ 1.618
Fünfeck
d
s
d
36 °
72 ° 36 °
36 °
s = 1 d = ?
s
s
ds =
sd−s
d1 =
1d−1
d2 − d = 1
d2 − d −1 = 0
d = 1± 52
d =d>0↑
1+ 52 ≈ 1.618
Fünfeck
d
s
d
36 °
72 ° 36 °
36 °
s = 1 d = ?
s
s Quadratische Gleichung
ds =
sd−s
d1 =
1d−1
d2 − d = 1
d2 − d −1 = 0
d = 1± 52
d =d>0↑
1+ 52 ≈ 1.618
Fünfeck
d
s
d
36 °
72 ° 36 °
36 °
s = 1 d = ?
s
s
Fünfeck
d
s
d
36 °
72 ° 36 °
36 °
s = 1 d = ?
s
s
ds =
sd−s
d1 =
1d−1
d2 − d = 1
d2 − d −1 = 0
d = 1± 52
d =d>0↑
1+ 52 ≈ 1.618
Fünfeck
1+ 52 ≈ 1.618033989…Goldener Schnitt
Fünfeck
Goldener Schnitt
Walser, Hans: Der Goldene Schnitt. 6., bearbeitete und erweiterte Auflage. Edition am Gutenbergplatz, Leipzig 2013. ISBN 978-3-937219-85-1���
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Das Programm geht nach kurzer Pause weiter
1+ 52 ≈ 1.618033989…
Zehneck
s
r
r
r = 1 s = ?
s = 11+ 52
s = 11+ 52
= 25+1
= 25+1
5−15−1
= 2 5−25−1 = 5−1
2
s = 5−12 ≈ 0.618033988…
s = 11+ 52
= 25+1
= 25+1
5−15−1
= 2 5−25−1 = 5−1
2
s = 5−12 ≈ 0.618033988…
s = 11+ 52
= 25+1
= 25+1
5−15−1
= 2 5−25−1 = 5−1
2
s = 5−12 ≈ 0.618033988…Erweitern
Warum?
s = 11+ 52
= 25+1
= 25+1
5−15−1
= 2 5−25−1 = 5−1
2
s = 5−12 ≈ 0.618033988…
s = 11+ 52
= 25+1
= 25+1
5−15−1
= 2 5−25−1 = 5−1
2
s = 5−12 ≈ 0.618033988…
Ebenfalls goldener Schnitt (Verhältnis des goldenen Schnittes anders herum)
s = 11+ 52
= 25+1
= 25+1
5−15−1
= 2 5−25−1 = 5−1
2
s = 5−12 ≈ 0.618033988…
Goldener Schnitt
Bezeichnungen:
τ = 1+ 52 ≈ 1.618033988…
ρ = −1+ 52 ≈ 0.618033988…
Goldener Schnitt τ = 1+ 52 ≈ 1.618… ρ = −1+ 5
2 ≈ 0.618…
Konstruktion
1
1 2
Goldener Schnitt
Konstruktion
1
1 2
12 + 12( )2 = 5
4 =52
τ = 1+ 52 ≈ 1.618… ρ = −1+ 5
2 ≈ 0.618…
Goldener Schnitt
Konstruktion
1
1 2
12 + 12( )2 = 5
4 =52
τ = 1+ 52 ≈ 1.618… ρ = −1+ 5
2 ≈ 0.618…
Goldener Schnitt
Konstruktion
1
1 2
τ = 1+ 52 ≈1.618… ρ = −1+ 5
2 ≈ 0.618…
τ
ρ
1 1
Nochmals Zehneck
Im Prinzip können wir das Zehneck konstruieren
ρ
1 1
?
Nochmals Zehneck
ρ
1 1
? 1
Nochmals Zehneck
ρ
ρρ
1 1 1
Nochmals Zehneck
1+ ρ = τ
ρ
ρρ
τ
1 1
Nochmals Zehneck
ρ
ρ
τ
Konstruktion des Fünfeckes
Wir beginnen mit dem Umkreis
Konstruktion des Fünfeckes
Konstruktion des Fünfeckes
Konstruktion des Fünfeckes
Gruß vom goldenen Schnitt
1
1 2
Konstruktion des Fünfeckes
Konstruktion des Fünfeckes
Konstruktion des Fünfeckes
Regelmäßiges Fünfeck und Quadratraster?
Passt ein Fünfeck in einen Quadratraster? Antwort: Nein Beweis indirekt. Wir nehmen an, ein Fünfeck passe in einen Quadratraster und folgern aus dieser Annahme einen Widerspruch. Wir führen die Annahme ad absurdum.
Passt ein Fünfeck in einen Quadratraster? Antwort: Nein Beweis indirekt. Wir nehmen an, ein Fünfeck passe in einen Quadratraster und folgern aus dieser Annahme einen Widerspruch. Wir führen die Annahme ad absurdum.
Regelmäßiges Fünfeck und Quadratraster?
Passt ein Fünfeck in einen Quadratraster? Antwort: Nein Beweis indirekt. Wir nehmen an, ein Fünfeck passe in einen Quadratraster und folgern aus dieser Annahme einen Widerspruch. Wir führen die Annahme ad absurdum.
Regelmäßiges Fünfeck und Quadratraster?
Passt ein Fünfeck in einen Quadratraster? Antwort: Nein Beweis indirekt. Wir nehmen an, ein Fünfeck passe in einen Quadratraster und folgern aus dieser Annahme einen Widerspruch. Wir führen die Annahme ad absurdum.
Regelmäßiges Fünfeck und Quadratraster?
Passt ein Fünfeck in einen Quadratraster? Antwort: Nein Beweis indirekt. Wir nehmen an, ein Fünfeck passe in einen Quadratraster und folgern aus dieser Annahme einen Widerspruch. Wir führen die Annahme ad absurdum.
Regelmäßiges Fünfeck und Quadratraster?
P
Q
PQ
=xQ − xPyQ − yP
⎡
⎣⎢
⎤
⎦⎥
QR
= PQ ⊥ =
yP − yQxQ − xP
⎡
⎣⎢
⎤
⎦⎥
Drehung um +90°
Vorbereitung:
Ein passender Vektor kann um 90° gedreht werden.
Regelmäßiges Fünfeck und Quadratraster?
P
Q R
Drehung um +90°
Vorbereitung:
Ein passender Vektor kann um 90° gedreht werden.
Regelmäßiges Fünfeck und Quadratraster?
PQ
=xQ − xPyQ − yP
⎡
⎣⎢
⎤
⎦⎥
QR
= PQ ⊥ =
yP − yQxQ − xP
⎡
⎣⎢
⎤
⎦⎥
P
Q R
Drehung um +90°
Vorbereitung:
Ein passender Vektor kann um 90° gedreht werden.
Regelmäßiges Fünfeck und Quadratraster?
PQ
=xQ − xPyQ − yP
⎡
⎣⎢
⎤
⎦⎥
QR
= PQ ⊥ =
yP − yQxQ − xP
⎡
⎣⎢
⎤
⎦⎥
A 0
A 1
A 4
A 2
A 3
Annahme: A0, A1, A2, A3, A4 seien Rasterpunkte.
Regelmäßiges Fünfeck und Quadratraster?
A 0
A 1
A 4
A 2
A 3
B 1
Annahme: A0, A1, A2, A3, A4 seien Rasterpunkte. Folge: Auch B1 ist Rasterpunkt.
Regelmäßiges Fünfeck und Quadratraster?
A 0
A 1
A 4
A 2
A 3
B 0 B 1
B 4
B 3 B 2
Annahme: A0, A1, A2, A3, A4 seien Rasterpunkte. Folge: Auch B0, B1, B2, B3, B4 sind Rasterpunkte. Wir haben eine kleineres Rasterfünfeck.
Regelmäßiges Fünfeck und Quadratraster?
Regelmäßiges Fünfeck und Quadratraster?
Regelmäßiges Fünfeck und Quadratraster?
Regelmäßiges Fünfeck und Quadratraster?
Regelmäßiges Fünfeck und Quadratraster?
Regelmäßiges Fünfeck und Quadratraster?
Regelmäßiges Fünfeck und Quadratraster?
Regelmäßiges Fünfeck und Quadratraster?
Regelmäßiges Fünfeck und Quadratraster?
Regelmäßiges Fünfeck und Quadratraster?
Regelmäßiges Fünfeck und Quadratraster?
Und dann fällt das Fünfeck durch die Maschen.
Regelmäßiges Fünfeck und Quadratraster?
Die Annahme war falsch. Richtig ist: Ein regelmäßiges Fünfeck passt nicht in einen Quadratraster.
Regelmäßiges Sechseck (Hexagon)
Hexaflexagon
Regelmäßiges Sechseck (Hexagon)
Hexaflexagon
Bergfalt
Talfalt
Regelmäßiges Sechseck (Hexagon)
Regelmäßiges Siebeneck
Siebenbannstein Seit „vordenklicher Zeit“ Erneuert 1790 Hier trafen die alten Banne von • Lörrach • Stetten • Jnzlingen • Hagenbach • Adelhausen • Ottwangen • Brombach zusammen
Regelmäßiges Siebeneck
Siebenbannstein Seit „vordenklicher Zeit“ Erneuert 1790 Hier trafen die alten Banne von • Lörrach • Stetten • Jnzlingen • Hagenbach • Adelhausen • Ottwangen • Brombach zusammen
Regelmäßiges Siebeneck
Konstruktion mit Zirkel und Lineal?
Regelmäßiges Siebeneck
Eine Ecke übersprungen
Konstruktion mit Zirkel und Lineal?
Regelmäßiges Siebeneck
Eine Ecke übersprungen
Zwei Ecken übersprungen
Konstruktion mit Zirkel und Lineal?
Regelmäßiges Siebeneck
Eine Ecke übersprungen
Zwei Ecken übersprungen
Konstruktion mit Zirkel und Lineal?
Gauß, 1777-1855
Geht nicht
Gauß: C. F. Gauß (1777-1855) hat bewiesen, dass jedes regelmäßige n-Eck, das einem Kreis mit dem Radius r einbeschrieben werden soll, allein mit Zirkel und Lineal genau dann konstruierbar ist, wenn n eine Zweierpotenz oder ein Produkt aus einer Zweierpotenz und/oder verschiedenen Fermatschen Primzahlen ist.
Fermatsche Primzahlen sind Primzahlen von der Form:
Fk = 22k( ) +1
F0 = 3 PrimzahlF1 = 5 PrimzahlF2 = 17 PrimzahlF3 = 257 PrimzahlF4 = 65537 Primzahl
F5 = 232 +1 = 4294967297 = 641 ⋅6700417; keine PrimzahlF6 bis F32 keine Primzahl
Fermatsche Primzahlen sind Primzahlen von der Form:
Fk = 22k( ) +1
F0 = 3 PrimzahlF1 = 5 PrimzahlF2 = 17 PrimzahlF3 = 257 PrimzahlF4 = 65537 Primzahl
F5 = 232 +1 = 4294967297 = 641 ⋅6700417; keine PrimzahlF6 bis F32 keine Primzahl
Fermatsche Primzahlen sind Primzahlen von der Form:
Fk = 22k( ) +1
F0 = 3 PrimzahlF1 = 5 PrimzahlF2 = 17 PrimzahlF3 = 257 PrimzahlF4 = 65537 Primzahl
F5 = 232 +1 = 4294967297 = 641 ⋅6700417; keine PrimzahlF6 bis F32 keine Primzahl
Fermatsche Primzahlen sind Primzahlen von der Form:
Fk = 22k( ) +1
F0 = 3 PrimzahlF1 = 5 PrimzahlF2 = 17 PrimzahlF3 = 257 PrimzahlF4 = 65537 Primzahl
F5 = 232 +1 = 4294967297 = 641 ⋅6700417; keine PrimzahlF6 bis F32 keine Primzahl
Fermatsche Primzahlen sind Primzahlen von der Form:
Fk = 22k( ) +1
F0 = 3 PrimzahlF1 = 5 PrimzahlF2 = 17 PrimzahlF3 = 257 PrimzahlF4 = 65537 Primzahl
F5 = 232 +1 = 4294967297 = 641 ⋅6700417; keine PrimzahlF6 bis F32 keine Primzahl
Fermatsche Primzahlen sind Primzahlen von der Form:
Fk = 22k( ) +1
F0 = 3 PrimzahlF1 = 5 PrimzahlF2 = 17 PrimzahlF3 = 257 PrimzahlF4 = 65537 Primzahl
F5 = 232 +1 = 4294967297 = 641 ⋅6700417; keine PrimzahlF6 bis F32 keine Primzahl
Fermatsche Primzahlen sind Primzahlen von der Form:
Fk = 22k( ) +1
F0 = 3 PrimzahlF1 = 5 PrimzahlF2 = 17 PrimzahlF3 = 257 PrimzahlF4 = 65537 Primzahl
F5 = 232 +1 = 4294967297 = 641 ⋅6700417; keine PrimzahlF6 bis F32 keine Primzahl
Fermatsche Primzahlen sind Primzahlen von der Form:
Fk = 22k( ) +1
F0 = 3 PrimzahlF1 = 5 PrimzahlF2 = 17 PrimzahlF3 = 257 PrimzahlF4 = 65537 Primzahl
F5 = 232 +1 = 4294967297 = 641 ⋅6700417; keine PrimzahlF6 bis F32 keine Primzahl Es ist unbekannt, wie es weitergeht.
Fermatsche Primzahlen sind Primzahlen von der Form:
Fk = 22k( ) +1
F0 = 3 PrimzahlF1 = 5 PrimzahlF2 = 17 PrimzahlF3 = 257 PrimzahlF4 = 65537 Primzahl
F5 = 232 +1 = 4294967297 = 641 ⋅6700417; keine PrimzahlF6 bis F32 keine Primzahl Es ist unbekannt, wie es weitergeht.
Fermat, 1601-1665!
Möglich: Dreieck Quadrat Fünfeck 15-Eck Sechseck Achteck Zehneck 30-Eck Zwölfeck 16-Eck 20-Eck 60-Eck 24-Eck 32-Eck 40-Eck 120-Eck 48-Eck 64-Eck 80-Eck 240-Eck 96-Eck 128-Eck 160-Eck 480-Eck usw. usw. usw. usw.
Scherengeometrie
„Denn der Schneider mit der Scher' Kommt sonst ganz geschwind daher, Und die Daumen schneidet er Ab, als ob Papier es wär'. „
Scherengeometrie
Der Struwwelpeter von Heinrich Hoffmann Die Geschichte vom Daumenlutscher
Scherengeometrie
Scherengeometrie Demo Cabri
Scherengeometrie
Scherengeometrie
Scherengeometrie
Scherengeometrie
Scherengeometrie
Scherengeometrie
Regelmäßiges Achteck
Decke der Kirche Wilchingen
Regelmäßiges Achteck
DIN A4 - Papier
Regelmäßiges Achteck
Mittellinie senkrecht
Regelmäßiges Achteck
Ecken einbiegen und wieder zurückfalten
Regelmäßiges Achteck
Parallelen durch die Schnittpunkte
Regelmäßiges Achteck
Waagerechte Mittellinie
Regelmäßiges Achteck
Ecken einbiegen und wieder zurückfalten
Regelmäßiges Achteck
Oktogon
Regelmäßiges Achteck
Oktogon
a
b
d
d = a2
d =!b
⎫⎬⎪
⎭⎪⇒ a = 2b ⇒ DIN Format
Achtung: Falsche Figur!
Regelmäßiges Zwölfeck
Regelmäßiges Zwölfeck
Regelmäßiges Zwölfeck
Regelmäßiges Zwölfeck
Regelmäßiges Zwölfeck
Gleichseitiges Dreieck
Regelmäßiges Zwölfeck
Flächeninhalt = 3r2
Regelmäßiges Zwölfeck
Flächeninhalt = 3r2
Regelmäßiges Zwölfeck
Flächeninhalt = 3r2
Regelmäßiges Zwölfeck
Minimallösung?
Regelmäßiges Zwölfeck
Subtraktiv
Regelmäßiges Zwölfeck
blau = rot ?
Regelmäßiges Zwölfeck
blau = rot
Regelmäßiges Zwölfeck
blau = rot?
Regelmäßiges Zwölfeck
blau = rot?
Regelmäßiges Zwölfeck
blau = rot?