Download - Modul Matlab
MATRIX LABORATORY
MAULANA DEDY FAUZI
122406116
KOM C’1 12
D3 TEKNIK INFORMATIKA
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM
UNIVERSITAS SUMATERA UTARA
MEDAN
2014
KATA PENGANTAR
Syukur alhamdulillah, merupakan satu kata yang sangat pantas penulis ucakan kepada
Allah STW, yang karena bimbingannyalah maka penulis bisa menyelesaikan sebuah karya
tulis sosiologi berjudul “ MATLAB “.
Makalah ini dibuat dengan berbagai observasi dalam jangka waktu tertentu sehingga
menghasilkan karya yang bisa dipertanggungjawabkan hasilnya. Saya mengucapkan
terimakasih kepada pihak terkait yang telah membantu saya dalam menghadapi berbagai
tantangan dalam penyusunan makalah ini.
Saya menyadari bahwa masih sangat banyak kekurangan yang mendasar pada
makalah ini. Oleh karna itu saya mengundang pembaca untuk memberikan kritik dan saran
yang bersifat membangun untuk kemajuan ilmu pengetahuan ini.
Terima kasih, dan semoga makalah ini bisa memberikan sumbangsih positif bagi kita
semua.
Medan, 10 April 2013
Maulana Dedy Fauzi
MODULE 1
1. Dasar dan Perkembangan Matlab
1.1 Pengertian Matlab
MATLAB adalah sebuah bahasa dengan kemampuan tinggi untuk komputasiteknis. Ia
menggabungkan komputasi, visualisasi, dan pemrograman dalam satu kesatuan yang mudah
digunakan di mana masalah dan penyelesaiannya diekspresikan dalam notasi matematik yang
sudah dikenal. Pemakaian MATLAB meliputi :
1. Matematika dan komputasi
2. Pengembangan algoritma
3. Akuisisi data
4. Pemodelan, simulasi dan prototype
5. Grafik saintifik dan engineering
6. Perluasan pemakaian, seperti graphical user interface (GUI).
MATLAB adalah system interaktif yang mempunyai basis data array yang tidak
membutuhkan dimensi. Ini memungkinkan kita dapat menyelesaikan banyak masalah
komputasi teknis, khususnya yang berkaitan dengan formulasi matrik dan vector. Nama
MATLAB merupakan singakatn dari matrix labolatory.
MATLAB awalnya dibuat untuk memudahkan dalam mengakses software matriks yang telah
dikembangkan oleh LINPACK dan EISPACK. Dalam perkembangannya, MATLAB mampu
mengintegrasikan beberapa software matriks sebelumnya dalam satu software untuk
komputasi matriks. Tidak hanya itu, MATLAB juga mampu melakukan komputasi simbolik
yang biasa dilakukan oleh MAPLE. Sistem MATLAB terdiri atas lima bagian utama :
Development Environment. Ini adalah kumpulan semua alat-alat dan fasiltas untuk
membantu kita dalam menggunakan fungsi dan file MATLAB. Bagian ini memuat
desktop, Command window, command history, editor and debugger, dan browser
untuk melihat help, workspace, files.
The MATLAB Mathematical Function Library. Bagian ini adalah koleksi semua
algoritma komputasi, mulai dari fungsi sederhana seperti sum, sine, cosine sampai
fungsi lebih rumit seperti, invers matriks, nilai eigen, fungsi Bessel dan fast Fourier
transform.
The MATLAB language. Ini adalah bahasa matriks/array level tinggi dengan control
flow, fungsi, struktur data, input/output, dan fitur objek programming lainnya.
Graphics. MATLAB mempunyai fasilitas untuk menampilkan vector dan matriks
sebagai grafik. Fasilitas ini mencakup visualisasi data dua / tiga dimensi, pemrosesan
citra (image), animasi, dan grafik animasi.
The MATLAB Application Program Interface (API). Paket ini memungkinkan kita
menulis bahasa C dan Fortran yang berinteraksi dengan MATLAB. Ia memuat fasilitas
untuk pemanggilan kode-kode dari MATLAB (dynamic linking), yang disebut MATLAB
sebagai mesin penghitung, dan untuk membaca dan menulis MAT-files.
1.2 Dasar-Dasar Operasi Matlab
Perhatikan Dekstop pada layar monitor PC, anda mulai MATLAB dengan melakukan double-
clicking pada shortcut icon MATLAB.
Sedangkan untuk mengakhiri sebuah sesi MATLAB, anda bisa melakukan dengan dua
cara,pertama pilih File -> Exit MATLAB dalam window utama MATLAB yang sedang
aktif,atau cara kedua lebih mudah yaitu cukup ketikkan type quit dalam Command Window.
Anda dapat bekerja dengan MATLAb secara default pada directory Work ada di dalamFolder
MATLAB. Tetapi akan lebih bagus dan rapi jika anda membuat satu directory khusus dengan
nama yang sudah anda kususkan, “dargombes” atau nama yang lain yang mudah untuk
diingat. Hal ini akan lebih baik bagi anda untuk membiasakan bekerja secara rapi dan tidak
mencampur program yang anda buat dengan program orang lain. Untuk itu Arahkan pointer
mouse anda pada kotak bertanda … yang ada disebelah kanan tanda panah kebawah (yang
menunjukkan folder yang sedang aktif). Pilih new directory, selanjutnya ketikkan
“dargombes”, dan diikuti dengan click Ok.
Langkah kita yang pertama adalah dengan menentukan variable scalar dengan cara
melakukan pengetikan seperti berikut:
» x = 2 (selanjutnya tekan “Enter”)
x = 2
» y = 3
y = 3
» z = x + y
z = 5
Disini kita mulai dengan mendefinisikan dua buah vector, yaitu vector x dan vector y:
» x = [1 2 3]
x = 1 2 3
» y = [4 5 6]
y = 4 5 6
Selajutnya ketik:
>> y(1)
ans = 4
dan ulangi untuk y(2) and y(3).
Matlab menggunakan integer positif untuk index array. Elemen pertama adalah y(1),
elemen kedua adalah y(2), dan seterusnya. Nol atau bilangan negatif tidak diperbolehkan
untuk indek array. Sekarang kita jumlahkan keduanya:
» x+y
ans = 5 7 9
dan sekarang hitung inner product:
» x*y'
ans = 32
Jawabannya adalah 1*4 + 2*5 + 3*6 = 32 Catat, bahwa y' adalah transpose pada y dan
merupakan suatu vector kolom. Untuk memeriksanya, ketikkan perintah berikut:
>> y'
ans = 4
5
6
Cara lain pada pengkombinasian dua vector adalah diakukan melalui perkalian elementdemi-
element:
>> x.*y
ans = 4 10 18
Catat periode sebelum perkalian simbol. Sekarang kita dapat mendefinisikan suatu matrix:
» A = [1 2 3
4 5 6
7 8 9];
Catat bahwa matrik tidak diulang kalau kita menggunakan semi colon. Kita sekarang kalikan
A dengan transpose dari x:
» A*x'
ans = 14
32
50
Sekarang kita harus mentranspose x untuk memenuhi perkalian suatu matrik dan suatu vector
kolom. Matrik-matrik ini dapat juga dikalikan satu sama lain diantara mereka:
» B = [1 2 3 4
5 6 7 8
7 6 5 4];
» A*B
ans = 32 32 32 32
71 74 77 80
110 116 122 128
Salah satu kelebihan dari Matlab adalah kemudahan dalam mengolah grafik. Sehingga anda
tidak perlu kesulitan untuk melihat suatu respon system, misalnya pada kasus melijhat bentuk
sinyal dalam domain waktu anda cukup mengikuti langkah berikut. Sekarang ketikkan:
>> time = [0:0.001:0.099];
>> x = cos(0.1*pi*(0:99));
>> plot(time,x)
>> xlabel('time (msec)')
>> ylabel('x(t)')
ini akan menghasilkan gambar seperti berikut:
Sedangkan cara untuk menampilkan sederetan nilai fungsi waktu diskrit adalah dengan
menggunakan perintah "stem". Dari contoh deretan perintah coba anda rubah beberapa
bagian dengan perintah berikut :
>> stem(time,x)
>> xlabel('time (msec)')
>> ylabel('x(t)')
2. Dasar dan Perkembangan Matrix
2.1 Pengertian Matrix
Matriks adalah suatu kumpulan besaran (variabel dan konstanta) yang tersusun dalam
baris dan kolom berbentuk persegi panjang. Matriks merupakan suatu cara visualisasi
variabel yang merupakan kumpulan dari angka-angka atau variabel lain, misalnya vektor.
Dengan representasi matriks, perhitungan dapat dilakukan dengan lebih terstruktur.
Pemanfaatannya misalnya dalam menjelaskan persamaan linier, transformasi koordinat, dan
lainnya. Matriks seperti halnya variabel biasa dapat dimanipulasi, seperti dikalikan, dijumlah,
dikurangkan dan didekomposisikan.
Suatu matriks biasanya dinotasikan dengan huruf kapital ditebalkan (misal matriks A,
dituliskan dengan A). Sebagai contoh matriks, perhatikan tabel yang memuat informasi biaya
pengiriman barang dari 3 pabrik ke 4 kota berikut ini:
Pabrik
Kota
Kota
1
Kota
2
Kota
3
Kota
4
Pabrik 1 5 2 1 4
Pabrik 2 2 3 6 5
Pabrik 3 7 6 3 2
Tabel di atas jika disajikan dalam bentuk matriks akan menjadi seperti berikut:
Kolom1 Kolom2 Kolom3 Kolom4
5 2 1 4 Baris1
A = 2 3 6 5 Baris2
7 6 3 2 Baris3
Matriks di atas, kita sebut saja matriks A, memiliki tiga baris yang mewakili informasi Pabrik
(1, 2, dan 3) dan empat kolom yang mewakili informasi Kota (1, 2, 3, dan 4). Sedangkan
informasi biaya pengiriman dari masing-masing pabrik ke tiap-tiap kota, diwakili oleh
perpotongan baris dan kolom. Sebagai contoh, perpotongan baris 1 dan kolom 1 adalah 5,
angka 5 ini menunjukkan informasi biaya pengiriman dari pabrik 1 ke kota 1, dst. Secara
umum, bentuk matriks di atas dapat dituliskan seperti berikut:
a11 a12 a13 a14
A = a21 a22 a23 a24
a31 a32 a33 a34
Dimana, pada notasi elemen matriks, angka sebelah kiri adalah informasi baris sedangkan
angka di kanan adalah informasi kolom, contoh a23 berarti nilai yang diberikan oleh baris ke-
2 dan kolom ke-3.
3. Metode Gauss Jordan
3.1 Sejarah Gauss Jordan
Karl Friedich Gauss (1977-1855) adalah seorang ahli matematika dan ilmuwan dari
Jerman. Gauss yang kadang-kadang dijuluki “pangeran ahli matematika”. Disejajarkan
dengan Isaac Newton dan Archimedes sebagai salah satu dari tiga ahli matematika yang
terbesar yang pernah ada. Dalam seluruh sejarah matematika, tidak pernah ada seorang anak
yang begitu cepat berkembang, sebagaimana Gauss, yang dengan usahanya sendiri
menyelesaikan dasar aritmetika sebelum ia dapat berbicara. Pada suatu hari, saat ia bahkan
belum berusia tiga tahun, melalui cara dramatis orang tuanya mulai menyadari kejeniusan
Gauss. Ketika itu ayahnya tengah menyiapkan gaji mingguan untuk para buruh bawahannya,
dan Gauss memperhatikan dengan diam-diam dari pojok ruangan. Setelah perhitungan yang
panjang dan membosankan. Gauss tiba-tiba member tahu ayahnya bahwa terdapat kesalahan
dalam perhitungannya dan memberikan jawaban yang benar, yang diperoleh hanya dengan
memikirkannya (tanpa menulisnya). Yang mengherankan orang tuanya adalah setelah
diperiksa ternyata perhitungannya Gauss benar.
Dalam desertasi doktoralnya Gauss memberikan bukti lengkap pertama teori-teori dasar
aljabar yang menyatakan bahwa setiap persamaan polynomial memiliki solusi sebanyak
pangkatnya. Pada usia 19 tahun ia menyelesaikan masalah yang membingungkan Euclid,
menggambarkan polygon 17 sisi di dalam lingkaran dengan menggunakan jangka dan
kompas, dan pada tahun 1801, pada usia yang ke-24 tahun, ia mempublikasikan karya
terbesarnya, Disquisitiones Arithmeticae”, yang dipandang banyak orang sebagai salah satu
prestasi paling berlian dalam matematika. Dalam makalah itu Gauss melakukan sistematisasi
studi dari teori bilangan (sifat-sifat bilangan bulat atau integer) dan merumuskan konse dasar
dari hal tersebut.
Diantara prestasinya yang banyak sekali, Gauss menemukan kurva Gaussian atau kurva
berbentuk lonceng yang merupakan dasar teori probabilitas, memberikan interpretasi
geometric pertama mengenai bilangan kompleks dan mengembangkan metode-metode
karakteristik permukaan secara interistik dengan menggunakan kurva-kurva yang
dikandungnya, mengembangkan teori pemetaan konformal (angle preserving) dan
menemukan geometri non-Euclidean 30 tahun sebelum dipublikasikan oleh orang lain.
Dalam bidang fisika ia memberikan sumbangan yang besar terhadap teori lensa dan gerakan
kapiler, dan bersama Wilhelm Weber ia mengerjakan pekerjaan penting dalam bidang
elektromagnetisme, magnetometer bifilar dan elektrograf.
Gauss adalah orang yang sangat religious dan aristoratik dalam kesajaannya. Ia dengan
mudah menguasai bahasa-bahasa asing, sangat senang membaca dan meminati bidang
minarologi dan botani sebagai hobi. Ia tidak suka mengajar dan biasanya bersikap dingin
tidak mendukung terhadapahli matematika yang lainnya, kemungkinan ini karena ia
mengantisipasi kerja mereka. Dikatakan bahwa jika saja Gauss mempublikasikan semua
penemuaannya, maka matematika saat ini akan lebih maju 50 tahun. Tak diragukan lagi
bahwa ia adalah ahli matematika terbesar dalam era modern.
Wilhelm Jordan (1842-1899) adalah seorang insinyur Jerman yang ahli dalam bidang
geodesi. Sumbangannya untuk penyelesaian sistem linear dalam buku populernya, Handbuch
de Vermessungskunde (Buku panduan Geodesi) pada tahun 1988. Contoh Sumbangannya
untuk penyelesaian sistem linear dalam buku populernya
Dalam aljabar linear, eliminasi Gauss-Jordan adalah versi dari eliminasi Gauss. Pada metode
eliminasi Gauus-Jordan kita membuat nol elemen-elemen di bawah maupun di atas diagonal
utama suatu matriks. Hasilnya adalah matriks tereduksi yang berupa matriks diagonal satuan
(Semua elemen pada diagonal utama bernilai 1, elemen-elemen lainnya nol).
Metode eliminasi Gauss-Jordan kurang efisien untuk menyelesaikan sebuah SPL, tetapi lebih
efisien daripada eliminasi Gauss jika kita ingin menyelesaikan SPL dengan matriks koefisien
sama. Motede tersebut dinamai Eliminasi Gauss-Jordan untuk menghormati Carl Friedrich
Gauss dan Whilhelm Jordan.
.
3.2 Metode Eliminasi Gauss
Eliminasi Gauss adalah suatu metode untuk mengoperasikan nilai-nilai di dalam matriks
sehingga menjadi matriks yang lebih sederhana lagi. Dengan melakukan operasi baris
sehingga matriks tersebut menjadi matriks yang baris. Ini dapat digunakan sebagai salah satu
metode penyelesaian persamaan linear dengan menggunakan matriks. Caranya dengan
mengubah persamaan linear tersebut ke dalam matriks teraugmentasi dan
mengoperasikannya. Setelah menjadi matriks baris, lakukan substitusi balik untuk
mendapatkan nilai dari variabel-variabel tersebut.
1) Kelebihan dan Kekurangan
Metode ini digunakan dalam analisis numerik untuk meminimalkan mengisi selama
eliminasi, dengan beberapa tahap
Keuntungan :
a. menentukan apakah sistem konsisten.
b. menghilangkan kebutuhan untuk menulis ulang variabel setiap langka.
c. lebih mudah untuk memecahkan
kelemahan :
a. memiliki masalah akurasi saat pembulatan desimal
2.3 Eliminasi Gauss-Jordan
Salah satu metode yang dapat digunakan untuk menyelesaikan sistem persamaan linier adalah
metode eliminasi Gauss-Jordan. Metode ini diberi nama Gauss-Jordan untuk menghormati
CarlFriedrich Gauss dan Wilhelm Jordan. Metode ini sebenarnya adalah modifikasi dari
metode eliminasi Gauss, yang dijelaskan oleh Jordan di tahun 1887.
Metode Gauss-Jordan ini menghasilkan matriks dengan bentuk baris eselon yang
tereduksi(reduced row echelon form), sementara eliminasi Gauss hanya menghasilkan
matriks sampai padabentuk baris eselon (row echelon form). Selain untuk menyelesaikan
sistem persamaan linier, metode eliminasi Gauss-Jordan ini dapat. Metode Eliminasi Gauss :
metode yang dikembangkan dari metode eliminasi, yaitu menghilangkanatau mengurangi
jumlah variable sehingga dapat diperoleh nilai dari suatu variable yang bebas.
Eliminasi Gauss-Jordan adalah pengembangan dari eliminasi Gauss yang hasilnya lebih
sederhana lagi. Caranya adalah dengan meneruskan operasi baris dari eliminasi Gauss
sehingga menghasilkan matriks yang Eselon-baris. Ini juga dapat digunakan sebagai salah
satu metode penyelesaian persamaan linear dengan menggunakan matriks.
Metode ini digunakan untuk mencari invers dari sebuah matriks. Prosedur umum untuk
metode eliminasi Gauss-Jordan ini adalah Ubah sistem persamaan linier yang ingin dihitung
menjadi matriks augmentasi. Lakukan operasi baris elementer pada matriks augmentasi (A|b)
untuk mengubah matriks A menjadi dalam bentuk baris eselon yang tereduksi.
1) Kelebihan dan Keuntungan :
Mengubah sistem persamaan linier yang ingin dihitung menjadi matriks augmentasi.
merupakan variasi dari eliminasi gauss dengan kebutuhan dapat mgenyelesaikan matriks
invers.