Mecânica dos Fluidos
Conservação da massa
Prof. Carlos Ruberto Fragoso Jr.
Programa da aula
Revisão Sistema, volume de controle e
superfície de controle Teorema do transporte de Reynolds
Equação da conservação da massa;
Casos Especiais;Exercícios.
Sistema
É uma quantidade de matéria de massa e identidade fixa, que escolhemos como objeto de estudo;
Esta quantidade de matéria está contida por uma fronteira através da qual não há fluxo de massa.
Volume de controle
É uma determinada região delimitada por uma fronteira onde uma determinada quantidade de matéria é observada.
Exemplo:
Superfície de controle
É a fronteira (contorno geométrico) de um volume de controle.
Superfície de controle s.c.
O sistema e o volume de controle fixo
c.s
Vdan̂epropriedad da líquido fluxo
t
)t(N)tt(Nlim
Dt
DN sissist
0t
sis
t
)t(N)t(N)tt(N)tt(Nlim
Dt
DN 1223
0t
sis
t
)tt(N)tt(Nlim
t
)t(N)t(N)tt(N)tt(Nlim 13
0t
1212
0t
t
)tt(N)tt(Nlim
t
)t(N)tt(Nlim
Dt
DN 13
0t
C.VC.v
0t
sis
t
)tt(N)tt(Nlim
t
)t(N)tt(Nlim
Dt
DN 13
0t
C.VC.v
0t
sis
t
)tt(N)tt(Nlim
dt
dN
Dt
DN 13
0t
c.vsis
3A
33 tdAVn̂)tt(N 1A
11 tdAVn̂)tt(N
c.s
13 tdAVn̂)tt(N)tt(N
t
)tt(N)tt(Nlim
dt
dN
Dt
DN 13
0t
c.vsis
c.s
c.vsis VdAn̂dt
dN
Dt
DN
c.sc.v
sis VdAn̂Vddt
d
Dt
DN
Teorema de Transporte de Reynolds => Transformação sistema para volume de controle.
c.sc.v
sis VdAn̂Vddt
d
Dt
DN
Taxa de variação da propriedade extensiva no V.C
Fluxo da propriedade extensiva através da superfície de controle
≠ 0 somente aonde o fluido atravessa a superfície de controle
Conservação da massa
O primeiro princípio físico ao qual aplicamos a relação entre as formulações de sistema e volume de controle é o princípio da conservação de massa.
A massa de um sistema permanece constante. Em linguagem matemática:
0Dt
Dm
Sistema
Equação da conservação da massa
Partindo do Teorema do Transporte de Reynolds:
Para deduzir a formulação para volume de controle da conservação de massa, fazemos:
SCVC
Sistema dAnVddt
d
Dt
DNˆ
1m
m
m
NmmassaN
1
mN
Equação da conservação da massa
Que substituídos na equação genérica do TTR fornece:
Da conservação da massa do sistema:
0Dt
DNSistema
SCVC
Sistema dAnVddt
d
Dt
DNˆ
Equação da conservação da massa
0ˆ SCVC
dAnVddt
d
Balanço Geral para a conservação da massa em um volume de controle
Variação interna da massa no V.C.
Fluxos de entrada e saída na S.C.
Casos Especiais Volume de controle não deformável:
m
jentrajjj
n
isaiiii
VC
AuAuddt
d
11
0
Entrada Saída
Volume de controle não deformável
Taxa de massaacumulada
Taxa de massaque sai
Taxa de massaque entra
Casos Especiais Escoamento permanente:
0ˆ SCVC
dAnVddt
d
Variação interna da massa no V.C.
Fluxos de entrada e saída na S.C.
0
0ˆ SC
dAnV
Casos Especiais Escoamento incompressível (propriedades do
fluido são constantes):
m
jentrajj
n
isaiii
VC
AuAuddt
d
11
0
m
jentrajj
n
isaiii AuAu
dt
d
11
0
Casos Especiais Escoamento incompressível (propriedades do
fluido são constantes); Regime permanente; Volume de controle não deformável:
m
1jentrajj
n
1isaiii AuAu
m
1jentraj
n
1isaii QQ
Caso mais simples
Entrada Saída
Volume de controle não deformável
A1, u1 A2, u2
2211 AuAu
21 QQ
Exercício 1 Considere o escoamento permanente de água em uma junção de tubos conforme mostrado no diagrama. As áreas das seções são: A1 = 0,2 m2; A2 = 0,2 m2; A3 = 0,15 m2. O fluido também vaza para fora do tubo através de um orifício no ponto 4, com uma vazão volumétrica estimada em 0,1 m3/s. As velocidades médias nas seções 1 e 3 são u1 = 5 m/s e u3 = 12 m/s. Determine a velocidade do escoamento na seção 2.
Exercício 2 Um reservatório se enche de água por meio de duas entradas unidimensionais. A altura da água é h. (a) Encontre uma expressão para a variação da altura da água, dh/dt. (b) Calcule dh/dt para D1 = 25 mm, D2 = 75 mm, u1 = 0,9 m/s, u2 = 0,6 m/s e Ares = 0,18 m2, considerando a água a 20 ºC.
aberto
Exercício 3 Lista de exercícios